【精校版】初中二次函数(最值问题)

二次函数之最值问题基本解题步骤：1审题•读懂问题，分析问题各个量之间的关系；2 •列数学表达式•用数学方法表示它们之间的关系，即写出变量与常量之间的二次函数关系式；3•求值•利用二次函数关系式的顶点坐标公式—2,4a c 一b或配方法求得最值；< 2a 4a丿配方法：将二次函数y =ax bx c转化为y=a（x_h） k的形式，顶点坐标为h,k，对称轴为x =h .当a 0时，y有最小值，即当x=h时，y最小值=k ;当a .■0时，y有最大值，即当x = h时，y最大值=k .4 •检验•检验结果的合理性. （函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围）转化解学检验利润最值问题例1、一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件•今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场•若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今后年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0 ：：：x <1) •(1)___________________________________________________________ 用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为_____________________________________________________ 元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为________ 元.(2)求今年这种玩具每件的利润y元与x之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=(每件玩具的出厂价一每件玩具的成本)x年销售量.解：(1) 10+7x ; 12+6X ;(2)y= ( 12+6x ) - ( 10+7x ),••• y=2-x ( 0v x< 11 );(3)•/ w=2 ( 1+x ) ? y=2 ( 1+x ) ( 2-x )=-2x 2+2x+4 ,• w=-2 ( x-0.5 ) 2+4.5•/ -2 v 0 , 0 v x < 11 ,• w有最大值，•••当x=0.5 时，w最大=4.5 (万元).答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元.例2、新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）.公司累积获得的利润y （万元）与销售时间第x （月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如下图所示的图象上.该图象从左至右，依次是线段0A曲线AB和曲线BC,其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y - _5x2• 205x_1230的一部分，且点A, B, C 的横坐标分别为4, 10, 12 .（1）求该公司累积获得的利润y （万元）与时间第x （月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S （万元）与时间x （月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？解：(1)设直线OA的解析式为y=kx ,•••点0( 0, 0) , A ( 4, -40 )在该直线上，••• -40=4k ,解得k=-10 ,• y=-10x ；•••点B 在抛物线y=-5x 2+205x-1230 上,设 B ( 10, m),则m=320.•••点B的坐标为(10 , 320 ).•••点A为抛物线的顶点，•设曲线AB所在的抛物线的解析式为y=a ( x-4 ) 2-40 ,• 320=a ( 10-4 ) 2-40 ,解得a=10 ,即y=10 ( x-4 ) 2-40=10x 2-80x+120 .-10x(x=l x 2. 4)10X3^SO X*120(X=5. 7. 8、9)；-5X2+205X-1230(X=10. IK 12)(2)利用第x个月的利润应该是前x个月的利润之和减去前x-1个月的利润之和：-10x-[-10(.x_l}](x —1 s 2* 3、4)S-i lOx 2-80X+120-[10(J：-1)2 -80(x-l)-120]Ct = 5. 6. ?、8、9)-5x 2+2O5x-123O-(-5(x-l)2 +205(x-l)-1230)(x = l(}ll11、12) f-10(x=l, 2, 3, 4)即斗如-9睑=厂6, 7, 8, 9} s-10^-210(x = 10, 11> 12)(3)由(2)知当x=1，2，3，4时，s的值均为-10，当x=5，6，7，8，9 时，s=20x-90 ，即当x=9时s有最大值90，而在x=10，11，12 时，s=-10x+210 ，当x=10时，s有最大值110，因此第10月公司所获利润最大，它是110万元.试一试：1、某水果批发商销售每箱进价为40元的的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现, 若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.（1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式.（2）求该批发商平均每天销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式.（3 ）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）设y=kx+b ，把已知（45，105），（50，90）代入得，45Jt*i = 105350A:*i = 90（k —-3解僚：，5=240故平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式为：y=-3x+240 ；(2)•••水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，销售价x元/箱，•••该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式为：W= ( x-40 ) (-3X+240 ) =-3x 2+360x-9600.(3)W=-3x2+360x-9600=-3 ( x-60 ) 2+1200 ,•/ a=-3 v 0, •抛物线开口向下.又•/对称轴为x=60 , •••当x v 60 , W随x的增大而增大，由于50 < x < 55 , •••当x=55时，W的最大值为1125元.•当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元.2、我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为：每一 1 2投入x万元，可获得利润P =----------- (x -60 )+41 (万元).当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特100 '产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售.在外地销售的投资收益为：每投入x万元，99 2294可获利润Q =—而(100—X ) +(-(100 —X )+160 (万元).(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1) , ( 2),该方案是否具有实施价值？1 oP= ------- (x-60 )匚十4 1 (万兀》解：(1) •••每投入x万元，可获得利润•当x=60时，所获利润最大，最大值为41万元，•••若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41 X 5=205 (万元)；(2)前两年：0< x< 50 ,此时因为P随x的增大而增大，2 X [- ( 50- 60 ) ^+411 = 80 (万元)所以x=50时，P值最大，即这两年的获利最大为U'L后三年：设每年获利y ,设当地投资额为a,则外地投资额为100-a ,999 294 99 o 294b-Q=-——- [ 1 00- ( 100-a ) ] &+—[10 0- ( 100-a) ] + 160=-- +- a+160 *100n 100儿y=P+Q二[- 一(a-60 ) ^+4 1 ] + [- a^+^-^-a+1 50] =-a z+60a+165=- ( a-30 ) ^+1 065 ?100 100 5•当a=30时，y最大且为1065 ,•这三年的获利最大为1065 X 3=3195 (万元)，• 5年所获利润(扣除修路后)的最大值是：80+3195-50 X 2=3175 (万元).线段和(或三角形周长)最值问题复习：如图，正方形ABCD勺边长为4，点P在DC边上且DP=1,点Q是AC上一动点，则DQ+P啲最小值为例1、已知二次函数y =x2bx c的图象过点A -3,0和点B 1,0，且与y轴交于点C, D点在抛物线上且横坐标是-2 .(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA - PD的最小值.B斛：(1 )将A (-3 * 0 ) »E ( 1 * 0 )代入*9-33+c = 0J1十占十£ = o:、y=x^+2x-3 J(2 ) v y=x2+2x-3= (x+1) 2-4■■-对称tex=-l 1又叮A* E关于对称軸对称*「•连接BD与对称轴的交点即为所求P点•尅D作DF 丄x轴于F. t§ic=-2ftAy=ii24-2x-3.则y=4-4-3=-3 >*'* D ( - 2 »-3)-■DF=3、BF=H (-2) =3Rt ABBF+ ・BD= |32_32 = 3>|2v PA-PB >APA+PD=BD=3j2故PA+PD的最小值为3返.例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x 2分别交x轴、y轴于C、A两点.将射线AM绕着3点A顺时针旋转45。

最值问题【经典例题】1. 如图，点C 是线段AB 上的一个动点，AB=1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）。

A.当C 是AB 的中点时，S 最小B.当C 是AB 的中点时，S 最大C.当C 为AB 的三等分点时，S 最小D.当C 为AB 的三等分点时，S 最大2. 某校数学课外活动探究小组,在教师的引导下,对“函数)00(>>+=k x x kx y ，的性质”作了如下探究:因为k xk x k x k x k x x x k x y 2)(2)(2)(222+-=++⋅-=+=, 所以当0>x ,0>k 时,函数x k x y +=有最小值k 2,此时x k x =,k x =. 借助上述性质:我们可以解决下面的问题:某工厂要建造一个长方体无盖污水处理池,其容积为48003m ,深为3m ,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价为_____元．3. 已知x y x 62322=+,y x ，是实数,求22y x +的最大值和最小值.4. 已知非负实数z y x ，，满足433221-=-=-z y x ,记z y x W 543-+=.求W 的最大值与最小值.5. 设b a ，是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式b x a ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间,表示为],[b a .对于任何一个二次函数,它在给定的闭区间上都有最小值.(1)函数242-+-=x x y 在区间]5,0[上的最小值是_______(2)求函数43)21(2++=x y 在区间]23,0[上的最小值.(3)求函数442--=x x y 在区间]1,2[--t t （t 为任意实数）上的最小值min y 的解析式.【专项练习】1. 若一次函数m x m y ++=)1(的图象过第一、三、四象限,则函数mx mx y -=2（ ）A. 有最大值4m B. 有最大值4m - C. 有最小值4m D. 有最小值4m -2. 1)1(2+-+=x a x y 是关于x 的二次函数,当x 的取值范围是31≤≤x 时,y 在1=x 时取得最大值,则实数a 的取值范围是（ ）A.5-≤aB.5≥aC.3=aD.3≥a3. 小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式542+-x x 的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x 的值，小亮负责找值为0时x 的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）A. 小明认为只有当2=x 时，542+-x x 的值为1B. 小亮认为找不到实数x ，使542+-x x 的值为0C. 小梅发现542+-x x 的值随x 的变化而变化，因此认为没有最小值D.小花发现当x 取大于2的实数时，542+-x x 的值随x 的增大而增大，因此认为没有最大值4. 当三个非负实数z y x ，，满足关系式323=++z y x 与433=++z y x 时,z y x M 423+-=的最小值和最大值分别是（ ） A.6,71- B.7,61- C.8,51 D.5,81-5. 16)2(2222+-+++x x x 的最小值为（ ） A.5 B.34 C.17 D.均不是6. 如图,线段AB=10,点P 是AB 的动点,分别以AP 、BP 为边在线段AB 的同侧作正方形APMN 、PBEF,连结ME,则ME 的最小值是______.7. 已知t 为常数，函数t x x y --=22在0≤x ≤3上的最大值为2，则t =________．8. 已知10≤-≤b a ，41≤+≤b a ，那么当b a 2-达到最大值时, =a _______, =b ______.9. 若b a ，满足753=+b a ,设b a S 32-=,求S 的最大值和最小值.10. 已知:实数c b a ，，满足0=++c b a ,6222=++c b a ,求a 的最大值.11. 受地震的影响,某超市鸡蛋供应紧张,需每天从外地调运鸡蛋1200斤.超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋,已知甲养殖场每天最多可调出800斤,乙养殖场每天最多可调出900斤,从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表:(1)若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋?(2)设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤,总运费为W 元,试写出W 与x 的函数关系式,怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省?12. 已知M 、N 两点关于y 轴对称,且点M 在双曲线xy 21=上,点N 在直线3+=x y 上,设点M 的坐标为),(b a ,则二次函数x b a abx y )(2++-=( )A. 有最大值-4.5B. 有最大值4.5C. 有最小值4.5D. 有最小值-4.513. 请问设0≥x ,0≥y ,62=+y x 则y x y xy x u 363422--++=的最小值是多少?14. 设b a ，为实数,那么b a b ab a 222--++的最小值是______．15. 如图，四边形的对角线AC 、BD 互相垂直，AC+BD=10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？16. 如图，线段EF=10，在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使MF=2MN ．设MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？17. 某单位花50万元买回一台高科技设备,根据对这种型号设备的跟踪调查显示,该设备投入使用后,若将养护和维修的费用均摊到每一天,则有结论:第x 天应付的养护与维修费为]500)1(41[+-x 元. (1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天,叫做每天的平均损耗,请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数;(2)按照此行业的技术和安全管理要求,当此设备的平均损耗达到最小值时,就应当报废,问该设备投入使用多少天应当报废?18.已知二次函数c+y+=2（cxbxb，为常数）。

典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验 周前猛一、选择题1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D 不能确定答案：C2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A 、-74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74答案：C∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2765y x 416⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭此时，它在－2≤x≤l 的最大值是6516，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ．3． 已知0≤x≤12，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。

真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0<x<8). 配方得S=- (x2-8x)=- (x-4)2+8∴当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.-≤≤的最大值与最小值分别是3、函数y=2（0x4）答案：2,0最小值为0，当4x-x2最大，即x=2最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a （0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）解：（1）()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x而()()2150160x x y ---=＝1040502++-x x＝()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x ， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。

二次函数的最值问题【例题精讲】题面：当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值.【拓展练习】如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y bx c =++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C .(1)求此二次函数解析式；(2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：y =+BD 于点E ，过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.练习一【例题精讲】若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值．【拓展练习】题面：已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．练习二金题精讲题面：已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值．【拓展练习】题面：当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．讲义参考答案【例题精讲】答案：3--0或2或4【拓展练习】答案：(1) 2y=-;(2) (2);(3)8练习一答案【例题精讲】答案：a =【拓展练习】答案：(1) k≤2；(2)①k值为-1；②y的最大值为32，最小值为-3.详解：(1)当k=1时，函数为一次函数y= -2x+3，其图象与x轴有一个交点. 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0．△=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1.综上所述，k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k≠1.由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1(*)，将(*)代入(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=2kk1-，x1x2=k+2k1-，∴2k•2kk1-=4•k+2k1-，解得：k1= -1，k2=2(不合题意，舍去).∴所求k值为-1.②如图，∵k1= -1，y= -2x2+2x+1= -2(x-12)2+32，且-1≤x≤1，由图象知：当x= -1时，y最小= -3；当x=12时，y最大=32.∴y的最大值为32，最小值为-3.练习二答案课后练习详解【例题精讲】答案：2或-5．详解：配方y=(x+a)2-1，函数的对称轴为直线x= -a，顶点坐标为(-a，-1)．①当0≤-a≤3即-3≤a≤0时，函数最小值为-1，不合题意；②当-a＜0即a＞0时，∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴9+6a+a2 −1＝24，a2 −1＝3，解得a=2；③当-a＞3即a＜-3时，∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴a2 −1＝24，9+6a+a2 −1＝3，解得a= -5．∴实数a的值为2或-5．【拓展练习】答案：有最大值，为8.详解：∵当开口向下时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k取最大值∴k-1＜0，解得k＜1.∴当k= -1时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值. ∴当k= -1时，函数y= -2x2-4x+6= -2(x+1)2+8.∴最大值为8.。

---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。

1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。

这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。

（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。

（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。

解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。

二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值规模判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可2、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）使用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变革的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变革的边的和最小值加上不变的边长3、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）使用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值规模判断最值2、不划定规矩图形面积最值问题1）支解。

求二次函数的最值练习题求二次函数的最值练习题二次函数是数学中的重要概念之一，它的图像呈现出一条开口向上或向下的抛物线。

而求解二次函数的最值，是我们在解决实际问题中经常遇到的一种情况。

本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解和掌握求解二次函数的最值的方法。

练习题一：已知二次函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求该函数的最小值。

解答：要求二次函数的最小值，我们可以通过找到抛物线的顶点来实现。

二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/2a 和 y = f(-b/2a) 来求得。

对于给定的函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，我们可以通过计算得到 a = 2，b = -4，c = 1。

将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -(-4)/(2*2) = 1，y = f(1) =2*1^2 - 4*1 + 1 = -1。

因此，该函数的最小值为 -1。

练习题二：已知二次函数 g(x) = -3x^2 + 6x - 2，求该函数的最大值。

解答：求解二次函数的最大值的方法与求解最小值的方法类似。

我们同样可以通过找到抛物线的顶点来实现。

对于给定的函数 g(x) = -3x^2 + 6x - 2，我们可以通过计算得到 a = -3，b = 6，c = -2。

将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -6/(2*(-3)) = 1，y = g(1) = -3*1^2 + 6*1 - 2 = 1。

因此，该函数的最大值为 1。

练习题三：已知二次函数 h(x) = x^2 + 4x - 3，求该函数的最值所对应的 x 值和 y 值。

解答：对于给定的函数 h(x) = x^2 + 4x - 3，我们同样可以通过计算得到 a = 1，b = 4，c = -3。

将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -4/(2*1) = -2，y = h(-2) = (-2)^2 + 4*(-2) - 3 = -7。

二次函数的最值问题二次函数是一种常见的数学函数，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，而x为自变量。

在数学中，我们经常遇到二次函数的最值问题，即求解f(x)的最大值或最小值。

针对二次函数的最值问题，我们可以通过以下步骤进行求解：步骤一：确定二次函数的开口方向首先，我们需要确定二次函数的开口方向，即判断a的正负情况。

当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。

步骤二：求解二次函数的顶点坐标二次函数的顶点坐标即为其最值的坐标。

对于开口向上的二次函数，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))；对于开口向下的二次函数，顶点坐标仍为(-b/2a, f(-b/2a))。

步骤三：判断最值根据步骤二求得的顶点坐标，我们可以进一步判断二次函数的最值。

当二次函数开口向上时，f(x)在顶点处取得最小值；当二次函数开口向下时，f(x)在顶点处取得最大值。

例如，我们考虑一个二次函数f(x) = x^2 - 4x + 5。

首先，我们确定a = 1 > 0，因此二次函数开口向上。

然后，根据顶点公式可得顶点坐标为(-(-4)/2*1, f(-(-4)/2*1)) = (2, 1)。

因为二次函数开口向上，所以f(x)在顶点处取得最小值。

通过以上步骤，我们可以求解二次函数的最值问题。

需要注意的是，有时候我们也需要考虑定义域的限制，以及可能存在的最值点。

在实际应用中，二次函数的最值问题广泛出现于多个领域。

比如在物理学中，我们可以利用二次函数的最值问题来研究抛体运动的最大高度或最远距离；在经济学中，我们可以借助二次函数的最值问题来优化生产成本或最大化利润。

总而言之，二次函数的最值问题是数学中常见的一类问题，通过确定开口方向、求解顶点坐标以及判断最值，我们可以准确求解二次函数的最大值或最小值。

这个问题在实际中有着广泛的应用，是我们学习数学的重要内容之一。

以上为二次函数的最值问题的相关讨论，希望对你有所帮助。

二次函数最值问题及其解决方法首先，我们可以通过求导数的方法来找到二次函数的极值。

对于一个一般形式的二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a \neq 0$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=2ax+b$。

通过求导数，可以得到函数的极值点。

当导数 $f'(x)$ 为零时，即 $2ax+b=0$，解出 $x$ 的值，并代入原函数$f(x)$ 中，即可得到函数在该点上的最大值或最小值。

举个例子来说明，设有一个二次函数 $f(x)=2x^2+3x-2$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=4x+3$。

将导数设置为零，得到 $4x+3=0$，解得$x=-\frac{3}{4}$。

将 $x=-\frac{3}{4}$ 代入原函数 $f(x)$ 中，得到$f(-\frac{3}{4})=\frac{31}{8}$。

所以函数在 $x=-\frac{3}{4}$ 处取得最小值 $\frac{31}{8}$。

其次，我们也可以通过二次函数的图像特征来找到二次函数的最大值和最小值。

我们知道，二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。

如果二次函数的系数$a>0$，那么它的抛物线开口朝上，此时二次函数的最小值就是抛物线的顶点的纵坐标值；如果二次函数的系数$a<0$，那么它的抛物线开口朝下，此时二次函数的最大值就是抛物线的顶点的纵坐标值。

下面我们以一个具体的例子来说明这种方法。

考虑一个二次函数$f(x)=x^2-4x+3$。

我们可以求出该二次函数的顶点坐标，并判断它的开口方向。

先求导数$f'(x)=2x-4$，将导数设置为零，得到$2x-4=0$，解得$x=2$。

将$x=2$代入原函数$f(x)$中，得到$f(2)=-1$。

所以函数的最小值为$-1$。

通过分析二次函数$f(x)$，我们可以发现系数$a=1>0$，所以抛物线开口朝上，这也验证了我们的结论。

二次函数中几何的最值问题Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】二次函数中几何的最值问题一、解答题1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，0）、B （6，0）、C（0，－2），抛物线y=a+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。

（1）求直线AC的解析式；（2）求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，试探究在直线AC上是否存在一点P，使得△BPD的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，已知抛物线y=-+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B 的坐标为（3，0）。

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。

3、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。

4、如图，抛物线y=+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B （5，﹣6），C（6，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q 一共有几个并请求出其中某一个点Q的坐标．5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，抛物线y=-3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标。