功能关系 高三 一轮 复习

5.4功能关系

『夯实基础知识』

深刻理解功能关系，掌握能量守恒定律。

力做功时，必然伴随着能量的转化，而且功与能量转化的量值是相等的。这一等量关系不仅提供了计算功的大小的另一种途径（既适于恒力功也适于变力功），而且涉及功、能的其他物理量也可能在这一等量关系中求出，因此我们对做功的认识应提高到明确是什么力对哪个研究对象做功，引起哪些能量的变化。

1．做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度。

能量守恒和转化定律是自然界最基本的规律之一。而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。本章的主要定理、定律都可由这个基本原理出发而得到。

需要强调的是：功是一个过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一个状态量，它与一个时刻相对应。两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。

高中常涉及以下几种力的功引起的相应的能量变化的等量关系

（1）力的做功与运动路径无关，只取决于初始和终止位置，如万有引力、重力、弹簧的弹力、静电力和分子力等力的做功特点都是这样的，这些力都有对应的势能，并且，万有引力（重力、弹簧的弹力、静电力和分子力）等各力对物体所做的功等于各自对应的势能变化数值相等

以上各力做功时，力对物体做正功，则物体对应的势能减少；力对物体做负功（或物体克服力做功），则物体对应的势能增加。

（2）力的做功与实际运动路径有关，如摩擦力、阻尼力和粘滞力等力做功特点都是这样的，这些力在做功时往往要消耗物体系的机械能。如一对摩擦力在两物体之间做功时有：两物体间的滑动摩擦力对物体系做的功与物体系中生成的热（减少的机械能）数值相等。即：损热相对EQflWf（公式中相对l是物体之间的相对位移，热Q为物体系所产生的热，损E为物体系损失的机械能）

2．复习本章时的一个重要课题是要研究功和能的关系，尤其是功和机械能的关系。突出：“功是能量转化的量度”这一基本概念。

①物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=ΔEk，这就是动能定理。

②物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG= -ΔEP，这就是势能定理。

③物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其=ΔE机，（W其表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理。

④当W其=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。

⑤一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。Q=fd（d为这两个物体间相对移动的路程）

（五）、能的转化和守恒定律

（1）能量守恒定律的具体表现形式

高中物理知识包括“力学、热学、电学、光学、原子物理”五大部分内容，它们具有各自的独立性，但又有相互的联系性，其中能量守恒定律是贯穿于这五大部分的主线，只不过在不同的过程中，表现形式不同而已，如：

在力学中的机械能守恒定律：

2211pkpkEEEE

在热学中的热力学第一定律：QWU

在电学中的闭合电路欧姆定律：rREI，法拉第电磁感应定律tnE，以及楞次定律。

在光学中的光电效应方程：Whvmm221

在原子物理中爱因斯坦的质能方程：2mcE

（2）利用能量守恒定律求解的物理问题具有的特点：

①题目所述的物理问题中，有能量由某种形式转化为另一种形式；

②题中参与转化的各种形式的能，每种形式的能如何转化或转移，根据能量守恒列出方程即总能量不变或减少的能等于增加的能

『题型解析』

类型题： 各力做功引起相应的能量变化

重力做功与重力势能的改变量相等

【例题】在水平地面上铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h。如将砖一块一块地叠放起来，至少做多少功？

★解析：画出如图4的草图，根据功能关系可知：

只要找出砖叠放起来时总增加的能量E，就可得到EW人。

∴

mghnnhnmgnhnmgEEEW)1(212121初末人

【例题】如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴n块 nh 接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态，现施力将物块1缓慢地竖直上提直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面，在此过程中，物块2的重力势能增加了____________，物块1的重力势能增加了___________。

★解析：平衡时，弹簧k2形变为x2=221kgmm）（，上提至下端脱离桌面，弹簧恢复原长，物块2升高了x2，其重力势能增量为m2gx2=m2g221kgmm）（。平衡时，弹簧k1压缩量x1=11kgm，拉升后弹簧k1拉伸量x2/=12kgm，物块1升高为x1+x1/+x2，重力势能增量为：m1g（1211kgmkgmgkmm221）= m1g（m1+m2）g（2111kk）

弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等

【例题】如图所示，质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A以v0=5米/秒的初速度滑下，与处于原长的弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功。

★解析：弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。由于斜面光滑故机械能守恒，取B点所在平面为零势面，得：

22pmvmghE pWE弹

代入数得： 125()WJ弹。

说明：此题也可以直接用动能定理求弹力做功，对木快整个过程运用动能定理，0mghW弹 125()WmghJ弹

摩擦力与该力对应的物体间相对位移的乘积数值上等于系统机械能的损失

两个物体相互摩擦而产生的热量Q（或说系统内能的增加量）等于物体之间滑动摩擦力f与这两个物体间相对滑动的路程的乘积，即相对sfQ。利用这结论可以简便地解答高考试题中的“摩擦生热”问题。下面就举例说明这一点。公式：

12KKKFdEEE

证明：质量为m的子弹以水平速度 v1 射入以速度 v2 沿同一方向运动的木块中，木块质量为过程M，当子弹进入木块深度为 d 时，子弹和木块的速度分别为v1′ 和v2′，若木块和子弹的相互作用力恒为f，求这一过程中子弹和木块组成的系统损失的动能。

★解析：设木块位移为 s ，子弹相对木块位移为d，相对地面位移为s + d，根据动能定理：对木块：

222'22121MMsf

对子弹：

2'1212121)(mmdsf

两式相减：

2'22'1222121212121MmMmdfEk

说明：上式表示系统动能损失的数值为fd，而22212Mvmv为系统在相互作用前的初动能，'2'2212Mvmv为系统在相互作用后的末初动能，故系统动能的损失等于运动阻力f与子弹相对木块的位移 d 的乘积，损失的动能转化成系统的内能。此结论可归纳为： 滑动摩擦力和力对应的物体间相对位移的乘积数值上等于系统机械能的损失，12KKKFdEEE，这结论广泛应用于类似的动能变化关系的问题之中

【例题】如图所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C。重物A（A视质点）位于B的右端，A、B、C的质量相等。现A和B以同一速度滑向静止的C，B与C发生正碰。碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行，A与C有摩擦力。已知A滑到C的右端面未掉下。试问：从B、C发生正碰到A刚移动到C右端期间，C所走过的距离是C板长度的多少倍？

★解析：设A、B、C的质量均为m。B、C碰撞前，A与B的共同速度为V0，碰撞后B与C的共同速度为V1。对B、C构成的系统，由动量守恒定律得：mV0=2mV1

设A滑至C的右端时，三者的共同速度为V2。对A、B、C构成的系统，由动量守恒定律得：2mV0=3mV2

设C的长度为L， A与C的动摩擦因数为μ，则据摩擦生热公式和能量守恒定律可得：2220213.21212.21mVmVmVmgLQ

设从发生碰撞到A移至C的右端时C所走过的距离为S，则对B、C构成的系统据动能定理可得：2122)2(21)2(21VmVmmgS

由以上各式解得37LS。

（此题要注意最后三者的共同速度是032，而不是031）

摩擦力做的负功应为物体受到的摩擦力与物体路程的乘积

【例题】下图所示，一个质量为m的小球自高为h的地方，由静止落下，空气阻力为小球重力的0.02倍。小球与地面碰撞无机械能损失，小球多次弹起落下，最后静止于地面。小球从下落开始到最后停下来运动的总路程为多少？

★解析：小球运动中受重力，空气阻力作用。重力做功只与始位置有关，而空气阻力做功与路程有关，取高为h处为初态，静止时为末态。

∴ ∴

【例题】如图15所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部都足够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200，半径R=2.0m，一个物体在离弧底E高度为h=3.0m处，以初速度V0=4m/s沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=0.02，则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程？（g=10m/s2）。 0fWmghfsWfmgf02.0mghfshhs5002.0/h A B C

★解析：由于滑块在斜面上受到摩擦阻力作用，所以物体的机械能将逐渐减少，最后物体在BEC圆弧上作永不停息的往复运动。由于物体只在在BEC圆弧上作永不停息的往复运动之前的运动过程中，重力所做的功为WG=mg(h-R/2)，摩擦力所做的功为Wf=-μmgscos600，由动能定理得：

mg(h-R/2) -μmgscos600=0-2021mV ∴s=280m

【例题】如图所示，一质量为M的小车停放在光滑水平面上，车上放着一个质量为m的物块，物块与车面的动摩擦因数为μ，现给m一水平向右、大小为0mv的瞬时冲量，则物块在车上滑行的路程s=？。（设物块与车挡板碰撞时没有能量损失）

★解析：经过若干次碰撞物块与小车以共同的速度一起运动，设两者的共同速度为V，由动量守恒定律得：VmMmv)(0（1）

在这一过程中，物块和小车组成系统所减少的机械能全部转化为内能，∴220)(2121VmMmvmgsQ（2）

由（1）（2）两式得：)(220mMgMvs

电场力做的功在数值上等于电势能的变化量

【例题】一个带正电的质点，电量q=2.0×10-9库，在静电场中由a点移到b点，在这过程中，除电场力外，其他力作的功为6.0×10-5焦，质点的动能增加了8.0×10-5焦，则a、b两点间的电势差abU为( Ｂ )。

A．4310V B．4110V

C．4410V D．4710V

【例题】一质量为m的带电小球，在竖直方向的匀强电场中以水平射出，小球的加速度A

B C D

O R

E h