方差分析

第六章 方差分析 在上一章的假设检验中，我们研究了一个样本的平均数或比例与假设的总体均值或比例的差异是否显著的问题。我们也研究了两个样本的平均值和比例差异是否显著的问题。但是如果需要检验两个以上总体的均值是否相等，上一章所介绍的方法就不再适用了。这需要用方差分析的方法来解决。 例如：对于大学新生的入学成绩，可以通过t检验来考察男女学生间的入学成绩是否有差异。但是想知道来自四川、江苏、上海、北京等省份的学生，其入学成绩是否有显著差异，该如何检验？ 方差分析主要用来检验两个以上样本的平均值差异的显著程度，由此判断样本究竟是否抽自具有同一均值的总体。方差分析对于比较不同生产工艺或设备条件下产量、质量的差异，分析不同计划方案效果的好坏和比较不同地区、不同人员有关的数量指标差异是否显著时，是非常有用的。

单因素方差分析：解决的是一个因素（factors）之下的多个不同水平（Level）之间的关系问题。一般而言，这个因素应该是名义尺度。 一、问题的提出 例 为了比较三种不同材料对产品寿命的影响，试验人员分别对三种不同材料所制造的一组产品的寿命进行了测试，所得结果如表5-1所示 （为简化计算，以各取4个样本为例）。 表5-1：某种材料使用寿命的抽样统计表 材料种类 实验1 实验2 实验3 实验4 A 115 116 98 83 B 103 107 118 116 C 73 89 85 97

现要求根据上述试验结果，显著性水平为的条件下，检验所选用的材料对最终产品的使用寿命的影响是否显著。从统计的角度看，就是要检验三种不同的材料所生产的最终产品的使用寿命的均值是否一致。 通常，在方差分析中，我们把对试验结果发生影响和起作用的自变量称为因素。如果方差分析研究的是一个因素对于试验结果的影响和作用，就称为单因素方差分析。在本例中，因素就是可能影响产品使用寿命的材料。因素的不同选择方案称之为因素的水平。上例中材料有三种不同的选择就说因素有三个水平。因素的水平实际上就是因素的取值或者是因素的分组。 一般地，我们假定所检验的结果受某一因素A的影响，它可以取K个不同的水平：1,2,3,„

K。对于因素的每一个水平i都进行n次试验，结果分别为XXXiiin12,,，我们把这一组样本

记作Xi，假定XNii~,2，即对于因素的每一个水平，所得到的结果都服从正态分布，且方差相等。 用统计的语言来表达，要检验的假设就是：

Hk012：:,

H1：不是所有的i都相等(ik12,,...,)． 方差分析的基本思路是一方面确定因素的不同水平下均值之间的方差，把它作为对由所有试验数据所组成的全部总体的方差的一个估计值。另一方面，再考虑在同一水平下不同试验数据对于这一水平的均值的方差。由此，计算出对由所有试验数据所组成的全部数据的总体方差的第二个估计值；最后，比较上述两个估计值。如果这两个方差的估计值比较接近就说明因素的不同水平下的均值间的差异并不大，就接受零假设。否则，就说明因素的不同水平下的均值间的差异比较大，就接受备择假设。 根据上述思路我们可以得到方差分析的方法和步骤。 1、提出假设

Hk012：:,即因素的不同水平对试验结果无显著影响，

H1：不是所有的i都相等(ik12,,...,)，即因素的不同水平对试验结果有显著影响。

2、方差分解 我们先定义总离差平方和为各样本观察值与总均值的离差平方和。 记作

SST=XXijjnik211 其中：X是样本总均值，即

X=XNijjnik11

Nnk为样本观察值总数。

将总离差平方和分解为两部分：

SST=XXijjnik211

=XXXXijiijnik211 =XXijijnik211+nXXiik21

其中：Xi是第I个样本的平均值，即 Xi=Xnijjn1 记 SSE=XXijijnik211 表示同一样本组内，由于随机因素影响所产生的离差平方和，简称为组内平方和。 记 SSR=nXXiik21 表示不同的样本组之间，由于变异因素的不同水平影响所产生的离差平方和，简称为组间平方和。 由此可以得到 SST=SSR+SSE． 总离差平方和＝组间平方和＋组内平方和 对应于SST，SSR和SSE的自由度分别为： N-1， K-1， N-K． 相应的自由度之间的关系也有： N-1=(K-1)+(N-K)． 3、F检验 将SSR和SSE分别除以其自由度，即得各自的均方差： 组间均方差 MSR=SSR/（K-1） 组内的均方差 MSE=SSE/（N-K） 统计上可以证明

E(MSE)=2

E(MSR)=2+11kniki12 由此可见，如果原假设Hk012：:,成立，则E(MSE)= E(MSR)=2；否则 E(MSR)>2。 根据F分布，如果原假设Hk012：:,成立，那么MSR和MSE均是2的无偏估计，因而MSR/MSE就服从自由度为（K-1）和（N-K）的F分布。 检验统计量

FMSRMSE

如上所述，当原假设Hk012：:,成立时，E(MSE)= E(MSR)=2。此时MSR较小，F值也较小。反之H0不成立时，MSR较大，F值也较大。对于给定的显著性水平查F分布表得到FkNk11,。如果FFkNk11,，则原假设不成立，即K个组的总体均值之间有显著的差异，就拒绝H0。若FFkNk11,，则原假设成立，即K个组的总体均值之间没有显著的差异，就接受H0。 4、方差分析表 上述方差分析的方法可以用一张标准形式的表格来实现，这种表格称为方差分析表。它将方差分析的计算方法以简洁的形式进行总结。表格分为五列，第一列表示方差的来源，第二列表示方差的离差的平方和，第三列表示自由度，第四列为均方差，第五列为统计检验量F。表格又分为三行。第一行是组间的方差SSR和均方差MSR，表示因素的不同水平的影响所产生的方差，其值作为计算统计检验量F时的分子；第二行是组内方差SSE和均方差MSE，表示随机误差所引起的方差，其值作为计算统计检验量F的分母，第三行是检验行，表示总的方差SST。 由于方差分析表概括了方差分析的中统计量之间的关系，我们在进行方差分析时就可以直接按照方差分析表来逐行，逐列地计算出有关的统计量，最后得到检验量F的值，并把这一F值与查表所得到的一定显著性水平下的F检验的临界值进行比较，以得出接受或拒绝原假设的结论。 单因素方差分析表 方差来源 离差平方和 自由度 均方差 统计检验量F

组间 SSR K-1 MSR FMSRMSE

组内 SSE N-K MSE 总方差 SST N-1

单因素方差分析的基本应用条件 1 观察对象是来自于所研究因素的各个水平之下的独立随机抽样 2 每个水平下的因变量应该服从正态分布 3 各水平下的总体具有相同的方差

双因素方差分析 前面所研究的是试验结果仅受一个因素影响的情形。要求检验的是当因素取不同水平时对结果所产生的影响是否显著。但在实践中，某种试验结果往往受到两个或两个以上因素的影响。例如，产品的合格率可能与所用的设备以及操作人员有关，企业的利润可能与市场的潜力、产品的式样和所投入的广告费用有关等等有关。如果我们研究的是两个因素的不同水平对试验结果的影响是否显著的问题就称作双因素方差分析。双因素方差分析中两个因素的影响既可能是相互联系、相互影响的，也可能是相互独立的。因此，在分析的方法和步骤上要比单因素时来得复杂一些。 双因素方差分析的基本思想与单因素方差分析基本相同。首先分别计算出总变差、各个因素的变差以及随机误差的变差。其次根据各变差相应的自由度求出均方差，最后计算出F值并作F检验。 双因素方差分析根据两个因素相互之间是否有交互影响而分为无交互影响的和有交互影响的两种情形。我们首先研究两因素无交互影响时的情形。

一、无交互影响的双因素方差分析 如果某一试验结果受到A和B两个因素的影响。这两个因素分别可取K和M个水平，则双因素方差分析实际上就是要比较因素A的K个水平的均值之间是否存在显著差异，因素B的M个水平的均值之间是否存在显著差异。目的是要检验试验中这两个因素所起的作用有多大，是仅仅一个因素在起作用，还是两个因素起作用或者是两个因素的作用都不显著。 在假定两个因素无交互影响的情形，通常采用不重复试验，即对于两个因素每一种水平的组合只进行一次试验，这样总共就进行K*M次试验 由此可见，方差分析是研究一个或多个可分组的变量（称为自变量）与一个连续变量（因变量）之间的统计关系，并测定自变量在取各种不同水平时对因变量的影响和作用的一种统计分析方法。方差分析通过比较和检验在因素的不同水平下均值之间是否存在显著的统计差异的方法来测定因素的不同水平对因变量的影响和作用的差异。

二、有交互作用的两因素方差分析 前面假定因素A与因素B之间相互独立，不存在相互影响，但有时两个因素会产生交互作用，从而使因素A的某些水平与因素B的另一些水平相结合时对结果产生更大的影响。 对于有交互作用的两因素之间方差分析的步骤几乎与前一种情形一样，不同的是当两因素之间存在交互作用时情形，先要剔除交互作用的影响，因此比较复杂。同时在有交互作用的影响时对于每一种试验条件要进行多次重复试验以便将因素间交互作用的平方和从误差平方和中分离出来。由于重复试验数据量就大大增加了。 有交互作用的两因素方差分析的方法和步骤同前面一样，关键是对总离差平方和进行分解时必须考虑两因素的交互作用。

方差分析主要用于：1、均数差别的显著性检验，2、分离各有关因素并估计其对总变异的作用，3、分析因素间的交互作用，4、方差齐性检验。

第一节 单因素方差模型

5.4.1 主要功能 在实际研究中，经常需要比较两组以上样本均数的差别，这时不能使用t检验方法作两两间的比较（如有人对四组均数的比较，作6次两两间的t检验），这势必增加两类错误的可能性（如原先定为0.05，这样作多次的t检验将使最终推断时的>0.05）。故对于两组以上的均数比较，必须使用方差分析的方法，当然方差分析方法亦适用于两组均数的比较。方差分析可调用此过程可完成。 本过程只能进行单因素方差分析，即完全随机设计资料的方差分析。 使用该功能，可以进行单因素方差分析、均值多重比较和相对比较

方差分析的假设检验： 零假设H0：m组样本均值都相同，即μ1= μ2=....= μm

如果经过计算结果组间均方远远大于组内均方（ MSb>>MSw