第五章 动力学

p = [ x, y, z ]T
假设物体绕过点 O 的任一轴 z ′ 转动， z ′ 的单位方向矢量为 k
(5.3)
k = [k x , k y , k z ]T
dV 到 z ′ 轴的距离为 r ，则物体 B 相对于 z ′ 轴的转动惯量是
(5.4)
I z′ = ∫ r 2 ρdV = ∫ ( k × p) 2 ρdV
(5.1)
当外力 f 给定时，物体质量 m 与反映其运动状态变化的物理量 － 加速度 a 成反比，也就 是说，质量抑制了运动状态的改变。因此，质量是物体运动惯性的一种度量。 当物体绕定轴 i 转动时，
& n = Iiω
(5.2)
2
& 为物体的角速度和角加速度矢量， I i = mr 是 式中， n 是作用于物体上的外力矩， ω 和 ω
V V
(5.5)
式中， ρ 为材料密度。将上式展开，可得
I z′ = k x
2
V
∫(y
2
+ z 2 ) ρdV + k y
2
V
∫ (z
2
+ x 2 ) ρdV + k z
2
V
∫ (x
2
+ y 2 ) ρdV
(5.6)
− 2k x k y ∫ xyρdV − 2k y k z ∫ yzρdV − 2k z k x ∫ zxρdV
1
5.2 动力学分析基础
本节介绍机器人动力学分析的一些基础知识，内容包括：物体的惯性、动量和动量矩、 动能等概念，牛顿欧拉方法和拉格朗日方法，以及这两种方法在机器人分析中的应用。
5.2.1 物体的惯性度量
惯性是物体抵抗外力，保持自身运动状态的一种属性。当物体处于平动状态时，根据牛 顿第二定律
& f = ma = mv
V
z ρdV r z' B k
p
O {A} x
y
图 5.1 物体对空间任一轴的转动惯量 惯量矩阵 I B 是一个实对称矩阵。若物体对点
O
的惯量矩阵已知，则物体对过该点的任
一轴的转动惯量即已知。 因此惯量矩阵决定了物体绕某个轴旋转的转动惯量， 是物体绕一点 转动的惯性度量。 通过上述分析，可得如下结论：物体平移的惯性用物体的质量来度量；物体绕定轴转动 的惯性用物体相对于该轴的转动惯量来度量； 物体绕一点转动的惯性用物体相对于该点的惯 量矩阵来度量。
(5.21)
同样， h 在其它两个坐标轴方向上的分量可分别表示为
C C C hy = IC yxω x + I yyω y + I yzω z C C C hzC = I zx ω x + I zy ω y + I zz ωz
C
(5.22) (5.23)
写成矩阵形式，刚体相对于质心的动量矩可表示为
C hC = I B ω
O C 2 2 I xx = I xx + m( y c + zc )
C 2 2 IO yy = I yy + m ( zc + xc )
T
2 2 O C I zz = I zz + m( xc + yc )
O C I xy = I xy + mxc yc C IO yz = I yz + my c z c O C I zx = I zx + mzc xc
3
根据式(5.8)，惯量矩阵 I B 是描述物体相对于点 O 质量分布的物理量。对于具有规则几 何形状的刚体，惯量矩阵可以通过上式的体积积分来计算。对于形状不规则的物体，惯量矩 阵一般通过实验确定。 I B 中的对角线元素 I xx 、 I yy 和 I zz 分别对应着物体相对于 x 、 y 和 z 轴的转动惯量。 I xy 或
T
两边对时间取导数，可得
m
dpC dp = ∫ ρdV dt dt V
(5.14)
式（5.14）的右边是刚体相对于点 O 的动量，因此式（5.14）可写成
k O = mvC
集中于质心一点的动量。因此，刚体的动量描述了质心的运动。
(5.15)
式（5.15）表示，刚体的动量等于刚体总质量乘以质心速度。这相当于将刚体整个质量
C
(5.18)
⎛ dr ⎞ hC = ∫ ⎜ r × ⎟ ρdV dt ⎠ V ⎝
由于 r 是一个定长矢量，上式可改写为
(5.19)
hC = ∫ (r × ( ω × r ) )ρdV
V
= ∫ (( r ⋅ r )ω − ( r ⋅ ω) r ) )ρdV
V
(5.20)
式中， ω 是刚体 B 的角速度，上式的 Ox 方向的标量方程可表示为
z ρdV r zc yc C {B} pC O {A} x 图 5.2 物体的质心及质心坐标系 xc y
p
在图 5.2 中，刚体上一质点 ρdV 相对于 O 的动量矩（Moment of Momentum）或角动量 （Angular Momentum）被定义为质点的动量相对于点 O 的矩，可表示为
dhO = p × dk 0
或
(5.16)
dp ⎞ ⎛ dhO = ⎜ p × ⎟ ρdV dt ⎠ ⎝
则刚体 B 相对于{A}原点 O 的动量矩为
(5.17)
5
dp ⎞ ⎛ hO = ∫ ⎜ p × ⎟ ρdV dt ⎠ V ⎝
下面来考查刚体 B 相对于自身质心的动量矩 h ，根据图 5.2，下式成立
V V V
式（5.6）是一个二次型方程，可写成
2
O I z′ = k T I B k
(5.7)
式中， I B 被称为刚体 B 相对于点 O 的惯量矩阵（Inertia Martix） ，可表示为
O
⎡ I xx I xy I xz ⎤ ⎥ ⎢ O IB = ⎢ I yx I yy I yz ⎥ ⎢I I I ⎥ ⎣ zx zy zz ⎦
根据质心坐标公式
(5.25)
pC =
经变换可得
V
∫ pρ dV
V
∫ ρ dV
(5.26)
pC ∫ ρ dV = ∫ ( pC + r ) ρ dV = pC ∫ ρ dV + ∫ r ρ dV
V V V V
，r 为物体的回转半径。根据式 物体相对于定轴 i 的转动惯量或惯性矩（moment of inertia）
& 越小。因此，物体相对于 （5.2） ，当施加于物体的力矩一定时， I i 越大，物体的角加速度 ω
定轴 i 的转动惯量 I i 是物体绕该轴转动惯性的度量。 下面我们来考查物体绕某定点转动的情况。假设基础坐标系 { A} (O − xyz ) 是一个笛卡 儿坐标系，刚体 B 上的一个微分体积 dV 的位置矢量 p 为
(5.24)
现在我们来考查刚体 B 相对于任意点的动量矩，由于 p = pC + r ，式（5.18）可写成
⎞ ⎛ ⎞ dpC d⎛ dp ⎞ ⎛ dr ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟× + ρ ρ hO = ⎜ pC × C ⎟ ∫ ρdV + ∫ ⎜ r × ⎟ ρdV + pC × ⎜ r r dV dV ⎜∫ ⎟ ⎜∫ ⎟ dt dt dt dt ⎠V ⎠ ⎝ ⎝ V ⎝V ⎠ ⎝V ⎠
C hx = ω x ∫ ( rx2 + ry2 + rz2 ) ρdV − ∫ (ω x rx + ω y ry + ω z rz )rx ρdV V V
= ω x ∫ ( ry2 + rz2 ) ρdV − ω y ∫ rx ry ρdV − ω z ∫ rz rx ρdV
V V V C C C = I xx ω x + I xy ω y + I xz ωz
、 或 、 或 分别称为物体相对于 、 、 轴的惯
O
O
性积（products of inertia with respect to axes xy, yz and xz） 。 根据平行轴定理，我们可以将刚体相对于任意点 O 的惯量矩阵用刚体相对于质心的惯 C 相对于 O 的位置矢量为 [ xc , y c , zc ] 。 量矩阵来表示。 假设质量为 m 的刚体 B 的质心是 C， 以 C 为原点建立坐标系{B}，其对应坐标轴均平行于固定坐标系{A}，则刚体 B 相对于 O 的 惯量矩阵的各元素可表示为
dp ρdV dt
dp ρdV dt
(5.10)
kO = ∫
V
(5.11)
4
刚体 B 的∫ pρdV mV
(5.12)
V
∫ ρdV
B
表示刚体的质量。刚体 B 上任意质点的位置矢量可表示为
p = pC + r
A
(5.13)
式中， r = RB r = [ rx , ry , rz ] 是质点相对于质心 C 的位置矢量在{A}中的描述。将式（5.12）
(5.9)
若坐标原点保持不变， 改变坐标轴相对于物体的方向， 则惯量矩阵中的转动惯量和惯性 积的元素也随之发生变化。 在某个特殊的参考坐标系下， 惯量矩阵中的所有惯性积都等于 0， 这时，惯量矩阵将变为对角阵。这个特殊参考系下的各坐标轴就称为物体相对于 O 的惯量 主轴（principal axes of inertia） ；对应于各惯量主轴的转动惯量称为主转动惯量（principal moments of inertia） 。
第五章
5.1 引言
动力学
本章介绍并联机器的动力学， 内容包括动力学模型的建立和求解。 机器人动力学模型的 重要性主要体现在以下三个方面： 1. 仿真。动力学模型是进行机器运动仿真的基础，事先设定操作环境和机器状态，例 如负载性质和末端执行器的运动状态，通过动力学模型计算机器的内部状态和运 动特性。通过仿真，可在实际建造之前，定量估计机器的各种性能指标。 2. 控制。 为了在高速运动中获得很高的轨迹跟踪精度， 大部分先进的控制系统都采用 了基于动力学模型的控制策略，利用动力学模型来计算完成一个理想轨迹所需的 关节驱动力和力矩。 3. 设计。 动力学分析可以提供控制机器所需的关节力和力矩， 这些数据对于在设计阶 段确定构件、轴承和驱动器的类型和尺寸非常重要。 与运动学和静力学研究类似， 动力学问题可分为两类： 正向动力学问题 （direct dynamics） 和逆向动力学问题（inverse dynamics） 。正向动力学研究解决机器末端执行器对于不同关节 力或力矩的反应，也就是，给定关节力和力矩，求解机器终端的运动和力。逆向动力学是计 算能够产生理想终端轨迹的关节驱动力和力矩，也就是，给定机器末端执行器的运动规律， 求解各关节上应施加的力或力矩。 正向动力学求解一般用于计算机仿真； 而逆向动力学求解 则多用于机器的控制，因此逆向动力学计算的实时性非常重要。目前，研究和开发适合实时 控制的动力学模型是提高并联机器性能的一项重要关键技术。 由于这部分内容更多地与控制 的策略和方法有关，将在下一章介绍，本章只介绍常用的动力学模型建立方法。 建立动力学模型最常用的方法是牛顿欧拉法和拉格郎日法。 前者对机械系统中的每个构 件分别列出牛顿方程和欧拉方程，构成一组包含所有构件作用力和约束力的方程，然后，通 过各构件之间的几何和运动约束关系， 将方程中的约束力消掉。 后者应用拉格郎日运动方程， 模型建立过程中不包含约束力，方程数目较少。因此，当我们需要知道各关节内力时，使用 牛顿欧拉方程比较适合。反之，应用拉格郎日方程更加简单。 与串联机器相比， 由于机构中存在多个闭环运动链， 并联机器的动力学分析通常更加复 杂， 但牛顿欧拉方法和拉格朗日方法仍是最常用的建模方法。 基于虚功原理的方法在并联机 器动力学分析中也得到了很好的应用，被认为是效率最高的方法，本章也将介绍这种方法。 在本章， 我们首先介绍机器人动力学研究的基础理论和方法， 着重介绍串并机器均广泛 使用的牛顿欧拉方法和拉格朗日方法； 在随后的三部分中， 分别介绍用于并联机器动力学分 析的牛顿欧拉方法、基于虚功原理的方法和拉格朗日方法，并针对不同结构的实际机器，对 动力学模型的建立和求解进行阐述。