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§3 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义设A 为n 阶方阵，p 是某个n 维非零列向量. 一般来说，n 维列向量Ap 未必与p 线性相关，也就是说向量Ap 未必正好是向量p 的倍数. 如果对于取定的n 阶方阵A ，存在某个n 维非零列向量p ，使得Ap 正好是p 的倍数，即存在某个数λ使得λAp =p ，这样的向量就是A 的相应的特征向量.下面正式给出方阵的特征值和特征向量的定义.定义3.1 设()ij n na ⨯=A 为n 阶实方阵. 若存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 使λA p =p， 则称λ是A 的一个特征值，称p 是A 的属于特征值λ的一个特征向量.为了求出A 特征值和特征向量，我们把λAp =p 改写成()λ-=n E A p 0. 再把λ看成待定参数，那么p 就是齐次线性方程组()λ-=n E A x 0的任意一个非零解. 显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：0λ-=n E A .定义3.2 带参数λ的n 阶方阵λ-n E A 称为A 的特征方阵，它的行列式λ-n E A 称为A 的特征多项式. 称0λ-=n E A 为A 的特征方程. 根据行列式的定义可知有以下等式111212122212n n n n n na a a a a a a a a λλλλ-------=---n E A()()()1122n na aa λλλ=---+ , (1)在省略的各项中不含λ的方次高于2n -的项, 所以n 阶方阵A 的特征多项式一定是λ的n 次多项式. A 的特征方程的n 个根（复根，包括实根或虚根, r 重根按r 个计算）就是A 的n 个特征值. 在复数范围内, n 阶方阵一定有n 个特征值.综上所述, 对于给定的n 阶实方阵()i j a =A , 求它的特征值就是求它的特征多项式(1)的n 个根. 对于任意取定的一个特征值0λ，A 的属于这个特征值0λ的特征向量，就是对应的齐次线性方程组0()λ-=n E A x 0的所有的非零解. 注意: 虽然零向量也是0()λ-=n E A x 0的解，但0不是A 的特征向量!二、关于特征值和特征向量的若干结论定理3.1 n 阶方阵A 和它的转置矩阵T A 必有相同的特征值. 证 由矩阵转置的定义得到矩阵等式()TT λλ-=-n n E A E A . 再由行列式性质1知道()TTλλλ-=-=-n n n E A E A E A. 这说明A 和T A 必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值. 证毕 定理3.2 设12,,,n λλλ 的n 阶方阵()i j a =A 的全体特征值，则必有()111,nn ni i iii i i atr λλ======∑∑∏A A .这里，()tr A 为()i j a =A 中的n 个对角元之和，称为A 的迹（trace ）.A 为A 的行列式. 证 在关于变量λ的恒等式()()()()112111nn nnn n i i i i λλλλλλλλλλλ-==⎛⎫-=---=-++- ⎪⎝⎭∑∏n E A中取0λ=即得 ()()111nnnii λ=-=-=-∏A A ，所以必有1nii λ==∏A .再据行列式定义可得()()()1122n n a a a λλλλ-=---+n E A ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝ 11n nn i i i a λλ-=⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∑ ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝比较λ-n E A 的上述两个等式两边的1n λ-项的系数, 即得11n ni i ii i aλ===∑∑. 证毕定理3.3 设A 为n 阶方阵.()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++ 为m 次多项式.()1110m m m m f a a a a --=++++n A A A A E为对应的A 的方阵多项式. 如果λ=Ap p ，则必有()()f fλ=A p p . 这说明()f λ必是()f A 的特征值. 特别, 当()f =A O 时，必有()0f λ=，即A 的特征值必是对应的m 次多项式()f x 的根.证 先用归纳法证明,对于任何自然数k , 都有k k λ=A p p . 当1k =时,显然有λ=Ap p . 假设k k λ=A p p 成立, 则必有()()11k k k k k λλλ++====A p A A p A p Ap p 。
爱启航在线考研第五讲 矩阵的特征值和特征向量【考试要求】1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．考点：特征值和特征向量的概念和计算 1. 特征值和特征向量的定义定义 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ和n 维非零列向量x 使λ=Ax x成立，即 ()λ−=E A x 0有非零解，则称λ为A 的一个特征值，此时，非零解x 称为A 的对应于特征值λ的特征向量.注：由定义， λ是n 阶方阵A 的特征值 ⇔ =0λ−E A ，这时，齐次方程组()λ−=E A x 0的非零解都是矩阵A 属于特征值λ的特征向量.例如，122322236−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦A ，有1111111⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，故1λ=为A 的特征值，111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为A 的对应于特征值1λ=特征向量.【例1】 若12不是方阵A 的特征值，则2−E A 为可逆矩阵，对吗？为什么？爱启航在线考研【例2】已知三阶矩阵3212231x y −⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A 有一个特征向量1123⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ，则______,_______x y ==，1P 所对应的特征值1_______λ=.2. 特征多项式和特征方程关于λ的n 次多项式 ()111212122212=n nn n nna a a a a a f a a a λλλλλ−−−−−−=−−−−E A称为A 的特征多项式，=0λ−E A称为A 的特征方程（也可写作=0λ−E A ），它的根称为A 的特征根，A 的特征根即A 的特征值.3. 求具体矩阵的特征值和特征向量⬧ 第一步 解特征方程，求A 的特征值——如何快速提出因式(λ+a )？提不出时怎么对三次多项式因式分解？⬧ 第二步 求每个特征值对应的特征向量——如何更快捷高效？求“全部特征向量”应如何表述？爱启航在线考研【例3】求146025003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值与特征向量.注：上（下）三角矩阵的特征值即为主对角线上的元素.【例4】 求矩阵433231213−−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征值与特征向量. 注：若矩阵B 有二重特征值124λλ==，且求得两个对应无关特征向量12,αα，则如何表示124λλ==对应的全部特征向量？【例5】 求矩阵220212020−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−⎝⎭A 的特征值和特征向量.爱启线考研考点：特征值和特征向量的性质1）设12,,,s ⋯ααα都是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则1122s s k k k ++⋯+ααα也是矩阵A 属于特征值λ的特征向量（12,,,s k k k ⋯不全为0）；2）矩阵A 属于不同特征值的特征向量线性无关；推论：若12,αα分别是A 属于不同特征值的特征向量，则12+αα不是A 的特征向量. 3）k 重特征值至多有k 个线性无关的特征向量； 4）设n 阶方阵A 的n 个特征值为12,,,n λλλ 则有1()ni i tr λ==∑A ，12n λλλ=A ；推论：A 可逆当且仅当0(1,2,,)i i n λ≠=.5）设λ为A 的任一特征值，α是对应特征向量： ①110()m m m m f a a a −−=+++A A A E ，则()f λ为矩阵()f A 的特征值. 对应特征向量α；12,λλ爱启航在线考研注：a ）由①可知，若()=f A O ，则A 的任一特征值λ都满足方程()=0f λ（即特征值只能取()=0f λ的解），但()=0f λ的解不一定都是A 的特征值；b ）A 的特征向量都是()f A 的特征向量，但()f A 的特征向量不一定是A 的特征向量（当A 可对角化，()f x 是一一对应时，A 与()f A 具有相同的特征向量）；c ）有以下常用结论成立（设A 的全部特征值为12,,...,n λλλ）：⬧ a b +E A 的全部特征值为12,,,n a b a b a b λλλ+++；⬧ m A 的全部特征值为12,,,m m m n λλλ；⬧ a b +E A 与A 具有完全相同的特征向量.②若A 可逆，则0λ≠，且1λ是矩阵1−A 的特征值，对应特征向量α；③若0λ≠，则λA是矩阵*A 的特征值，对应特征向量α；④若1−=P AP B ，则λ为B 的特征值，对应特征向量1−P α.6） n 阶矩阵T A A 和有相同的特征值，但对应的特征向量不一定相同.爱启航在线考研7）（哈密顿—凯莱定理）若n 阶方阵A 的特征多项式为111()n n n n f a a a λλλλλ−−−==++++E A则有111()n n n n f a a a −−++++==A A O A A E【例1】设A 是3阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为111,,234，则1）A 的特征值为________________；2）22+A A E -的特征值为________________； 3）A *的特征值为________________； 4）*−E A 的值为________________.【例2】设n 阶方阵A 的每行元素之和为(0)a a ≠且2a =A ，则()24***+−A A E 的一个特征值为___________.【例3】 设A 是三阶矩阵，有一特征值为3，且()6tr ==A A 求A 的所有特征值.爱启航在线考研考点：相似矩阵及其性质 1. 相似矩阵的定义设A ，B 是两个n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，满足-1=P AP B ，则矩阵A 与B 相似，记作~A B .2. 矩阵相似的性质若~A B ，则 ① ()()f f A B （()f x 为多项式），11~−−A B （若可逆），~T T A B ，**~A B ；② , , ()(), ()()r r tr tr λλ=−=−==A B E A E B A B A B ；若~,~A B C D ，则⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A OB O OC OD 【例1】 设矩阵20001010x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与矩阵20001000y ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 相似，则 ______,_______x y ==.【例2】设n 阶方阵A 有n 个特征值0,1,2,,1n −，且方阵B 与A 相似，则+B E =___________.爱启航在线考研考点：矩阵的相似对角化 1. 相似对角化的定义若矩阵A 与对角阵Λ相似，即存在可逆矩阵P ，使1−=P AP Λ则称A 可以相似对角化，记为A Λ，称Λ是A 的相似标准形.注: 若有1−=P AP Λ（即AΛ）1）Λ主对角线上的元素即为A 的全部特征值；2）P 的各列向量均为A 的特征向量，且次序与Λ主对角线上的特征值相对应； 3）可逆矩阵P 的列向量组线性无关，即n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量.【例1】 设三阶方阵A 相似于对角阵，()22,3r ==A A A ，则A 的特征值为________. 【例2】如果方阵A 与对角矩阵111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦D 相似，则10A =__________. A.E B. A C. −E D. 10E爱航在线考研2. 矩阵可相似对角化的充要条件（教你抓特点！）A Λ⇔ A 恰有n 个线性无关的特征向量；⇔ 对于A 的每个i k 重特征值i λ，都有i k 个无关特征向量； ⇔ 对于A 的每个i k 重特征值i λ，()i i n r k λ−−=E A3. 矩阵可相似对角化的充分条件①n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值⇒A Λ（高频）②n 阶矩阵A 是实对称矩阵⇒AΛ（高频）；【例3】 判断下列矩阵是否可相似对角化（1）110021003⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ； （2）110010002⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ； （3）110020001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C . 【例4】 判断矩阵,A B 是否相似，并说明理由. 其中100314220,020003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B爱启航在线考研【例5】 设A 为3阶方阵，已知,,3−+−E A E A E A 都不可逆，问A 是否相似于对角矩阵？为什么？ 【例6】x 为何值时，下列方阵可对角化？001123100x x ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦A4. 相似对角化的计算方法（求可逆矩阵P 和对角矩阵Λ，使1−P AP =Λ）第一步 解特征方程=0λ−E A ，求A 所有的特征值和对应特征向量； 第二步 将A 的特征值作为主对角元写成对角阵，即为Λ，对应特征向量作为列向量，依次按顺序排成P .（注：由上述过程可知，相似变换阵P 实际上由若干方程组的基础解系组成. 由于方程组的基础解系不唯一，因此P 不唯一）【例7】 （2015节选）设矩阵023133124−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使1−P AP为对角阵.爱启航在线考研【例8】 设三阶方阵A 有特征值1，1，2，与之对应的三个线性无关的特征向量分别为,,αβγ，令()1,1,2diag =Λ，则满足1−=P AP Λ的相似变换阵P =________.A. ()2,,ααγB. (),,+αββγC. (),,αγβD. ()2,,+ααβγ爱启航在线考研考点：实对称矩阵及其性质 1. 实对称矩阵的定义对于实矩阵A ，若T A =A ，则A 为实对称矩阵.2. 正交矩阵1）定义：若n 阶方阵A 满足T T ==AA A A E ，称A 是正交矩阵；2）性质： ①A 为正交矩阵，则1T −=A A ；②正交矩阵的行列式等于1或-1；③正交矩阵的行（列）向量长度均为1，且行（列）向量两两正交..证：设正交矩阵123123123a a a b b b c c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，由T =AA E 有 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010001333222111321321321c b a c b a c b a c c c b b b a a a 有222123123123123123100a a a a a a b b b a a a c c c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩， 31212322212331212310b a b a b a b b b b c b c b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ， 112233232311222123001c a c a c a c c c b b b c c c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 若令()1123,,Ta a a α=，()2123,,Tb b b α=， ()3123,,Tc c c α=即111213122223132333100010001T T T T T T T T T αααααααααααααααααα⎧===⎪===⎨⎪===⎩ □3.1）特征值全是实数；2）必能相似对角化，且存在正交矩阵Q ，使1T −==Q AQ Q AQ Λ； 3）不同特征值的特征向量必定正交；爱启航4）k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；5）非零特征值的个数（重根按重数计）等于矩阵的秩. 【例1】设A 为实对称矩阵，12141,53a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα分别是属于A 的相异特征值1λ与2λ的特征向量，则a =__________.4. 实对称矩阵的正交相似对角化（求正交阵Q 和对角阵Λ，使1T −==Q AQ Q AQ Λ）第一步 求A 所有的特征值和对应特征向量；第二步 将属于同一特征值的特征向量正交化，再将所有特征向量单位化； 第三步 写出Q 和Λ.爱启【例2】（2007改编）设实对称矩阵B 的特征值为1232,1λλλ=−==，对应于特征值2−的特征向量为1(1,1,1),T =−α 对应于特征值1的特征向量为23(1,1,0),(1,0,1)T T ==−αα，求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角阵.。
