《结构力学教学课件》§6-4 静定结构在荷载作用下的位移

4
4.1 结构位移计算的目的
计算结构位移的目的主要有如下几个方面：
01
03
02
材料的受力在弹性范围内，应力与应变的关系符合胡克定律； 结构的位移(或变形)是微小的。
应该指出的是本章研究的结构仅限于线弹性变形体结构，即结构必须具备如下条件：
4.2 变形体的虚功原理
添加标题
对于线性变形结构，在任一位置上的△x和作用力Px之间均保持线性关系，即有
4.5 图 乘 法
4.6 静定结构在支座移动时位移计算
4.7 功的互等定理
小 结
本章学习要求
理解静定结构位移计算的重要性。
了解实功、虚功、广义力、广义位移、虚功原理等概念和公式推导。
熟练掌握荷载作用下用单位荷载法，并采用图乘法计算结构位移；对于支座移动时结构位移计算只要求了解。
理解弹性体系的几个互等定理及其应用。
1
2
3
4
5
【例4.4】简支梁AB，作用有均布荷载如图4.6(a)所示，梁的EI为常数。求跨中C点的挠度△cr。
解：(1)画实际荷载作用下的弯矩图 如图4.6(b)所示。
图4.6
(2)在跨中C点加虚设单位力P=1，其弯矩图如图4.6(c)所示。
(3)计算ω，yc注意要分段。
(4)计算△cr。
符号规定如下：当 与实际支座位移c的方向一致时，所得乘积取正值，反之取负值。
由以上可见，不论属于哪种情况，虚设单位荷载必须是与所求广义位移相应的单位广义力。计算结构位移的基本步骤是：
(1)在欲求位移处沿所求位移方向虚设广义单位力，然后分别列出各杆段内力方程。
(2)列实际荷载作用下各杆段内力方程。
(3)将各内力方程分别代入式，分段积分后再求总和即可计算出所求位移。

x
dx
M(x)
α
x
x0
M
y0
l M ( x) M ( x)dx
tg x M( x)dx l M图静矩 Sy tgα A x0
A y0
以上简化Mohr积分的方法
——图乘法
1. 二图同侧为＋，反之为－ ；
2. 其中一图必须是直线；
y0 须取自直线图
第26页/共52页
二.图形面积和形心
• 一次斜直线
F1
M T
N Q
变形体系的两状态:
外力与内力 （平衡）
彼此独立
位移与变形（连续协调） 互不无关
（荷载/支座移动/变温…）
变形体的虚功原理:
ds
∆
d
d
d
外虚功 =
（荷载/反力在 位移上作功）
内虚功 （内力在 变形上作功）
单位荷载求变形体系位移
ds d
Nd Qd Md Td
第10页/共52页
Rk Ck
MM EI
ds
ห้องสมุดไป่ตู้
NN EA
l
TT GIt
d
s
应用莫尔定理求位移时， 需计算下列形式积分：
M(x)M(x)dx
l
M(x)、M(x) 中，只要有一是线性（一次函数） ——以上积分即可简化：
一.方法
下设 M(x)图形是直线,
（直杆M(x)图必定是直线）
第25页/共52页
y y
O
M(x)
（M图形面积） M CA
1/l
l B
AB
AB
W
1 l
C
1 l
B
B
（力偶矩=1）
C B

dWi Md FQd FNd M ds FQ 0ds FNds
(M FQ 0 FN )ds
整根杆件的内虚功为：
Wi dWi (M FQ 0 FN )ds
14
根据虚功方程W=Wi，所以有：
q(s)w(s)ds FPii FRKCK
ΔCV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
19
2）正负号规则：
若 M 及 d ds 使杆件同侧纤维伸长，则乘积为
正，反之为负；
乘积 FQγ0ds 及 FNεds 的正负号分别由力与应变的 正负号确定。FQ 使隔离体产生顺时针转动为正，反
之为负，γ0以顺时针方向为正，反之为负；FN以拉力
=
1 B
M1, FQ1, FN1
+
M2, FQ2, FN 2
c) 虚设单位荷载1
d) 虚设单位荷载2 27
虚设单位载荷如上图c) ，d)所示。
1 AH
M1 ds
FQ1 0ds
FN1 ds
1 BH M2 ds FQ2 0ds FN 2ds
6
2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件
求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求 得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。
如右图示单跨 梁，若只满足平衡 条件，内力可以由 无穷多组解答，例 如FyB可以取任意值 。
9kN.m
12kN
A
B
7.5kN.m
2m 2m
FyB 3.75kN
7
三、实功和虚功：
在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷
载FP1=1，则虚功方程为 ：
FP1 FRKCK (M FQ 0 FN )ds K

0 2 8EI
l ql 4 0 8EI
（↓）
正号表示BV的方向与所设单位力方向一致，即位移是向下的。
（2）求角位移θB
在B截面虚加一个单位力偶
M
＝1
e
(图c)，在虚拟状态中，梁
的弯矩方程为 M 1 (0≤x<l)
静定结构
由虚功原理得
B
l
MMds EI
1 EI
l
1
1
qx2
dx
qx3
0 2
CH
FNFNl EA
12 2 EA
Fa
3.83 Fa EA
（→）
所得结果为正，表示CH的方向与所设单位力方向一致， 即水平向右。
静定结构
课堂任务 试计算图示结构C、D两点间距离的改变。设梁的弯 曲刚度EI为常数。
静定结构
解: 在实际状态(图a)中，链杆的轴力均为零。
静定结构
由于对称性，可只计算半个结构的内力。 考虑左半部分，取 图示的研究对象，求得弯矩方程为 ：
MMds + FNFNl
l EI
EA
➢ 上述各种情况下位移计算公 式，就是结构在不同荷载作 用下的位移计算公式。希望 同学们掌握。
静定结构的位移
静定结构在荷载作 用下的位移计算
主要内容
静定结构在荷载作用下的位移计算实例分析
静定结构
同学们好，上节课给大家介绍了由虚功原理可以得到的
FNFNds MMds FSFSds
l EA
l EI
l GA
➢ 单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移公式。当计算结果为正 时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果 为负时，则相反。
➢ 对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影 响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为: