角函数讲义适用于高三第一轮复习

三角函数第一轮复习讲义一、知识回顾1.平面直角坐标系及角的概念平面直角坐标系由横轴x和纵轴y组成。

两条相互垂直的坐标轴交于原点O，称为坐标原点。

根据角的位置，可以分为标准位置角和一般位置角。

标准位置角的始边与正半轴重合，而一般位置角的始边与正半轴不重合。

2.弧度制和角度制弧度制是用弧长来度量角的大小，一周的弧长定义为2π。

而角度制是用度来度量角的大小，一周定义为360°。

两者之间可以通过以下公式进行转换：弧度制=角度制×π/180角度制=弧度制×180/π3.三角函数三角函数是角的函数，分为正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。

在单位圆上，对于一个角x，在弧度制下，它的正弦值等于角对应的点在单位圆上的y坐标，余弦值等于x坐标，正切值等于y坐标除以x坐标。

4.三角函数的性质正弦函数的周期为2π，在0到2π之间呈现一个完整的周期。

余弦函数的周期也为2π，并且余弦函数与正弦函数的图像相似，只是在x轴上有一个平移。

正切函数的周期为π，即在0到π之间呈现一个完整的周期。

正弦函数和余弦函数在区间[0,π/2]上单调递增，而正切函数则在区间(-π/2,π/2)上单调递增。

二、例题讲解例题1：已知点P(-3,4)在单位圆上的坐标为(M,N)，求角APN的弧度制大小。

解：根据P在单位圆上的坐标为(M,N)，可以得到：M=-3/5,N=4/5又因为点A是单位圆的圆心，所以A的坐标为(0,0)。

利用三角函数的性质，可以得到：sin(APN) = N = 4/5cos(APN) = M = -3/5因此，角APN的大小为sin^-1(4/5)，即其弧度制大小为sin^-1(4/5)。

例题2：已知tan(A) = 5/12，且A的终边在第三象限，求cos(A)的值。

解：已知tan(A) = 5/12，可得：sin(A) = 5/13，cos(A) = 12/13由终边在第三象限可知，cos(A) < 0。

三角函数一、知识点 (一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

其中顶点，始边，终边称为角的三要素。

角可以是任意大小的。

(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。

①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。

(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。

(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。

集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。

2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。

(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

任一已知角α的弧度数的绝对值rl =α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ； rad 01745.01801≈π= 。

3、特殊角的三角函数值0 3045 60 90 120 135 150 1800 6π4π 3π 2π 32π 43π 65ππ sin 0 2122 23 1 232221 0 cos 1 232221 0 21- 22- 23- 1- tan 0 331 3 ⨯3- 1- 33- 0210 225 240 270 300 315 330 36067π 45π 34π 23π 35π 47π 611ππ2sin21- 22- 23- 1- 23- 22- 21- 04、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅nπk 2 第一象限角平分线36045⋅+nπ+πk 24 x 轴负半轴 360180⋅+n π+πk 2 第二象限角平分线 360135⋅+nπ+πk 243 x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线 360225⋅+nπ+πk 245 y 轴正半轴 36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+nπ+πk 247 y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223 第一、三象限角平分线 18045⋅+n π+πk 4y 轴 18090⋅+nπ+πk 2 第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43 坐标轴 90⋅n 2πk 象限角平分线 9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。

专题18 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式考纲导读：考纲要求:理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算;掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义;掌握“同角三角函数基本关系式:22sin sin cos 1,tan ,tan cot 1cos ααααααα+===”..掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义.考纲解读: 近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方法，一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目．其中，同角三角函数基本关系式是其它公式推导的理论基础.角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦. 对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括. 三角公式是三角函数的心脏,它贯穿于整个的三角运算过程之中. 考点精析：考点1、三角函数的概念这类题型主要考查三角函数的概念,角的概念的推广,多为选择与填空题,属基础题. 【考例1】 (²全国Ⅲ)已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限解题思路：利用角所在象限的范围,通过不等式组在直角坐标系下判断2α所在的象限. 正确答案：∵α为第三象限角， ∴3222k k πππαπ+≤≤+， ∴3224k k παπππ+≤≤+，如右图所示, 即2α位于第二或第四象限，故应选D. 回顾与反思：根据角的集合画出角的范围,或由图示写出角的终边的集合,是此类问题的综合应用.知识链接：角的概念的理解.①在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的大小.②射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小.【考例2】已知θ为锐角，求证：1＜sin θ+cos θ≤2.解题思路：本不等式在证明的过程中，采用了适当的放大和缩小.放大和缩小的实质是非等价转化，需按题意适当地放缩，否则是达不到目的的.正确答案：证明：设M （x ，y ）为角θ终边上异于原点的一点，则有sin θ=22yx y +，cos θ=22yx x +.∵θ为锐角，∴x ＞0，y ＞0.∴sin θ+cos θ=22yx yx ++=22222222)()(2)(y x y x y x y x y x +--+=++=222)(2y x y x +--≤2（当且仅当x =y 时取等号）.又sin θ+cos θ=2222222222)(y x xyy x y x y x yx yx +++=++=++=2221yx xy++＞1(∵222y x xy +＞0). 综上，不等式1＜sin θ+cos θ≤2得证.回顾与反思：三角函数的定义有代数表示和几何表示两种形式，利用代数形式可以通过设角终边上一点的坐标，计算出它到原点的距离，从而可求得角的三角函数值；利用几何表示中的单位圆，三角函数线可以用来求解一些简单的三角不等式.知识链接：三角函数的概念.设α是一个任意角，α的终边上一点Ρ（除端点外）的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是r （r =2222y x y x +=+>0），如下图所示.))那么，比值r y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=r y ；比值r x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=r x ；比值x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=x y ；比值yx叫做α的余切，记作cot α，即cot α=y x ；比值x r 叫做α的正割，记作sec α，即sec α=x r ；比值yr叫做α的余割，记作csc α，即csc α=yr.这些函数都是以角α为自变量，以比值为函数值的函数，统称为三角函数.考点2、弧长公式、扇形面积公式的应用这类题型主要考查弧长公式、扇形面积公式，由题意找出扇形半径、圆心角、弧长、周长、面积等之间的关系，列出解析式求解.【考例1】 (²雅礼中学月考)已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的度数为( )Ａ．32 Ｂ．33Ｃ．3 Ｄ．23解题思路：本题考查了圆外切正三角形的边长与圆半径的关系及圆心角弧度数的求解问题.正确答案：设圆半径为r ,则其外切正三角形的边长为02tan 60r =, 从而得圆中弧长l =,其圆心角度数为l r rα===故应选A. 回顾与反思：平面几何知识中圆的基本性质在本章中将起到重要的应用,复习中要能够复习到位.知识链接：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记做1 rad. 角度与弧度之间的互化.①将角度化为弧度360°=2π rad ；180°=π rad ；1°=180πrad ≈0.01745 rad.②将弧度化为角度2π rad=360°；π rad=180°；1 rad=⎪⎭⎫⎝⎛π180°≈57.30°=57°18′.【考例2】已知扇形的周长为20ｃｍ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积? 解题思路：求最值问题途径有二：一是利用几何意义，从图中直接找；二是利用函数求解，即设出未知数，建立函数关系式，然后用函数的方法解决.正确答案：解法一：设扇形半径为r ，圆心角为α（α＞0），弧长为l ，面积为S ，则有2r +αr =20，∴r =α+220.∴S =21αr 2=4200420022002+4+=4++=)+(2αααααααα. 又α+α4+4=（α－α2）2+8≥8，等号当且仅当α－α2=0，即α=2时成立，∴S ≤8200=25. 故当半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积有最大值25 cm 2.解法二：设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l +2r =20， ∴l =20－2r .∴S =21lr =21（20－2r ）r =－r 2+10r =－(r －5)2+25. 故当半径r =5 cm 时，扇形的面积有最大值25 cm 2. 这时α=r l =55220⨯-=2 （rad ）. 回顾与反思：确定扇形的条件最直接的是确定出扇形的半径、弧长和圆心角其中的两个.涉及扇形周长或面积的最值问题时，其方法是利用周长（或面积）公式，将其转化为关于半径（ 或者圆心角）的表达式，然后再求最值.知识链接：弧长公式和扇形面积公式.在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为l =|α|²r ； S =21l ²r =21|α|²r 2. 在角度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为l =180πrn ； S =360π2r n .考点3、同角三角函数基本关系式这类题型主要是考查同角三角函数基本关系式,三角函数的符号,三角函数的求值等属中低档题,以选择填空题居多.【考例1】 (²成都市摸底)若sin cos 0θθ⋅>,且cos tan 0θθ⋅<,则角θ的终边落在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解题思路：本题考查了同角三角函数的基本关系及三角函数在各个象限内的符号. 正确答案：由sin cos 0θθ⋅>可得θ在第一或第三象限; 由cos tan 0θθ⋅<可得θ在第三象限.由此可知θ的终边落在第三象限.故应选C.回顾与反思：任意角的三角函数的符号. 三种三角函数值在各个象限的符号可用下图记忆.xyO ++- - x y O ++ - - x y O + +--sin α cos α tan α还可用口诀“全正、s 正、t 正、c 正“等记忆，此口诀表示正弦、余弦、正切这三种三角函数值，“第一象限全正，第二象限只有正弦sin α为正，第三象限只有正切tan α为正，第四象限只有余弦cos α为正”，还可简记为“一全、二s 、三t 、四c ”四字.知识链接：同角三角函数基本关系式：sin 2α+cos 2α=1 ,ααcos sin =tan α , tan α²cot α=1 【考例2】若4sin 5α=且α是第二象限角,则tan α的值等于( ) A. 43- B. 34C. 34±D. 43±解题思路：先确定角的范围内三角函数的符号,根据同角三角函数关系求值.正确答案：∵α是第二象限角,∴3cos 5α===-.又由sin 454tan cos 533ααα⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭, 故应选A. 回顾与反思：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值，如果这个角所在的象限确定，此类情况只有一组解；如果角所在的象限不确定，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角可能所在的象限，然后分不同情况求解.知识链接：由已知条件求一个三角表达式的值，一般是先利用公式将表达式化简，然后再把已知条件代入；如果已知条件也比较复杂就需要对其先化简然后再应用，需要指出的是不论条件化简还是结论式化简都必须是恒等变形.考点4、同角三角恒等式的证明与化简这类题型主要是主要是考查同角三角函数基本关系式,三角函数式的证明与化简,属中档题,以解答题居多.【考例1】已知A 、B 是锐角，求证：A BB A B A cot tan 2tan )3tan(1)tan()tan(=⎪⎭⎫⎝⎛-+--++πππ.解题思路：利用诱导公式化简各式,将余切化为正切,然后通分即可得证. 正确答案：证明：tan(A)tan(B)1tan B tan(3A)2πππ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭－左边＝－－tanA tanB tanA tanBcotB 111tanA tanA tanB =+=+－－－－tanA tanB tanB tanAtanB tanB tanA cotA tanAtanB====+－右边－, 故原式成立.回顾与反思：三角函数式的化简遵循的原则有以下几个;一切化弦;二化同名;三能化同角的尽量化为同角.知识链接：直接或间接利用同角三角函数基本关系式或诱导公式对所给等式的一边进行恒等变形，从而推得另一边，或同时从左右两边推得同一式子，考查方式多以低、中档的解答证明题及简题为主.【考例2】已知关于x 的方程2x 2-(3 +1)x +m =0的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求：(1)θθcot 1sin - +θθtan 1cos -的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值. 解题思路：先列出sin θ和cos θ间的关系式(韦达定理),然后根据其平方和为1,求得字结母参数m 的值,最后代入求方程的根及θ的值.正确答案：(1)由韦达定理可知sin θ+cos θ=213+ ① , sin θ²cos θ=2m② , 而θθcot 1sin -+θθtan 1cos - =θθθcos sin sin 2-+θθθsin cos cos 2- =θθθθcos sin cos sin 22--=sin θ+cos θ=213+ , (2)由①式平方得1+2sin θcos θ=232+, ∴sin θcos θ=43由②得2m =43 , ∴m =23.(3)当m =23时，原方程变为2x 2-(3+1)x +23 =0解得x 1=23,x 2=21∴1sin ,sin 21cos ,cos 2θθθθ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或 又∵θ∈(0，2π)∴θ=6π或θ=3π. 回顾与反思：三角函数式化简实际上是一种没有指定答案的恒等变形，但要尽量把结果化成最简形式.知识链接：三角函数式化简求值时化简的方向为,①所含三角函数种类最少；②能求出准确值的要求值；③不含特殊角的三角函数值等.考点5、诱导公式这类题型主要是主要以诱导公式的应用为主,考查三角函数的求值与化简,属基础题的应用类,多出现在选择与填空题中.【考例1】 (²上海理)如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么cos()2πα+＝ ．解题思路：本题考查了同角三角函数的关系及三角函数的诱导公式.正确答案：∵αcos ＝51，且α是第四象限的角，∴sin α＝, ∴cos()sin 2παα+=-=. 回顾与反思：α＋k ²360°（k ∈Z ），－α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，还可编成口诀：“函数名不变，符号看象限”去记忆.知识链接：1.公式一: sin （α+k ²360°）＝sin α; cos （α+k ²360°）=cos α;tan （α+k ²360°）=tan α , 其中k ∈Z.2.公式二：sin （180°＋α）=－sin α; cos （180°＋α）=－cos α;tan （180°＋α）=tan α3.公式三：sin （－α）=－sin α; cos （－α）=cos α; tan （－α）=－tan α.4.公式四：sin （180°－α）=sin α; cos （180°－α）=－cos α;tan （180°－α）=－tan α.5.公式五：sin （360°－α）=－sin α; cos （360°－α）=cos α;tan （360°－α）=－tan α【考例2】 (²海淀期末)已知sin(π+α)=－21，那么cos α的值为（ ） A ．±21 B ．21 C ．23 D ．±23 解题思路：先利用诱导公式求得sin α的值,再利用同角三角函数关系求cos α的值.正确答案：由,21sin ,21)sin(=-=+ααπ得 ,23sin 1cos 2±=-±=∴αα故选D. 回顾与反思：由于诱导公式（二）（三）中的α可以是任意角，为了运用公式（二）（三）可以把－α、α－π等作为一个整体.看成公式中的“α”，对于正切和余切可以切化弦后再用诱导公式.知识链接：利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤:创新探究：【探究1】如图所示，从楼AC 中的B 点测得铁塔顶 点F 的仰角为α，在楼的C 点测得铁塔上电视天线顶点G 的仰角为β，又在C 点测得铁塔底D 的俯角为γ. 已知AC=H ，AB=h ，试求电视天线FG 的长. (这里假定A 、B 、C 三点在同一铅垂线上).创新思路：本题考查了三角函数基础知识在解实际问题中的应用.求FG 的长，必须求出DG 、DF 与已知条件h 、H 、α、β、γ之间的关系式，当注意到DG=DM+MG ，DF=DE+EF 时，就可以在△ADC 、△BEF 、△CMG 中去寻觅思路.解析: 在Rt △ADC 中，AC=H ，∠CDA=γ，则AD=H ²cot γ 在Rt △BEF 中，BE=AD=Hcot γ,∠FBE=α, 所以EF=BEtan α=Hcot γtan α.在Rt △CMG 中，CM=AD=Hcot γ,∠GCM=β,所以MG=CM ²tan β=Hcot γtan β 铁塔的高度与电视天线的和为DG=DM+MG=H+Hcot γtan β. 铁塔的高为DF=DE+EF=h+Hcot γtan α.故得所求的电视天线长为FG=DG-DF=(H+Hcot γtan β)-(h+Hcot γtan α)=(H-h)+Hcot γ(tan β-tan α).【探究2】一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬 过β角(其中00<α<β<1800),如果两只蚂蚁都在第14秒时 回到A 点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.创新思路：三角知识是解决实际问题的工具,在实际问题中,要善于抓住问题的本质,将蚂蚁爬行问题转化为数学问题求解.解析: 根据题意可知:14α,14β均为3600的整数倍,故可设14α=0360m ⋅,m Z ∈,14β=0360n ⋅,n Z ∈.从而可知00180,180,,77m nm n Z αβ=⋅=⋅∈,又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,从而有2α,2β在第二象,又00<α<β<1800,从而可知00<2α<2β<3600,进而可得2α,2β均为钝角,即900<2α<2β<1800.从而450<α<900, 450<β<900.∴450<01807m ⋅<900, 450<01807n ⋅<900,即7777,4242m n <<<<, 又∵α<β, ∴m n <,从而可得2,3m n ==.即00360540,77αβ==. 方法归纳：1.三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便.2.在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.3.利用单位圆解简单三角不等式的基本步骤为： ①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式（组）写出角的范围（02π 范围内）； ③用终边相同的角的集合写出适合条件的所有的角的集合. 过关必练： 一、选择题:1. (²西城模)sin600°+tan240°的值是（ ）A ．23-B ．23 C ．321+-D ．321+ 2. 设M 和m 分别表示函数y =31cos x －1的最大值和最小值，则M +m 等于（ ） A.32 B.－32C.－34 D.－2 3. 若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4. t an300°+cot405°的值是 （ ） A.1＋3 B.1－3 C.－1－3 D.－1＋35. (²郑州模)下面的式子⎫化简可得( )A. 4B. -4C. 4, (,2n x n Z π≠∈)D.4,(,),,24,(,(1),.2x n n n Z x n n n Z ππππππ⎧∈+∈⎪⎪⎨⎪-∈++∈⎪⎩二、填空题:6. 函数y=225x -+log sinx (2sin x -1)的定义域是 .7. (²重庆文)已知sin 5α=2παπ≤≤，则tan α= 。

高三数学第一轮复习：角函数总结及统练人教版（文）【本讲教育信息】一. 本周教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。

4. 三角函数线正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系：倒数关系：1cot tan =⋅αα1csc sin =⋅αα1sec cos =⋅αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

ααπ+k 2 α- απ- απ+απ-2 απ-2απ+2正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切αcotαcot -αcot -αcotαcot -αtanαtan -⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-=-⋅-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⋅=-⋅-⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin( 8. 二倍角公式——代换：令αβ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=⋅=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα半角公式：2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=；αααcos 1cos 12tan +-±=αααααcos 1sin sin cos 12tan+=-=9. 三角函数的图象和性质函数x y sin =x y cos = x y tan =图象定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且10. 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象变换 0,0>>ωA函数)sin(ϕω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到：（1）−−−−−−−−−→−+=−−−−→−=倍横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1)sin(sin x y x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的（2）−−−−→−=−−−−−−−−−→−=ωϕωω图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin 1x y x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的（二）数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

三角恒等变换知识点睛1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2．诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限） 3．两角和与差的公式4．倍角公式 αααcos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα5．降幂公式 22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+= ααα2sin 21cos sin = 6．幅角公式 x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中ab=ϕtan7．和差化积、积化和差公式 （此系列公式知道怎么推导就行，无需特别记忆） 8．补充公式 ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， 2cos2sinsin 1ααα±=±例题精讲解析：（1）由题意，5sin 1cos 2-=--=αα，4cos tan -==αα（2）由题意，125cos sin tan -==ααα且1cos sin 22=+αα，解得135sin -=α，1312cos =α （3）∵0cos <α， ∴α是第二或第三象限角 当α是第二象限角时，1715cos 1sin 2=-=αα，815cos sin tan -==ααα 当α是第三象限角时，1715cos 1sin 2-=--=αα，815cos sin tan ==ααα 点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”，但要注意正负符号的确定解析：（1）5464tan 3cos 4sin 3=+=+=+ααα（2）521tan tan cos sin cos sin cos sin 222=+=+=αααααααα （3）11tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 2122222=++=++=+αααααααααα 点评：如果根据αtan 的值求αsin 、αcos 的值，则需考虑α的象限，这里把1写成αα22cos sin +构造关于αsin 、αcos 的齐次式，解法干净利索解析：（1）233sin )3sin(34sin -=-=+=ππππ， 236cos )64cos(625cos ==+=ππππ 14tan )4tan(45tan==+=ππππ ∴431232345tan 625cos 34sin-=⋅⋅-=⋅⋅πππ （2）∵21cos )cos(-=-=+ααπ ∴21cos =α 故21cos )2sin(==+ααπ （3）∵k==-οο80cos )80cos( ∴kk 2180tan -=ο故kk 2180tan 100tan --=-=οο点评：此题主要考查诱导公式的使用，关于诱导公式希望大家牢记：互补的两个角正弦值相等，余弦值、正切值互为相反数，互余的两个角正弦值、余弦值互换。

高三数学一轮复习知识点讲解专题5.3 三角函数的图象与性质【考纲解读与核心素养】1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 3.高考预测：（1） “五点法”作图； （2）三角函数的性质；（3）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查. 4.备考重点：（1）掌握正弦、余弦、正切函数的图象；（2）掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R知识点2．“五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象 “五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图象.【典例剖析】高频考点一 三角函数的定义域和值域 【典例1】（2020·山东高一期末）函数tan2xy =的定义域为_____．【答案】{}2,x x k k Z ππ≠+∈ 【解析】 解不等式()22x k k Z ππ≠+∈，可得()2x k k Z ππ≠+∈， 因此，函数tan2xy =的定义域为{}2,x x k k Z ππ≠+∈. 故答案为：{}2,x x k k Z ππ≠+∈.【典例2】（2017新课标2）函数（）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则，由可得，当时，函数取得最大值1．【规律方法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 【变式探究】1.（2020·上海高三专题练习）函数sin y m x n =+的最大值为2，最小值为4-，则m =_________，n =_________.【答案】3± 1- 【解析】由已知得24m n m n ⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩，解得31m n =±⎧⎨=-⎩. 故答案为：3±；1-.2.（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域. （1）y =（2）sin cos tan x xy x+=.【答案】（1）{|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈；（2）|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）要使函数有意义，必须使sin 0x ≥.由正弦的定义知，sin 0x ≥就是角x 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数. ∴角x 的终边应在x 轴或其上方区域， ∴22,k x k k Z πππ≤≤+∈.∴函数y ={|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈.（2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan 0x ≠.∴,()2x k k Z x k πππ⎧≠+⎪∈⎨⎪≠⎩ ∴,2kx k Z π≠∈. ∴函数sin cos tan x x y x +=的定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭.【总结提升】在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 高频考点二 三角函数的单调性【典例3】（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.【典例4】（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知sin33a =︒，cos55b =︒，tan35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】因为cos55sin35sin33b a ==>=，且sin 35tan 35sin 35cos35c ==>，所以c b a >>. 故选：A .【典例5】（2020·浙江柯城�衢州二中高三其他）已知函数()()2sin 0f x x ωω=>，则()f x 的最大值为________，若()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是________. 【答案】2 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()()2sin 0f x x ωω=>， 所以()[]2sin 2,2ω=∈-f x x ， 所以()f x 的最大值为2， 因为()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以,,4322πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以4232πωππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：(1). 2 (2). 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【规律方法】1.求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2.当0ω<时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. 【变式探究】1.（2020·河北路北�开滦第一中学高一期末）在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan A C < B ．tan tan A C >C ．sin sin <A CD ．sin sin A C >【答案】D 【解析】若543,,12123124A B C πππππ=====，由于02C A π<<<,则tan tan A C >，所以A 选项错误. 若74,,1212312A B C ππππ====，则tan 0tan A C <<， 75sin sin sin sin sin 121212A C πππ==>=，所以BC 选项错误.在三角形ABC 中，大角对大边，由于A C >，所以a c >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >①，R 是三角形ABC 外接圆的半径.由①得sin sin A C >.所以D 选项正确. 故选：D2.（2020·河南林州一中高一月考）π()sin()(0,),2f x x ωϕωϕ=+>≤若π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴，()f x 在区间ππ(,)54上单调，则ω的最大值是 ( ) A ．14 B ．18C ．20D ．22【答案】A 【解析】因为π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴， 所以2144n T n N ，π+=∈，即21244n ππω+=, n N ∈，即42,?n n N ω=+∈，即ω为正偶数. 因为()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ππ45202T π-=≤，即210T ππω=≥. 20ω≤. 当18ω=时，ππ sin 18088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得9 ,4k k Z πϕπ-+=∈，9 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=，()πsin 184f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π779518,42020x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，其中，901202f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 当14ω=时，ππ sin 14088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得7 ,4k k Z πϕπ-+=∈，7 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=-，()πsin 144f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π516514,42020x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，满足()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调. 故ω的最大值是14. 故选A.3.（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．求()f x 的单调增区间； 【答案】5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】因为sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【总结提升】1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R 上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2k π，(k ∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同． 2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sin x |≤1，|cos x |≤1．(2)函数y ＝sin x ，x ∈D ，(y ＝cos x ，x ∈D )的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D 来决定． (3)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝Z ，将函数转化为y ＝A sin Z 的形式求最值．3.正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π2，π2)∪(π2，3π2)∪…上是增函数．高频考点三 三角函数的周期性 【典例6】（2018年全国卷Ⅲ文）函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 由已知得的最小正周期故选C. 【规律方法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 【变式探究】已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 【答案】（1）见解析；（2）是，2π. 【解析】(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k πk ∈Z . 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π． 【特别提醒】最小正周期是指使函数重复出现的自变量x 要加上的最小正数，是对x 而言，而不是对ωx 而言．. 高频考点四 三角函数的奇偶性【典例7】（2018届辽宁省丹东市测试（二））设，若，则函数A. 是奇函数B. 的图象关于点对称C. 是偶函数D. 的图象关于直线对称【答案】C 【解析】 由题意得，∴．∴，∴函数为偶函数．故选C ． 【规律方法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【变式探究】（浙江省2019届高考模拟卷（二)）函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由题意得函数的定义域为，∵，∴函数为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称，故排除C,D ． 又当时，，因此可排除B ． 故选A ． 【特别提醒】利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 高频考点五 三角函数的对称性 【典例8】（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】【解析】 由题意可得，所以，因为，所以【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式，其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【变式探究】（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））关于函数()1cos cos f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称. ②()f x 的图像关于原点对称. ③()f x 的图像关于直线2x π=对称.④()f x 的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 其中所有真命题的序号是__________. 【答案】①④ 【解析】对于①，()f x 定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，显然关于原点对称， 且()()()()11cos cos cos cos x x x f x f x x=-=-++=-，所以()f x 的图象关于y 轴对称，命题①正确；对于②，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，532f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于原点对称，命题②错误； 对③，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2532f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则233f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于2x π=对称，命题③错误； 对④，1sin 2sin f x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1sin 2sin f x x x π⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题④正确. 故答案为：①④.【特别提醒】1.求y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx ＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x 的值，最后写出结果．2.正切函数图象的对称中心是(k π2，0)而非(k π，0)(k ∈Z )．高频考点六 三角函数的图象和性质的应用 【典例9】（2018年理北京卷】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】 【解析】 因为对任意的实数x 都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数3sin 1()sin 2x f x x -=+的最大值是____，最小值是_________.【答案】234- 【解析】3(sin 2)77()3sin 2sin 2x f x x x +-==-++ sin [1,1]x[]sin 21,3x ∴+∈11,1sin 23x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦777,sin 23x ⎡⎤∴-∈--⎢⎥+⎣⎦7234,sin 23x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥+⎣⎦即max 2()3f x =，min ()4f x =- 故答案为：23；4- 【典例11】（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【解析】 （1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤,∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x = 【规律方法】1．求形如y ＝a sin x ＋b 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1)求解．2．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (Aω≠0)的函数，当定义域为R 时，值域为[－|A |＋k ，|A |＋k ]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx ＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．3．求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，a ≠0，x ∈R 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t ＝sin x ，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．4．求形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d ，ac ≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式反解出y ．综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sin x 的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x 的值时，要考虑三角函数的周期性． 【变式探究】1.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（ ） A ．(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭B ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭C ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭D ．(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题意，函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 可得w ππ=，解得1w =，即()tan()4f x x π=+，令,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈， 当1k =时，544x ππ<<，即函数()f x 在5(,)44ππ上单调递增， 又由4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=， 又由425ππ>>，所以(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭. 故选：C.2.（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））设0a <，若不等式22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】2a ≤- 【解析】令cos [1,1]t x =∈- ，则不等式22()(1)0f t t a t a =---≤ 对[1,1]t ∈- 恒成立，因此22(1)00,02(1)020f a a a a f a a -≤⎧-≤⎧⇒<∴≤-⎨⎨≤--≤⎩⎩ 3.（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）设函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，的最大值为，求的值【答案】(1) 最小正周期,为的单调递增区间；(2) .【解析】 （1）则的最小正周期当时，单调递增即的单调递增区间为：(2)当时，当，即时，所以【总结提升】比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．。

]
20）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B
、C的对边，4sin2
B
2
C
-cos2A=
7 2
。
（1）求角A的度数；
（2）若a= 3 ，b+c=3，求b和c的值。
解：∴c4∴ocsoc2Aos(21s=A+A2 c-b=co2os122csAb22c)Aa-∴22==c72oA12s=2A60+。1=b272+c2-a2=bc 又∵b+c=3 bc=2
22 3
选A
例4
函数f(x)=cos2(x-
2 3
)+sin2(x-
5 6
)
+msinxcosx的值域为[a,2](x∈R,m>a)求m
值和f(x)的单调增区间。
解 ：1 f (x1 2 )[ = c 2 1 x c o o 2 2 4 3 x s ) 4 3 ()c s 1 2 co x ( o 2 2x 5 s 3 5 3 ) (s ) m ] 2 m 2( s s2 i2 x i x n
=sin(45。±35。). ∴ Sinα =sin 10。 ,sinβ=sin 80。
∴α=10。 β=80。 cos(2α-β)=cos60。= 1
2
〔三〕单元测试
一、选择题
1〕函数y=
coxs s
|cox|s |s
inx inx|
|ttaaxxnn|的值域是〔A〕
(A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3|
（2）若x∈[求a的值。
2
,
2
]时，f(x)的最大值为1，
解：（1）f(x)=sin(x+

高考一轮复习专题——三角函数第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝k π，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cos α＝x r 、tan α＝y x分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α.诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一 利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二 同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三 三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件 【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根， θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲 三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质 函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )． A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一 三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域． (2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二 三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )． A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三 三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四 三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φω错误!错误!错误!ωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角 Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二 三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题————求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。

(2)21bc sin A＝4 3，A＝π3，
则12bc× 23＝4 3，解得 bc＝16，
由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bc·cos
A＝b2＋c2－2bc·cos
π 3
＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc＝16，当且仅当 b＝c＝4 时，等号成立，
故 a2≥16，
∵a＞0， ∴a≥4， 在△ABC 中，b＋c＞a 恒成立， ∵b＋c≥2 bc＝2 16＝8，当且仅当 b＝c＝4 时，等号成立， 故 a＜8， 综上所述，a 的取值范围为[4，8).
∴a2＋c2 b2＝sin2Asi＋n2Csin2B＝cos22sCin＋2Ccos2C ＝(1－2sin2Cs)in2＋2C(1－sin2C)＝2＋4sins4iCn2－C 5sin2C
＝sin22C＋4sin2C－5≥2× 2×4－5＝4 2－5，
当且仅当 sin2C＝ 22时取等号. ∴a2＋c2 b2的最小值为 4 2－5.
圆半径. (2)根据 b＝2R sin B，c＝2R sin C 把边长问题转化为三角函数
问题.
(3)再利用 sin B＝sin (A＋C)[或 sin C＝sin (A＋B)， cos B＝－cos (A＋C)]消去一个未知角.
(4)利用三角恒等变换公式，化简为 M sin (ωx＋φ)的形式. (5)根据未知角的取值范围确定三角函数的取值范围. 注意：若题目对三角形的形状有限制(如锐角三角形)，需全面 考虑三个内角的取值范围.
23cos
A
＝8sin A＋π6.
因为 0＜A＜23π，
所以 A＋π6∈π6，56π，所以 sin A＋π6∈12，1，则 a＋c∈(4，8].
所以 a＋c 的取值范围是(4，8].

高三数学第一轮复习：角的概念与三角函数关系式及诱导公式（理）人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：角的概念与任意角的三角函数、同角三角函数关系式与诱导公式二. 本周教学重、难点：1. 理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切、余切的概念；了解余切、正割、余割的定义。

2. 掌握同角三角函数关系的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。

【典型例题】[例1] 角α的顶点与坐标原点O 重合，其始边与x 轴的正半轴重合。

（1）若角α的终边上有一点P （t t 4,2-）（0≠t ）求ααsin ,tan ；（2）已知角α的终边上一点P 的坐标为（y ,3-）（0≠y ）且y 42sin =α，求ααtan ,cos 。

解：（1）224tan -=-=ttα 因为t t t OP 52)4()2(22=-+= 所以当0>t 时，点P 在第四象限552524sin -=-=tt α 当0<t 时，点P 在第二象限552524sin =--=tt α （2）32222+=+=y y x r由y y y ry423sin 2=+==α，所以5±=y 所以当5=y 时，46cos -==r x α，315tan -==x y α 当5-=y 时，46cos -=α，315tan =α[例2] 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ，（1）若︒=60α，R=cm 10，求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。

（2）若扇形的周长是一定值)0(>c c ，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：（1）设弧长为l ，弓形面积为弓S ，因为360πα=︒=，R=10，所以)(310cm l π=))(233(5060sin 1021103102122cm S S S -=︒⋅⋅-⨯⋅=-=∆ππ扇弓 （2）因为扇形周长R R l R c α+=+=22，所以α+=2cR ，所以22)2(2121ααα+=⋅=c R S 扇16441244122222c c c ≤++⋅=++⋅=ααααα 所以当且仅当αα4=，即2=α（2-=α舍去）时，扇形面积有最大值162c[例3] 设⎩⎨⎧≥+-<=0,1)1(0,sin )(x x f x x x f π，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<=21,1)1(21,cos )(x x g x x x g π，求)65()31()41(g f g ++ )43(f +的值。

芯衣州星海市涌泉学校三角函数的图象与性质根底梳理1．“五点法〞描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)(π，0)(2π，0)(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：__x＝kπ＋(k∈Z)___；对称中心：_(kπ，0)(k∈Z)___对称轴：x＝kπ(k∈Z)___；对称中心：_(kπ＋，0)(k∈Z)__对称中心：_(k∈Z)__周期2π_ 2ππ单调性单调增区间_[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)___；单调减区间[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)__单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)____；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)______单调增区间_(kπ－，kπ＋)(k∈Z)___奇偶性奇函数偶函数奇函数3.＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.假设只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或者者找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sinx或者者cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，那么y ＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据根本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分以下两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)(1)y＝sin；(2)y＝sin.热身练习:1．函数y＝cos，x∈R()．A．是奇函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数y＝tan的定义域为()．A. B.C.D.3．函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程可能是()A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝【解析】令2x＋＝kπ＋，那么x＝＋(k∈Z)∴当k＝0时，x＝，选D.4．y＝sin的图象的一个对称中心是()．A．(－π，0) B.C. D.解析∵y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin的一个对称中心是.答案B5．以下区间是函数y＝2|cosx|的单调递减区间的是()A.(0，π)B.C.D.6．函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，假设f(x)≤|f()|对任意x∈R恒成立，且f()>f(π)，那么f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)B．[kπ，kπ＋](k∈Z)C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)D．[kπ－，kπ](k∈Z)【解析】当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，∴f()＝sin(＋φ)＝±1可得φ＝2kπ＋或者者φ＝2kπ－，k∈Z∵f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ∴sinφ<0∴φ＝2kπ－由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ得x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，选C.7.函数f(x)＝cos x∈R的最小正周期为___4π_____．8..y＝2－3cos的最大值为___5_____，此时x＝_____π＋2kπ，k∈Z_________.9．函数y＝(sinx－a)2＋1，当sinx＝1时，y取最大值；当sinx＝a时，y取最小值，那么实数－1≤a≤0.10．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是.【解析】∵f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋，又≤x≤，∴≤2x－≤.∴当2x－＝即x＝时，f(x)取最大值.题型一与三角函数有关的函数定义域问题例1求以下函数的定义域：(1)y＝lgsin(cosx)；(2)y＝.解(1)要使函数有意义，必须使sin(cosx)>0.∵－1≤cosx≤1，∴0<cosx≤1.利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0<OM≤1， ∴OM 只能在x 轴的正半轴上，∴其定义域为{x|－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z}. (2)要使函数有意义，必须使sinx －cosx≥0.利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sinx 和y ＝cosx 的图象，如下列图. 在[0,2π]内，满足sinx ＝cosx 的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π， 所以定义域为.变式训练1(1)求函数y lg(2sin 1)tan 1cos()28x x x π-+--=+的定义域；解(1)要使函数有意义，那么 ⇒图①如图①利用单位圆得：∴函数的定义域为{x|2kπ＋<x<2kπ＋，k∈Z}. (2)求函数y 122log tan x x =++的定义域.要使函数有意义 那么⇒利用数轴可得图②图②∴函数的定义域是{x|0<x<或者者π≤x≤4}. 题型二、三角函数的五点法作图及图象变换 例2函数f(x)＝4cosxsin(x ＋)－1. (1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图；(2)该函数图象可由y ＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？ 【解析】(1)y ＝f(x)＝4cosxsin(x ＋)－1 ＝4cosx(sinx ＋cosx)－1＝sin2x ＋2cos2x －1 ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋)2x＋0π2πx－y020－20∴函数y＝f(x)在[－，]上的图象如下列图．【点评】“五点法作图〞应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或者者y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点．当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．题型三三角函数图象与解析式的互相转化例3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如下列图．(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．【解析】(1)由图可知A＝2，＝，那么＝4×∴ω＝.又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0∴sin(φ－)＝0∵0<φ<，∴－<φ－<∴φ－＝0，即φ＝∴f(x)＝2sin(x＋)．(2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x＋)∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×＝2－2cos(3x＋)∵x∈[－，]∴－≤3x＋≤，∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.【点评】根据y＝Asin(ωx＋φ)＋K的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A确实定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；②K确实定：根据图象的最高点和最低点，即K＝；③ω确实定：结合图象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)来确定ω；④φ确实定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx ＋φ＝0，x＝－)确定φ.例4假设方程sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数根x1，x2，求a的取值范围，并求此时x1＋x2的值．【解析】∵sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0,2π]，作出y＝2sin(x＋)在[0,2π]内的图象如图．由图象可知，当1＜a＜2或者者－2＜a＜1时，直线y＝a与y＝2sin(x＋)有两个交点，故a的取值范围为a∈(－2,1)∪(1,2)．当1＜a＜2时，x1＋＋x2＋＝π.∴x1＋x2＝.当－2＜a＜1时，x1＋＋x2＋＝3π，∴x1＋x2＝.【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形〞的特征．例4函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的间隔为，且图象上一个最低点为M(，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥且x∈[0，π]的实数x的取值范围．【解析】(1)由函数图象的最低点为M(，－2)，得A＝2，由x轴上相邻两个交点间的间隔为，得＝，即T＝π，∴ω＝＝2.又点M(，－2)在图象上，得2sin(2×＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－，又φ∈(0，)，∴φ＝.综上可得f(x)＝2sin(2x＋)．(2)将f(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位，得到f1(x)＝2sin[2(x－)＋]，即f1(x)＝2sin2x的图象，然后将f1(x)＝2sin2x的图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin(2·2x)，即g(x)＝2sin4x.由得.那么即.故≤x≤或者者≤x≤.题型四、三角函数的奇偶性与周期性及应用例1函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜.(1)假设cos cosφ－sin sinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，假设函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的间隔等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．【解析】(1)由cos cosφ－sin sinφ＝0得cos(＋φ)＝0.∵|φ|<，∴φ＝.(2)由得＝，∴T＝，ω＝3∴f(x)＝sin(3x＋)．设函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)，那么g(x)＝sin[3(x＋m)＋]＝sin(3x＋3m＋)g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)即m＝＋(k∈Z)∴最小正实数m＝.题型五三角函数的单调性与周期性例2写出以下函数的单调区间及周期：(1)y＝sin；(2)y＝|tanx|.解(1)y＝ sin，它的增区间是y＝sin的减区间，它的减区间是y＝sin的增区间.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的减区间为，k∈Z；增区间为，k∈Z.最小正周期T＝＝π.(2)观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是，k∈Z，减区间是，k∈Z.最小正周期：T＝π.探究进步(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或者者y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原那么是：①把“ωx＋φ(ω>0)〞视为一个“整体〞；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y ＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向一样(反).(2)对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)，其周期T＝，单调区间利用ωx＋φ∈，解出x的取值范围，即为其单调区间.(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象断定.变式训练2(1)求函数y＝sin＋cos的周期、单调区间及最大、最小值；(2)函数f(x)＝4cosxsin －1.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间上的最大值和最小值.解:y ＝sin ＋cos 11cos 4sin 4cos 4sin 42222x x x x =+++ (1)周期为T=242,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈函数的递增区间为(k∈Z)；3242,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈函数的递减区间为(k∈Z) ymax ＝2；ymin ＝－2 (2)f(x)＝4cosxsin －114cos cos )12x x x =+-2cos 2cos 1x x x =+-2cos 22sin(26)x x x π=+=+x ∈,22[,]663x πππ+∈-最大值为2；最小值为－1题型六、三角函数的对称性与单调性及应用例2向量m ＝(sin2x －1，cosx)，n ＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝m n ⋅，x∈R. (1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)求函数f(x)的单调递增区间． 【解析】(1)f(x)＝m·n＝sin2x －1＋2cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋) ∴对称轴方程为：2x ＋＝kπ＋，即x ＝＋(k∈Z)． (2)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得－＋kπ≤x≤kπ＋ ∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)． 【点评】对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)：①假设求y ＝f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求出x ； 假设求y ＝f(x)的对称中心的横坐标，只零令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求出x ； ②假设求y ＝f(x)的单调增区间，只需令2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x ； 假设求y ＝f(x)的单调减区间，只需令2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x. 题型七三角函数的对称性与奇偶性例3(1)f(x)＝sinx ＋cosx(x∈R)，函数y ＝f(x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，那么φ的值是________. (2)假设函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为() A.B.C.D.(1)f (x)＝2sin π()3x +，y ＝f(x ＋φ)＝2sin ()3x πϕ++图象关于x ＝0对称， 即f(x ＋φ)为偶函数．∴＋φ＝＋kπ，k∈Z， 即φ＝kπ＋，k∈Z，所以当k ＝0时，φ＝. (2)A 3cos 4(2)3πϕ⨯+＝3cos 2π(2π)3ϕ++＝3cos 2()0,3πϕ+= ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z， 取k ＝0，得|φ|的最小值为.应选探究进步假设f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，那么当x ＝0时，f(x)获得最大或者者最小值.假设f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，那么当x ＝0时，f(x)＝0. 假设求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x. 假设求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.变式训练3(1)函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝，那么函数g(x)＝asinx ＋cosx 的最大值是()A.B.C.D.由题意得f(0)＝f 10()3π，∴a＝－－.∴a＝－,g(x)＝－sinx ＋cosx ＝sin 2()3x π+， ∴g(x)max＝.(2)假设函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝，函数f′(x)的图象的一个对称中心是，那么f(x)的最小正周期是________.(1)B(2)π 由题设，有π()4f ω＝±，即(a ＋b)＝±，由此得到a ＝b. 又()08f π'=，所以aω(cos sin )88πωπω-＝0，从而tan ＝1，＝kπ＋，k∈Z，即ω＝8k ＋2，k∈Z，而0<ω<5，所以ω＝2， 于是f(x)＝a(sin2x ＋cos2x)＝asin (2)4x π+故f(x)的最小正周期是π.题型八三角函数的值域与最值的求法及应用 例3(1)求函数y ＝的值域；(2)求函数y ＝sinxcosx ＋sinx ＋cosx 的最值；(3)假设函数f(x)＝1cos 24sin()2x x π++－asin ·cos(π－)的最大值为2，试确定常数a 的值．【解析】22sin (1sin )11sin x x x-+（）y=＝2sinx(1－sinx)＝2sinx －2sin2x ＝－2(sinx －)2＋. ∵1＋sinx≠0，∴－1＜sinx≤1.∴－4＜y≤.故函数y ＝的值域为(－4，]．(2)令t ＝sinx ＋cosx ，那么sinxcosx ＝，且|t|≤. ∴y＝(t2－1)＋t ＝(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，ymin ＝－1；当t ＝时，ymax ＝＋. (3)f(x)＝＋asincos ＝cosx ＋sinx ＝sin(x ＋φ)，(其中tanφ＝) 由得＝2，解得a ＝±.【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法． (1)y ＝asinx ＋bcosx 型，可引用辅角化为y ＝sin(x ＋φ)(其中tanφ＝)．(2)y ＝asin2x ＋bsinxcosx ＋ccos2x 型，可通过降次整理化为y ＝Asin2x ＋Bcos2x ＋C. (3)y ＝asin2x ＋bcosx ＋c 型，可换元转化为二次函数． (4)sinxcosx 与sinx±cosx 同时存在型，可换元转化．(5)y ＝(或者者y ＝)型，可用别离常数法或者者由|sinx|≤1(或者者|cosx|≤1)来解决，也可化为真分式去求解．(6)y ＝型，可用斜率公式来解决．例4函数f(x)＝sin2x ＋acos2x(a∈R，a 为常数)，且是函数y ＝f(x)的一个零点． (1)求a 的值，并求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．【解析】(1)由是y＝f(x)的零点得f()＝sin＋acos2＝0，求解a＝－2，那么f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x－)－1，故f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由x∈[0，]得2x－∈[－，]，那么－≤sin(2x－)≤1，因此－2≤sin(2x－)－1≤－1，故当x＝0时，f(x)取最小值－2，当x＝时，f(x)取最大值－1.设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2(－x)满足f(－)＝f(0)，求函数f(x)在[，]上的最大值和最小值．【解析】f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x由f(－)＝f(0)得－·＋＝－1，解得a＝2.∴f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为增函数．当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为减函数．∴f(x)在[，]上的最大值为f()＝2又∵f()＝，f()＝∴f(x)在[，]上的最小值为f()＝.题型九分类讨论及方程思想在三角函数中的应用例题：函数f(x)＝－2asin＋2a＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，(1)求a和b的值.(2)假设a＞0，设g(x)＝f且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．点评①求出2x＋的范围，求出sin(2x＋)的值域.②系数a的正、负影响着f(x)的值，因此要分a>0，a<0两类讨论.③根据a>0或者者a<0求f(x)的最值，列方程组求解.解(1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，又由lgg(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin－1＞1，∴sin＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.三角函数的图象与性质练习一一、选择题1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，以下选项正确的选项是()A．f(x)在(，)上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2【解析】f(x)＝sin2xf(x)在(，)上是递减的，A错；f(x)的最小正周期为π，C错；f(x)的最大值为1，D错；选B.2．假设α、β∈(－，)，那么“α＜β〞是“tanα＜tanβ〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】α、β∈(－，)，tanx在此区间上单调递增．当α＜β时，tanα＜tanβ；当tanα＜tanβ时，α＜β.应选C.3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，那么f(x)的图象()A．关于点(，0)对称B．关于直线x＝对称C．关于点(，0)对称D．关于直线x＝对称【解析】由得ω＝2，那么f(x)＝sin(2x＋φ)设平移后的函数为g(x)，那么g(x)＝sin(2x＋＋φ)(|φ|<)且为奇函数∴φ＝－，f(x)＝sin(2x－)∴图象关于直线x＝对称，选B.4．f(x)＝sinx，x∈R，g(x)的图象与f(x)的图象关于点(，0)对称，那么在区间[0,2π]上满足f(x)≤g(x)的x的取值范围是()A．[，] B．[，]C．[，] D．[，]【解析】设(x，y)为g(x)的图象上任意一点，那么其关于点(，0)对称的点为(－x，－y)，由题意知该点必在f(x)的图象上．∴－y＝sin(－x)，即g(x)＝－sin(－x)＝－cosx，由得sinx≤－cosx⇒sinx＋cosx＝sin(x＋)≤0又x∈[0,2π]∴≤x≤.5．函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cos(ωx＋φ)，假设对任意x∈R，都有f(＋x)＝f(－x)，那么g()＝____.【解析】由f(＋x)＝f(－x)，知y＝f(x)关于直线x＝对称，∴sin(ω·＋φ)＝±1.∴g()＝3cos(ω·＋φ)＝3＝0.6．设函数f(x)＝2sin(＋)，假设对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，那么|x2－x1|的最小值为____.【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立〞，可得f(x1)、f(x2)分别是f(x)的最小值、最大值．∴|x2－x1|的最小值为函数f(x)的半周期，又T＝＝4.∴|x2－x1|min＝2.7．函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，]时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．【解析】(1)f′(x)＝cosx－sinx＝－sin(x－)∴y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin(2x＋)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]∴sin(2x＋)∈[－，1]，∴函数F(x)的值域为[0,1＋]．8．设函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－1，将函数f(x)的图象向左平移α个单位，得到函数y＝g(x)的图象．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)假设0＜α＜，且g(x)是偶函数，求α的值．【解析】(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)g(x)＝f(x＋α)＝sin[2(x＋α)＋]＝sin(2x＋2α＋)，g(x)是偶函数，那么g(0)＝±＝sin(2α＋)，∴2α＋＝kπ＋，k∈Z.α＝＋(k∈Z)，∵0＜α＜，∴α＝.三角函数的图象与性质练习二1.函数f(x)＝sin 图象的对称轴方程可以为() A.x ＝ B.x ＝C.x ＝ D.x ＝解析令2x ＋＝kπ＋(k∈Z)，得x ＝＋(k∈Z)，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x ＝.此题也可用代入验证法来解．答案D2.y ＝sin 的图象的一个对称中心是() A.(－π，0) B.C. D.3.函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝对称，那么φ的可能取值是() A. B.－C. D.二、填空题4.函数y ＝lg(sinx)＋的定义域为____(2k ,2k ]3πππ+(k∈Z)_________. 5.函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全一样.假设x∈[0，]，那么f(x)的取值范围是____32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3___________. 4．函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于________．解析因为f(x)＝2sinωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.答案6.关于函数f(x)＝4sin (x∈R)，有以下命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y ＝4cos ；③y＝f(x)的图象关于点对称；④y＝f(x)的图象关于直线x ＝－对称.其中正确命题的序号是___________.②③解析函数f(x)＝4sin 的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的间隔是＝知①错．利用诱导公式得f(x)＝4cos ＝4cos ＝4cos ，知②正确．由于曲线f(x)与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－代入得f(x)＝4sin ＝4sin0＝0，因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或者者最低点，且与y 轴平行，而x ＝－时y ＝0，点不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．答案②③三、解答题7.设函数f(x)＝sin(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间.解(1)－(2)由(1)得：f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.8.(1)求函数y＝2sin(－<x<)的值域；(2)求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域.解(1)∵－<x<，∴0<2x＋<，∴0<sin≤1，∴y＝2sin的值域为(0,2].(2)y＝2cos2x＋5sinx－4＝2(1－sin2x)＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－22＋.∴当sinx＝1时，ymax＝1，当sinx＝－1时，ymin＝－9，∴y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为[－9,1].三角函数的图象与性质练习三一、选择题1.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，假设f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，那么f的值是()A.－B.C.－D.2.函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，那么ω的最小值等于()A. B. C.2 D.33.函数f(x)＝cos2x＋sin是()A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数二、填空题4.设定义在区间(0，)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，那么线段P1P2的长为___________.5.函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω＝___________.解析因为f(x)＝2sinωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sinω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.答案6.给出以下命题：①函数y＝cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝；③假设α、β是第一象限角且α<β，那么tanα<tanβ；④x＝是函数y＝sin的一条对称轴；⑤函数y＝sin的图象关于点成中心对称图形.其中正确的序号为___________.三、解答题7.假设函数f(x)＝sin2ax－sinax·cosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.(1)求m的值；(2)假设点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标.7.解(1)f(x)＝(1－cos2ax)－sin2ax＝－(sin2ax＋cos2ax)＋＝－sin＋.∵y＝f(x)的图象与y＝m相切，∴m为f(x)的最大值或者者最小值，即m＝或者者m＝.(2)∵切点的横坐标依次成公差为的等差数列，∴f(x)的最小正周期为.T＝＝，a>0，∴a＝2，即f(x)＝－sin＋.由题意知sin＝0，那么4x0＋＝kπ(k∈Z)，∴x0＝－(k∈Z).由0≤－≤(k∈Z)得k＝1或者者2，因此点A的坐标为，.三角函数的图象与性质练习四一、选择题1．函数f(x)＝2sinxcosx是()．A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数解析f(x)＝2sinxcosx＝sin2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．答案C2．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()．A．[－1,1]B.C.D.解析(数形结合法)y＝sin2x＋sinx－1，令sinx＝t，那么有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如下列图，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.答案C3．假设函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么ω＝()．A.B.C．2D．3解析由题意知f(x)的一条对称轴为x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，那么f(x)的周期T＝，从而ω＝.答案B4．函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为()．A．2πB.C．πD.解析依题意，得f(x)＝cosx＋sinx＝2sin.故最小正周期为2π.答案A5．以下函数中，周期为π，且在上为减函数的是()．A．y＝sin B．y＝cosC．y＝sin D．y＝cos解析(挑选法)∵函数的周期为π.∴排除C、D，∵函数在上是减函数，∴排除B.答案A【点评】此题采用了挑选法，表达了挑选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.6．函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的选项是()．A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解析∵y＝sin ＝－cosx ，∴T＝2π，在上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数．答案D二、 填空题7.y=－|sin 〔x+4π〕|的单调增区间为___［kπ+π4，kπ+3π4］〔k∈Z〕_____. 8.要得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数y=3sin2x 的图象向左平移_8π__单位. 9.假设动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，那么MN 的最大值为____.10函数(02x π≤≤)的值域是_____[-1,0]_____. 11.()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，那么ω＝__________．14312、给出下面的3个命题：〔1〕函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；〔2〕函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；〔3〕45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是． 13．假设函数f(x)＝cosωxcos(ω＞0)的最小正周期为π，那么ω的值是________．解析f(x)＝cosωxcos＝cosωxsinωx＝sin2ωx，∴T＝＝π.∴ω＝1.答案114．函数y ＝tan 的图象与x 轴交点的坐标是______．解析由2x ＋＝kπ，k∈Z，得：x ＝－，k∈Z，故交点坐标为(k∈Z)．答案(k∈Z)15．函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋cos(x ＋θ)是偶函数，那么θ的值是________．解析(回忆检验法)据可得f(x)＝2sin ，假设函数为偶函数，那么必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．答案三、解答题16．f(x)＝sinx ＋sin.(1)假设α∈[0，π]，且sin2α＝，求f(α)的值；(2)假设x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．解(1)由题设知f(α)＝sinα＋cosα.∵sin2α＝＝2sinα·cosα＞0，α∈[0，π]，∴α∈，sinα＋cosα＞0.由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα＝，得sinα＋cosα＝，∴f(α)＝.(2)由(1)知f(x)＝sin ，又0≤x≤π，∴f(x)的单调递增区间为.17．设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝.(1)求φ；(2)求函数y ＝f(x)的单调增区间．解(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，又－π＜φ＜0，那么－＜k ＜－，k∈Z，∴k＝－1，那么φ＝－.(2)由(1)得：f(x)＝sin ，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，因此y ＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.18、设函数2()sin()2cos 1468x x f x πππ=--+．〔1〕求()f x 的最小正周期． 〔2〕假设函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值． 解：〔Ⅰ〕()f x =sin cos cos sin cos 46464x x x πππππ--=3cos 424x x ππ-sin()43x ππ- 故()f x 的最小正周期为T=24ππ=8(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -.由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而=sin[]243x πππ--cos()43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为 解法二： 因区间4[0,]3关于x=1的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于x=1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值由〔Ⅰ〕知()f x sin()43x ππ-当223x ≤≤时，6436ππππ-≤-≤因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max 6g π== 19、设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)m x =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 〔1〕务实数m 的值；〔2〕求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合．(3)求函数的单调区间；(4)函数图象沿向量c 平移得到x y 2sin 2=的图象,求向量c 。

§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β； (6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. 2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)32sin α＋12cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( × ) 教材改编题1．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．－210 B.210C ．－7210 D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 2．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ . 答案 12解析 原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12. 3．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.题型一 两角和与差的三角函数公式例1 (1)(2022·包头模拟)已知cos α＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6等于() A.13 B.12C.22D.33 答案 D解析 ∵cos α＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1，∴cos α＋12cos α＋32sin α＝32cos α＋32sin α＝3⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝33.(2)化简：①sin x ＋3cos x ＝ .答案 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3解析 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ②24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝ .答案 22sin ⎝⎛⎭⎫7π12－x解析 原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫7π12－x . 教师备选1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22答案 B解析 因为sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6sin π6＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6sin π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1. 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝33. 2．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－112答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，tan α＝－34， 又tan(π－β)＝12， ∴tan β＝－12， ∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋⎝⎛⎭⎫－34×⎝⎛⎭⎫－12＝－211. 思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1 (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小值为( ) A. 2B ．－2C ．－ 2 D. 3答案 C解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 ＝sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4＋sin 2x cos π4－cos 2x sin π4＝2sin 2x . ∴y 的最小值为－ 2.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3cos α，tan β＝33，则tan(α＋β)＝ . 答案 －33 解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝3cos α，所以－sin α＝3cos α，故tan α＝－3， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3＋331＋3×33 ＝－2332＝－33.题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例2 (1)(多选)已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( ) A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝13C ．β－α＝－π3D ．β－α＝π3答案 AD解析 由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝12，即选项A 正确，B 错误；∵γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0<β－α<π2，∴β－α＝π3，即选项D 正确，C 错误．(2)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14 B.13C.12 D.53答案 B解析 ∵C ＝120°，∴tan C ＝－ 3.∵A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝－tan C .∴tan(A ＋B )＝3，tan A ＋tan B ＝3(1－tan A tan B )，又∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13.延伸探究 若将本例(2)的条件改为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C 等于() A ．45° B ．135°C ．150°D ．30°答案 A解析 在△ABC 中，因为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1＝－tan C ， 所以tan C ＝1，所以C ＝45°.教师备选1．若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ . 答案 2解析 tan ⎝⎛⎭⎫－3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β， 所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .答案 －12解析 ∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12， ∴sin(α＋β)＝－12. 思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 跟踪训练2 (1)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 D 解析 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°) ＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增， 所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .答案 4解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4. 题型三 角的变换问题例3 (1)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫π3，5π6，若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－5π6＝513，则sin(α－β)的值为( ) A.1665B.3365C.5665D.6365答案 A解析 由题意可得α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π， β－5π6∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－5π6＝－1213， 所以sin(α－β)＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－⎝⎛⎭⎫β－5π6 ＝－45×513＋⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－1213 ＝1665. (2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .答案 －1 12解析 ∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan (α＋2β)－tan β1＋tan (α＋2β)tan β＝2－(－3)1＋2×(－3) ＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝－1－(－3)1＋(－1)×(－3)＝12.教师备选(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43， tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β) ＝－211. 思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等．跟踪训练3 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝ . 答案 π4 解析 因为α，β均为锐角， 所以－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－1010， 所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55， 所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4. (2)已知0<α<π2<β<π，tan α＝43，cos(β－α)＝210，则sin α＝ ，cos β＝ . 答案 45 －22解析 因为0<α<π2，且tan α＝43， 所以sin α＝45，cos α＝35， 由0<α<π2<β<π， 则0<β－α<π，又因为cos(β－α)＝210， 则sin(β－α)＝7210， 所以cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α ＝210×35－7210×45＝－22. 课时精练1．(2022·北京模拟)tan 105°等于( )A ．2－ 3B ．－2－ 3C.3－2 D ．－ 3答案 B解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝4＋23－2＝－2－ 3.2．已知点P (x ，22)是角α终边上一点，且cos α＝－13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α等于() A ．－3＋226 B.3＋226C.3－226D.22－36答案 A解析 因为点P (x ，22)是角α终边上一点，则有cos α＝x x 2＋(22)2＝x x 2＋8，而cos α＝－13，于是得x x 2＋8＝－13，解得x ＝－1，则sin α＝22x 2＋8＝223，因此，cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos π6cos α－sin π6sin α＝32×⎝⎛⎭⎫－13－12×223＝－3＋226，所以cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－3＋226.3.sin 10°1－3tan 10°等于( )A ．1 B.14C.12 D.32 答案 B解析 sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10° ＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14.4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于() A.3π4 B.π4或3π4C.π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )答案 C解析 由sin α＝55，cos β＝31010， 且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010 ＝22， 又0<α＋β<π，故α＋β＝π4. 5．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12答案 BCD解析 对于A ，方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，A 错误． 对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12，C 正确．对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12，D 正确． 6．(多选)已知cos(α＋β)＝－55，cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( ) A ．sin 2α＝1213B ．cos(α－β)＝19565C ．cos αcos β＝8565D ．tan αtan β＝118答案 AC解析 因为cos(α＋β)＝－55， cos 2α＝－513，其中α，β为锐角， 所以sin 2α＝1－cos 22α＝1213，故A 正确； 因为sin(α＋β)＝255， 所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－513×⎝⎛⎭⎫－55＋1213×255＝29565，故B 错误； cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝12⎝⎛⎭⎫－55＋29565＝8565， 故C 正确；sin αsin β＝12[cos(α－β)－cos(α＋β)] ＝12⎣⎡⎦⎤29565－⎝⎛⎭⎫－55＝21565， 所以tan αtan β＝218，故D 错误． 7．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．8．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 －5665解析 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以3π2<α＋β<2π， π2<β－π4<3π4， 因为sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213， 所以cos(α＋β)＝45， cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665. 9．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值． 解 ∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2， π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. 10．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解 (1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2. 又∵tan(α－β)＝－13＜0， ∴－π2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050.11．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．－3 B.13C ．－13D ．3答案 C解析 由cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α ＝1－21－1×(－2)＝－13. 12．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．315sin x ＋35cos x ＝35sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 C ．f (x )＝sin x 2＋cos x 2的最大值为2 D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1答案 AD解析 对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ， 315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故B 错误； 对于C ，f (x )＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4， 所以f (x )的最大值为2，故C 错误；对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．13．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝ .答案 －3π4解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β ＝－3a 1－(3a ＋1)＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β<0，tan α·tan β>0， 所以tan α<0且tan β<0，所以－π2<α<0且－π2<β<0， 即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4. 14．(2022·阜阳模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．答案 [－1，1]解析 由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. ∵π2≤α≤π， ∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．15．(2022·河北五校联考)已知x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π8 答案 B解析 由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y 1＋tan x tan y＝2tan y 1＋3tan 2y ＝21tan y＋3tan y ≤33， 当且仅当tan y ＝33时等号成立， 由于f (x )＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 又x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则x －y 的最大值为π6. 16.如图，在平面直角坐标系Oxy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知S △OAM＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解 (1)由题意知，|OA |＝|OM |＝1，因为S △OAM ＝12|OA |·|OM |sin α＝55， 所以sin α＝255， 又α为锐角，所以cos α＝55. 因为点B 是钝角β的终边与单位圆O 的交点，且点B 的纵坐标是210， 所以sin β＝210，cos β＝－7210， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×⎝⎛⎭⎫－7210＋255×210＝－1010. (2)因为sin α＝255，cos α＝55， cos(α－β)＝－1010， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝255×⎝⎛⎭⎫－7210－55×210＝－31010， 所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－22， 因为α为锐角，sin α＝255>22， 所以α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.。

第一部分：基本知识点回顾第一节：三角函数概念1. 角的概念2. 象限角第I 象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k k ,222ππαπα 第II 角限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,222ππαππα 第III 象限角的集合： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,2322ππαππα 第IV 象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,)1(2232παππα3. 轴线角4. 终边相同的角①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {}Z k k ∈+⨯=,360|αββ ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,180| ββ;③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ;④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ.5. 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角 角度制与弧度制的互化：π=︒1801801π=︒ 1弧度︒≈︒=3.57180π6.弧度制下的公式 扇形弧长公式r =α，扇形面积公式211||22S R R α==，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

7. 任意角的三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+，则sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=，注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.（2）正弦、余弦、正切函数的定义域8. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦第二节：同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、基础知识（一） 同角三角函数的基本关系式： ①平方关系；1cos sin 22=+αα ②商式关系；αααtan cos sin = 任意角三角函数定义单位圆定义： 坐标点定义： 象限角的三角函数值的符号轴线角的三角函数值 三角函数线 同角三角函数的基本关系式 诱导公式三角函数的图像与性质 定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性（最值）、对称性三角函数的图像 三角函数的性质 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像 五点作图法 三角函数的图像变换相关概念的物理意义 先相位后周期：先周期后相位：三角恒等变换1.和、差角公式；2.二倍角公式；3.升、降幂公式；4.半角公式；5.辅助角公式（收缩代换）. 解三角形正弦定理 余弦定理及推论 解三角形的四种类型 三角形的面积公式 角的有关概念任意角 定义 分类终边相同角的概念 按旋转方向分： 按终边位置分：弧度制 定义及规定 弧度与角度的换算特殊角的度数与 弧度数的对应表 扇形公式③倒数关系。

高三数学第一轮复习：三角函数的最值与给角求值知识精讲【本讲主要内容】三角函数的最值与给角求值y ＝a sin x +b cos x 型函数最值的求法、已知三角函数求角。

【知识掌握】【知识点精析】1. y ＝a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y ＝（x +ϕ） 2. y ＝a sin 2x +b sin x +c 型常通过换元法转化为y ＝at 2+bt +c 型3. y ＝dx c bx a ++cos sin 型（1）当x R ∈时，将分母与y 乘转化变形为sin （x +ϕ）＝()f y 型（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R 时，必须这样作） 4. 已知三角函数求角：求角的多值性法则： 1. 先决定角的象限。

2. 如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ；如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x 。

3. 由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。

【解题方法指导】例1. 求函数y ＝cot2xsin x +cot x sin2x 的最值。

分析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题。

解：y ＝x x sin cos 1+·sin x +x x sin cos ·2sin x cos x ＝2（cos x +41）2+87∵sin x ≠0，∴cos x ≠±1 ∴当cos x ＝－41时，y 有最小值87，无最大值 点评：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件。

例2. 求函数y ＝xxcos 2sin 2--的最大值和最小值。

分析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）。

解法一：去分母，原式化为sin x －y cos x ＝2－2y ，即sin （x －ϕ）＝2122yy +-故21|22|y y +-≤1，解得374-≤y ≤374+ ∴y max ＝374+，y min ＝374- 解法二：令x 1＝cos x ，y 1＝sin x ，有x 12+y 12＝1它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P （2，2）以及该圆上的动点M （cos x ，sin x ）的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可。

高三新数学第一轮复习第二十二讲—任意角的三角函数及诱导公式一．知识整合：1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。

旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。

3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。

角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=。

弧度与角度互换公式：1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝180π≈0.01745（rad ）。

弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第22讲任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．(2)象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．弧度制的相关概念(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． (2)弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②记法：弧度单位用符号rad 表示，读作弧度．如图，在单位圆O 中，AB ︵的长等于1，∠AOB 就是1弧度的角． (3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°．(4)扇形的弧长公式：l ＝α·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12α·r 2.其中r 是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．3．三角函数的概念三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，α∈R ，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α➢考点1 角的概念与表示1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（）A．第一象限角都是锐角B．三角形的内角必是第一､二象限的C．不相等的角终边一定不相同D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关【答案】D【解析】解：对于A，第一象限的角不一定是锐角，所以A错误；对于B ，三角形内角的取值范围是(0,)π，所以三角形内角的终边也可以在y 轴的非负半轴上，所以B 错误；对于C ，不相等的角也可能终边相同，如2π与52π，所以C 错误；对于D ，根据角的定义知，角的大小与角的两边长度大小无关，所以D 正确． 故选：D ．2．（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A ．245k π+，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈ C ．360315k ⋅-，k Z ∈D ．54k ππ+，k Z ∈【答案】C【解析】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误； 又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈， 所以C 正确． 故选：C ．3．（2022·全国·高三专题练习）角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】∵角α的终边在第一象限， ∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈，当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限， 当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限，当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限， 综上，角α的终边不可能落在第四象限， 故选：D. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（ ） A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D 【解析】解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D.2．（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈，则α的终边在（ ） A ．第一、三象限B ．第一、二象限 C ．第二、四象限D ．第三、四象限 【答案】A【解析】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈，其终边在第三象限； 当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈，其终边在第一象限. 综上，α的终边在第一、三象限. 故选：A.3．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）下列与角23π的终边不相同的角是（ ）A ．113πB ．2kπ－23π(k ∈Z )C ．2kπ＋23π(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )【答案】ABD 【解析】与角23π的终边相同的角为22()3k k Z ππ+∈，其余三个角的终边与角23π的终边不同． 故选：ABD.4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（ ） A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒ 【答案】AC【解析】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈， 故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确， 令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ；故BD 错误. 故选：AC.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 【答案】BD【解析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知， 选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意； 选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称. 故选：BD.6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】BD【解析】解：由已知得2222k k ππθπ-<<，k Z ∈，所以4k k ππθπ-<<，k Z ∈，当k 为偶数时，θ在第四象限，当k 为奇数时，θ在第二象限，即θ在第二或第四象限． 故选：BD ．➢考点2 弧度制及其应用(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． [典例]1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A 、B 、C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是______．【答案】223π-【解析】由条件可知，弧长23BC A AB C π===，等边三角形的边长2323AB BC AC ππ====，则以点A 、B 、C 为圆心，圆弧,,AB BC AC 所对的扇形面积为1222233ππ⨯⨯=，中间等边ABC 的面积12332S =⨯⨯=所以莱洛三角形的面积是23232233ππ⨯-=-. 故答案为：223π-2．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =. 由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长2222290060C r l rl ππ=+≥=， 当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立，所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =， 所以()1152BD BD cm π+=， 所以()3152BD cm π=， 故()10BD cm π=. 故答案为：10π [举一反三]1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为2π，则母线长为（ ） A ．4B ．8C ．10D ．16【答案】A【解析】如图，AD 弧长为6π，BC 弧长为8π，因为圆心角为2π，6122OA ππ==，8162OB ππ==，则母线16124AB =-=. 故选：A.2．（2022·山东济南·二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，AC 和BC 所在圆的圆心都在线段AB 上，若rad ACB θ∠=，AC b =，则AC 的长度为（ ）A ．2sin 2b θθB ．2cos 2bθθC ．sin 2b θθD ．2cos 2bθθ【答案】A【解析】过C 作CD AB ⊥，设圆弧AC 的圆心为O ，半径为R ，则AO CO R ==，在ACD △中，2ACD θ∠=，所以sin sin 22AD AC b θθ=⋅=，cos cos 22CD AC b θθ=⋅=，所以在直角三角形CDO 中，222CD DO CO +=，所以222cos sin 22b R b R θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2sin2b R θ=，而cos2sin =2sin cos =sin 222sin2b CDCOD b COθθθθθ∠==， 所以COD θ∠=，所以2sin2b AC R θθθ==.故选：A.3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）2，母线长为2其侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A ．4πB ．34πC ．2πD ．π 【答案】C【解析】由题设，底面周长2l π=，而母线长为2 根据扇形周长公式知：圆心角2222ππθ=. 故选：C.4．（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A ，B 两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A ，前轮上与点A 接触的地方标记为点C ，然后推着自行车沿AB 直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C 与地面接触了10次，当前轮与点B 接触时，标记点C 在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m ，则A ，B 两点之间的距离约为（ ）（参考数值： 3.14π≈）A ．20.10mB ．19.94mC ．19.63mD ．19.47m 【答案】D【解析】解：由题意，前轮转动了1103⎛⎫+ ⎪⎝⎭圈， 所以A ，B 两点之间的距离约为11020.3 6.2 6.2 3.1419.47m 3ππ⎛⎫+⨯⨯=≈⨯≈ ⎪⎝⎭，故选：D.5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面4⨯=径周．现有一宛田的面积为1，周为2，则径是__________．【答案】2【解析】根据题意，因为扇形面4⨯=径周，且宛田的面积为1，周为2，所以14径2⨯=，解得径是：2. 故答案为：2.6．（2022·湖南·雅礼中学二模）坐标平面上有一环状区域由圆223x y +=的外部与圆224x y +=的内部交集而成.某同学欲用一支长度为1的笔直扫描棒来扫描此环状区域的x轴上方的某区域R .他设计扫描棒黑､白两端分别在半圆()22130C x y y +=≥：､()22240C x y y +=≥：上移动.开始时扫描棒黑端在点()3,0A，白端在2C 的点B . 接着黑､白两端各沿着1C ､2C 逆时针移动，直至白端碰到2C 的点()2,0B '-便停止扫描，则B 坐标___________；扫描棒扫过的区域R 的面积为___________.【答案】 ()3,1B512π 【解析】由题意)3,0A ，1AB =，设(),B x y ，则点B 在()22240C x y y +=≥：上.则()()22224031x y y x y ⎧+=≥-+=，解得3,1x y == 所以()3,1B当白端B 在2C 上移动，碰到2C 的点()2,0B '-时，黑端在点A 在1C 上移动，设移动到点A '位置.则扫描棒扫过的区域R 为如图所示的阴影部分.设()00,A x y '则()()220022003021x y y A B x y ⎧+=≥⎪⎨=++=''⎪⎩，解得0033,22x y =-=，即332A ⎛'- ⎝⎭ 连接,A O OB ',在OA B ''△中，1,3,2A B OA OB ''''==满足222A B OA OB ''''+=，则2OA B π''∠=,所以11313222OA B SA B OA '''''=⨯=⨯⨯=由()()3,0,3,1AB,则OAB 为直角三角形，则11331222OABSOA AB =⨯⨯=⨯⨯=则30BOA ∠=︒,扇形OAC 与扇形OA C ''的面积为()23033604ππ⨯=区域R 的面积为OA B OABBB CC OA C OAC S SS SS ''''''--++-扇环扇形扇形()2215033523360422412ππππ︒⎡⎤=⨯-+-+-=⎢⎥⎣⎦︒故答案为：()3,1B ；512π➢考点3 三角函数的定义[名师点睛]1．利用三角函数的定义求三角函数值时，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．2．已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．1．（2022·山东潍坊·二模）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，且121x x -=，则tan α=（ ） A ．2B ．12C ．2-D ．12- 【答案】C【解析】由已知得，因为点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，所以直线AB 的斜率为12242k x x -==--，所以，明显可见，α在第二象限，tan 2α.故选：C2．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角α的终边过点P （8m ，3-），且3tan 4α=，则m 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．【答案】A 【解析】∵33tan 84m α-==，∴12m =-，故选：A.3．（2022·山东枣庄·高三期末）θ为第三或第四象限角的充要条件是（ ）． A ．sin 0<θB ．cos 0<θC ．sin tan 0θθ<D ．cos tan 0θθ< 【答案】D【解析】对于A ：第三或第四象限角，以及终边在y 轴负半轴，故A 错误；对于B ：第二或第三象限角，以及终边在x 轴负半轴，故B 错误； 对于C ：第二或第三象限角，故C 错误； 对于D ：第三或第四象限角，故D 正确. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A【解析】由题设43sin ,cos 55αα==-，而4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-. 故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知α是第四象限角，(3,)P y 是角α终边上的一个点，若3cos 5α=，则y =（ ） A ．4B ．-4C ．4±D ．不确定 【答案】B【解析】依题意α是第四象限角，所以0y <，3cos 540y y α⎧==⎪⇒=-⎨⎪<⎩. 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知第二象限角θ的终边上有两点()1,A a -，(),2B b ，且cos 3sin 0θθ+=，则3a b -=（ ）A ．7-B ．5-C ．5D ．7 【答案】D【解析】由cos 3sin 0θθ+=得：sin 1tan cos 3θθθ==-， 由三角函数定义知：21tan 3a bθ=-==-，解得：13a =，6b =-，3167a b -=+=∴. 故选：D.4．（2022·江苏·高三专题练习）点P 从(1,0)点出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A ．12⎛ ⎝⎭B ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意可知1r =，根据三角函数的定义可知1cos32x r π==，sin 3y r π==所以点Q 的坐标是12⎛ ⎝⎭.故选：A5．（2022·海南·模拟预测）已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（ ）A ．．【答案】A【解析】因为α是第二象限角， 所以sin 0α>，cos 0α<，由sin tan 3cos ααα==-，22sin cos 1αα+=，可得：cos α=. 故选：A.6．（2022·浙江·高三专题练习）若02πα-<<，则()sin ,cos Q αα所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】∵02πα-<<，∴cos 0,sin 0αα><，∴点()sin ,cos Q αα在第二象限． 故选：B ．7．（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且coscos22αα=-，则角2α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】C【解析】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈， 所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角； 当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.； 综上所述：2α为第一象限角或第三象限角，因为cos cos 22αα=-，所以cos 02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．8．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点(3,)A y ，且()4sin 5πθ+=，则tan θ=____________． 【答案】43-【解析】角θ的终边过点(3,)A ysin θ∴=cos θ=()4sin 5πθ+=4sin 5θ∴-= 即4sin 05θ=-<∴点A 在第四象限， 22453yy ∴=-+ 解得：4y =（舍去）或4y =- 4tan 3y x θ∴==-. 故答案为：43-.9．（2022·福建·莆田二中模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分∠AOC ，B （35，45），则点C 的横坐标为___________. 【答案】725-【解析】由题意可知圆O 2234155⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设AOB BOC α∠=∠= ，由题意可知43sin ,cos 55αα== ，∴点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=- ； 故答案为：725-. 10．（2022·全国·高三专题练习）设点P 是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置0(0,1)P 出发，沿单位圆顺时针方向旋转角(0)2πθθ<<后到达点1P ，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角3π到达点2P ，若点2P 的纵坐标是12-，则点1P 的坐标是___________. 【答案】31()2【解析】解：初始位置0(0,1)P 在2π的终边上，1P 所在射线对应的角为2θπ-， 2P 所在射线对应的角为6πθ-，由题意可知，1sin()62πθ-=-， 又(,)636πππθ-∈-， 则66ππθ-=-，解得3πθ=，1P 所在的射线对应的角为26ππθ-=，由任意角的三角函数的定义可知，点1P 的坐标是(cos ,sin )66ππ，即1)2．故答案为：1)2。