高中数学第3章不等式整合提升课件苏教版必修5

【金版学案】-高中数学 第3章 不等式章末知识整合 苏教版必修5题型1 转化与化归思想的应用例1 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．分析：“范围”问题是数学中的常见问题，一般可将“范围”看成函数定义域、值域，或看成不等式的解集等．解析：方法一(看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1(显然a≠1)，且a ＞1.∴ab ＝a×a ＋3a －1＝（a －1）2＋5（a －1）＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9，当且仅当a －1＝4a －1， 即a ＝3时取等号．又a ＞3时，(a －1)＋4a －1＋5单调递增．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法二(看成不等式的解集) ∵a ，b 为正数，∴a ＋b≥2ab. 又ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab≥2ab ＋3， 即(ab)2－2ab －3≥0. 解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)， ∴ab ≥9，即ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法三 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（t －3）2－4t≥0，a ＋b ＝t －3＞0，ab ＝t ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t≤1或t≥9，t ＞3，t ＞0，解得t≥9，即ab≥9， ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． ►归纳拓展不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解．由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的，这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．►变式迁移1．如果关于x 的不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是________．解析：∵4x 2＋6x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0恒成立，从而原不等式可以利用不等式的基本性质，等价转化为2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3(x∈R)．即2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )＞0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(6－2m )2－4×2(3－m )＝4(m －1)·(m －3)＜0，解得1＜m ＜3.答案：(1，3) 2．若关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0的解集中所含整数只有－2，则k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞2，（x ＋k ）（2x ＋5）＜0.要使解集中所含整数只有－2，则必须－2＜－k ≤3. 即－3≤k ＜2. 答案：[－3，2)题型2 函数与方程思想的应用例2 设a∈R，关于x 的一元二次不等式7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＜0的解集是{x |α＜x ＜β}，且0＜α＜1＜β＜2，求a 的取值范围．分析：本题实质是一元二次方程根的分布问题，要结合二次函数解决由不等式7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＜0的解集是{x |α＜x ＜β}，可知方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0的两根为α，β，且两根分别在(0，1)与(1，2)内，可利用一元二次方程根的分布知识解决这个问题．解析：因为不等式7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＜0的解集是{x |α＜x ＜β}， 所以方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0的两根为α，β. 令f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2， 因为0＜α＜1＜β＜2， 所以α∈(0，1)，β∈(1，2)． 由f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，7－（a ＋13）＋a 2－a －2＜0，28－2（a ＋13）＋a 2－a －2＞0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，⇒－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.a 2－3a ＞0所以a 的取值范围是(－2，－1)∪(3，4)． ►归纳拓展函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决．方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识，通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决．函数与方程二者密不可分，如函数解析式y ＝f (x )也可看作方程．函数有意义则方程有解，方程有解则函数有意义等．函数与方程思想体现了静与动，变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一．具体包括：①利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况，讨论不等式的取值情况；②利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实际中的应用；③利用方程解决有关函数的问题．函数、方程、不等式三者密不可分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑．在不等式问题中，很多可以从函数的角度进行求解．如f (x )＞a 恒成立等价于f (x )min ＞a .►变式迁移3．求证：sin 2x ＋4sin 2 x≥5.证明：设sin 2x ＝t ，原式变形为f (t )＝t ＋4t，则f (t )在t ∈(0，1]时为单调递减函数．∵0＜sin 2x ≤1， ∴当sin 2x ＝1，即t ＝1时，f (t )有最小值，f (t )min ＝5. ∴f (t )＝t ＋4t ≥5，即sin 2x ＋4sin 2 x≥5.4．定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解析：由f (1－a )＋f (1－a 2)＜0得f (1－a )＜－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，1－a ＞a 2－1，－1＜1－a 2＜1⇒0＜a ＜1. ∴a 的取值范围是(0，1)． 题型3 分类讨论思想的应用例3 解关于x 的不等式(m ＋3)x 2＋2mx ＋m －2＞0(m∈R)．分析：从形式上看是二次不等式，故须对m ＋3讨论，讨论它是不是一元二次不等式．解析：(1)当m ＝－3时， 原不等式化为－6x －5＞0， 故原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－56. (2)当m ≠－3时，Δ＝4m 2－4(m ＋3)(m －2)＝4(6－m )． ①当m ＝6时，则原不等式等价于(3x ＋2)2＞0，故原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞. ②当m ＞6时， 则Δ＜0且m ＋3＞0， 所以原不等式的解集是R. ③当－3＜m ＜6时， 则Δ＞0且m ＋3＞0， 所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－m －6－m m ＋3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋6－m m ＋3，＋∞.④若m ＜－3，则Δ＞0，且m ＋3＜0，所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋6－m m ＋3，－m －6－m m ＋3.►归纳拓展分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破．在解答数学题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决．这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，先去解决各个局部问题，最后达到整体上的解决．通俗一点说，就是“化整为零，各个击破”，这种处理数学问题的思想，就是“分类讨论”的思想，分类讨论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用．分类讨论的一般步骤：①明确讨论对象，确定对象的范围；②确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；③逐类讨论，获得阶段性结果；④归纳总结，得出结论．►变式迁移5．已知log a (a 2＋1)＜log a (2a )＜0，则a 的取值范围是(B ) A ．0＜a ＜1 B.12＜a ＜1C ．0＜a ＜12D ．a ＞1解析：当0＜a ＜1时，可得a 2＋1＞2a ＞1，解得12＜a ＜1；当a ＞1时，可得a 2＋1＜2a＜1，无解．6．解关于x 的不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1)．解析：不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1且a ≠0)，变形得：（a －1）x －（a －2）x －2＞0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －（a －2）＞0，x －2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －（a －2）＜0，x －2＜0， 当a －1＞0，即a ＞1时： ①当a －2a －1＞2，即a ＜0时，无解； ②当a －2a －1＜2，解得a ＞0，即a ＞1时，解得x ＜a －2a －1或x ＞2. 当a －1＜0，即a ＜1且a ≠0时： ①当a －2a －1＞2，即1＜a ＜2时，无解； ②当a －2a －1≤2，即a ＜1时，解得a －2a －1＜x ＜2. 综上，当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2； 当a ＜1且a ≠0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2.题型4 数形结合思想的应用例4 求使log 2(－x)＜x ＋1成立的x 的取值范围．分析：因不等式左边为对数式，右边为整式，故不可解，所以可借助函数图象求解． 解析：如右图，在同一平面直角坐标系中作出函数y 1＝log 2(－x)，y 2＝x ＋1的图象，易知两图象交于点(－1，0)．显然y 1＜y 2的x 的取值范围是(－1，0)．►归纳拓展数形结合就是把数学关系的精确刻画(代数关系)与几何图形的直观形象有机结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题变得简单，数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等，有时，可以用数形结合的思想寻找解题思路，具体体现为：①由数化形，由条件绘制相似图形，使图形能充分反映出它们的数量关系，从而解决问题；②由形化数，借助于图形，通过观察研究，得出图形中蕴含的数量关系，反映出事物的本质特征；③数形转换，化抽象为直观，化难为易．►变式迁移7．(2013·四川卷)已知f(x)是定义域R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)＜5的解集是________．解析：作出y＝f(x)的图象(如图)，f(5)＝f(－5)＝5.∴|x＋2|＜5，即－7＜x＜3.答案：(－7，3)8．已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m＝0的两根为x1，x2，若x1＜1＜x2＜3，求实数m的取值范围．解析：令f(x)＝(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m，其图象如下图所示，由图及题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋1）f （1）＝（m ＋1）（2m ＋4）＜0，（m ＋1）f （3）＝（m ＋1）（18m ＋16）＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m ＜－1，m ＜－1或m ＞－89，∴－2＜m ＜－1.故所求的m 的取值范围为{m |－2＜m ＜－1}．。