高二数学空间向量与立体几何试题答案及解析
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高二数学空间向量与立体几何试题答案及解析
1. 长方体中，，，，则与所成角的余弦值为
． 【答案】 【解析】以D为空间原点，DA为x轴，D为z轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系 则=（-1，2，0），=（-1，-2，3） ||=，|'|=，
·=－3
cos<,>==，即为所求。
【考点】本题主要考查空间向量的应用，向量的数量积，向量的坐标运算。
点评：简单题，通过建立空间直角坐标系，将求异面直线的夹角余弦问题，转化成向量的坐标运算。
2. 正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为 ．
【答案】
【解析】因为O是A1C1的中点，求O到平面ABC1D1的距离，
就是A1到平面ABC1D1的距离的一半，
就是A1到AD1的距离的一半．
所以，连接A1D与AD1的交点为P，则A1P的距离是：
O到平面ABC1D1的距离的2倍
O到平面ABC1D1的距离
【考点】本题主要考查空间距离的计算。
点评：本题也可以通过建立空间直角坐标系，将求角、求距离问题，转化成向量的坐标运算，是高考典型题目。
3. 已知={－4，3，0}，则与垂直的单位向量为= .
【答案】（，，0）
【解析】 设与垂直的向量与垂直的向量=（x，y，0），则－4x+3y=0,,解得x=,y=,所以=（，，0）。
【考点】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直的充要条件、单位向量的概念。
点评：利用向量垂直的充要条件及单位向量的概念。
4. 已知向量与向量平行，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量与向量平行，所以，，故选C。 【考点】本题主要考查平行向量及向量的坐标运算。
点评：简单题，按向量平行的充要条件计算。
5. 已知点，为线段上一点，且，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设C的坐标为(x，y，z)
则向量=(x-4，y-1，z－3)
向量=(－2,－6,－2)，而 即=
所以x-4=－，
y-1=－2，
Z－3=－
所以x=，y=－1，z=，C的坐标为，选C。
【考点】本题主要考查共线向量、向量的坐标运算。
点评：简单题，转化得到=是关键。
6. 如图，底面是直角梯形的四棱锥，，底面，，，求面与面所成的二面角的余弦值．
【答案】面与面所成的二面角的余弦值为．
【解析】解：如图所示建立空间直角坐标系，
则，
，，．
设平面与平面的法向量分别为，
则由得
即 又由得即
不妨令，，
则，，
，，，
．
故面与面所成的二面角的余弦值为．
【考点】本题主要考查空间向量的应用，向量的数量积，向量的坐标运算。
点评：典型综合题。通过建立空间直角坐标系，将求二面角余弦问题，转化成向量的坐标运算。
7. 如图，直三棱柱中，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为，则面与面所成二面角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图以C为原点建立坐标系．
B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），D（,,），
M（，1，0），
=（,,），=（，-1，-1），=（0，,），设BD中点为G，连接B1G，
则G(，,)，=（-,,），=(-，-，)，
∴·=0，∴BD⊥B1G，
又CD⊥BD，∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角，利用向量的夹角公式得
cosθ=，故选D。
【考点】本题主要考查空间向量的应用。
点评：空间向量的应用问题，通过建立空间直角坐标系，将求角、求距离问题，转化成向量的坐标运算，是高考典型题目。
8. 点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标是 . 【答案】（-x，-y，z） 【解析】 关于轴对称“有谁（符号）谁不变，其余变号”。点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标是（-x，-y，z）。 【考点】本题主要考查点的对称性。
点评：数形结合，或按结论写出。
9. 若={3,m,4}与={-2,2,m}的夹角为钝角，则m的取值范围是 . 【答案】m<1 【解析】 因为={3,m,4}与={-2,2,m}的夹角为钝角，所以
<0且不等于－1，由=<0
得 (3，m，4)·(－2，2，m)=－6+6m <0,所以m<1。
【考点】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直的充要条件、单位向量的概念。
点评：利用向量垂直的充要条件及单位向量的概念。
10.
已知向量与向量平行，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量与向量平行，所以，，故选C。
【考点】本题主要考查平行向量及向量的坐标运算。
点评：简单题，按向量平行的充要条件计算。
11. 已知点，为线段上一点，且，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设C的坐标为(x，y，z)
则向量=(x-4，y-1，z－3)
向量=(－2,－6,－2)，而 即=
所以x-4=－，
y-1=－2，
Z－3=－
所以x=，y=－1，z=，C的坐标为，选C。
【考点】本题主要考查共线向量、向量的坐标运算。
点评：简单题，转化得到=是关键。
12. 已知向量,若，向量=（x-1,y,-3)，且平面ABC，则实数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵向量，
∴ =0，
3×1+5-2z=0，z=4；
=(3，1，4)，
∵AB平面ABC，
BC平面ABC，
⊥平面ABC，
∴向量⊥，⊥
·=0，
·=0，
=（x－1，y，－3)，
·=x－1+5y+6=0，
x+5y=-5，
·=3x-3+y－12=0,
3x+y=15，
x=，y=，z=4.，=（x－1，y，－3)=（，，-3），故选D。
【考点】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直的充要条件。
点评：综合题，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到向量垂直，有助于建立x,y,z的方程组。
13. 正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知底面三角形是正三角形，过A作AD⊥BC于D，连接DC1，则∠AC1D为所求，
sin∠AC1D===，故选C。
【考点】本题主要考查直线与平面所成角正弦值的求法。
点评：熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．
14. 长方体中，，，，则与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】以D为空间原点，DA为x轴，D为z轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系 则=（-1，2，0），=（-1，-2，3）
||=，|'|=，
·=－3
cos<,>==，即为所求。
【考点】本题主要考查空间向量的应用，向量的数量积，向量的坐标运算。
点评：简单题，通过建立空间直角坐标系，将求异面直线的夹角余弦问题，转化成向量的坐标运算。
15. 在中，，，平面，，则点到的，距离为 ．
【答案】
【解析】由于ABC是等腰三角形， 作AD垂直BC于D，由PA=PA，AB=AC，
所以三角形PBC也是等腰三角形，
故PD垂直BC，即PD为P到BC的距离，
由PA垂直面ABC，所以PA垂直AD
AD==4，PA=8
所以在三角形PAD中,PD==。
【考点】本题主要考查垂直关系、距离的计算。
点评：根据题意，充分利用已知条件，本解法很好地体现了转化思想。
16. 已知平面和平面交于直线，是空间一点，，垂足为，，垂足为，且，若点在内的射影与点在内的射影重合，则点到的距离为 ． 【答案】 【解析】∵点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，∴α⊥β 设射影为点C，点P到l的距离为PC的长， 而PC为矩形PACB的对角线 ∴PC=，则点P到l的距离为。 【考点】本题主要考查面面垂直，点、线、面间的距离计算。 点评：考查学生计算能力，逻辑思维能力，是基础题。 17. 如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，为上的点，且平面． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）见解析。（2）二面角的大小为．
（3）点到平面的距离．
【解析】解：（1）平面，．
二面角为直二面角，且，
平面．
．
平面．
（2）以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作
平行于的直线为轴，建立空间直角坐标．
易知，得，
．
．
设平面的一个法向量为．
则即
令，得是平面的一个法向量．
又平面的一个法向量为，
．
二面角的大小为． （3）轴，，．
点到平面的距离．
【考点】本题主要考查空间向量的应用。
点评：空间向量的应用问题，通过建立空间直角坐标系，将求角、求距离问题，转化成向量的坐标运算，是高考典型题目。
18. 已知={3λ,6, λ+6}, ={λ+1,3,2λ},若∥,则λ= . 【答案】2 【解析】 因为 ={3λ,6, λ+6}, ={λ+1,3,2λ}, ∥，所以，解得λ=2. 【考点】本题主要考查向量的坐标运算、共线向量。 点评：利用共线向量的充要条件。 19. 在平行六面体中，为与的交点。若，，，则= .（用表示） 【答案】 【解析】 = + = + = =。
【考点】本题主要考查向量的线性运算。
点评：数形结合，注意相等向量的运用。
20. 若="{1,1," -4}与={1,-2,2}，以,为邻边的平行四边形的两条对角线的长= .
【答案】3,3
【解析】 由已知+="{1,1," -4}+{1,-2,2}={2，-1，-2}，
－="{1,1," -4}－{1,-2,2}={0,3，－6}，所以以为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为|+|=3，|－|=3.
【考点】本题主要考查向量的概念、向量的坐标运算。
点评：常见题型，运用数形结合思想，简化解题过程．
