高二数学立体几何试题答案及解析

高二数学立体几何试题答案及解析

1. 一个球的Л体积为，则此球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为球的体积公式：,所以=

所以R=1，由表面积公式S=4=

2.

已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（

）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【解析】略

3. 已知长方体中，，点在棱上移动，当 时，直线与平面所成角为．

【答案】

【解析】

为直线与平面所成角，，,,所以．

【考点】线面角

4. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=，则棱锥O-ABCD的体积为_____________．

【答案】

【解析】矩形外接圆的直径为对角线长。棱锥的体积为

【考点】棱锥外接球问题

5. 某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆， 则该几何体的体积是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由三视图可得其还原图是半个圆锥，由题可得其底面圆半径为1，母线长为3，所以其体积为

。故选A。

【考点】由三视图求面积、体积。

6. （本小题满分12分）已知如图，四边形是直角梯形，，，平面，，点、、分别是、、的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）先证明平面∥平面，由面面平行可得线面平行；（Ⅱ）建立直角坐标系，由空间微量公式计算即可.

试题解析：（Ⅰ）证明：∵点、、分别是、、的中点，

∴∥，∥.

∵平面，平面，平面，平面， ∴∥平面，∥平面.

∵， ∴平面∥平面

∵平面，

∴∥平面．

（Ⅱ）解：根据条件，直线，，两两垂直，分别以直线，，为

建立如图所示的空间直角坐标系．

设，∵， ∴

∴.

设分别是平面和平面的一个法向量，

∴，

∴，

即，．

不妨取，得．

∴．

∵二面角是锐角，∴二面角的余弦值是．

【考点】1.线面平行、面面平行的判定与性质；2.空间向量的应用.

7. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面为边长为和的长方形，顶点在底面上的摄影是左前方的顶点，所以有，解得，故选B．

【考点】根据所给的几何体的三视图，还原几何体，求其体积及其他量．

8. 如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；

【解析】（Ⅰ）本题考查线面垂直的判定定理．可由勾股定理证明；另外平面即可；（Ⅱ）过程为作---证---算．根据二面角的定义找到角，注意不要忽略了证明的过程．

试题解析：（Ⅰ）证明：由条件知平面，令

，经计算得 ，即，又因为

平面；

（Ⅱ）过作，连结

由已知得

平面

就是二面角的平面角

经计算得，

【考点】1．线面垂直的判定定理；2．二面角；

9. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设该棱柱各棱长为a,底面中心为O，则A1O平面ABC．在三角形A1AO中,可得．设AB中点为D，可证，ADA1D．在直角三角形ADA1中，AA1=a,AD=,解得，．故与底面所成角的正弦值为．故选B．

10. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．

【答案】

【解析】

【考点】圆锥体积

11. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF= ．则下列结论中正确的个数为

①AC⊥BE；

②EF∥平面ABCD；

③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；

④的面积与的面积相等，

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确

【考点】1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质

12. 设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：

①若,则；[

②若,则；

③若则；

④若与相交且不垂直，则与一定不垂直．

其中，所有真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】②中两平面平行或垂直；④中两直线可能相交，平行或异面，可能出现异面直线垂直的情况；①③由线面垂直平行的判定与性质可知结论正确

【考点】空间线面垂直平行的判定与性质

13.

一个的长方体能装卸8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则的最小值为

（

）

A．

B．

C．

D．8

【答案】B 【解析】在的面上放4个小球，在在上面放一个大球，4个小球每个都与相邻两个相切，大球与四个小球都相切，记4个小球的球心依次为，大球球心为，则为正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，其高为，对应上面再放4个小球，因此的最小值为，故选B．

【考点】长方体与球．

14. 如图，在四面体中，，，点分别是的中点

（1）求证：平面平面；

（2）当，且时，求三棱锥的体积

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）证明面面垂直应证线面垂直，首先根据图形分析需要证明面即

可说明平面平面；（2）解决本题关键是找出底面上的高，由（1）很容易可以

得到高为，由此可以计算三棱锥的体积．

试题解析： （1）证明：∵中，分别是的中点，．

，．中，，是的中点，．，面，平面平面；

（2）解：，是的中点，，，，∴平面，，，，，，．

【考点】空间几何体的垂直、平行、体积问题．

15. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】（1）用几何法证明线线垂直的主要思路是证明线面垂直，则线线垂直，所以首先根据所给的条件能够确定是等腰直角三角形，是等边三角形，然后取的中点，连接，最后证明平面;

（2）根据上一问的结论，根据勾股定理，证明，从而可以以为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用公式求解．

试题解析：（1）证明：取的中点，连接．

∵，∴

又四边形是菱形，且，

∴是等边三角形，∴

又，∴，

又，∴

（2）由，，易求得，，

∴，

以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，

则，，，，

∴，，

设平面的一个法向量为，则，，

∴，∴，，∴

设平面的一个法向量为，则，，

∴，∴，，∴

∴

【考点】1．线与线的位置关系；2．二面角．

16. 如图，在正三棱锥中，．分别为棱．的中点，并且，若侧棱长，则正三棱锥的外接球的体积为__________．

【答案】 【解析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．

∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB，∵三棱锥S-ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC

∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．

【考点】球的体积与表面积

【方法点睛】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为，则有．

17. 如图，在三棱锥中，△和△都为正三角形且，，，，分别是棱，，的中点，为的中点．

（1）求异面直线和所成的角的大小；

（2）求证：直线平面．

【答案】（1）;（2）见解析．

【解析】（1）通过构造中位线，得到，即为异面直线和所成的角，由已知数据求之即可；（2）要证平面，可在平面中构造一条直线与平行即可，连接交于点，连接，证明即可．

试题解析：（1）∵，分别是，的中点，

∴，

∴为异面直线和所成的角．

在△中，可求，，，

故，即异面直线和所成的角是．

（2）连接交于点，连接，

∵为的中点，为的中点，

∴为△的重心，

∴．

∵为的中点，为的中点，

∴，

∴，

∴，

∵面，面，

∴面．

【考点】1．异面直线所成的角；2．线线、线面平行的判定与性质．

18. 如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于