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解决旋转问题的思路方法1.把一个平面图形F绕平面内一点O按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角度α得到图形F'的变换称为旋转变换，点O叫做旋转中心，角度α叫做旋转角.特别地，旋转角为180°的旋转变换就是中心对称变换.2.旋转变换的性质：对应图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中有一个等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.中心对称的性质：连结对应点的线段都经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行且相等，对应角相等.3.旋转变换应用时常见的有下面三种情况：（1）旋转90°角.当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°.（2）旋转60°角.当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.（3）旋转度数等于等腰三角形顶角度数.当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数.例1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.（1）当扇形绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1所示，求证：MN2=AM2+BN2.（2）当扇形CEF绕点C旋转至如图2所示的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.规律技巧：本题利用旋转变换，将结论中的分散线段通过等量代换集中到了一个三角形中，再证明该三角形为直角三角形，运用勾股定理证明.本题还体现了动态几何问题的一个共同特征：运动的图形与静止的图形的相对位置虽然发生了变化，但有些结论仍然保持不变，且证明方法也是一样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.本题也可通过运用轴对称变换作辅助线，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连结DN.再证△DCN≌△BCN.例2.如图所示，在梯形ABCD 中，BC>AD ，AD//BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°.若AE=10，则CE 的长为 .思路分析：本题已知条件多，但比较分散，而且题设和结论间的关系也不是很明显，不易沟通，此时我们是否考虑用旋转变换来铺路架桥.规律技巧：本题中条件与结论间不能直接找到关系时，我们想到了用旋转法，但旋转法解题一般用在正方形、正三角形中较多.故本题先把直角梯形补成一个正方形，然后根据正方形中特殊三角形旋转的前后关系，使问题得到解决.本题如果通过在Rt △ADE 、Rt △CEB 和△BAE 中直接求出EC几乎是不可能的.例3.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交边BC 于点E.（1）求证：AF=DF+BE.（2）设DF=x ()01x ≤≤，△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S 的最大值；若不存在，请说明理由.思路分析：求证AF=DF+BE ，观察图形可知线段AF 、DF 、BE 不在同一个三角形内，所以考虑添加辅助线帮助解题，考虑到AF 、DF 在Rt △ADF 中，又AD 是正方形ABCD 的边长，所以试着延长CB 到点G ，使BG=DF ，又AB=AD ，进一步推理，可使问题获解.规律技巧：利用旋转构造等腰三角形是证明第（1）题的关键.通常在正方形中存在共顶角图形（或等腰三角形存在共顶点图形）时，往往利用旋转的思想；第（2）题是求S 的最大值，往往结合几何图形，实际上就是要求AF 的最大值，显然，当AF 为对角线时取得最大值.由此可见，恰当的数形结合，能简洁明了地解决问题.。
三角形旋转问题解题法和理由如下：
解题方法：
1.明确题目要求：首先需要明确题目要求，确定需要旋转的角度
和旋转中心，以及旋转后需要得到的图形或关系。
2.画出原始图形：根据题目描述，画出原始三角形，并标记好相
关的点和线段。
3.确定旋转中心和角度：根据题目要求，确定旋转的中心点和旋
转角度。
4.执行旋转操作：使用旋转工具或手动操作，将三角形绕旋转中
心按指定的角度旋转。
5.验证结果：旋转后，检查是否得到了题目要求的结果，并注意
验证角度、长度等是否符合题目要求。
理由：
1.旋转是几何变换中的基本变换，它可以通过改变图形的位置来
得到新的图形关系或结构。
2.通过旋转操作，可以揭示条件与结论之间的内在联系，找出证
题途径。
3.在三角形旋转问题中，通过旋转可以得到新的角度、长度等关
系，从而为解题提供新的思路和方法。
旋转格莱圈原理(一)旋转格莱圈原理解析什么是旋转格莱圈原理旋转格莱圈原理是一种用于解决创作困境的方法论，它源自于创作者约翰·格莱圈的思考和实践经验。
这一原理通过旋转思维的方式，帮助创作者深入挖掘自己的创意潜力，拓宽创作思路，提供更多的创作可能性。
旋转格莱圈原理的基本概念1.旋转问题：旋转格莱圈原理关注于如何通过旋转问题和观点，打破固有的思维定式，创造出新的创作视角。
2.创作视角：创作视角是指创作者对于创作题材和问题的独特思考方式和观察角度，它可以从不同的切入点出发，带来新颖的创作灵感。
3.创作视角旋转：旋转格莱圈原理鼓励创作者在创作过程中不断调整自己的创作视角，以产生更多有创意的想法。
这种视角的转变可以是在同一题材下的不同角度观察，也可是跨越不同领域和学科的跨界思考。
旋转格莱圈原理的具体操作方式旋转格莱圈原理主要包括以下几个步骤：1.定义创作的核心问题：在创作之前，明确需要解决的核心问题。
例如，“如何让读者更好地理解这个故事的主题？”2.创造旋转问题：通过转换视角、扩大或缩小问题范围等方式，生成一系列与核心问题相关的问题。
例如，“如何用哲学的视角解读主题？”或者“如何将主题扩展到全球性的议题上？”3.梳理旋转观点：根据旋转问题的不同，产生与之对应的旋转观点。
这些观点可以是来自于其他领域的理论、时空背景的切换，或是改变角色的视角。
4.创作实践：在创作实践中，运用旋转观点，将其融入到作品中。
通过对比、对话或者交织等手法，将不同的观点融合在一起，创造出独特的作品。
旋转格莱圈原理应用举例例1：小说创作核心问题：如何让读者更好地理解这个故事的主题？旋转问题：如何用哲学的视角解读主题？如何将主题扩展到全球性的议题上？旋转观点：运用西方哲学中的人性观点，将主题与自我、他人、未来、宇宙等层面联系起来。
或者以环保、社会公义等话题为切入点，将主题与全球的议题相结合。
例2：插画创作核心问题：如何更好地表达这个场景的情感？旋转问题：如何通过颜色、构图、线条等方面的变化来表达不同的情感？旋转观点：从不同情感角度切入，通过冷暖色调、密集或稀疏的线条、高低对比等手法，将不同情感表达在插画中。
旋转思想考点总结旋转思想是指通过改变视角或观点来解决问题的一种思维方式。
它强调从不同的角度思考问题，改变思维的固定模式，寻找创新的解决方案。
旋转思想在各个领域都有应用，包括科学、数学、艺术、商业等等。
本文将从以下几个方面总结旋转思想的考点。
一、角度转换旋转思想的核心是通过改变角度来看待问题。
在解决问题时，我们常常会陷入一种固定的思维模式，无法获得新的解决思路。
而通过旋转角度，我们可以看到问题的不同方面，从而找到更好的解决方案。
例如，在商业运营中，业务经理可能会面临市场份额不断下滑的问题。
传统思维模式下，他们可能会陷入固定的销售推广方案中，忽略了提升产品质量、改进客户服务等其他方面。
而如果能够运用旋转思想，从不同的角度分析市场问题，就有可能发现其他的解决途径，如寻找新的市场定位、重塑品牌形象等。
二、视角切换旋转思想还可通过切换视角来解决问题。
不同的视角会有不同的认识和理解，有时候一个问题看似困难，但是通过切换视角，我们有可能找到一个更加简单和直接的解决方法。
例如，在数学问题中，有时候我们可以通过将问题转化为图形，从视觉上通过观察来解决问题。
这种思维方式可以帮助我们提供新的思考角度，从而更好地理解和解决问题。
三、反向思维旋转思想还包括反向思维。
反向思维是指从相反的方向来看待问题，寻找截然不同的解决方案。
在实际应用中，我们会发现有时候通过反向思维能够迅速找到问题的症结和解决方案。
例如，在产品设计中，我们通常会考虑如何提升产品的功能和性能，但是如果通过反向思维，考虑如何减少产品的功能和性能，可能会产生意想不到的创新设计。
这种反向思维可以帮助我们打破固有的思维模式，找到更加创新的解决方案。
四、跳跃思维旋转思想还包括跳跃思维。
跳跃思维是指通过跳跃地思考问题，将问题与其他领域的知识结合起来来解决问题。
这种思维方式可以激发创造力，打破传统思维的束缚，产生创新的解决方案。
例如，在科学研究中，曾经有位科学家通过观察旋转雷达屏幕上的数据，发现了宇宙微波背景辐射，从而获得诺贝尔物理学奖。
制定对称平移旋转教学计划的思路和方法——对称平移旋转教案计划设计一、教学目标1. 让学生理解对称、平移和旋转的概念。
2. 培养学生运用对称、平移和旋转的方法解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现生活中的对称、平移和旋转现象，培养学生的观察力和想象力。
二、教学内容1. 对称、平移和旋转的定义和性质。
2. 对称、平移和旋转在实际问题中的应用。
3. 生活中的对称、平移和旋转现象。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作等活动，探索对称、平移和旋转的性质和应用。
2. 运用多媒体教学手段，展示对称、平移和旋转的实际应用场景，增强学生的直观感受。
3. 组织学生进行小组合作探究，培养学生的合作意识和团队精神。
四、教学步骤1. 导入新课：通过展示生活中的对称、平移和旋转现象，引发学生对对称、平移和旋转的兴趣和好奇心。
2. 讲解概念：介绍对称、平移和旋转的定义和性质，让学生理解并掌握这些基本概念。
3. 实例分析：分析实际问题中的对称、平移和旋转应用，让学生学会运用这些方法解决问题。
4. 小组探究：组织学生进行小组合作探究，让学生通过实际操作和讨论，深入理解对称、平移和旋转的性质和应用。
五、教学评价1. 课堂问答：通过提问和回答，检查学生对对称、平移和旋转概念的理解程度。
2. 作业练习：布置有关对称、平移和旋转的练习题，检验学生对知识的掌握和运用能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组合作探究中的表现，包括观察力、思考力、表达力和团队精神等。
六、教学资源1. 准备多媒体教学课件，包括对称、平移和旋转的定义、性质和实际应用案例。
2. 收集相关的实际问题，用于引导学生运用对称、平移和旋转方法解决问题。
3. 提供纸张、剪刀、彩笔等工具，让学生进行实际操作和创作。
七、教学环境1. 教室布局要有利于学生交流和合作，可以设置小组座位。
2. 确保教学过程中有足够的光线和空间，以便学生进行实际操作。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题04 旋转之角度问题【模型讲解】【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．【解答】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22，∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=11，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=2，∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，∵AP′2=（11）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．【模型演练】1．如图，已知点P 是等边三角形ABC 内一点，且6PA =，8PB ＝，10PC ＝(1)在图中画出将BPC △绕点B 逆时针旋转60︒后得到的BEA △．(2)求APB ∠的度数．2．如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将ABE 绕点B 顺时针旋转90︒到CBF 的位置，连接EF ，EF 的长为22．(1)求BF 的长；(2)若1,3AE EC ==，求AEB ∠的度数．3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3，你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△P 'BA ，连接P P '，求出∠APB 的度数．思路二：将△APB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△C P 'B ，连接P P '，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．4．已知△AOB ，将△AOB 绕O 点旋转到△COD 位置，使C 点落在OB 边上，连接AC 、BD ．（1）若∠AOB =90°（如图1），小亮发现∠BAC =∠BDC ，请你证明这个结论；（2）若∠AOB =60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB 为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；5．如图1，在正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG CE 、．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为()090αα︒<<︒．(1)如图2，在旋转过程中，判断AGD △与CED △是否全等，并说明理由；(2)如图3，延长CE 交直线AG 于点P ．①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．6．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．7．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =；（2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．同题提出 如图（1），已知ABC ，90ABC ∠=︒，将边AB 绕点A 顺时针旋转α︒至AD 处，连接CD ，O 为CD 的中点，E 为边BC 中垂线上一点，EO AO ⊥．探究BEC ∠的值．问题探究 （1）先将问题特殊化．①如图（2），当180α=︒时，不存在确定的E 点，请说明理由；②如图（3），当D 在CA 的延长线上时，连接DE ，发现180BEC α∠=︒-︒，请证明这个结论； （2）再探究一般情形．如图（1），当90180α︒<<︒时，证明（1）②中的结论仍然成立．问题拓展 （3）当0360α<≤︒︒时，若AO OE =，请直接写出α的值．9．问题提出(1)如图，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK NK +最小．问题探究(2)在等边三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠度数的大小．问题解决(3)如图，矩形ABCD 是某公园的平面图，303AB =60BC =米，现需要在对角线BD 上修一凉亭E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．问：是否存在这样的点E ？若存在，请画出点E 的位置，并求出EA EB EC ++的和的最小值；若不存在，请说明理由．10．【问题背景】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，我们可以通过把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，容易证得：EF BE DF =+．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，若B ∠、D ∠都不是直角，且180B D ∠+∠=︒，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE =︒∠．猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）．11．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．12．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3．你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．答案与解析【模型讲解】【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．【解答】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22，∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△AB P′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=11，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=2，∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，∵AP′2=（11）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．【模型演练】 1．如图，已知点P 是等边三角形ABC 内一点，且6PA =，8PB ＝，10PC ＝(1)在图中画出将BPC △绕点B 逆时针旋转60︒后得到的BEA △．(2)求APB ∠的度数． 【答案】(1)见解析(2)150︒【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明PBE △是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明90APE ∠=︒即可．【解答】（1）（1）如图，BEA △即为所求；（2）∵PBC EBA ≌，∴PB ＝EB ，60EBP ＝ABC ＝∠∠︒，∴PBE △为等边三角形，∴8PE ＝PB ＝，60EPB ＝∠︒，∵10AE ＝PC ＝，6PA ＝，∴222PE AP ＝AE +，∴APE 为直角三角形，∴90APE ＝∠︒，∴9060150APB ＝＝∠︒+︒︒．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得PBE △为等边三角形、APE 为直角三角形是解题的关键．2．如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将ABE 绕点B 顺时针旋转90︒到CBF 的位置，连接EF ，EF 的长为22．(1)求BF 的长；(2)若1,3AE EC ==，求AEB ∠的度数． 【答案】(1)BF =2(2)∠AEB =135°【分析】（1）由旋转的性质得到△BEF 为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出BF 的长； （2）根据AE =1，可得1CF AE ==，根据勾股定理逆定理()2222122CF EF +=+=9=32=CE 2得出90EFC ∠=︒，根据等腰直角三角形可求45EFB ∠=︒，再求135BFC EFB EFC ∠=∠+∠=︒，根据旋转性质，可得135AEB BFC ∠=∠=︒即可．（1）解：∵△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBF ，∴BE =BF ，∠EBF =∠ABC =90°∴△BEF 为等腰直角三角形，设 BE =BF =x ，则x 2+x 2=（22）2 ，解得： x =2；（2）解：∵△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBF ，∴∠AEB = ∠BFC ，AE =CF =1，在△CEF 中，EF =22，CF =1，EC =3，∵CF 2+EF 2=12+（22）2=9，CE 2=9，∴CF 2+EF 2=CE 2，∴△CEF 为直角三角形，∠EFC =90°，∴∠BFC =∠BFE +∠CFE =135°，∴∠AEB =135°．【点评】本题考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理，掌握，三角形旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理是解题关键．3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3，你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△P 'BA ，连接P P '，求出∠APB 的度数．思路二：将△APB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△C P 'B ，连接P P '，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【答案】∠APB =135°，解答过程见解析【分析】利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题．【解答】解：思路一：如图1，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△B P 'A ，连接P P '，则△AB P '≌△CBP ，A P '=CP =3，B P '=BP =2，∠PB P '=90°∴∠BP P '=45°，根据勾股定理得，224422P P PB P B ''=+=+=，∵AP =1，∴22189AP P P '+=+=，又∵2239P A '==，∴222AP P P P A ''+=，∴△AP P '是直角三角形，且∠AP P '=90°，∴∠APB =∠AP P '+∠BP P '=90°+45°=135°．思路二：将△P AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△P 'CB ，连接P P '，∴P 'B =PB =2，P 'C =AP =1，∠P 'BP =90°，∠APB =∠B P 'C ，∴∠B P 'P =45°，224422P P PB P B ''=+=+=，∵PC =3，P 'C =1，∴222P C PP PC ''+=，∴∠P P 'C =90°，∴∠B P 'C =∠B P 'P +∠P P 'C =45°+90°=135°，∴∠APB =∠B P 'C =135°．【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键．4．已知△AOB ，将△AOB 绕O 点旋转到△COD 位置，使C 点落在OB 边上，连接AC 、BD ．（1）若∠AOB =90°（如图1），小亮发现∠BAC =∠BDC ，请你证明这个结论；（2）若∠AOB =60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB 为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；【答案】（1）证明见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析．【分析】（1）根据旋转的性质得OA =OC ，OB =OD ，∠BAO =∠DCO ，根据等腰直角三角形的性质得∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，根据BAC BAO CAO∠=∠-∠，BDC DCO DBO∠=∠-∠，即可得；（2）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，即可得△ACO、△OBD是等边三角形，即可得∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，推出∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，即可得；（3）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，推出∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，根据三角形内角和定理和角之间的关系得∠CAO=∠OBD，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO，即可得．【解答】（1）证明：∵将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，∴BAC BAO CAO∠=∠-∠，∠=∠-∠，BDC DCO DBO∠=∠；∴BAC BDC（2）仍成立，理由如下：解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△ACO、△OBD是等边三角形，∴∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，∴∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，∴∠BAC=∠BDC；（3）仍成立，理由如下：解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∴∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，∵∠CAO+∠ACO+∠AOB=180°，∠OBD +∠ODB +∠BOD =180°，∴∠CAO =∠OBD ，∵∠BAC =∠BAO ﹣∠CAO ，∠BDC =∠DCO ﹣∠DBO ，∵∠BAO =∠DCO ，∴∠BAC =∠BDC ．【点评】本题考查了等腰直角三角形，三角形内角和定理，等边三角形的判定，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．5．如图1，在正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG CE 、．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为()090αα︒<<︒．(1)如图2，在旋转过程中，判断AGD △与CED △是否全等，并说明理由；(2)如图3，延长CE 交直线AG 于点P ．①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)C AGD ED ≅．理由见解析(2)①见解析；②存在，PC 的最大值为223+【解答】（1）如图2中，结论：C AGD ED ≅．证明：∵四边形EFGD 是正方形，∴DG DE =，90GDE ∠=︒，∵DA DC =，90ADC ∠=︒，∴GDE ADC ∠=∠，∴ADG CDE ∠=∠，∴C AGD ED ≅（SAS ）．（2）①证明：如图3中，设AD 交PC 于O ．∵C AGD ED ≅，∴DAG DCE ∠=∠，∵COD AOP ∠=∠，∴在APO 与COD 中90APO ADC ∠=∠=︒，∴CP AG ⊥．②存在∵90CPA ∠=︒，AC 是定值，∴当AP 最小时，PC 的值最大，∴当DE PC ⊥时，ACP ∠的值最小，此时PC 的值最大，此时点F 与P 重合，∵9042CED CD DE ∠===︒，，，∴22224223EC CD DE =-=-=，∵2EF DE ==， ∴223CP CE EF =+=+，∴PC 的最大值为223+．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题． 6．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．【答案】(1)1，30(2)见解析(3)能，α为135︒或315︒【分析】（1）根据矩形的性质可知点D 到边DC 的距离等于F 到边DC 的距离，即DF =1，可知点D 到边DC 的距离为1；根据旋转的性质得2CD CD '==，即可判定30CD E ，然后根据平行线的性质即可得到30CD E α'∠=∠=︒ ；（2）由G 为BC 中点可得CG =CE ，然后根据“SAS” 可判断E GCD CD ''≌△△，则GD E D ''=； （3）根据正方形的性质得CB =CD ，而CD CD '=，则 BCD '和DCD '为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当 BCD '和DCD '为钝角三角 形时，可计算出α=135°，当 BCD '和DCD '为锐角三角形时，可计算得到α=315°．（1）解：由题意可知，当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离等于F 到边DC 的距离，即DF =1， ∴点D 到边DC 的距离为：1，∵CE =1，2CD '=，∴在Rt CED '△中，30CD E ，∵CD EF ∥，∴30CD E α'∠=∠=︒，故答案为：1，30；（2）证明：∵G 为BC 中点，∴1CG =，∴CG CE =，∵长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，∴90,'∠=∠=︒''==D CE DCE CE CE CG ，∴90∠=∠+'︒='GCD DCE α，在GCD '△和E CD '△中，∵CD CD GCD DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''⎩' ∴(SAS)''△≌△GCD E CD ，∴GD E D ''=；（3）能，理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴CB =CD ，∵CD CD '=，∴BCD '和DCD '为腰相等的两等腰三角形，当BCD DCD ''∠=∠时，BCD DCD ''≅，当BCD '和DCD '为钝角三角形时，则旋转角α=360901352︒-︒=︒， 当BCD '和DCD '为锐角三角形时，1452BCD DCD BCD ''∠=∠=∠=︒ ， 则α=903603152︒︒-=︒， 即旋转角α的值为135°或315°时，BCD '和DCD '全等．【点评】此题属于四边形的综合题，考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．7．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =；（2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）15°；（3）存在，23,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()423,0- 【分析】（1）由旋转的性质可知， ABE 是等边三角形，即可求证；（2）由旋转的性质可知，CA AD =，从而()118030752ACD ADC ∠=∠=︒-︒=︒，即可求解； （3）分两种情况：若90QMA ∠=︒，CQ MQ =时；若90AQM ∠=︒，CQ QM =时，分别求解即可．【解答】（1）证明：由旋转的性质可知60BAE α∠==︒，BA BE =，∴ABE 是等边三角形，∴AB BE =．（2）解：∵90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵ABC 绕点A 顺时针旋转α得到AED △，点E 恰好在AC 上，∴CA AD =，30EAD BAC ︒∠=∠=，∴()118030752ACD ADC ∠=∠=︒-︒=︒， ∵60EDA ACB ∠=∠=︒，∴15CDE ADC EDA ∠=∠-∠=︒．（3）存在，理由如下：∵点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，∴2BC =，∵90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴24AC BC ==，223AB AC BC 2=-=，如图1，若90QMA ∠=︒，CQ MQ =时，图1设CQ QM x ==，∵30CAB ∠=︒，∴22==AQ QM x ，223=-=AM AQ QM x ，∴234=+=+==AC AQ CQ x x x ，∴43x =，∴433AM =， ∴43232333BM AB AM =-=-=， ∴点23,03M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．如图2，若90AQM ∠=︒，CQ QM =时，图2设CQ QM x ==，30CAB ∠=︒，∴22==AM QM x ，223=-=AQ AM QM x ，∴34AC x x =+=，∴232x =-，∴434AM =-，∴()23434423BM =--=-，∴点()423,0M -； 综上所述：23,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()423,0-． 【点评】本题主要考查了图形的变换——旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能够利用旋转的性质和分类讨论的思想是解题的关键．8．同题提出 如图（1），已知ABC ，90ABC ∠=︒，将边AB 绕点A 顺时针旋转α︒至AD 处，连接CD ，O 为CD 的中点，E 为边BC 中垂线上一点，EO AO ⊥．探究BEC ∠的值．问题探究 （1）先将问题特殊化．①如图（2），当180α=︒时，不存在确定的E 点，请说明理由；②如图（3），当D 在CA 的延长线上时，连接DE ，发现180BEC α∠=︒-︒，请证明这个结论； （2）再探究一般情形．如图（1），当90180α︒<<︒时，证明（1）②中的结论仍然成立．问题拓展 （3）当0360α<≤︒︒时，若AO OE =，请直接写出α的值． 【答案】（1）①见解析．②见解析；（2）180BEC α∠=︒-︒．（3）90︒或270︒．【分析】（1）①当180α=︒时，在图中找到BC 的中垂线，看能否满足EO AO ⊥即可；②先证明DEA △≌BEA △，根据D ABE ∠=∠，得到BAC BEC ∠=∠，最后利用180DAB BAC ∠+∠=︒，即可证明结论；（2）先证明出AOD FOC ≅△△，得到AE FE =，再证明出ABE CFE ≅△△，通过性质可证明出AOD FOC ≅△△，得到D DCF ∠=∠，根据AD GC ∥，得到AGC DAB α∠=∠=︒，最后根据180AGC BGC ∠+∠=︒，即可得证；（3）仿照（2）的过程依次证明AOE FOE ≅，ABE CFE ≅△△，再通过角的转换即可得到答案．【解答】解：（1）①当180α=︒时，AO 为DBC △的中位线，经过O 点的AO 的垂线与BC 的中垂线重合，∴此时E 点在BC 的中垂线上任何位置都能满足EO AO ⊥，故不存在确定的E 点．②证明：连接AE ．∵OE 垂直平分DC ，∴DE EC =，∴D ECD ∠=∠．∵E 在BC 的中垂线上，∴BE CE =，∴DE BE =．∵AD AB =，∴DEA △≌BEA △．∴D ABE ∠=∠．∴ABE ACE =∠∠．∴BAC BEC ∠=∠．∵180DAB BAC ∠+∠=︒，∴180BEC α∠=︒-︒．（2）延长AO 至F ，使得OF AO =，连接AE ，EF ．连接CF 并延长交AB 于点G ．∵OD OC =，AOD FOC ∠=∠，∴AOD FOC ≅△△．∴FC AD AB ==．∵OE AF ⊥，AO OF =，∴AE FE =．又∵BE CE =，∴ABE CFE ≅△△．∴ABE FCE ∠=∠，∴BGC BEC ∠=∠．∵AOD FOC ≅△△，∴D DCF ∠=∠．∴AD GC ∥．∴AGC DAB α∠=∠=︒，∵180AGC BGC ∠+∠=︒，∴180BEC α∠=︒-︒．（3）延长AO 至F ，使得OF AO =，连接EF 、CF 并延长交AB 于点G ，连接AE ，∵AO OE ⊥，AO OE =，∴45EAO OEA ∠=∠=︒，90AOE ∠=︒，∴()AOE FOE SAS ≅，∴45OEF ∠=︒，∵AE EF ⊥，由（2）可得()ABE CFE SAS ≅，∴AEB CEF ∠=∠，90BEC AEF ∠=∠=︒，∴18090BEC α∠=︒-=︒，∴90α=︒，当180360α︒<<︒时，延长AO 至F ，使得OF AO =，连接EF 、CF ，同理可得90BEC ∠=︒，∵36090BAD α∠=︒-=︒∴270α=︒，综上所述，α的值为90︒或270︒．【点评】本题考查三角形旋转的综合问题、全等三角形的性质和判定及辅助线作图，解题关键是作出正确的辅助线并找出三角形全等．9．问题提出(1)如图，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK NK +最小．问题探究(2)在等边三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠度数的大小．问题解决(3)如图，矩形ABCD 是某公园的平面图，303AB =米，60BC =米，现需要在对角线BD 上修一凉亭E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．问：是否存在这样的点E ？若存在，请画出点E 的位置，并求出EA EB EC ++的和的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)150︒(3)对角线BD 上不存在这样的点E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小，理由见解析【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求．；（2）把APB △绕点A 逆时针旋转60︒得到AP C '△，由旋转的性质可知APP '是等边三角形，从而得到60AP P ∠'=︒，由勾股定理逆定理可知90PP C ∠'=︒，从而求得150AP C ∠'=︒，即可求解；（3）连接AC ，设在ABC 内一点M ，把ABM 绕点B 逆时针旋转60︒得到GBM '，，由旋转的性质，M BM '、GAB △是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当MA MB MC GC ++=时最短，从而得到MA MB MC ++最小值为BF 的长，点M 为CG 、BF 的交点，即可求解．【解答】（1）解：如图1，连接点MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求．（2）解：如图2，把APB △绕点A 逆时针旋转60︒得到AP C '△，由旋转的性质，3P A PA '==，4P C PB '==，60PAP ∠'=︒，APP '∴是等边三角形，3PP PA '∴==，60AP P ∠'=︒，22223425PP P C '+'=+=，22525PC ==，222PP P C PC ∴'+'=，90PP C ∴∠'=︒，6090150AP C AP P PP C ∴∠'=∠'+∠'=︒+︒=︒；故150APB AP C ∠=∠'=︒；（3）解：如图，连接AC ，设在ABC 内一点M ，把ABM 绕点B 逆时针旋转60︒得到GBM '，由旋转的性质，303GB AB ==，BM BM '=，GM AM =，GB AB =，60M BM '∠=︒，60GBA ∠=︒， ∴M BM '、GAB △是等边三角形，BM MM '∴=，MA MB MC GM MM MC '∴++='++，根据两点间线段距离最短得：当MA MB MC GC ++=时最短，GAB 是等边三角形，∴以AC 为一边作等边三角形ACF ，MA MB MC ∴++最小值为BF 的长，此时点M 在线段BF 上，∴点M 为CG 、BF 的交点．若点M 与点E 重合，即M 在对角线BD 上，则点M 为BF 与BD 的交点，此时点M （E ）与点B 重合，显然不符合题意，故点M 不在对角线BD 上，即对角线BD 上不存在这样的点E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．10．【问题背景】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，我们可以通过把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，容易证得：EF BE DF =+．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，若B ∠、D ∠都不是直角，且180B D ∠+∠=︒，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE =︒∠．猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）． 【答案】(1)EF BE DF =+，理由见解析(2)222DE BD EC =+【分析】（1）把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，证明()AFG AFE SAS △≌△，进而即可得到结论；（2）把ACE △绕点A 逆时针旋转90°到ABF △，连接DF ，证明()ADF ADE SAS ≌，从而得90DBF ABF ABC ∠=∠+∠=，进而即可得到结论．（1）解：数量关系是EF BE DF =+，理由如下：由题意得，AB AD =，90BAD ∠=︒，把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，如图2所示，则DAG BAE ∠∠=，ADG B ∠=∠，AG AE =，∵180B ADC ∠+∠=︒，∴180ADG ADC ∠+∠=︒，∴点F 、D 、G 在同一条直线上；∵45EAF ∠=︒，∴904545GAF DAG DAF BAE DAF ∠=∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒，∴GAF EAF ∠=∠，∵AF AF =，∴()AFG AFE SAS △≌△，∴EF GF DG DF BE DF ==+=+．（2）解：数量关系是222DE BD EC =+，理由如下：把ACE △绕点A 逆时针旋转90°到ABF △，连接DF ，如图3所示，∴ABF ACE ≌△△，90FAE ∠=，∴FAB CAE ∠=∠，BF CE =，ABF C ∠=∠，∴90FAE BAC ∠=∠=，∵45DAE ∠=，∴904545FAD ∠=-=，∴45FAD DAE ∠=∠=，在ADF △和ADE 中，AF AE FAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADF ADE SAS ≌，∴DF =DE ，∵90BAC ∠=，AB =AC ，∴45ABC C ∠=∠=，∴45C ABF ∠=∠=，∴90DBF ABF ABC ∠=∠+∠=，∴BDF 是直角三角形，∴222DF BD BF =+，∴222DE BD EC =+．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，图形旋转的性质等知识，关键是正确画出图形．11．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．【答案】(1)四点共线，23(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠=，此时()::2:2:31PA PB PC =- (3)::4:2:1PA PB PC =【分析】(1)证明AEC DFC 得到AE DF =进而得到B ，E ，F ，D 四个点满足四点共线时，BE AE CE ++的值最小为BD ，再由等边△ABC 及2AB =求出BD 的长；(2)同(1)中思路证明()APC EDC SAS △≌△得到PA DE =，当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小为BE ；进一步得到150BCE ∠=︒，BC CE =即可求出45BCP ∠=，再过点C 作CF AB ⊥于点F ，利用30FBP 即可求出::PA PB PC 的值；(3)同(2)中思路即可求解．(1)解：由旋转的性质，可知,,60CE CF CA CD ECFACD ， 60ACE ECF ACF ACF ，60DCF ACDACF ACF ， ∴ACE DCF ∠=∠，∴()ACE DCF SAS △≌△，∴AE DF =，且EC EF =，∴BE AE CE BE DF EF ，∴当B ，E ，F ，D 四点共线时，BE DF EF ++的值最小为BD ，如图所示：连接AC ，设AC 与BD 交于点O ，∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠OCB =60°，∴332322BO BC ，此时223BD BO ==．(2)解：由旋转的性质，可知,,60PC CD AC CE PCD ACE ==∠=∠=︒， 60PCA PCD ACD ACD ，60DCE ACE ACD ACD ，∴PCA DCE ，∴()APC EDC SAS △≌△，∴PA DE =，且PDC ACE △，△均为等边三角形，PC PD =, ∴PA PB PC DE PB PD ++=++，∴当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，如图1所示．∵PDC ACE △，△均为等边三角形， ∴1209060150BPC CDE CPA BCE ，，∵,AC BC AC CE ==，∴BC CE =．∴15PBC DEC ∠=∠=︒，∴45BCP ∠=︒，∴当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，此时45BCP ∠=︒； 过点C 作CF AB ⊥于点F ，如图1所示．∵,PB PA CB CA ，∴CP 是线段AB 的中垂线，∴C ，P ，F 三点共线，45FBC FAC ∠=∠=︒∴,30PA PB FBP FAP =∠=∠=︒，设1PF =，则2,3PB PA CF BF ====．∴31PC =-，∴::2:2:(31)PA PB PC =-．(3)解：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ，过点E 作EF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，如图2所示：由(2)可知，当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，此时120BPC CDE CPA ∠=∠=∠=︒， 由(2)知：9060150APC EDC BCE △≌△，，∴30ECF ∠=︒，∵2BC =，∴23AC CE ==，∴3,3EF CF ==．∴235BF =+=，∴在Rt BEF △中由勾股定理得到22225(3)27BE BF EF =+=+=，过点C 作CG BE ⊥，垂足为G ，如图2所示． ∵1122BCE S BC EF BE CG =⨯⨯=⨯⨯△， ∴11232722CG ⨯=⨯⨯⨯， ∴217CG =， ∴3217377PG DG ， ∴在Rt BCG 中由勾股定理得到22222157277BG BC CG ， ∴27577472,7777PD PC PG BP BG PG ====-=-=， ∴47278727777PD DE BE BP PD ==--=--=， ∴::4:2:1PA PB PC =．【点评】本题考察了图形旋转的性质、三角形全等的判定方法、勾股定理求线段长等知识点，本题综合性强，难度大，需要根据题意做出合适的辅助线，属于中考常考压轴题．。
初中数学旋转的六大模型,初中几何旋转经典例题标题：初中数学旋转的六创作者，初中几何旋转经典例题在初中的数学学习中，旋转是一个重要的概念，它不仅在几何学中占据着核心地位，还在代数学、统计学等其他领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍初中数学旋转的六创作者，并通过经典例题来深化理解。
旋转是指一个图形绕着某一点转动一定的角度。
在这个过程中，图形上任意一点所经过的路径形成一个圆，这个圆叫做旋转圆，点叫做旋转中心。
旋转的角度一般用角度或者弧度来表示。
中心对称旋转：图形以旋转中心为对称中心，旋转角度为偶数倍的180度。
绕固定点旋转：图形围绕一个固定点旋转，这个固定点称为旋转中心。
旋转对称图形：图形可以通过旋转得到，这种图形称为旋转对称图形。
旋转角相等：如果两个图形可以通过旋转互相得到，那么它们的旋转角必然相等。
旋转角互补：如果两个图形的一条边和另一条边的延长线组成一个平角，那么这两个图形的旋转角互补。
旋转改变形状：旋转可以改变图形的形状，但不会改变图形的面积。
例1：在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是AC上一点，且CF=2AF。
求证：EF平分∠AEB。
证明：我们可以通过旋转证明。
把△ABE绕B点按逆时针方向旋转60°，得到△CBG，则BG//AE，所以∠FGB=∠FEA。
因为CF=2AF，所以FG=2FE。
所以可以得出∠FEB=∠FGB+∠GBF=∠FEA+∠AEB+∠ABE=∠FEA+∠AEB+∠EAB=180°即∠FEA+∠AEB=180°-∠EAB=∠BEF所以∠BEF = ∠FEA即 EF平分∠AEB。
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E、F分别在AC和BC上，且DE⊥DF。
求证：EF^2=AE^2+BF^2。
证明：把Rt△ABC绕D点按顺时针方向旋转90°得到Rt△AB’C’，则可知：△ABC≌△AB’C’，所以可知DE=DF，因为DE⊥DF，所以可知四边形DECF’是正方形。
中考旋转问题解题技巧
1. 哎呀呀，你知道吗，中考旋转问题里有个超重要的技巧就是找关键点呀！就像拼图一样，找到了关键点就能把整个图形拼凑起来啦！比如在这个图形里，找到那个关键的顶点，然后围绕它进行分析，疑惑是不是一下就解开啦？
2. 嘿，告诉你哦，旋转问题中要特别注意图形的对称性！这就好比是一把钥匙，能打开解题的大门呀！像这个图形，一旦发现了它的对称性，哇塞，解题思路不就一下子出来了嘛！
3. 哇哦，可别小看了观察已知条件这个步骤呀！它就像指明灯一样重要呢！比如这里给了这些条件，那我们就得像侦探一样，仔细分析，从中找到线索呀，你说是不是很有趣呢？
4. 哟呵，在解决旋转问题时，我们要大胆去尝试想象图形运动的过程呀！这就好像让图形在我们脑海里跳舞一样！像碰到这种情况，想象一下图形旋转之后的样子，好多问题就迎刃而解啦！
5. 哈哈，千万别忘了利用相似三角形这个好帮手呀！它可是解决旋转问题的得力干将！就好比是给我们配备了一件强大的武器！比如在这个例子里，通过相似三角形，一下子就能突破难关啦！
6. 哎呀呀，最后一点也很关键哦，那就是要多练习！只有不断练习，才能在考场上应对自如呀！就像运动员训练一样，练得多了自然就厉害啦！比如多做一些这样的题目，到时候就不会手忙脚乱啦！
我的观点结论就是：中考旋转问题并不可怕，只要掌握了这些技巧，多练习，遇到问题冷静分析，就一定能取得好成绩！。
初三旋转中的最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初三旋转中的最值问题是中学数学中的一个重要知识点，通常涉及到函数的最值求解和图形的旋转等内容。
在初三阶段，学生常常会遇到类似于“求解函数f(x)=x^2在区间[a,b]上的最大值”或“求解旋转体的体积最大值”等问题。
本文将重点介绍初三阶段学生在旋转中的最值问题中常见的几种情形，并给出详细的解题方法和实例。
一、函数的最值问题在数学中，函数f(x)在区间[a,b]上的最值通常包括最大值和最小值两种情况。
最大值是函数在该区间上取得的最大函数值，而最小值是函数在该区间上取得的最小函数值。
初三阶段学生通常会被要求求解给定函数在给定区间上的最值，其中最常见的情形是二次函数在闭区间上的最值问题。
以函数f(x)=x^2为例，求解其在区间[-1,1]上的最大值。
我们需要求出函数f(x)=x^2在该区间端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1。
然后，对函数f(x)=x^2求导得到f'(x)=2x，再令f'(x)=0解得驻点x=0。
比较端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1，得知函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的最大值为1。
对于初三阶段的学生来说，很多函数的最值问题可以通过几何意义进行解释。
函数f(x)=x^2表示一个抛物线，函数在单调递增区间上取得最小值，而在单调递减区间上取得最大值。
初三阶段学生可以通过画出函数图像或利用函数基本性质进行推断，帮助他们更好地理解函数的最值问题。
二、图形的旋转中的最值问题在初三阶段，学生通常会遇到圆的旋转体体积最值问题。
圆的旋转体是指将一个形状为圆的二维图形绕某一条轴旋转一周所形成的立体图形。
求解圆的旋转体体积最值问题就是要找出使得旋转体体积最大或最小的情形。
以一个直径为2r的圆的旋转体体积为例，求解其体积最大值。
我们知道圆的周长为2πr，将其围绕直径旋转一周即可得到一个球体的体积。
旋转问题的解题技巧
1. 哎呀呀，遇到旋转问题不要慌！你看那电风扇转得多快呀，就像我们解题的思路一样要迅速找到关键。
比如一个图形绕着一个点旋转，那就要紧紧抓住旋转中心这个关键呀！是不是一下子就清楚啦？
2. 嘿，你知道吗，旋转问题有个绝招来啦！想象一下时钟的指针转动，这就跟我们要解的旋转问题很像呀。
像那种给出旋转前后的图形，我们就得观察它们之间的变化规律呀，这招超好用的呀！
3. 哇哦，解决旋转问题还得学会找特点呢！就像每个玩具都有它独特的地方一样。
比如知道了旋转的角度和方向，解题不就容易多了嘛！你说是不是呀？
4. 哈哈，面对旋转问题就得大胆去尝试呀！好比划船，不尝试怎么知道能不能到对岸呢。
试试不同的方法，也许答案就冒出来啦，就像突然找到宝藏一样惊喜呀！
5. 诶呀，旋转问题里可藏着不少秘密呢！就像一个神秘的盒子等你去打开。
像是两个图形通过旋转重合，那我们就找找它们重合的关键点嘛，这样不就柳暗花明啦？
6. 哟呵，要善于利用对称性来解决旋转问题呀！好比照镜子，对称的两边是不是很好找呀。
碰到有对称关系的旋转，那答案准能快速找到啦！
7. 哇，旋转问题可不能死脑筋呀！要像脑筋急转弯一样灵活。
例如给定一个复杂的图形旋转，我们别害怕，一点点分析，总会找到解题思路的啦！
8. 嘿呀，总之记住这些解题技巧，旋转问题就难不倒你啦！不管遇到什么难题，都可以像勇士一样去战斗，把答案给攻克下来呀！
我的观点结论就是：掌握了这些技巧，再难的旋转问题都能迎刃而解！。
旋转数学题解题方法技巧旋转数学题解题方法技巧一、旋转数学题的概念旋转数学是一类涉及空间几何图形的解题方法，旋转数学指的是利用图形来进行运算，在几何中，空间几何图形可以提供重要的知识，从而有助于解决数学问题，其中包括一些比较复杂的问题，比如多面体的旋转等。
二、旋转数学题的解题方法技巧1、明确旋转数学题的形式要根据旋转数学题的具体形式来确定解题思路，一般分为三类：（1）旋转图形的形状（比如圆形、正方形等），（2）旋转图形的大小，（3）旋转图形的角度。
2、确定解题步骤旋转数学题的问题可以分为几个部分：（1）确定图形定义的方向；（2）计算旋转的角度；（3）构造旋转图形的方法；（4）通过旋转图形计算相关的变量。
3、构造图形因为解答题目需要利用空间几何图形，而空间几何图形的构造也非常重要。
首先，需要仔细观察题目，根据题目中提供的图形信息，明确图形的各个点和线段的关系；其次，根据题目中给出的角度，用测量角度的工具来确定图形的具体方位。
4、确定旋转角度求解旋转数学题的时候，需要确定旋转角度，这一步非常重要，而且需要花费一定的时间。
如果知道图形的始末点，那么可以用直角三角形的关系式求出旋转角度，如果不知道图形的始末点，可以运用角平分线求出旋转角度。
5、计算变量解答旋转数学题的时候，除了确定旋转方向和角度外，还需要计算出与旋转相关的变量，例如图形的面积、夹角等等。
如果题目中出现复杂的几何图形，可以使用它们的公式来计算出任何一个变量。
6、解答问题有了图形的关系、旋转角度及其他变量的信息，就可以解答旋转数学题了，根据所要求的条件，将计算得到的变量结合起来，就可以解出题目要求的结果了。
九年级数学上册旋转知识点在九年级数学上册中，旋转是一个重要的知识点，它涉及到几何图形旋转后的性质和变化。
在本文中，我们将深入探讨旋转的概念、旋转的性质以及如何运用旋转来解决问题。
一、旋转的概念旋转是一种几何运动，它将一个图形围绕一个点或一条线旋转一定角度后得到一个新的图形。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。
旋转的中心可以是任意一点，也可以是图形内部的一个点或多边形的中心。
二、旋转的性质1. 相似性：旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置和方向。
旋转后的图形仍与原图相似。
2. 旋转角度：旋转角度是旋转的基本概念，它表示图形旋转的角度大小。
顺时针旋转角度为负值，逆时针旋转角度为正值。
3. 旋转中心：旋转中心是旋转的参考点，图形围绕旋转中心旋转。
旋转中心可以是图形内部的一个点，也可以是任意一点。
4. 不变性：旋转不改变图形的面积、周长和内角和。
只要旋转角度相同，图形的这些性质不会发生改变。
三、旋转的应用1. 图形的旋转：可以通过旋转图形来找出图形的对称轴，以及解决一些与对称有关的问题。
例如，我们可以通过旋转一个正方形90度来发现它有4个对称轴，分别是水平轴、垂直轴和两条对角线。
这有助于我们更好地理解图形的对称性质。
2. 图形的判断：通过旋转图形，我们还可以判断一个图形是否与另一个图形相似。
例如，我们可以通过旋转一个三角形180度，使其与另一个三角形重叠。
如果两个三角形完全重合，那么它们就是相似的。
3. 问题的求解：在解决一些几何问题时，旋转可以帮助我们更好地理清思路和寻找解题方法。
例如，当我们需要计算一个图形的面积时，可以将图形旋转一定角度，使其变成一个更简单的图形，然后计算这个简单图形的面积，最后通过旋转角度计算出原图形的面积。
四、旋转的思维拓展1. 与平移和缩放的关系：旋转与平移和缩放是几何变换的三种基本变换，它们之间存在着一定的联系。
例如，通过不同的旋转角度和旋转中心，可以实现平移和缩放的效果。
中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种，它将图形绕某一定点进行旋转，使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。
在平面几何中，这一定点通常被称为旋转中心，而旋转的角度则是旋转的重要参数。
2. 旋转的表示在数学中，旋转可以通过不同的表示方法来描述。
最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转，也可以使用矩阵来进行描述。
3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质，比如旋转是等距变换，旋转后的图形与原图形的关系等。
这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。
二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中，二维平面上的点可以通过旋转变换而成。
对于坐标系中的点(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。
2. 三维空间的旋转公式在三维空间中，点的旋转也是常见的几何变换。
旋转的角度可以沿着不同轴进行，因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些，但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。
三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中，通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。
通过学习旋转的原理和公式，可以对图形的旋转进行分析和计算，从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。
2. 向量的旋转在向量几何中，旋转是常见的几何变换。
向量的旋转不仅可以通过公式进行计算，还可以通过向量的性质和几何特点进行分析，从而更深入地理解向量的旋转。
3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中，经常需要对坐标系进行旋转变换。
通过学习旋转的原理和方法，可以更清晰地理解坐标系的旋转规律，从而更好地应用于实际问题的解决中。
四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中，旋转对称是一种重要的对称方式。
通过学习旋转对称的定理和性质，可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。
2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。
通过学习旋转角度的性质，可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。
3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合，比如平移、翻转等。
勾股定理旋转解题思路在数学的世界里，勾股定理就像一颗璀璨的明珠，闪闪发光。
想象一下，咱们在一个阳光明媚的下午，坐在公园的长椅上，阳光洒在脸上，旁边有小鸟在唱歌，心情那叫一个好啊。
突然，有个小朋友在玩球，球滚到了一个斜坡上。
他们想知道，这个斜坡有多高。
我们心中立刻浮现出勾股定理，想要用它来解这个问题。
就像小朋友的球一样，直接往上滚，这样的思路真是让人眼前一亮。
说到勾股定理，很多人可能一开始就皱起了眉头，觉得这玩意儿太复杂了。
但是，亲爱的朋友们，听我说，这其实简单得不能再简单了。
勾股定理告诉我们，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这就好比你把两个小房间拼起来，最后形成一个大房间。
简单明了，不是吗？现在想象一下，如果我们把这个直角三角形旋转一圈，那会发生什么呢？就像是给你的房间换了个新样子，真是妙趣横生。
好啦，我们回到那个小朋友和球的故事。
小朋友想知道斜坡的高度，于是我们就可以运用勾股定理，把这个高度变成一个数学问题。
假设斜坡的底边是3米，高是4米，那么斜坡的长度就是5米。
这个过程就像是做一道简单的数学题，轻轻松松就解开了。
于是小朋友高兴得手舞足蹈，像小鸟一样在草地上跳来跳去，快乐得不得了。
如果我们更深入一点，想象一下，如果把这个直角三角形旋转成一个圆锥体，那这个形状又会有什么样的变化呢？这就像是把一个普通的冰淇淋球放在了一个美丽的华丽蛋糕上。
旋转的过程中，直角三角形的各个边就像是不断在舞蹈一样，优雅而又神秘。
咱们不仅可以用勾股定理来计算直角三角形的边长，还能用它来研究这些旋转后形状的特征。
这个过程就像是揭开了一个个秘密，让人忍不住想要一探究竟。
再说说实际生活中的例子吧。
咱们去爬山，路上有很多斜坡，这时候勾股定理就派上用场了。
比如，咱们站在山脚下，想知道到达山顶的最短路径。
通过测量山脚到山顶的水平距离和高度，我们就能用勾股定理来算出这条最短的路径，简单又实用，难怪大家都说它是数学界的“万金油”呢。
初一三角形旋转题解题技巧
初一学习三角形旋转题时，需要掌握一些基本的技巧和方法，才能更好地解决问题。
以下是一些常用的技巧和方法：
1. 确定旋转中心和旋转角度：在解决三角形旋转问题时，首先需要确定旋转中心和旋转角度。
旋转中心通常是三角形的某个顶点或某个中心。
旋转角度通常是90度、180度或360度。
2. 利用对称性质：三角形的旋转可以形成简单的对称图形，因此可以利用三角形的对称性质来解决问题。
例如，如果三角形旋转180度后，能够重合或对称，则它们可能是等边三角形或等腰三角形。
3. 利用相似性质：三角形旋转后，仍然保持相似，因此可以利用相似性质来解决问题。
例如，如果一个三角形旋转180度后，与原来的三角形相似，则它们的角度相等，比例尺相等。
4. 利用角度计算：三角形旋转后，三角形的角度会发生变化，可以通过计算旋转后的角度来解决问题。
例如，如果一个三角形旋转180度后，原来的角度减去180度得到旋转后的角度。
5. 利用向量运算：向量是解决三角形旋转问题的有力工具。
可以通过向量运算来计算旋转后三角形的坐标和长度。
例如，如果一个三角
形绕原点逆时针旋转90度，可以通过向量运算得到旋转后的坐标。
中考数学难点旋转最值三点共线问题旋转最值三点共线问题是中考数学中的难点之一。
解决这个问题需要掌握旋转、最值和共线等概念，以及相应的解题方法。
本文将为大家详细介绍这个难点问题的解题思路和步骤，帮助大家更好地应对中考数学考试。
1. 问题描述假设平面上有三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，我们需要找到一个旋转中心O，使得当点A绕O旋转时，点B和C始终保持共线。
我们需要求解旋转中心O的坐标。
2. 解题思路为了求解旋转中心O的坐标，我们可以从两个方面入手，分别是旋转角度和旋转中心的坐标。
首先，我们可以假设旋转中心O的坐标为(x, y)，然后通过计算旋转角度来确定旋转中心的位置。
接下来，我们根据最值和共线的概念，构建方程组，进而求解旋转中心的坐标。
3. 计算旋转角度为了构建方程组，我们需要先确定旋转角度。
根据题目要求，点B和C始终保持共线，说明它们的斜率相等。
我们可以求解点B和C的斜率，然后通过斜率之间的关系来确定旋转角度。
斜率的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)设斜率k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，斜率k2 = (y3 - y1) / (x3 - x1)由于点B和C始终共线，则k1 = k2，即 (y2 - y1) / (x2 - x1) = (y3 -y1) / (x3 - x1)化简上述方程，得到：(y2 - y1) * (x3 - x1) = (y3 - y1) * (x2 - x1)4. 求解旋转中心坐标通过4.计算旋转角度中的方程，我们得到了一个等式，然后我们将旋转中心的坐标代入该等式，从而求解旋转中心坐标。
具体步骤如下：将旋转中心坐标(x, y)代入方程，得到：(y2 - y1) * (x3 - x1) = (y3 - y1) * (x2 - x1)展开并整理得到：(x2 - x1) * y + (y2 - y1) * x = (x2 * y1 - x1 * y2) + (x1 * y3 - x3 * y1)由上述方程可知，旋转中心的坐标可以通过求解线性方程组来获得。
解决旋转问题的思路方
法
文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
解决旋转问题的思路方法1.把一个平面图形F绕平面内一点O按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角
度α得到图形F'的变换称为旋转变换，点O叫做旋转中心，角度α叫做旋转角.
特别地，旋转角为180°的旋转变换就是中心对称变换.
2.旋转变换的性质：对应图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在
直线的夹角中有一个等于旋转角，对应点到旋转中心的距离
相等.
中心对称的性质：连结对应点的线段都经过对称中心且被对称中心平分，对应
线段平行且相等，对应角相等.
3.旋转变换应用时常见的有下面三种情况：
（1）旋转90°角.当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°.
（2）旋转60°角.当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.
（3）旋转度数等于等腰三角形顶角度数.当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数.
例1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.
（1）当扇形绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1所示，求证：MN2=AM2+BN2.（2）当扇形CEF绕点C旋转至如图2所示的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
规律技巧：本题利用旋转变换，将结论中的分散线段通过等量代换集中到了一个三角形中，再证明该三角形为直角三角形，运用勾股定理证明.本题
还体现了动态几何问题的一个共同特征：运动的图形与静止的图形
的相对位置虽然发生了变化，但有些结论仍然保持不变，且证明方
法也是一样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.本题也可通过运
用轴对称变换作辅助线，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连结
DN.再证△DCN≌△BCN.
例2.如图所示，在梯形ABCD中，BC>AD，ADAE=10，则CE的长为 .思路分析：本题已知条件多，但比较分散，而且题设和结论间的关系也不是很明显，不易沟通，此时我们是否考虑用旋转变换来铺路架桥.
规律技巧：本题中条件与结论间不能直接找到关系时，我们想到了用旋转法，但旋转法解题一般用在正方形、正三角形中较多.故本题先把直角梯形
补成一个正方形，然后根据正方形中特殊三角形旋转的前后关系，使
问题得到解决.本题如果通过在Rt△ADE、Rt△CEB和△BAE中直接求
出EC几乎是不可能的.
例3.如图所示，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF 交边BC于点E.
（1）求证：AF=DF+BE.
（2）设DF=x()
01
≤≤，△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值若存在，
x
求出此时x的值及S的最大值；若不存在，请说明理由.
思路分析：求证AF=DF+BE，观察图形可知线段AF、DF、BE不在同一个三角形内，所以考虑添加辅助线帮助解题，考虑到AF、DF在Rt△ADF中，
又AD是正方形ABCD的边长，所以试着延长CB到点G，使BG=DF，又
AB=AD，进一步推理，可使问题获解.
规律技巧：利用旋转构造等腰三角形是证明第（1）题的关键.通常在正方形中存在共顶角图形（或等腰三角形存在共顶点图形）时，往往利用旋转
的思想；第（2）题是求S的最大值，往往结合几何图形，实际上就
是要求AF的最大值，显然，当AF为对角线时取得最大值.由此可
见，恰当的数形结合，能简洁明了地解决问题.。
