复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt

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复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt

对并返回结果 F ( s )。
(2) f = ilaplace (F ) 对函数 F ( s ) 进行 Laplace 逆变换，对并返回结果 f ( t )。
22
3t 例求函数 f ( t ) t e sin 2t
的 Laplace 变换。
解 Matlab 程序
clear; syms t; f = t*exp(3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)；
若L[f(t)]=F(s), 则有
F (s) L t f (t ) (2.6)
一般地有
F ( n ) (s) L [(t )n f (t )] (2.7)
利用(2.6) 式
【例2.3】求L[tsinkt]
2ks (答案: 2 2 2 ) (s k )
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2 a 2 s 【例3.5】求 L s( s2 a2 )2 t cos at
1
1 【例3.6】求 L1 ( s1)( s2)( s 3)
1 1 1 1 t 1 2t 1 3t 1 6 15 10 L s 1 s 2 s 3 e e e 6 15 10
注:书上对例4,例5,例6的计算是用“查表”的方法作的.
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* 三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数来进行 Laplace 变换与 Laplace 逆变换。 (1) F = laplace (f ) 对函数 f ( t ) 进行 Laplace 变换，
输出 F=atan(1/s)
其中， atan 为反正切函数。

复变函数与积分变换课件

傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义

《拉普拉斯变换》课件

详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统不稳定。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
拉普拉斯变换的运算技巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将时间变量乘以常数，此时可以利用积分性质简化拉普拉斯变换的运算。
REPORT
《拉普拉斯变换》 PPT课件
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器学习、数据科学等领域中的应用前景值得关注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换的理论研究，提高其在实际问题中的应用效果，同时探索新的应用领域，推动科学技术的发展。

电路原理-拉普拉斯变换PPT课件

收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0

0

(t
)e
st
dt

(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1

[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)

s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0

f ()
f (0 )

lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3

t (n
n1
1)!

(
t
)

1 sn
1
1 sn

t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)

第3章拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版

6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章拉普拉斯变换
本章要点拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏变换拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换的性质，收敛域卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换

拉普拉斯积分变换 PPT课件

记为 F(s) L f (t)
F(s)称为 f (t)的拉氏变换（或称为象函数）。
2
若F(s)是f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t) L1F(s)
可以看出，f (t) (t 0)的拉氏变换，实际上就是 f (t)u(t)e t 的傅氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
(s sin
kt
k
cos kt)
0
s2
k
k2
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
Lcoskt
s2
s
k2
(Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换。
解
利用性质： f (t) (t)dt f (0) ，有
即
L
t 0
f
(t )dt
1 s
L
f
(t)
1 s
F (s)
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数的积分性质：
L
7
则 f (t) 的拉氏变换
F (s) f (t) est dt 0
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。

拉普拉斯变换ppt

机电工程学院
第二章拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
若有 L[ f (t )] F ( s ) ，对任意实数 a ,则
控
L[ f (t a)] e asF (s)
制
工
程
基
础
page21
机电工程学院
第二章拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f 是(t)以T 为周期的周期函数,即
则有
f (t T ) f ，(t )
L f t f t estdt
控
0
制
工程基
T f t e stdt 2T f t e stdt n1T f t e stdt
0
T
nT
础
n1T f t e stdt
nT
n0
page22
机电工程学院
第二章拉普拉斯变换
若 L[ f (t)] F (s)则
L[ d f (t)] sF (s) f (0) dt
f (0)为时间函数 f (t)在t =0处的初始值。注意，本书假设
f (0-) = f (0+) = f (0) 。
控
制工
推论若
L[ f (t)]， F则(s)
2j 0
s2 2
page14
机电工程学院
第二章拉普拉斯变换
（七）余弦函数余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为
r (t ) co s t (t≥0)
控制
其拉氏变换为
工程基
L[cos t] cos testdt 0
础
1 (e jt e jt )e st d t 20

复变函数与积分变换-第八章-Laplace变换

3)、Laplace变换与Fourier变换的关系
F (s) L [ f (t)] f (t)estdt 0 f (t )u(t )e te jwtdt F
[ f (t )u(t )e t ]
例1：求下述函数的 Laplace变换
（1）f
(t)

则 1）f (t)的 Laplace 变换 F (s) f (t ) estdt 在半平 0
面 Re s c上存在，右端积分在 Re s c1 c上绝对收敛且一致收敛。
2）F(s)在 Re s c解析且
F (s) (t) f (t)estdt L [(t) f (t)] 0
0
证明： L [ f (t )] f (t )e stdt (k1)T f (t )e stdt
0
kT
k0
tkT

T f (kT )e s(kT )d
0
k0

k0
e
sTk

T f ( )es d
认定为包含在积分限内，因此，对于 (t)
L [ (t)]
பைடு நூலகம்

(t )e st dt

e st
1
0
t0
常见的基本Laplace变换对
(1)u(t )
L
1 s
, u(t )t m
L
m! sm1
(2)u( t )t
L
( 1)
s 1
(3)ekt L 1 sk
2）、位移性质
L [eat f (t)] F (s a)
( Re(s a) c)

拉普拉斯变换-PPT

1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Res 0)
二原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
t0
s
十二终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t0
sF (s)的奇点位于 Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
t sin d的拉氏变换。 0
例2（P206例10.3.5）
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2）存在常数 M > 0 和 0，使对于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃，线性函数等；另外，在无线电技术中，函数往往以t作为自变量，t<0无意义。
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a) t<0时，f(t)=0

[课件]第七章拉普拉斯变换PPT

些改进大体分为两个方面，其一是提高它对问题的
刻画能力；其二是扩大它本身的适用范围．本章介绍的是后面这种情况．
2018/12/2 4
第七章拉普拉斯变换
7.1 拉普拉斯变换的概念
7.2 拉氏变换的性质
7.3 拉普拉斯逆变换
7.4 拉氏变换的应用及综合举例本章小结思考题
2018/12/2
s t s t
1 s t 1 e(s) 0 ( 3 )[ L 1 ] ed t e ,R 0 0 s s
s t
1 即： L [ 1 ] ,R e ( s ) 0 . s
一般规定：在拉氏变换中 f ( t ) 均理解为： f ( t ) 0 ， t 0 .

1 F [ f ( t ) f ( t ) ] F ( ) F ( ) , F [( F ) F ( ) ] f ( t ) f ( t ) , 1 2 1 2 1 2 1 2

2018/12/2
9
求函数 c o s t 的拉氏变换 . • 例1．

1 ,
0
1 e(s) 0 , R s
1/s的拉氏逆变换为哪个？？？
1 1 s t R e(s) 0 ( 2 ) L [ s g n t ] ( s g n t ) e d t e d t e 0 , 0 0 s s 1 即： L [ s g n] t, R e () s 0 ； s
5
第一节拉普拉斯变换的概念
1．拉普拉斯变换的定义
而积分 f ( t ) e d t ， ( s 为一个复参量 ) 定义 1 ：设函数 f ( t ) 当 t 0 时有定义， 0

复变函数与积分变换-第八章-Laplace变换

e 2j
jkt
e st dt
例3：解：
求函数 f (t ) t m （m为正整数）的 Laplace变换。
1 m st m 1 st [ t e mt e dt ] L [t ] t e dt | 0 0 0 s m m m 1 st [ t m 1］ (Re(s) 0) t e dt L ［ s s 0 m m( m 1) m m 1 m2 故 L [t ] L [t ] L [ t ] 2 s s m! m( m 1) 2 1 m 1 L [ u ( t )] s sm
证明：
L [u(t ) f (t )]

st

0
u(t ) f (t )e st dt

s ( x ) dx f ( t )e dt 0 f ( x )e
x t
e
s

0
f ( x )e
sx
0
t
称为函数 f1 ( t )和 f 2 ( t )的拉氏卷积，有时也记为 ( L ) f1 ( t ) f 2 ( t ) 。
2、拉氏卷积和傅氏卷积的关系
( L ) f1(t ) f 2 (t ) (F )[ f1(t )u(t )] [ f 2 (t )u(t )]
由于拉氏卷积和傅氏卷积本质上的一致性，与傅氏卷积一样，拉氏卷积也具有交换律、结合律、分配律，即：
1)、为什么要引入Laplace变换经典Fourier变换的存在性定理要求原函数在实轴上
•
绝对可积，但许多常见函数并不满足该条件，例如sin t , cos t , t n。

复变函数课件-积分变换2-Laplace变换

优势
Laplace变换可以处理具有初始值的问题，能够更好地揭示函数的整体性质；傅里叶变换可以分析信号的频率成分，便于频域分析和滤波器设计。
05 Laplace变换的进一步研究
Laplace变换的扩展和推广
广义Laplace变换
在更广泛的函数空间中定义Laplace变换，包括允许有间断点的函数。
边值问题
Laplace变换在求解某些微分方程的边值问题时也很有用，可以将复杂的微分方程简化为更易处理的代数方程。
在控制系统中的应用
01
02
03
系统稳定性分析
通过Laplace变换，可以分析控制系统的稳定性，确定系统是否能够保持稳定状态。
系统响应分析
利用Laplace变换，可以计算系统在输入信号下的响应，从而了解系统的动态行为。
02
其中，F(s)是f(t)的Laplace变换， f'(t)表示f(t)的导数。
02 Laplace变换的逆变换
定义和性质
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace 变换后的函数进行反演，得到原函数的过程。
性质
Laplace逆变换具有线性性、时移性、微分性等性质，这些性质在求解逆变换时具有重要作用。
系统设计
在控制系统设计中， Laplace变换可以帮助设计者分析系统的性能指标，优化系统设计。
在信号处理中的应用
信号的频域分析
通过Laplace变换，可以将信号从时域转换到频域，从而分析信号的频率成分。
信号滤波和降噪
利用Laplace变换，可以对信号进行滤波和降噪处理，提高信号的纯净度。
离散Laplace变换
将Laplace变换的概念扩展到离散时间序列，用于分析离散数据。

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sint t ≥ 0 f (t) = t <0 0
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§1 拉普拉斯变换的概念 1. 定义定义1.1: 设函数当t≥0时有定义,而且积分设函数f(t)当 ≥0时有定义, ≥0时有定义
+∞
∫
0
是一个复参量） f (t) e−st dt ( s 是一个复参量）
属于复平面内某一区域时收敛, 在s属于复平面内某一区域时收敛,则由此积分属于复平面内某一区域时收敛确定函数 F(s) = ∫ f (t)e−st dt (2.1)
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3. 积分性质: 积分性质性质: 若L[f(t)]=F(s), 则有
t 1 L∫ f (t)dt = F(s) 0 s (2.8)
一般地有: 一般地有
L [ ∫ dt∫ dtL∫ 0 0 14 40 4 2 4 3
n次 t t t
1 f (t) dt ]= n F (s) s
(2.9)
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4. 位移性质: 位移性质性质: 若L[f(t)]=F(s), 则有
L[eat f (t)] = F(s −a) (2.12)
利用(2.12) 式利用
Γ(m+1 ) 【例2.5】(P64例5) 求 L[e t ] = 】 m+1 (s −a)
Байду номын сангаасat m
【例2.6】(P64例6) 求 L[e 】
利用(2.13) 式利用
1 −sτ 【例2.7】(P65例7) 求 L[u(t −τ )] = e Lu( t ) = e 】 s
结束
【例1.6】求单位脉冲函数】求单位脉冲函数δ(t)的拉氏换变 (P54例6) 的拉氏换变广义函数δ(t) 是用“分布”的概念定义的具体说来是用“分布”的概念定义的. 注: 广义函数 , δ(t) 满足条件：对任意连续函数满足条件：对任意连续函数f(t) , 成立着
当 ∉[a,b] 0 0 ∫ f (t)δ(t)dt = f (0) 当0∈[a,b] a
−at
k sin kt] = (s −a)2 + k2
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5. 延迟性质: 延迟性质性质: 若L[f(t)]=F(s), τ>0 则有
L[ f (t −τ )] = e−sτ F(s) (2.13)
(证明中要注意f ( t-τ)在τ时刻之前为零函数) 证明中要注意在时刻之前为零函数)
L[ a f1(t) +b f2(t)] = aL[ f1(t)] +bL[ f2(t)]
= aF (s) +bF (s) 1 2 对逆变换也有线性性质: 对逆变换也有线性性质
(2.2)
− − 若 L 1 [ F (s)] = f1(t), L 1 [ F (s)] = f2(t) 则有 1 2 − − − L 1 [ aF (s) +bF (s)] = aL 1 [ F (s)] +bL 1 [ F (s)] 1 2 1 2
f (t) ≤ Mect , 0 ≤ t <+∞
则: f(z) 的拉氏变换在半平面 Re(s) >C 上一定存在, 且象函数F(s)在半平面 Re(s) >C 内为存在且象函数在半平面解析函数. 解析函数
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注意：上面定理只给出了集合A中的部分元素中的部分元素, 注意：上面定理只给出了集合中的部分元素而并没有给出集合A 的全部元素. 而并没有给出集合的全部元素例如: 中给出了“ 例如在P56例6中给出了“单位脉冲函数”δ(t) 的中给出了单位脉冲函数” 拉氏变换, 但δ(t) 并不满足上面定理的条件并不满足上面定理的条件. 拉氏变换
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的拉氏变换(P 【例1.3】求f(t)=sinkt的拉氏变换 50 例3) 】的拉氏变换
k 记住结果 L[sin kt] = 2 2 (Re(s) > 0) s +k
计算过程与高等数学算法一致,应用两次分部积分注:计算过程与高等数学算法一致应用两次分部积分计算过程与高等数学算法一致法即可.在学习了拉氏变换的微分性质以后我们法即可在学习了拉氏变换的微分性质以后,我们在学习了拉氏变换的微分性质以后还将给出本题的其它证明方法. 还将给出本题的其它证明方法
1 −st F(s) = L[ u(t)] = ∫ e dt =− e s 0
+∞
0
1 = s
的拉氏变换(k为实数为实数) 【例1.2】求f(t)=e kt 的拉氏变换为实数 (P48 例2) 】解: 当Re(s)>k时,有时有
1 −(s−k)t kt −(s−k)t kt −st L e = e e dt = ∫ e e dt =− ∫ s −k 0 0 1 = s −k
0 +∞
式为f(z)的拉普拉斯变换称(2.1)式为的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 式为的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 记为: F(s) = L[ f (t)] 记为: F(s)称为的拉氏变换(或称为象函数). 称为f(t)的拉氏变换或称为象函数). 称为 f(t)称为称为F(s)的拉氏逆变换(或称为象原函数). 称为的拉氏逆变换或称为象原函数).
可推出下面的(2.4)式: 由(2.3)可推出下面的可推出下面的式
L[ f (n) (t)] = snF(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) −L
−s f (n−2) (0) − f (n−1) (0) (Re(s) > 0)
(2.4)
利用(2.4) 式利用
s (答案 2 2 ) 答案: 答案【例2.1】求L[coskt] (P61例1) 】 s +k m! m ](m=1,2…) (P 例2) (答案【例2.2】求L[t 】答案: 答案 m+1 ) 61 s
目录上页
+∞
+∞
+∞
0
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2. 回忆理解与问题: 回忆,理解与问题理解与问题 (1) 回忆含参量积分回忆:含参量积分
+∞
∫ f (x, y)dx = I (y)
a
b
就是一个含参量的积分. (2.1): F(s) = ∫ f (t)e−st dt 就是一个含参量的积分
0
(2) 拉氏变换实际是实函数f (t)的集合到复函数的集合到复函数F(s) 拉氏变换实际是实函数的集合到复函数的集合的一种对应关系 L: f (t) aF(s)
集合A 集合 f(t) 集合B 集合 F(s)
L
所以记F(s)为L[f(t)],并称为并称F(s)为f(t)的象函数. 的象函数. 所以记并称为的象函数
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(3) 由(2)产生了以下问题: 产生了以下问题: 产生了以下问题集合A中都有什么样的实函数换句话说, 中都有什么样的实函数? ① 集合中都有什么样的实函数? 换句话说, 什么实函数有拉氏变换？什么实函数有拉氏变换？ A中不同实函数的象函数是否也不同? ② A中不同实函数的象函数是否也不同?若L 中不同实函数的象函数是否也不同是A到B 的一一对应,则L就有逆映射L-1. 到的一一对应, 就有逆映射
(1) Γ(m+1) = mΓ(m) (2) Γ(1) =1
Gamma函数的性质的推广函数的性质的推广: 函数的性质的推广
(1) Γ(m+1) = m ! (m∈N)
m! (2) L[t ] = m+1 (m∈N) (Re(s) > 0) s
m
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Proof :
Γ(m+1 = e−ttmdt ) ∫
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对逆变换也有微分性质：对逆变换也有微分性质：若L[f(t)]=F(s), 则有
F′(s) = L [ −t f (t)] (2.6)
一般地有
F (n) (s) = L[(−t)n f (t)] (2.7)
利用(2.6) 式利用
2ks 答案: 【例2.3】求L[tsinkt] (P62例3) (答案 2 2 2 ) 】答案 (s + k )
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的拉氏变换(P 【例1.4】求f(t)=t m的拉氏变换 51 例4) 】
Γ(m+1 ) 记住结果 L[t ] = m+1 (Re(s) > 0) s
m
其中Γ(m)是伽玛函数 Γ(m) = ∫ e−ttm−1dt (m>−1) 是伽玛函数: 其中是伽玛函数
0
+∞
伽玛(Gamma)函数的性质函数的性质: 伽玛函数的性质
的拉氏变换(P 的拉氏变换 54 例5) 解:当Re(s)>0时,有当时有
L[ f (t)] = ∫
0 +∞
f (t)e dt = ∑
−st
k=0
1) +∞ 2(k+ b
∫
f (t) e−st dt
2kb
1 1−e−bs 1 bs = 2 = 2 th −bs s 1+e s 2
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3. 拉氏变换的存在定理若函数f(z)满足下列条件: 若函数满足下列条件: 满足下列条件 (1) 在t≥0的任意有限区间上分段连续的任意有限区间上分段连续; 的任意有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时,f(z)的增长速度不超过某一指数函数, →+∞时的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数即存在常数M > 0及C≥0,使得即存在常数及 ,

复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt

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