求阴影部分面积讲解

1 第一讲 图形面积

本次阴影专题是在阴影专题（一）的基础上加深对三角形的认识，再引入圆形阴影部分。

1、r2的运用 涉及圆的面积有：

圆的面积公式S圆=r2； 扇形面积公式S扇=360nr2

“月牙形”面积公式S月牙=0.285r2； “风筝形”面积公式S风筝=0.215 r2

通过以上公式，我们发现一个共同的特点，即在计算圆的阴影面积时，从本质上讲，我们不用求出r的值，只要求出r2是多少，把r2作为一个整体，即可求解。这是学习圆的阴影面积时首先需要掌握的。

2、割补法 学习圆的阴影面积时，有一个解题办法非常重要，它是“割补法”。很多看似无法解的问题，运用割补法，解起来非常巧妙、简洁。

3、“容斥”原理 在例题中讲解。

总体看，与三角形相比，求圆的阴影面积，变化不多，题型较为简单。因此本讲仍将把三角形阴影面积的求法做为学习重点，继续运用“等底等高，高相等底倍数”的办法解题，达到熟练掌握的程度，同时学习用代数法、等分法、旋转法、割补法、填补法等方法解题。

[关键词]：r2的运用 割补法 代数法

例1、如图，三角形ABC的面积是1平方厘米，且BE=2EC，F是CD的中点。那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

2

例2、如图正方形ABCD的边长为10cm，EC=2BE，求阴影部分面积？

例3、如图正方形边长10厘米，E、F、H分别为三边中点，阴影四边形面积是多少平方厘米？

例4、如图：有一张斜边为22厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为36厘米的蓝色直角三角形的纸片，一张黄色正方形纸片，拼成一个直角三角形，红、蓝两张三角形纸片的面积之和为多少平方厘米？

例5、如图所示四边形ABCD，线段BC长为6厘米，角ABC为直角，角BCD为135o，而且点A到边CD的垂线AE的长为12厘米，线段ED的长为5厘米，求四边形ABCD的面积。 H 3

1 2019年山西中考复习——专题一.阴影部分图形面积问题

一.专题解读：

阴影部分图形面积计算问题

1.考查题型：选择题/填空题

2.常考类型为:

①不涉及扇形问题

（即多边形结合球阴影面积问题）

②涉及扇形问题

考察形式：❶三角形扇形结合问题

❷四边形与扇形结合问题

3.考查特点：

①所求阴影面积大多为不规则图形的面积；

②常与旋转，翻折，对称等结合考查。

4.解决办法：

（1）转化法（即将所求阴影面积问题转化为几个规则图形面积的和或差来解决）

（2）常用的转化方法：

①割补法

②全等法

③对称法

二.例题讲解：

例1.图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB＝12 cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′.如图2，其中O′是OB的中点，O′C′交BC︵于点F，则由BF︵，O′F，O′B围成的阴影部分周长为 cm，阴影部分面积为 cm2.

图1 图2

例2.如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 ．

三.山西8年中考真题

命题点1.弧长的计算

1.如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与

DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，

∠C＝60°，则的长为（ ）

A． B． C．Π D．2π

中考变式：如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，

AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD

于点E，若AD=2，BA的延长线交⊙A于点F．则

的长为（ ）

A．22 B．42 C．Π D．2π

命题点2.阴影部分图形面积计算

2．如图是某公园的一角，∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ）

小学数学图形求阴影部分面积十大方法总结 (附例题)_

2023.9

小学阶段的学生通常在学习上存在着总结归纳能力欠缺等问题， 为了很好地帮助

孩子系统地掌握小学阶段的数学知识， 老师把小学求图形面积的十大方法给大家

做了总结，各位家长，快给孩子收藏起来吧！

我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形

等图形，一般称为基本图形或规则图形 .我们的面积及周长都有相应的公式直接

计算。如下表：

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、

拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算 .一般我们称这样的图形为

不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施

割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

例题分析

例 1、如下图， 甲、乙两图形都是正方形， 它们的边长分别是 10 厘米和 12 厘米.

求阴影部分的面积。

一句话： 阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个 “空白”三角形

（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例 2、如下图， 正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，△ABE、△ADF 与四边形 AECF

的面积彼此相等，求三角形 AEF 的面积。

一句话： 因为△ABE、△ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，都等于正方形

ABCD 面积的三分之一，也就是 12 厘米。

解：S△ABE=S △ADF=S 四边形 AECF=12在△ABE 中，因为 AB=6. 所以 BE=4，同理 DF=4，因此 CE=CF=2 ，

∴△ECF 的面积为 2×2÷2=2 。

所以 S△AEF=S 四边形 AECF-S △ECF=12-2=10 （平方厘米）。

例 3、两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是 10 厘米和 6 厘米。如右图

那样重合 .求重合部分（阴影部分）的面积。

求阴影部分面积

例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

解：这是最基本的方法： 圆面积减去等腰直角三角形的面积，

×-2×1=1.14（平方厘米）

例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米)

解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的面积。

设圆的半径为 r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以 =7，

所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米

例3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)

解：最基本的方法之一。用四个 圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，

所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。 例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

解：同上，正方形面积减去圆面积，

16-π()=16-4π

=3.44平方厘米

例5.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，

我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，

π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米

另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。 例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？

解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）

π-π()=100.48平方厘米

（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）

例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)

正方形面积为：5×5÷2=12.5

所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米

(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，

所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米