广东省2017-2018学年高三10月百校联考理数试题 Word版含答案

2017届广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号•写在本试卷上无效.3. 回答第n 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.（1）复数1的共轭复数是(B ) 13(C ) 4或 10(D ) 1 或 13、选择题：本小题共 12题，每小题 题目要求的。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合(A) 1 (B) 1(C ) 1(D) 1 i（2）若集合 XX1 ，则(3) (5) 是双曲线C 的左，右焦点点P 在双曲线C 上，且PF 17,则PF ?等于(A) 1如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图 ， 8且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是 3(7) 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币•若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着•那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为，八 115115(A ) 一( B )( C )( D )2 3232 162 2X y(8) 已知F 1，F 2分别是椭圆2 1 a b 0的左，右焦点，椭圆C 上存在点Pa b使 F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是/A、血，1 c 迈1 (A ),1(B ) -,1(C )0,( D )0- 22 22(9)已知 p: x 0,e xax 1成立,qx:函数f Xa 1在R 上是减函数,贝U p 是q 的(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件(10)《九章算术》中，将底面为长方形且有 条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑•若三棱锥P ABC 为鳖臑，PA 丄平面ABC ，PA AB 2, AC 4,三棱锥P ABC 的四个顶点都在球 0的球面上 则球O 的表面积为(11)若直线y 1与函数f x 2sin2x 的图象相交于点 P %,% , Q 屜，y 2，且x 1x 22，则线段PQ 与函数f x 的图象所围成的图形面积是3(A )-2-亦 (B )逅(C )43 2 (D )^3 233 3 33 3 1 2016 k (12 )已知函数f X Xx x 贝U f 的值为24 8’ k1 2017(B)(D)(6)(A) 8 (B) 12 (C ) 20(D) 24(A) 0 (B) 504 (C ) 1008 (D) 2016本卷包括必考题和选考题两部分。

试卷类型：A 2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．38图1俯视图侧视图正视图6．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C A ．16 B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257 B ．256C ．254D ．253表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB == ，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .DCBA15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；CBa 图3重量/克0.0320.02452515O （注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n = ，则样本数据的平均值为112233X x p x p x p =+++ （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在的小球个数为ξ，求ξ18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=.（1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+ .2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==. 在△ABC中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分） (1)解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3，……………6分 ()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. ……………10分 为：∴ξ的分布列……………11分 ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=） 18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则1==，AM MB∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，平面ABCD 平面=，ABFE AB∴EF∥AB，即EF∥MB. ……………1分∵EF=MB1=∴四边形EMBF是平行四边形. ……………2分∴EM∥FB，EM FB=.在Rt△BFC中，2224=，得FB=+==，又FB FCFB FC BC∴EM=……………3分在△AME中，AE=1AM=，EM=∴222+==，3AM EM AE∴⊥. AM EM……………4分∴AM FB⊥.⊥，即AB FB∵四边形ABCD是正方形，∴⊥. AB BCMO HFEDCB……………5分∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO∥FH，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . (9)分∴EO ⊥平面ABCD .∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO. ……………10分∵AO BD⊥，,EO BD O EO=⊂平面EBD，BD⊂平面EBD，∴AO⊥平面EBD. (11)分∴AEO∠是直线AE与平面BDE所成的角. ……………12分在Rt△AOE中，tanAOAEOEO∠==……………13分∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为……………14分证法2：连接AC，AC与BD相交于点O取BC的中点H，连接,OH EO，则OH∥AB，112OH AB==.由（1）知EF∥AB，且12EF AB=∴EF∥OH，且EF OH=.∴四边形EOHF是平行四边形.∴EO∥FH，且1EO FH==. ……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . (8)分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅= ，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-. 令1x =，则平面BDE的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos , n AE ⋅=n AE n AE3=. ……………11分∴cos 3θ==，sintan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE 所成角的正切值为……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n+--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列. ∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①()1231442434144n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ . 由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- ， ……………11分 两边对x取导数得，12123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ .……………13分 ∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+, 即1y =+, ……………1分化简得24x y =. ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B的坐标为()211142,441kk k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441kk k --+. …………6分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()a f x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分 ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-.……………4分令()2ln 2x g x x x=-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022k g k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022xx x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n = 分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n--=+. ……………14分。

韶关市2017-2018学年高三10月六校联考（乐昌市第一中学·仁化中学·南雄中学·始兴中学·翁源中学·新丰县第一中学）理科数学考试时间 120分钟 总分 150分一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合{}|(3)(1)0A x x x =-->，{}|lg(23)B x y x ==-，则AB =（ ）A ．(3,)+∞B ．3[,3)2C ．3(1,)2D ．3(,3)22、已知命题021x p x ∀≥≥：，；命题q ：若x y >，则22x y >．则下列命题为真命题的是（ ）A ． p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ⌝∨3、已知直线,a b ，平面,αβ，且a α⊥，b β⊂，则“a b ⊥”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是（ ）A ．(2)()(3)f f f π-<<-B ．()(2)(3)f f f π<-<-C ．(3)(2)()f f f π-<-<D ．(2)(3)()f f f π-<-<5. 将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（ ） A ．,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭6、已知函数2()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（ ）7．设0a >，0b >4a 和2b的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A． B ．8 C ．9 D ．108、 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A ．36πB ．30πC ．24πD ．15π9、已知()f x 在R 上是可导函数,则()f x 的图象如图所示，则不等式()()2230xx f x '-->的解集为A ．()(),21,-∞-+∞错误！未找到引用源。

2017-2018学年广东省茂名十中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．已知集合M={﹣1，0，1，2}和N={0，1，2，3}的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合是（）A．{0} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．已知z=1﹣i（i是虚数单位），则=（）A．2 B．2i C．2+4i D．2﹣4i3．函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）4．已知函数，则f[f（﹣2）]的值为（）A．1 B．2 C．4 D．55．如图，阴影部分的面积是（）A．2 B．﹣2C．D．6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积为（）A．12 B．16 C．+4 D．4+47．下列中正确的是（）A．若p∨q为真，则p∧q为真B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件C．“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥08．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=（）A．B．C．D．9．设n=4sinxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项是（）A．12 B．6 C．4 D．110．双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是抛物线y2=8x焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．11．已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．[1，2]C．[0，）D．（）12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13．若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m=．14．函数f（x）=的定义域为．15．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为．16．设f（x）=|2﹣x2|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）17．已知函数f（x）=+cosx+1．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）若a为第三象限角，且，求的值．18．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量X表示所抽取的3名学生中得分在[80，90）内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q垂直于AP，并证明你的结论．20．在数列{a n}、{b n}中，{a n}的前n项和为S n，点（b n，n）、（n，S n）分别在函数y=log2x 及函数y=x2+2x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．21．己知f（x）=e x﹣alnx﹣a，其中常数a＞0．（1）当a=e时，求函数f（x）的极值；（2）若函数y=f（x）有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：＜a；（3）求证：e2x﹣2﹣e x﹣1lnx﹣x≥0．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE．（Ⅰ）求证：BC=2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•呼伦贝尔一模）己知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015秋•茂名校级月考）设函数，f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式，f（x）≥5﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．2015-2016学年广东省茂名十中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．已知集合M={﹣1，0，1，2}和N={0，1，2，3}的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合是（）A．{0} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}【分析】图中阴影部分对应的集合为M∩N，然后根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：由图可知阴影部分对应的集合为M∩N，∵M={﹣1，0，1，2}和N={0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据图象确定阴影部分对应的集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．已知z=1﹣i（i是虚数单位），则=（）A．2 B．2i C．2+4i D．2﹣4i【分析】由题意可得=+（1﹣i）2，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得结果．【解答】解：由题意可得，=+（1﹣i）2=﹣2i=2，故选A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．3．函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数满足f（2）=＞0，f（3）=1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选B．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4．已知函数，则f[f（﹣2）]的值为（）A．1 B．2 C．4 D．5【分析】﹣2在x＜0这段上代入这段的解析式，将4代入x≥0段的解析式，求出函数值．【解答】解：f（﹣2）=4f[f（﹣2）]=f（4）=4+1=5故选D【点评】本题考查求分段函数的函数值：据自变量所属范围，分段代入求．5．如图，阴影部分的面积是（）A．2 B．﹣2C．D．【分析】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算．【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x ﹣）|=；故选C．【点评】本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积为（）A．12 B．16 C．+4 D．4+4【分析】由三视图可知该几何体为四棱锥，底面四边形ABCD边长为2的正方形，底边长、高都为2的等腰三角形，即可求出该几何体的全面积．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面四边形ABCD边长为2的正方形，侧面是底边长、高都为2的等腰三角形，∴几何体的全面积为2×2+4××2×2=12．故选：A．【点评】本题考查几何体的全面积，考查学生的计算能力，确定几何体为四棱锥是关键．7．下列中正确的是（）A．若p∨q为真，则p∧q为真B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件C．“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0【分析】由若p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，则P且q真假不确定，即可判断A；运用充分必要条件的定义和基本不等式，即可判断B；由原和逆否的关系，注意或的否定为且，即可判断C；由存在性的否定为全称性，即可判断D．【解答】解：对于A．若p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，则p∧q的真假不定，则A 错误；对于B．若a＞0，b＞0，则+≥2=2，当且仅当a=b取得等号，反之，若+≥2即为≥0，即≥0，即有ab＞0，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，则B错误；对于C．“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，则C错误；对于D．p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0，则D正确．故选D．【点评】本题考查简易逻辑的知识，主要考查复合的真假、充分必要条件的判断和四种及的否定形式，属于基础题和易错题．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=（）A．B．C．D．【分析】已知等式左边利用平方差公式及完全平方公式化简，整理后利用余弦定理求出cosC 的值，即可确定出C的度数．【解答】解：∵（a+b﹣c）（a+b+c）=（a+b）2﹣c2=a2+b2﹣c2+2ab=ab，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣，则C=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9．设n=4sinxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项是（）A．12 B．6 C．4 D．1【分析】根据定积分的公式求出n的值，再根据二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项．【解答】解：∵n=4sinxdx=﹣4cosx=﹣4（cos﹣cos0）=4，∴二项式（x﹣）4展开式的通项公式为T r+1=•x4﹣r•=（﹣1）r••x4﹣2r；令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项是T2+1=（﹣1）2•=6．故选：B．【点评】本题考查了定积分的计算问题，也考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．10．双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是抛物线y2=8x焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c=2，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，运用双曲线的定义求得2a=2，然后求得离心率e．【解答】解：抛物线y2=8x焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，设P（m，n），由抛物线的定义可得|PF|=m+2=5，解得m=3，则n2=24，即有P（3，±2），可得左焦点F'为（﹣2，0），由双曲线的定义可得2a=|PF'|﹣|PF|=﹣=7﹣5=2，即a=1，即有e==2．故选C．【点评】本题主要考查了双曲线，抛物线的定义和简单性质，主要考查了离心率的求法，解答关键是利用抛物线和双曲线的定义．11．已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．[1，2]C．[0，）D．（）【分析】由题设条件知，偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，在[﹣2，0]是增函数，由此可以得出函数在[﹣2，2]上具有这样的一个特征﹣﹣自变量的绝对值越小，其函数值就越小，由此抽象不等式f（1﹣m）＜f（m）可以转化为，解此不等式组即为所求．【解答】解：偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，∴其在（﹣2，0）上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大∴不等式f（1﹣m）＜f（m）可以变为解得m∈[﹣1，）故选A．【点评】本题考查偶函数与单调性，二者结合研究出函图象的变化趋势，用此结论转化不等式，这是解本题的最合适的办法，中档题．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：A．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13．若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m=8．【分析】由目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，我们可以画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m 的方程组，消参后即可得到m的取值．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，故，解得x=，y=，代入x﹣y=﹣2得﹣=﹣2⇒m=8故答案为：8．【点评】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．14．函数f（x）=的定义域为（﹣3，0]．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，得，解得：﹣3＜x≤0．∴函数f（x）=的定义域为：（﹣3，0]．故答案为：（﹣3，0]．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．15．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为．【分析】设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出P（），再利用P（A）=1﹣P（）即可得出．【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，则P（）==，因此P（A）=1﹣P（）=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查等可能事件的概率，熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键．16．设f（x）=|2﹣x2|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是（0，2）．【分析】f（x）是含有绝对值的函数，结合函数的图象或通过去绝对值考查f（x）的单调性，找出a和b的关系，结合基本不等式求范围即可．【解答】解：0＜x＜时，f（x）=2﹣x2，是单调递减的；x＞时，f（x）=x2﹣2，是单调递增的；故满足0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，a＜，b＞，2﹣a2=b2﹣2，即a2+b2=4，故ab≤，又0＜a＜b，所以ab的取值范围是（0，2）故答案为：（0，2）【点评】本题考查函数的性质、基本不等式等，去绝对值是解决本题的关键，综合性强，难度较大．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）17．已知函数f（x）=+cosx+1．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）若a为第三象限角，且，求的值．【分析】（1）由三角函数恒等变换化简可得函数解析式为f（x）=，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期和值域；（2）由根据（1）可得sinα，结合a为第三象限角，可求cosα的值，由二倍角公式化简所求即可得解．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵=…（1分）=…（3分）∴函数f（x）的周期为2π，值域为[﹣1，3]．…（5分）（2）∵，∴，即…（7分）∵==…（9分）=，…（10分）又∵α为第三象限角，所以…（11分）∴原式=…（12分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，同角三角函数的关系式的应用，属于基本知识的考查．18．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量X表示所抽取的3名学生中得分在[80，90）内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．【分析】（1）由频率公式和图求出样本容量n，由频率分布直方图中的数据求出x、y的值；（2）先求出分数在[80，90）、[90，100]内的学生人数，求出抽取的3名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值，由概率公式分别求出它们的概率并列出X的分布列，代入公式求出EX．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．…（4分）（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，分数在[90，100]内的学生有2人，共7人．抽取的3名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值为1，2，3，则P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．1 2 3所以EX=1×+2×+3×=．…（12分）【点评】本题考查茎叶图、频率分布直方图，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，比较综合．19．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q垂直于AP，并证明你的结论．【分析】解法一：（1）如图：连AC，设AC∩BD=O，．利用线面平行的性质可得：OG∥PC．利用三角形中位线定理及其线面垂直的判定可得：AO⊥平面BDD1B1，可得线面角，利用直角三角形的边角关系即可得出．（Ⅱ）依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP．只需D1Q⊥平面ACC1A1，设A1C1∩B1D1=O1，可推测A1C1的中点即为所求的Q点再利用线面垂直的判定与性质定理即可．解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的性质、线面垂直的判定与性质定理、向量夹角公式即可得出．（2）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，依题意，对任意的m要使D1Q⊥AP，利用=0，解出x即可得出．【解答】解法一：（1）如图：连AC，设AC∩BD=O，．…（1分），故OG∥PC．所以．又…（3分）故．…（4分）在Rt△AOG中，tan∠AGO===3，即．故当时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3．…（6分）（Ⅱ）依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP．只需D1Q⊥平面ACC1A1，…（7分）设A1C1∩B1D1=O1，可推测A1C1的中点即为所求的Q点．…（8分）因为．，所以D1O1⊥平面ACC1A1，即D1Q⊥平面ACC1A1，…（10分）又AP⊂平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．即D1Q⊥AP．…（12分）解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，…（1分）则A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1）．所以=（﹣1，﹣1，0），=（0，0，1），═（﹣1，1，m），=（﹣1，1，0），…（2分）又由的一个法向量．…（3分）设AP与所成的角为θ，则…（4分）依题意有：，解得．…（5分）故当时，直线．…（6分）（2）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，…（7分）则．…（8分）依题意，对任意的m要使D1Q⊥AP，=﹣x+（1﹣x）+0=0，解得x=．…（9分）即C为D的中点时，满足题设的要求．…（12分）【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的性质、向量夹角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20．在数列{a n}、{b n}中，{a n}的前n项和为S n，点（b n，n）、（n，S n）分别在函数y=log2x 及函数y=x2+2x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）依题意，n=log2b n，n=S n2+2S n，可求得，从而求得：a n=2n+1；（Ⅱ）先求出，从而可求出T n，2T n，然后做差后即可求得数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）点（b n，n）、（n，S n）分别在函数y=log2x及函数y=x2+2x的图象上依题意，n=log2b n，n=S n2+2S n，可求得，从而求得：a n=2n+1．（Ⅱ）①②①﹣②得：∴【点评】本题主要考察了数列的求和，数列通项公式的求法，属于中档题．21．己知f（x）=e x﹣alnx﹣a，其中常数a＞0．（1）当a=e时，求函数f（x）的极值；（2）若函数y=f（x）有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：＜a；（3）求证：e2x﹣2﹣e x﹣1lnx﹣x≥0．【分析】（1）求出a=e的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有0＜a≤e成立．若，则f（x）=e x﹣a（lnx+1）≥0显然成立；若，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；（3）讨论当a=e时，显然成立，设，求出导数，求出单调区间可得最大值，运用不等式的性质，即可得证．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1）当a=e时，f（x）=e x﹣elnx﹣e，，而在（0，+∞）上单调递增，又f′（1）=0，当0＜x＜1时，f′（x）＜f'（1）=0，则f（x）在（0，1）上单调递减；当x＞1时，f′（x）＞f'（1）=0，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，则f（x）有极小值f（1）=0，没有极大值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有0＜a≤e成立．若，则f（x）=e x﹣a（lnx+1）≥0显然成立；若，由f（x）≥0得，令，则，令，由得g（x）在上单调递增，又g（1）=0，所以φ′（x）在上为负，在（1，+∞）上为正，因此φ（x）在上递减，在（1，+∞）上递增，即有φ（x）min=φ（1）=e，从而0＜a≤e．因而函数y=f（x）若有两个零点，则a＞e，即有f（1）=e﹣a＜0，由f（a）=e a﹣alna﹣a（a＞e）得f'（a）=e a﹣lna﹣2，则，则f′（a）=e a﹣lna﹣2在（e，+∞）上单调递增，即有f′（a）＞f'（e）=e e﹣3＞e2﹣3＞0，则有f（a）=e a﹣alna﹣a在（e，+∞）上单调递增，则f（a）＞f（e）=e e﹣2e＞e2﹣2e＞0，则f（1）f（a）＜0，则有1＜x2＜a；由a＞e得，则，所以，综上得．（3）证明：由（2）知当a=e时，f（x）≥0恒成立，所以f（x）=e x﹣elnx﹣e≥0，即f（x）=e x﹣elnx≥e，设，则，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，h′（x）＜0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递减，所以的最大值为，即，因而，所以，即f（x）=e2x﹣2﹣e x﹣1lnx﹣x≥0．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE．（Ⅰ）求证：BC=2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，即可证明BC=2BD；（Ⅱ）先求DE，利用CD是∠ACB的平分线，可得DA=1，根据割线定理求出BD．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，所以△DBE∽△CBA，即有，又AB=2BE，所以BC=2BD …（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知，又AB=2BE，∴AC=2DE，∵AC=2，∴DE=1，而CD是∠ACB的平分线，∴DA=1，设BD=x，根据割线定理得BD•BA=BE•BC即x（x+1）=（x+1）[（x+1）+1]，解得x=1，即BD=1．…（10分）【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•呼伦贝尔一模）己知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．【分析】（I）利用sin2φ+cos2φ=1即可把圆C1的参数方程，化为直角坐标方程．（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．利用点到直线的距离公式可得圆心（0，0）到此直线的距离d，即可得出弦长|AB|=2．【解答】解：（I）由圆C1的参数方程，消去参数φ可得：x2+y2=1．由圆C2的极坐标方程ρ=2cos（θ﹣），化为•ρ，∴x2+y2=2x+2y．即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．圆心（0，0）到此直线的距离d==．∴弦长|AB|=2=．【点评】本题考查了曲线的参数方程极坐标方程化为直角坐标方程、两圆的相交弦长、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015秋•茂名校级月考）设函数，f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式，f（x）≥5﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．【分析】（Ⅰ）当a=2，不等式即|x﹣2|+|x﹣1|≥5．由绝对值的意义可得﹣1和4到1、2的距离之和正好等于5，从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．（Ⅱ）由f（x）≤1求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[0，2]，可得a=1，再根据m+2n=（m+2n）（+）=2++，利用基本不等式证得要证的不等式．【解答】解：（Ⅰ）当a=2，不等式f（x）≥5﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥5．由绝对值的意义可得，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到1、2的距离之和，而﹣1和4到1、2的距离之和正好等于5，故|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[0，2]，可得a=1．故有+=1（m＞0，n＞0），∴m+2n=（m+2n）（+）=2++≥4，当且仅当=时，等号成立，故m+2n≥4成立．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于基础题．。

2018届广东省百校联盟高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．复数z 满足()()11z i i +-=，则z = （ ）A.2 B. C. D. 1【答案】A 【解析】由题意可得：1112iz i i ++==-，则：11,22z i z =-∴==本题选择A 选项.2．已知(){}2|log 31A x y x ==-， {}22|4B y x y =+=，则A B ⋂=（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,23⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】因为(){}2|l o g31A x y x ==- 1,,3⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭{}22|4B y x y =+=[]12,2,,23A B ⎛⎤=-∴⋂= ⎥⎝⎦，故选C.3．下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A. 最低温与最高温为正相关B. 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， A 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前8个月不是逐月增加， B 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月， C 正确；由表格可知1 月至4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7 月至10 月，波动性更大， D 正确，故选B.4．已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题:q 若sin x =，则2cos2sin x x =，则下列命题为真命题的上（ ）A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】由对数的性质可知： 222log 4log 5=<，则命题p 是真命题；由三角函数的性质可知：若sin x = 221sin 33x ⎛== ⎝⎭， 且： 211cos212sin 1233x x =-=-⨯=，命题q 是真命题.则所给的四个复合命题中，只有p q ∧是真命题. 本题选择A 选项.5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若s i n 3s i n ,5A Bc ==，且5co s 6C =，则a =（ ）A. B. 3 C. D. 4 【答案】B【解析】由正弦定理结合题意有： 3a b =，不妨设(),30b m a m m ==>，结合余弦定理有： 222222955cos 266a b c m m C ab m +-+-===， 求解关于实数m 的方程可得： 1m =，则： 33a m ==.本题选择B 选项.6．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 8+B. 6+C. 6+D. 8+【答案】C【解析】 由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥E ABCD -，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为，另两个侧面为，可得这个几何体的表面积为6+ C. 7．将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线2C ： ()y g x =，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是（ ） A. 5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. ,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度可得()522266g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令5222262k x k πππππ-≤+≤+，得()236k x k k Z ππππ-≤≤-∈，再令0k =，得236x ππ-≤≤-，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选B. 8．执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =（ ）A. 7B. 10C. 13D. 16 【答案】D【解析】1i =，1不是质数， 0114S =-=-<； 4i =，4不是质数， 1454S =--=-<； 7i =，7是质数， 5724S =-+=<； 10i =，10不是质数， 21084S =-=-<； 13i =，13是质数， 81354S =-+=<， 16i =，故输出的16i =.选D.9．设,x y 满足约束条件220{260 20x y x y y --≤+-≥-≤，则2y xz x y=-的取值范围是（ ） A. 7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 72,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 77,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查yx的几何意义： 可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，则1,14y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 令y t x =，换元可得： 12z t t =-，该函数在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，据此可得： min max 174,21122z z =-=-=-=， 即目标函数的取值范围是7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 本题选择A 选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．10．函数()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】()()()2,2x xe ef x f x f x x x ---==-∴+- 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ；当()0,1x ∈时， ()()()021x xe ef x x x --=<++-，排除B ；当()1,x ∈+∞时，()0f x >，排除C ；故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点， D 为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A. (B.C.) D. ()⋃+∞【答案】D【解析】由通径公式有： 22b AB a =，不妨设()22,,,,0,b b A c B c D b a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分类讨论：当2b b a >，即1ba <时， DAB ∠为钝角，此时1e <<当2b b a >，即e >ADB ∠为钝角，此时： 442222220,2b b DA DB c b a b a a ⋅=-+<∴+< ，令22b t a=，据此可得： 2210,1t t t -->∴>，则： e >>本题选择D 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数()()231,ln 42x x f x eg x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A.1ln22+ B. ln2 C. 12ln22+ D. 2ln2 【答案】A 【解析】设()231ln 042m nek k -=+=>，则： 143ln ,222k k m n e -=+=，令()14ln 3222k k h k n m e-=-=--，则()141'22k h k e k-=-， 导函数()'h k 单调递增，且1'04h ⎛⎫=⎪⎝⎭， 则函数()14ln 3222k k h k e -=--在区间10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，结合函数的单调性有： ()min11ln242h k h ⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎣⎦⎝⎭，即n m -的最小值为1ln22+. 本题选择A 选项.二、填空题13．设平面向量m 与向量n互相垂直，且()211,2m n -=- ，若5m =，则n =__________．【答案】5【解析】由平面向量m 与向量n 互相垂直可得0,m n ⋅=所以()2222125,4125mn m n -=∴+=，又5,5m n =∴= ，故答案为5.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅= ，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b θ⋅= （此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a b b ⋅ ；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅= ;(4)求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅ ）.14．在二项式6⎫的展开式中，第3项为120，则x = __________. 【答案】2【解析】结合二项式定理的通项公式有：662166rrrr r r r T CC t--+⎛⎫==，其中0t >，结合题意有：226226120C t-⨯=，计算可得： 24t =，即： 24,2x x =∴=.15．如图， E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1BCF ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为__________.【解析】不妨设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，设11B C BC O ⋂=，如图所示，当点E 为11C D 的中点时， 1BD OE ，则1BD 平面1BCE ， 据此可得OEC ∠为直线1BD 与CE 所成的角，在OEC 中，边长： EC OC OE =由余弦定理可得： cosOEC ∠==.即异面直线1BD 与CE点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点， O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,8M 为圆心， OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是__________． 【答案】23【解析】,MA OA =∴ 点A 在线段OM 的中垂线上， 又()0,8M ，所以可设(),4A x ，由0tan30,4x x A ⎫=∴=∴⎪⎭的坐标代入方程22x py =有： 16243p =⨯ 解得： 2.3p =点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.三、解答题17．已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+.（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和n T .【答案】(1) n a n =， 2n b n =.(2) ()21n nT n =+.【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列，则n a n =，利用前n 项和与通项公式的关系可得{}n b 的通项公式为2n b n =.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21n nT n =+.试题解析：（1）因为2211n n n n a a a a +++=-，所以， ()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a +>>，所以10n n a a ++≠，所以11n n a a +-=， 所以{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列， 所以n a n =，当2n ≥时， 12n n n b S S n -=-=，当1n =时12b =也满足，所以2n b n =. （2）由（1）可知()1111112121n na b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()111111111222334121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 18．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为143,,255，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为412,,523. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X ，求随机变量X 的数学期望.【答案】(1)1350；(2)1.2. 【解析】试题分析：(1)由题意结合概率公式可得第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率为1350；(2)由题意可得题中的分布列为二项分布，则随机变量X 的数学期望为1.2. 试题解析：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件123,,A A A , （1）设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则()1121421131325525525550P E =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. （2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为25p =， 所以随机变量()3,0.4X B ~， 所以()30.4 1.2E X np ==⨯=.19．如图，四边形ABCD 是矩形，3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,ABCD PE（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】试题分析：(1)由题意结合题意可证得AC ⊥平面PBE ，结合面面垂直的判断定理可得平面PAC ⊥平面PBE ；(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角A PB C --的余弦值为. 试题解析：（1）证明；设BE 交AC 于F ，因为四边形ABCD 是矩形，3,2AB BC DE EC ===,所以CE BCCE BC AB==, 又2ABC BCD π∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB ∆~∆∠=∠,因为2BEC ACE ACB ACE π∠=∠=∠+∠=,所以AC BE ⊥，又PE ⊥平面ABCD .所以AC PE ⊥，而PE BE E ⋂=，所以平面PAC ⊥平面PBE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得()()()(3,,,,A B C P -,则()(,3,,AB BP CB ⎫==-=⎪⎪⎝⎭, 设平面APB 的法向量()1111,,n x y z =，则11110{30x =--+=，取1110,1x y z ===，即1n ⎫=⎪⎪⎝⎭设平面BPC 的法向量()2222,,n x y z =，则222230{30x x =-=，取2110,1x y z ==，即()1n =设平面APB 与平面BPC 所成的二面角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅由图可知二面角为钝角，所以cos θ=.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的C 经过点2,2A ⎛⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，MN =记直线l 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.【答案】(1) 2218x y +=.(2)【解析】试题分析：(1)结合题意可求得221,8b a ==，则椭圆的方程为2218x y +=.(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线l 在y 轴上的截距试题解析：（1）因为a =，所以椭圆的方程为222218x y b b+=，把点2,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的坐标代入椭圆的方程，得221118b b +=， 所以221,8b a ==，椭圆的方程为2218x y +=. （2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，联立方程组22{ 1 8x y y kx m+==+ 得()2221816880k x kmx m +++-=，由()()222256321180m m k --+>，得2218m k <+，所以21212221688,1818km m x x x x k k --+==++，所以MN ==由218k =+()()()2222813441k k m k +-=+， 令221(1)1k t t k t +=>⇒=-，所以223284494t t m t-+-=，249218214m t t ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭m ≤当且仅当4984tt =，即8t =时，上式取等号，此时2k =， (2738m -=，满足2218m k <+，所以m21．函数()()2ln 1f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()21122ln2f x x x >-+ . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导可得()2221x x mf x x ++'=+，分类讨论可得：当102m <<时， ()f x 在1122⎛--- ⎝⎭上递减，在11,2⎛-- ⎝⎭和12⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增.(2)由题意结合函数的性质可知： 12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，结合所给的不等式构造对称差函数()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< ，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式. 试题解析：函数()f x 的定义域为()()2221,,1x x mf x x++-+∞'=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上， 12x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11022g m ⎛⎫-=-+≥ ⎪⎝⎭，即12m ≥时， ()0g x ≥，即()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立， ②当102m <<时，由()222g x x x m=++，得121122x x =-=-，因为()10g m -=>，所以111122x -<<-<-，当12x x x <<时， ()0g x <，即()0f x '<，当11x x -<<或2x x >时， ()0g x >，即()0f x '>，综上，当102m <<时， ()f x 在1122⎛---+ ⎝⎭上递减，在11,2⎛--- ⎝⎭和12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增.（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <，则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在()11,x -和()2,x +∞上递增， 则()()200f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根， 所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证()21122ln2f x x x >-+又()()()222222122222ln 124ln 1f x x m x x x x x =++=++()()()()()222222222241ln 1121ln2121ln2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+，即证()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立， 设()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()()()4412ln 1ln x x x eϕ=-++-' 当102x -<<时， ()4120,ln 10,ln 0x x e+>+，故()0x ϕ'>， 所以()x ϕ在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上递增， 故()()1111124ln 12ln2024222x ϕϕ⎛⎫>=⨯-⨯⨯--=⎪⎝⎭， 所以()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->， 所以()21122ln2f x x x >-+.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{1x cos y sin θθ==+（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2,{x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数）．（1）将1C ， 2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 4ρθθ-=．若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．【答案】（1）()2211x y +-=表示以()0,1为圆心，1为半径的圆， 2214x y +=表示焦点在x 轴上的椭圆；（2.【解析】试题分析：（1）分别将曲线1C 、2C 的参数方程利用平方法消去参数，即可得到1C ， 2C 的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2）1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用点到直线距离公式可得M 到直线l 的距离6d =，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）1C 的普通方程为()2211x y +-=，它表示以()0,1为圆心，1为半径的圆，2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．（2）由已知得()0,2P ，设()2cos ,sin Q ϕϕ，则1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线l ： 240x y --=，点M 到直线l的距离d ==所以d ≥=M 到l． 23．已知()223f x x a x a =-+++ .（1）证明： ()2f x ≥； （2）若332f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) ()1,0-.【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为223a a ++，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于a 的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a =-+++≥++-+而()2222323122x a x a a a a ++-+=++=++≥，所以()2f x ≥.（2）因为222323,33342{ 32222,4a a a f a a a a a ++≥-⎛⎫-=+++= ⎪⎝⎭-<-， 所以23{ 4233a a a ≥-++<或23{ 423a a a <--<，解得10a -<<，所以a 的取值范围是()1,0-.。

2018广东省广州市越秀区统考高三上10月月考理科试卷一、选择题1．已知集合{}|||2,A x x x =∈Z ≤，{}2|20B x x x =--<，则A B =（）．A ．{}1,0,1,2-B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}0,1,2 2．设复数z 满足(2i)10z +=，则z =（）．A ．42i +B ．42i -+C ．42i --D ．42i -3．执行如图所示的程序框图，如果输入的x 值为3-，则输出的y 值为（）．A ．19B ．127C ．9-D ．27-4．已知命题:p x ∀∈R ，22sin cos 1x x +=；命题0:(0,)q x ∃∈+∞，0202log x x <，则下列命题中为真命题的是（）． A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝5．设函数π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论中错误的是（）．A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的一个零点为5π6C ．()f x 在ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增D ．()y f x =的图象关于直线π12x =对称 6．函数23ln(1)y x x =+-的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．7．如图，某几何体的三视图是三个半径为2且圆心角为直角的扇形，则该几何体的表面积为（）．A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π8．已知6()(12)a x x +-的展开式中3x 的系数为260-，则a =（）．A ．2B ．1C ．2-D ．1-9．在边长为2的正方形ABCD 中随机撒n 粒豆子，其中到点A 的距离小于1的豆子共有m 粒，则用随机模拟方法得到的圆周率的近似值为（）．A ．4nmB ．16nmC ．4mnD ．16mn10．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点，若4AF FB =，则l 的斜率为（）．A ．43±B ．34±C．D． 11．设x ，y ，z 为正数，且345x y z ==，则（）． A ．345x y z << B ．435y x z <<C ．453y z x <<D ．534z x y <<12．已知函数()()f x x ∈R 满足(2)4()f x f x -=-，若函数32362y x x x =-+-与()y f x =图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，(,)n n x y ，则1()ni i i x y =+=∑（）．A ．0B ．3nC ．4nD ．6n二、填空题13．在数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+．若1023n a =，则n =__________．14．设(,)M x y 为平面区域230,230,3x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤上的动点，O 为坐标原点，(2,3)A ，则z O A O M =⋅的最小值是__________．15．某种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=．某用户购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品质量指标值位于区间(2,2)μσμσ-+之外的产品件数，则EX =__________．16．设点0(1,)M y ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得60OMN ∠=︒，则0y 的取值范围是__________．三、解答题17．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ．（2）若6a c +=，ABC △面积为2，求b ．18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA BD ⊥．（1）证明：PD PB =．（2）若PD PB ⊥，60DAB ∠=︒，PA AD =，求二面角B PA D --的余弦值． 19．（本小题满分12分）一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关．现收集了7组观测数据如下表：得到下面的散点图及一些统计量的值．773.7674.311表中ln i i z y =，17i i z z ==∑．（1）根据散点图判断，y a bx =+与d x y ce =哪一个适宜作为产卵数y 关于温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．（3）根据（2）的结果及表中数据，求出温度为30℃时一只红铃虫的产卵数的预报值是多少？（结果四舍五入到个位数）附：对于一组数据11(,)x z ，22(,)x z ，，(,)n n x z ，其回归直线z a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii xx z z b xx ==--=-∑∑，a z bx =-．20．（本小题满分12分）已知圆221:(1)16C x y ++=，动圆M 经过点2(1,0)C 且与圆1C 内切，圆心M 的轨迹为曲线E ． （1）求E 的方程．（2）设O 为坐标原点，A ，B 分别为曲线E 上的两点，且OA OB ⊥，求证：O 到直线AB 的距离为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数()e (e 14)2x x f x a ax =+--． （1）讨论()f x 的单调性．（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2,2x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=． （1）把C 的参数方程化为极坐标方程． （2）求l 与C 交点的极径．23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知a ，b ，c ∈R ，2223a b c ++=，证明： （1）||3a b c ++≤． （2）221113a b c 2++≥．。

2017-2018 学年广州市一般高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. ）（ 1）已知会合A x x 1 ， B x x2x0，则 A B （）（ A）x 1 x 1（ B）x 0 x 1（ C）x 0 x 1（ D）x 0 x 1【答案】 D【分析】试题剖析：A x1x1， B x 0x 1 ， A B x 0x 1，应选 D.考点：会合的交集 .（ 2）已知复数z3i，此中 i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在（）1i（ A）第一象限（ B）第二象限（C）第三象限（ D）第四象限【答案】 D【分析】试题剖析：z 3i1i14i12i， z 1 2i，即 z 对应点在第四象限，1i1i22应选 D.考点： 1、复数的观点；2、复数的运算 .（ 3）履行如下图的程序框图，假如输入x 3，则输出 k 的值为（）k0x2x3k k 2x100?是开始输入 x输出 k结束否（A）6（B）8（C）10（ D）12【答案】 C【分析】试题剖析：第一循环 x233 9, k 2 ；第二循环 x 2 9321,k 4 ；第三循环x 2 21 3 45, k 6 ；第四循环x 2 45 3 93, k8 ；第五循环x 2 93 3 189, k 10 ，189100结束循环，输出k 10，应选 C.考点 :程序框图及循环结构 .（ 4）假如函数 f x sin x60 的相邻两个零点之间的距离为，则的值为6（）（A）3（B）6（C）12（D） 24【答案】 B【分析】试题剖析：函数 f x sin x0的相邻两个零点之间的距离为函数的半个周6期，T, 6 ，应选B.26考点：三角函数的图象和周期 .（ 5）设等差数列a n的前 n 项和为 S n，且 a2a7a1224 ，则 S13（）（A）52（B）78（ C） 104（ D） 208【答案】 C【分析】a2a7a1224 ，3a724 ，即 a7 8 ，13 a1a1313a7104 ，试题剖析：S132应选 C.考点：等差数列的性质及前n 项和公式.（ 6）假如P1，P2， , ，P n是抛物线C：y24x 上的点，它们的横坐标挨次为x1， x2，,，x n，F 是抛物线 C 的焦点，若x1x2x n10 ，则 PF P F P F （）12n（ A）n 10（ B）n 20（ C）2n 10（ D）2n 20【答案】 A【分析】试题剖析：y 24x,p 1 ，由抛物线定义可知 PF 11 x 1 , P2 F2 x 2 ， ，2P n F 1 x n ，12nx 2 x nn10 ，应选 A.PF PF P F n x 1 考点： 1、抛物线的标准方程； 2、抛物线的定义及简单几何性质 .（ 7）在梯形 ABCD 中，ADBC ，已知 AD 4 ，BC6 ，若 CD mBA nBCm,nR ，则m（）n（A ） 3（ B ）11（D ） 3（ C ）33【答案】 A【分析】试题剖析： 过 A 作 AECD 交BG 于E ，则CD EA EB BA1BC BA ，即 m 1，31 m3 ，应选 A.n，3n考点 : 1 、平面向量基本观点定理；2、向量的运算 .x y 1 0,2（ 8）设实数 x ， y 知足拘束条件xy1 0, 则 x 2y 2的取值范围是（）x，1（A ） 1,17（B ） 1,17（C ） 1, 17（D ）2 , 17 22【答案】 A【分析】试题剖析：画出拘束条件所表示的可行域，如图，A1,2 , D 0.2 ，由可行域知z x y 222y1 0 的距离的平方为 1 ，的最大值是 AD17 ，最小值为 D 到直线 x2应选 A.y3A2x+y- 1= 01x= -1C-4-3-2-1O1234x-1x-y- 1=0-2DB-3考点 : 利用可行域求目标函数的最值 .（ 9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，全部棱的长都为1，极点都在同一个球面上，则该球的体积为（）（ A）（B）20 5（C）5（D）5 536【答案】 D 【分析】125， R545试题剖析：由题意知，R212, V球=R3 5 ，应选 D.24236考点 : 1 、棱柱的性质；2、球的体积公式 .（ 10）已知以下四个：p1：若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l；p2：若 f x2x 2 x，则x R，f x f x ；p3：若 f x x 1，则x00,， f x0 1 ；x 1p4：在△ABC中，若A B ，则 sin A sin B ．此中真的个数是（）（A）1（B）2（C） 3（ D）4【答案】 B【分析】试题剖析：假如l 与内无数条平行线垂直，则l 与不必定垂直，因此p1错误；f x2x 2 x，f x 2 x2x f x，故 p2正确；f x1, 只有一个根x0 ，x 0 时，f x1无解，故p3错误；因为在ABC中A B 必定有 a b ，再由正弦定理可得sin A sin B ，故p4正确；应选 B.考点： 1、直线与平面垂直的判断；2、正弦定理及函数的奇偶性.（11）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四周体的三视图，则该四周体的表面积为（）（A）882 46（B）882 26（C）2 2 26（D）126224【答案】 A【分析】试题剖析：由三视图可知，几何体是以P 为极点，以ABC 为底面，以 PC 为高的三棱锥，如图 . 由三视图可知PC4, BC 2 ，可求得AB PB 2 5,AC 4 2, AP 4 3，因此S表SABCSBCSPACSPAB 88 246 ，应选 A.BCAP考点： 1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.（12）以下数表的结构思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．12 3 4 5,2013 20142015 20163579,,,,4027 4029 403181216,,,,,,,805680602028,,,,,,,,,,16116,,,,,,,,,,,,,,,,该表由若干行数字构成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）（ A）201722015（ B）2017 22014（ C）201622015（D）201622014【答案】 B【分析】试题剖析：第一行为1、 2 、 3 的三角形，最后一行的数为3121；第一行为1、2、 3、4 的三角形，最后一行的数为 4 122；第一行为1、2、 3、4 、 5的三角形最后一行的数为，5123,可猜想第一行为1、 2、3,2016 最后一行的数为2016 122014201722014，应选 B.考点：概括推理及不完整概括法.第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分20 分．）（ 13）一个整体中有 60 个个体，随机编号 0， 1， 2，, ，59，依编号次序均匀分红 6 个小组，组号挨次为 1， 2，3，, ， 6．现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组随机抽取的号码为3，则在第 5 组中抽取的号码是．【答案】43【分析】试题剖析：整体 60 个个体，依编号次序分红 6 个小组，则间隔编号为6010 ，因此在第 5 组6中抽取的号码为 3 10443 ，故答案为43 .考点：系统抽样方法 .（ 14）已知双曲线C：x2y 2 1 a0,b0的左极点为 A ，右焦点为 F ，点B 0,b，a2b2且BA BF0 ，则双曲线C的离心率为．【答案】512【分析】试题剖析：BA BF 0,AB BF ，又BO AF，因此由射影定理知OB2OAOF，即 b 2ac c22， e2e10, e5151 a2，故答案为2考点:1、向量垂直与向量数目积之间的关系；2、双曲线的几何性质及离心率 .（ 15）x2x4x3的系数为2的睁开式中，．（用数字填写答案）【答案】40【分析】试题剖析： x2x4x2x24x 24C43 x2 x3中含 x3项其2睁开后只有与2系数和为C4123C43C312240，故答案为40 .考点：二项睁开式定理 .（ 16）已知函数f x 1x 1 ,x1,则函数 g x 2 x f x 2 的零点个数为2x，x4x 2,1个．【答案】 2考点 :函数的零点和图象交点的关系.三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（ 17）（本小题满分12 分）如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD BC ，AC 5 3 ，CD5, BD 2AD .（Ⅰ）求 AD 的长；（Ⅱ）求△ABC 的面积．CA D B75 3【答案】（Ⅰ） 5 ；（Ⅱ）.【分析】试题剖析：( Ⅰ ) 设 AD x x 0 ，则 BD 2 x ．因为 CD BC ， CD 5 ， BD 2 x ，因此cos CDB CD5，由余弦定理得BD2xcos ADC AD 2CD 2AC 2x252(53) 2．因为 cos ADC cos CDB ，即2AD CD2x 5x252(53) 25．解得 x 5 ．因此AD的长为 5 ；（Ⅱ）由 ( Ⅰ )AB 3 x15，所2x 52x以S ABC 1BC sin CBA可得正确答案 .AB2试题分析： ( Ⅰ )在ABC 中，因为BD 2AD，设 AD x x 0 ，则 BD 2 x ．在 BCD 中，因为CD BC，CD 5 ， BD 2x ，因此 cos CDB CDBD5．在 ACD 中，因为 AD x ， CD5，AC 5 3 ，2x由余弦定理得 cos ADC AD 2CD 2AC 2x252(5 3)2．因为2AD CD 2 x5CDB ADC，因此 cos ADC cos CDB ，即 x252(5 3)25．解得 x 5 ．因此AD的长为 5 .2x 5 2 x（Ⅱ）由（Ⅰ）求得AB3x 15 ， BC225 5 3 ．因此cos CBD BC34 xBD，2从而 sin1,因此S ABC1sin115 51753 CBD AB BC CBA34．2222考点：余弦定理及三角形面积公式.（ 18）（本小题满分12 分）从某公司生产的某种产品中抽取100件，丈量这些产品的质量指标值，由丈量结果获得如图所示的频次散布直方图，质量指标值落在区间55,65 ，65,75，75,85内的频次之比为4:2:1 ．（Ⅰ）求这些产质量量指标值落在区间75,85内的频次；（Ⅱ）若将频次视为概率，从该公司生产的这类产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间45,75 内的产品件数为X，求X的散布列与数学希望．频次组距0.0300.0190.0120.004015 25 35 45 55 65 75 85质量指标值【答案】（Ⅰ） 0.05 ；（Ⅱ） 1.8 .【分析】试题剖析：（Ⅰ）先依据比率设出质量指标值落在区间55,65 ， 65,75 , 75,85 内的频次，再依据各个矩形面积和为1可求得质量指标值落在区间75,85 内的频次；（Ⅱ）从该公司生产的该种产品中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验，因此X听从二项散布 B n, p ，此中 n 3 ，依据独立重复试验概率公式求概率，依据二项散布希望公式求希望.试题分析：（Ⅰ）设区间75,85 内的频次为 x ，则区间55,65 ， 65,75 内的频次分别为4x 和 2x ．依题意得0.004 0.012 0.019 0.03 10 4x 2 x x 1 ，解得x0.05 .因此区间75,85 内的频次为0.05．（Ⅱ）从该公司生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，因此 X 听从二项散布B n, p ，此中n 3．由（Ⅰ）得，区间45,75 内的频次为0.3 0.2+0.1=0.6 ，将频次视为概率得p 0.6 ．因为X的全部可能取值为0、1、 2、 3，且 P(X 0)C300.600.430.064， P(X1)C13 0.610.420.288 ，P( X2)C320.620.410.432 ，P( X3) C330.630.400.216．因此 X 的散布列为：X0123P0.0640.2880.4320.216 X 听从二项散布B n, p，因此 X 的数学希望为EX 3 0.6 1.8 ．考点： 1、频次散布直方图； 2、失散型随机变量的均值希望 .（ 19）（本小题满分12 分）如图，四棱柱 ABCD A1 BC1 1D1的底面ABCD是菱形，AC BD O，AO1底面ABCD ，AB AA1 2．（Ⅰ）证明：平面ACO1平面 BB1D1 D ；（Ⅱ）若 BAD60 ，求二面角 B OB1 C 的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明看法析；（Ⅱ）6 4.【分析】试题剖析：（Ⅰ）先证AO BD，CO BD 可得BD平面ACO ，从而得平面BB1D1D平11面ACO1；（Ⅱ）以 O 为原点，OB，OC，OA1方向为x，y，z轴正方向成立如下图空间直角坐标系．分别求出平面OBB1的法向量，平面OCB1的法向量，利用空间向量夹角公式即可求得二面角 B OB1 C的余弦值 .试题分析：（Ⅰ）证明：因为 AO平面 ABCD，1BD 平面ABCD，因此AO BD．因为 ABCD 是菱形，1因此 CO BD ．因为AO1CO O ，因此 BD平面 ACO．因为BD 平面BB1 D1D，1因此平面BB1 D1 D 平面 ACO1．（Ⅱ）解：因为1平面 ABCD ，CO BD ，以 O 为原点，OB，OC，OA1方AO向为 x ，y， z 轴正方向成立如下图空间直角坐标系．因为 AB AA1 2 ，BAD60，因此 OB OD1，OA OC3，OA1AA12OA21．则B 1,0,0，C0, 3,0 ，A 0,3,0，A10,0,1 ，因此 BB1AA10, 3,1 ，OB1OB+ BB11, 3,1 ．设平面OBB1的法向量为n x, y, z ，因为 OB1,0,0， OB11, 3,1 ，因此x0,x3y z 0.令 y1，得 n0,1, 3．同理可求得平面OCB1的法向量为m1,0,1．因此 cos n,m36B OB1C 的平面角为钝角，22．因为二面角4因此二面角 B OB1 C 的余弦值为 6 ．4z D1C1A1B1DCyOA Bx考点： 1、线面及面面垂直的判断定理；2、利用法向量夹角公式求二面角的余弦.（ 20）（本小题满分12 分）已知椭圆 C 的中心在座标原点，焦点在x 轴上，左极点为 A ，左焦点为F12，0，点B2, 2在椭圆 C 上，直线y kx k 0 与椭圆C交于E，F两点，直线AE ， AF 分别与 y 轴交于点M ，N．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）以 MN 为直径的圆能否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明原因．【答案】（Ⅰ）x2y21；（Ⅱ）经过两定点P12,0， P22,0 . 84【分析】试题剖析：（Ⅰ）椭圆的左焦点为 F12，0 ，因此a2b24．由点 B 2, 2 在椭圆 C上，得421，从而解出 a, b 获得椭圆 C 的方程；（Ⅱ）直线 y kx (k 0) 与椭圆x2y21 a2b284联立，解得 E, F 的坐标（用 k 表示），设出 AE ， AF 的方程，解出 M , N 的坐标，圆方程用k 表示，最后可求得MN 为直径的圆经过两定点.试题分析：（Ⅰ）设椭圆 C 的方程为x2y2 1 (a b 0) ，a2b2因为椭圆的左焦点为F12，0 ，因此a2b2 4 ．因为点 B 2,2在椭圆 C421 ．上，因此2b2a由①②解得， a2 2 ，b 2 ．因此椭圆 C 的方程为x 2y 2 1．84（Ⅱ）因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为 2 2,0 ．因为直线 ykx ( k 0) 与椭圆x 2y 21交于两点 E ，F ，84设点 E x 0 , y 0 （不如设 x 00 ），则点 F x 0 , y 0 ．y kx, 2 8联立方程组x 2 y 2 1消去 y 得 x 12 ．8 42k因此 2 2 ，则 y 02 2k ．x 02k 2 1 2k 21因此直线 AE 的方程为 ykx2 2 ．1 12k2因为直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点 M ， N ，令 x0 得 y2 2k，即点 M 0,2 2k．112k 22k 211同理可得点 N0,2 2k．11 2k 2因此 MN2 2k2 2k2 2 1 2k 2．11 2k2112k2k设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P 0,2 ．k222 1 2k2则以 MN 为直径的圆的方程为x2y2 ，kk即 x 2y 2 2 2 y 4 ．k令 y0 ，得 x 24 ，即 x2 或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P 1 2,0 ， P 2 2,0 ．考点： 1、 待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义 .（ 21）（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) e x+mx 3 , g xln x1 2 ．（Ⅰ）若曲线yf x 在点0 f 0 处的切线斜率为 1，务实数 m 的值；，（Ⅱ）当 m 1时，证明： f xg(x)x 3 .【答案】（Ⅰ） m 0 ；（Ⅱ）证明看法析 .【分析】试题剖析：（Ⅰ）先求出 f ( x) ，再令fe m，可解得m 的值；（Ⅱ） f xg( x) x31等价于 ex+ mln x 1 20 ，当 m1时，只要证明 e x1ln( x1) 2 0 ，设h xe x 1ln x 12 ，则 h xe x 1x 1 ，利用 hx 的单一性， 能够证明 h x 的1最小值 hx 0 为正，从而 f xg( x)x 3 .试题分析： （Ⅰ）因为f ( x)e x+ mx 3 ，因此 f (x)e x+m3x 2 . 因为曲线yf x 在点0 f 0处的切线斜率为 1，因此 fe m1，解得 m0 .，（Ⅱ）因为 f ( x) e x+m x 3 , g xln x12 ，因此 fxg( x) x 3 等价于 e x+m ln x 12 0．当 m 1时， e x+m ln x 1 2 e x 1 ln x 1 2 ．要证 e x+mln x 12 0 ，只要证明 e x 1 ln( x 1)20设 h x e x 1 ln x 12 ，则 h x e x 1x 1 .1设 p x ex 11x 110 ．x ，则 p x ex211因此函数 p xh xe x11 1 在 1，+ 上单一递加．x1 1因为 he 2 2 0 ， h 0 e 10，2因此函数 h xe x11 在 1，+上有独一零点x 0 ，且 x 01 ,0x 12因为 h x0，因此e x0 +11，即 ln x1x 1 .0x0100当 x1, x 时， h x0 ；当 x x,时， h x 0 ，00因此当 x x0时， h x 获得最小值 h x0.因此 h x h x0 = e x01ln x0 1 2x01x0120.1综上可知，当 m 1时，f x g( x)x3.考点： 1、利用导数求切线斜率；2、利用导数研究函数的单一性及最值 .请考生在第22、 23、 24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 解答时请写清题号 .（ 22）（本小题满分10 分）选修4－1：几何证明选讲如下图，△ABC 内接于⊙ O ，直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ，交 BC 的延伸线于点 D ，过点D 作DE CA 交BA 的延伸线于点 E ．（Ⅰ）求证：（Ⅱ）若直线DE2AE BE ；EF 与⊙ O 相切于点F，且EF4，EA 2 ，求线段AC的长．FB．OE ACD【答案】（Ⅰ）证明看法析；（Ⅱ） 3 .考点： 1、三角形相像；2、切割线定理 .（ 23）（本小题满分10 分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 sin ，0,2 .（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线 C 上求一点 D ，使它到直线 l ：x3t3,（ t 为参数，t R ）的距离最y3t2短，并求出点D 的直角坐标.【答案】（Ⅰ） x2y2 2 y33 0 ；（Ⅱ）， .22【分析】试题剖析：（Ⅰ）利用极坐标方程与直角坐标的互化公式可得：（Ⅱ）参数方程化为一般方程，利用圆心到直线的距离减半径最小可知，过圆心与直线垂直的直线与圆的交点之一获得最小值，依据几何意义清除一个即可.试题分析：（Ⅰ）解：由 2 sin ，0,2 ，可得2 2 sin ．因为2x 2 y 2 ，siny ，因此曲线 C 的一般方程为 x 2y 2 2y0 （或 x 221）．y 1 （Ⅱ） 解： 因为直线的参数方程为x 3t 3,（ t 为参数， tR ），y3t2消去 t 得直线 l 的一般方程为 y3x 5 ．因为曲线 C ： x 2y 1 21是以 G0,1 为圆心， 1 为半径的圆，设点 Dx 0 , y 0 ，且点 D 到直线 l ： y3x 5 的距离最短，因此曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l ： y3x 5平行．即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于1，即y 0131．x 02 y 0 1233因为x 01，解得 x 0或 x 0 2．2 因此点 D 的坐标为3 1或3 32，2 ， ．22因为点 D 到直线 y3x 5 的距离最短，因此点 D 的坐标为332 ， ．2考点： 1、极坐标方程与直角坐标的方程互化； 2、参数方程与一般方程的互化 .（ 24）（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲设函数 f xx ax 1 a ． （Ⅰ）当 a1 时，求不等式f x1的解集；2（Ⅱ）若对随意【答案】（Ⅰ）a0,1 ，不等式1,；（Ⅱ）4f xb 的解集为空集，务实数 b 的取值范围．2，+ .【分析】试题剖析：（Ⅰ）议论三种状况x 1 ， 1 x 0 ， x 0 ，最后找并集即可； （Ⅱ）不等式f xb 的解集为空集，只要 bf x，利用基本不等式可得f xa 1 a ，max从而转变为ba1 a，最后运用三角换元法或平方后联合基本不等式求出maxa1 a.max试题分析：（Ⅰ） 解： 当 a 1 时， fx1 x 1 x1等价于．1 22①当 x1时，不等式化为 x 1 x，无解；21 1②当 1x 0 时，不等式化为 x1 xx 0 ；，解得41 2③当 x0 时，不等式化为 x1 x0 ．，解得 x2综上所述，不等式f x1的解集为1 , .4（Ⅱ）因为不等式f xb 的解集为空集，因此 bf x．max因为 f x x a x1 ax a x1 aa 1 aa 1 a ，当且仅当 x1 a 时取等号． 因此 f xmaxa1 a ．因为对随意 a0,1 ，不等式f xb 的解集为空集，因此 ba1 a, 令 gaa1 a ，max因此 g 2a12 a1 a1a21a22 ．当且仅当a1 a ，即 a12时等号成立．因此 g amax2 ．因此 b 的取值范围为2，+ ．考点： 1、绝对值不等式的解法； 2、利用基本不等式求最值.。

肇庆市鼎湖中学2018届高三理科数学10月月考试题一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分 1、已知集合}{11M x x =-<<，{22,N x x =<x ∈Z }，则（ ）(A) M N ⊆ (B) N M ⊆ (C) {}0M N =I (D) M N N =U 2、若复数34iz i+=，则复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、设z 是复数z 的共轭复数，且满足3z z +=，i 为虚数单位，则复数z 的实部为（ ）（A ）4 （B ）3 （C（D ）24、P 为△OAB 所在平面上一点，且BP ―→＝2PA ―→， OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝145、设变量,x y 满足10020015x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩,则23x y +的最大值为( )A . 20B . 35C . 45D . 55 6、已知x ，y 的取值如下表所示：ˆˆ0.95yx a =+，则当5x =时，ˆy 的值是（ ） （A ）7.35 （B ）7.33 （C ）7.03 （D ）2.6 7、下列说法中不．正确．．的个数是（ ） ①“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“00,cos 1x R x ∃∈>”； ③若p ：[)1,,lg 0x x ∀∈+∞≥，q ：00,20x x R ∃∈≤，则p q ∨为真命题．（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）08、已知向量(3,2)a =-r ，(,1)a x y =-r 且a r ∥b r ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是（ ）A ．24B ．8C ．38D ．359、某程序框图如图2所示，则输出的结果S =（ ）（A ）26 （B ）57 （C ）120 （D ）24710如图, 网格纸上的小正方形的边长为1, 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是(A) 46+π (B) 86+π (C) 412+π (D) 812+π11、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O =I ，E 是线段1B C （含端点）上的一动点， 则①1OE BD ⊥； ②11//OE AC D 面； ③三棱锥1A BDE -的体积为定值； ④OE 与11A C 所成的最大角为90︒.上述命题中正确的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）412、当实数,x y 满足不等式组0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，3ax y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）0a ≤ （B ）0a ≥ （C ）02a ≤≤ （D ）3a ≤ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知向量()(),2,1,1m a n a ==-u r r，且m n ⊥u r r ，则实数a 的值为OC 1B 1A DEABCD 14、执行如图3所示的程序框图，输出的结果为120，则判断框①中应填入的条件为_________15、如图，已知点A 、B 、C 、D 是球O 的球面上四点， DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，3O 的体积等于___________.16、如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 边CD 上一个动点，CQ QD λ=u u u r u u u r，点P 为线段BQ (含端点)上一个动点,若λ= 1 ,则PA PD u u u r u u u rg 的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ.（Ⅰ）写出1C 的普通方程和极坐标方程，2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）点A 在1C 上，点B 在2C 上，求AB 的最小值.18、（12分）某市在以对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．(1)某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，按性别采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：等级 优秀 合格不合格 男生（人） 15 x5女生（人）153y根据表中统计的数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评介测评结果为优秀与性别有关”？男生 女生 总计 优秀非优秀 总计（2）以（１）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519、（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知2,2,22,AD PA PD ===．M 是PD 的中点.（Ⅰ）证明PB ∥平面MAC（Ⅱ）证明平面PAB ⊥平面ABCD ；20、（12分）某家具厂有不锈钢方料390 m ，高密度板2600 m ，准备加工成饭桌和物橱出售．已知生产每张饭桌需要不锈钢方料30.1 m 、高密度板22 m ；生产每个物橱需要不锈钢方料30.2 m 、高密度板21 m . 出售一张饭桌可获利润80元，出售一个物橱可获利润120元. （Ⅰ）如果只安排生产饭桌或物橱，各可获利润多少？ （Ⅱ）怎样安排生产可使所得利润最大？21、（12分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数）.（Ⅰ）若圆C 与直线l 恒有公共点，求实数a 的取值范围. （Ⅱ）设集合(,)0,02cos 4A πρθθρθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，求集合A 所表示区域的面积。

2018广东省广州市越秀区统考高三上10月月考理科试卷一、选择题1．已知集合{}|||2,A x x x =∈Z ≤，{}2|20B x x x =--<，则A B = （）．A ．{}1,0,1,2-B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C【解析】{}1,0,1,2A =-，{}|12B x x =-<<， 故{}0,1A B = ． 故选C ．2．设复数z 满足(2i)10z +=，则z =（）．A ．42i +B ．42i -+C ．42i --D ．42i -【答案】D【解析】(2i)10z +=， 21010(2i)2010i2i (2i)(2i)4i z --===++--， 2010i42i 5-==-． 故选D ．3．执行如图所示的程序框图，如果输入的x 值为3-，则输出的y 值为（）．A ．19B ．127C ．9-D ．27-【答案】B【解析】解：∵30x =-<，∴由图可知：313327x y -===． 故选B ．4．已知命题:p x ∀∈R ，22sin cos 1x x +=；命题0:(0,)q x ∃∈+∞，0202log x x <，则下列命题中为真命题的是（）． A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】解：命题:p x ∀∈R ，22sin cos 1x x +=为真命题， 命题:q 无法找到0x 使得0202log x x <， 故为假命题，因此()p q ∧⌝为真命题． 故选B ．5．设函数π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论中错误的是（）．A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的一个零点为5π6C ．()f x 在ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增D ．()y f x =的图象关于直线π12x =对称 【答案】C【解析】解：函数()f x 的最小正周期2ππ()T ω==，A 正确； 当5π6x =时，5ππ()sin sin 2π033f x ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，B 正确；当ππ,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，π220,π33x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 不单调，C 错误；当π12x =时，ππsin 1122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x 取最值，故π12x =为对称轴，D 正确． 故选C ．6．函数23ln(1)y x x =+-的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：23ln(1)y x x =+-，x ∈R ， 又(1)ln 210f =-<， 故排除A 、B ，22231x y x x '=-+，4222331x x x x --=+， 32(233)1x x x x --=+．由零点存在定理可知，32330x x --=在(0,1)上有一零点， 可知()f x 在(0,1)单调性发生变化．故选D ．7．如图，某几何体的三视图是三个半径为2且圆心角为直角的扇形，则该几何体的表面积为（）．A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π【答案】D【解析】解：由图可知该几何体是18个半径为2的球体，其由3个扇形和18个球面围成，故表面积22113π24π248S =⨯⨯⨯+⨯⨯，5π=．故选D ．8．已知6()(12)a x x +-的展开式中3x 的系数为260-，则a =（）．A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】A【解析】解：332266C (2)C (2)260a ⋅-+-=-，解得2a =．故选A ．9．在边长为2的正方形ABCD 中随机撒n 粒豆子，其中到点A 的距离小于1的豆子共有m 粒，则用随机模拟方法得到的圆周率的近似值为（）．A ．4nmB ．16nmC ．4mnD ．16mn【答案】C【解析】本题考查几何概型．设正方形的边长为a ，则正方形面积为2a ， 圆的面积为22ππ24a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22ππ44a mn a ==， 所以4πmn=． 故选C ．10．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点，若4AF FB =，则l 的斜率为（）．A ．43±B ．34±C．D． 【答案】A【解析】解：设AB 斜率为k ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x >， 又∵28y x =，∴(2,0)F ，则：1(2,)AF x y =--，22(2,)FB x y =- ， 又4AF FB = ， ∴1224(2)x x -=-， 即12104x x =-，（*）AB 方程：(2)y k x =-代入28y x =得：2222(48)40k x k x k -++=， ∴212224884k x x k k ++==+， 124x x =代入（*）式得： 22(104)4x x -=， 解得212x =（舍去）， ∴18x =，∴12218842x x k+=+=+， 解得43k =±．故选A ．11．设x ，y ，z 为正数，且345x y z ==，则（）． A ．345x y z << B ．435y x z << C ．453y z x << D ．534z x y <<【答案】A【解析】解：设345x y z k ===， ∵x ，y ，z 为正数， ∴1k >，∴3log x k =，4log y k =，5log z k =， ∴3343log log 4333log 444log 4log 34k k k x y k ==⨯=⨯，3433log 4log log 1==<=，又30x >，40y >， ∴34x y <，∴445log 54log 444log 555log 5log 45k k k y z k ==⨯=⨯，2222log 5log log 15==， ∴45y z <，故综上：345x y z <<． 故选A ．12．已知函数()()f x x ∈R 满足(2)4()f x f x -=-，若函数32362y x x x =-+-与()y f x =图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ， ，(,)n n x y ，则1()ni i i x y =+=∑（）．A ．0B ．3nC ．4nD ．6n【答案】B【解析】解：∵(2)4()f x f x -=-， ∴()f x 关于(1,2)对称，∵32362y x x x =-+-也关于(1,2)对称，∴1422ni i nx n ==⨯=∑， ∴1()3ni i i x y n =+=∑．故选B ．二、填空题13．在数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+．若1023n a =，则n =__________． 【答案】1023【解析】解：在数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+， 可得112(1)n n a a ++=+，所以{}1n a +是等比数列，首项是2，公比为2的等比数列， ∴12n n a +=，即21n n a =-， ∴1010211023a =-=．14．设(,)M x y 为平面区域230,230,3x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤上的动点，O 为坐标原点，(2,3)A ，则z O A O M =⋅ 的最小值是__________． 【答案】6-【解析】解：作出可行域：23z OA OM x y =⋅=+，z 最小值在(3,0)-取得最小值为6-．15．某种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=．某用户购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品质量指标值位于区间(2,2)μσμσ-+之外的产品件数，则EX =__________． 【答案】4.56【解析】1001001000.9544EX NP =-=-⨯， 4.56=． 16．设点0(1,)M y ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得60OMN ∠=︒，则0y 的取值范围是__________．【答案】0y ⎡∈⎢⎣⎦ 【解析】0(1,)M y 在直线1x =上， 直线1x =和圆交点为(1,0)T ， 假设存在点N ，使得60OMN ∠=︒，则必有OMN OMT ∠∠≤， 所以60OMT ∠︒≥， 所以在Rt OMT △中，01tan ||OT OMT TM y ∠==，解得：0||y ≤所以0y ⎡∈⎢⎣⎦．三、解答题17．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2BA C +=． （1）求cosB ．（2）若6a c +=，ABC △面积为2，求b ． 【答案】见解析．【解析】（1）2sin()8sin 2B AC +=， ∴sin 4(1cos )B B =-， ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15cos 17B =． （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABC S ac B =⋅=△，∴172ac =，∴2222217152cos 2217b ac ac B a c =+-=+-⨯⨯， 22215()2153617154a c a c ac =+-=+--=--=，∴2b =．18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA BD ⊥．（1）证明：PD PB =．（2）若PD PB ⊥，60DAB ∠=︒，PA AD =，求二面角B PA D --的余弦值． 【答案】见解析．【解析】证明：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，且O 为BD 与AC 的中点， 又∵BD PA ⊥， ∴BD ⊥平面PAC ， ∵PO ⊂平面PAC ， ∴BD PO ⊥， 又BO DO =， ∴PD PB =．（2）解：∵PD PB =，且O 是BD 中点， ∴BO DO =， 又∵PA AD =，∴AOD △≌AOP ∠，∴PO OA ⊥，从而OA ，OB ，OP 两两互相垂直，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵60DAB ∠=︒，∴1CBB △为等边三角形，又PA AD =，DABCP则P ⎛ ⎝⎭，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(1,0,0)A，0,D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, PB ⎛= ⎝⎭，1,0,PA ⎛= ⎝⎭ ，1,AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设(,,)n x y z =是平面PAB 的法向量，则00n PB y n PA x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，取1x =，得n =，设平面PAD 的法向量(,,)m a b c =，则00m PA a m AD a ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取1a =，得(1,m =，设二面角B PA D --的平面角为θ，则||1cos 7||||m n m n θ⋅===⋅ ， ∴二面角B PA D --的余弦值为17． 19．（本小题满分12分）一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关．现收集了7组观测数据如下表：得到下面的散点图及一些统计量的值．表中ln i i z y =，17i i z z ==∑．（1）根据散点图判断，y a bx =+与d x y ce =哪一个适宜作为产卵数y 关于温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．（3）根据（2）的结果及表中数据，求出温度为30℃时一只红铃虫的产卵数的预报值是多少？（结果四舍五入到个位数）附：对于一组数据11(,)x z ，22(,)x z ， ，(,)n n x z ，其回归直线z a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii xx z z bxx ==--=-∑∑ ， az bx =- ． 【答案】见解析．【解析】解：（1）根据散点图可以判断，d x y ce =适宜作为产卵数y 关于温度x 的回归方程类型．（2）对d x y ce =两边取自然对数得ln ln d y c x =+， 令ln z y =，ln a c =，b d =，得z a bx =+． 因为71721()()40.1820.272147.714()ii i ii xx z z bxx ==--===-∑∑ ，3.6120.27227.429 3.849az bx =-=-⨯=- ， 所以z 关于x 的线性回归方程为0.272 3.849zx =- ． 所以y 关于x 的回归方程为 0.272 3.849x y e -=．（3）由（2）得，当30x =时，一只红铃虫的产卵数的预报值是 4.31174.51575y e ==≈， 所以温度为30℃时一只红铃虫的产卵数的预报值是75个．20．（本小题满分12分）/℃已知圆221:(1)16C x y ++=，动圆M 经过点2(1,0)C 且与圆1C 内切，圆心M 的轨迹为曲线E ． （1）求E 的方程．（2）设O 为坐标原点，A ，B 分别为曲线E 上的两点，且OA OB ⊥，求证：O 到直线AB 的距离为定值．【答案】见解析．【解析】解：（1）设(,)M x y ，动圆M 的半径为r ，则2||MC r =， 因为圆M 与圆1C 内切，所以1||4MC r =-，所以12||||4MC MC +=．根据椭圆的定义，曲线E 是以1C ，2C 为焦点的椭圆， 因为24a =，22c =，所以2a =，1c =，b所以曲线E 的方程为22143x y +=． （2）当点A 位于坐标轴上时，O 到直线AB=， 当点A 不位于坐标轴上时，设直线OA 的方程为y kx =（k 存在且0k ≠），则直线OB 的方程为1y x k=-， 由22,1,43y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得222212,3412,34x k k y k 2⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以22212(1)||34k OA k +=+， 由221,1,43y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩同理可得22212(1)||43k OB k +=+． 设O 到直线AB 的距离为d ，由于22222(||||)||||OA OB d OA OB +=⋅， 所以222221117(1)7||||12(1)12k d OA OB k +=+==+，所以d = 综上所述，O 到直线AB21．（本小题满分12分）已知函数()e (e 14)2x x f x a ax =+--．（1）讨论()f x 的单调性．（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）()e (e 14)2x x f x a ax =+--，2()2(e )(14)e 2(2e 1)(e 2)x x x x f x a a a '=+--=+-，①0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上递增，②0a >时，令()0f x '=，得ln 2x a =，当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 递减，当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增．（2）()f x 有两个零点，①当0a ≤时，()f x 在R 上递增，显然不成立．②当0a >时，(ln 2)2(12ln 2)0f a a a a =--<，得12ln 20a a --<，令()12ln 2h a a a =--， 得1()20h a a '=--<，102h ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴12a >． 1）由（1）知，()f x 在(2ln ,)a +∞递增，(ln 2)0f a <，(ln 6)6(21)2ln 6f a a a a a =+-，2(63ln 6)0a a a =+->，∴()f x 在(ln 2,ln 6)a a 上有唯一零点．2）11(1)1420e e f a a ⎛⎫-=+-+> ⎪⎝⎭，(ln 2)0f a <， ()f x 在(,ln 2)a -∞递减， ∵()f x 在(1,ln 2)a -上有唯一零点，综上，a 的取值为：1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2,2x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=．（1）把C 的参数方程化为极坐标方程．（2）求l 与C 交点的极径．【答案】见解析．【解析】解：（1）消去参数t ，得C 的普通方程为228x y -=，所以曲线C 的极坐标方程为222(cos sin )8ρθθ-=．（2）联立222(cos sin )2,(cos sin )8,ρθθρθθ+=⎧⎨-=⎩消去ρ得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+，即cos 3sin θθ=．因为22sin cos 1θθ+=， 所以221sin ,109cos ,10θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以210ρ=．所以l 与C23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知a ，b ，c ∈R ，2223a b c ++=，证明：（1）||3a b c ++≤．（2）221113a b c 2++≥． 【答案】见解析 【解析】证明：（1）因为2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++， 222222222222()()()3()9a b c a b b c c a a b c ++++++++=++=≤， 所以||3a b c ++≤．（2）因为2223a b c ++=， 所以222222222222222333a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++， 2222222222223b a c b a c ab bc c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32229b a c b a c a b b c c a+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=≥， 所以2221113a b c ++≥．。

广东省百校联盟2018届高三第二次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则：.本题选择A选项.2. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，故选C.3. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温的数据一览表.椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A. 最低温与最高温为正相关 B. 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大，正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前个月不是逐月增加，错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在月，正确；由表格可知月至月的月温差（最高温减最低温）相对于月至月，波动性更大，正确，故选B.4. 已知命题是的必要不充分条件；命题若，则，则下列命题为真命题的上（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由对数的性质可知：，则命题是真命题；由三角函数的性质可知：若，则：，且：，命题是真命题.则所给的四个复合命题中，只有是真命题.本题选择A选项.5. 在中，角的对边分别为，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦定理结合题意有：，不妨设，结合余弦定理有：，求解关于实数的方程可得：，则：.本题选择B选项.6. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为，另两个侧面为直角三角形面积都为，可得这个几何体的表面积为，故选C.7. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度可得，令，得，再令，得，则在上的单调递增区间是，故选B.8. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，1不是质数，；，4不是质数，；，7是质数，；，10不是质数，；，13是质数，，，故输出的.选D.9. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查的几何意义：可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，则，令，换元可得：，该函数在区间上单调递增，据此可得：，即目标函数的取值范围是.本题选择A选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．10. 函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】为奇函数，图象关于原点对称，排除；当时，，排除；当时，，排除；故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由通径公式有：，不妨设，分类讨论：当，即时，为钝角，此时；当，即时，应满足为钝角，此时：，令，据此可得：，则：.本题选择D选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；...........................12. 已知函数，若成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则：，令，则，导函数单调递增，且，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合函数的单调性有：，即的最小值为.本题选择A选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量与向量互相垂直，且，若，则__________.【答案】【解析】由平面向量与向量互相垂直可得所以，又，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 在二项式的展开式中，第3项为，则__________.【答案】其中，结合题意有：，计算可得：，即：.15. 如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________.【答案】【解析】不妨设正方体的棱长为，设，如图所示，当点为的中点时，，则平面，据此可得为直线与所成的角，在中，边长：，由余弦定理可得：.即异面直线与所成角的余弦值为.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16. 已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是__________.【答案】【解析】点A在线段OM的中垂线上，又，所以可设，由的坐标代入方程有：解得：点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题（60分）17. 已知正项数列满足，数列的前项和满足. （1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)，.(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，利用前n项和与通项公式的关系可得的通项公式为.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列的前项和.试题解析：（1）因为，所以，，因为，所以，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，当时也满足，所以.（2）由（1）可知，所以.18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为，求随机变量的数学期望.【答案】(1)；(2)1.2.【解析】试题分析：(1)由题意结合概率公式可得第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率为；(2)由题意可得题中的分布列为二项分布，则随机变量的数学期望为1.2.试题解析：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件,（1）设事件表示第一次烧制后恰好有一件合格，则.（2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，所以随机变量，所以.19. 如图，四边形是矩形，平面.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合题意可证得平面，结合面面垂直的判断定理可得平面平面；(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的余弦值为. 试题解析：（1）证明；设交于，因为四边形是矩形，,所以,又，所以,因为,所以，又平面.所以，而，所以平面平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得,则,设平面的法向量，则，取，即设平面的法向量，则，取，即设平面与平面所成的二面角为，则由图可知二面角为钝角，所以.20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，，记直线在轴上的截距为，求的最大值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)结合题意可求得，则椭圆的方程为.(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线在轴上的截距的最大值为.试题解析：（1）因为，所以椭圆的方程为，把点的坐标代入椭圆的方程，得，所以，椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，联立方程组得，由，得，所以，所以由，得，令，所以，，即，当且仅当，即时，上式取等号，此时，，满足，所以的最大值为.21. 函数 .（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，证明： .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导可得，分类讨论可得：当时，在上递减，在和上递增，当时，在上递增.(2)由题意结合函数的性质可知：是方程的两根，结合所给的不等式构造对称差函数，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式.试题解析：函数的定义域为，（1）令，开口向上，为对称轴的抛物线，当时，①，即时，，即在上恒成立，②当时，由，得，因为，所以，当时，，即，当或时，，即，综上，当时，在上递减，在和上递增，当时，在上递增.（2）若函数有两个极值点且，则必有，且，且在上递减，在和上递增，则，因为是方程的两根，所以，即，要证又，即证对恒成立，设则当时，，故，所以在上递增，故，所以，所以.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）（1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，点上在，点为的中点，求点到直线距离的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）分别将曲线、的参数方程利用平方法消去参数，即可得到，的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2），利用点到直线距离公式可得到直线的距离，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，1为半径的圆，的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆．（2）由已知得，设，则，直线：，点到直线的距离，所以，即到的距离的最小值为．23. 已知 .（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出的最小值为，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：因为而，所以.（2）因为，所以或，解得，所以的取值范围是.。