列一元一次方程解中国古代数学问题共34页

人教版七年级上册数学一元一次方程的应用—古代数学问题1. 我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺．问绳长和井深各多少尺？若假设井深为x尺，则下列方程中符合题意的是( )A.13x−4=14x−1 B.3(x+4)=4(x+1)C.13x+4=14x+1 D.3x+4=4x+12. 《九章算术》中有“盈不足”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？其大意是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，则可列方程（）A.8x−3=7x+4B.8x+3=7x−4C.8x−3=7x+4D.8x−3=7x−43. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？若设有x个人，则可列方程是()A.3(x+2)=2x−9B.3(x−2)=2x+9C.x3−2=x+92D.x3+2=x−924. 相传有个人不讲究说话艺术常引起误会．一天他摆宴席请客，他看到还有几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”客人听了，心想难道我们是不该来的，于是有一半客人走了，他一看十分着急，又说：“不该走的倒走了！”剩下的人一听，是我们该走啊！又有剩下的三分之二的人离开了，他着急地一拍大腿，连说：“我说的不是他们．”于是最后剩下的四个人也都告辞走了，聪明的你能知道刚开始来了（）位客人吗？A.24B.18C.16D.155. （古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，则根据题意列出方程正确的是（）A.8x+3=7x−4B.8x−3=7x+4C.8x−3=7x−4D.8x+3=7x+46. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱六十，乙得甲太半而钱亦六十，问甲、乙持钱各几何？”译文为：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把他一半的钱给甲，则甲的钱数为60；而甲把他23的钱给乙，则乙的钱数也能为60，问甲、乙各有多少钱？”（）A.甲37.5，乙25B.甲45，乙30C.甲37.5，乙30D.甲45，乙257. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有一个“以碗知僧”的问题，“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚？此问题中和尚的人数为()A.31B.52C.371D.6248. 《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，他原本是一位商人，经商之便搜集各地算书和文字方面的书籍，编成首首的歌谣口诀，将枯燥的数学问题化成美妙的诗歌，读来朗朗上口，程大位还有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酵酒几多醇？”这首诗是说，好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（）A. B. C. D.9. 在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱. 问共有多少人家，每头牛的价钱是多少元？若设有x户人家，则可列方程为( )A.B.C.D.10. 古籍《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的译文为：如果每间客房住满7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住满9人，那么正好空出一间房．则该店有客房几间，房客几人？11. 我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其中，《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？12. 《九章算术》中记载:“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少?13. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，多出3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？14. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？请用方程解答上述问题．15. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作.书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？。

列一元一次方程解应用题——古代典型问题-北京版七年级数学上册教案一、教学目标1.知识与技能•能够理解一元一次方程的概念和解法；•能够熟练列出一元一次方程；•能够运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法•操作方法：通过示例，引导学生理解和运用方程的解法；•思维方法：通过小组合作，激发学生的思考和创新能力。

3.情感态度和价值观•引导学生认识到学习数学的重要性；•通过讲述古代典型问题，引导学生学会尊重传统文化。

二、教学重难点1.教学重点•理解一元一次方程的概念；•能够熟练列出一元一次方程；•能够运用所学知识解决实际问题。

2.教学难点•将日常生活问题转化为方程问题；•帮助学生理解和掌握方程解法。

三、教学过程1.导入（5分钟）通过讲述一个古代典型问题，引导学生了解方程的基本概念。

故事情节如下：在民间流传着一种关于猴儿捞月的古老传说，猴子们为了抓取悬挂在空中的月亮，想出了一个聪明的办法，他们站立在高高的树上，快速地向上跳，好似在攀登一座无形的大山。

可是，跳得在高，猴子们却怎么也够不着那飘渺的月亮。

一只智慧的老猴子提出了：“我们齐力一挺，可不是把天拉下来吗？”。

于是，猴子们从树干上拽下一条枯藤，掐断了一条适当长度的藤，然后，一起来挽着这条枯藤，同时喊：“一、二、三！齐力一挺！齐力一挺！”只见月亮缩小缩小，落在了猴子们脚下，他们震惊不已，纷纷围住月亮，手挥脚舞，大笑起来。

老师可适当引导学生分析以上故事，试图引出方程的概念。

2.理论讲解（15分钟）1.什么是一元一次方程？首先，教师可引导学生了解方程的基本概念。

方程是指一个等式，它的左边是一个未知数（称为“基础量”），右边是一个已知数或是几个已知数和运算符（或运算式）。

如果一个方程中只有一个未知量，而且未知量的最高次数是1，那么我们就可以把这个方程叫做一元一次方程。

2.一元一次方程的解法：接着，教师可通过讲解实例来帮助学生掌握一元一次方程的解法。

针对于【北京】版七年级上册数学第二章节学习3 “列一元一次方程”，本教案介绍如何通过列一元一次方程解决实际问题。

古代数学中的一元一次方程作者：吴强来源：《初中生世界·七年级》2014年第12期方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》. 《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作. 书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章.1. 鸡兔同笼问题鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一. 大约在1 500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题. 书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚. 问笼中各有几只鸡和兔？【分析】这个问题中数量之间有这样的相等关系：鸡头的数量+兔头的数量=35，鸡脚的数量+兔脚的数量=94.我们可以用一个相等关系设未知数，另一个相等关系建立方程.解：设鸡的数量是x只，则兔子的数量是（35-x）只.根据题意得，2x+4（35-x）=94.解之得，x=23.35-x=12.答：笼中鸡有23只，兔子有12只.2. 宝塔装灯问题我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为：远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？（倍加增指从塔的顶层到底层）.【分析】根据题意，设顶层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，依次第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出方程，解方程即可得解.解：设顶层的红灯有x盏.由题意得：x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381127x=381x=3.答：塔的顶层有3盏灯.3. 良马驽马问题元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”【分析】根据题意，驽马先行一十二日，则驽马先行了1 800里，这个问题中数量之间有这样的相等关系：驽马跑的路程+1 800里=良马跑的路程.解：设良马x天能追上驽马.根据题意得，150x+1 800=240x.解之得，x=20.答：良马20天可以追上驽马.4. 丢番图的墓志铭希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）被认为是代数学的鼻祖，但人们对于丢番图的生平知道得非常少，历史上甚至没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍. 他唯一的简历是从《希腊诗文集》中找到的. 这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”. “墓志铭”是用诗歌形式写成的：“过路的人，这儿埋葬着丢番图. 他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年. 再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭. 五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半. 晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年. ”根据以上信息，请你算出：（1）丢番图的寿命. （2）丢番图开始当爸爸时的年龄.（3）儿子死时丢番图的年龄.【分析】根据题意，只要知道丢番图的寿命，其他的年份都可以通过他的寿命算出来.解：设丢番图的寿命是x岁.根据题意得，+++5++4=x.解之得，x=84.+++5=38.84-4=80.答：丢番图的寿命是84岁，丢番图当爸爸时是38岁，儿子死时丢番图80岁.我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说：“程，课程也. 二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式. 一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程. 方程这个概念在《九章算术》中的“方程”章最早出现. 其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，也是世界数学史上一份非常宝贵的遗产. 这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族.（作者单位：江苏省常州外国语学校）。

列一元一次方程解应用题——古代典型问题-北京版七年级数学上册教案一、教学目标通过本节课的教学，学生能够：1.学会如何列一元一次方程解决问题；2.掌握古代典型问题的解法；3.了解近代数学家的解题思路和方法。

二、教学重难点本节课的重点是让学生掌握如何列一元一次方程解决问题，并能够应用到古代典型问题中。

难点是让学生了解这些古代问题是如何被解决的，以及近代数学家的解题思路和方法是什么。

三、教学内容1. 常见古代典型问题在古代，人们常常会遇到一些特别的问题，比如：•三珠合一：宝玉家庭三十六计之一孔雀王；•神鸟膜拜：孔子对周公的提问；•男女差额分配：春秋时期楚国风俗地理的一个问题；•船行河上：南宋赵明道在《数学钞》中的问题；•……2. 解决古代典型问题的步骤（1）分析问题，并列出问题的方程。

在解决古代典型问题的时候，需要先进行问题分析，并列出问题的方程。

例如：在《孟子·公孙丑》中有这样的一则故事：孟子问公孙丑：“人皆有爱己之心，如何才能知人之爱其人？”公孙丑答：“过其门而不入，则知其爱其人。

”这是一个古代典型问题，我们可以通过分析得出该问题的方程：x + a = b其中，x表示过门不入的人知道别人对自己的感觉，a表示这个人在门外的时间，b表示所有人在门外的时间之和。

（2）解方程求解。

对于方程x + a = b，我们可以用一元一次方程求解，得到：x = b - a。

（3）验证解的正确性。

将x = b - a代入x + a = b，得到b = b，表明解是正确的。

3. 实际应用将解决古代典型问题的方法应用到实际生活中，比如小学生的课本中有这样一道题目：甲买了一件衣服，花了一百五十元，比买房的钱多了一百五十元，问他买房子花了多少钱？解：设甲买房子花了x元，那么甲的总花费应该是：x + 150 = 150 + x + 150化简后得到：x = 150因此，甲买房子花了150元。

4. 解题思路和方法在解决古代典型问题的时候，需要掌握一些解题思路和方法，具体包括：（1）手算、心算结合，灵活运用算法；（2）突出问题实质，可以采用模拟法或借助等等；（3）发现消数之道，排除不必要的项，是解题的关键。

【古代数学问题】列一元一次方程解应用问题-古代数学问题§列一元一次方程解应用问题----（）一、学前准备（1）10只鸡，脚________只；a只鸡，脚_______只．（2）10只兔，脚________只；b只兔，脚_______只．（3）x只鸡，兔比鸡多10只，共有脚____________只．（4）y只兔，鸡比兔多10只，共有脚____________只．二、自主学习，合作探究例1.今有雉兔同笼，上有二十六头，下有七十二足，问雉兔各几何？翻译：__________________________________________已知：___________________________________未知：___________________________________解法一：解法二：其他解法：例2. 以绳测井，二折入井底余一尺，三折入井底差一尺.绳长、井深各几何？翻译：__________________________________________ 已知：___________________________________未知：___________________________________▲此类型题是我们前面学习过的________问题.解法一：解法二：三、课堂练习1. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？(翻译：有100个和尚分100只馒头，正好分完。

如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，问大、小和尚各有几人？)2.我问开店李三公，众客来到客店中.一房七客多七客，一房九客一房空.几间房来几位客，若君知晓我做东.四、拓展提高甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；甲乙羊各几何，让你算个半响.▲此类型题是我们前面学习过的________问题.1。

古代数学中的一元一次方程古代一元一次方程：一、古代数学史1、古代对数学的发展古代数学可以追溯到公元前17世纪左右，那时可能不存在数学这一概念，但在创造物品、发明计算工具、农耕等活动中，人们就发现了某种数学思想，开始以正确的方法处理数学问题，这就是古代数学的开始。

2、古代的一元一次方程古代的一元一次方程是指一个未知数n的方程，它由只有一个未知数的导数表达式组成，这个方程可以用来解决数学问题，例如计算物体的质量、体积等。

解决这类方程需要用数学方法来解决，它是古代数学技术中的一个重要部分。

二、一元一次方程求解方法1、图像法图像法是一种比较容易掌握的解一元一次方程的方法，它利用方程式和对称性将相关信息画成等式解析图形，比如截距图、半径图等，以此来求解它的相关系数以及方程的解。

2、求根法求根法是一种比较有效的求解一元一次方程的方法，它通过连立解方程，使其获取相关系数来求得解。

这种方法比较容易掌握，能够有效地求解复杂的一元一次方程。

3、泰勒公式泰勒公式是一种用来求解一元一次方程的函数，它将一元一次方程分解成多个多项式，然后再求得方程的解。

它是古代数学技术中最容易掌握，也是最有效的一种求解一元一次方程的方法。

三、一元一次方程的应用1、物理学一元一次方程可以用来求解物理问题，比如求解物体的加速度、速度、力、能量等物理量，从而解决更多物理问题。

2、经济学一元一次方程也常用于经济学研究，利用一元一次方程可以计算出消费者需求、产品供给、生产成本等经济指标，从而预测未来的经济形势，为政府的经济政策和决策提供依据。

3、气象学古代一元一次方程也可用于气象学研究中，比如求解降雨量、温度、风向、降雪等气象指标，从而分析和预测气象情况，可以为我们进行气象预报提供重要依据。

四、结论从上述讨论可以看出，古代一元一次方程在几千年前就有了普遍存在，它也是古代数学技术中的重要一部分。

目前，它仍然在物理学、经济学和气象学等领域有着广泛的应用，并给我们的生活和社会发展带来重要的好处。