新人教版九年级上册数学[随机事件和概率--知识点整理及重点题型梳理]

第二十五章概率初步知识点总结25.1 概率1.随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：2.可能性大小（1）理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．3.概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．25.2 用列举法求概率1.概率的公式（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．2. 几何概型的概率问题是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P=g的测度G 的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．3.列举法和树状法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数总情况数．25.3 利用频率估计概率1. 利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．2.模拟实验（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验．（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可．。

2024九年级数学上册“第二十五章概率初步”必背知识点一、随机事件与概率1. 随机事件定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

对比：与随机事件相对的是确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件。

必然事件是事先能肯定它一定会发生的事件；不可能事件是事先能肯定它一定不会发生的事件。

2. 概率的定义一般定义：在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m/n稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A)=p。

取值范围：概率的取值范围是0≤p≤1。

特别地，P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0。

二、概率的计算方法1. 理论概率在一次试验中，如果包含n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m/n。

2. 列举法求概率列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，常用列表法列出所有可能的结果，再求出概率。

树状图法：当试验涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。

三、用频率估计概率原理：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n 稳定于某一个常数p，那么可以认为事件A发生的概率为p。

即，频率可以作为概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。

四、概率的应用与理解1. 概率的意义概率是对事件发生可能性大小的量的表现，它反映了随机事件的稳定性和规律性。

2. 游戏公平性判断游戏公平性需要计算每个事件的概率，并比较它们是否相等。

如果概率相等，则游戏公平；否则，游戏不公平。

五、综合应用概率知识在解决实际问题中的应用：如抽奖、天气预测、投资决策等领域的概率计算和分析。

示例题目1. 理论概率计算例题：从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃的概率。

解析：一副扑克牌共有54张 （包括大王和小王），其中红桃有13张。

因此，抽到红桃的概率为P=13/54。

2. 列举法求概率例题：一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同。

预习九年级知识点: 25概率一、知识框架二、重点、难点:在具体情境中了解概率意义、对频率与概率关系的初步理解。

四、知识点、概念总结1.随机事件: 在随机试验中, 可能出现也可能不出现, 而在大量重复试验中具有某种规律性的事件, 简称事件。

随机事件通常用大写英文字母A.B.C等表示。

2.特殊的事件必然事件记作Ω, 必然发生。

不可能事件记作Φ, 不可能发生。

3.概率：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。

人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。

5.列举法：从逻辑上进行分析并将其本质内容全面地一一地罗列出来的手段，再针对列出的项目一一提出改进的方法。

列举法一种方式为树状图, 如下: P136列举法另一种方式为图表, 如下:第2个1 2 3 4 5 6AC D EH I H I H IBC D EH I H I H I甲乙丙（具体图表意义请参照初中数学九年级上册人教版课本P135页）4.频率与概率的区别与联系从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近, 说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.5.频率估计概率:历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.历史上数学家做掷币试验的数据统计表说明：只要试验的次数n足够大, 频率就可以作为概率的估算值！。

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称：随机事件与概率初步：随机事件】1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.【 391875 名称：随机事件与概率初步：经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A．B．C．D．【答案】D.【 391875 名称：随机事件与概率初步：例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。

九年级上册概率知识点概率是数学中一个重要的概念，它是对某个事件发生的可能性的度量。

在九年级上册数学课程中，概率是一个重要的知识点，它涉及到随机事件、样本空间、事件的计数等内容。

本文将对九年级上册数学课程中的概率知识点进行详细介绍。

一、随机事件和样本空间1. 随机事件：随机事件是在一定条件下可能发生的现象或结果。

例如掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上分别是两个随机事件。

2. 样本空间：样本空间是指一个随机实验中所有可能结果的集合。

对于掷一枚硬币的实验，样本空间为{正面, 反面}。

二、概率的基本性质1. 概率的取值范围：概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

2. 互余事件的概率之和为1：互余事件是指在同一随机实验中，所有可能结果与某个事件的对立事件的结果构成的两个事件。

例如在掷一枚硬币的实验中，正面朝上和反面朝上是互余事件，它们的概率之和为1。

三、计算概率的方法1. 等可能性：当随机实验的每个结果发生的可能性都相同时，可以使用等可能性计算概率。

例如掷一枚均匀的骰子，计算得到点数为4的概率为1/6。

2. 频率：通过长期观察和实验来确定概率。

例如进行一系列掷骰子的实验，记录每个点数出现的次数，通过次数除以总实验次数来计算概率。

3. 排列组合：对于复杂的事件，可以使用排列组合的方法计算概率。

例如从52张扑克牌中抽取5张，计算得到抽到一个顺子的概率。

四、条件概率条件概率是指在某个已知事件发生的条件下，其他事件发生的概率。

例如在一副扑克牌中，已知抽到了一张红色的牌，求抽到一张红心的概率。

五、独立事件和互不独立事件1. 独立事件：两个事件相互独立，表示两个事件之间的发生没有影响。

例如掷一枚硬币和抛一颗骰子是两个独立事件，它们的结果不会互相影响。

2. 互不独立事件：两个事件相互影响，一个事件的发生会影响另一个事件的发生。

例如从一副扑克牌中连续抽两张牌，第一次抽到一张红桃后，第二次的抽到红桃的概率就会受到影响。

九上概率知识点总结一、基本概念1.1概率的概念概率是描述随机现象发生可能性大小的数学工具，它用来描述事件发生的可能性大小，并且是一个介于0和1之间的实数。

1.2随机试验和随机事件随机试验是指每次都可能得到不同结果的试验，而随机事件是指随机试验的结果。

1.3样本空间和事件样本空间是指随机试验所有可能结果的集合，而事件是指样本空间中的某些结果的集合。

1.4事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小，通常用P(A)来表示，其中A是事件的名称。

二、基本概率公式2.1概率的基本性质概率的基本性质包括非负性、规范性和可列可加性三个方面。

2.2概率的加法公式对于两个事件A和B，它们的并的概率用P(A∪B)表示，而对于互斥事件A和B，P(A∪B) = P(A) + P(B)。

2.3概率的乘法公式对于两个事件A和B，它们的交的概率用P(A∩B)表示，而对于相互独立的事件A和B，P(A∩B) = P(A) * P(B)。

2.4全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式用于描述条件概率的计算，它们分别为P(A) = ΣP(A|B) * P(B)和P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)。

2.5概率的计算方法概率的计算方法包括频率法、古典概率法和几何概率法三种。

三、条件概率3.1条件概率的概念条件概率是指在给定某一条件下某事件发生的可能性大小，通常用P(A|B)表示，其中A 是事件的名称，B是条件事件的名称。

3.2独立事件和相关事件如果事件A的发生不受事件B的影响，那么事件A和事件B就是相互独立的，否则就是相关的。

3.3贝叶斯概率贝叶斯概率是通过计算事件的条件概率来形成对事件发生可能性的估计，其计算方法为P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)。

四、随机变量和概率分布4.1随机变量的概念随机变量是指随机试验结果的数值化表达，它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。

4.2概率质量函数和概率密度函数对于离散型随机变量，它们的概率分布用概率质量函数来描述，而对于连续型随机变量，它们的概率分布用概率密度函数来描述。