台体表面积及体积公式推导

1。.3。2球的体积和表面积(1）

设球的半径为R,将半径OAn等分，过这些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片",这些“小圆片"的体积之和就是半球的体积。

由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片"的厚度，底面就是“小圆片”的下底面。

由勾股定理可得第i层（由下向上数)“小圆片”的下底面半径：

，（i＝1，2，3，···，n）

第i层“小圆片"的体积为：

V≈π·＝，（i＝1，2，3，···,n）

半球的体积:V半径＝V1＋V2＋···＋Vn

≈｛1＋（1－）＋（1－）＋···＋[1－]｝

＝［n－］（注：）

＝［n－＝)＝ ①

当所分的层数不断增加,也就是说，当n不断变大时，①式越来越接近于半球的

体积,如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。

事实上，n增大，就越来越小，当n无限大时，趋向于0，这时,有

V半径＝，所以，半径为R的球的体积为： V＝

1.。3。2球的体积和表面积(2）

球的表面积推导方法（设球的半径为R,利用球的体积公式推导类似方法)

（1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1,S2，……

Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋……＋Sn

把球心O和每一个“小球面片"的顶点连接起来，整个球体被分成n个以“小球

面片”为底,球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后

就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片"为底面的“小锥体"。这样“小锥体”

的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么

“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样)，这时,每一个“小锥体”就近

似于棱锥,它们的高近似于球的半径R。

(2）求近似和.设n个“小锥体"的体积分别为V1，V2,…，Vn

那么球的体积为：V＝V1＋V2＋…＋Vn

1 设棱台的上下底面半径分别为r与R，高为h。将棱台补成圆锥，则小圆锥与大圆锥的相似比为r：R，则可以设小圆锥与大圆锥的高分别为r·x与R·x，则R·x－r·x＝h，则x＝h/(R-r)。

而圆台的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积＝（1/3）·π·R＾2·R·x－（1/3）·π·r＾2·r·x＝（1/3）·π·（R＾3－r＾3）·x。将前面x代入上式得，圆台的体积＝（1/3）·π·（R＾3－r＾3）·[h/(R-r)]，利用三次立方差公式分解因式并约分得，圆台的体积＝（1/3）·πh·（R＾2＋R·r＋r＾2）。

2 圆台侧面展开，就是一个大的扇形挖掉一个小的扇形

假设：大的扇形，半径是A,小的扇形，半径是a

那么他们对应的圆心角是一样的，也就是2πr/a=2πR/A=θ

所以(2πR-2πr)/(A-a)=θ也成立，这是由比例式性质得到的

这里A-a=L，也就是侧面母线长度,那么(2πR-2πr)/L=θ

所以a=(2πr)/θ=rL/(R-r) A=(2πR)/θ=RL/(R-r)

小扇形的面积S1=*θa^2 大扇形的面积S2=*θA^2

相减得到：侧面积=*θ(A+a)(A-a)= * [(2πR-2πr)/L] * (R+r)L/(R-r) * L

最后整理一下，正好得到: 侧面积=π（RL+rL)

两个底面面积很简单，就不说了 最后三部分加起来，就是

S=π(R2+r2+RL+rL)

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

学 习 目 标 核 心 素 养

1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(重点)

2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点) 1.借助圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．

2．通过对圆柱、圆锥、圆台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.

1．圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱

底面积：S底＝πr2

侧面积：S侧＝2πrl

表面积：S＝2πrl＋2πr2

圆锥

底面积：S底＝πr2

侧面积：S侧＝πrl

表面积：S＝πrl＋πr2

圆台

上底面面积：S上底＝πr′2

下底面面积：S下底＝πr2

侧面积：S侧＝πl(r＋r′)

表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式

V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，

V圆锥＝13πr2h(r是底面半径，h是高)，

V圆台＝13πh(r′2＋r′r＋r2)(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)．

1．判断正误

(1)圆柱的表面积就是侧面积．( )

(2)在一个圆锥中，母线长度不一定相同．( )

(3)圆台是用平行于底面的平面截圆锥得到的．( )

[答案] (1)× (2)× (3)√

2．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为( )

A.288π cm3 B.192π cm3

C.288π cm3或192π cm3 D．192π cm3

C [圆柱的高为8 cm时，V＝π×122π2×8＝288π cm3，当圆柱的高为12 cm时，V＝π×82π2×12＝192π cm3.]

3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( )

A．72 B．42π

1.3 空间几何体的表面积与体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

课标要求

1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法.

2.会求简单组合体的表面积与体积.

学法指导

1.通过几何体的展开过程,体会几何体的结构,通过几何体表面积、体积公式的推导过程,加深对公式的理解.

2.通过几何体展开的过程,领会空间问题平面化的基本思想.

新课导入——实例引领 思维激活

实例:一种圆台形花盆盆口直径为20 cm,盆底直径为15 cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长15 cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.

想一想 若每平方米用100毫升油漆,如何计算涂100个花盆需要的油漆用量?

(只要求出每一个花盆外壁的表面积,就可以求出油漆的用量)

知识探究——自主梳理 思考辨析

1.柱体、锥体、台体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的 和.

(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式

几何体 侧面展开图 表面积公式

圆柱

S圆柱=2πr(r+l),

r为底面半径,

l为侧面母线长

圆锥

S圆锥=πr(r+l),

r为底面半径,

l为侧面母线长

圆台

S圆台=π(r′2+r2+r′l+rl)

r′为上底面半径,

r为下底面半径,

l为侧面母线长

思考1:圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间有什么关系吗?

(圆柱、圆锥、圆台的侧面积的关系如图所示.)

2.柱体、锥体与台体的体积公式

几何体 体积 说明

柱体 V柱体=Sh S为柱体的底面积,h为柱体的高

锥体 V锥体=13Sh S为锥体的底面积,h为锥体的高

台体 V台体=

13(S′+SS+S)h S′,S分别为台体的上、下底面面积,h为台体的高

思考2:柱体、锥体和台体的高如何确定?