1、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似

第六章 矩阵的相似变换本章主要讨论方阵的特征值和特征向量、方阵的相似变换和对角化等问题.第一节 方阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量X 使关系式λ=AX X （6.1）成立，则称数λ为方阵A 的特征值；非零列向量X 称为A 对应于特征值λ的特征向量.将式（6.1）改写成()λ−=A E X 0， （6.2） 将（6.2）看成关于X 的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当其系数行列式满足 0λ−=A E ， （6.3）即1112121222120λλλ−−=−n nn n nn a a a a a a a a a ， （6.4）这是以λ为未知数的一元n 次方程，称为A 的特征方程，其左端λ−A E 是λ的n 次多项式，记作()λf ，称为A 的特征多项式，特征方程的根就是A 的特征值.根据代数基本定理，在复数范围内，n 阶方阵A 有n 个特征值（重根按重数计算），记作12,,,λλλ n .求出特征值λi 后，将λi 代入齐次线性方程组（6.2）中，求解方程组()λ−=i A E X 0 （6.5） 的所有非零解向量，就是属于λi 的特征向量。

对不同的特征值逐个计算，可求得属于各特征值的全部特征向量.若非零向量X 是方阵A 的特征向量，则由（6.1）式可知，对任意实数0k ≠，有()()k k λ=A X X ，（6.6） 这表明k X 也是方阵A 的特征向量，因此属于同一特征值的特征向量有无穷多个；反之，不同特征值对应的特征向量必不相同，即一个特征向量只能属于一个特征值（证明留给读者作为练习）.由齐次线性方程组解的性质容易证得如下定理.定理1 设λ是方阵A 的特征值，12,,,s p p p 是属于λ的特征向量，则12,,,s p p p 的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量.例1 求141130002−−=A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式2141()130(2)(1)002λλλλλλλ−−−=−=−=−−−f A E ,所以A 的特征值为12λ=，231λλ==. 对于12λ=，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由3411012110011000000−−−=→−A E ，得基础解系 1111−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于12λ=的全部特征向量.对于231λλ==，解齐次方程组()−=A E X 0.由 241120120001001000−−−=→A E ，得基础解系 2210−=p ，所以222(0)≠k k p 是对应于231λλ==的全部特征向量. 例2 求204121103−−=A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式2204()121(1)(2)13λλλλλλλ−−−=−=−=−+−−f A E ,所以A 的特征值为11λ=−，232λλ==. 对于11λ=−，解齐次方程组()+=A E X 0.由104104131011104000−−+=→−A E ，得基础解系 1411−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于11λ=−的全部特征向量.对于232λλ==，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由 4041012101000101000−−−=→A E ，得基础解系 2010=p ，3101− = p ,所以2233+k k p p （2k ，3k 不同时为0）是对应于232λλ==的全部特征向量.二、特征值和特征向量的性质定理2* 设12,,,λλλ n 是n 阶方阵()=ij a A 的n 个特征值，则有（1）11n n i ii i i a λ==∑∑； （2）1ni i λ==∏A .其中1niii a=∑是A 的主对角元之和，称为方阵A 的迹，记作tr()A .证明 见附录六例3 设7414744y x −= −−A 的特征值为123λλ==，312λ=，求,x y 的值. 解 由定理2可得123123tr()7718331212108x x y λλλλλλ=++=++=+− A A 解之得4,1x y ==−.定理3 设λ是方阵A 的特征值，p 是A 的属于λ的任一特征向量，则有： （1）k R ∀∈，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量；（2）对任意非负整数k ，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量； （3）若()ϕA 是A 的m （m 为任意非负整数）次多项式，即01()m m a a a ϕ=+++A E A A ，则()ϕλ是()ϕA 的特征值，p 是()ϕA 的属于()ϕλ的特征向量；（4）若A 可逆，则0λ≠，且1λ是1−A 的特征值，p 是1−A 的属于1λ的特征向量；（5）若A 可逆，则λA是*A 的特征值，p 是*A 的属于λA的特征向量；（6）λ也是T A 的特征值.证明 （1）由λ=Ap p ，有k k λ=Ap p 成立。

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1≠0B．λ2≠0C．λ1=0D．λ2=0正确答案：B解析：本题主要考查特征值、特征向量的定义和线性相关性的判别法．利用属于不同特征值的特征向量线性无关即得．解法1：设后k1α1+k2A(α1+α2)=0，得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是属于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，从而所以α1，A(α1+α2)线性无关，即选项(B)正确．解法2：由于(α1，A(α1+α2))=(α1，λ1α1+λ2α2)=(α1，α2)，故α1，A(α1+α2)线性无关，即α1，A(α1+α2)的秩为2的充要条件为，即λ2≠0，故选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T 是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．2．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；正确答案：由Aα1=λ1α1知Bα1=(A5-4A3+E)α1=(λ51-4λ31+1)α1=-2α1，故α1是矩阵B的属于特征值-2的特征向量．类似，矩阵B的其他两个特征值为λ5i-4λ3i+1(i=2，3)．所以B的全部特征值为-2，1，1．因为A是实对称矩阵，故B也是实对称的．若设(x1，x2，x3)T为B的属于特征值1的特征向量，则必有(x1，x2，x3)α1=0，即(x1，x2，x3)T与α1正交．所以有x1-x2+x3=0，解此方程得其基础解系为α2=(1，1，0)T，α3=(-1，0，1)T．故矩阵B的属于特征值-2的全部特征向量为K1α1(K1为不等于零的任意常数)；属于特征值1的全部特征向量为K2α2+K3α3(K2，K3是不全为零的任意常数)．解析：若λ是n阶矩阵A的特征值f(x)是x的m次多项式，则f(λ)是f(A)的特征值，且矩阵A的属于λ的特征向量α，也是f(A)的属于f(λ)的特征向量．这是矩阵的重要性质．所以第一问就是以具体的矩阵来验证上述结论．第二问则是常见的由矩阵B的特征值、特征向量求出B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化3．求矩阵B．正确答案：令求得注：矩阵B也可由下列方法求得：单位化α1得将α2，α3正交化、单位化得由ξ1，ξ2，ξ3构成正交矩阵则涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设三阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为4．将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；正确答案：设对此方程组的增广矩阵作初等行变换得唯一解(2，-2，1)T，故有β=2ξ1-2ξ2+ξ3．解析：本题考查相似矩阵的性质，运用A相似于对角阵去计算An．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化5．求An(n为自然数)．正确答案：解法1：由于Aξi=λiξi，故Anξi=λniξi；因此解法2：记p=(ξ1，ξ2，ξ3)，则有故从而涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化6．已知3阶实对称矩阵A满足trA=-6，AB=C，其中求k的值与矩阵A．正确答案：由题设AB=C可知A(1，2，1)T=0，从而λ1=0为A的特征值，α1=(1，2，1)T为相应的特征向量；又A(1，k，1)T=(-12，-12k，-12)T=-12(1，k，1)T，由此可知λ2=-12为矩阵A的特征值，α2=(1，k，1)T为相应的特征向量．因为λ1+λ2+λ3=trA=-6，所以λ3=6．又因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，故有αT1α2=0，即(1，2，1)(1，k，1)T=0，解得k=-1．设A 的属于λ3=6的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，则显然αT1α3=0，αT2α3=0，即得到方程组：求得基础解系α3=(-1，0，1)T，即为A的属于λ3=6的特征向量．由Aα1=0α1，Aα2=-12α2，Aα3=6α3，得A(α1，α2，α3)=(0，-12α2，6α3)，即故解析：本题考查相似对角化的逆问题．用特征值与特征向量的定义Ax=λx，求特征值与特征向量．即若Ax=0有非零解x0．知0是A的特征值，x0是A的关于0特征值对应的特征向量，若Ax=λx，则λ是A的特征值，非零列向量x 是A的关于特征值λ的特征向量．还可用λ1+λ2+λ3=trA求特征值．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化7．设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-1，且α1=(1，a+1，2)T，α2=(a-1，-a，1)T分别是λ1，λ2对应的特征向量．又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的特征向量为α0=(2，-5a，2a+1)T．试求a、λ0的值，并求矩阵A．正确答案：由于｜A｜=λ1λ2λ3=-2，故A可逆．由于α0是A*的属于λ0的特征向量．所以A*α0=λ0α0．于是AA*α0=λ0Aα0，即｜A｜α0=λ0A α0，亦即-2α0=λ0Aα0．故．从而-2/λ0是A的特征值，α0是A的关于-2/λ0对应的特征向量．又由于α1，α2为实对称矩阵A的不同特征值的特征向量，故α1，α2正交，即αT1α2=0，得a=±1．无论a=1还是a=-1，则有α0与α1，α2中任何一个都线性无关，所以α0应是矩阵A的属于λ3的特征向量，于是有λ3=-2/λ0从而λ0=2．且α0与α1正交，即αT0α1=52+a-4=0，则a=4/5或a=-1，于是a=-1，λ0=2．令，则P可逆，且所以解析：本题考查实对称矩阵相似对角矩阵的逆问题．运用实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量必正交的性质来确定a与λ0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设3阶实对称矩阵A的秩为2，且8．求A的所有特征值与特征向量；正确答案：解法1：由题设知所以，由特征值与特征向量的定义，λ1=1是A的一个特征值，对应的一个特征向量为α1=(1，0，1)T．λ2=-1是A的又一个特征值，对应的一个特征向量为α2=(1，0，-1)T．又r(A)=2，所以A的另一特征值λ3=0，设λ3对应的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，由题设知，αT1α3=0，αT2α3=0，即解得基础解系为α3=(0，1，0)T．故A的特征值为λ1=1，λ2=-1，λ3=0．依次对应的特征向量为K1(1，0，1)T，K2(1，0，-1)T，K3(0，1，0)T，其中K1，K2，K3均是不为0的任意常数．解法2：设，由有得a=0，c=1，b=0，e=0，f=0．于是再由r(A)=2，得d=0．然后再求A的特征值与特征向量．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化9．求矩阵A．正确答案：由A(α1，α2，α3)=(α1，-α2，0)，有涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+A α-2α=0，试证10．α，Aα线性无关；正确答案：设k1，k2，使得k1α1+k2Aα=0，若k2=0k1α=0，而α≠0，所以k1=0，若是A的特征向量，这与已知矛盾．综上，可得k1=k2=0，所以α，Aα线性无关．解析：本题主要考查方阵相似对角矩阵的条件．用向量组线性无关的定义可证得α，Aα线性无关；再由A2α+Aα-2α=0有非零解确定A的特征值，由于特征值各不相同，故方阵A可对角化．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化11．A可相似对角化．正确答案：由A2α+Aα-2α=0(A2+A-2E)α=0，因为α≠0，所以齐次线性方程组(A2+A-2E)x=0有非零解，于是有若｜A+2E｜≠0，则有(A+2E)(A-E)α，即α是A的特征向量，这与已知矛盾，所以｜A+2E｜=0；同理可证｜A-E｜=0，所以A有两个不同的特征值λ1=-2，λ2=1，故A可相似对角化．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化12．设α，β均为三维单位列向量，并且αTβ=0，若A=ααT+ββT，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与Λ相似，写出对角矩阵Λ．正确答案：因为α，β为单位向量，且αTβ=0，故的秩为2，从而有x≠0，使即αTx=0，βTx=0，于是有Ax=(ααT+ββT)x=ααTx+ββTx=0．又Aα=(ααT+ββT)α=ααTα+ββTα=α，Aβ=(ααT+ββT)β=ααTβ+ββTβ=β，因此，A的特征值为1，1，0，其对应的特征向量为α，β，x，且α，β，x线性无关，故存在可逆矩阵p=(α，β，x)，使解析：本题考查抽象矩阵的特征值与特征向量的求法，特征值与特征向量的性质和矩阵相似对角化的条件．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化13．设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．正确答案：因为Aαi=λiαi(i=1，2，3)，则Aβ=A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3 =λ1α1+λ2α2+λ3α3，A2β=A(Aβ)=A(λ1α1+λ2α2+λ3α3)=λ21α1+λ22α2+λ23α3．设存在常数K1，K2，K3，使K1β+K2Aβ+K3A2β=0，进而得(k1+k2λ1+k3λ21)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ23)α3=0．由于α1，α2，α3线性无关，于是有其系数行列式故k1=k2=k3=0，所以，β，Aβ，A2β线性无关．解析：本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化14．设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．正确答案：因A有n个互异特征值，所以存在可逆矩阵P，使其中λ1，λ2，…，λn是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)．于是，根据题设AB=BA，得(P-1AP)(P-1BP)=P-1ABP=P-1BAP=(P-1BP)(P-1AP)，即Λ(P-1BP)=(P-1BP)Λ．令P-1BP=(cij)n×n，代入上式，有比较两边元素得λicij=λjcij，即(λi-λj)cij=0．由此有cij=0(i≠j)，故解析：本题考查矩阵相似对角化的条件．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足A α1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+33．15．求矩阵B．使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；正确答案：由题设条件，有可知解析：本题主要考查矩阵的基本运算．相似矩阵的性质(相似矩阵有相同的特征值)，矩阵的特征值与特征向量的计算以及矩阵对角化的方法．由题设，容易求得矩阵B．由A与B相似，要求矩阵A的特征值，仅需求矩阵B的特征值，最后求可逆矩阵P即可．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化16．求矩阵A的特征值；正确答案：因为α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，可知矩阵C=(α1，α2，α3)可逆，所以C-1AC=B，即矩阵A与B相似．由此可得矩阵A与B有相同的特征值．由得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值λ1=λ2=1，λ3=4．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化17．求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．正确答案：对应于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(E-B)x=0，得基础解系ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-2，0，1)T；对应于λ3=4，解齐次线性方程组(4E-B)x=0，得基础解系ξ3=(0，1，1)T．令矩阵则因Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ)，记矩阵故P即为所求的可逆矩阵．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化已知矩阵A与B相似，其中18．求x与y；正确答案：因A与B相似，故｜λE-A｜=｜λE-B｜，即整理得(λ-2)(λ2-xλ-1)=(λ-2)[λ2+(1-y)λ-y]．比较上式两边λ同次幂的系数可得x=0，y=1，此时解析：本题主要考查矩阵相似的性质及利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法．由矩阵A与B相似，知它们有相同的特征多项式，由此可求出x和y，然后用常规方法求出正交矩阵Q，使Q-1AQ=B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化19．求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=B．正确答案：由于B是对角矩阵，其特征值为λ1=2，λ2=1，λ3=-1，而A 与B相似，故它们也是A的特征值．对于特征值λ1=2，由得A的属于λ1=2的特征向量可取为ξ1=(1，0，0)T．对于特征值λ2=1，由得A的属于λ2=1的特征向量可取为ξ2=(0，1，1)T．对于特征值λ3=-1，由得A的属于λ3=-1的特征向量可取为ξ3=(0，1，-1)T．显然，ξ1，ξ2，ξ3已正交，再单位化，得令则Q可逆，且有Q-1AQ=B．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．20．求A的特征值与特征向量；正确答案：由题设知α1，α2是Ax=0的两个解，所以有Aα1=0，Aα2=0．即Aα1=0α1，Aα2=0α2．而α1，α2线性无关，所以λ1=λ2=0是A的二重特征值，α1，α2为A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量．又矩阵A的各行元素之和均为3，即由特征值与特征向量的定义，知λ3=3是A的一个特征值，α3=(1，1，1)T为A的属于特征值3对应的一个特征向量．于是，A 的全部特征值为λ1=λ2=0，λ3=3．属于特征值0对应的全部特征向量k1α1+k2α2(k1，k2是不全为零的任意常数)，属于特征值3对应的全部特征向量k3α3(k3是不为零的任意常数)．解析：本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题．由α1，α2是线性方程组Ax=0的解，知α1，α2是属于0的特征向量．又由A的各行元素之和为3，知(1，1，1)T是A的属于3的特征向量．于是A的所有的特征值、特征向量均求出，从而本题就成为一个常规题了．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化21．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=Λ；正确答案：对α1，α2正交化，令b1=α1=(-1，2，-1)T，再分别将b1，b2，α3单位化，得则Q为正交矩阵，且QTAQ=∧．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化22．求A及，其中E为3阶单位矩阵．正确答案：因QTAQ=∧，且Q为正交矩阵，故A=Q∧QT．由A=Q∧QT得所以涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设3阶方阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2，试证：23．r(A)=2；正确答案：由于α3=α1+2α2知r(A)＜3，所以0是A的一个特征值，又由于A的3个特征值各不相同，故A可对角化，且A有两个非零特征值，从而r(A)=2．所以Ax=0的基础解系只有一个线性无关的解向量．解析：本题考查向量组线性相关和矩阵特征值的概念和性质，矩阵相似对角化的条件以及非齐次线性方程组通解的结构．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化24．若α1+α2+α3=β，求Ax=β的通解。