上海初中数学一模-2019年-填选合集(含解析)

2019年上海市金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数是二次函数的是()A. y=xB. y=1x C. y=x−2+x2 D. y=1x22.在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sin∠B等于()A. ACAB B. BCABC. ACBCD. BCAC3.如图，已知BD与CE相交于点A，ED//BC，AB=8，AC=12，AD=6，那么AE的长等于()A. 4B. 9C. 12D. 164.已知e⃗是一个单位向量，a⃗、b⃗ 是非零向量，那么下列等式正确的是()A. |a⃗|e⃗=a⃗B. |e⃗|b⃗ =b⃗C. 1|a⃗ |a⃗=e⃗ D. 1|a⃗ |a⃗=1|b⃗|b⃗5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示，那么a、b、c的取值范围是()A. a<0、b>0、c>0B. a<、b<0、c>0C. a<0、b>0、c<0D. a<0、b<0、c<06.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是()A. 点B、点C都在⊙A内B. 点C在⊙A内，点B在⊙A外C. 点B在⊙A内，点C在⊙A外D. 点B、点C都在⊙A外二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知二次函数f(x)=x2−3x+1，那么f(2)=______．8.已知抛物线y=12x2−1，那么抛物线在y轴右侧部分是______(填“上升的”或“下降的”)．9.已知xy =52，那么x+yy=______．10.已知α是锐角，sinα=12，那么cosα=______．11.一个正n边形的中心角等于18°，那么n=______．12.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，AB=4，那么AP=______．13.如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部(点B)60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB=______米．14.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2和5，圆心距为d，若⊙O1与⊙O2相交，那么d的取值范围是______．15.如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB、AC上，且ADAB =25，DE//BC，设OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 、OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c⃗，那么DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用b⃗ 、c⃗表示)．16.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，延长连心线O1O2交⊙O2于点P，联结PA、PB，若∠APB=60°，AP=6，那么⊙O2的半径等于______．17.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C=45，那么GE=______．18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6.在边AB上取一点O，使BO=BC，以点O为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′(点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′)，那么△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积是______三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：cos245°−cot30°2sin60∘+tan260°−cot45°⋅sin30°．20.已知二次函数y=x2−4x−5，与y轴的交点为P，与x轴交于A、B两点．(点B在点A的右侧)(1)当y=0时，求x的值．(2)点M(6,m)在二次函数y=x2−4x−5的图象上，设直线MP与x轴交于点C，求cot∠MCB的值．21.如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2．求(1)背水坡AB的长度．(2)坝底BC的长度．22.如图，已知AB是⊙O的直径，C为圆上一点，D是BC⏜的中点，CH⊥AB于H，垂足为H，联OD交弦BC于E，交CH于F，联结EH．(1)求证：△BHE∽△BCO．(2)若OC=4，BH=1，求EH的长．23.如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．(1)求证：AM2=MF⋅MH．(2)若BC2=BD⋅DM，求证：∠AMB=∠ADC．24.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,6)，点B(1,3)，直线l1：y=kx(k≠0)，直线l2：y=−x−2，直线l1经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，且l1与l2相交于点C，直线l2与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线l2上(此时抛物线的顶点记为M)，再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线l1上(此时抛物线的顶点记为N)．(1)求抛物线y=x2+bx+c的解析式．(2)判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线l2的位置关系，并说明理由．(3)设点F、H在直线l1上(点H在点F的下方)，当△MHF与△OAB相似时，求点F、H的坐标(直接写出结果)．25.已知多边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，联结AC、FD，点H是射线AF上的一个动点，联结CH，直线CH交射线DF于点G，作MH⊥CH交CD的延长线于点M，设⊙O的半径为r(r>0)．(1)求证：四边形ACDF是矩形．(2)当CH经过点E时，⊙M与⊙O外切，求⊙M的半径(用r的代数式表示)．(3)设∠HCD=α(0<α<90°)，求点C、M、H、F构成的四边形的面积(用r及含α的三角比的式子表示)．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、y=x属于一次函数，故本选项错误；B、y=1x的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；C、y=x−2+x2=x2+x−2，符合二次函数的定义，故本选项正确；D、y=1x2的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；故选：C．根据二次函数的定义判定即可．本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，∴sin∠B=ACAB，故选A．我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵ED//BC，∴ABAD =ACAE，即86=12AE，∴AE=9，故选B．4.【答案】B【解析】解：A.由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；B.符合向量的长度及方向，故本选项正确；C.得出的是a的方向不是单位向量，故本选项错误；D.左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故本选项错误．故选B．长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．本题考查了向量的性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由图象开口可知：a<0，由图象与y轴交点可知：c<0，<0，由对称轴可知：−b2a∴b<0，即a<0，b<0，c<0，故选D．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．也考查了含30°角的直角三角形的性质．先解直角△ABC，求出AB、AC的长，再根据点到圆心距离与半径的关系可以确定点B、点C与⊙A的位置关系．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=4，AC=√3BC=2√3，∵⊙A的半径为3，4>3，2√3>3，∴点B、点C都在⊙A外．故选：D．7.【答案】−1【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】解：把x=2代入f(x)=x2−3x+1得f(2)=22−3×2+1=−1．故答案为−1．8.【答案】上升的【解析】【分析】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．【解答】x2−1，解：∵y=12∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y 轴右侧部分是上升的， 故答案为：上升的．9.【答案】72【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x ，y 的值是解题关键．直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案． 【解答】 解：∵xy =52，∴设x =5a ，则y =2a ， 那么x+y y =2a+5a 2a =72． 故答案为：72．10.【答案】√32【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解决问题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值．先确定α的度数，即可得出cosα的值． 【解答】解：∵α是锐角，sinα=12， ∴α=30°， ∴cosα=√32． 故答案为：√32．11.【答案】20【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360°是解答此题的关键．根据正多边形的中心角和为360°计算即可． 【解答】 解：n =360°18∘=20，故答案为：20． 12.【答案】2√5−2【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3−√52，较长的线段=原线段的√5−12.根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP =√5−12AB ，代入数据即可得出AP 的长． 【解答】解：由于P 为线段AB =4的黄金分割点， 且AP 是较长线段；则AP =√5−12AB =√5−12×4=2√5−2． 故答案为2√5−2． 13.【答案】20√3【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出AB 的值进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：tan30°=AB CB=AB 60=√33， 解得：AB =20√3，答：铁塔的高度AB 为20√3m. 故答案为：20√3． 14.【答案】3<d <7【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d 、两圆的半径分别为r 、R ：①两圆外离⇔d >R +r ；②两圆外切⇔d =R +r ；③两圆相交⇔R −r <d <R +r(R ≥r)；④两圆内切⇔d =R −r(R >r)；⑤两圆内含⇔d <R −r(R >r).利用两圆相交⇔R −r <d <R +r(R ≥r)求解． 【解答】解：∵⊙O 1与⊙O 2相交， ∴3<d <7．故答案为3<d <7． 15.【答案】−25b ⃗+25c ⃗【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．根据三角形法则和平行线分线段成比例来求DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：∵ADAB =25，DE//BC ， ∴DEBC =ADAB =25， ∴DE =25BC ． ∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −b ⃗ ， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−25b ⃗ +25c ⃗ ．故答案是：−25b ⃗+25c ⃗ ． 16.【答案】2√3【解析】 【分析】本题考查了相交两圆的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．连接AB 交O 1P 于C ，根据相交两圆的性质得到AB ⊥O 1P ，AC =BC ，得到∠APC =12∠APB =30°，根据直角三角形的性质得到AC =12AP =3，连接AO 2，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：连接AB 交O 1P 于C ， 则AB ⊥O 1P ，AC =BC ， ∴AP =PB ，∴∠APC =12∠APB =30°，∴AC =12AP =3， 连接AO 2， ∵AO 2=PO 2， ∴∠AO 2C =60°， ∴AO 2=ACsin60∘=√32=2√3，∴⊙O 2的半径等于2√3．17.【答案】√172【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数定义，解答本题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形，作EF ⊥BC 于点F ，根据余弦定义求出CD 长，根据等腰三角形性质求出BC 长，根据平行关系易证△BDG∽△BFE ，再根据相似三角形的对应边成比例结合线段的和差关系求出GE 即可． 【解答】解：作EF ⊥BC 于点F ，∵AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AB =AC =5，cos∠C =45， ∴AD ⊥BC ，AD =3，CD =4， ∴AD//EF ，BC =8，∴EF =1.5，DF =2，△BDG∽△BFE ，∴DGFE =BDBF=BGBE，BF=6，∴DG=1，∴BG=√17，∴46=√17BE，得BE=3√172，∴GE=BE−BG=3√172−√17=√172，故答案为√172．18.【答案】5.76【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到OA′=OA=4，∠A′=∠A，根据相似三角形的性质得到OM=3，求得AM=1，根据相似三角形的性质得到S△AON=6，同理，S△AMP= 0.24，于是得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴BO=BC=6，∵把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，∴OA′=OA=4，∠A′=∠A，∵∠A′OM=∠C=90°，∴△A′OM∽△ACB，∴OMBC =OA′AC，∴OM=3，∴AM=1，∵∠A′MO=∠AMP，∴∠APM=∠A′ON=90°，∴△AON∽△ACB，∴S△AONS△ACB =(AOAC)2=14，∵S△ABC=12×8×6=24，∴S△AON=6，同理，S△AMP=0.24，∴△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积是6−0.24=5.76．故答案为：5.76．19.【答案】解：原式=(√22)2−√32×√32+(√3)2−1×12=12−1+3−12 =2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】解：(1)把y =0代入y =x 2−4x −5，得x 2−4x −5=0，解得，x 1=5，x 2=−1，即当y =0时，x 的值是−1或5；(2)∵点M(6,m)在二次函数y =x 2−4x −5的图象上，∴m =62−4×6−5=7，∴点M(6,7)，∵二次函数y =x 2−4x −5，与y 轴的交点为P ，∴点P 的坐标为(0,−5)，设直线MP 的函数解析式为y =kx +b ，{6k +b =7b =−5，得{k =2b =−5， 即直线MP 的解析式为y =2x −5，当y =0时，x =52，即点C 的坐标为(52,0)，由(1)知，当y =0时，x 的值是−1或5，∵二次函数y =x 2−4x −5与x 轴交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，∴点B 的坐标为(5,0)，∴cot∠MCB =6−527=12．【解析】(1)根据题目中的函数解析式，可以求得当y −0时对应的x 值；(2)根据题意可以求得点M 的坐标，点C 的坐标和点B 的坐标，从而可以求得cot∠MCB 的值．本题考查抛物线与x 轴的交点、一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 21.【答案】解：(1)分别过点A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为点M 、N ，根据题意，可知AM =DN =24(米)，MN =AD =6(米)，在Rt △ABM 中，∵AM BM =13，∴BM =72(米)，∵AB 2=AM 2+BM 2，∴AB =√242+722=24√10(米)，答：背水坡AB 的长度为24√10米；(2)在Rt△DNC中，DNCN =12，∴CN=48(米)，∴BC=72+6+48=126(米)，答：坝底BC的长度为126米．【解析】(1)直接分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC垂足分别为点M、N，得出AM= DN=24(米)，MN=AD=6(米)，进而利用坡度以及勾股定理进而得出答案；(2)利用(1)中所求，进而得出BC的长．此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．22.【答案】(1)证明：∵OD为圆的半径，D是BC⏜的中点，∴OD⊥BC，BE=CE=12BC，∵CH⊥AB，∴∠CHB=90°，∴HE=12BC=BE，∴∠B=∠EHB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠EHB=∠OCB，又∵∠B=∠B∴△BHE∽△BCO．(2)解：∵△BHE∽△BCO，∴BHBC =BEOB，∵OC=4，BH=1，∴OB=4，得12BE =BE4，解得BE=√2，∴EH=BE=√2．【解析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；(2)由△BHE∽△BCO，可得BHBC =BEOB，由此即可解决问题；本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴AMMF =DMMB，DMMB=MHAM，∴AMMF =MHAM，即AM2=MF⋅MH．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，又∵BC2=BD⋅DM，∴AD 2=BD ⋅DM 即AD DB =DM AD ，又∵∠ADM =∠BDA ，∴△ADM∽△BDA ，∴∠AMD =∠BAD ，∵AB//CD ，∴∠BAD +∠ADC =180°，∵∠AMB +∠AMD =180°，∴∠AMB =∠ADC ．【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；(2)由△ADM∽△BDA ，推出∠AMD =∠BAD ，由AB//CD ，推出∠BAD +∠ADC =180°，由∠AMB +∠AMD =180°，可得∠AMB =∠ADC ；本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)把点A 、B 坐标代入y =x 2+bx +c 得：{c =63=1+b +c ，解得：{b =−4c =6， 则抛物线的表达式为：y =x 2−4x +6；(2)y =x 2−4x +6=(x −2)2+2，故顶点坐标为(2,2)，把点P 坐标代入直线l 1表达式得：2=2k ，即k =1，∴直线l 1表达式为：y =x ，设：点M(2,m)代入直线l 2的表达式得：m =−4，即点M 的坐标为(2,−4)，设：点N(n,−4)代入直线l 1表达式得：n =−4，则点N 坐标为(−4,−4)，同理得：点D 、E 的坐标分别为(−2,0)、(0,−2)、联立l 1、l 2得{y =x y =−x −2，解得：{x =−1y =−1，即：点C 的坐标为(−1,−1)， ∴OC =√(−1−0)2+(−1−0)2=√2，CE =√2=OC ，∵点C 在直线y =x 上，∴∠COE =∠OEC =45°，∴∠OCE =90°，即：NC ⊥l 2，NC =√(−1+4)2+(−1+4)2=3√2>4，∴以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线l 2相离；(3)①当点F 在直线l 2下方时，设：∠OBK =α，点A 、B 的坐标分别为(0,6)，(1,3)，则AO =6，AB =BO =√10， 过点B 作BL ⊥y 轴交于点L ，则tan∠OAB =13，sin∠OAB =√10，OK =AOsin∠OAB =√10×6√10，sinα=OK OB =35， ∵等腰△MHF 和等腰△OAB 相似，∴∠HFM =∠ABO ，则∠KBO =∠OFM =α，点C 、M 的坐标分别为(−1,−1)、(2,−4)， 则CM =3√2，FM =CM sinα=5√2，CF =4√2，OF =OC +FC =5√2，则点F 的坐标为(−5,−5)，∵FH =FM =5√2，OH =OF +FH =10√2，则点H 的坐标为(−10,−10)；②当点F 在直线l 2上方时，同理可得点F 的坐标为(8,8)，点H 的坐标为(3,3)或(−10,10)；故：点F 、H 的坐标分别为(−5,−5)、(−10,−10)或(8,8)、(3,3)或(8,8)、(−10,−10)．【解析】(1)把点A 、B 坐标代入y =x 2+bx +c ，即可求解；(2)求而出点N 、点C 的坐标，计算NC 得长度即可求解；(3)分点F 在直线l 2下方、点F 在直线l 2上方两种情况，求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，难点在(3)，利用等腰三角形相似得出∠KBO =∠OFM =α，再利用解直角三角形的方法求线段的长度，从而求解．25.【答案】解：(1)证明：∵多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴AB =AC ，∠ABC =∠BAF =180×(6−2)6=120°，∴∠BAC =∠BCA ，∵∠BAC +∠BCA +∠ABC =180°，∴∠BAC =30°，得∠CAF =90°，同理∠ACD =90°，∠AFD =90°，∴四边形ACDF 是矩形；(2)如图1，连接OC 、OD ，由题意得：OC =OD ，∠COD =360°6=60°，∴△OCD 为等边三角形，∴CD =OC =r ，∠OCD =60°，作ON ⊥CD ，垂足为N ，即ON 为CD 弦的弦心距，∴CN =12CD =12r ，由sin∠OCD =ON OC =√32得ON =√32r ， 作OP ⊥AC 垂足为P ，即OP 为AC 弦的弦心距，∴CP=12AC，∵∠OCP=90°−60°=30°，∴CP=OC⋅cos30°=√32r，得AC=√3r，当CH经过点E时，可知∠ECD=30°，∵四边形ACDF是矩形，∴AF//CD，∴∠AHC=∠ECD=30°，∴在Rt△ACH中，CH=2AC=2√3r，∵MH⊥CH，∴cos∠HCM=CHCM =√32，得CM=4r，∴MN=72r，∴在Rt△MON中，OM=√ON2+MN2=√13r，∵⊙M与⊙O外切，∴r Q+r M=OM，即⊙M的半径为(√13−1)r．(3)如图2，作HQ⊥CM垂足为Q，由∠HCD=α，MH⊥CH可得∠QHM=α，∵AF//CD，AC⊥CD，∴HQ=AC=√3r，∴CQ=HQ·1tan∠HCQ =√3r⋅1tanα，MQ=HQ⋅tan∠QHM=√3r⋅tanα，即CM=√3r(tanα+1tanα)，①当0°<α<60°时，点H在边AF的延长线上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，∵FH=DQ=CQ−CD=√3r⋅1tanα−r，∴S=(FH+CM)⋅HQ2=(6×1tana)2．②当α=60°时，点H与点F重合，此时点C、M、H、F构成三角形，非四边形，所以舍去．③当60°<α<90°时，点H在边AF上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，∵FH=DQ=CD−CQ=r−√3r⋅1tanα，∴S=(FH+CM)⋅HQ2=(√3+3tanα)⋅r22．综上所述，当∠HCD=α(0°<α<90°)时，点C、M、H、F构成的四边形的面积为(6tan+3tana−√3)·r22或(√3+3tanα)⋅r22．【解析】(1)根据正多边形的性质和矩形的判定解答即可；(2)连接OC、OD，证△OCD为等边三角形得CD=OC=r，∠OCD=60°，作ON⊥CD求得ON=√32r，再作OP⊥AC，求得AC=√3r，由四边形ACDF是矩形知∠AHC=∠ECD=30°，据此得CH=2AC=2√3r，由cos∠HCM=CHCM =√32，得CM=4r，MN=72r，利用勾股定理求得OM=√ON2+MN2=√13r，依据⊙M与⊙O外切可得答案；(3)作HQ⊥CM垂足为Q，由∠HCD=α，MH⊥CH可得∠QHM=α，再由AF//CD，AC⊥CD知HQ=AC=√3r，继而求得CQ=√3r⋅1tanα，MQ=√3r⋅tanα，则CM=√3r(tanα+1tanα)，再分0°<α<60°、α=60°和60°<α<90°三种情况分别求解可得．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、垂径定理、平行线的性质、圆与圆的位置关系、三角函数的应用及分类讨论思想的运用等知识点．。

2019届上海市宝山区中考一模数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=2. 如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A． B． C． D．3. 二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A．x＞0 B．x为一切实数 C．y＞2 D．y为一切实数4. 已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（）A．的模为3B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反5. 如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向6. 二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限二、填空题7. 已知2a=3b，则= ．8. 如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为．9. 如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中是AD和AB的比例中项．10. 如图，△ABC中，∠C＝90°，若CD⊥AB于点D，且BD＝4，AD＝9，则tanA＝_________.11. 计算：2（+3）﹣5= ．12. 如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为．13. 二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是．14. 如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线．15. 已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1 y2．（填不等号）16. 如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i= ．17. 数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为．18. 如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A 恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC=8，tanA=，那么CF：DF═ ．三、计算题19. 计算：﹣cos30°+（1-sin45°）0．四、解答题20. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求CE的长；（2）设，，求向量(用向量、表示）．五、判断题21. 如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．六、解答题22. 直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．23. 如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC 交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．24. 如图，二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．25. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】。

2019年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（）A．B．C．D．2．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）23．下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个直角三角形B．两个等边三角形C．两个菱形D．两个矩形4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE ∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．已知为单位向量，＝﹣3，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝3C．与方向相同D．与方向相反6．如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知，那么＝．8．在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是千米．9．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是．10．已知线段AB＝2cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，则AC的长cm．11．已知某二次函数图象的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：．12．如果点A（﹣4，y1）、B（﹣3，y2）是二次函数y＝2x2+k（k是常数）图象上的两点，那么y1 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）13．小明沿坡比为1：的山坡向上走了100米．那么他升高了米．14．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC＝3，CE＝5，DF＝4，那么BD＝．15．如图，已知△ABC，D、E分别是边AB、AC上的点，且＝＝．设＝，＝，那么＝．（用向量、表示）16．如图，已知△ABC，D、E分别是边BA、CA延长线上的点，且DE∥BC．如果＝，CE＝4，那么AE的长为．17．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为．18．如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为（3，2），∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB与x 轴交于点C，那么AC：BC的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）将二次函数y＝2x2+4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．20．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A＝．求底边BC的长．21．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求的值．22．（10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B 处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）23．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E是对角线AC上一点，且AC•CE＝AD•BC．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）延长BE交AD于F，求证：AB2＝AF•AD．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（0，4）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO＝∠BAO，求点P的坐标；（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO＝2OF，求m的值．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP 与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．2019年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，∴tan A＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．2．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），所以所得的抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个直角三角形B．两个等边三角形C．两个菱形D．两个矩形【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE ∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当＝或＝时，DE∥BD，然后可对各选项进行判断．【解答】解：当＝或＝时，DE∥BD，即＝或＝．故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理．5．已知为单位向量，＝﹣3，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝3C．与方向相同D．与方向相反【分析】根据向量的定义，即可求得答案．【解答】解：A、由为单位向量，＝﹣3知：两向量方向相反，相互平行，即∥，故本选项错误．B、由＝﹣3得到||＝3，故本选项错误．C、由为单位向量，＝﹣3知：两向量方向相反，故本选项正确．D、由为单位向量，＝﹣3知：两向量方向相反，故本选项错误．故选：C．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．6．如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的性质可求解．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥CD∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴，∴故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知，那么＝．【分析】因为，所以a＝b，代入求解即可．【解答】解：∵，∴a＝b，∴原式＝＝．故答案为．【点评】本题主要考查比例的基本性质，解题关键是熟练应用比例的基本性质，本题注意掌握比例的合比性质即可得出结果．8．在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是6千米．【分析】根据＝比例尺列方程即可得到结论．【解答】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，根据题意得，＝，解得：x＝600000cm＝6km，故答案为：6．【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握＝比例尺是解题的关键．9．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是10．【分析】根据正弦函数的定义得出sin A＝，即＝，即可得出AB的值．【解答】解：∵sin A＝，即＝，∴AB＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．10．已知线段AB＝2cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，则AC的长﹣1cm．【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．11．已知某二次函数图象的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：y＝﹣x2．【分析】根据二次函数的顶点是坐标原点，设函数的解析式为：y＝ax2，根据顶点是二次函数图象的最高点，结合二次函数的性质，得到a＜0，任取负数a代入原解析式，即可得到答案．【解答】解：∵二次函数的顶点是：（0，0），∴设函数的解析式为：y＝ax2，又∵点（0，0）是二次函数图象的最高点，∴抛物线开口方向向下，∴a＜0，令a＝﹣1，则函数解析式为：y＝﹣x2．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．12．如果点A（﹣4，y1）、B（﹣3，y2）是二次函数y＝2x2+k（k是常数）图象上的两点，那么y1＞y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】先根据二次函数的性质得到当x＜0时，y随y的增大而减小，然后比较自变量的大小得到函数值的大小关系．【解答】解：抛物线的对称轴为y轴，所以当x＜0时，y随y的增大而减小，所以y1＞y2．故答案为＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．小明沿坡比为1：的山坡向上走了100米．那么他升高了50米．【分析】设BC＝x米，根据坡度的概念得到AC＝x米，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵坡比为1：，∴设BC＝x米，则AC＝x米，由勾股定理得，BC2+AC2＝AB2，即x2+（x）2＝1002，解得，x1＝50，x2＝﹣50（舍去），∴BC＝50米，故答案为：50．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．14．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC＝3，CE＝5，DF＝4，那么BD＝．【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得，BD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15．如图，已知△ABC，D、E分别是边AB、AC上的点，且＝＝．设＝，＝，那么＝+3．（用向量、表示）【分析】由题意可得△ADE∽△ABC，可得BC＝3DE，根据向量的加法可求解．【解答】解：∵＝＝，∠BAC＝∠DAE∴△ADE∽△ABC∴∴BC＝3DE∵设＝，＝，∴＝＝故答案为：+3【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，向量的性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．16．如图，已知△ABC，D、E分别是边BA、CA延长线上的点，且DE∥BC．如果＝，CE＝4，那么AE的长为．【分析】根据相似三角形的性质可得，即可求AE的长．【解答】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴∴设AE＝3k，AC＝5k（k≠0）），∴CE＝3k+5k＝4∴k＝∴AE＝3k＝故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．17．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为．【分析】根据线段中点的定义得到AD＝3，根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠EAF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB＝6，D是边AB的中点，∴AD＝3，∵AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠EAF，∵∠ADE＝∠C，∴△ADF∽△ACG；∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为（3，2），∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB与x 轴交于点C，那么AC：BC的值为．【分析】作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E，先求得OA的长，然后证明△OEB∽△ODA，依据相似三角形的性质可得到＝＝，最后依据AC：BC＝S△AOC ：S△OBC＝AD：OE求解即可．【解答】解：如图所示：作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E．∵A（3，2），∴OA＝＝，∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∴＝，∵∠AOB＝90°，∠EOC＝90°，∴∠EOB＝∠AOD，又∵∠BEO＝∠ADO，∴△OEB∽△ODA，∴＝＝，即＝，解得：OE＝，∵AC：BC＝S△AOC ：S△OBC＝AD：OE＝2：＝，故答案为：．【点评】本题主要考查的是含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证得△OEB∽△ODA是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）将二次函数y＝2x2+4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．【分析】利用配方法把将二次函数y＝2x2+4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，利用二次函数的性质指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，即可得到答案．【解答】解：y＝2（x2+2x）﹣1，y＝2（x2+2x+1）﹣2﹣1，y＝2（x+1）2﹣3，开口方向：向上，顶点坐标：（﹣1，﹣3），对称轴：直线x＝﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的三种形式，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．20．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A＝．求底边BC的长．【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cos A＝，∵cos A＝，AB＝5，∴AD＝AB•cos A＝5×＝3，∴BD＝＝4，∵AC＝AB＝5，∴DC＝2，∴BC＝＝2．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求的值．【分析】设BG＝2k，GH＝4k，HC＝3k，根据平行四边形的性质可得DF＝BG＝2k，EF＝HC＝3k，可得DE＝5k，根据△ADE∽△FGH可得＝（）2＝．【解答】解：∵BG：GH：HC＝2：4：3，∴设BG＝2k，GH＝4k，HC＝3k，（k≠0）∵DE∥BC，FG∥AB，∴四边形BDFG是平行四边形，∴DF＝BG＝2k，∵DE∥BC，FH∥AC∴四边形EFHC是平行四边形，∴EF＝HC＝3k，∴DE＝5k∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B，∵FG∥AB∴∠FGH＝∠B，∴∠ADE＝∠FGH，同理可得：∠AED＝∠FHG∴△ADE∽△FGH∴＝（）2＝，【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键．22．（10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B 处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）【分析】在Rt△APN中根据已知条件得到PA＝PN，设PA＝PN＝x，得到MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴PA＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，设PA＝PN＝x，∵∠MAP＝58°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，∵∠MBP＝31°，AB＝5，∴0.6＝，∴x＝3，∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），答：广告牌的宽MN的长为1.8米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．23．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E是对角线AC上一点，且AC•CE＝AD•BC．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）延长BE交AD于F，求证：AB2＝AF•AD．【分析】（1）通过题意可证△ACD∽△CBE，可得∠DCA＝∠EBC；（2）通过证明△ABF∽△DAC，可得，可得AB2＝AF•AD．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA∵AC•CE＝AD•BC，∴∴△ACD∽△CBE∴∠DCA＝∠EBC（2）∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠EBC，且∠DCA＝∠EBC，∴∠AFB＝∠DCA∵AD∥BC，AB＝DC∴∠BAD＝∠ADC∴△ABF∽△DAC∴且AB＝DC，∴AB2＝AF•AD【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，根据题意找到正确的两个三角形相似是本题的关键．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（0，4）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO＝∠BAO，求点P的坐标；（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO＝2OF，求m的值．【分析】（1）把点A（﹣2，0），点B（0，4）代入解析式求解即可；（2）先确定抛物线的对称轴，再过点P作PG⊥y轴，垂足为G，根据三角函数建立等量关系，求解即可；（3）设新抛物线的表达式为﹣m，则D（0，4﹣m），E（2，4﹣m），DE＝2，过点F作FH⊥y轴，垂足为H，运用平行建立线段的比例关系求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）∴，解得∴抛物线解析式为，（2）＝，∴对称轴为直线x＝1，如图1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，∵∠PBO＝∠BAO，∴tan∠PBO＝tan∠BAO，∴∴，∴BG＝∴OG＝，∴P（1，），（3）如图2设新抛物线的表达式为﹣m则D（0，4﹣m），E（2，4﹣m），DE＝2过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO＝2OF∴，∴FH＝1，①点D在y轴的正半轴上，则F（﹣1，），∴OH＝m﹣∴，∴m＝3，②点D在y轴的负半轴上，则F（1，），∴OH＝m﹣，∴，∴m＝5∴综上所述m的值为3或5．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会求抛物线的对称轴，会待定点的坐标根据题意建立方程求解是解题的关键25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP 与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．【分析】（1）根据已知条件得到CP＝4，求得BP＝2，根据三角形重心的性质即可得到结论；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到，求得＝，设CP＝k，则PA＝3k，得到PA＝PB＝3k根据三角函数的定义即可得到结论；（3）根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD＝∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝BP＝；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴＝，∴＝，∴＝，设CP＝k，则PA＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴PA＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A＝；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD＝AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

2019年上海市青浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．在下列各数中，属于无理数的是（）A．4 B．C．D．2．已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b3．一次函数y=kx﹣1（常数k＜0）的图象一定不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣2）C．（0，4） D．（0，﹣4）5．顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形D．等腰梯形6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．函数y=的定义域是．8．方程=2的根是．9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则m的取值范围是．10．从点数为1、2、3的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之积为素数的概率是．11．将抛物线y=x2+4x向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是．12．如果点A（﹣2，y1）和点B（2，y2）是抛物线y=（x+3）2上的两点，那么 y1y2．（填“＞”、“=”、“＜”）13．如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 ．14．点G 是△ABC 的重心，GD ∥AB ，交边BC 于点D ，如果BC=6，那么CD 的长是 ．15．已知在△ABC 中，点D 在边AC 上，且AD ：DC=2：1．设=， =．那么= ．（用向量、的式子表示）16．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边AB 的垂直平分线交AC 边于点D ，交AB 边于点E ，联结DB ，那么tan ∠DBC 的值是 ．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，联结CE 并延长，交对角线BD 于点F ，交BA 的延长线于点G ，如果DE=2AE ，那么CF ：EF ：EG= ．18．如图，已知△ABC ，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点C 落在边AB 上的点E 处，点B 落在点D处，连接BD ，如果∠DAC=∠DBA ，那么的值是 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：÷（a ﹣1）+．20．解方程组：．21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx （k ≠0）的图象相交于横坐标为2的点A，平移直线OA，使它经过点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求平移后直线的表达式；（2）求∠OBC的余切值．22．某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图6，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF 交线段BE于点G，CG2=GE•GD．（1）求证：∠ACF=∠ABD；（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．（1）求这个抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．25．已知：如图，在菱形ABCD中，AB=5，联结BD，sin∠ABD=．点P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），联结AP，与对角线BD相交于点E，联结EC．（1）求证：AE=CE；（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．2019年上海市青浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．在下列各数中，属于无理数的是（）A．4 B．C．D．【考点】分数指数幂；无理数．【分析】根据无理数的定义，可得答案．【解答】解：4=2，，是有理数，是无理数，故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．【解答】解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确；故选：D．【点评】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．一次函数y=kx﹣1（常数k＜0）的图象一定不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数的性质；一次函数的图象．【分析】一次函数y=kx﹣1（常数k＜0）的图象一定经过第二、三，四象限，不经过第﹣象限．【解答】解：∵一次函数y=kx﹣1（常数k＜0），b=﹣1＜0，∴一次函数y=kx﹣1（常数k＜0）的图象一定经过第二、三，四象限，不经过第﹣象限．故选：A．【点评】本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系，图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．并且本题还考查了一次函数的性质，都是需要熟记的内容．4．抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣2）C．（0，4） D．（0，﹣4）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】要求抛物线与y轴的交点坐标，即要令x等于0，代入抛物线的解析式求出对应的y值，写成坐标形式即可．【解答】解：把x=0代入抛物线y=2x2+4中，解得：y=4，则抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（0，4）．故选C．【点评】此题考查学生会求函数图象与坐标轴的交点坐标，即要求函数与x轴交点坐标就要令y=0，要求函数与y轴的交点坐标就要令x=0，是学生必须掌握的基本题型．5．顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形D．等腰梯形【考点】中点四边形．【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【解答】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：A．【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【专题】推理填空题．【分析】首先根据S△ACD：S△ABC=1：2，可得AD：BC=1：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出S△AOD：S△BOC是多少即可．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，∴AD：BC=1：2；∵AD∥BC，∴△AOD～△BOC，∵AD：BC=1：2，∴S△AOD：S△BOC=1：4．故选：B．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．函数y=的定义域是x≠1 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8．方程=2的根是x=．【考点】无理方程．【分析】两边平方得出3x﹣1=4，求出即可．【解答】解：∵ =2，∴3x﹣1=4，∴x=，经检验x=是原方程组的解，故答案为：．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤1 ．【考点】根的判别式．【分析】方程有实数根即△≥0，根据△建立关于m的不等式，求m的取值范围．【解答】解：由题意知，△=4﹣4m≥0，∴m≤1答：m的取值范围是m≤1．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．从点数为1、2、3的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之积为素数的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先画树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到的两张牌的点数之和为素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图如下：一共有6种等可能结果，其中和为素数的有4种，∴点数之积为素数的概率是=，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．11．将抛物线y=x2+4x向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是y=x2+4x﹣3 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+4x向下平移3个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+4x﹣3，故答案为y=x2+4x﹣3．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．12．如果点A（﹣2，y1）和点B（2，y2）是抛物线y=（x+3）2上的两点，那么 y1＜y2．（填“＞”、“=”、“＜”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把点A、B的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解．【解答】解：当x=﹣2时，y1=（﹣2+3）2=1，当x=2时，y2=（2+3）2=25，y1＜y2，故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上的点满足函数解析式求出相应的函数值是解题的关键．13．如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 6 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和是2×360=720度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：设这个多边形的边数为n，∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，∴（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=8．∴此多边形的边数为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数，这是常用的一种方法，需要熟记．14．点G是△ABC的重心，GD∥AB，交边BC于点D，如果BC=6，那么CD 的长是 4 ．【考点】三角形的重心；平行线的性质．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．【解答】解：延长AG交BC与F，∵点G是△ABC的重心，BC=6，∴BF=3，∵点G是△ABC的重心，∴AG：GF=2：1，∵GD∥AB，∴BD：DF=DG：GF=2：1，∴BD=2，DF=1，∴CD=3+1=4，故答案为：4【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15．已知在△ABC中，点D在边AC上，且AD：DC=2：1．设=， =．那么= +．（用向量、的式子表示）【考点】*平面向量．【专题】推理填空题．【分析】由=2得=，即AD=AC，在根据==+=（）+可得答案．【解答】解：如图，∵=2，∴=，即AD=AC，则==+=（）+=+=+，故答案为：+．【点评】本题主要考查平面向量，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tan∠DBC的值是．【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形．【分析】由DE垂直平分AB，得到AD=BD，设CD=x，则有BD=AD=3﹣x，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出x的值，确定出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，∴AD=BD，设CD=x，则有BD=AD=AC﹣CD=3﹣x，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：（3﹣x）2=x2+22，解得：x=，则tan∠DBC==，故答案为：【点评】此题考查了解直角三角形，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．17．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF：EF：EG= 6：4：5 ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】设AE=x，则DE=2x，由四边形ABCD是平行四边形得BC=AD=AE+DE=3x，AD∥BC，证△GAE∽△GBC、△DEF∽△BCF得==、==，即=，设EF=2y，则CF=3y、GE=y，从而得出答案．【解答】解：设AE=x，则DE=2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=AE+DE=3x，AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，△DEF∽△BCF，∴==， ==，∴=，设EF=2y，则CF=3y，∴EC=EF+CF=5y，∴GE=y，则CF：EF：EG=3y：2y： y=6：4：5，故答案为：6：4：5．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．如图，已知△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点B落在点D处，连接BD，如果∠DAC=∠DBA，那么的值是．【考点】旋转的性质．【分析】由旋转的性质得到AB=AD，∠CAB=∠DAB，根据三角形的内角和得到∠ABD=∠ADB=72°，∠BAD=36°，过D作∠ADB的平分线DF推出△ABD∽△DBF，解方程即可得到结论．【解答】解：如图，由旋转的性质得到AB=AD，∠CAB=∠DAB，∴∠ABD=∠ADB，∵∠CAD=∠ABD，∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∴∠ABD=∠ADB=72°，∠BAD=36°，过D作∠ADB的平分线DF，∴∠ADF=∠BDF=∠FAD=36°，∴∠BFD=72°，∴AF=DF=BD，∴△ABD∽△DBF，∴，即，解得=，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：÷（a﹣1）+．【考点】分式的混合运算．【分析】结合分式混合运算的运算法则进行求解即可．【解答】解：原式=×+=+=+=．【点评】本题考查了分式的混合运算，解答本题的关键在于熟练掌握分式混合运算的运算法则．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】由①得出x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由①得：x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2．原方程可化为，解得，原方程的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于横坐标为2的点A，平移直线OA，使它经过点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求平移后直线的表达式；（2）求∠OBC的余切值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化-平移；解直角三角形．【分析】（1）根据点A在反比例函数图象上可求出点A的坐标，进而可求出正比例函数表达式，根据平移的性质可设直线BC的函数解析式为y=2x+b，根据点B的坐标利用待定系数法即可求出b值，此题得解；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点C的坐标，从而得出OC的值，再根据余切的定义即可得出结论．【解答】解：（1）当x=2时，y==4，∴点A的坐标为（2，4）．∵A（2，4）在y=kx（k≠0）的图象上，∴4=2k，解得：k=2．设直线BC的函数解析式为y=2x+b，∵点B的坐标为（3，0），∴0=2×3+b，解得：b=﹣6，∴平移后直线的表达式y=2x﹣6．（2）当x=0时，y=﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6），∴OC=6．∴．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形，根据点B的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式是解题的关键．22．某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图6，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．【解答】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中， =i=1：，∴设BF=k，则CF=，BC=2k．又∵BC=12，∴k=6，∴BF=6，CF=．∵DF=DC+CF，∴DF=40+6．∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=，∴AH=tan37°×（40+6）≈37.8（米），∵BH=BF﹣FH，∴BH=6﹣1.5=4.5．∵AB=AH﹣HB，∴AB=37.8﹣4.5=33.3．答：大楼AB的高度约为33.3米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF 交线段BE于点G，CG2=GE•GD．（1）求证：∠ACF=∠ABD；（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先根据CG2=GE•GD得出，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结论；（2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．【解答】证明：（1）∵CG2=GE•GD，∴．又∵∠CGD=∠EGC，∴△GCD∽△GEC．∴∠GDC=∠GCE．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC．∴∠ACF=∠ABD．（2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，∴△BGF∽△CGE．∴．又∵∠FGE=∠BGC，∴△FGE∽△BGC．∴．∴FE•CG=EG•CB．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．（1）求这个抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．【考点】相似形综合题．【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出△PMC≌△PNB，再用PC2=PB2，建立方程求解即可；（3）先判断出点Q只能在点O左侧，再分两种情况讨论计算即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4ax+1，∴点C的坐标为（0，1）．∵OB=3OC，∴点B的坐标为（3，0）．∴9a﹣12a+1=0，∴．∴．（2）如图，过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N．∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，∴∠MPC=∠NPB．在△PCM和△PBN中，，∴△PMC≌△PNB，∴PM=PN．设点P（a，a）．∵PC2=PB2，∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．解得a=2．∴P（2，2）．（3）∵该抛物线对称轴为x=2，B（3，0），∴A（1，0）．∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），∴PO=，AC=，AB=2．∵∠CAB=135°，∠POB=45°，在Rt△BOC中，tan∠OBC=，∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，在Rt△OAC中，OC=OA，∴∠OCA=45°，∴∠ACB＜45°，∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q只有在点O左侧时．（i）当时，∴，∴OQ=4，∴Q（﹣4，0）．（ii）当时，∴，∴OQ=2，∴Q（﹣2，0）．当点Q在点A右侧时，综上所述，点Q的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是判断出点Q只能在点O的左侧，是一道很好的中考常考题．25．已知：如图，在菱形ABCD中，AB=5，联结BD，sin∠ABD=．点P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），联结AP，与对角线BD相交于点E，联结EC．（1）求证：AE=CE；（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由菱形的性质得出BA=BC，∠ABD=∠CBD．由SAS证明△ABE≌△CBE，即可得出结论．（2）联结AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EF⊥BC于F，由菱形的性质得出AC⊥BD．由三角函数求出AO=OC=，BO=OD=．由菱形面积得出AH=4，BH=3．由相似三角形的性质得出，求出EF的长，即可得出答案；∴，（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．分情况讨论：①当∠ECP=90°时，②当∠CEP=90°时，由全等三角形的性质和相似三角形的性质即可得出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．在△ABE和△CBE中，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE∴AE=CE．（2）连接AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BC，如图1所示：垂足分别为点H、F．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵AB=5，，∴AO=OC=，BO=OD=．∵，∴AH=4，BH=3．∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴．∵EF∥AH，∴，∴．∴．（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．如图2所示：①当∠ECP=90°时∵△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE=90°，∵，∴，∴BP=．②当∠CEP=90°时，∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠CEB=45°，∴，∴，．∵AD∥BP，∴，∴，∴BP=15．综上所述，当△EPC是直角三角形时，线段BP的长为或15．【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．。

2019 届一模填空选择题汇编——二次函数（一）选择题【 2019 届一模徐汇】2.将抛物线yx2先向右平移1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后的表达式是2 2 2 2A．yx 1 +2 ； B．y x 1 +2 ； C．y x 1 -2 ；D ．y x 1 -2 ．【A】【 2019 届一模徐汇】6．已知抛物线 y ax2bx c 上部分点的横坐标x 与纵坐标 y 的对应值如下表：x ⋯ 1 0 1 2 3⋯y ⋯ 3 0 1 m 3⋯①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x 1；③ m 的值为 0；④图像不经过第三象限．上述结论中正确的是．．A．①④；B．②④；C．③④；D．②③．【C】【 2019 届一模浦东】3. 已知二次函数y ( x 3)2，那么这个二次函数的图像有（）（A）最高点（ 3,0）；（B）最高点（﹣ 3,0）；（ C）最低点（ 3,0）；（D ）最低点（﹣ 3,0）.【B】【 2019 届一模浦东】4. 如果将抛物线y x24x 1 平移，使它与抛物线y x2 1 重合，那么平移的方式可以是（）1（A）向左平移 2 个单位，向上平移 4 个单位；（B）向左平移 2 个单位，向下平移 4 个单位；（C）向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位；（D ）向右平移2 个单位，向下平移 4 个单位；【C】【 2019 届一模杨浦】5．如果二次函数中函数值y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示：x... 1 12 ...0 12 2y... 3 213 ...3 64 4那么这个二次函数的图像的对称轴是直线（ A） x 0 ；（ B） x 1 ；（C） x 3 ；（ D） x 1．2 4【D 】【 2019 届一模普陀】1．已知二次函数y (a 1)x2 3 的图像有最高点，那么 a 的取值范围是（▲）（A） a 0 ；（ B） a 0 ；（C） a 1 ；（ D） a 1 ．【D 】【 2019 届一模普陀】2．下列二次函数中，如果图像能与y 轴交于点 A 0,1 ，那么这个函数是（▲）2（A） y 3x2；（ B） y 3x21；（C） y 3( x 1)2；（ D） y 3x2x ．【B】【 2019 届一模奉贤】2．关于二次函数y = 1 ( x+ 1)2的图像，下列说法正确的是（▲）2（A）开口向下；（ B）经过原点；（ C）对称轴右侧的部分是下降的；（ D）顶点坐标是（- 1，0）．【D 】【 2019 届一模奉贤】5．某同学在利用描点法画二次函数y = ax 2 + bx + c (a ? 0) 的图像时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示：x ⋯0 1 2 3 4 ⋯y ⋯- 3 0 - 1 0 3 ⋯接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（▲）ììììx = 0 ? x = 2 ? x = 3 x = 4? ?? ? ? ?．（ A）í；（ B）í；（ C）í；（ D）í?3 ?1? ??y = - ?y = - ? y = 0?y = 3 【A】3【 2019 届一模松江】2．把抛物线 y x2向右平移 1 个单位后得到的抛物线是（）（ A） y x21；（ B） y x 21；（C） y (x 1) 2；（ D） y ( x 1)2．【D 】【 2019 届一模嘉定】1．下列函数中，是二次函数的是( ▲ )（ A） y 2x 1；（B）（ C） y 1 x2；（D ）y ( x1) 2x2；y1．x2【C】【 2019 届一模嘉定】2．已知抛物线 y x 23向左平移 2 个单位，那么平移后的抛物线表达式是( ▲ )（ A） y ( x 2) 2 3 ；（B）（ C） y x 21；（D ）【A】y (x 2) 2 3 ；y x25．【 2019 届一模青浦】2bx c 的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（y6．已知二次函数y ax ）x= 1 A． ac 0 ；B． b 0 ；C． a c 0； D ． a +b c=0 ．O 1x（第 6 题图）【D 】4【 2019 届一模静安】2．下列抛物线中，顶点坐标为(2,1 ) 的是（ A） y (x 2)21；（ B ）（ C） y (x 2)21；（ D ）【B】y (x 2) 21；y(x 2)21．【 2019 届一模宝山】3．已知二次函数的图像经过点（1， -2），那么的值为（▲）（ A）；（ B）；（ C）；（ D）．【D 】【 2019 届一模长宁】1．抛物线 y 2( x2)23的顶点坐标是（▲ ）（ A）(2, 3) ；（B）(2, 3) ；（C）( 2,3) ；（D） (2,3) ．【B】【 2019 届一模金山】1．下列函数是二次函数的是（▲ ）y x y 1 2y1A．B．xC．y x 2 x D．x2【C 】【2019 届一模金山】5．已知抛物线y ax 2bx c a 0 如图所示，那么 a 、 b 、 c 的取值范围是（▲）5A． a 0 、 b 0 、 c 0 B． a 0 、 b 0 、 c 0y C． a 0 、 b 0 、 c 0 D ． a 0 、 b 0 、 c 0xO第5题图【D 】【2019 届一模闵行】3．将二次函数y 2(x 2) 2 的图像向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位后所得图像的函数解析式为（ A） y 2( x 2) 2 4 ；（ B） y 2( x1) 2 3 ；（ C） y 2( x 1) 23；（ D） y 2x2 3 ．【C】【 2019 届一模闵行】4．已知二次函数 y a x2 b x c 的图像如图所示，那么根据图像，6WORD格式yO x（第 4 题图）下列判断中不正确的是7（ A） a < 0 ；（ B） b > 0；（ C）c > 0 ；（ D） abc > 0．【B】【 2019 届一模虹口】1．抛物线 y x21与 y 轴交点的坐标是A．（- 1， 0）；B．（ 1，0）；C．（0， - 1）； D. （ 0，1）．【C】【 2019 届一模虹口】2．如果抛物线y ( a 2) x2开口向下，那么a 的取值范围为A． a 2 ；B． a 2 ；C． a 2 ； D. a 2 ．【D 】（二）填空题【 2019 届一模徐汇】2 ， y1）、B （3 ， y2）是抛物线 y x1210．已知 A（ c 上两点，则 y1▲y2（填“ >”“ =”或“ <”）．【】8【 2019 届一模浦东】8. 如果 y (k 3) x2k( x 3) 是二次函数，那么k 需满足的条件是__________.【 k 3】【 2019 届一模浦东】13. 如果抛物线经过点 A（ 2，5）和点 B（ 4 ，5），那么这条抛物线的对称轴是直线__________.【x 1 】【2019 届一模浦东】14. 已知点 A（5 ，m）、B（ 3 ， n）都在二次函数y 1 x2 5 的图像上，那么 m、 n 的大2小关系是： m__________ n.（填“＞”、“＝”或“＜”）【】【 2019 届一模杨浦】12．如果开口向下的抛物线y = ax 2 + 5x + 4 - a 2 ( a ? 0) 过原点，那么 a 的值是▲．【- 2】【2019 届一模杨浦】13．如果抛物线y = - 2x2 + bx + c 的对称轴在y 轴的左侧，那么 b ▲0（填入“ <”或“ >”） .【<】【2019 届一模杨浦】14．已知点 A（ x1 , y1）、B（ x2 , y2）在抛物线y = x2 + 2 x + m 上，如果 0 < x1 < x2，那么 y1▲y2（填入“ <”或“ >”） .【<】9【 2019 届一模普陀】 9．如果抛物线 y2 x 2xm 1 经过原点，那么 m 的值等于 ▲ ．【1】【2019 届一模普陀】1 2 先向右平移 2 个单位， 再向上平移 3 个单位， 那么平移后 ．将抛物线 y( x 3 ) 4 102所得新抛物线的表达式是 ▲． 【 1 2 】y( x )1 2 1【 2019 届一模普陀】 11．已知抛物线 y2x 2bx 1 的对称轴是直线 x 1 ，那么 b 的值等于 ▲ ．【 4 】【 2019 届一模普陀】17．已知二次函数 y ax 2c( a 0) 的图像上有纵坐标分别为 y 1 、 y 2 的两点 A 、 B ，如果点 A 、 B 到对称轴的距离分别等于 2、3，那么 y 1 ▲ y 2 ．（填“ <”、“=”或“ >”）【<】【 2019 届一模奉贤】9．如果函数 y = (m - 1)x 2+ x （ m 是常数）是二次函数，那么 m 的取值范围是 ▲ ．【 m 1】【2019 届一模奉贤】10．如果一个二次函数的图像在其对称轴左侧部分是上升的， 那么这个二次函数的解析式可以是 ▲ ．（只需写一个即可）【 y 2x2（等）】10【 2019 届一模奉贤】11．如果将抛物线y = - 2x2向右平移 3 个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直线▲．【x 3 】【2019 届一模松江】11．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______．【 y x2等】【 2019 届一模松江】12．如果点A 4, y、B 3, y2是二次函数y2x2 +k （ k 是常数）图像上的两点，那1么y1 _______ y2．（填“ >”、“ <”或“ =”）【】【2019 届一模嘉定】7．如果抛物线 y (k 2) x2k 的开口向上，那么 k 的取值范围是▲．【 k 2 】【 2019 届一模嘉定】8．抛物线 y x 22x 与 y 轴的交点坐标是▲．【 (0,0) 】【 2019 届一模嘉定】9．二次函数 y x 24x a 图像上的最低点的横坐标为▲．【 2 】11【 2019 届一模青浦】10．二次函数y x24x 1 的图像的顶点坐标是▲ ．【（ 2， - 5）】【 2019 届一模青浦】11．抛物线y x 2mx 3m的对称轴是直线x 1 ，那么 m= ▲．【2 】【2019 届一模青浦】12．抛物线y x2 2 在 y 轴右侧的部分是▲．（填“上升”或“下降”）【上升】【 2019 届一模静安】13．抛物线 y ax 2(a 1) ( a 0) 经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是▲的． (填“上升”或“下降”)【下降】【 2019届一模宝山】21图像的顶点坐标是▲ ．7．二次函数 y x【( 0，- 1)】【 2019届一模宝山】8．将二次函数y2x2的图像向右平移 3 个单位，所得图像的对称轴为▲．【直线 x=3】12【 2019 届一模宝山】9．请写出一个开口向下，且经过点（0，2）的二次函数解析式▲．【y = - x 2+ 2等】【2019 届一模长宁】8．如果抛物线 y (3 m) x2 3 有最高点，那么m 的取值范围是▲．【 m 3 】【 2019届一模长宁】13．若点 A( 1,7) 、B(5,7) 、 C (2, 3) 、 D(k,3) 在同一条抛物线上，则 k 的值等于▲．【 6】【 2019届一模金山】7．已知二次函数 fx x23x 1 ，那么 f2 ▲．【 1】【 2019届一模金山】8．已知抛物线y 1 x2 1 ，那么抛物线在 y 轴右侧部分是▲（填“上升的”或2“下降的”）．【上升的】【 2019 届一模闵行】9．抛物线 y x2 3 x 2 与 y 轴的公共点的坐标是▲．【（ 0， 2）】13【 2019 届一模闵行】10．已知二次函数 y 1 x 23 ，如果 x > 0，那么函数值 y 随着自变量 x 的增大而2▲（填“增大”或“减小” ）．【减小 】【 2019 届一模虹口】9．如果抛物线 y ax 22 经过点（ 1， 0），那么 a 的值为 ▲ ． 【- 2】【 2019 届一模虹口】10．如果抛物线y (m 1)x 2 有最低点，那么 m 的取值范围为 ▲ ．【m>1】【 2019 届一模虹口】11．如果抛物线 y ( x m) 2m 1的对称轴是直线 x= 1，那么它的顶点坐标为▲．【（ 1， 2）】14。

2021年上海市嘉定区中考数学一模试卷一、选择题〔本大题共6小题,共24.0分〕1.以下函数中,是二次函数的是〔〕A. y = 2% + 1B. y = 〔% - l〕2 - %2C. y = 1- x2D, y =之2.抛物线y = "2 + 3向左平移2个单位,那么平移后的抛物线表达式是〔〕A, y = 〔X + 2> + 3 B. y = 〔4 - 2〕2 + 3C. y = x2 + 1D. y =x2 + S3. 在At △力8c中,乙C = 90., BC = 5>那么A3的长为〔〕A. 5sinAB. 5cosA4.如图,在△ABC中,点.是在边3c上, 就=芯,那么布等于〔〕A. AD = a+bC. 7D = a-^bD•而5.如果点.、E分别在△ABC中的边A8和AC上,那么不能判定OE〃 8c的比例式是〔〕A..AD： DB =AE： ECB. DE： BC = AD： ABC. BD： AB = CE： ACD. A& AC = AD： AE6.点.在线段AB上〔点.与点月、8不重合〕,过点A、B的圆记作为圆0],过点B、C的圆记作为圆.2,过点.、A的圆记作为圆O3,那么以下说法中正确的选项是〔〕A.圆.1可以经过点.B.点.可以在圆.1的内部C.点A可以在圆02的内部D.点B可以在圆03的内部二、填空题〔本大题共12小题,共48.0分〕7.如果抛物线^ = 〔4-2〕/+及的开口向上,那么女的取值范围是__________________ .8.抛物线y = x2 + 2%与y轴的交点坐标是__________ .9.二次函数y = X2+4X + a图象上的最低点的横坐标为.10.如果3a =4b〔a、b都不等于零〕,那么管=.11.尸是线段A3的黄金分割点,AB = 6cm, AP> BP,那么/P =cm.12.如果向量公、方、歹满足关系式2日一〔7— 3石〕=4兀那么三=〔用向量％、3表示〕.13.如果且△48.的三边长分别为4、5、6, △ DEF的最短边长为12, 那么△ DEF的周长等于.14.在等腰△A8C中,AB =AC = 4, BC = 6,那么cosB 的值=.15.小杰在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42度,那么点5处的小明看点A处的小杰的俯角等于 ________________________ 度.16.如图,在圆.中,A8是弦,点.是劣弧A3的中点,连接OC, /一^\AB 平分OC,连接.4、OB, 〔 O \那么~108 =度.17.两圆内切,半径分别为2厘米和5厘米,那么这两圆的圆心距等于______________________厘米.18.在△力BC中,乙4cB = 90.,点.、上分别在边3C AC/上±, AC = 3AE. 〔CDE= 45.〔如图〕,△ DCE沿直线DE 翻折,翻折后的点.落在△ABC内部的点八直线从尸与边8C相交于点G,如果8G =力以那么.B三、计算题〔本大题共1小题,共10.0分〕四、解做题〔本大题共6小题,共66.0分〕20.抛物线y = / + 6%-3经过点4〔1,0〕,顶点为点M.〔1〕求抛物线的表达式及顶点M的坐标；〔2〕求4.力M的正弦值.21.某小区开展了“行车平安,方便居民〞的活动,对地下车库作了改良.如图,这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米,它的坡度为i=l： 2.4, AB 1BC, 为了居民行车平安,现将斜坡的坡角改为13.,即乙1DC = 13.〔此时点8、.在同一直线上〕.A地面/ / /D //// / // C〔1〕求这个车库的高度A8；〔2〕求斜坡改良后的起点D与原起点C的距离〔结果精确到0.1米〕.〔参考数据：sinl3° X 0.225, cosl3° 8 0.974, tanl30 力0.231〕22.如图,在圆.中,弦力8 = 8,点.在圆.上(C与A, 8不重合),连接CA、C从过点.分别作0D_L4C, 0E 1 BC, 垂足分别是点.、E.(1)求线段的长：(2)点.到A5的距离为3,求圆.的半径.23.如图,点.在△力BC的外部,力D//BC,点E在边A8上,力B -力.=BC-4E. (1)求证：Z.BAC= Z^AED；(2)在边AC取一点F,如果〃尸E = 4D,求证：,=翌.24.在平面直角坐标系%Oy(如图)中,抛物线y=./ +以+ 2经过点出4,0)、8(2,2), 与y轴的交点为C(1)试求这个抛物线的表达式；(2)如果这个抛物线的顶点为M,求△4WC的而积：(3)如果这个抛物线的对称轴与直线3c交于点.,点E在线段A&上,且4DOE = 45., 求点E的坐标.25.在矩形A8CO中,AB = 6. AD = 8,点E是边A.上一点,EM JL EC交A5于点点N在射线MB上,且AE是AM和AN的比例中项.(1)如图1,求证：Z.ANE = Z.DCEx(2)如图2,当点N在线段M8之间,联结AC,且AC与NE互相垂直,求MN的长:(3)连接AC,如果△力EC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似,求DE的长.1.【答案】C【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义,正确把握相关定义是解题关键. 直接利用二次函数的定义分析得出答案. 【解答】解：A 、y = 2x + l,是一次函数,故此选项错误：B. y = (x-l)2-x 2 = -2x+l,是一次函数,故此选项错误： C y=l-x 2,是二次函数,符合题意：.、¥=福,不是二次函数,不合题意. 应选C2 .【答案】A【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键, 属于根底题. 根据“上加下减,左加右减〞的原那么进行解答即可. 【解答】解：由“左加右减〞的原那么可知,将抛物线y = / + 3向左平移2个单位所得抛物线的 解析式为：y= (% + 2)2 + 3,应选：A.3 .【答案】C【解析】【分析】 依据Rt △48.中,ZC = 90°, BC = 5,可得sim4=+,即可得到4B 的长的表达式.AB此题考查了锐角三角函数的定义的应用,我们把锐角A 的对边〃与斜边.的比叫做乙4的 正弦,记作sinA.【解答】解：中,Z.C = 90°, BC = 5,.. BC 5・•・ sinA =—=—AB AB应选：C.4 .【答案】D【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识,解此题的关键是注意平面向量的 三角形法那么与数形结合思想的应用.由BD = 2CD,求得前的 值,然后结合平而向量的三角形法那么求得标的值. 【解答】解：V BD = 2CD 9答案和解析AD C2・・. BD =-BC.3・丽=法.•.丽=泞.3又AB = a ♦・•・ AD = AB + BD = a + -b.3应选：D.5.【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理对各选项进行判断.此题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.【解答】解:当A.：DB =AE： EC 时,DEI IBC；当BD： AB = CEz AC 时,DE//BC;当A3：AC = AD： AE时,那么AD：AB =AE： AC,所以0E〃8c.应选:B.6.【答案】B【解析】【分析】根据条件对个选项进行判断即可.此题考查了圆的熟悉,根据条件正确的作出判断是解题的关键.【解答】解：•・•点.在线段A8上〔点.与点A、B不重合〕,过点A、8的圆记作为圆01,••・点.可以在圆.1的内部,故A错误,B正确：•••过点仄C的圆记作为圆02,.•.点A可以在圆.2的外部,故C错误；•••过点.、月的圆记作为圆.3,.•.点5可以在圆.3的外部,故.错误.应选:B.7.【答案】k>2【解析】【分析】此题考查二次函数,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,此题属于中等题型.根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【解答】解：由题意可知：k-2> 0,k > 2,故答案为：k>2.8.【答案】〔0,0〕【解析】【分析】计算自变量为0所对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标.此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.【解答】解：当％ = 0时,y = x2 + 2x = 0,所以抛物线y = / + 2%与y轴的交点坐标为(0,0).故答案为(0,0).9.【答案】一2【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的最值,正确得出二次函数顶点式是解题关键.直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式,进而得出答案.【解答】解：•••二次函数?= / + 4% +.=5 + 2)2—4+.,・•・二次函数图象上的最低点的横坐标为：一2.故答案为:-2.10.【答案】g【解析】【分析】此题主要考查了比例的性质,正确表示出仇〃的值是解题关键.直接利用把“,b 用同一未知数表示,进而计算得出答案.【解答】解：•••3a = 4b(a、方都不等于零),・••设Q=4X,贝ljb = 3x,那么虫=史上=1. b 3x 3故答案为：11.【答案】3(V5-1)【解析】【分析】此题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段,并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项,那么就说这个点把这条线段黄金分割,这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的"二倍.根据黄金分割的概念得到4P =2空二月B,把力8 = 6cm代入计算即可.2【解答】解：・・,P是线段AB的黄金分割点,AP > BP,而力8 = 6cm,・•・ AP = 6 X = 3(V5 — l)cm.故答案为3(疗一1).12.【答案】2日一石【解析】【分析】考查平面向量,此题是利用方程思想求得向量7的值的,难度不大.根据平面向量的加减法计算法那么和方程解题.【解答】解：2胃一6一3方〕=4b2a —x + 3b — 4h = 02a —x - b = 0x = 2 a - b・故答案是：26—b .13.【答案】45【解析】解：设aDEF的周长别为x,△ A8C的三边长分别为4、5、6,•••△i48c 的周长=4 + 5 + 6 = 15,ABCf DEF,4 15•"12~ ~x'解得,x = 45, 故答案为：45.根据题意求出△ ABC的周长,根据相似三角形的性质列式计算即可.此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.14.【答案】|4【解析】【分析】此题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中,一锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比.也考查了等腰三角形的性质.作/D J. 8c于.点,根据等腰三角形的性质得到8D=gBC = 3,然后根据余弦的定义求解.【解答】解：如图,作/D_L8C于.点,・.・ AB = AC = 4, BC = 6,・•・ BD = -BC = 3>2/ ■q BD 3{±.Rt △ ABD{\X. cosB = — = T-AB 4故答案为415.【答案】42【解析】〔分析］ C ---------------- 刁8根据题意画出图形,然后根据平行线的性质可以求/得点3处的小明看点A处的小杰的俯角的度数,本/题得以解决. /此题考查平行线的性质,解直角三角形的应用-仰/角俯角问题,解答此题的关键是明确题意,利用数 / | 形结合的思想解答, A P 【解答】解：由题意可得,LBAO = 42%・・• BC//AD,・•・ Z.BAO = Z.ABC,・・.UBC = 42.,即点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度,故答案为：42.16.【答案】120【解析】【分析】连接力c.证实a/oc是等边三角形即可解决问题.此题考查垂径定理,圆心角、弧、弦之间的关系,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.【解答】解：连接AC.AC = BC^...OC 1 AB, Z.AOC = Z.BOC,•MB平分OC,.•・48是线段..的垂直平分线,・** AO = AC 9v OA = OC,OA — O C = AC 9・・・^AOC = 60.,・・・ Z.AOB = 120°.故答案为120.17.【答案】3【解析】【分析】由两圆的半径分别为2和5,根据两圆位置关系与圆心距/两圆半径/?,/•的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可.此题考查了圆与圆的位置关系.解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距“,两圆半径R,/•的数量关系间的联系.【解答】解：•••两圆的半径分别为2和5,两圆内切,・・・d = R-r = 5 - 2 = 3 cm,故答案为：3.18.【答案】9【解析】【分析】此题考查了翻折变换,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,熟练运用折叠的性质是此题的关键.设4E = Zc = BG, AC = 3k, (ZwO),可得EC = 2%,由折卷的性质可得EF=EC = 2k, AFED = Z,DEC = 45%根据相似三角形的性质可得芸=笠=g即A C CrC SGC = 3EF = 6k, 那么可求tanB的值.【解答】解：如图,・・・乙DEC = 45°v AC = 3AE・・・i殳力E = k = BG, AC = 3k, 〔k ¥： 0〕・•・ EC = 2k,・••折叠・・. EF = EC = 2k,乙FED =乙DEC = 45°A ZTEC = 90°,且2CB = 90.・・・EF//BCAEF^ACG力E _ EF _ 1AC~GC~3・•・ GC = 3EF = 6k,・•・ BC = BG + GC = 7k.AC 3・•・tanB =——=—BC 7故答案为：;19.【答案】解：2|1一夕加6阴+tanA^2 c W - 2m,T50=2-V3 +V3 + V2=2 + V2.【解析】先代入特殊角三角函数值,再根据实数的运算,可得答案.此题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算：熟记特殊角三角函数值是解题关键.20.【答案】解：(1)由题意,得1 + 6-3 = 0,解这个方程,得,b=2,所以,这个抛物线的表达式是y=/+ 2% - 3,所以y = (x+l)2 — 4,那么顶点M的坐标为(一1, 一4)；(2)由(1)得：这个抛物线的对称轴是直线％ =-1,设直线％ = 1与x轴的交点为点B,那么点8的坐标为(一1,0),且小8/= 90.,在RtUBM中,MB = 4, AB = 2,由勾股定理得：AM2 = MB2 + AB2 = 16 +4 = 20,即月M = 2遍,所以sin乙.4M =—=—. AM S【解析】(1)把A坐标代入抛物线解析式求出〃的值,确定出抛物线表达式,并求出顶点坐标即可：(2)根据(1)确定出抛物线对称轴,求出抛物线与x轴的交点B坐标,根据题意得到三角形AM5为直角三角形,由M8与A8的长,利用勾股定理求出AM的长,再利用锐角三角函数定义求出所求即可.此题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,以及解直角三角形,熟练掌握待定系数法是解此题的关键.21.【答案】解：(1)由题意,得：乙48c = 90.,i = 1： 2.4,在RtMBC中,i = — = —, BC 12设力8 = 5%,那么BC=12»,・•・ AB2 + BC2 = AC2.・•・ AC = 13x,v AC = 13,・•・x = 1,・•・AB = 5,答：这个车库的高度AB为5米：(2)由(1)得：8c = 12,AD在Rt △力8D中,tanZi4DC =—,DB・・・ Z.ADC = 13% AB = 5tJ DB = 力21.645(m),・・・ DC = DB - BC = 21.645 - 12 = 9.645 力9.6(米),答：斜坡改良后的起点.与原起点C的距离为9.6米.【解析】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.(1)根据坡度的概念,设力8 = 5x,那么8.= 12x,根据勾股定理列出方程,解方程即可: (2)根据正切的定义列出算式,求出OC.22.【答案】解：(1尸0.经过圆心O, 0DLAC,•** AD = DC,同理：CE = EB,DE是△力8c的中位线,••・ DE = -AB92,: AB = 8,・・・DE= 4.(2)过点.作力8,垂足为点〃,.〞=3,连接.A,AB = 8,・・・AH = 4,在中,AH2 + 0H2 =A02.・・・力0 = 5,即圆.的半径为5.【解析】(1)由0D«LAC知力.=DC,同理得出CE = EB,从而知DE = 土力8,据此可得答案:(2)作.HJL月8于点儿连接04,根据题意得出."=3, AH=4,利用勾股定理可得答案.此题主要考查垂径定理,解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了中位线定理与勾股定理.23.【答案】证实(1),.力D//8C,・•・乙B =乙DAE,AB — AD = BC — AE»AB BC AE ADCBA^h DAE»・•・ LB AC =乙4ED.(2)由(1)得a DAE^A CBAAD DE・•・ Z.D = LC,=一, BC AC ,: Z.AFE = ZD,・•・LAFE =乙C,・・・EF//BC,・: AD//BC,・・・EFI I AD,,: LB AC = ZJ4ED,・・• DE//AC,四边形ADEF是平行四边形,・•・ DE = AF,AD AF •• • -- - •BC AC【解析】(1)欲证实乙&4c = AED,只要证实4 CBAF ZME即可：(2)由△ZMESC8/,可得黄=票,再证实四边形AOEF是平行四边形,推出OE=/F, 即可解决问题：此题考查相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握根本知识,属于中考常考题型.24.【答案】解：(1)将4(4,0), 8(2,2)代入?=./ +及+ 2,得：吃心:能11.,(a = -^解得：?i匕••・抛物线的表达式为y =-^2+|X +2.(2)••・ y =-* + * + 2 = - - 1)2 + 京・•・顶点M的坐标为(1,?当％ = 0时,、=一2/ +乙X+ 2 = 2,4 2•・•点.的坐标为(0,2).过点M作M〞dLy轴,垂足为点从如图1所示.=+ AO〕 - OH -\AO - OC _ 3cH ・ MH,1 9 1 1 9= .X〔l + 4〕X--.X4X2--X〔.-2〕Xl,如图2所示.・•・点B的坐标为(2,2),点A的坐标为(4,0),:, BG = 2, G力=2,・・.△BG/是等腰直角三角形,・•• Z.BAO = 45°.同理,可得：/-BOA = 45°.・・•点.的坐标为(2,0),：•BC =2, OC = 2,.•.△OCB是等腰直角三角形,・•• Z.DBO = 45°, BO = 2四,・•・ LBAO =乙DBO.v 乙DOE = 45°,・・•乙DOB +乙BOE = 450.・・•乙BOE + 乙EOA = 45%・•・ LEO A = Z.D08,・•・△ AOE^A BOD,AE _ AO BD - BO・・,抛物线y = 2的对称轴是直线x = 1,・••点.的坐标为〔1,2〕,・•・ BD = 1, .AE _ 4・・ 1 一2五,・•• AE =夜,过点E作EF_L 〞轴,垂足为点F,那么A/EF为等腰直角三角形,・・.EF = AF = 1,・・・点E的坐标为〔3,1〕.【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形〔梯形〕的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形, 解题的关键是：〔1〕根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数表达式；〔2〕利用分割图形求面积法结合三角形、梯形的面积公式,求出的面积；〔3〕通过构造相似三角形,利用相似三角形的性质求出AE的长度.(1)根据点A,8的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式：(2)利用配方法可求出点M的坐标,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点.的坐标,过点M作轴,垂足为点从利用分割图形求面积法可得出的而积: (3)连接过点8作BG_Lx轴,垂足为点G,那么△8G4 △ 0C8是等腰直角三角形, 进而可得出乙B/.= NDB.,由乙D08 + NB0E = 45.,4BOE +4E./= 45°可得出^EOA=^DOB,进而可证出△/OEs^BOD,利用相似三角形的性质结合抛物线的对称轴为直线％ = 1可求出AE的长,过点E作EF_Lx轴,垂足为点F,那么a/EF为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得出AE、EF的长,进而可得出点石的坐标.25.【答案】解：(1)、FE是AM和AN的比例中项AM AE • ——・- •-- ,AE AN・・・ Z.AEM = CANE、・.・乙D = 90°,・・・乙DCE+乙DEC = 90°,v EM IBC,・・・ 2EM + 4DEC = 90.,・•・ Z.AEM =乙DCE,・・・ZLANE =乙DCE；（2）v力C与NE互相垂直,・,LEAC + ZLAEN = 90°,・・,乙BAD = 90°,・・・"NE+ 2EN = 90.,・・・ Z.ANE = LEAC.由〔1〕得乙4NE = ziDCE,・•・乙DCE =乙EAC,・•, tanZ.DCE = tanZ,DAC,DE _ DC・•诟-AD'DC = AB = 6, AD = 8.由〔1〕得乙4EM =乙DCE,・•, tan乙4EM = tanZ.DCE,AM DE •・- •--- ,AE DC・•・AM=-,8AM AE* ・•------ ,AE AN (14)AN =—3(3)・・・小ME = Z,MAE + Z.AEM. ^AEC = ZD + 乙DCE, 又上MAE = =90.,由(1)得乙4EM = 4DCE,・•• Z.AEC =乙NME,当△/EC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①4ENM = 4E>1C,如图2,・•・ Z.ANE = LEAC.由(2)得：DE = |；②乙ENM =4ECA, 如图3过点E作EHJLnC,垂足为点H,由(1)得乙4NE = 4DCE,・•・乙EC A =乙DCE,・・. HE = DE,又tan4ME=^ =而=6,设DE = 3%,那么HE=3x, AH = 4x, AE = Sx9 又力E + DE = AD,・,・ 5% + 3% = 8» 解得x = l,・•・ DE = 3x = 3,综上所述,OE的长分别为:或3.【解析】⑴由比例中项知曾=含据此可证△力ME〞△力EN得乙4EM = 〃NE,再证4力EM =乙DCE可得答案：(2)先证乙4NE = 4E月C,结合乙ANE = ^DCE得乙DCE = ZLEAC,从而知焉=言,据出：求得HE = 8 - ？=乙,由⑴得2EM =乙DCE,据此知竺=竺,求得力M = "由〞=些22'J AE DC8 AE AN求得MN =捺24(3)分乙ENM =乙曰4 c和△ENM =乙EG4两种情况分别求解可得.此题是相似三角形的综合问题,解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点.。

上海市虹口区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点F,若AC=BD ，AB=ED ，BC=BE ，则∠ACB 等于（ ）A ．∠EDB B ．∠BEDC ．∠EBD D ．2∠ABF2．在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是（ ） A ．圆锥 B ．圆柱 C ．球 D ．正方体3．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）A ．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”B ．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”C ．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是64．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )A ．B ．C ．D ．5．如图所示：有理数,a b 在数轴上的对应点，则下列式子中错误．．的是（ ）A ．0ab >B ．0a b +<C ．1a b <D ．0a b -<6．在一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下：38，52，47，46，50，50，61，72，45，48，则这10名女生仰卧起坐个数不少于50个的频率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.67．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，点CE=1，AC=4，则下列结论一定正确的个数是（ ）①∠CDE=∠DFB；②BD＞CE；③BC=2CD；④△DCE与△BDF的周长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个8．cos45°的值是（）A．12B．32C．22D．19．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10．如图所示的几何体的主视图是( )A．B．C．D．11．如果解关于x的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m的值为A．-2 B．2 C．4 D．-4 12．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．观察下列等式：第1个等式：a1=111(1) 1323=⨯-⨯；第2个等式：a 2=1111()35235=⨯-⨯； 第3个等式：a 3=1111()57257=⨯-⨯； …请按以上规律解答下列问题：（1）列出第5个等式：a 5=_____；（2）求a 1+a 2+a 3+…+a n =4999，那么n 的值为_____． 14．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．15．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为9m ，那么这栋建筑物的高度为_____m ．16．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.17．一个扇形的弧长是83π，它的面积是163π，这个扇形的圆心角度数是_____． 18．已知关于X 的一元二次方程()2m 2x 2x 10-++=有实数根，则m 的取值范围是____________________三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC DF AE ⊥＝，，垂足为F.（1）求证：AF BE ＝；（2）如果21BE EC ：＝：，求CDF ∠的余切值. 20．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC(顶点是网格线的交点)的坐标分别是A(﹣2，2)，B(﹣3，1)，C(﹣1，0)．(1)将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到△DEF ，画出△DEF ；(2)以O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△A 1B 1C 1，若P(x ，y)为△ABC 中的任意一点，这次变换后的对应点P 1的坐标为 .21．（6分）某水果店购进甲乙两种水果，销售过程中发现甲种水果比乙种水果销售量大，店主决定将乙种水果降价1元促销，降价后30元可购买乙种水果的斤数是原来购买乙种水果斤数的1.5倍．（1）求降价后乙种水果的售价是多少元/斤？（2）根据销售情况，水果店用不多于900元的资金再次购进两种水果共500斤，甲种水果进价为2元/斤，乙种水果进价为1.5元/斤，问至少购进乙种水果多少斤？22．（8分）如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．23．（8分）某生姜种植基地计划种植A,B两种生姜30亩.已知A,B两种生姜的年产量分别为2000千克/亩、2500千克/亩,收购单价分别是8元/千克、7元/千克.(1)若该基地收获两种生姜的年总产量为68000千克,求A,B两种生姜各种多少亩?(2)若要求种植A种生姜的亩数不少于B种的一半,那么种植A,B两种生姜各多少亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多?最多是多少元?24．（10分）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x xx--+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a ab -=⎧⎨+=⎩，∴a=2，b=1 ∴42231x x x --+-+=222(1)(2)11x x x -+++-+=222(1)(2)1x x x -++-++211x -+=x 2+2+211x -+这样，分式42231x x x --+-+被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x -+的和． 解答：将分式422681x x x --+-+ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．试说明422681x x x --+-+的最小值为1．25．（10分）在“双十二”期间，,A B 两个超市开展促销活动，活动方式如下：A 超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；B 超市：购物金额打8折．某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在,A B 两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B 商场购买的数量比在A 商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案） 26．（12分）数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg ）分成五组（A ：39.5～46.5；B ：46.5～53.5；C ：53.5～60.5；D ：60.5～67.5；E ：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg 至53kg 的学生大约有多少名．27．（12分）如图，在ABC V 中，CD AB ⊥，垂足为D ，点E 在BC 上，EF AB ⊥，垂足为F.12∠∠=，试判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB=∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案.【详解】在△ABC和△DEB中，AC BDAB EDBC BE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以△ABC≅△BDE(SSS)，所以∠ACB=∠DBE.故本题正确答案为C.【点睛】.本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟悉掌握是关键.2．C【解析】【分析】根据各几何体的主视图可能出现的情况进行讨论即可作出判断.【详解】A. 圆锥的主视图可以是三角形也可能是圆，故不符合题意；B. 圆柱的主视图可能是长方形也可能是圆，故不符合题意；C. 球的主视图只能是圆，故符合题意；D. 正方体的主视图是正方形或长方形（中间有一竖），故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了简单几何体的三视图——主视图，明确主视图是从物体正面看得到的图形是关键. 3．D【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【详解】根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为23≈0.67>0.16，故A 选项不符合题意， 从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为1327≈0.48>0.16，故B 选项不符合题意， 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是12=0.5>0.16，故C 选项不符合题意， 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是16≈0.16，故D 选项符合题意， 故选D.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.4．C【解析】试题分析：观察可得，只有选项C 的主视图和左视图相同，都为，故答案选C.考点：简单几何体的三视图.5．C【解析】【分析】从数轴上可以看出a 、b 都是负数，且a ＜b ，由此逐项分析得出结论即可．【详解】由数轴可知：a<b<0，A 、两数相乘，同号得正，ab ＞0是正确的；B 、同号相加，取相同的符号，a+b ＜0是正确的；C 、a ＜b ＜0，1a b＞，故选项是错误的； D 、a-b=a+（-b ）取a 的符号，a-b ＜0是正确的．故选：C ．【点睛】此题考查有理数的混合运算，数轴，解题关键在于结合数轴进行解答.6．C【解析】【分析】用仰卧起坐个数不少于10个的频数除以女生总人数10计算即可得解．仰卧起坐个数不少于10个的有12、10、10、61、72共1个，所以，频率=510=0.1．故选C．【点睛】本题考查了频数与频率，频率=频数数据总和．7．D【解析】等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，由折叠可得，∠EDF=∠A=45°，∴∠CDE+∠BDF=135°，∠DFB+∠B=135°，∴∠CDE=∠DFB，故①正确；由折叠可得，DE=AE=3，∴=，∴BD=BC﹣DC=4﹣1，∴BD＞CE，故②正确；∵BC=4CD=4，∴CD，故③正确；∵AC=BC=4，∠C=90°，∴，∵△DCE的周长，由折叠可得，DF=AF，∴△BDF的周长=DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=4+（4﹣），∴△DCE与△BDF的周长相等，故④正确；故选D．点睛：本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8．C【解析】本题主要是特殊角的三角函数值的问题，求解本题的关键是熟悉特殊角的三角函数值. 【详解】cos45°=2 2.故选：C.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值.9．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．10．C【解析】【分析】主视图就是从正面看，看列数和每一列的个数.【详解】解：由图可知，主视图如下故选C．【点睛】考核知识点：组合体的三视图.11．D【详解】2122m x x x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣1)，得： m+1x=x ﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，故选D ．12．A【解析】【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．【详解】根据轴对称图形的概念，可知：选项A 中的图形不是轴对称图形．故选A ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1111()9112911=⨯-⨯ 49 【解析】【分析】（1）观察等式可得()()1111,212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭ 然后根据此规律就可解决问题； （2）只需运用以上规律，采用拆项相消法即可解决问题．【详解】(1)观察等式,可得以下规律：()()1111,212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴51111.9112911a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭(2)12311111111111(1)()()2323525722121n a a a a n n ⎛⎫+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+- ⎪-+⎝⎭ 1149(1)22199n =-=+， 解得：n=49. 故答案为：11119112911⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭49.属于规律型：数字的变化类，观察题目，找出题目中数字的变化规律是解题的关键. 14．1【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a，b互为相反数，∴a+b=1，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，故答案为1．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．15．1【解析】分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．详解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，2=19x，解得x=1，即这栋建筑物的高度为1m．故答案为1．点睛：同时同地的物高与影长成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出这栋高楼的高度，体现了方程的思想．16．1【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：1，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【详解】如图：，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP=BD ：AC=1：3，∴DP ：DF=1：1，∴DP=PF=CF=BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BPF==1，∵∠APD=∠BPF ，∴tan ∠APD=1．故答案为：1【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．17．120°【解析】【分析】设扇形的半径为r ，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r ，再利用弧长公式求出圆心角即可．【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为n°． 由题意：1816··233r ππ=, ∴r ＝4， ∴24163603n ππ= ∴n ＝120，故答案为120°【点睛】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.18．m≤3且m≠2【解析】试题解析：∵一元二次方程()22210m x x -++=有实数根 ∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0解得：m≤3且m≠2.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）见解析；（2）25 cot CDF∠=.【解析】【分析】（1）矩形的性质得到AD BC AD BC＝，∥，得到AD AE DAF AEB∠∠＝，＝，根据AAS定理证明ABE DFAV V≌；（2）根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.【详解】解：（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，AD BC AD BC∴＝，∥，AD AE DAF AEB∴∠∠＝，＝，在ABE△和DFAV中，DAF AEBAFD EBAAD AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE DFA∴V V≌，AF BE∴＝；（2）ABE DFAQV V≌，AD AE DAF AEB∴∠∠＝，＝，设CE k＝，21BE ECQ：＝：，2BE k∴＝，3AD AE k∴＝＝，225AB AE BE k∴=-=，9090ADF CDF ADF DAF∠+∠︒∠+∠︒Q＝，＝，CDF DAE∴∠∠＝，CDF AEB∴∠∠＝，25cot cot55BECDF AEBAB k∴∠=∠===.本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及余切的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.20．(1)见解析；(2)见解析，(﹣2x，﹣2y)．【解析】【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点D、E、F，即可得到△DEF；（2）先根据位似中心的位置以及放大的倍数，画出原三角形各顶点的对应顶点，再顺次连接各顶点，得到△A1B1C1，根据△A1B1C1结合位似的性质即可得P1的坐标.【详解】(1)如图所示，△DEF即为所求；(2)如图所示，△A1B1C1即为所求，这次变换后的对应点P1的坐标为(﹣2x，﹣2y)，故答案为(﹣2x，﹣2y)．【点睛】本题主要考查了位似变换与旋转变换，解决问题的关键是先作出图形各顶点的对应顶点，再连接各顶点得到新的图形．在画位似图形时需要注意，位似图形的位似中心可能在两个图形之间，也可能在两个图形的同侧.21．（1）降价后乙种水果的售价是2元/斤；（2）至少购进乙种水果200斤．【解析】【分析】（1）设降价后乙种水果的售价是x元，30元可购买乙种水果的斤数是30x，原来购买乙种水果斤数是30x1，根据题意即可列出等式；（2）设至少购进乙种水果y斤，甲种水果（500﹣y）斤，有甲乙的单价，总斤数≤900即可列出不等式，求解即可.解：（1）设降价后乙种水果的售价是x 元，根据题意可得：3030 1.51x x =⨯+， 解得：x ＝2，经检验x ＝2是原方程的解，答：降价后乙种水果的售价是2元/斤；（2）设至少购进乙种水果y 斤，根据题意可得：2（500﹣y ）+1.5y≤900，解得：y≥200，答：至少购进乙种水果200斤．【点睛】本题考查了分式的应用和一元一次不等式的应用，根据题意列出式子是解题的关键22．（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M 点坐标分别为：M 1（2，﹣、M 2（﹣2，﹣、M 3（﹣2，）、M 4（2，．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC 是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC ，因此OA=AC=AP ，即OP 边上的中线等于OP 的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC 与⊙O 的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO 、△OAC 的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M 点，即：C 点以及C 点关于x 轴、y 轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC ，∠OAC=60°，∴△OAC 是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA ，已知PA=OA ，即OA=PA=AC ；∴AC=12OP ，因此△OCP 是直角三角形，且∠OCP=90°， 而OC 是⊙O 的半径，故PC 与⊙O 的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3；劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3）；劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，3；优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3、M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3）、M4（2，3．【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．23．（1）种植A种生姜14亩,种植B种生姜16亩；(2) 种植A种生姜10亩,种植B种生姜20亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多,最多为510000元.【解析】试题分析：（1）设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜（30-x）亩，根据：A种生姜的产量+B 种生姜的产量=总产量，列方程求解；（2）设A种生姜x亩，根据A种生姜的亩数不少于B种的一半，列不等式求x的取值范围，再根据（1）的等量关系列出函数关系式，在x的取值范围内求总产量的最大值．试题解析：(1)设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜(30-x)亩，根据题意，2000x+2500(30-x)=68000，解得x=14，∴30-x=16，答:种植A种生姜14亩，种植B种生姜16亩；(2)由题意得，x≥(30-x)，解得x≥10，设全部收购该基地生姜的年总收入为y 元，则y=8×2000x+7×2500(30-x)=-1500x+525000，∵y 随x 的增大而减小，∴当x=10时，y 有最大值，此时，30-x=20，y 的最大值为510000元，答：种植A 种生姜10亩，种植B 种生姜20亩时，全部收购该基地生姜的年总收入最多，最多为510000元.【点睛】本题考查了一次函数的应用．关键是根据总产量=A 种生姜的产量+B 种生姜的产量，列方程或函数关系式．24． (1) =x 2+7+211x -+ (2) 见解析 【解析】【分析】（1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可； （2）原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可．【详解】（1）设﹣x 4﹣6x+1=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b=﹣x 4+（1﹣a ）x 2+a+b ，可得168a ab -=-⎧⎨+=⎩ ， 解得：a=7，b=1， 则原式=x 2+7+211x -+；（2）由（1）可知，422681x x x --+-+=x 2+7+211x -+ ． ∵x 2≥0，∴x 2+7≥7；当x=0时，取得最小值0，∴当x=0时，x 2+7+211x -+最小值为1，即原式的最小值为1．25．（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析【解析】【分析】（1）设这种篮球的标价为每个x 元，根据题意可知在B 超市可买篮球42000.8x个，在A 超市可买篮球42003000.9x+个，根据在B 商场比在A 商场多买5个列方程进行求解即可； （2）分情况，单独在A 超市买100个、单独在B 超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.【详解】（1）设这种篮球的标价为每个x 元， 依题意，得4200420030050.80.9x x+-=， 解得：x=50，经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，单独在A 超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元， 在A 超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元， 单独在B 超市购买：100×50×0.8=4000元， 在A 、B 两个超市共买100个，根据A 超市的方案可知在A 超市一次购买：20000.950⨯=4449，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B 超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元， 综上可知最少费用的购买方案：在A 超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B 超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.26．576名【解析】试题分析：根据统计图可以求得本次调查的人数和体重落在B 组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而可以求得我校初三年级体重介于47kg 至53kg 的学生大约有多少名．试题解析：本次调查的学生有：32÷16%=200（名），体重在B 组的学生有：200﹣16﹣48﹣40﹣32=64（名），补全的条形统计图如右图所示，我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有：1800×64200=576（名），答：我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有576名．27．DG∥BC，理由见解析【解析】【分析】由垂线的性质得出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2=∠DCE，再由已知条件得出∠1=∠DCE，即可得出结论．【详解】解：DG∥BC，理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠DCE，∵∠1=∠2，∴∠1=∠DCE，∴DG∥BC．【点睛】本题考查平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，证明∠1=∠DCE是解题关键．。

2019届上海市闵行区中考一模数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，下列结论错误的是（）A． B． C． D．2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（）A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=3. 将二次函数y=2x2﹣1的图象向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y=2（x﹣3）2﹣1 B．y=2（x+3）2﹣1C．y=2x2+4 D．y=2x2﹣44. 已知，那么下列判断错误的是（）A． B． C．∥ D．≠5. 一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离 3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（）A．1米 B．2米 C．4米 D．5米的平分线交边AC于E，6. 如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BECC．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE二、填空题7. 已知：3a=2b，那么= ．8. 计算：= ．9. 如果地图上A，B两处的图距是4cm，表示这两地实际的距离是20km，那么实际距离500km的两地在地图上的图距是 cm．10. 二次函数的图象的顶点坐标是．11. 已知抛物线y=x2﹣4x+3，如果点P（0，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q的坐标是．12. 已知两个相似三角形的面积之比是1：4，那么这两个三角形的周长之比是．13. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，那么AB= ．14. 已知一斜坡的坡度i=1：2，高度在20米，那么这一斜坡的坡长约为米（精确到0.1米）15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，联结DE，交对角线AC于点F，如果，CD=6，那么AE= ．16. 如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是．17. 2016年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度263米的东方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是22.3°．已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为米（精确到1米）．（参考数据：sin22.3°≈0.38，cos22.3°≈0.93．tan22.3°≈0.41）是边长为2的等边三角形，点D在边BC上，将△ABD沿着直线AD 18. 如图，已知△ABC翻折，点B落在点B1处，如果B1D⊥AC，那么BD= ．三、解答题19. 已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）（1）求抛物线的表达式；（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积．20. 如图，在△ＡBC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，设=，=．（1）填空：向量= ．（用向量，的式子表示）．（2）在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．21. 如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于E，点F是DE延长线上一点，联结AF．（1）如果，DE=6，求边BC的长；（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．22. 如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）参考数据≈1.41，≈1.73．23. 如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且．（1）求证：AB∥CD；，求证：．（2）如果AD2=DG?DE24. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），且与y轴相交于点C．（1）求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点D的坐标；（2）求∠CAD的正弦值；（3）设点P在线段DC的延长线上，且∠PAO=∠CAD，求点P的坐标．25. 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC=．点E为线段BD上任意一点（点E与点B，D不重合），过点E作EF∥CD，与BC相交于点F，连接CE．设BE=x，y=．（1）求BD的长；（2）如果BC=BD，当△DCE是等腰三角形时，求x的值；（3）如果BC=10，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】。

上海初中数学一模-2019年-25题分题合集1. （2019•徐汇区一模）已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，10AC BC ==，4cos 5ACB ∠=，点E 在对角线AC 上（不与点A 、C 重合），EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当DFC ∆是等腰三角形时，求AD 的长．2.（2019•闵行区一模）如图，在梯形ABCD中，//AD BC，AB CD=，5AD=，15BC=，5 cos13ABC∠=．E为射线CD上任意一点，过点A作//AF BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE x=，AGy DG=．（1）求AB的长；（A）（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（C）（3）如果23ABEFABCDSS=四边形四边形，求线段CE的长．（D）3.（2019•奉贤区一模）如图，已知梯形ABCD中，//AD=，DABAB CD，90∠=︒，4 ==，E是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，26AB CD联结AF并延长，与射线DC交于点G．（1）当点G与点C重合时，求:CE BE的值；（B）（2）当点G在边CD上时，设CE m∆的面积；（用含m的代数式表示）=，求DFG（D）（3）当AFD ADG∠的余弦值．（C）∽时，求DAG∆∆4.（2019•松江区一模）如图，已知ABC∠=︒，D是边AB的中点，P是边∆中，90ACBAC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果6AC=，且P为AC的中点，求线段BE的长；（B）BC=，8（2）联结PD，如果PD AB⊥，且2ED=，求cos A的值；（D）CE=，3（3）联结PD，如果22=，且22BP CDED=，求线段PD的长．（D）CE=，35.（2019•嘉定区一模）在矩形ABCD中，6AD=，点E是边AD上一点，AB=，8⊥交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．EM EC（1）如图1，求证：ANE DCE∠=∠；（B）（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（C）（3）连接AC，如果AEC∆与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．（D）6.（2019•崇明区一模）如图，在ABCBC=，AD BC⊥，垂足为==，6AB AC∆中，5D，点P是边AB上的一个动点，过点P作//⊥交PF AC交线段BD于点F，作PG AB AD于点E，交线段CD于点G，设BP x=．（1）用含x的代数式表示线段DG的长；（B）（2）设DEF∆的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（C）（3）PEF∆能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．（C）7.（2019•黄浦区一模）在ABC∆中，90ACB∠=︒，3BC=，4AC=，点O是AB的中点，点D是边AC上一点，DE BD⊥，交BC的延长线于点E，OD DF⊥，交BC边于点F，过点E作EG AB⊥，垂足为点G，EG分别交BD、DF、DC于点M、N、H．（1）求证：DE NEDB OB=；（B）（2）设CD x=，NE y=，求y关于x的函数关系式及其定义域；（C）（3）当DEF∆是以DE为腰的等腰三角形时，求线段CD的长．（D）8. （2019•静安区一模）已知：如图，在ABC ∆中，6AB =，9AC =，tan 22ABC ∠=．过点B 作//BM AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠．（1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（C ）（3）连接PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．（C ）9.（2019•青浦区一模）如图，在梯形ABCD中，//DB DC==，AD BC，18BC=，15点E、F分别在线段BD、CD上，5DE DF==．AE的延长线交边BC于点G，AF 交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．（1）求证：BG CH=；（C）（2）设AD x∆的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；=，ADN（C）（3）联结FG，当HFG∆相似时，求AD的长．（D）∆与ADN10. （2019•虹口区一模）如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，点E 为边AD 上一点，将ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，连接EG 并延长交射线BC 于点F ．（1）如果2cos 3DBC ∠=，求EF 的长；（B ） （2）当点F 在边BC 上时，连接AG ，设AD x =，ABG BEFS y S ∆∆=，求y 关于x 的函数关系式并写出x 的取值范围；（C ） （3）连接CG ，如果FCG ∆是等腰三角形，求AD 的长．（D ）11.（2019•宝山区一模）如图，已知：梯形ABCD中，90AB DC，DAB∠=︒，//∠=︒，45ABCAB=，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射3DC=，5线EP于射线CB交于点F．（1）若13AP=，求DE的长；（B）（2）联结CP，若CP EP=，求AP的长；（C）（3）线段CF上是否存在点G，使得ADE∆与FGE∆相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．（C）12.（2019•金山区一模）已知多边形ABCDEF是O的内接正六边形，联结AC、FD，点H是射线AF上的一个动点，联结CH，直线CH交射线DF于点G，作MH CH⊥交r r>．CD的延长线于点M，设O的半径为(0)（1）求证：四边形ACDF是矩形．（B）（2）当CH经过点E时，M与O外切，求M的半径（用r的代数式表示）．（B）（3）设(090)∠=<<︒，求点C、M、H、F构成的四边形的面积（用r及HCDαα含α的三角比的式子表示）．（E）13.（2019•长宁区一模）已知锐角MBN∠的余弦值为35，点C在射线BN上，25BC=，点A在MBN∠的内部，且90BAC∠=︒，BCA MBN∠=∠．过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E．点F在线段BE上（点F不与点B重合），且EAF MBN∠=∠．（1）如图1，当AF BN⊥时，求EF的长；（B）（2）如图2，当点E在线段BC上时，设BF x=，BD y=，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（D）（3）联结DF，当ADF∆与ACE∆相似时，请直接写出BD的长．（E）14.（2019•普陀区一模）如图，点O在线段AB上，22∠=︒，点C是BOPAO OB a==，60射线OP上的一个动点．（1）如图①，当90OC=，求a的值；（B）∠=︒，2ACB（2）如图②，当AC AB=时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（B）（3）在第（2）题的条件下，过点A作//AQ OQ的AQ BC，并使QOC B∠=∠，求:值．（C）15.（2019•杨浦区一模）已知：梯形ABCD中，//AD=，6AB=，⊥，3AD BC，AB BC⊥分别交射线AB、射线CB于点E、F．DF DC（1）当点E为边AB的中点时（如图1)，求BC的长；（B）（2）当点E在边AB上时（如图2)，联结CE，试问：DCE∠的大小是否确定？若确定，请求出DCE∠的正切值为y，请求出∠的正切值；若不确定，则设AE x=，DCEy关于x的函数解析式，并写出定义域；（B）（3）当AEF∆的面积为3时，求DCE∆的面积．（C）16.（2019•浦东新区一模）将大小两把含30︒角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、∠=∠=︒，BC上，此时小三角尺的斜边DE恰好经过大三角尺的重心G．已知30A CDEAB=．12（1）求小三角尺的直角边CD的长；（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图2)，求点B、E之间的距离；（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求BAE∠的正弦值．上海初中数学一模-2019年-25题分题合集参考答案与试题解析一．解答题1. 已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，10AC BC ==，4cos 5ACB ∠=，点E 在对角线AC 上（不与点A 、C 重合），EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当DFC ∆是等腰三角形时，求AD 的长．【分析】（1）证明ADC DCE ∆∆∽，利用22223616105AC CE CD DF FC a a ==+=+=，即可求解；（2）过点C 作CH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，22222(sin )(cos )CD CH DH AC AC x αα=+=+-，即可求解；（3）分DF DC =、FC DC =、FC FD =三种情况，求解即可．【解答】解：（1）设：ACB EDC CAD α∠=∠=∠=∠，4cos 5α=， 3sin 5α∴=， 过点A 作AH BC ⊥交于点H ，sin 6AH AC DF α===，2BH =，如图1，设：4FC a =， 4cos5ACB ∴∠=，则3EF a =，5EC a =， EDC CAD α∠=∠=∠，ACD ACD ∠=∠，ADC DCE ∴∆∆∽，22223616105AC CE CD DF FC a a ∴==+=+=，解得：2a =或98（舍去2)a =， 710242AD HF a ==--=； （2）过点C 作CH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，22222(sin )(cos )CD CH DH AC AC x αα=+=+-，即：2236(8)CD x =+-，由（1）得：2AC CE CD =，即：21810(010)105y x x x =-+<⋯①， （3）①当DF DC =时，ECF FDC α∠=∠=，DFC DFC ∠=∠，DFC CFE ∴∆∆∽，DF DC =，FC EC y ∴==，10x y ∴+=，即：2181010105x x x =-++， 解得：6x =；②当FC DC =，则DFC FDC α∠=∠=，则：EF EC y ==，10DE AE y ==-，在等腰ADE ∆中，11422cos cos 105AD x DAE AE y α∠====-，即：5880x y +=，将上式代入①式并解得：394x =； ③当FC FD =，则FCD FDC α∠=∠=，而ECF FCD α∠=≠∠，不成立，故：该情况不存在；故：AD 的长为6和394． 【点评】本题为四边形的综合题，涉及到解直角三角形、一元二次方程，三角形相似等诸多知识点，其中三角形相似是本题的突破点，难度较大．2.如图，在梯形ABCD中，//AD BC，AB CD=，5AD=，15BC=，5cos13ABC∠=．E 为射线CD上任意一点，过点A作//AF BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE x=，AGy DG=．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果23ABEFABCDSS=四边形四边形，求线段CE的长．【分析】（1）分别过点A、D作AM BC⊥、DN BC⊥，垂足为点M、N，根据三角函数解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答，进而利用函数解析式解答即可；（3）根据两种情况，利用勾股定理解答即可．【解答】思路：解直角三角形解：（1）分别过点A、D作AM BC⊥、DN BC⊥，垂足为点M、N．//AD BC ，AB CD =，5AD =，15BC =，11()(155)522BM BC AD ∴=-=⨯-=， 在Rt ABM ∆中，90AMB ∠=︒， ∴55cos 13BM ABM AB AB ∠===． 13AB ∴=．（2）思路一：合分比性质AG y DG=， ∴1AG DG y DG+=+．即得51DG y =+， 思路二：运动过程中始终有△AFD ∽△BECAFD BEC ∠=∠，ADF C ∠=∠．ADF BCE ∴∆∆∽． ∴51153FD AD EC BC ===， 又CE x =，13FD x =，13AB CD ==．即得1133FC x =+． 思路三：运动过程中始终有△FGD ∽△FBC ，或者说始终有A 字形//AD BC ， ∴FD DG FC BC=． ∴5113115133x y x +=+． ∴3923x y x-=． ∴所求函数的解析式为3923xy x -= 临界点1：E 和C 重合临界点2：G 和A 重合，此时E 、F 交于一点，为射线BA 和射线CF 交点函数定义域为3902x <<． （3） 梯形ABCD 为定梯形，所以面积苛求，所以ABEF 面积可求在Rt ABM ∆中，利用勾股定理，得12AM =． ∴()()115151212022ABCD S AD BC AM =+⋅=+⨯=梯形． 23ABEFABCD S S =四边形四边形， 80ABEF S ∴=四边形．设ADF S S ∆=．由ADF BCE ∆∆∽，13FD EC =，得 9AEC S S ∆=． 由题意，本题有两种情况：方法一：△BEC 面积可求，因为BC 和∠C 知道，所以EC 可求方法二：△BEC 面积可求，因为BC 知道，则BC 边上高知道，利用比例线段EC 可求 过点E 作EH BC ⊥，垂足为点H ．（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 840ABCD ABEF S S S -==四边形四边形．5S ∴=．945AEC S S ∆∴==． ∴11154522BEC S BC EH EH ∆=-=⨯-=． 6EH ∴=．由 DN BC ⊥，EH BC ⊥，易得 //EH DN ．∴61122CE EH CD DN ===． 又 13CD AB ==， ∴132CE =，（ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 9AEF ABCD ABEF S S S S ∆++=四边形四边形． 8200S ∴=．解得25S =．9225BEC S S ∆∴==． ∴111522522BEC S BC EH EH ∆=-=⨯-=．解得 30EH =． ∴305122CE EH CD DN ===． ∴652CE =， ∴136522CE =或． 【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及梯形的性质进行解答即可．3. 如图，已知梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，4AD =，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ．（1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求DFG ∆的面积；（用含m 的代数式表示）（3）当AFD ADG ∆∆∽时，求DAG ∠的余弦值．【分析】（1）由题意可得四边形DCEF 是平行四边形，可得CD EF =，通过证明CFE CAB ∆∆∽，可得12CE EF CB AB ==，可得BE CE =，则可求:CE BE 的值； （2）延长AG ，BC 交为于点M ，过点C 作CN AB ⊥于点N ，交EF 于点H ，由题意可得四边形ADCN 是矩形，可得4AD CN ==，3CD AN ==，3BN =，由平行线分线段成比例可求BE ，ME ，MC ，CH ，GC 的长，即可求GD 的长，由三角求形面积公式可DFG ∆的面积；（3）由AFD ADG ∆∆∽，可得90AFD ADG ∠=∠=︒，由余角的性质可得DAG B ∠=∠，即可求DAG ∠的余弦值．【解答】解：（1）如图，//DC EF ，//DF CE∴四边形DCEF 是平行四边形CD EF ∴=，26AB CD ==，2AB EF ∴=，//EF CD ，//AB CD ，//EF AB ∴，CFE CAB ∴∆∆∽ ∴12CE EF CB AB == 2BC CE ∴=，BE CE ∴=:1:1EC BE ∴=（2）方法一：中间面积法,思路点：梯形ABCD 是定梯形，DFEC 始终是平行四边形，△ADH 为定三角形方法二：直接表示法因为底和高都不知道，所以需要一个一个表示因为梯形ABCD 是定梯形，解梯形AD CD ⊥，CN CD ⊥//AD CN ∴，且//CD AB∴四边形ADCN 是平行四边形，又90DAB ∠=︒∴四边形ADCN 是矩形，4AD CN ∴==，3CD AN ==，3BN AB AN ∴=-=，在Rt BCN ∆中，225BC CN BN =+=利用比例线段或者相似或者解直角三角形求出CH//EF AB∴CE HE HC BC BN CN == 45HC m ∴=， 求DG ，因DC 知道，所以求CG如图，延长AG ，BC 交为于点M ，过点C 作CN AB ⊥于点N ，交EF 于点H利用比例线段MC5BE BC CE m ∴=-=-， //EF AB ∴EF ME AB MB=， 即12CD ME AB BM == 5ME BE m ∴==-，52MC ME CE m ∴=-=-，利用比例线段CG （随意一组A 字形都可以）//CG EF∴GC MC EF ME= 即5235GC m m-=- 1565m GC m -∴=-1563355m m DG CD GC m m-∴=-=-=-- 2162255DFGm S DG CH m∆∴=⨯⨯=- （3）因为ADG 是直角三角形，所以只能是∠DFA 为直角，做出图形即可求解 过点C 作CN AB ⊥于点N ，//AB CD ，90DAB ∠=︒，90DAB ADG ∴∠=∠=︒，若AFD ADG ∆∆∽，90AFD ADG ∴∠=∠=︒DF AG ∴⊥又//DF BCAG BC ∴⊥90B GAB ∴∠+∠=︒，且90DAG GAB ∠+∠=︒B DAG ∴∠=∠3cos cos 5BN DAG B BC ∴∠=== 【点评】本题是相似形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，熟练运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．4. 如图，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ．（1）如果6BC =，8AC =，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长；（2）联结PD ，如果PD AB ⊥，且2CE =，3ED =，求cos A 的值；（3）联结PD ，如果222BP CD =，且2CE =，3ED =，求线段PD 的长．【分析】（1）根据已知条件得到4CP =，求得213BP =，根据三角形重心的性质即可得到结论；（2）如图1，过点B 作//BF CA 交CD 的延长线于点F ，根据平行线分线段成比例定理得到BD FD BF DA DC CA ==，求得13CP PA =，设CP k =，则3PA k =，得到3PA PB k ==根据三角函数的定义即可得到结论；（3）根据直角三角形的性质得到12CD BD AB ==，推出PBD ABP ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到BPD A ∠=∠，推出DPE DCP ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）P 为AC 的中点，8AC =，4CP ∴=，90ACB ∠=︒，6BC =，213BP ∴= D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是ABC ∆的重心，241333BE BP ∴=；方法一：从中点出发，回归到旗帜模型方法二：（2）如图1，过点B作//BF CA交CD的延长线于点F，∴BD FD BF DA DC CA==，BD DA=，FD DC∴=，BF AC=，2CE=，3ED=，则5CD=，8EF∴=，∴2184 CP CEBF EF===，∴14 CPCA=，∴13 CPPA=，设CP k=，则3PA k=，PD AB ⊥，D 是边AB 的中点，3PA PB k ∴==BC ∴=，AB ∴=，4AC k =，cos A ∴=； 方法一：方法二：（3）90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，12CD BD AB ∴==，222PB CD =，22BP CD CD BD AB ∴==，PBD ABP ∠=∠，PBD ABP ∴∆∆∽，BPD A ∴∠=∠，A DCA ∠=∠，DPE DCP ∴∠=∠，PDE CDP ∠=∠，DPE DCP ∴∆∆∽，2PD DE DC ∴=，3DE =，5DC =，PD ∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5.在矩形ABCD中，6AB=，8AD=，点E是边AD上一点，EM EC⊥交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．（1）如图1，求证：ANE DCE∠=∠；（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果AEC∆与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．【分析】（1）由比例中项知AM AEAE AN=，据此可证AME AEN∆∆∽得AEM ANE∠=∠，再证AEM DCE∠=∠可得答案；（2）先证ANE EAC∠=∠，结合ANE DCE∠=∠得DCE EAC∠=∠，从而知DE DC DC AD=，据此求得97822AE=-=，由（1）得AEM DCE∠=∠，据此知AM DEAE DC=，求得218AM=，由AM AEAE AN=求得4924MN=；（3）分ENM EAC∠=∠和ENM ECA∠=∠两种情况分别求解可得．【解答】解：（1）AE是AM和AN的比例中项∴AM AEAE AN=，A A∠=∠，AME AEN∴∆∆∽，AEM ANE ∴∠=∠，90D∠=︒，∴∠+∠=︒，DCE DEC90⊥，EM BC∴∠+∠=︒，AEM DEC90∴∠=∠，AEM DCE∴∠=∠；ANE DCE（2）AC与NE互相垂直，EAC AEN∴∠+∠=︒，90BAC∠=︒，90∴∠+∠=︒，90ANE AENANE EAC ∴∠=∠，由（1）得ANE DCE ∠=∠，DCE EAC ∴∠=∠，tan tan DCE DAC ∴∠=∠， ∴DE DC DC AD=， 6DC AB ==，8AD =，92DE ∴=， 97822AE ∴=-=， 由（1）得AEM DCE ∠=∠，tan tan AEM DCE ∴∠=∠， ∴AM DE AE DC=， 218AM ∴=， AM AE AE AN=， 143AN ∴=， 4924MN ∴=； 相似通解通法·第二种情况利用面积法或者利用旗帜模型解决问题（3）NME MAE AEM∠=∠+∠，AEC D DCE∠=∠+∠，又90MAE D∠=∠=︒，由（1）得AEM DCE∠=∠，AEC NME∴∠=∠，当AEC∆与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①ENM EAC∠=∠，如图2，ANE EAC∴∠=∠，由（2）得：92 DE=；②ENM ECA∠=∠，如图3，过点E作EH AC⊥，垂足为点H，由（1）得ANE DCE∠=∠，ECA DCE∴∠=∠，HE DE∴=，又6 tan8HE DCHAEAH AD∠===，设3DE x=，则3HE x=，4AH x=，5AE x=，又AE DE AD+=，538x x∴+=，解得1x=，33DE x∴==，综上所述，DE的长分别为92或3．【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．6. 如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，AD BC ⊥，垂足为D ，点P 是边AB 上的一个动点，过点P 作//PF AC 交线段BD 于点F ，作PG AB ⊥交AD 于点E ，交线段CD 于点G ，设BP x =．（1）用含x 的代数式表示线段DG 的长；（2）设DEF ∆的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）PEF ∆能否为直角三角形？如果能，求出BP 的长；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得3BD =，通过证明ABD GBP ∆∆∽，可得5533BG BP x ==，即可得DG 的长度； （2）根据相似三角形的性质可得635FD BD BF x =-=-，5944DE x =-，根据三角形面积公式可求y 与x 之间的函数关系式；（3）分EF PG ⊥，EF PF ⊥两种情况讨论，根据相似三角形的性质可求BP 的长． 模型：8字形【解答】解：（1）5AB AC ==，6BC =，AD BC ⊥，3BD CD ∴==， 在Rt ABD ∆中，224AD AB BD =-，B B ∠=∠，90ADB BPG ∠=∠=︒，ABD GBP ∴∆∆∽ ∴35BD BP AB BG == 5533BG BP x ∴==， 533DG BG BD x ∴=-=- DE 已经表示出来了，那就只剩下DF ，△BPF 是含参定三角形，所以每条边都可以表示出来（2）//PF ACBFP BCA ∴∆∆∽ ∴BF BP BC AB= 即56x BF = 65BF x ∴=， 635FD BD BF x ∴=-=-， DGE DEG DGE ABD ∠+∠=∠+∠，ABD DEG ∴∠=∠，90ADG ADB ∠=∠=︒DEG DBA ∴∆∆∽ ∴BD DE AD DG= ∴35433DE x =- 5944DE x ∴=- 2116593129(3)()22544440DEF S y DF DE x x x x ∆∴==⨯⨯=⨯-⨯-=-+需要注意定义域，临界情况一，F 和D 重合；临界请客二，D 和G 重合方法一：直接勾股定理，△PEF 的三边都是可以表示出来的方法二：利用几何性质解题方法三：相似，射影定理，比例线段 （3）若EF PG ⊥时，EF PG ⊥，ED FG ⊥，90FED DEG ∴∠+∠=︒，90FED EFD ∠+∠=︒，EFD DEG ∴∠=∠，且EDF EDG ∠=∠，EFD GDE ∴∆∆∽∴ED DF DG ED= 2ED FD DG ∴=⨯25965()(3)(3)4453x x x ∴-=-- 2557113822550x x ∴⨯-+⨯=95x ∴=（不合题意舍去），12557x = 若EF PF ⊥，90PFB EFD ∴∠+∠=︒，且PFB ACB ∠=∠，90ACB DAC ∠+∠=︒EFD DAC ∴∠=∠，且90EDF ADC ∠=∠=︒，EDF CDA ∴∆∆∽ ∴ED CD DF AD= ∴593446435x x -=- 9043x ∴= 综上所述：当BP 为12557或9043时，PEF ∆为直角三角形． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形判定和性质，以及分类讨论思想，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．7.在ABC∆中，90ACB∠=︒，3BC=，4AC=，点O是AB的中点，点D是边AC上一点，DE BD⊥，交BC的延长线于点E，OD DF⊥，交BC边于点F，过点E作EG AB⊥，垂足为点G，EG分别交BD、DF、DC于点M、N、H．（1）求证：DE NE DB OB=；（2）设CD x=，NE y=，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当DEF∆是以DE为腰的等腰三角形时，求线段CD的长．【分析】（1）只要证明OBD NED∆∆∽，即可解决问题．（2）由tanDC DEDBCBC BD∠==，又因为DE NEDB OB=，可得CD NEBC OB=，由此即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．通过比例推测△OBD和△NED相似，所以只需要证明相似鸡爪模型和8字形得角等【解答】（1）证明：如图1中，OD DF⊥，BD DE⊥，90ODF BDE∴∠=∠=︒，ODB NDE∴∠=∠，EG AB ⊥，90BGM MDE ∴∠=∠=︒， BMG EMD ∠=∠， OBD DEN ∴∠=∠， OBD NED ∴∆∆∽，（2）解：如图1中，90BCD BDE ∠=∠=︒，tan DC DE DBC BC BD ∴∠==， DE NE DB OB=，在Rt ABC ∆中，5AB ===， 2.5OB OA ∴==， ∴3 2.5x y =，。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是 （ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【答案】D【解析】根据方差反映数据的波动情况即可解答.【详解】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．故选D ．【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 2．若0＜m ＜2，则关于x 的一元二次方程﹣（x+m ）（x+3m ）＝3mx+37根的情况是（ ） A ．无实数根B ．有两个正根C ．有两个根，且都大于﹣3mD ．有两个根，其中一根大于﹣m【答案】A【解析】先整理为一般形式，用含m 的式子表示出根的判别式△，再结合已知条件判断△的取值范围即可.【详解】方程整理为22x 7mx 3m 370+++=，△()()22249m 43m 3737m 4=-+=-，∵0m 2<<，∴2m 40-<，∴△0<，∴方程没有实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D．4．如图，正六边形ABCDEF内接于O，M为EF的中点，连接DM，若O的半径为2，则MD的长度为()A7B5C．2 D．1【答案】A【解析】连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．【详解】连接OM、OD、OF，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，∴OM=OF•sin∠MFO=2×33，2∴()2222+=+=327OM OD故选A．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM 是解决问题的关键．5．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k>－14 B ．k>－14且0k ≠ C ．k<－14 D ．k ≥－14且0k ≠ 【答案】B【解析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有两个实数根下必须满足△=b 2-4ac≥1．【详解】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b 2-4ac=（2k+1）2-4k 2=4k+1＞1． 因此可求得k ＞14-且k≠1． 故选B ．【点睛】本题考查根据根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键.6．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）A ．摸出的是3个白球B ．摸出的是3个黑球C ．摸出的是2个白球、1个黑球D ．摸出的是2个黑球、1个白球 【答案】A【解析】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.7．如图，数轴上的,,A B C 三点所表示的数分别为a b c 、、，其中AB BC =，如果||||||a c b >>那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点C 的右边 【答案】C【解析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A 、B 、C 到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．【详解】∵|a|＞|c|＞|b|，∴点A 到原点的距离最大，点C 其次，点B 最小，又∵AB=BC ，∴原点O 的位置是在点B 、C 之间且靠近点B 的地方．故选：C ．【点睛】此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．8．关于x 的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是A ．32b -≤<-B ．32b -<≤-C ．32b -≤≤-D ．-3<b<-2【答案】A【解析】根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1和-2，再结合不等式计算即可.【详解】根据x 的不等式x-b>0恰有两个负整数解，可得x 的负整数解为-1和-2 0x b ->x b ∴>综合上述可得32b -≤<-故选A.【点睛】本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定.9．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则△PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据题意表示出△PBQ 的面积S 与t 的关系式，进而得出答案．【详解】由题意可得：PB ＝3﹣t ，BQ ＝2t ，则△PBQ的面积S＝12PB•BQ＝12（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t，故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．故选C．【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．10．某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( )A．1000(1+x)2=1000+500B．1000(1+x)2=500C．500(1+x)2=1000D．1000(1+2x)=1000+500【答案】A【解析】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x，5月份投放科研经费为1000（1+x），6月份投放科研经费为1000（1+x）（1+x），即可得答案.【详解】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x，则6月份投放科研经费1000（1+x）2=1000+500，故选A.【点睛】考查一元二次方程的应用，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．二、填空题（本题包括8个小题）11．在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同．小明发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是________．【答案】20【解析】先设出白球的个数，根据白球的频率求出白球的个数，再用总的个数减去白球的个数即可．【详解】设黄球的个数为x个，∵共有黄色、白色的乒乓球50个，黄球的频率稳定在60%，∴x50＝60%，解得x＝30，∴布袋中白色球的个数很可能是50－30＝20(个).故答案为：20.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.12．一个正多边形的每个内角等于150，则它的边数是____．【答案】十二【解析】首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．【详解】∵一个正多边形的每个内角为150°，∴它的外角为30°，360°÷30°＝12，故答案为十二．【点睛】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．13．将三角形纸片（ABC ∆）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知3AB AC ==，4BC =，若以点'B ，F ，C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则BF 的长度是______.【答案】127或2 【解析】由折叠性质可知B’F=BF ，△B’FC 与△ABC 相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B’F=BF=x ，列出比例式方程解方程即可得到结果.【详解】由折叠性质可知B’F=BF ，设B’F=BF=x ，故CF=4-x当△B’FC ∽△ABC ，有'B F CF AB BC =，得到方程434x x -=，解得x=127，故BF=127； 当△FB’C ∽△ABC ，有'B F FC AB AC =，得到方程433x x -=，解得x=2，故BF=2； 综上BF 的长度可以为127或2. 【点睛】本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论.14．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为 （3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________．【答案】（1，0）；（﹣5，﹣2）.【解析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点；另一种是A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点．【详解】∵正方形ABCD 和正方形OEFG 中A 和点F 的坐标分别为（3，2），（-1，-1），∴E （-1，0）、G （0，-1）、D （5，2）、B （3，0）、C （5，0），（1）当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点时，位似中心就是EC 与AG 的交点，设AG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），∴231k b b =+⎧⎨-=⎩，解得11b k =-⎧⎨=⎩． ∴此函数的解析式为y=x-1，与EC 的交点坐标是（1，0）；（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点，设AE 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故此一次函数的解析式为1122y x =+…①， 同理，设CG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），501k b b +=⎧⎨=-⎩，解得151k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故此直线的解析式为115y x =-…② 联立①②得1122115y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得52x y =-⎧⎨=-⎩，故AE 与CG 的交点坐标是（-5，-2）．故答案为：（1，0）、（-5，-2）．15．观察下列图形：它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第n 个图形共有___个★.【答案】13n +【解析】分别求出第1个、第2个、第3个、第4个图形中★的个数，得到第5个图形中★的个数，进而找到规律，得出第n 个图形中★的个数，即可求解．【详解】第1个图形中有1+3×1=4个★，第2个图形中有1+3×2=7个★，第3个图形中有1+3×3=10个★，第4个图形中有1+3×4=13个★，第5个图形中有1+3×5=16个★，…第n 个图形中有1+3×n=（3n+1）个★．故答案是：1+3n.【点睛】考查了规律型：图形的变化类；根据图形中变化的量和n 的关系与不变的量得到图形中★的个数与n 的关系是解决本题的关键．16．如图，正△ABC 的边长为 2，顶点 B 、C 在半径为2 的圆上，顶点 A 在圆内，将正△ABC 绕点 B 逆时针旋转，当点 A 第一次落在圆上时，则点 C 运动的路线长为 （结果保留π）；若 A 点落在圆上记做第 1 次旋转，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转，当点 C 第一次落在圆上记做第 2 次旋转，再绕 C 将△ABC 逆时针旋转，当点 B 第一次落在圆上，记做第 3 次旋转……，若此旋转下去，当△ABC 完成第 2017 次旋转时，BC 边共回到原来位置 次．【答案】3π，1. 【解析】首先连接OA′、OB 、OC ，再求出∠C′BC 的大小，进而利用弧长公式问题即可解决．因为△ABC 是三边在正方形CBA′C″上，BC 边每12次回到原来位置，2017÷12=1.08，推出当△ABC 完成第2017次旋转时，BC 边共回到原来位置1次.【详解】如图，连接OA′、OB 、OC ．∵OB=OC=2，BC=2，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°；同理可证：∠OBA′=45°，∴∠A′BC=90°；∵∠ABC=60°，∴∠A′BA=90°-60°=30°，∴∠C′BC=∠A′BA=30°，∴当点A 第一次落在圆上时，则点C 运动的路线长为：30?21803ππ=． ∵△ABC 是三边在正方形CBA′C″上，BC 边每12次回到原来位置，2017÷12=1.08，∴当△ABC 完成第2017次旋转时，BC 边共回到原来位置1次，故答案为：3π，1． 【点睛】本题考查轨迹、等边三角形的性质、旋转变换、规律问题等知识，解题的关键是循环利用数形结合的思想解决问题，循环从特殊到一般的探究方法，所以中考填空题中的压轴题．17．如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 ▲ （结果保留π）．【答案】133π-【解析】过D 点作DF ⊥AB 于点F ．∵AD=1，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB ﹣AE=1．∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD 的面积－扇形ADE 面积－三角形CBE 的面积 =2302114121336023ππ⨯⨯⨯--⨯⨯=-. 故答案为：133π-.18．已知圆锥的底面半径为40cm ， 母线长为90cm ， 则它的侧面展开图的圆心角为_______．【答案】160︒．【解析】圆锥的底面半径为40cm ，则底面圆的周长是80πcm ，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm ，母线长为90cm 即侧面展开图的扇形的半径长是90cm ．根据弧长公式即可计算．【详解】根据弧长的公式l=180n r π得到： 80π=•90180n π， 解得n=160度．侧面展开图的圆心角为160度． 故答案为160°．三、解答题（本题包括8个小题）19．某超市对今年“元旦”期间销售A 、B 、C 三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：该超市“元旦”期间共销售 个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是 度；补全条形统计图；如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B 种品牌的绿色鸡蛋的个数？【答案】（1）2400，60；（2）见解析；（3）500【解析】整体分析：（1）由C 品牌1200个占总数的50%可得鸡蛋的数量，用A 品牌占总数的百分比乘以360°即可；（2）计算出B 品牌的数量；（3）用B 品牌与总数的比乘以1500.解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%=2400个，A 品牌所占的圆心角：4002400×360°=60°；故答案为2400，60；（2）B品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200=800个，补全统计图如图：（3）分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋为：8002400×1500=500个．20．计算：（﹣1）2018+（﹣12）﹣2﹣|2﹣12|+4sin60°；【答案】1.【解析】分析：本题涉及乘方、负指数幂、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．详解：原式=1+4-（23-2）+4×32，=1+4-23+2+23，=1．点睛：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．21．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°画出旋转之后的△AB′C′；求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．【答案】.（1）见解析（2）【解析】（1）根据网格结构找出点B、C旋转后的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可.（2）先求出AC的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解.【详解】解：（1）△AB′C′如图所示：（2）由图可知，AC=2，∴线段AC 旋转过程中扫过的扇形的面积2902360ππ⋅⋅==. 22．先化简2211a a a a⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后从22a -≤<中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值． 【答案】-1【解析】先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a 的取值范围.【详解】解：2211a a a a⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ (1)(1)12a a a a a ---=•- 1(1)12a a a a a -+-=•- 2a =， 当2a =-时，原式212-==-． 【点睛】 本题考查的是代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键.23．据某省商务厅最新消息，2018年第一季度该省企业对“一带一路”沿线国家的投资额为10亿美元，第三季度的投资额增加到了14.4亿美元．求该省第二、三季度投资额的平均增长率．【答案】第二、三季度的平均增长率为20%．【解析】设增长率为x ，则第二季度的投资额为10（1+x ）万元，第三季度的投资额为10（1+x ）2万元，由第三季度投资额为10（1+x ）2＝14.4万元建立方程求出其解即可．【详解】设该省第二、三季度投资额的平均增长率为x ，由题意，得：10（1+x ）2＝14.4，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2（舍去）．答：第二、三季度的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据第三季度投资额为10（1+x ）2＝14.4建立方程是关键．24．如图所示，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：△ACE ≌△BCD ；若AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】（1）先根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，再结合等腰直角三角形的性质即可证得结论；（2）根据全等三角形的性质可得AE=BD，∠EAC=∠B=45°，即可证得△AED是直角三角形，再利用勾股定理即可求出DE的长．【详解】（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA∴∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴∠BAC=∠B=45°∵△ACE≌△BCD∴AE=BD=12，∠EAC=∠B=45°∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，∴△EAD是直角三角形222212513DE AE AD∴=+=+=【点睛】解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.25．已知关于的方程mx2+（2m-1）x+m-1=0（m≠0）. 求证：方程总有两个不相等的实数根；若方程的两个实数根都是整数，求整数的值.【答案】（1）证明见解析（2）m=1或m=-1【解析】试题分析：（1）由于m≠0，则计算判别式的值得到1=，从而可判断方程总有两个不相等的实数根；（2）先利用求根公式得到1211,1x xm=-=-，然后利用有理数的整除性确定整数m的值．试题解析：(1)证明：∵m≠0，∴方程为一元二次方程，2(21)4(1)10m m m=---=>，∴此方程总有两个不相等的实数根；(2)∵(21)12mxm--±=，1211,1x xm∴=-=-，∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数，∴m=1或m=−1.26．已知：如图，一次函数y kx b =+与反比例函数3y x=的图象有两个交点(1,)A m 和B ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ；过点B 作BC y ⊥轴，垂足为点C ，且2BC =，连接CD .求m ，k ，b 的值；求四边形ABCD 的面积.【答案】（1）3m =，32k ，32b =.（2）6 【解析】（1）用代入法可求解，用待定系数法求解；（2）延长AD ，BC 交于点E ，则90E ∠=︒.根据ABE CDE ABCD S S S ∆∆=-四边形求解.【详解】解：（1）∵点(1,)A m 在3y x=上， ∴3m =，∵点B 在3y x =上，且2BC =， ∴3(2,)2B --.∵y kx b =+过A ，B 两点， ∴3322k b k b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩， 解得3232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴3m =，32k ，32b =. （2）如图，延长AD ，BC 交于点E ，则90E ∠=︒.∵BC y ⊥轴，AD x ⊥轴，∴(1,0)D ，3(0,)2C -，∴92AE =，3BE =， ∴ABE CDE ABCD S S S ∆∆=-四边形1122AE BE CE DE =⋅⋅-⋅⋅191331=⨯⨯-⨯⨯2222=.6∴四边形ABCD的面积为6.【点睛】考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是9B ．众数为16C ．平均分为7.78D ．方差为2【答案】A 【解析】根据中位数，众数，平均数，方差等知识即可判断；【详解】观察图象可知，共有50个学生，从低到高排列后，中位数是25位与26位的平均数，即为1． 故选A ．【点睛】本题考查中位数，众数，平均数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．a b 0+>B ．ab<0C ．a>bD ．b a 0->【答案】C【解析】根据各点在数轴上位置即可得出结论．【详解】由图可知，b<a<0，A. ∵b<a<0，∴a+b<0，故本选项错误；B. ∵b<a<0，∴ab>0，故本选项错误；C. ∵b<a<0，∴a>b ，故本选项正确；D. ∵b<a<0，∴b−a<0，故本选项错误.故选C.3．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。

2019年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜12．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝4．（4分）已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反5．（4分）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．86．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果＝，那么的值是．8．（4分）化简：3（）﹣2（）＝．9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于．10．（4分）将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是．11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于．12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于．13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．14．（4分）正八边形的中心角为度．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于．16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于．17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1y2（填“＜”、“＝”或“＞”）18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝，＝（用向量、表示）21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．2019年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜1【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a﹣1＜0，∴a＜1，故选：D．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x【分析】根据y轴上点的坐标特征，分别计算出x＝0时四个函数对应的函数值，然后根据函数值是否为1来判断图象能否与y轴交于点A（0，1）．【解答】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；当x＝0时，y＝3x2+1＝1；当x＝0时，y＝3（x+1）2＝9；当x＝0时，y ＝3x2﹣x＝0，所以抛物线y＝3x2+1与y轴交于点（0，1）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；C、当＝时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；D、当＝时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．4．（4分）已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反【分析】根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．【解答】解：A、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；B、因为＝2，＝﹣2，所以||＝||＝|2|，故选项说法正确；C、因为＝2，＝﹣2，所以∥，则•＝0，故本选项说法错误；D、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；故选：C．【点评】考查了向量，向量是既有方向又有大小的．5．（4分）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．8【分析】根据两圆位置关系是内切，则圆心距＝两圆半径之差，以及外切时，r+R＝d，分别求出即可．【解答】解：∵两圆相内切，设小圆半径为x，圆心距为2，∴3﹣x＝2，∴x＝1，∴小圆半径为1，这两圆外切时，圆心距为：1+3＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差，外切时，r+R ＝d．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AG并延长，交BC于F，依据DE∥BC，且DE经过重心G，即可得到△ADE∽△ABC，且相似比为2：3，依据相似三角形的性质，即可得到正确结论．【解答】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于F，∵DE∥BC，且DE经过重心G，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故①正确；∴＝，故③正确；∵DG∥BF，∴＝＝，故②错误；∵△ADE∽△ABC，＝，∴＝，∴＝，故④正确；故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形重心的性质的运用，解决问题的关键是知道相似三角形的对应边对应成比例．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果＝，那么的值是．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴设x＝7a，则y＝2a，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8．（4分）化简：3（）﹣2（）＝．【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．【解答】解：3（）﹣2（）＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（+2）＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于1．【分析】把原点坐标代入抛物线解析式即可得到对应m的值．【解答】解：把（0，0）代入y＝2x2+x+m﹣1得m﹣1＝0，解得m＝1，故答案为1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．10．（4分）将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是（x+1）2﹣1．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x+3）2﹣4向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝（x+3﹣2）2﹣4＝（x+1）2﹣4；再向上平移3个单位为：y＝（x+1）2﹣4+3，即y＝（x+1）2﹣1．故答案是：y＝（x+1）2﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于﹣4．【分析】由对称轴公式可得到关于b的方程，可求得答案．【解答】解：∵y＝2x2+bx﹣1，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣，∴﹣＝1，解得b＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣．12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于24．【分析】由于△A′B′C′∽△ABC，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△A′B′C′的最大边的长．【解答】解：设△A′B′C′的最大边长是x，根据相似三角形的对应边的比相等，可得：＝，解得：x＝24，∴△A′B′C′最大边的长等于24．故答案为：24．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．【分析】我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．代入数据直接计算得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，∴∠A的正弦值sin A＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．（4分）正八边形的中心角为45度．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于2．【分析】根据垂直的定义得到∠ABD＝∠C，根据正切的定义得到BD＝CD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∵BD⊥DC，∴∠C+∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴tan C＝＝，∴BD＝CD，由勾股定理得，BD2+CD2＝BC2，即（CD）2+CD2＝52，解得，CD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义是解题的关键．16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于15．【分析】由△ABE∽△DCE，推出＝＝，可得＝，再证明△BEF∽△BCD，可得＝＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝＝，∵EF＝6，∴CD＝15，故答案为15．【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1＜y2（填“＜”、“＝”或“＞”）【分析】由于二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象的开口向上，然后根据点A和点B离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0），∴抛物线开口向上，∵点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，∴y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．【分析】过A作AH⊥BC于H，依据等腰三角形的性质即可得到BH＝6＝CH，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E ＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，依据△AFC∽△DFE，即可得到＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF ＝8﹣x，DF＝AF＝2﹣x，依据BD+DF+CF＝BC，可得x的值，进而得出EF的长．【解答】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝8，cos B＝，∴BH＝6＝CH，BC＝12，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，又∵∠AFC＝∠DFE，∴△AFC∽△DFE，∴＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF＝8﹣x，∴DF＝AF＝2﹣x，∵BD+DF+CF＝BC，∴2+2﹣x+4x＝12，解得x＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例，列方程求解．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝4×+（）2﹣＝2+﹣2（+）＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝+，＝﹣﹣（用向量、表示）【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则计算即可；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴＝＝3，∴＝3，∴EC：BC＝2：3．（2）∵＝，AC＝2AO，∴＝2，∵＝+＝+2，EC＝BC，∴＝+，∵AD∥BE，∴＝＝，∴BG＝BD，∵＝+＝+＝++2＝2+2，∴＝（2+2）＝+，∴＝﹣﹣故答案为+，﹣﹣．【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．【分析】（1）连接O1A，根据垂径定理得到O1E⊥AD，根据相交两圆的性质得到O1C⊥AB，证明Rt△O1EA≌Rt△O1CA，根据全等三角形的性质证明结论；（2）设⊙O2的半径长为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】（1）证明：连接O1A，∵点E为AD的中点，∴O1E⊥AD，∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，∴O1C⊥AB，在Rt△O1EA和Rt△O1CA中，，∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL）∴O1E＝O1C；（2）解：设⊙O2的半径长为r，∵O1E＝O1C＝6，∴O2C＝10﹣6＝4，在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8，则AC＝AE＝8﹣r，在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42，解得，r＝5，即⊙O2的半径长为5．【点评】本题考查的是相交两圆的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理的应用，掌握相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦是解题的关键．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）【分析】延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，根据勾股定理得到EH＝5，DH ＝12根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，∴设EH＝5x，DH＝12x，∵EH2+DH2＝DE2，∴（5x）2+（12x）2＝132，∴x＝1，∴EH＝5，DH＝12，∵EB∥DC，∴∠ABE＝∠AGH＝90°，∵∠AEB＝45°，∴AB＝BE，∴HG＝AB，∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，∵∠F＝31°，∴tan F＝tan31°＝＝＝0.6，∴AB＝13米，答：铁塔AB的高度是13米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．【分析】（1）由AE2＝AF•AB，推出△AEF∽△ABE，推出∠AEF＝∠B，再证明∠DAE＝∠BAC，即可解决问题；（2）由△ADE∽△ACB，推出＝，∠D＝∠C，再证明△ADF∽△ACE，可得＝，由此即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AE2＝AF•AB，∴＝，∵∠EAF＝∠BAE，∴△AEF∽△ABE，∴∠AEF＝∠B，∵∠DAF＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB．（2）∵△ADE∽△ACB，∴＝，∠D＝∠C，∵∠DAF＝∠EAC，∴△ADF∽△ACE，∴＝，∴＝，∴＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，利用∠LED＝∠OBE，即可求解；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F．确定直线BH′的表达式，即可求解．【解答】解：（1）OB＝3OA＝3，则点B的坐标为（3，0），点A（﹣1，0），则函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①函数对称轴为x＝﹣＝1，则点D的坐标为（1，﹣4）；（2）如图，过点D作DL⊥y轴，交于点L，设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，∵∠LED+∠OEB＝90°，∠OEB+∠OBE＝90°，∴∠LED＝∠OBE，∴tan∠LED＝tan∠OBE，即：＝，＝，解得：m＝1或3（舍去x＝3），则点E的坐标为（0，﹣1）；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B，顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F，∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，则∠FBD＝135°，BC′⊥x轴，则点C′（3，3），∠H′C′B＝∠HCB＝180°﹣45°＝135°，tan∠ABD＝＝＝2，OH＝OB•tan∠ABD＝2×3＝6，则：HC＝6﹣3＝3＝H′C′，过点C′作C′G⊥GH′交于点G，在△BGH′中，GC′＝H′C′cos45°＝＝GH′，则点H′的坐标为（3﹣，），将点H′、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，则直线BH′的表达式为：y＝﹣3x+9…②，联立①②并解得：x＝3或﹣4（x＝3舍去），故点F的坐标为（﹣4，21）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形旋转等知识，其中（3）用图形旋转的方法，确定旋转后图形的位置时本题的难点．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．【分析】（1）如图①中，作CH⊥AB于H．证明△ACH∽△CBH，可得＝，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，根据AC2＝AH2+CH2，构建方程即可解决问题．（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．利用相似三角形的性质证明＝，即可解决问题．【解答】解：（1）如图①中，作CH⊥AB于H．∵CH⊥AB，∴∠AHC＝∠BHC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠BCH＝90°，∵∠ACH+∠A＝90°，∴∠BCH＝∠A，∴△ACH∽△CBH，∴＝，∵OC＝2，∠COH＝60°，∴∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝1，CH＝，∴＝，整理得：2a2﹣a﹣4＝0，解得a＝或（舍弃）．经检验a＝是分式方程的解．∴a＝．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴（3a）2＝（x）2+（2a+x）2，整理得：x2+ax﹣5a2＝0，解得x＝（﹣1）a或（﹣﹣1）a（舍弃），∴OC＝（﹣1）a，（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．∵∠AOC＝∠∠AOQ+∠QOC＝∠ABC+∠OCB，∠QOC＝∠ABC，∴∠AOQ＝∠KCO，∵AQ∥BK，∴∠Q＝∠K，∴△QOA∽△KCO，∴＝，∴＝，∵∠K＝∠K，∠KOB＝∠AOQ＝∠KCO，∴△KOB∽△KCO，∴＝，∴＝＝＝【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2019年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题（每题4分，满分24分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin A＝D．cot A＝2．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°3．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2x2﹣34．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．c＞0D．abc＞05．已知：点C在线段AB上，且AC＝2BC，那么下列等式正确的是（）A．＝B．﹣2＝C．||＝||D．||＝||6．已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：x：y＝2：5，那么（x+y）：y＝．8．化简：（）＝．9．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是．10．已知二次函数y＝﹣3，如果x＞0，那么函数值y随着自变量x的增大而（填“增大”或“减小”）．11．已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段AP＝厘米．（结果保留根号）12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．如果＝，DE＝6，那么BC＝．13．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A＝，那么BC＝．15．某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为米．16．在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是（只需填写一个正确的答案）．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D、E分别在边AB上，且AD＝2，∠DCE＝45°，那么DE＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD 沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE＝2AE．设＝，＝．（1）填空：向量＝；（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量＝，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量，的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交边AC于E．过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）如果＝，求线段EF的长；（2）求∠CFE的正弦值．22．（10分）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，≈1.4142．23．（12分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠P AO＝∠BAO，求点P的坐标．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC＝．E 为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，＝y．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果＝，求线段CE的长．参考答案一、选择1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin A＝D．cot A＝【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴tan B＝，故A选项成立；cos B＝，故B选项成立；sin A＝，故C选项成立；cot A＝，故D选项不成立；故选：D．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．2．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°【分析】根据题意画出图形，进而分析得出从乙船看甲船的方向．【解答】解：∵从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的北偏西30°方向．故选：B．【点评】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键．描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．3．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2x2﹣3【分析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”．【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，得以新的抛物线的表达式是，y＝2（x﹣2+1）2﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，由y＝ax2平移得到y＝a（x﹣h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．c＞0D．abc＞0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：（A）由图象的开口方向可知：a＜0，故A正确；（B）由对称轴可知：x＝＜0，∴b＜0，故B错误；（C）由图象可知：c＞0，故C正确；（D）∵a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故D正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．5．已知：点C在线段AB上，且AC＝2BC，那么下列等式正确的是（）A．＝B．﹣2＝C．||＝||D．||＝||【分析】由已知点C在线段AB上，AC＝2BC，故可以知道C点是线段AB的一个三等分点，且靠近B点，所以有BC＝AB．【解答】解：∵AC＝2BC，∴BC＝AB，AC＝AB，∴AC+2BC＝AB，AC﹣2BC＝0，AC+BC＝AB，AC﹣BC＝BC，∴＝，﹣2＝4，||＝||，||＝3||．故选项ABD等式不成立，选项C等式正确．故选：C．【点评】考查了平面向量，掌握平面向量的定义和线段间的数量关系是解题的关键，难度不大．6．已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得A正确．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴＝，＝，∴＝．故选：A．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意根据题意作图，利用数形结合思想求解．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：x：y＝2：5，那么（x+y）：y＝7：5．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵x：y＝2：5，∴设x＝2a，则y＝5a，那么（x+y）：y＝7：5．故答案为：7：5．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8．化简：（）＝．【分析】实数的运算法则同样适用于本题．【解答】解：（）＝﹣＝（﹣+）+（1﹣）＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量的知识，实数的加减运算法则同样适用于平面向量的加减计算．9．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．【分析】若求抛物线与y轴的交点坐标，只需令x＝0求得y值即可．【解答】解：令x＝0，y＝2，则抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，若求与坐标轴的交点，只需令x＝0或y＝0即可．10．已知二次函数y＝﹣3，如果x＞0，那么函数值y随着自变量x的增大而减小（填“增大”或“减小”）．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3，∴该函数的开口向下，顶点坐标为（0，﹣3），∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段AP＝2﹣2厘米．（结果保留根号）【分析】根据黄金比值为计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝2﹣2，故答案为：2﹣2．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．如果＝，DE＝6，那么BC＝10．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，进而分析得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，解得：BC＝10．故答案为10．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．13．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为4：9．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个相似三角形的面积比为4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A＝，那么BC＝2．【分析】依据Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，可设BC＝a，AC＝3a，再根据勾股定理列方程求解，即可得到BC的长．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∴可设BC＝a，AC＝3a，∵BC2+AC2＝AB2，∴a2+（3a）2＝（2）2，解得a＝2，∴BC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．15．某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为2米．【分析】已知斜坡的坡比就是告诉了两直角边的关系，设最高点离地面的高度为x，由勾股定理建立方程，解方程即可．【解答】解：由已知得斜坡垂直高度与水平宽度之比为1：2.4．设斜坡上最高点离地面的高度（即垂直高度）为x米，则水平宽度为2.4x米，由勾股定理得x2+（2.4x）2＝5.22，解之得x＝2（负值舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．16．在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是∠B＝∠E（答案不唯一）（只需填写一个正确的答案）．【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，需要添加的条件是∠B＝∠E（答案不唯一），故答案为：∠B＝∠E．【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D、E分别在边AB上，且AD＝2，∠DCE＝45°，那么DE＝．【分析】将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，由旋转的性质可得AF ＝BE，CF＝BC，∠F AC＝∠ABC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，即可证△FCD≌△ECD，可得DE＝DF，根据勾股定理可求DE的长度．【解答】解：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝8，∠CAB＝∠ABC，∵AD＝2，∴BD＝6＝DE+BE，∵将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF∴△AFC≌△BEC∴AF＝BE，CF＝BC，∠F AC＝∠A BC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，∴∠F AD＝90°∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝45°，∴∠ACD+∠FCA＝45°＝∠DCE，且CF＝BC，CD＝CD，∴△FCD≌△ECD（SAS）∴DE＝DF，在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，∴DE2＝4+（6﹣DE）2，∴DE＝故答案为【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD 沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝．【分析】过D作DG⊥BC于G，依据折叠的性质即可得到CD垂直平分BE，再根据AE ∥CD，得出CD＝BD＝2.5，进而得到BG＝1.5，再根据BC×DG＝CD×BF，即可得到BF的长，即可得出BE的长．【解答】解：如图所示，过D作DG⊥BC于G，由折叠可得，CD垂直平分BE，∴当CD∥AE时，∠AEB＝∠DFB＝90°，∴∠DEB+∠DEA＝90°，∠DBE+∠DAE＝90°，∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE，∴AD＝BD，∴D是AB的中点，∴Rt△ABC中，CD＝BD＝2.5，∵DG⊥BC，∴BG＝1.5，∴Rt△BDG中，DG＝2，∵BC×DG＝CD×BF，∴BF＝＝，∴BE＝2BF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标和对称轴【解答】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3），∴，解得，∴所求函数的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x＝3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE＝2AE．设＝，＝．（1）填空：向量＝﹣+；（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量＝+，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量，的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【分析】（1）根据三角形法则计算即可．（2）根据三角形法则以及平行四边形法则解决问题即可．【解答】解：（1）∵＝，BE＝2AE，∴＝，∵＝+＝﹣+．故答案为﹣+．（2）∵＝+＝+，AF＝AC，∴＝+，∵＝+＝﹣++＝+．向量在向量和方向上的分向量分别为：，（如图所示）故答案为＝+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量的三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交边AC于E．过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）如果＝，求线段EF的长；（2）求∠CFE的正弦值．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到＝＝，求得DE＝2，推出四边形BCFD 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DF＝BC＝6，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到∠B＝∠F，根据勾股定理得到AB＝＝＝10，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，又∵BC＝6，∴DE＝2，∵DF∥BC，CF∥AB，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF＝BC＝6，∴EF＝DF﹣DE＝4；（2）∵四边形BCFD是平行四边形，∴∠B＝∠F，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，利用勾股定理，得AB＝＝＝10，∴sin B＝＝＝，∴sin∠CFE＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（10分）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，≈1.4142．【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为点H，设AB＝x，则AH＝x﹣3，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，由题意，得HB＝CD＝3，EC＝15，HD＝BC，∠ABC＝∠AHD＝90°，∠ADH＝32°，设AB＝x，则AH＝x﹣3，在Rt△ABE中，由∠AEB＝45°，得tan∠AEB＝tan45°＝．∴EB＝AB＝x．∴HD＝BC＝BE+EC＝x+15，在Rt△AHD中，由∠AHD＝90°，得tan∠ADH＝，即得tan32°＝，解得：x＝≈32.99∴塔高AB约为32.99米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．【分析】（1）利用两边成比例夹角相等两个三角形相似即可证明；（2）由△EDF∽△ADC，推出＝（）2＝，推出＝，即ED＝AD，由此即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，∴BE＝ED＝DB，∵EF2＝•BD•EC，∴EF2＝ED•EC，即得＝，又∵∠FED＝∠CEF，∴△EDF∽△EFC．（2）∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，又∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∴∠ADB＝∠FDC，∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，∵△EDF∽△EFC，∴∠EFD＝∠C，∴△EDF∽△ADC，∴＝（）2＝，∴＝，即ED＝AD，又∵ED＝BE＝BD，∴BD＝AD，∴AB＝BD．【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠P AO＝∠BAO，求点P的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，进而可得出点D的坐标，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，由点B，D的坐标可得出CD，BC的长度，结合余切的定义可求出∠BDO的余切值；（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m，在Rt△ABC中，可求出cot∠∠BAC＝2，结合∠P AO＝∠BAO可得出m ﹣2n＝5①，由BC⊥x轴，PQ⊥x轴可得出BC∥PQ，进而可得出4m＝﹣3n②，联立①②可得出点P的坐标．【解答】解：（1）将A（5，0），B（﹣3，4）代入y＝ax2+bx，得：，解得：，∴所求抛物线的表达式为y＝x2﹣x．（2）∵抛物线的表达式为y＝x2﹣x，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴点D的坐标为（，0）．过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．∵点B的坐标为（﹣3，4），点D的坐标为（，0），∴BC＝4，OC＝3，CD＝3+＝，∴cot∠BDO＝＝．（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，如图2所示．则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴cot∠∠BAC＝＝＝2．∵∠P AO＝∠BAO，∴cot∠P AO＝＝＝2，即m﹣2n＝5①．∵BC⊥x轴，PQ⊥x轴，∴∠BCO＝∠PQA＝90°，∴BC∥PQ，∴＝，∴＝，即4m＝﹣3n②．由①、②得：，解得：，∴点P的坐标为（，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、余切的定义、相似三角形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）通过构造直角三角形，求出∠BDO的余切值；（3）利用角的余切值及相似三角形的性质，找出关于m，n的二元一次方程组．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC＝．E 为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，＝y．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果＝，求线段CE的长．【分析】（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N，根据三角函数解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答，进而利用函数解析式解答即可；（3）根据两种情况，利用勾股定理解答即可．【解答】解：（1）分别过点A 、D 作AM ⊥BC 、DN ⊥BC ，垂足为点M 、N ． ∵AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝5，BC ＝15，∴BM ＝，在Rt △ABM 中，∠AMB ＝90°，∴． ∴AB ＝13．（2）∵， ∴．即得 ， ∵∠AFD ＝∠BEC ，∠ADF ＝∠C ．∴△ADF ∽△BCE ．∴，又∵CE ＝x ，FD ＝x ，AB ＝CD ＝13．即得 FC ＝． ∵AD ∥BC ，∴．∴．∴．∴所求函数的解析式为，函数定义域为．（3）在Rt △ABM 中，利用勾股定理，得．∴． ∵，∴S 四边形ABEF ＝80．设S △ADF ＝S ．由△ADF ∽△BCE ，，得 S △AEC ＝9S ．过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ．由题意，本题有两种情况：（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 S 四边形ABCD ﹣S 四边形ABEF ＝8S ＝40．∴S ＝5．∴S △AEC ＝9S ＝45．∴．∴EH ＝6．由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH ∥DN ． ∴．又 CD ＝AB ＝13，∴，（ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 S 四边形ABCD +S 四边形ABEF +S △AEF ＝9S ． ∴8S ＝200．解得 S ＝25．∴S △BEC ＝9S ＝225．∴．解得 EH ＝30．∴． ∴， ∴． 【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及梯形的性质进行解答即可．。

2019年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1.本试卷共25题.2.试卷满分150分，考试时间100分钟。

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。

4.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列运算正确的是（ ）A.3x ＋2x ＝5x 2B.3x －2x ＝xC.3x ·2.x ＝6.xD.3.x ÷2x ＝32 2.如果m ﹥n ，那么下列结论错误的是（A.m ＋2﹥n ＋2B.m －2﹥n －2C.2m ﹥2nD.－2m ﹥－2n3.下列函数中，函数值，随自变量x 的值增大而增大的是（ ） A.3x y = B.3-x y = C.x y 3= D.xy 3-= 4.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图1所示，下列判断正确的是（ ）A.甲的成绩比乙稳定B.甲的最好成绩比乙高；C.甲的成绩的平均数比乙大；D.甲的成绩的中位数比乙大5.下列命题中，假命题是（）A.矩形的对角线相等B.矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C.矩形的对角线互相平分D.矩形对角线交点到四条边的距离相等6.已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙的半径长是（）A.11B. 10C. 9D.8二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.计算：（2a2）2＝。

8.已知f（x）＝x2－1，那么f（－1）＝。

9.如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是＝。

10.如果关于x的方程x2－x＋m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是＝。

11.一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的的点数之和大于4的概率是。

上海初中数学一模-2019年-24题分题合集1. （2019•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点(4,0)B ，点(3,)A m 在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan OAB ∠的值．(3,4)B-，抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求BDO∠的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且PAO BAO∠=∠，求点P的坐标．(4,0)B，且平移后的抛物线与y轴交于点C（如图）．（1）求平移后的抛物线的表达式；∠的正弦值；（2）如果点D在线段CB上，且CD，求CAD（3）点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．4.（2019•静安区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线2(0)=++≠的图象经过点B(4,0)、D(5,3)，设它与x轴的另一个交点为A y ax bx c a（点A在点B的左侧），且ABD∆的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求ADB∠的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当APE∆与ABD∆相似时，求点P的坐标．5. （2019•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点(6,0)A 和点(1,5)B -．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且BOC ∠的正切值是32，求点C 的坐标．6. （2019•嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy （如图）中，抛物线22y ax bx =++经过点(4,0)A 、(2,2)B ，与y 轴的交点为C ．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求AMC ∆的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且45DOE ∠=︒，求点E 的坐标．于点(0,2)C，它的顶点为(1,)D m，且1 tan3COD∠=．（1）求m的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA OB=．若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且45APB∠=︒．求P点的坐标．x 轴交于点(1,0)A -和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标；（3）如果点F 是抛物线上的一点．且135FBD ∠=︒，求点F 的坐标．9.（2019•长宁区一模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点(1,3)B，又与x 轴正半轴相交于点A，45BAO∠=︒，点P是线段AB上的一点，过点P作//PM OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若BMP AOB∠=∠，求点P的坐标；（3）过点M作MC x⊥轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若ANC∆的面积等于PMN∆的面积的2倍，求MNNC的值．10. （2019•崇明区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数26(y ax bx a =++、b都是常数，且0)a <的图象与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ，顶点为点C ．（1）求这个二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）过点B 的直线132y x =-+交抛物线的对称轴于点D ，联结BC ，求CBD ∠的余切值；（3）点P 为抛物线上一个动点，当PBA CBD ∠=∠时，求点P 的坐标．11. （2019•金山区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,6)A ，点(1,3)B ，直线1:(0)l y kx k =≠，直线2:2l y x =--，直线1l 经过抛物线2y x bx c =++的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ．若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为)M ，再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为)N ．（1）求抛物线2y x bx c =++的解析式．（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由．（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当MHF ∆与OAB ∆相似时，求点F 、H 的坐标（直接写出结果）．12. （2019•宝山区一模）如图，已知：二次函数2y x bx =+的图象交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ，一次函数132y x =-的图象交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，OCA ∠的正切值为23． （1）求二次函数的解析式与顶点P 坐标；（2）将二次函数图象向下平移m 个单位，设平移后抛物线顶点为P '，若s ΔABP ′=s ΔBCP ′，求m 的值．13. （2019•徐汇区一模）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线21:(0)C y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S ∆；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果MBF ∆与AOM ∆相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式．14. （2019•黄浦区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴交于(1,0)A -、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，对称轴为直线1x =，交x 轴于点E ，1tan 2BDE ∠=． （1）求抛物线的表达式；（2）若点P 是对称轴上一点，且DCP BDE ∠=∠，求点P 的坐标．15. （2019•浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x b =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线244y ax ax =-+经过点A 和点B ，并与x 轴相交于另一点C ，对称轴与x 轴相交于点D ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：BOD AOB ∆∆∽；（3）如果点P 在线段AB 上，且BCP DBO ∠=∠，求点P 的坐标．16. （2019•松江区一模）如图，抛物线212y x bx c =-++经过点(2,0)A -，点(0,4)B ． （1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果PBO BAO ∠=∠，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作//DE x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果2EO OF =，求m 的值．2019年24分题合集参考答案与试题解析1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点(4,0)B ，点(3,)A m 在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan OAB ∠的值．【分析】（1）把点(0,0)O ，点(4,0)B 分别代入2y x bx c =-++，解之，得到b 和c 的值，即可得到抛物线的表达式，根据抛物线的对称轴b x a=-，代入求值即可， （2）把点(3,)A m 代入24y x x =-+，求出m 的值，得到点A 的坐标，过点B 作BD OA ⊥，交OA 于点D ，过点A 作AE OB ⊥，交OB 于点E ，根据三角形的面积和勾股定理，求出线段BD 和AD 的长，即可得到答案．【解答】解：（1）把点(0,0)O ，点(4,0)B 分别代入2y x bx c =-++得： 01640c b c =⎧⎨-++=⎩， 解得：40b c =⎧⎨=⎩， 即抛物线的表达式为：24y x x =-+，它的对称轴为：422(1)x =-=⨯-， （2）把点(3,)A m 代入24y x x =-+得：23433m =-+⨯=，即点A 的坐标为：(3,3)，过点B 作BD OA ⊥，交OA 于点D ，过点A 作AE OB ⊥，交OB 于点E ，如下图所示，3AE =，3OE =，431BE =-=，OA =，AB =1122OAB S OB AE OA BD ∆=⨯⨯=⨯⨯，OB AE BD OA ⨯===，AD =tan 2BD OAB AD ∠==．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，解题的关键：（1）正确掌握代入法和抛物线的对称轴公式，（2）正确掌握三角形面积公式和勾股定理．2. 已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(5,0)A 、(3,4)B -，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D ．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB 、BD ．求BDO ∠的余切值；（3）如果点P 在线段BO 的延长线上，且PAO BAO ∠=∠，求点P 的坐标．【分析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，进而可得出点D 的坐标，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为点C ，由点B ，D 的坐标可得出CD ，BC 的长度，结合余切的定义可求出BDO ∠的余切值；（3）设点P 的坐标为(,)m n ，过点P 作PQ x ⊥轴，垂足为点Q ，则PQ n =-，OQ m =，5AQ m =-，在Rt ABC ∆中，可求出cot 2BAC ∠∠=，结合PAO BAO ∠=∠可得出25m n -=①，由BC x ⊥轴，PQ x ⊥轴可得出//BC PQ ，进而可得出43m n =-②，联立①②可得出点P 的坐标．【解答】解：（1）将(5,0)A ，(3,4)B -代入2y ax bx =+，得：2550934a b a b +=⎧⎨-=⎩， 解得：1656a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴所求抛物线的表达式为21566y x x =-． （2）抛物线的表达式为21566y x x =-， ∴抛物线的对称轴为直线52x =，∴点D 的坐标为5(2，0)． 过点B 作BC x ⊥轴，垂足为点C ，如图1所示． 点B 的坐标为(3,4)-，点D 的坐标为5(2，0)， 4BC ∴=，3OC =，511322CD =+=，11cot 8CD BDO CB ∴∠==． （3）设点P 的坐标为(,)m n ，过点P 作PQ x ⊥轴，垂足为点Q ，如图2所示． 则PQ n =-，OQ m =，5AQ m =-． 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cot 24AC BAC BC ∴∠∠===．PAO BAO ∠=∠，5cot 2AQ m PAO PQ n -∴∠===-，即25m n -=①． BC x ⊥轴，PQ x ⊥轴， 90BCO PQA ∴∠=∠=︒， //BC PQ ∴，∴BC OC PQ OQ=， ∴43n m=-，即43m n =-②． 由①、②得：2543m n m n -=⎧⎨=-⎩， 解得：15112011m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴点P 的坐标为15(11，20)11-．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、余切的定义、相似三角形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）通过构造直角三角形，求出BDO的余切值；（3）利用角的余切值及相似三角形的性质，找出关于m，n的二元一次方程组．3. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点(1,0)A -、(4,0)B ，且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）．（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD =CAD ∠的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．【分析】（1）根据平移前后a 的值不变，用待定系数法求解即可；（2）求出直线BC 的解析式，确定点D 的坐标，过点D 作DM AC ⊥，过点B 作BN AC ⊥，垂足分别为点M 、N ，运用面积法求出BN ，再根据相似三角形的性质求出DM ，根据直角三角函数求解即可；（3）设点Q 的坐标为2(,34)n n n -++，如果四边形ECPQ 是菱形，则0n >，//PQ y 轴，PQ PC =，点P 的坐标为(,4)n n -+，根据邻边相等列出方程即可求解．【解答】解：（1）设平移后的抛物线的解析式为2y x bx c =-++．将(1,0)A -、(4,0)B ，代入得101640.b c b c --+=⎧⎨-++=⎩解得：34.b c =⎧⎨=⎩所以，234y x x =-++．（2）如图1234y x x =-++，∴点C 的坐标为(0,4)．设直线BC 的解析式为4y kx =+，将(4,0)B ，代入得40kx +=，解得1k =-， 4y x ∴=-+．设点D 的坐标为(,4)m m -．2CD =，222m ∴=，解得1m =或1m =-（舍去）， ∴点D 的坐标为(1,3)．过点D 作DM AC ⊥，过点B 作BN AC ⊥，垂足分别为点M 、N ．1122AC BN AB OC =， ∴1754BN =⨯，∴BN ==． //DM BN ，∴DM CD BN CB =，∴DM BN =，∴DM =．∴sinDM CAD AD ∠==． （3）如图2设点Q 的坐标为2(,34)n n n -++．如果四边形ECPQ 是菱形，则0n >，//PQ y 轴，PQ PC =，点P 的坐标为(,4)n n -+．223444PQ n n n n n =-+++-=-，PC =，∴24n n -，解得4n =0n =（舍)．∴点Q 的坐标为(4-，2)．【点评】此题主要考查二次函数综合问题，会灵活运用待定系数法求抛物线，直线的解析式，会运用面积法，相似三角形性质求相关线段，会根据菱形性质确定顶点坐标是解题的关键．4. 在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点B(4,0)、D (5,3)，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD ∆的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE ∆与ABD ∆相似时，求点P 的坐标．【分析】（1）设(,0)A m ，由ABD ∆的面积是3可求得2m =，再利用待定系数法求解可得；（2）作DF x ⊥轴，BF AD ⊥，由A ，B ，D 坐标知3DF AF ==，据此可求得AD =45DAF ∠=︒，继而可得AE BE ==，DE =，再依据正切函数的定义求解可得；（3）先求出直线AD 解析式为2y x =-，直线BD 解析式为312y x =-，直线CD 解析式为8y x =-+，①ADB APE ∆∆∽时//BD PE ，此条件下求得PE 解析式，连接直线PE 和直线AD 解析式所得方程组，解之求得点P 坐标；②ADB AEP ∆∆∽时ADB AEP ∠=∠，依据1tan tan 2ADB AEP ∠=∠=求解可得． 【解答】解：（1）设(,0)A m ，则4AB m =-，由ABD ∆的面积是3知1(4)332m -⨯=， 解得2m =，(2,0)A ∴，设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =--，将(5,3)D 代入得：33a =，解得1a =，2(2)(4)68y x x x x ∴=--=-+；（2）如图1，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，(2,0)A ，(4,0)B ，(5,3)D ，3DF ∴=，3AF =，则AD =45DAF ∠=︒，过点B 作BE AD ⊥于E ，则AE BE =DE ∴=1tan 2BE ADB DE ∴∠===； （3）如图2，由(2,0)A ，(5,3)D 得直线AD 解析式为2y x =-，由(4,0)B ，(5,3)D 可得直线BD 解析式为312y x =-，由(0,8)C ，(5,3)D 可得直线CD 解析式为8y x =-+，当0y =时，80x -+=，解得8x =，(8,0)E ∴，①若ADB APE ∆∆∽，则ADB APE ∠=∠，//BD PE ∴，设PE 所在直线解析式为3y x m =+，将点(8,0)E 代入得240m +=，解得24m =-，∴直线PE 解析式为324y x =+，由3242y x y x =+⎧⎨=-⎩得119x y =⎧⎨=⎩， ∴此时点(11,9)P ；②若ADB AEP ∆∆∽，则ADB AEP ∠=∠，1tan tan 2ADB AEP ∴∠=∠=， 设(,2)P n n -，过点P 作PG AE ⊥于点G ，则OG n =，2PG n =-，8GE n ∴=-，由21tan 82PG n AEP GE n -∠===-求得4n =， (4,2)P ∴；综上，(11,9)P 或(4,2)．【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握三角形的面积公式、待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、一次函数和二次函数的交点问题等知识点．5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点(6,0)A 和点(1,5)B -．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且BOC ∠的正切值是32，求点C 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式；（2）先说明6OA OH ==，则45OAH ∠=︒，作辅助线，根据正切值证明BOC OBE ∠=∠，作OB 的垂直平分线交AB 于C ，交OB 于F ，解法一：先根据中点坐标公式可得1(2F ，5)2-，易得直线OB 的解析式为：5y x =-，根据两直线垂直的关系可得直线FC 的解析式为：11355y x =-，列方程113655x x -=-，解出可得C 的坐标；解法二：过C 作CD x ⊥轴于D ，连接OC ，设(,6)C m m -，根据OC BC =，列方程可得结论．【解答】解：（1）把点(6,0)A 和点(1,5)B -代入抛物线2y ax bx =+得：36605a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得：16a b =⎧⎨=-⎩， ∴这条抛物线的表达式：26y x x =-，设直线AB 的解析式为：y kx b =+，把点(6,0)A 和点(1,5)B -代入得：605k b k b +=⎧⎨+=-⎩， 解得：16k b =⎧⎨=-⎩，则直线AB 的解析式为：6y x =-；（2）当0x =时，6y =，当0y =时，6x =，6OA OH ∴==，90AOH ∠=︒，45OAH ∴∠=︒，过B 作BG x ⊥轴于G ，则ABG ∆是等腰直角三角形，AB ∴=，过O 作OE AB ⊥于E ，1122AOH S AH OE OA OH ∆==， 266OE =⨯，OE =，BE AB AE ∴=-==Rt BOE ∆中，3tan 2OE OBE BE ∠===， BOC ∠的正切值是32， BOC OBE ∴∠=∠，作OB 的垂直平分线交AB 于C ，交OB 于F ， 解法一：(1,5)B -，1(2F ∴，5)2-， 易得直线OB 的解析式为：5y x =-，设直线FC 的解析式为：15y x b =+， 把1(2F ，5)2-代入得：511252b -=⨯+，135b =-， ∴直线FC 的解析式为：11355y x =-， 113655x x -=-，174x =， 当174x =时，177644y =-=-，17(4C ∴，7)4-；解法二：过C 作CD x ⊥轴于D ，连接OC ，设(,6)C m m -，则)AC m =-，OC BC =，22(6))]m m m ∴+-=-， 174m =，17(4C ∴，7)4-．【点评】此题考查二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，锐角三角函数的意义，等腰直角三角形的性质，画出图形，利用数形结合的思想解决问题．6. 在平面直角坐标系xOy （如图）中，抛物线22y ax bx =++经过点(4,0)A 、(2,2)B ，与y 轴的交点为C ．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求AMC ∆的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且45DOE ∠=︒，求点E 的坐标．【分析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用配方法可求出点M 的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，过点M 作MH y ⊥轴，垂足为点H ，利用分割图形求面积法可得出AMC ∆的面积；（3）连接OB ，过点B 作BG x ⊥轴，垂足为点G ，则BGA ∆，OCB ∆是等腰直角三角形，进而可得出BAO DBO ∠=∠，由45DOB BOE ∠+∠=︒，45BOE EOA ∠+∠=︒可得出EOA DOB ∠=∠，进而可证出AOE BOD ∆∆∽，利用相似三角形的性质结合抛物线的对称轴为直线1x =可求出AE 的长，过点E 作EF x ⊥轴，垂足为点F ，则AEF ∆为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出AF 、EF 的长，进而可得出点E 的坐标．【解答】解：（1）将(4,0)A ，(2,2)B 代入22y ax bx =++，得：164204222a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得：1412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2）2211192(1)4244y x x x =-++=--+， ∴顶点M 的坐标为9(1,)4． 当0x =时，2112242y x x =-++=， ∴点C 的坐标为(0,2)．过点M 作MH y ⊥轴，垂足为点H ，如图1所示． AMC AOC CHM AOHM S S S S ∆∆∆∴=--梯形，111()222HM AO OH AO OC CH MH =+--， 19119(14)42(2)124224=⨯+⨯-⨯⨯-⨯-⨯，（3）连接OB ，过点B 作BG x ⊥轴，垂足为点G ，如图2所示．点B 的坐标为(2,2)，点A 的坐标为(4,0)，2BG ∴=，2GA =，BGA ∴∆是等腰直角三角形， 45BAO ∴∠=︒．同理，可得：45BOA ∠=︒． 点C 的坐标为(2,0)，2BC ∴=，2OC =，OCB ∴∆是等腰直角三角形，45DBO ∴∠=︒，BO =，BAO DBO ∴∠=∠．45DOE ∠=︒，45DOB BOE ∴∠+∠=︒．45BOE EOA ∠+∠=︒，EOA DOB ∴∠=∠，AOE BOD ∴∆∆∽，∴AE AO BD BO =． 抛物线211242y x x =-++的对称轴是直线1x =， ∴点D 的坐标为(1,2)，1BD ∴=，∴1AE =，AE ∴=过点E 作EF x ⊥轴，垂足为点F ，则AEF ∆为等腰直角三角形，1EF AF ∴==，∴点E 的坐标为(3,1)．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形（梯形）的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用分割图形求面积法结合三角形、梯形的面积公式，求出AMC的面积；（3）通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出AE的长度．7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=． （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA OB =．若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且45APB ∠=︒．求P 点的坐标．【分析】（1）顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=，则3m =，则抛物线的表达式为：2(1)3y a x =-+，即可求解；（2）设：抛物线向上平移n 个单位，则函数表达式为：222y x x n =-+++，求出OA 、OB ，即可求解；（3）过点B 、A 分别作x 轴、y 轴的平行线交于点G ，3OA OB ==，则过点G 作圆G ，圆与x 、y 轴均相切，1452BPA BOA ∠=︒=∠，故点P 在圆G 上，即可求解． 【解答】解：（1）顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=，则3m =， 则抛物线的表达式为：2(1)3y a x =-+，即：32a +=，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：222y x x =-++；（2）设：抛物线向上平移n 个单位，则函数表达式为：222y x x n =-+++，令0y =，则1x =0x =，则2y n =+，OA OB =，12n ∴+=+，解得：1n =或2-（舍去2)-，则点A 的坐标为(3,0)，故点(3,1)E -；（3）过点B 、A 分别作x 轴、y 轴的平行线交于点G ，3OA OB ==，则过点G 作圆G ，圆与x 、y 轴均相切， 1452BPA BOA ∠=︒=∠，故点P 在圆G 上， 过点P 作PF x ⊥轴交BG 于点E ，交x 轴于点F ，则四边形AGEF 为边长为3的正方形，则：333PF EF PE =+=++=+【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及到一次函数、圆的基本等知识点，其中（3），构建圆G 是本题的突破点，本题有一点难度．8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标；（3）如果点F 是抛物线上的一点．且135FBD ∠=︒，求点F 的坐标．【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设：OE m =，则4EL m =-，3OB =，1DL =，利用LED OBE ∠=∠，即可求解；（3）延长BD 交y 轴于点H ，将BCH ∆围绕点B 顺时针旋转135︒至△BC H ''的位置，延长BH '交抛物线于点F ．确定直线BH '的表达式，即可求解．【解答】解：（1）33OB OA ==，则点B 的坐标为(3,0)，将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：0093a b c a b c =-+⎧⎨=++⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， 则抛物线的表达式为：223y x x =--⋯①函数对称轴为12b x a=-=，则点D 的坐标为(1,4)-； （2）如图，过点D 作DL y ⊥轴，交于点E ，设：OE m =，则4EL m =-，3OB =，1DL =，90LED OEB ∠+∠=︒，90OEB OBE ∠+∠=︒，LED OBE ∴∠=∠，tan tan LED OBE ∴∠=∠，即：OE LD OB EL =，134m m=-， 解得：1m =或3（舍去3)x =，则点E 的坐标为(0,1)-；（3）延长BD 交y 轴于点H ，将BCH ∆围绕点B ，顺时针旋转135︒至△BC H ''的位置，延长BH '交抛物线于点F ，3OB OC ==，45OCB OBC ∴∠=∠=︒，则135FBD ∠=︒，BC x '⊥轴，则点(3C '，，18045135H C B HCB ∠''=∠=︒-︒=︒，4tan 22D D y ABD OB x -∠===-， tan 236OH OB ABD =∠=⨯=，则：633HC H C =-==''，过点C '作C G GH '⊥'交于点G ，在BGH ∆'中，cos45GC H C GH '=''︒='， 则点H '的坐标为(3，将点H '、B 的坐标代入一次函数表达式y kx b =+得：03(3k b k b =+⎧=+，解得：39k b =-⎧⎨=⎩， 则直线BH '的表达式为：39y x =-+⋯②，联立①②并解得：3x =或4(3x -=舍去），故点F 的坐标为(4,21)-．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形旋转等知识，其中（3）用图形旋转的方法，确定旋转后图形的位置时本题的难点．9. 如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、点(1,3)B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，45BAO ∠=︒，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作//PM OB ，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若BMP AOB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）过点M 作MC x ⊥轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若ANC ∆的面积等于PMN ∆的面积的2倍，求MN NC的值．【分析】（1）过点B 作BH x ⊥轴，垂足为点H ，根据等腰直角三角形的性质可求点(4,0)A ，用待定系数法可求抛物线的表达式；（2）根据平行线的性质可得//BM OA ，可求点M 坐标，用待定系数法可求直线BO ，直线AB ，直线PM 的解析式，即可求点P 坐标；（3）延长MP 交x 轴于点D ，作PG MN ⊥于点G ，根据等腰直角三角形的性质可得AC CN =，PG NG =，根据锐角三角函数可得tan 3tan MG BOA MPG PG ∠==∠=，可得33MG PG NG ==，根据面积关系可求MN NC的值． 【解答】解：（1）如图，过点B 作BH x ⊥轴，垂足为点H ，点(1,3)B3BH ∴=，1OH =，45BAO ∠=︒，90BHA ∠=︒3AH BH ∴==， 4OA ∴= ∴点(4,0)A抛物线过原点O 、点A 、B ，∴设抛物线的表达式为2(0)y ax bx a =+≠∴01643a b a b =+⎧⎨+=⎩解得：1a =-，4b =∴抛物的线表达式为：24y x x =-+（2）如图，//PM OB180PMB OBM ∴∠+∠=︒，且BMP AOB ∠=∠， 180AOB OBM ∴∠+∠=︒ //BM OA ∴，设点(,3)M m ，且点M 在抛物线24y x x =-+上， 234m m ∴=-+，1m ∴=（舍去），3m = ∴点(3,3)M ，点(0,0)O ，点(4,0)A ，点(1,3)B∴直线OB 解析式为3y x =， 直线AB 解析式为4y x =-+，//PM OB ，∴设PM 解析式为3y x n =+，且过点(3,3)M 333n ∴=⨯+， 6n ∴=-PM ∴解析式为36y x =- ∴364y x y x =-⎧⎨=-+⎩ 解得：52x =，32y = ∴点5(2P ，3)2（3）如图，延长MP 交x 轴于点D ，作PG MN ⊥于点G ，PG MN ⊥，MC AD ⊥//PG AD ∴MPG MDC ∴∠=∠，45GPN BAO ∠=∠=︒， 又90PGC ∠=︒，90ACG ∠=︒， AC CN ∴=，PG NG =，//PM OB ，BOA MDC ∴∠=∠， MPG BOA ∴∠=∠点B 坐标(1,3)tan 3tan MGBOA MPG PG∴∠==∠=33MG PG NG ∴==， 4MN PG ∴=， ANC ∆的面积等于PMN ∆的面积的2倍，∴11222AC NC MN PG ⨯⨯=⨯⨯⨯，2211242NC MN MN MN ∴=⨯⨯=，∴MNNC【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求函数解析式，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数26(y ax bx a =++、b 都是常数，且0)a <的图象与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ，顶点为点C ． （1）求这个二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）过点B 的直线132y x =-+交抛物线的对称轴于点D ，联结BC ，求CBD ∠的余切值；（3）点P 为抛物线上一个动点，当PBA CBD ∠=∠时，求点P 的坐标．【分析】（1）由点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，再利用配发法即可求出顶点C 的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，设抛物线对称轴与x 轴的交点为点F ，由点B ，C ，D ，F 的坐标可得出CD ，DF ，BF 的长，利用勾股定理可得出BC 的长，利用角的正切值不变可求出DE 的长，进而可求出BE 的长，再利用余切的定义即可求出CBD ∠的余切值；（3）设直线PB 与y 轴交于点M ，由PBA CBD ∠=∠及CBD ∠的余切值可求出OM 的长，进而可得出点M 的坐标，由点B ，M 的坐标，利用待定系数法即可求出直线BP 的解析式，联立直线BP 及二次函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点P 的坐标． 【解答】解：（1）将(2,0)A -，(6,0)B 代入26y ax bx =++，得：426036660a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为21262y x x =-++．221126(2)822y x x x=-++=--+，∴点C 的坐标为(2,8)．（2）当2x=时，1322y x=-+=，∴点D的坐标为(2,2)．过点D作DE BC⊥，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，如图1所示．抛物线的顶点坐标为(2,8)，∴点F的坐标为(2,0)．点B的坐标为(6,0)，8CF∴=，6CD=，2DF=，4BF=，BC=，BD=sinBF DEBCFBC CD∴∠==6DE=，DE∴=，BE∴==，4cot3BECBDDE∴∠===．（3）设直线PB与y轴交于点M，如图2所示．PBA CBD∠=∠，4cot3OBPBAOM∴∠==，即643OM=，92OM∴=，∴点M的坐标为9(0,)2或9(0,)2-．设直线BP的解析式为(0)y mx n m=+≠，将(6,0)B，9(0,)2M代入y mx n=+，得：6092m nn+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：3492mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BP的解析式为3942y x=-+．同理，当点M 的坐标为9(0,)2-时，直线BP 的解析式为3942y x =-．联立直线BP 与抛物线的解析式成方程组，得：239421262y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩或239421262y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩， 解得：1112398x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2260x y =⎧⎨=⎩或1172578x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2260x y =⎧⎨=⎩， ∴点P 的坐标为1(2-，39)8或7(2-，57)8-．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、余切的定义、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）构造直角三角形，利用余切的定义求出CBD ∠的余切值；（3）联立直线BP 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P 的坐标．11. 已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,6)A ，点(1,3)B ，直线1:(0)l y kx k =≠，直线2:2l y x =--，直线1l 经过抛物线2y x bx c =++的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ．若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为)M ，再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为)N ．（1）求抛物线2y x bx c =++的解析式．（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由． （3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当MHF ∆与OAB ∆相似时，求点F 、H 的坐标（直接写出结果）．【分析】（1）把点A 、B 坐标代入2y x bx c =++，即可求解； （2）求而出点N 、点C 的坐标，计算NC 得长度即可求解；（3）分点F 在直线2l 下方、点F 在直线2l 上方两种情况，求解即可．【解答】解：（1）把点A 、B 坐标代入2y x bx c =++得：631c b c =⎧⎨=++⎩，解得：46b c =-⎧⎨=⎩， 则抛物线的表达式为：246y x x =-+；（2）2246(2)2y x x x =-+=-+，故顶点坐标为(2,2)，把点P 坐标代入直线1l 表达式得：22k =，即1k =， ∴直线1l 表达式为：y x =，设：点(2,)M m 代入直线2l 的表达式得：4m =-， 即点M 的坐标为(2,4)-，设：点(,4)N n -代入直线1l 表达式得：4n =-， 则点N 坐标为(4,4)--，同理得：点D 、E 的坐标分别为(2,0)-、(0,2)-、联立1l 、2l 得2y x y x =⎧⎨=--⎩，解得：11x y =-⎧⎨=-⎩，即：点C 的坐标为(1,1)--，OC ∴==CE OC ==，点C 在直线y x =上，45COE OEC ∴∠=∠=︒，90OCE ∴∠=︒，即：2NC l ⊥，4NC >，∴以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 相离； （3）①当点F 在直线2l 下方时，设：OBK α∠=，点A 、B 的坐标分别为(0,6)，(1,3)，则6AO =，AB BO ==，过点B 作BL y ⊥轴交于点L ，则1tan3OAB ∠=，sin OAB ∠=sin OK AO OAB =∠=3sin 5OK OB α==，等腰MHF ∆和等腰OAB ∆相似，HFM ABO ∴∠=∠，则KBO OFM α∠=∠=， 点C 、M 的坐标分别为(1,1)--、(2,4)-，则CM =，sin CMFM α==CF =OF OC FC =+=F 的坐标为(5,5)--，FH FM ==OH OF FH =+=H 的坐标为(10,10)--； ②当点F 在直线2l 上方时，同理可得点F 的坐标为(8,8)，点H 的坐标为(3,3)或(10,10)-；故：点F 、H 的坐标分别为(5,5)--、(10,10)--或(8,8)、(3,3)或(8,8)、(10,10)--． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，难点在（3），利用等腰三角形相似得出KBO OFM α∠=∠=，再利用解直角三角形的方法求线段的长度，从而求解．12. 如图，已知：二次函数2y x bx =+的图象交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ，一次函数132y x =-的图象交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，OCA ∠的正切值为23． （1）求二次函数的解析式与顶点P 坐标；（2）将二次函数图象向下平移m 个单位，设平移后抛物线顶点为P '，若ABP BCP S S ∆∆=，求m 的值．【分析】（1）先由直线解析式求出点B ，C 坐标，利用OCA ∠正切值求得点A 坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）由平移知点P '坐标为(1,1)m --，设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，与BC 交于点M，知5(1,)2M -，先得出12(1)2ABP S AB P H m ∆'='=+，133||22BCP P MCP MBS SSP M OB m ∆'''=+='=-，根据ABP BCP S S ∆∆=列出方程求解可得． 【解答】解：（1）132y x =-， 0x ∴=时，3y =-，当0y =时，1302x -=，解得6x =，∴点(6,0)B ，(0,3)C -，2tan 3OA OCA OC ∠==， 2OA ∴=，即(2,0)A ，将(2,0)A 代入2y x bx =+，得420b +=，解得2b =-，222(1)1y x x x ∴=-=--，。

上海市部分学校九年级数学抽样测试试卷2019.1.5（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列函数中，属于二次函数的是 （A ）32-=x y ； （B ）22)1(x x y -+=； （C ）x x y 722-=；（D ）22xy -=． 2．抛物线422-+-=x x y 一定经过点 （A ）（2,-4）； （B ）（1,2）；（C ）（-4,0）； （D ）（3,2）．3．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为 （A ）αsin 3； （B ）αcos 3； （C ）αsin 3； （D ）αcos 3． 4．在平面直角坐标系xOy 中有一点P （8,15），那么OP 与x 轴正半轴所夹的角的正弦值等于 （A ）178； （B ）1715； （C ）158； （D ）815． 5．如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 的三边长分别为3、5、6，△DEF 的最短边长为9，那么△DEF 的周长等于（A ）14；（B ）5126； （C ）21； （D ）42．6．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC 相似的个数有（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果35=y x ，那么y x yx -+3= ▲ ．8．已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，53=AB AD ，那么CEAE的值等于 ▲ ． 9．已知P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AB =20cm ，AP >BP ，那么AP = ▲ cm ． 10．如果抛物线k x k y ++=2)4(的开口向下，那么k 的取值范围是 ▲ ． 11．二次函数m x x y ++=62图像上的最低点的横坐标为 ▲ ．12．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是 ▲ ．13．如图，已知在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 是边AB 上的一点，∠ACD =∠B ，∠BAC 的平分线AQ 与CD 、BC 分别相交于点P 和点Q ，那么AQAP的值等于 ▲ ．14．已知在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =35，那么∠A = ▲ 度．15．已知在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AB =10，点G 为重心，那么GCB ∠tan 的值为 ▲ ． 16．向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为5，那么用向量e 表示向量a 为 ▲ ． 17．如果从灯塔A 处观察到船B 在它的北偏东35°方向上，那么从船B 观察灯塔A 的方向是 ▲ ．18．将等腰△ABC 绕着底边BC 的中点M 旋转30°后，如果点B 恰好落在原△ABC 的边AB 上，那么∠A 的余切值等于 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）（第13题图）已知抛物线32++=mx x y 的对称轴为x =-2． （1）求m 的值；（2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y 轴的交点坐标．20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在△ABC 中，点D 在边AC 上，CD ∶AD =1∶2，=，=． （1）试用向量,表示向量；（2）求作：-21．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知：如图，在△ABC 中，AB =6，BC =8，∠B =60°． 求：（1）△ABC 的面积； （2）∠C 的余弦值．22．（本题满分10分）已知：如图，矩形DEFG 的一边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，AH 是边BC 上的高，AH 与GF 相交于点K ，已知BC =12，AH =6，EF ∶GF =1∶2，求矩形DEFG 的周长．C（第22题图）ABC（第21题图）（第20题图）23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，斜坡AP 的坡度为1∶2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）24．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，点E 在线段BD 上，且BE =ED ，过点B 作BF ∥AC ，交线段AE 的延长线于点F ．（1）求证：AC =3BF ；（2）如果ED AE 3=，求证：BE AC AE AD ⋅=⋅．25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++-=231的图像经过点A （-1,1）和点B （2,2），该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．（第24题图）C（第23题图）（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO=∠CBO；（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相（第25题图）上海市部分学校九年级数学抽样测试参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．D ； 6．B ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．9； 8．23； 9．10510-； 10．k <-4； 11．-3； 12．xx y 42+=；13．32； 14．120； 15．43； 16．5-； 17．南偏西35°；18．3．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）由题意，得22-=-m．……………………………………………………（2分）∴m =4．…………………………………………………………………………（2分） （2）此抛物线的表达式为1)2(3422-+=++=x x x y ．……………………（2分） ∵向右平移5个单位后，所得抛物线的表达式为1)3(2--=x y ，即862+-=x x y ．………………………………………………………………（2分） ∴它与y 轴的交点坐标为（0,8）．……………………………………………（2分）20．解：（1）∵CD ∶AD =1∶2，∴CA CD 31=，得CA CD 31=．…………（2分）M∵-=-=． ………………（2分）∴3131)(31-=-=………………（1分） ∴b a b a b CD BC BD 3231)(31+=-+=+=．…………………………（1分）（2）a b AM -=21．……………………………………（画图正确3分，结论1分）21．解：（1）作AH ⊥BC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，∵∠AHB =90°，∠B =60°，AB =6，∴BH =3，33=AH ．………（2分，2分） ∴S △ABC =31233821=⨯⨯．…………………………………………………（1分）（2）∵BC =8，BH =3，∴CH =5． ………………………………………………（1分） 在Rt △ACH 中，∵33=AH ，CH =5，∴132=AC ．………………………………………（2分） ∴261351325cos ===AC CH C ．………………………………………………（2分） 22．解：设EF =x ，则GF =2x ．∵GF ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AK ⊥GF ．∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ．………………………………………………（2分）∴BCGFAH AK =．…………………………………………………………………（2分） ∵AH =6，BC =12，∴12266xx =-．……………………………………………（2分） 解得x =3．………………………………………………………………………（2分） ∴矩形DEFG 的周长为18．……………………………………………………（2分）23．解：（1）过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，∴125=PH AH ．…………………………………（2分）设AH =5k ，则PH =12k ，由勾股定理，得AP =13k ． ∴13k =26． 解得k =2．∴AH =10．………………………………………………………………………（2分）答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10米．………………………………………（1分） （2）延长BC 交PQ 于点D ．∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．…………………………………………（1分） ∴四边形AHDC 是矩形，CD =AH =10，AC =DH ．……………………………（1分） ∵∠BPD =45°，∴PD =BD ． …………………………………………………（1分） 设BC =x ，则x +10=24+DH ． ∴AC =DH =x -14． 在Rt △ABC 中，AC BC =︒76tan ，即0.414≈-x x．…………………………（2分） 解得356=x ，即19≈x ．………………………………………………………（1分） 答：古塔BC 的高度约为19米．………………………………………………（1分）24．证明：（1）∵BF ∥AC ，∴BECEBF AC =．………………………………………………（2分） ∵BD =CD ，BE =DE ，∴CE =3BE ．……………………………………………（2分） ∴AC =3BF ．………………………………………………………………………（1分） （2）∵ED AE 3=，∴223ED AE =．…………………………………………（1分） 又∵CE =3ED ，∴CE ED AE ⋅=2．……………………………………………（1分） ∴CEAEAE ED =．……………………………………………………………………（1分） ∵∠AED =∠CEA ，∴△AED ∽△CEA ．………………………………………（1分）∴AEEDAC AD =．…………………………………………………………………（1分） ∵ED =BE ，∴AEBEAC AD =．……………………………………………………（1分） ∴BE AC AE AD ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）25．解：（1）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=.2342,311c b c b ………………………………………………（1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.2,32c b ……………………………………………………………………（1分）∴所求二次函数的解析式为232312++-=x x y ．……………………………（1分）对称轴为直线x =1．……………………………………………………………（1分）证明：（2）由直线OA 的表达式y =-x ，得点C 的坐标为（1,-1）．…………………（1分）∵10=AB ，10=BC ，∴AB =BC ．………………………………………（1分） 又∵2=OA ，2=OC ，∴OA =OC ．………………………………………（1分） ∴∠ABO =∠CBO ．………………………………………………………………（1分） 解：（3）由直线OB 的表达式y =x ，得点D 的坐标为（1,1）．………………………（1分）由直线AB 的表达式3431+=x y ， 得直线与x 轴的交点E 的坐标为（-4,0）．……………………………………（1分） ∵△POB 与△BCD 相似，∠ABO =∠CBO ，∴∠BOP =∠BDC 或∠BOP =∠BCD ． （i ）当∠BOP =∠BDC 时，由∠BDC ==135°，得∠BOP =135°．∴点P 不但在直线AB 上，而且也在x 轴上，即点P 与点E 重合．∴点P 的坐标为（-4,0）．………………………………………………………（2分） （ii ）当∠BOP =∠BCD 时， 由△POB ∽△BCD ，得BCBDBO BP =． 而22=BO ，2=BD ，10=BC ，∴1052=BP ． 又∵102=BE ，∴1058=PE ． 作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，BF ⊥x 轴，垂足为点F ．∵PH ∥BF ，∴EFEHBE PE BF PH ==． 而BF =2，EF =6，∴58=PH ，524=EH ．∴54=OH ．∴点P 的坐标为（54,58）．……………………………………………………（2分）综上所述，点P 的坐标为（-4,0）或（54,58）．。

2019年上海市青浦区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列图形中，一定相似的是A. 两个正方形B. 两个菱形C. 两个直角三角形D. 两个等腰三角形【答案】A【解析】解：A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选：A．根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．2.如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：：1，，那么CE等于A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，，，，，．故选：C．根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后利用可计算出CE的长．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．3.在中，，如果，，那么AC等于A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，故选：B．画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．4.下列判断错误的是A.B. 如果，，其中，那么C. 设为单位向量，那么D. 如果，那么或【答案】D【解析】解：A、，故本选项不符合题意．B、由，得到：，，故两向量方向相反，，故本选项不符合题意．C、为单位向量，那么，故本选项不符合题意．D、由只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选：D．根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．5.如图，已知，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定 ∽ 的是A.B.C.D.【答案】C【解析】解：A、由，，则可判断 ∽ ；B、由，，得，，则可判断 ∽ ；C、由，得不能判断 ∽ ；D、由得，，故能确定 ∽ ，故选：C．A和B：根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．6.已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论中正确的是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图象可知：，，，故A错误；由对称轴可知：，，故B错误；由对称轴可知：，，时，，，，，故C错误；故选：D．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果，那么______．【答案】【解析】解：，，，，．故答案为：．由可得，进一步得到，可求，进一步得到的值．考查了比例的性质，关键是得到．8.计算：______．【答案】【解析】解：．故答案是：．实数的运算法则同样适用于该题．考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．9.两个相似三角形的相似比为1：3，则它们周长的比为______．【答案】1：3【解析】解：两个相似三角形的相似比为1：3，它们的周长比为：1：3．故答案为：1：3．由两个相似三角形的相似比为1：3，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质此题比较简单，注意掌握相似三角形周长的比等于相似比定理的应用是解此题的关键．10.抛物线的顶点坐标是______．【答案】【解析】解：，抛物线的顶点坐标是．故答案为：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．此题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，对称轴为，此题还考查了配方法求顶点式．11.抛物线的对称轴是直线，那么______．【答案】2【解析】解：抛物线的对称轴是直线，，．故答案为：2．由抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的性质可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了二次函数的性质，牢记抛物线的对称轴为直线是解题的关键．12.抛物线在y轴右侧的部分是______填“上升”或“下降”【答案】上升【解析】解：，其对称轴为y轴，且开口向上，在y轴右侧，y随x增大而增大，其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为：上升．根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图象在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．13.如果是锐角，且，那么______度【答案】70【解析】解：，．故答案为：70．直接利用，进而得出答案．此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．14.如图，某水库大坝的橫断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：，那么该水库迎水坡CD的长度为______米【答案】39【解析】解：过点D作于点E，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：，，则，故EC，则在中，．故答案为：39．直接利用坡度的定义得出EC的长，进而利用勾股定理得出答案．此题主要考查了坡度的定义，正确得出EC的长是解题关键．15.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则的值为______．【答案】【解析】解：连接CD，如右图所示，设每个小正方形的边长为a，则，，，，是直角三角形，，故答案为：．根据题意和勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以求得的值．本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．16.在中，，高AH与中线BD相交于点E，如果，，那么______．【答案】【解析】解：如图所示，连接DH，，，为BC的中点，又为AC的中点，为的中位线，，，∽ ，，又，，中，，，故答案为：．连接DH，依据等腰三角形的性质，即可得到DH为的中位线，依据 ∽ ，即可得到，进而得出AE的长．本题主要考查了等腰三角形的性质以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．17.如图，在中，，，，将绕点A旋转后，点B落在AC的延长线上的点D，点C落在点E，DE与直线BC相交于点F，那么______．【答案】【解析】解：如图，在中，，，，，，将绕点A旋转后，点B落在AC的延长线上的点D，，，，，，，，故答案为：．根据已知条件得到，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的画出图形是解题的关键．18.对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S到图形上的任意一点P之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点S称为“亮点”如图，对于封闭图形ABCDE，是“亮点”，不是“亮点”，如果，，，，，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为______．【答案】【解析】解：如图，延长DE交BC于点M，延长AE交BC于点N．由题意：该图形中所有“亮点”组成的图形是，，，，，，是等边三角形，，，，．如图，延长DE交BC于点M，延长AE交BC于点由题意：该图形中所有“亮点”组成的图形是，证明是等边三角形，求出EN即可．本题考查平行线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.计算：．【答案】解：．【解析】本题涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简4个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，，AC、DE相交于点F．求DF：EF的值；如果，，试用、表示向量．【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，，．，，，，，，，．【解析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；利用三角形法则即可解决问题；本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，，．求证：；如果：四边形：8，求：的值．【答案】证明：，，又，∽ ，，，，；解：，∽ ，，，四边形，，，，．【解析】根据已知条件得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；根据相似三角形的性质得到，由已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22.如图，在港口A的南偏东方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东方向上，有一渔船C发生故障得知这一情况后，巡逻艇以25海里小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？参考数据：，，，，，【答案】解：过点A作，垂足为点H．由题意，得，，．在中，，，，，在中，，，，．，所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【解析】由已知可得中，且海里要求BC的长，可以过A作于D，先求出CD和BD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23.已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，，．求证： ∽ ；如果，求证：．【答案】证明：，，，，又，∽ ，，，又，∽ ．，，，，，，，∽ ，，，．【解析】由，推出 ∽ ，可得，再证明，即可解决问题；欲证明，利用相似三角形的性质证明即可；本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线平移后经过点、，且平移后的抛物线与y轴交于点如图．求平移后的抛物线的表达式；如果点D在线段CB上，且，求的正弦值；点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．【答案】解：设平移后的抛物线的解析式为．将、，代入得解得：所以，．如图1，点C的坐标为．设直线BC的解析式为，将，代入得，解得，．设点D的坐标为．，，解得或舍去，点D的坐标为．过点D作，过点B作，垂足分别为点M、N．，，．，，，．．如图2设点Q的坐标为．如果四边形ECPQ是菱形，则，轴，，点P的坐标为．，，，解得或舍．点Q的坐标为【解析】根据平移前后a的值不变，用待定系数法求解即可；求出直线BC的解析式，确定点D的坐标，过点D作，过点B作，垂足分别为点M、N，运用面积法求出BN，再根据相似三角形的性质求出DM，根据直角三角函数求解即可；设点Q的坐标为，如果四边形ECPQ是菱形，则，轴，，点P的坐标为，根据邻边相等列出方程即可求解．此题主要考查二次函数综合问题，会灵活运用待定系数法求抛物线，直线的解析式，会运用面积法，相似三角形性质求相关线段，会根据菱形性质确定顶点坐标是解题的关键．25.如图，在梯形ABCD中，，，，点E、F分别在线段BD、CD上，的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．求证：；设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；联结FG，当与相似时，求AD的长．【答案】解：，，．，，，．．过点D作，过点N作，垂足分别为点P、Q．，，，．，，．，，，，．，，，，．．，．当时，，，，，，，．当时，，又，∽ ．，，整理得，解得，或舍去．综上所述，当与相似时，AD的长为3或．【解析】由知，，结合，知，从而得，据此可得答案；作，，求得，，由知，，根据得，即，再根据知，由三角形的面积公式可得答案；分和两种情况分别求解可得．本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点．。

上海市青浦区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．化简：x x y --y x y+，结果正确的是（ ）A ．1B ．2222x y x y+- C ．x yx y-+ D ．22xy +2．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过O 点且EF ⊥AC 分别交DC 于F ，交AB 于点E ，点G 是AE 中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（ ）DC=3OG ；（2）OG= 12BC ；（3）△OGE 是等边三角形；（4）16AOE ABCD S S ∆=矩形.A ．1B ．2C ．3D ．43．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．4．由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小立方块有（ ）A ．3块B ．4块C ．6块D ．9块5．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜06．长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为（）A．205万B．420510⨯C．62.0510⨯D．72.0510⨯7．如图，点A所表示的数的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．13D．13-8．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．9．一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（）A．增加（n﹣2）×180°B．减小（n﹣2）×180°C．增加（n﹣1）×180°D．没有改变10．4的平方根是（）A．2 B．±2 C．8 D．±811．如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是（）A．①B．③C．②或④D．①或③12．股市有风险，投资需谨慎．截至今年五月底，我国股市开户总数约95000000，正向1亿挺进，95000000用科学计数法表示为（）A．9.5×106B．9.5×107C．9.5×108D．9.5×109二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C 的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上． b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．14．若代数式4x-在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为_____．15．一元二次方程x﹣1＝x2﹣1的根是_____．16．已知式子1x-有意义，则x的取值范围是_____17．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则a n＝__________（用含n的代数式表示）．所剪次数 1 2 3 4 …n正三角形个数 4 7 10 13 …a n18．若数据2、3、5、3、8的众数是a，则中位数是b，则a﹣b等于_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．20．（6分）计算：﹣16+（﹣12）﹣2﹣|3﹣2|+2tan60°21．（6分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．求证：BC是⊙O的切线；若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．22．（8分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞1．（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．23．（8分）化简（222121x x xx x x----+）1xx÷+，并说明原代数式的值能否等于-1．24．（10分）计算：（﹣1）2018﹣93．25．（10分）全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：本次抽样调查了个家庭；将图①中的条形图补充完整；学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是度；若该社区有家庭有3000个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？26．（12分）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. 填空：∠ABC= °，BC= ；判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.27．（12分）如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60︒方向与灯塔Р的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45︒方向上的B处.求此时轮船所在的B处与灯塔Р的距离.（结果保留根号）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】先将分母进行通分，化为（x+y）（x-y）的形式，分子乘上相应的分式，进行化简.【详解】()()()()222222x y x +xy xy-y x +y -=-=x-y x+y x+y x-y x+y x-y x -y【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解题的关键就是熟练掌握运算规则. 2．C 【解析】∵EF ⊥AC ，点G 是AE 中点， ∴OG=AG=GE=12AE ， ∵∠AOG=30°， ∴∠OAG=∠AOG=30°，∠GOE=90°-∠AOG=90°-30°=60°， ∴△OGE 是等边三角形，故（3）正确； 设AE=2a ，则OE=OG=a ，由勾股定理得，，∵O 为AC 中点，∴，∴BC=12，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，，∵四边形ABCD 是矩形， ∴CD=AB=3a ，∴DC=3OG ，故（1）正确；∵OG=a ，12， ∴OG≠12BC ，故（2）错误；∵S △AOE =12，S ABCD 2， ∴S △AOE =16S ABCD ，故（4）正确； 综上所述，结论正确是（1）（3）（4）共3个， 故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定、勾股定理的应用等，正确地识图，结合已知找到有用的条件是解答本题的关键.3．D【解析】【分析】根据抛物线和直线的关系分析.【详解】由抛物线图像可知，所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限.故选D【点睛】考核知识点：反比例函数图象.4．B【解析】分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．解答：解：从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得有2层上面一层是1个小正方体，下面有2个小正方体，从左视图上看，后面一层是2个小正方体，前面有1个小正方体，所以此几何体共有四个正方体．故选B．5．A【解析】分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．综上即可得出结论．详解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．故选A．点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】2 050 000将小数点向左移6位得到2.05，所以2 050 000用科学记数法表示为：20.5×106，故选C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．A【解析】【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可．【详解】|-3|=3，故选A．【点睛】此题考查绝对值问题，关键是根据负数的绝对值是其相反数解答．8．A【解析】分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．详解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选A．点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．9．D【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°，与边数无关即可解答.【详解】∵多边形的外角和等于360°，与边数无关，∴一个多边形的边数由3增加到n时，其外角度数的和还是360°，保持不变．故选D．【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟知多边形的外角和等于360°是解题的关键.10．B【解析】【分析】依据平方根的定义求解即可．【详解】∵（±1）1=4，∴4的平方根是±1．故选B．【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．11．D【解析】【分析】分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】分两种情况讨论：①当点P顺时针旋转时，BP的长从增加到2，再降到0，图象③符合；②当点P逆时针旋转时，BP降到0，再增加到2，图象①符合．故答案为①或③．故选D．【点睛】本题考查了动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 12．B 【解析】试题分析： 15000000=1．5×2．故选B ． 考点：科学记数法—表示较大的数二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（1）2-，3-，（-1,0）；（2）存在P 的坐标是(14)-，或(-25)，；（1）当EF 最短时，点P 的坐标是：（22+，32-）或（22，32-）【解析】 【分析】（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可求得b 、c 的值，然后令y=0可求得点B 的坐标； （2）分别过点C 和点A 作AC 的垂线，将抛物线与P 1，P 2两点先求得AC 的解析式，然后可求得P 1C 和P 2A 的解析式，最后再求得P 1C 和P 2A 与抛物线的交点坐标即可；（1）连接OD ．先证明四边形OEDF 为矩形，从而得到OD=EF ，然后根据垂线段最短可求得点D 的纵坐标，从而得到点P 的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P 的坐标． 【详解】解：（1）∵将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得：3930c b c =-⎧⎨++=⎩，解得：b=﹣2，c=﹣1，∴抛物线的解析式为223y x x =--．∵令2230x x --=，解得：11x =-，23x =， ∴点B 的坐标为（﹣1，0）． 故答案为﹣2；﹣1；（﹣1，0）． （2）存在．理由：如图所示：①当∠ACP 1=90°．由（1）可知点A 的坐标为（1，0）．设AC 的解析式为y=kx ﹣1．∵将点A 的坐标代入得1k ﹣1=0，解得k=1，∴直线AC 的解析式为y=x ﹣1，∴直线CP 1的解析式为y=﹣x ﹣1．∵将y=﹣x ﹣1与223y x x =--联立解得11x =，20x =（舍去），∴点P 1的坐标为（1，﹣4）．②当∠P 2AC=90°时．设AP 2的解析式为y=﹣x+b ．∵将x=1，y=0代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线AP 2的解析式为y=﹣x+1．∵将y=﹣x+1与223y x x =--联立解得1x =﹣2，2x =1（舍去），∴点P 2的坐标为（﹣2，5）．综上所述，P 的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．（1）如图2所示：连接OD ．由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD=EF ．根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即由（1）可知，在Rt △AOC 中，∵OC=OA=1，OD ⊥AC ，∴D 是AC 的中点．又∵DF ∥OC ，∴DF=12OC=32， ∴点P 的纵坐标是32-，∴23232x x --=-，解得：x=22±，∴当EF 最短时，点P 的坐标是：，32-）或（，32-）． 14．x≤1【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x 的取值范围．【详解】由题意可知：1﹣x≥0，∴x≤1故答案为：x≤1．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数解答即可．15．x ＝0或x ＝1．【解析】【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】∵(x ﹣1)﹣(x+1)(x ﹣1)=0，∴(x ﹣1)(1﹣x ﹣1)=0，即﹣x(x ﹣1)=0，则x=0或x=1，故答案为：x=0或x=1．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．x≤1且x≠﹣1．根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+1≠0，解得：x≤1且x≠﹣1．故答案为x≤1且x≠﹣1．17．3n+1．【解析】试题分析：从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n 次时，共有4+3（n-1）=3n+1．试题解析：故剪n 次时，共有4+3（n-1）=3n+1．考点：规律型：图形的变化类．18．2【解析】【分析】将数据排序后，位置在最中间的数值。

2019年上海嘉定九年级一模数学试卷(含答案)一、选择题:(本大题共6题,每题6分,满分24分)1、已知线段a 、b 、c 、d ,如果ab =cd ,那么下列式子一定正确的是（ ）..d c =b a (D) ; b d =c a (C) ;c b =d a (B) ；d b =c a (A) 【解答】C2、在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =6,AC =b ,下列选项一定正确的是（ ） （A ）b =6sinA ； （B ）b =6cosA ; ( C ) b =6tanA ; ( D )b =6cotA . 【解答】B3、抛物线y =2(x +1)2—2与y 轴的交点的坐标是（ ）（A ）（0,-2）； （B ）（-2,0）; ( C ) （0,-1） ; ( D )（0,0）. 【解答】D4. 如图1,在平行四边形ABCD 中,点E 在边DC 上,联结AE 并延长交BC 的延长线于点F ,若AD =3CF ,那么下列结论中正确的是（ ）（A ）FC ：FB =1：3 （B ）CE ：CD =1：3 （C ）CE ：AB =1：4 （D ）AE ：AF =1：2 A DEB C F【解答】C5. 已知矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,如果a BC =,b =DC ,那么BO 等于（ ）（A ）();21b a - （B ）();21b a + （C ）();b 21a - （D ）b a -【解答】A6. 下列四个命题中,真命题是（ ）（A ）相等的圆心角所对的两条弦相等 （B ）圆既是中心对称图形也是轴对称图形（C ）平分弦的直径一定垂直于这条弦 （D ）相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和 【解答】B二、填空题：(本大题共12题,每题4分,满分48分)7．已知点P 在线段AB 上,且AP : BP=2 : 3,那么AB:PB=_____. 【解答】5:38．计算：+6)-4=______. 【解答】-2-39．如果函数y=(m-2)+2x+3 (m 为常数) 是二次函数,那么m 取值范围是______. 【解答】10. 抛物线2y 43x x =++向下平移4个单位后所得的新抛物线的表达式是_________。

2019届一模填空选择题汇编目录2019届一模填空选择题汇编目录 (1)Ⅰ、相似三角形 (2)（一）选择题 (2)（二）填空题 (8)Ⅱ、二次函数 (19)（一）选择题 (19)（二）填空题 (24)Ⅲ、锐角三角比 (30)（一）选择题 (30)（二）填空题 (33)Ⅳ、向量 (40)（一）选择题 (40)（二）填空题 (42)Ⅴ、圆 (45)（一）选择题 (45)（二）填空题 (46)Ⅶ、新定义题型 (48)（一）选择题 (48)（二）填空题 (48)Ⅷ、其他类型 (50)（一）选择题 (50)（二）填空题 (50)Ⅰ、相似三角形（一）选择题【2019届一模徐汇】1.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是A．1 : 2000；B．1 : 200；C．200 : 1；D．2000 : 1．【2019届一模徐汇】4．如图，在下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是A．∠1=∠ACB；B．AB ACBC CD=；C．∠2=∠B；D．AC2=AD•AB．【2019届一模浦东】2. 已知线段MN=4cm，P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，那么线段MP的长度等于（）（A）（）cm；（B）2（）cm；（C）1）cm；（D）1）cm.【2019届一模浦东】6. 在△ABC和△DEF中，下列四个命题是真命题的个数共有（）①如果∠A=∠D，AB BCDE EF=，那么△ABC与△DEF相似；②如果∠A=∠D，AB ACDF DE=，那么△ABC与△DEF相似；③如果∠A=∠D=90°，AC DFAB DE=，那么△ABC与△DEF相似；④如果∠A=∠D=90°，AC BCDF EF=，那么△ABC与△DEF相似.（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个.B（第4题图）1．下列四组线段中，成比例的是 （A ）1,1,2,3； （B ）1,2,3,4； （C ）2,2,3,3； （D ）2,3,4,5．【2019届一模杨浦】2．如果:3:2a b =，且b 是a 、c 的比例中项，那么:b c 等于 （A ）4:3； （B ）3:4； （C ）2:3； （D ）3:2.【2019届一模杨浦】6．如果以a 、b 、c 为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a 与b 的比值不可能为 （A ）23；（B ）34；（C ）45；（D ）56.【2019届一模普陀】3．如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE 与△ABC 相似，那么这个条件是（ ▲ ） （A ）AED B ∠=∠； （B ）ADE C ∠=∠； （C ）AD AE AC AB =； （D ）AD DEAB BC=．【2019届一模普陀】6．如图2，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，且DE 经过重心G ，在下列四个说法中，①23DE BC =；②13BD AD =；③23△△ADE ABC C C =；④45△四边形ADE DBCE S S =，正确的个数是（ ▲ ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D）4个．图2图1EABD1．已知线段a 、b ，如果:5:2a b =，那么下列各式中一定正确的是（▲）（A ）7a b +=； （B ）52a b =；（C ）72a b b +=；（D ）512a b +=+.【2019届一模松江】3．下列各组图形一定相似的是（ ）（A ）两个直角三角形； （B ）两个等边三角形； （C ）两个菱形； （D ）两个矩形．【2019届一模松江】4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD =2，BD =3，那么由下列条件能判断DE ∥BC 的是（ ） （A ）32=BC DE ； （B ）52=BC DE ； C ）32=AC AE ； （D ）52=AC AE ．【2019届一模松江】6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，EF ∥CD 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是（ ）（A ）BC DE DF AF = ； （B ）DF AFDB DF=； （C ）BC DE CD EF = ； （D ）ABADBDAF =．（第4题图）A D E B（第6题图）F E D CBA5．如果点D 、E 分别在△ABC 中的边AB 和AC 上，那么不能判定DE ∥BC 的比例式是(▲) （A ）EC AE DB AD ::=； （B ）AB AD BC DE ::=； （C ）AC CE AB BD ::=； （D ）AE AD AC AB ::=．【2019届一模青浦】1．下列图形中，一定相似的是（ ）A . 两个正方形；B . 两个菱形；C . 两个直角三角形；D . 两个等腰三角形．【2019届一模青浦】2．如图，已知AB // CD //EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F和点B 、C 、E ，如果AD ∶DF =3∶1，BE =10，那么CE 等于（ ） A ．103； B ．203； C ．52； D ．152．【2019届一模青浦】5． 如图，已知△ABC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，不能确定△ADE ∽△ACB 的是（ ）A ．∠AED ＝∠B ； B ．∠BDE +∠C =180°；C ．⋅=⋅AD BC AC DE ； D ．⋅=⋅AD AB AE AC ．【2019届一模静安】4．点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，如果AP 是PB 和AB 的比例中项．那么下列式子成立的是 （A ）51PB AP +=； （B ）51AP PB -=； （C ）51PB AB -=； （D ）512AP AB -=．5． 如图1，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，且DE 与BC 不平行，下列条件中，能判定ADE ∆与ACB ∆相似的是 （A ）AD AE AC AB =； （B ）AD ABAE AC =； （C ）DE AEBC AB=； （D ）DE ADBC AC=．【2019届一模宝山】1．如图1，已知AB ∥CD ∥EF ，21::=DF BD ，那么下列结论正确的是（▲）（A ）31::=AE AC ； （B ）31::=EA CE ； （C ）21::=EF CD ； （D ）21::=CD AB ．【2019届一模宝山】2．下列命题中，正确的是（▲）（A ）两个直角三角形一定相似； （B ）两个矩形一定相似；（C ）两个等边三角形一定相似； （D ）两个菱形一定相似．【2019届一模长宁】2．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， 下列条件中能够判定BC DE //的是（ ▲ ） （A ）BCDEAB AD =； （B ）AC AE BD AD =； （C ）AECEAB BD =； （D ）AC AB AE AD =．A B C D EF（图1）图1A B C DE 第2题图ABDE6．在ABC ∆中，点D 在边BC 上，联结AD ，下列说法错误的是（ ▲ ） （A ）如果︒=∠90BAC ，BC BD AB ⋅=2，那么BC AD ⊥； （B ）如果BC AD ⊥，CD BD AD ⋅=2，那么︒=∠90BAC ； （C ）如果BC AD ⊥，BC BD AB ⋅=2，那么︒=∠90BAC ； （D ）如果︒=∠90BAC ，CD BD AD ⋅=2，那么BC AD ⊥．【2019届一模金山】3．如图，已知BD 与CE 相交于点A ，BC ED //，8=AB ，12=AC ，6=AD ，那么AE 的长等于（ ▲ ） A ．4 B ．9 C ．12 D ．16【2019届一模闵行】6．已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 和BC 上，且DE // BC ，DF // AC ， 那么下列比例式中，正确的是 （A ）FBCF EC AE =； （B ）BC DE EC AE =； （C ）BC DE AC DF =； （D ）BC FCAC EC =．【2019届一模虹口】6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点 E 在AD 上，如果∠ABE=∠C ，AE=2ED ，那么△ABE 与△ADC 的周长比为 A ．1:2；B ．2:3；C ．1:4；D ．4:9．第3题图ABCDEC A第6题图ABDE（二）填空题【2019届一模徐汇】7．已知23a b =，那么aa b+的值为 ▲ .【2019届一模徐汇】8．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB =4，那么AP 的长是 ▲ ．【2019届一模徐汇】11．如图，在Y ABCD 中，AB =3，AD =5，AF 分别交BC 于点E 、交DC 的延长线于点F ，且CF =1，则CE的长为 ▲ ．【2019届一模徐汇】13．如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则△ABC 的高AH 为 ▲ 厘米．【2019届一模浦东】7. 已知25x y =，那么2xx y=+__________.【2019届一模浦东】9. 如图2，已知直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，6AB =，4BC =，15DF =，那么线段DE 的长为__________.【2019届一模浦东】10. 如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 的面积为2cm 2，△DEF 的面积为8 cm 2，那么△ABC 与△DEF 的相似比为__________.【2019届一模徐汇】17．如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =CD ，CE ⊥AB 于点E ，5cos 13B =，则BED ABC S S =V V ▲ ．【2019届一模浦东】15. 如图3，已知△ABC 与△ADE 都是等边三角形，点D 在边BC 上，且BD =4，CD =2，那么AF =__________.DBCAE （第17题图）图2【2019届一模浦东】17. 如图4，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A. 灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD=3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE=2米，测得他的影长EF=4米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于__________米.【2019届一模杨浦】7．如果53xx y=-，那么xy=▲ ．【2019届一模杨浦】8．等边三角形的中位线与高之比为▲ ．【2019届一模杨浦】9．如果两个相似三角形的面积比为4:9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为▲ ．【2019届一模杨浦】10．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=1，如果△ABC∽△ADE，那么AE= ▲ ．【2019届一模杨浦】15．如图，AG//BC，如果AF:FB=3:5，BC:CD=3:2，那么AE:EC= ▲ ．图47．如果72x y =，那么2x yy-的值是 ▲ ．【2019届一模普陀】12．已知△ABC 三边的比为2:3:4，与它相似的△A B C '''最小边的长等于12，那么△A B C '''最大边的长等于 ▲ ．【2019届一模普陀】16．如图4，AB //CD ，AD 、BC 相交于点E ，过E 作EF //CD 交BD 于点F ，如果:2:3AB CD =，6EF =，那么CD 的长等于 ▲ ．【2019届一模奉贤】12．如图2，AD 与BC 相交于点O ，如果13AO AD =，那么当BOCO的值是 ▲ 时，AB ∥CD .FE 图4ABCDABCD O图214．联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是 ▲ ．【2019届一模松江】7．已知34=b a ，那么bba -=_____．【2019届一模松江】8．在比例尺为1︰50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是___________千米.【2019届一模松江】10．已知线段AB =2cm ，点C 在线段AB 上，且AC 2=BC ·AB ，则AC 的长___________cm ．【2019届一模松江】14．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 和B 、D 、F ，如果AC ＝3，CE＝5，DF ＝4，那么BD ＝_______．【2019届一模松江】16．如图，已知△A B C ，D 、E 分别是边B A 、C A 延长线上的点，且D E ∥B C ．如果35DE BC =,CE=4，那么AE 的长为_______．a b cA B C DEF m n（第14题图）（第16题图）C BD E A17．如图，已知△ABC ，AB =6，AC =5，D 是边AB 的中点，E 是边AC上一点，∠ADE ＝∠C ，∠BAC 的平分线分别交DE 、BC 于点F 、G ， 那么AFAG的值为_______．【2019届一模嘉定】10．如果b a 43=（a 、b 都不等于零），那么bba += ▲ ．【2019届一模嘉定】11．已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且cm AB 6=，BP AP >，那么=AP ▲ cm ．【2019届一模嘉定】13．如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 的三边长分别为4、5、6，△DEF 的最短边长为12，那么△DEF 的周长等于 ▲ ．【2019届一模青浦】7． 如果25=+x x y，那么x y= ▲ ．（第17题图）GF E DCBA【2019届一模青浦】9． 如果两个相似三角形的相似比为1∶3，那么它们的周长比为 ▲ ．【2019届一模青浦】16．在△ABC 中， AB =AC ，高AH 与中线BD 相交于点E ，如果BC=2，BD=3，那么AE= ▲ ．【2019届一模静安】9．已知25x y =，那么x y y+的值是 ▲ ．【2019届一模静安】10．ABC ∆∽111A B C ∆，其中点,,C A B 分别与点111,,C A B 对应，如果11:2:3AB A B =，6AC =，那么11A C = ▲ ．【2019届一模静安】15．在ABC ∆中，90C ∠=o ，8AC =，6BC =，G 是重心，那么G 到斜边AB 中点的距离是 ▲ ．【2019届一模静安】17．如图5，梯形ABCD 中，AB //CD ，BE //AD ，且BE 交CD 于点E ，AEB C ∠=∠．如果3AB =，8CD =，那么AD 的长是 ▲ ．【2019届一模宝山】11．如果甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm ，那么图上4.5cm 的两地之间的实际距离为 ▲ 千米.【2019届一模宝山】12．如果两个相似三角形周长之比是4:1，那么它们的面积比是 ▲ ．【2019届一模宝山】14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm ，那么该直角三角形的斜边长为 ▲ ．【2019届一模宝山】15．如图3，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，点E 在CB 延长线上，∠ABD=∠CEA ，若3AE =2BD ， BE =1，则DC = ▲ ．（图3）AB ECDCDA BE图5【2019届一模长宁】7．若线段a 、b 、c 、d 满足54==d c b a ，则db ca ++的值等于 ▲ ．【2019届一模长宁】9．两个相似三角形的周长之比等于4:1，那么它们的面积之比等于 ▲ ．【2019届一模长宁】11．如图，已知CF BE AD ////，若3=AB ，7=AC ，6=EF ，则DE 的长为 ▲ ．【2019届一模长宁】12．已知点P 在线段AB 上，满足AB BP BP AP ::=，若2=BP ，则AB 的长为 ▲ ．【2019届一模长宁】16．如图，在等腰ABC ∆中，AC AB =，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AD 与BE 交于点F ，若6=BE ，3=FD ，则ABC ∆的面积等于 ▲ ．第11题图B A CDEFACBD FE【2019届一模金山】9．已知25=y x ，那么=+yy x ▲ ．【2019届一模金山】12．已知点P 是线段AB 上的黄金分割点，BP AP >，4=AB ，那么=AP ▲ ．【2019届一模闵行】7．已知：x ︰y = 2︰5，那么（x +y ）︰y = ▲ ．【2019届一模闵行】11．已知线段AB = 4厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP > BP ），那么线段 AP = ▲ 厘米．（结果保留根号）【2019届一模闵行】12．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE // BC ．如果35AD AB =，DE = 6，那么BC = ▲ ．【2019届一模闵行】13．已知两个相似三角形的相似比为2︰3，那么这两个相似三角形的面积比为 ▲ ．【2019届一模闵行】16．在△ABC 和△DEF 中，AB BCDE EF=．要使△ABC ∽△DEF ，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是 ▲ （只需填写一个正确的答案）．【2019届一模闵行】17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC BC ==D 、E 分别在边AB 上，且AD = 2，∠DCE =45°，那么DE = ▲ ．【2019届一模虹口】7．如果23a b =，那么a ba+的值为 ▲ ．【2019届一模虹口】14．如图，AB ∥CD ∥EF ，点C 、D 分别在BE 、AF 上，如果BC=6，CE=9，AF=10，那么DF 的长为 ▲ ．【2019届一模虹口】15．如图，在△ABC 中，点G 为△ABC 的重心，过点G 作DE ∥AC 分别交边AB 、BC 于点D 、E ，过点D作DF ∥BC 交AC 于点F ，如果DF =4，那么BE 的长为 ▲ ．ABCDE（第17题图）BC AD第14题图EFAⅡ、二次函数（一）选择题【2019届一模徐汇】2.将抛物线2y x =先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的表达式是A ．()21+2y x =-； B ．()21+2y x =+； C ．()21-2y x =-； D ．()21-2y x =+．【2019届一模徐汇】6．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线开口向下； ②抛物线的对称轴为直线1x =-； ③m 的值为0； ④图像不经过第三象限． 上述结论中正确．．的是 A ．①④； B ．②④； C ．③④； D ．②③．【2019届一模浦东】3. 已知二次函数2(3)y x =-+，那么这个二次函数的图像有（ ）（A ）最高点（3,0）； （B ）最高点（﹣3,0）； （C ）最低点（3,0）； （D ）最低点（﹣3,0）.【2019届一模浦东】4. 如果将抛物线241y x x =++平移，使它与抛物线21y x =+重合，那么平移的方式可以是（ ） （A ）向左平移2个单位，向上平移4个单位； （B ）向左平移2个单位，向下平移4个单位； （C ）向右平移2个单位，向上平移4个单位； （D ）向右平移2个单位，向下平移4个单位；【2019届一模杨浦】5．如果二次函数中函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：那么这个二次函数的图像的对称轴是直线 （A ）0x =； （B ）12x =； （C ）34x =； （D ）1x =．【2019届一模普陀】1．已知二次函数2(1)3y a x =-+的图像有最高点，那么a 的取值范围是（ ▲ ） （A ）0a >； （B ）0a <； （C ）1a >； （D ）1a <．【2019届一模普陀】2．下列二次函数中，如果图像能与y 轴交于点A ()0,1，那么这个函数是（ ▲ ） （A ）23y x =； （B ）231y x =+；（C ）231()y x =+； （D ）23y x x =-．【2019届一模奉贤】2．关于二次函数21(1)2y x =+的图像，下列说法正确的是（▲） （A ）开口向下； （B ）经过原点；（C ）对称轴右侧的部分是下降的； （D ）顶点坐标是（1-，0）．【2019届一模奉贤】5．某同学在利用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++?的图像时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示：接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（▲） （A ）03x y ì=ïïíï=-ïî； （B ）21x y ì=ïïíï=-ïî； （C ）30x y ì=ïïíï=ïî； （D ）43x y ì=ïïíï=ïî．【2019届一模松江】2．把抛物线2x y =向右平移1个单位后得到的抛物线是（ ）（A ）12+=x y ； （B ）12-=x y ；（C ）2)1(+=x y ； （D ）2)1(-=x y ．【2019届一模嘉定】1．下列函数中，是二次函数的是(▲) （A ）12+=x y ； （B ）22)1(x x y --=； （C ）21x y -=；（D ）21xy =．【2019届一模嘉定】2．已知抛物线32+=x y 向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是(▲) （A ）3)2(2++=x y ； （B ）3)2(2+-=x y ；（C ）12+=x y ； （D ）52+=x y ．6． 已知二次函数2=++y ax bx c 的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ） A ．0>ac ； B ．0>b ； C ．0+<a c ； D ．+=0a b c +．【2019届一模静安】2．下列抛物线中，顶点坐标为(2,1)的是（A ）2(2)1y x =++； （B ）2(2)1y x =-+； （C ）2(2)1y x =+-； （D ）2(2)1y x =--．【2019届一模宝山】3．已知二次函数的图像经过点（1，-2），那么的值为（▲）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）．【2019届一模长宁】1．抛物线3)2(22-+=x y 的顶点坐标是（ ▲ ）（A ）)3,2(-； （B ）)3,2(--； （C ） )3,2(-； （D ） )3,2(．【2019届一模金山】1．下列函数是二次函数的是（ ▲ ） A ．x y = B ．x y 1= C ．22x x y +-= D ．21xy =O1x =1yx（第6题图）5．已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 如图所示，那么a 、b 、c 的取值范围是（ ▲ ）A ．0<a 、0>b 、0>cB ．0<a 、0<b 、0>cC ．0<a 、0>b 、0<cD ．0<a 、0<b 、0<c【2019届一模闵行】3．将二次函数22(2)y x =-的图像向左平移1 （A ）22(2)4y x =--； （B ）22(1)y x =-+（C ）22(1)3y x =--；（D ）223y x =-．【2019届一模闵行】4．已知二次函数2y a x b x c =++的图像如图所示，那么根据图像， 下列判断中不正确的是 （A ）a < 0； （B ）b > 0； （C ）c > 0；（D ）abc > 0．【2019届一模虹口】1．抛物线21y x =-与y 轴交点的坐标是A ．（-1，0）；B ．（1，0）；C ．（0，-1）；D .（0，1）．（第4题图）2．如果抛物线2(2)y a x =+开口向下，那么a 的取值范围为 A ．2a >； B ．2a <；C ．2a >-；D . 2a <-．【答案请见教师版（二）填空题【2019届一模徐汇】10．已知A （2-，1y ）、B （3-，2y ）是抛物线()21y x c =-+上两点，则1y ▲ 2y （填“>”“=”或“<”）．【2019届一模浦东】8. 如果2(3)(3)y k x k x =-+-是二次函数，那么k 需满足的条件是__________.【2019届一模浦东】13. 如果抛物线经过点A （2，5）和点B （4-，5），那么这条抛物线的对称轴是直线__________.【2019届一模浦东】14. 已知点A （5-，m ）、B （3-，n ）都在二次函数2152y x =-的图像上，那么m 、n 的大小关系是：m __________n .（填“＞”、“＝”或“＜”）12．如果开口向下的抛物线2254(0)y ax x a a =++-?过原点，那么a 的值是 ▲ ．【2019届一模杨浦】13．如果抛物线22y x bx c =-++的对称轴在y 轴的左侧，那么b ▲ 0（填入“<”或“>”）.【2019届一模杨浦】14．已知点A （11,x y ）、B （22,x y ）在抛物线22y x x m =++上，如果120x x <<，那么1y ▲ 2y （填入“<”或“>”）.【2019届一模普陀】9．如果抛物线221y x x m =++-经过原点，那么m 的值等于 ▲ ．【2019届一模普陀】10．将抛物线21342()y x =+-先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ▲ ．【2019届一模普陀】11．已知抛物线221y x bx =+-的对称轴是直线1x =，那么b 的值等于 ▲ ．【2019届一模普陀】17．已知二次函数2y ax c =+0()a >的图像上有纵坐标分别为1y 、2y 的两点A 、B ，如果点A 、B 到对称轴的距离分别等于2、3，那么1y ▲ 2y ．（填“<”、“=”或“>”）【2019届一模奉贤】9．如果函数2(1)y m x x =-+（m 是常数）是二次函数，那么m 的取值范围是 ▲ ．【2019届一模奉贤】10．如果一个二次函数的图像在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ▲ ．（只需写一个即可）【2019届一模奉贤】11．如果将抛物线22y x =-向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直线 ▲ ．【2019届一模松江】11．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______．【2019届一模松江】12．如果点()14,A y -、()23,B y -是二次函数22+y x k =（k 是常数）图像上的两点，那么1y _______2y ．（填“>”、“<”或“=”）7．如果抛物线k x k y +-=2)2(的开口向上，那么k 的取值范围是 ▲ ．【2019届一模嘉定】8．抛物线x x y 22+=与y 轴的交点坐标是 ▲ ．【2019届一模嘉定】9．二次函数a x x y ++=42图像上的最低点的横坐标为 ▲ ．【2019届一模青浦】10．二次函数241y x x =--的图像的顶点坐标是 ▲ ．【2019届一模青浦】11．抛物线 的对称轴是直线1=x ，那么m = ▲ ．【2019届一模青浦】12．抛物线 在y 轴右侧的部分是 ▲ ．（填“上升”或“下降”）23y x mx m =-+-22y x =-13．抛物线2(1)(0)y ax a a =+-≠经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是 ▲ 的．(填“上升”或“下降”)【2019届一模宝山】7．二次函数21y x =-图像的顶点坐标是 ▲ ．【2019届一模宝山】8．将二次函数22x y =的图像向右平移3个单位，所得图像的对称轴为 ▲ ．【2019届一模宝山】9．请写出一个开口向下，且经过点（0，2）的二次函数解析式 ▲ ．【2019届一模长宁】8．如果抛物线3)3(2--=x m y 有最高点，那么m 的取值范围是 ▲ ．【2019届一模长宁】13．若点)7,1(-A 、)7,5(B 、)3,2(--C 、)3,(-k D 在同一条抛物线上，则k 的值等于 ▲ ．7．已知二次函数()132+-=x x x f ，那么()=2f ▲ ．【2019届一模金山】8．已知抛物线1212-=x y ，那么抛物线在y 轴右侧部分是 ▲ （填“上升的”或“下降的”）．【2019届一模闵行】9．抛物线232y x x =++与y 轴的公共点的坐标是 ▲ ．【2019届一模闵行】10．已知二次函数2132y x =--，如果x > 0，那么函数值y 随着自变量x 的增大而▲ （填“增大”或“减小”）．【2019届一模虹口】9．如果抛物线22y ax =+经过点（1，0），那么a 的值为 ▲ ．【2019届一模虹口】10．如果抛物线2(1)y m x =-有最低点，那么m 的取值范围为 ▲ ．【2019届一模虹口】11．如果抛物线2()1y x m m =-++的对称轴是直线x=1，那么它的顶点坐标为 ▲ ．【2019届一模虹口】12．如果点A （-5，y 1）与点B （-2，y 2）都在抛物线2(1)1y x =++上，那么y 1 ▲ y 2（填“>”、“<”或“=”）．Ⅲ、锐角三角比（一）选择题【2019届一模徐汇】3．若斜坡的坡比为1∶3，则斜坡的坡角等于 A ．︒30； B ．︒45；C ．︒50；D ．︒60．【2019届一模浦东】1. 已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =15，那么下列等式正确的是（ ） （A ）sinA =817； （B ）cosA =815； （C ）tanA =817； （D ）cotA =815.【2019届一模浦东】5. 如图1，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（ ） （A ）cot cot m αβ-千米； （B ）cot cot mβα-千米；（C ）tan tan m αβ-千米； （D ）tan tan mβα-千米.【2019届一模杨浦】3．如果△ABC 中，∠C =90°，1sin 2A =，那么下列等式不正确的是 （A ）2cos 2A =； （B ）cot 3A =； （C ）3sin B =； （D ）tan 3B =．图13．如图1，在直角坐标平面内，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，如果 OAtan 3a =，那么点A 的坐标是（▲） （A ）（1，3）； （B ）（3，1）；（C ）（1；（D ）（3．【2019届一模松江】1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝4，BC=3，那么∠A 的正切值为（ ） （A ）43； （B ）34； （C ）53； （D ）54．【2019届一模嘉定】3．已知在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5=BC ，那么AB 的长为(▲) （A ）A sin 5； （B ）A cos 5； （C ）Asin 5； （D ）Acos 5．【2019届一模青浦】3．在Rt △ABC 中，∠C =90º，如果∠A =α，BC =a ，那么AC 等于（ ）A . tan α⋅a ；B . cot α⋅a ；C .sin α⋅a ； D .cos α⋅a ．【2019届一模静安】3．在Rt ABC ∆中，90C ∠=o ，如果A α∠=，3AB =，那么AC 等于 （A ）3sin α ； （B ）3cos α； （C ）3sin α； （D ）3cos α．图14．如图2，直角坐标平面内有一点)42(，P ,则OP 与x 轴正半轴的夹角α的余切值为（▲） （A ）2； （B ）21； （C ）55； （D ）5.【2019届一模长宁】3．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果31cos =B ，a BC =，那么AC 的长是（ ▲ ） （A ） a 22； （B ） a 3； （C ）a 10； （D ）a 42．【2019届一模金山】2．在ABC Rt ∆中，o90=∠C ，那么B ∠sin 等于（ ▲ ） A ．AB AC B ．AB BC C ．BC AC D ．ACBC【2019届一模闵行】1．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式中不成立的是 （A ）tan bB a=； （B ）cos a B c=； （C ）sin a A c =； （D ）cot a A b=．【2019届一模闵行】2．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在 乙船的（A ）北偏东30°； （B ）北偏西30°； （C ）北偏东60°； （D ）北偏西60°．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=5，AB=13，那么cosA的值为A．513；B．1213；C．125；D．512．【2019届一模虹口】4．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1:2，物体沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为A．5米；B．53米；C．25米；D．45米．（二）填空题【2019届一模徐汇】12．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，则sinA的值为▲．【2019届一模徐汇】15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，CG=2，2sin3ACG∠=，则BC长为▲ ．A 第3题图A第4题图AB传送带【2019届一模徐汇】16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间．．．B 点垂直起飞到高度为50米的A 处，测得1号楼顶部E 的俯角为60°，测得2号楼顶部F 的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则 2号楼的高度为 ▲米（结果保留根号）．【2019届一模浦东】12. 已知某斜面的坡度为1:3，那么这个斜面的坡角等于__________度.【2019届一模杨浦】11．在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，如果点G 为重心，那么∠GCB 的余切值为 ▲ ．【2019届一模杨浦】16．某单位门前原有四级台阶，其横截面如图所示，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残障人士，拟将它改成斜坡，设台阶的起点为A 点，斜坡的起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 ▲ cm ．【2019届一模普陀】13．在Rt △ABC 中，ACB ∠=90°，3AB =，1BC =，那么A ∠的正弦值是 ▲ ．（第16题图）ACB30cm18cm（第16题图）【2019届一模普陀】15．如图3，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，1tan 2ABD ∠=，5BC =，那么DC 的长等于 ▲ ．【2019届一模奉贤】8．计算：sin30tan60胺?= ▲ ．【2019届一模奉贤】16．如图4，某水库大坝的横截面是梯形ABCD ，坝顶宽DC 是10米，坝底宽AB 是90米，背水坡AD 和迎水坡BC 的坡度都为1:2.5，那么这个水库大坝的坝高是 ▲ 米．【2019届一模松江】9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果sinA =52，BC=4，那么AB=________．图3ABCD图4ACD1:2.51:2.513．小明沿坡比为1︰3的山坡向上走了100米．那么他升高了______米．【2019届一模嘉定】14．已知在△ABC 中，4==AC AB ，6=BC ，那么=B cos ▲ ．【2019届一模嘉定】15．小杰在楼下点A 处看到楼上点B 处的小明的仰角是42度，那么点B 处的小明看点A处的小杰的俯角等于 ▲ 度．【2019届一模青浦】13．如果α是锐角，且sin α=cos 20°，那么α= ▲ 度．【2019届一模青浦】14．如图，某水库大坝的橫断面是梯形ABCD ，坝高为15米，迎水坡CD 的坡度为1:2.4，那么该水库迎水坡CD 的长度为 ▲ 米．【2019届一模青浦】15．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C都在这些小正方形的顶点上，则tan ∠ABC 的值为 ▲ ．11．如图2，在点A 处测得点B 处的仰角是 ▲ ．(用“1,2,3∠∠∠或4∠”表示)【2019届一模静安】12．如图3，当小明沿坡度1:3i =的坡面由A 到B 行走了6米时，他实际上升的高度BC = ▲ 米．【2019届一模宝山】13．Rt ∆ABC 中，若∠C =90︒，AC AB 2=，则B sin = ▲ ．【2019届一模长宁】14．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l 上有A 、B 两个游船码头，观光岛屿C 在码头A 的北偏东60°方向、在码头B 的北偏西45°方向，4=AC 千米．那么码头A 、B 之间的距离等于 ▲ 千米．（结果保留根号）1B4图23A2水平线水平线铅垂线铅垂线ACB图3第14题图 60°45° C西 东南 北lA B10．已知α是锐角，21sin =α，那么=αcos ▲ ．【2019届一模金山】13．如图，为了测量铁塔AB 的高度，在离铁塔底部（点B ）60米的C 处，测得塔顶A 的仰角为ο30，那么铁塔的高度=AB ▲ 米．【2019届一模金山】17．如图，在ABC ∆中，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，5==AC AB ，54cos =∠C ，那么=GE ▲ ．【2019届一模闵行】14．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB =1tan 3A =，那么BC = ▲ ．【2019届一模闵行】15．某超市自动扶梯的坡比为1︰2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为 ▲ 米．GA BCD E第17题ABC第13题图13．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果sinA =23，BC =4，那么AB 的长为 ▲ ．【2019届一模虹口】16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的中线，过点A 作AE ⊥CD 交BC 于点E ．如果AC=2，BC=4，那么cot ∠CAE = ▲ ． 【答案请见教师版第16题图A 第13题图Ⅳ、向量（一）选择题【2019届一模徐汇】5．若2a e =r r ，向量b r 和向量a r方向相反，且2b a =r r ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．2a =r；B ．4b =r；C ．4b e =r r ；D ．12a b =-r r ．【2019届一模普陀】4．已知a →、b →、c →都是非零向量，如果2a c →→=，2b c →→=-， 那么下列说法中，错误的是（ ▲ ）（A ）a →∥b →； （B ）||||a b →→=； （C ）0a b →→+=； （D ）a →与b →方向相反．【2019届一模杨浦】4．下列关于向量的运算中，正确的是（A ）a b b a -=-r r r r ；（B ）2()22a b a b --=-+r r r r；（C ）()0a a +-=r r；（D ）0a a +=r r．【2019届一模奉贤】4．对于非零向量a r 、b r ，如果23a b =r r，且它们的方向相同，那么用向量a r 表示向量b r 正确的是（▲）（A ）32b a =r r ； （B ）23b a =r r ；（C ）32b a =-r r ； （D ）23b a =-r r．【2019届一模松江】5．已知e →为单位向量，a r=-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） （A ）a r ∥e →；（B ）3a =r ； （C ）a r 与e →方向相同； （D ）a r 与e →方向相反．4．如图1，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且CD BD 2= =，b BC =，那么等于(▲) （A ）+=； （B ）3232+=；（C ）32-=；（D ）32+=．【2019届一模青浦】4．下列判断错误的是（ ）A . 0=0r ra ； B . 如果+2=r rr a b c ，3-=r r r a b c ，其中0≠r r c ，那么r a ∥rb ；C . 设re 为单位向量，那么||1=r e ； D . 如果||2||=rra b ，那么2=r r a b 或2=-r ra b ．【2019届一模静安】6．下列说法中不正确的是（A ）设e r为单位向量，那么1e =r ；（B ）已知：a b c u r r r 、、都是非零向量，如果2,4a c b c ==-r r r r，那么a r ∥b r ；（C ）四边形ABCD 中，如果满足AB ∥CD ，AD BC =uuu r uu u r，那么这个四边形一定是平行四边形；（D ）平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．【2019届一模宝山】5．设m ,n 为实数，那么下列结论中错误的是（▲）（A ）mn n m )()(= ； （B ）n m n m +=+)（ ； （C ）m m m +=+)(； （D ）若0=a m ，那么0=a ．【2019届一模长宁】4．如果2||=，21-=，那么下列说法正确的是（ ▲ ） （A ）||2||a b =； （B ）是与方向相同的单位向量 ；（C ） 2=-； （D ） //．【2019届一模金山】4．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（ ▲ ） Aa = Bb = Ce = D=图15．已知：点C 在线段AB 上，且AC = 2BC ，那么下列等式一定正确的是（A ）423AC BC AB +=uuu r uu u r uu u r； （B ）20AC BC -=u u u r u u u r r ；（C ）AC BC BC +=uuu r uu u r uu u r ； （D ）AC BC BC -=uuu r uu u r uu u r．【2019届一模虹口】5．如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为A ．3a e =r r ；B ．3a e =-r r ；C ．3e a =r r ；D ．3e a =-r r ．（二）填空题【2019届一模徐汇】9．计算：()3242a b b --=rr r ▲ ．【2019届一模徐汇】14．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是梯形ABCD 的中位线，AH ∥CD 分别交EF 、BC 于点G 、H ，若AD a =uuu r r ，BC b =uu u r r ，则用a r 、b r表示EG =uuu r ▲ ．【2019届一模浦东】11. 已知向量a r 与单位向量e r 的方向相反，4a =r ，那么向量a r 用单位向量e r表示为__________.【2019届一模普陀】8．化简：1322()()a b a b →→→→+--= ▲ ．【2019届一模奉贤】7．计算: 132()2a ab +-r r r= ▲ ．15．如图，已知△ABC ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且13AD AE AB AC ==．设AB a =u u u r r ，DE b =u u u r r ，那么AC =u u u r______________.（用向量、表示）【2019届一模嘉定】12．如果向量、、满足关系式b b x a 4)3(2=--，那么= ▲ （用向量、表示）．【2019届一模青浦】8． 计算：3(2)2(3)a b a b ---v vv v = ▲ ．【2019届一模静安】14．如图4，AD //BC ，AC 、BD 相交于点O ，且:1:4AOD BOC S S ∆∆=．设AD a =uuu r r ，DC b =uuu r r ，那么向量AO uuu r=▲ ．（用向量a b u r r、表示）【2019届一模宝山】10．= ▲ ．【2019届一模金山】15．如图，已知O 为ABC ∆内一点，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，（用b 、且52=AB AD ，BC DE //，设b OB =、c OC =，那么=DE ▲ 表示）．（第15题图）图4CBO ADBACDE O【2019届一模闵行】8．化简：313()222a b a b -++-=r r r r▲ ．【2019届一模虹口】8．计算：2(3)a b a --r r r= ▲ ．Ⅴ、圆（一）选择题【2019届一模普陀】5．已知⊙1O 和⊙2O ，其中⊙1O 为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（ ▲ ）（A ）1； （B ）4； （C ）5； （D ）8．【2019届一模奉贤】6．已知⊙A 的半径AB 长是5，点C 在AB 上，且AC =3，如果⊙C 与⊙A 有公共点，那么⊙C 的半径长r 的取值范围是（▲）（A ）2r ³； （B ）8r £； （C ）28r <<； （D ）28r ＃．【2019届一模嘉定】6．已知点C 在线段AB 上（点C 与点A 、B 不重合），过点A 、B 的圆记作为圆1O ，过点B 、C 的圆记作为圆2O ，过点C 、A 的圆记作为圆3O ，则下列说法中正确的是(▲) （A ）圆1O 可以经过点C ； （B ）点C 可以在圆1O 的内部； （C ）点A 可以在圆2O 的内部； （D ）点B 可以在圆3O 的内部．【2019届一模宝山】6．若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标是(1，2)，点P 的坐标是(5，2)，则点P 的位置为（▲） （A ）在⊙A 内； （B ）在⊙A 上； （C ）在⊙A 外； （D ）不能确定．【2019届一模长宁】5．在直角坐标平面内，点O 是坐标原点，点A 的坐标是)2,3(，点B 的坐标是)43,(-．如果以点O 为圆心，r 为半径的圆O 与直线AB 相交，且点A 、B 中有一点在圆O 内，另一点在圆O 外，那 么r 的值可以取（ ▲ ）（A ）5； （B ）4； （C ）3； （D ）2．【2019届一模金山】6．如图，在ABC Rt ∆中，o 90=∠C ，2=BC ，ο60=∠B ，⊙A 的半径为3，那么下列说法正确的是（ ▲ ） A ．点B 、点C 都在⊙A 内 B ．点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外 C ．点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外 D ．点B 、点C 都在⊙A 外ABC第6题图（二）填空题【2019届一模普陀】14．正八边形的中心角为 ▲ 度．【2019届一模奉贤】13．如图3，已知AB 是⊙O 的弦，C 是»AB 的中点，联结OA 、AC ，如果∠OAB =20° ，那么∠CAB 的度数是▲ ．【2019届一模奉贤】15．如果正n 边形的一个内角是它的中心角的2倍，那么n 的值是 ▲ ．【2019届一模嘉定】16．如图2，在圆O 中，AB 是弦，点C 是劣弧AB 的中点，联结OC ，AB 平分OC ，联结OA 、OB ，那么=∠AOB ▲ 度．【2019届一模嘉定】17．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于 ▲ 厘米．【2019届一模宝山】16. ⊙O 的直径AB =6，C 在AB 延长线上，BC =2，若⊙C 与⊙O 有公共点，则⊙C 的半径r 的取值范围是 ▲ ．图2【2019届一模长宁】10．边长为6的正六边形的边心距等于 ▲ ．【2019届一模长宁】15．在矩形ABCD 中，2=AB ，4=AD ，若圆A 的半径长为5，圆C 的半径长为R ，且圆A 与圆C 内切，则R 的值等于 ▲ ．【2019届一模金山】11．一个正n 边形的中心角等于ο18，那么=n ▲ ．【2019届一模金山】16．如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，延长连心线21O O 交⊙2O 于点P ，联结PA 、PB ，若ο60=∠APB ,6=AP ，那么⊙2O 的半径等于 ▲ ．【2019届一模金山】14．已知⊙1O 、⊙2O 的半径分别为2和5，圆心距为d ,若⊙1O 与⊙2O 相交，那么d 的取值范围是 ▲ ．P第16题。