九年级上册数学应用一元二次方程

1 一元二次方程的应用—面积问题

知识与技能

1.以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.

2.能根据实际问题正确列出一元二次方程解应用题.

3.能够发现，归纳出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决问题.

4.提高分析问题，解决问题的能力。

过程与方法

通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。

情感态度与价值观，培养学生数形结合的思想。

重点：二次函数的模型的刻画

难点：二次函数的性质的应用

教学过程

教学环节 教 师 活 动 学生活动 设计意图

2

创

设

情

境

引

入

新

课.。

[创设情境 引入新课]

1. 请学生回顾举行的面积公式，并进行两个小题的列方程来巩固矩形的面积公式。

2问:若纸板长为80cm,宽60cm，做成的长方体盒子底面积1500cm2。同学们想一想怎样求剪去的小正方形的边长。

3 把无盖长方体盒重新展开，又会得到原来的长方形纸板，帮助学生从实际问题中提炼出数学问题。

1.学生们动手制作，在长方形纸板的四个角上截去四个大小相同的正方形，然后把四边折起做成一个无盖的长方体包装盒..

2.小组讨论

学生们不难发现截去的正方形的边长就是盒子的高.

从学生熟悉的矩形的面积入手，能迅速激发学生参与学习的兴趣；让学生发现生活中有些实际问题可以通过列一元二次方程来解决，从而顺利地引入新课。

3 4. 这个问题是用一元二次方程来解决的,这正是我们这节课要讲的内容---一元二次方程的应用

板书课题：一元二次方程的应用

[知识准备

承前起后]

5.请学生回答列方程解应用题的一般步骤

生:设、列、解、验、答 3. 学生思考并进行列方程计算以及结合题目中的已知条件，正确决定一元二次方程两个根的取舍.

九年级数学一元二次方程实际应用

大家好！今天咱们来聊聊一个看似有点神秘的数学概念——一元二次方程。不过别担心，咱们不是要搞什么复杂的公式，而是要看看这些方程是怎么在我们生活中派上用场的。你可能会问，这玩意儿跟咱们的日常生活有什么关系呢？其实，关系大着呢！一起来瞧瞧吧！

1. 一元二次方程的基础知识

首先，咱们得了解一下什么是一元二次方程。简单来说，一元二次方程就是形如

( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b )、和 ( c ) 是常数，( x ) 是我们要找的变量。听起来有点儿抽象？别急，我们用实际的例子来解释一下。

1.1. 生活中的例子

举个简单的例子吧。如果你家有一个小花园，你想种一排花。假设你种的花每行需要的空间是固定的，而且你还希望每行的花之间有一定的间隔。假设花间距是2米，而你想要种6排花。你想知道需要多长的空间？这时候，一元二次方程就可以帮你计算出这个长度了。

1.2. 小故事

比如说，小明决定在他家花园里种花。他量了一下花园的长度和宽度，然后想要把花园分成几个小区域，每个区域种一种花。经过一番计算，他发现这个问题可以用一元二次方程来解决。经过几次试错和计算，小明终于找到了一种合适的种植方案，这样既美观又实用。

2. 一元二次方程在实际生活中的应用

一元二次方程不仅仅是在数学课上出现，它们其实在很多实际问题中都能找到身影。下面我们来看几个实际应用的例子。

2.1. 解决问题

想象一下，你有一个游泳池，你想在池子里放一个大的浮排。如果浮排的面积是固定的，你又想知道池子里最大能放多大的浮排。这里的“浮排面积”就是我们的一元二次方程中的一个参数，通过计算，你就能得到浮排的最大尺寸了。

2.2. 购物打折

还有一个常见的应用场景，就是购物打折。比如说，你要买一件原价200元的衣服，现在商店搞了一个“买一送一”的活动，但你只想买一件。假设你能用一元二次方程计算打折后的实际花费，那么你就能准确知道自己能省多少钱。

列一元二次方程解应用题

教学目标：学会列一元二次方程解简单应用题；

教学重点：列一元二次方程解简单应用题；

教学难点：学会解例2类应用题；

教具准备：图3能移动的硬纸板框，练习5图示硬纸板．

教学过程：

一、复习引入：

1、初一我们学习过列一元一次方程和列二元一次方程组解应用题，列方程解应用题的一般步骤是怎样的？（教师板书）

⑴审题；（分析题意，找出等量关系，分析题中的数量关系，设未知数）

⑵列有关的一次式；

⑶列方程；⑷解方程；⑸检验作答（二层含义：①检验准确性；②是否符合实际）．

2、今天我们要学习的列一元二次方程解应用题的步骤和以前基本上相同

二、新课学习：

例1 台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下所示），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？

⑴甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米．

解：设道路宽为x米，根据题意，得

答：本方案的道路宽为 米．

⑵乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米．

解：设道路宽为x米，根据题意，得

答：本方案的道路宽为 米．

⑶丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米．

解：设道路宽为x米，根据题意，得

3220图1

3220图2

3220图3

答：本方案的道路宽为 米．

练习1：要做一个高是8cm，底面的长比宽多5cm，体积是5283cm的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？

解：设底面宽为xcm，则底面长为 cm，根据题意，得

答：长方体的底面长为 cm，宽为 cm．

例2（98年吉林省中考题）某乡产粮大户，1995年粮食产量为50吨，由于加强了经营和科学种田，1997年粮食产量上升到60.5吨．求平均每年增长的百分率．

分析：1995年粮食产量为50吨为基数，设平均每年增长的百分率为x，则

九年级上册一元二次方程应用题

一、面积问题。

1. 用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm²的无盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长。

- 解析：设小正方形的边长为x cm。

- 那么长方体盒子底面的长为(80 - 2x)cm，宽为(60 - 2x)cm。

- 根据长方体底面积公式S =长×宽，可得到方程(80 - 2x)(60 - 2x)=1500。

- 展开方程得4800-160x - 120x+4x^2=1500。

- 整理得4x^2-280x + 3300 = 0，两边同时除以4得x^2-70x+825 = 0。

- 分解因式得(x - 15)(x - 55)=0。

- 解得x_1=15，x_2=55。

- 因为60 - 2x>0，80 - 2x>0，当x = 55时，60-2x=60 - 110=- 50<0（舍去）。

- 所以截去的小正方形的边长为15cm。

2. 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm²，求两条直角边的长。

- 解析：设一条直角边为x cm，则另一条直角边为(14 - x)cm。

- 根据直角三角形面积公式S=(1)/(2)×一条直角边×另一条直角边，可得方程(1)/(2)x(14 - x)=24。

- 去分母得x(14 - x)=48。 - 展开得14x-x^2=48，整理得x^2-14x + 48 = 0。

- 分解因式得(x - 6)(x - 8)=0。

- 解得x_1=6，x_2=8。

- 当x = 6时，14 - x = 8；当x = 8时，14 - x = 6。

- 所以两条直角边的长分别为6cm和8cm。

二、增长率问题。