高中数学-函数的解析式和定义域

课题7：函数的概念（一）一、复习准备：1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：（一）函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A=∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。

显然，值域是集合B 的子集。

（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；（2）二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。

（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。

（二）区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；（3）满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。

第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。

高中数学函数定义域的求法
求函数定义域的方法有以下几种：
1. 根据函数的解析式确定：
- 如果函数的解析式为有理式，那么函数的定义域就是使得
有理式的分母不为零的实数值。

- 如果函数的解析式为无理式，那么函数的定义域就是使得
无理式的被开方数不小于零的实数值。

- 如果函数的解析式为指数、对数函数，那么函数的定义域
就是使得指数的底不为零或负数，对数的底大于零且不等于1。

2. 根据函数的图象确定：
- 如果函数的图象是一个连续的曲线，那么函数的定义域就
是曲线所覆盖的所有实数值。

- 如果函数的图象是一个离散的点集，那么函数的定义域就
是这些点的横坐标所组成的集合。

3. 根据问题的实际意义确定：
- 如果函数表示一个实际问题，如时间、长度、面积等，那
么函数的定义域就是使得问题有意义的实数值范围。

需要注意的是，在某些情况下，函数的定义域可能是一个给定的特定集合，如正整数集、实数集等，这时需要根据题目要求进行判断和筛选。

同时，也要留意函数的特殊性质，如间断点、极值点等，可能会对函数的定义域有影响。

高中数学函数的定义域及值域1500字函数是数学中常用的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。

函数的定义域是指输入的值的集合，而值域是函数输出的值的集合。

在高中数学中，我们经常需要确定函数的定义域和值域，以便了解函数的性质和行为。

为了确定一个函数的定义域，我们需要考虑两个因素：函数的解析式和函数的定义限制。

函数的解析式告诉我们函数如何计算输出值，而定义限制告诉我们输入值可以是哪些数。

首先，让我们考虑一些常见的函数类型及其定义域和值域。

1. 线性函数：线性函数的解析式可以写为y = mx + c，其中m是斜率，c是截距。

线性函数的定义域是所有实数集合，值域也是所有实数集合。

2. 幂函数：幂函数的解析式可以写为y = x^n，其中n是一个实数。

幂函数的定义域是所有实数集合，但值域取决于指数n的值。

例如，如果n是正偶数，那么幂函数的值域是非负实数集合；如果n是负偶数，那么幂函数的值域是正实数集合；如果n是奇数，那么幂函数的值域是所有实数集合。

3. 指数函数：指数函数的解析式可以写为y = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。

指数函数的定义域是所有实数集合，值域是正实数集合。

4. 对数函数：对数函数的解析式可以写为y = log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1。

对数函数的定义域是正实数集合，值域是所有实数集合。

5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

三角函数的定义域是所有实数集合，值域取决于具体的函数类型。

例如，正弦函数的值域是[-1, 1]；余弦函数的值域也是[-1, 1]；正切函数的值域是所有实数集合。

除了上述函数类型外，还有其他函数类型的定义域和值域也需要特别注意。

例如，有理函数的定义域由分母的零点确定，值域取决于分子的次数和分母的次数；反比例函数的定义域是除了零的所有实数，值域也是除了零的所有实数。

在确定函数的定义域和值域时，我们还需要注意一些常见的限制，如根式的奇次指数、分母不能为零、对数的底不能为1等。

重难点第9讲函数定义域、解析式与值域8大题型——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型【命题趋势】函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。

函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。

在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。

二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

高一数学函数知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中函数总结高中函数总结一、函数的概念和基本性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素对应到另一个集合中的唯一元素上。

函数的概念在高中数学中具有重要的地位，贯穿于整个数学学科中。

函数具有以下基本性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有可能作为函数输入的值的集合，而值域则是指所有可能作为函数输出的值的集合。

函数的定义域和值域可以是任意集合，可以是实数集、整数集以及更一般的数集。

2. 解析式表示：函数可以通过解析式表示，其中通过一个或多个变量表示函数的输入，再通过定义函数关系的表达式表示函数的输出。

3. 函数的图像：函数的图像是函数在平面上的表示，其中自变量的取值确定了函数的值。

函数的图像可以通过画出自变量和函数值的对应关系来表示，具有很多有用的性质和特点。

4. 奇偶性：函数可以根据其解析式的奇偶性进行分类。

如果函数满足f(x) = f(-x)对于所有的x成立，则函数是偶函数；如果函数满足f(x) = -f(-x)对于所有的x成立，则函数是奇函数。

5. 单调性：函数可以根据其解析式的单调性进行分类。

如果函数在其定义域上递增，则函数是递增函数；如果函数在其定义域上递减，则函数是递减函数。

二、函数的运算高中函数的运算涉及了四则运算、复合运算和逆运算三个方面。

1. 四则运算：函数之间可以进行加、减、乘、除的操作。

两个函数的加法定义为两个函数在同一自变量上的值相加，乘法定义为两个函数在同一自变量上的值相乘，减法和除法可以通过加法和乘法进行定义。

2. 复合运算：函数之间可以进行复合运算，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

两个函数的复合定义为先将一个函数的输出作为另一个函数的输入，再计算出最终的输出。

3. 逆运算：函数的逆运算是指将函数的输出和输入进行交换，并解出输入的对应值。

函数的逆运算要求函数必须为一一对应的函数，即每个输出值对应唯一一个输入值。

三、函数的图像和性质函数的图像是函数在平面上的表示，它可以通过画出自变量和函数值的对应关系来得到。

函数的解析式和定义域课时07 函数的解析式和定义域【考点指津】1．掌握函数的三种表示方法，会求简单函数的解析式．函数的表示方法通常有：解析法、列表法、图象法，三者各具特点．解析式中包括分段函数，它由一个或多个式子构成，是一个函数；通过函数的图象能够直观地反映出函数的一些性质，因此要掌握函数的图象，并熟悉一些基本初等函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等）的图象特征．2．会求简单函数的定义域．定义域是构成函数的重要要素之一，一切函数问题的研究都离不开函数的定义域，要熟练掌握求函数定义域的原则和方法．当一个函数可以用解析式表示时，函数的定义域就是使其解析式有意义的自变量的取值集合．在实际问题中，还应注意实际意义的制约． 【知识在线】1．已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则f {f [f (-1)]}= ．2．下列函数：①y =2x +5；②y = xx 2+1；③y =|x |-x ；④y = ⎩⎨⎧2x ， x ＜0，x +4，x ≥0．其中定义域为R 的函数共有m 个，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧2x 2+1，x ≤0，-2x ， x ＞0，当f (x ) = 33时，x = ．4．若f (x -1)=2x +5，则f (x 2) = （ ） A ．2x 2+3 B ．2x 2+7 C ．x 2+3 D ．x 2+7 5．已知函数f (x ) = lgxx-+11的定义域为A ，函数g (x )=lg(1+x ) – lg(1-x )的定义域为B ，则下述关于A 、B 关系不正确的为 （ ） A ．A ⊇B B ．A ∪B =B C ．A ∩B =B D ．B ⊂≠A 【讲练平台】例1 求函数xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域．分析 根据有关条件列出不等式组，再求出不等式组的解集即为所求函数的定义域． 解 由函数解析式有意义，得⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥+-010652x x x x x ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，或x ≤2x ≠1，x ＞0．⇒0＜x ＜1或1＜x ≤2，或x ≥3． 故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞Y Y ．点评 （1）求以解析式给出的函数定义域时，应遵循以下几条原则：①分式的分母不为零；②偶次根号下被开方数非负；③在a °中底数a ≠0；④若f (x )是由几个部分构成的，则应采用交集法；⑤实际问题结合变量的实际意义来确定，等等；（2）求不等式组的解集，通常借助数轴的直观性；（3）函数的定义域一般应用集合或区间形式表示，在用区间表示时，要弄清区间端点的归属，正确使用开区间和闭区间符号，需特别注意的是，“∞”不是一个确定的数，而是一个变化趋势，只能用开区间；（4）必须把所有的限制条件都列出来，特别是在0)1(-x 中，x -1≠0，不能遗漏．例2 若函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，求实数a 的取值范围．分析 由函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R 知：x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1为二次函数，函数值恒正，故可利用“△”法求解．解 因函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，故x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a 2-4＜0，解得 -2＜a ＜2，它便是所求的a 的取值范围．点评（1）“△”法可判断一元二次函数值恒正、恒负或非正、非负；（2）必须注意所用△的值是大于零、小于零、还是不大于零、不小于零．如下面的问题：关于x 的不等式x 2+ax +1＜0的解集为∅，试求实数a 的取值范围．问题便等价于x 2+ax +1≥0的解集为R ，从而有△≤0，解得 –2≤a ≤2．变题1 已知函数 y =lg(x 2+ax +1)的值域为R ，求a 的取值范围．提示：利用△≥0 a≥2或a≤-2．变题2 已知函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，求a的取值范围．提示：分a＞0与a=0的两种情况求解，其答案为0≤a＜4．思考：变题1、变题2及原题，它们的区别何在？例3《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表：个人所得税税率表一（工资、薪金所得适用）表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1000元后的余额．例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元．（1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0＜x≤3000）的函数表达式；（2）一公司职员某月缴纳个人所得税75元，问他该月工资、薪金的收入多少？分析先读懂题意，正确理解“全月应纳税所得额”等的意义，然后利用分段函数法列出个人所得y关于收入额x的函数关系式，利用该关系式继续求解其它的问题．解（1）当0＜x≤1000时，y=x；当1000＜x≤1500时，扣税：(x-1000) ·5%，从而所得为y=x- (x-1000) ·5% = 0.95x+50；当1500＜x≤3000时，扣税：(x-1500)·10%+500 ·5% = 0.1x-125，从而所得为y = x -(0.1x -125) =0.9x +125．故 y = ⎩⎪⎨⎪⎧x ， （0＜x ≤1000），0.95x +50，（1000＜x ≤1500），0.9x +125，（1500＜x ≤3000）．（2）显然，该职员的工资、薪金x 满足1500＜x ≤3000，故由0.1x -125=75，解得 x =2000．答：该职员的该月工资、薪金收入为2000元．点评 （1）函数的表示法有：解析法、列表法、图象法；而解析式中包含一类重要的函数——分段函数：对应于自变量x 的不同取值范围，对应关系也不同．分段函数不管x 被分成了几段，它仍是一个函数，而不是几个函数，它由几个部分构成了一个函数；（2）写函数解析式时，不要忘了写上函数的定义域；对于实际问题，还不要忘了问题的实际意义．变题 在原题的条件下，若设某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于 （ D ）A ．500~600元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~1800元 例4 （1）设f (x )是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x )． （2）设x x x f 2)1(+=+，求f (x +1)． （3）若f (x )满足f (x )+2f (x1)=x ，求f (x )．分析 （1）已知了函数f (x )的类型，可采用待定系数法；（2）视（1+x ）为整体，采用换元法或配方法可求得f (x )的解析式，再用(x +1)整体代换f (x )中的x ，即可求出f (x +1)的解析式；（3）注意到x 与x1互为倒数，可通过倒数代换联立方程组解出f (x )． 解 （1）设f (x )=ax +b (a ≠0)，则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ，∴ ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=12342b a b ab a 或⎩⎨⎧-=-=32b a ，∴ f (x )=2x +1或f (x )= -2x -3．（2）解法一 ∵1)1()1(2-+=+x x f ，∴ f (x )=x 2-1 (x ≥1)，∴ f (x +1)= (x +1)2-1 = x 2+2x (x ≥0)．解法二 令t =1+x ，则x = t -1，∴f (t )= (t -1)2+2(t -1)= t 2-1． 又t =1+x ≥1，∴ f (x )=x 2-1 (x ≥1)，从而f (x +1)= x 2+2x (x ≥0)． （3）在f (x )+2f (x 1)=x ①中，用x 1代换x 得 f (x 1)+2 f (x )= x1 ②， 联立①、②解得 )0(32)(2≠-=x xx x f ． 点评 （1）正确理解函数的概念，是求抽象函数解析式的关键；（2）求抽象函数的解析式常用配凑法（如题（2）的解法一）、换元法（如题（2）的解法二）、待定系数法（如题（1）的解答）以及取倒相消法（如题（3）的解答）等；（3）在用换元法或配凑法求解析式时，应注意中间变量的取值范围，以确定函数f (x )的定义域．在题（2）中，由f (x )的定义域是{x ∣x ≥1}，则在f (x +1)中必须x +1≥1，即x ≥0，从而f (x +1)的定义域是{x ∣x ≥0}． 变题 已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)=1，对任意x ∈R 都有下列两式成立：（1）f (x +5)≥f (x )+5； （2）f (x +1)≤f (x )+1．若g (x )=f (x )+1-x ，求g (6)的值． 提示：反复利用条件（2），有f (x +5) ≤f (x +4)+1≤f (x +3)+2≤f (x +2)+3≤f (x +1)+4≤f (x )+5，（★） 结合条件（1）得 f (x +5)=f (x )+5． 于是，由（★），可得 f (x +1) = f (x )+1． 故g (6)=f (6)+1-6= [f (1)+5 ]-5=1．注意：数列{f (n )}（n ∈N *）构成公差是1的等差数列．【知能集成】1．求函数的解析式的方法通常有待定系数法、配方法、换元法，有时还要用到方程的思想．2．求函数的定义域，主要涉及以下几个方面：①分式的分母不为零；②对数函数的真数都必须大于零，底数必须大于零且不为1；③偶次方根的被开方数非负；④零次幂的底数不为零，等． 对于实际问题，还应注意变量的实际意义或物理意义．复合函数的定义域是使各部分都有意义的自变量取值范围的交集．【训练反馈】 1．函数23)(x x x f -=的定义域为 （ ）A ．[0，32] B ．[0，3] C ．[-3，0] D ．（0，3）2．若f [g (x )] = 9x +3，且g (x ) = 3x +1，则f (x )的解析式为 （ ） A ．3x B ．3 C ．9(3x +1) +1 D ．3(9x +3) +13．已知g (x )=1-2x ，f [g (x )]= 1-x 2x 2 (x ≠0)，则f (0.5)= （ ）A ．1B ．3C ．15D ．304．若函数f (x )满足f (xy )= f (x )+ f (y )，且f (2)=m ，f (3)=n ，则f (72)= （ ） A ．6mn B ． m 3+n 2 C ．2m +3n D ．3m +2n 5．函数y =f (x )的图象如题图所示，则f (x )的解析式为（ ） A ．122+-x x B ．1||22+-x xC ．|x 2 – 1|D ．x 2 – 2x +16．若函数f (x )的定义域为[a ，b ]，且b ＞-a ＞0，则函数g (x )=f (x )-f (-x )的定义域是（ ）A ．[a ，b ]B ．[-b ，-a ]C ．[-b ，b ]D ．[a ，-a ]7．若f (2x +3)的定义域是{x |-4≤x ＜5＝，则函数f (2x -3)的定义域是 ． 8．求函数y =)233(log 12x x -+的定义域．9．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 移动一周回到A 点，设x 表示点P 的行程，y 表示线段P A 的长，试求y 关于x 的函数式． 10．若函数f (x ) =3x -5kx 2+4kx +3的定义域为R ，求实数k 的取值范围．11．已知函数f (x ) =xax+b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)=1，f (x )=x 只有惟一实数解，试求函数y =f (x )的解析式及f [f (-3)]的值． 12．定义在（0，+∞）上的函数f (x )满足：①f (2)=1；②f (xy )=f (x )+f (y )，其中x 、y 为任意正实数； ③任意正实数x 、y 满足x ＞y 时，f (x )＞f (y )．试回答下列问题： （1）求f (1)、f (4)；（2）试判断函数f (x )为单调性；（3）如果f (x )+f (x -3)≤2，试求x 的取值范围．参考答案： 【知识在线】1．π+1 2．D 3． - 4 4． B 5．D 【训练反馈】1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7． {x |-1≤x ＜8} 8．（0，5] 9． y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤+-≤+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x πππ 10．提示：若k =0，则函数的定义域为R ；若k ≠0，则对任意x ∈R ，kx 2+4kx +3≠0，从而，△＜0，解得0＜k ＜34．从而所求k 的取值范围为{k |0≤k ＜34}． 11．提示：f (x ) =x 只有惟一实数解，即x ax+b = x (*)只有惟一实数解， 当ax 2+(b -1)x =0有相等的实数根x 0, 且a x 0+b ≠0时,解得f(x)=2x x +2, f [f (-3)] = 32, 当ax 2+(b -1)x =0有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时,解得f(x)= 1, f [f (-3)] =1． 12．（1）f (1) =0，f (4)=2；（2）增函数；（3）3＜x ≤4．。