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二维随机变量的分布函数
作者：王麟等
来源：《中小企业管理与科技·上旬刊》2012年第10期
摘要：概率论与数理统计是学习现代科学技术的重要理论基础，同时它也是考研必考科目之一，在教学过程中，我遇到了这样一道题目，本文由这道概率习题联想到了几个问题：二维随机变量的分布函数是否唯一；三元三次方程组解的唯一性。
关键词：二维随机变量的分布函数 三元三次方程组 唯一性
概率论与数理统计是学习现代科学技术的重要理论基础。从概率论的发展初期到现在，这一特点越来越突出。目前，概率论与数理统计的理论几乎涉及所有工程技术领域，并且广泛应用于医药行业、农林行业、经济和社会保障等部门。同时概率也是考研数学一中概率统计占22%，数学二不考概率，数学三中概率统计占22%，概率统计在数一和数三中仍然占有很重要的地位，所以考生要想取得高分，学好概率统计也是必要的。在教学过程中，我遇到了这样一道题目：
参考文献：
[1]刘照升.概率论与数理统计.中国矿业大学出版社，2011，71～
93.
[2]魏宗舒.概率论与数理统计教程.高等教育出版社，1999，102～179.
[3]杜红.线性代数.科学出版社，2007.
[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等教育出版社.1999.
[5]徐萃薇.高等教育出版社.2001.
项目名称：应用型本科高校工程数学系列课教学改革的研究与实践。项目号：HGJXHC
110909。项目名称：“大工程”教学理念下保险精算课程教学改革的研究与实践。项目号：HGJXHC 110882。
二维随机变量的分布函数 王麟 陈辉 （黑龙江科技学院理学院） 摘要：概率论与数理统计是学＞－－３现代科学技术的重要理论基础， 同时它也是考研必考科目之一，在教学过程中，我遇到了这样一道题 目，本文由这道概率＞－ｊ题联想到了几个问题：二维随机变量的分布函 数是否唯一；三元三次方程组解的唯一性。 关键词：二维随机变量的分布函数三元三次方程组唯一性 概率论与数理统计是学习现代科学技术的重要理论 基础。从概率论的发展初期到现在，这一特点越来越突出。 目前，概率论与数理统计的理论几乎涉及所有工程技术领 域，并且广泛应用于医药行业、农林行业、经济和社会保障 等部门。同时概率也是考研数学一中概率统计占２２％，数 学二不考概率，数学三中概率统计占２２％，概率统计在数 一和数三中仍然占有很重要的地位，所以考生要想取得高 分，学好概率统计也是必要的。在教学过程中，我遇到了这 样一道题目： 二维随机变量的分布函数为Ｆ（Ｘ，Ｙ）＝Ａ（Ｂ＋ａｒｃｔａｎ Ｘ）（Ｃ＋ａｒｃｔａｎ Ｘ）求Ａ，Ｂ，Ｃ的值。 本文由这道概率习题联想到了如下几个问题：二维随 机变量的分布函数是否唯一ｉ三元三次方程组解的唯一 性。为了求解该问题，我们将用到如下内容： 定义１：随机变量Ｘ和Ｙ的联合分布函数Ｆ（Ｘ，Ｙ）定 义为下式： Ｆ（Ｘ，Ｙ）＝Ｐ｛Ｘ≤Ｘ，Ｙ≤Ｙ） Ｆ（Ｘ，Ｙ）表示事件｛Ｘ≤ｘ）和｛Ｙ≤ｙ）同时发生的概率，式 中Ｘ，Ｙ是两个任意实数。 性质１：二维随机变量（×，Ｙ）的分布函数满足： Ｆ《＋∞，４－ｏｏ），Ｆ（一ｏ。，＋ｏｏ），Ｆ（＋ｏ，ｏ，一 ）ｏ 该题解为：根据二维随机变量分布函数的性质有： Ｆ（＋ｏｏ，４－ｏ。）＝Ａ（Ｂ＋． ）（ｃ＋ ） （１） Ｆ（一ｏｏ，一。ｏ）：Ａ（Ｂ一 ｒ＿）（ｃ一 ｒ＿） （２） Ｆ（一ｏｏ，４－。。）：Ａ（Ｂ一 ）（ｃ＋ ） （３） Ｆ（＋Ｄｏ，一ｏ。）＝Ａ（Ｂ＋ ）（ｃ一罢） （４） （１）＋（２）得：ＡＢＣ＋ Ａ＝÷ （３）＋（４）得：２ＡＢＣ一 Ａ＝０ （５） ＡＢＣ＝ Ｉ，Ｆｈ（５）￣Ａ＝ 。Ｅｈ（５Ｈ￣ＡＢＣ一手Ａ， 代入（４）得：ＡＣ＝ＡＢ 解得：Ａ＝ ＿２，Ｂ＝ ，ｃ＝ 。我们将其代入分布函 数，并取特殊：ｘ＝Ｏ，ｙ＝Ｏ，经验证Ｆ（０，０）＝ ，满足分布函 数定义，是我们要的解。那我们就想这个解是否唯一呢？又 想去掉一个方程又会怎样？我们不妨把（４）去掉，得到： Ｆ（＋ｏｏ，４－ｏ。）＝Ａ（Ｂ＋ ｒ＿）（ｃ＋ ｒ＿）＝１ （１） Ｆ（一ｏｏ，一ｏ。）＝Ａ（Ｂ一 ）（ｃ一 ）＝０ （２） Ｚ－ Ｆ（一。ｏ，４－ｏｏ）＝Ａ（Ｂ一 ）（ｃ＋ ）＝０ （３） Ｚ－ 解得：Ａ＝１，Ｂ＝ ，ｃ＝ （１一 二＿），是方程组的解， 且解不唯一。那么它满足分布函数要求Ｄ－－５７我们将其代入 分布函数，并取特殊：ｘ＝Ｏ，ｙ＝Ｏ经验证Ｆ（０，０）＜０，故此解 不是我们要的解，舍掉。同理，我们把方程（３）去掉，得到： Ｆ（＋ｏｏ，＋。ｏ）＝Ａ（Ｂ＋导）（ｃ＋ ）＝１ （１） Ｆ（一ｏｏ，－Ｉ－。ｏ）＝Ａ（Ｂ一 ）（ｃ＋ ）＝０ （２） ￡ 工 Ｆ（＋ｏｏ，一ｏｏ）＝Ａ（Ｂ＋ ）（ｃ一 ）＝０ （４） ／－ 解得：Ａ＝１，Ｂ＝ ，Ｃ＿－ （１一 ），是方程组的解， 且解不唯一。那么它满足分布函数要求吗？我们将其代入 分布函数，并取特殊：ｘ＝Ｏ，ｙ＝Ｏ经验证Ｆ（０，Ｏ）＜０，故此解 不是我们要的解，舍掉。同理，我们把方程（２）去掉，得到： Ｆ（＋ｏｏ，４－ｏ。）＝Ａ（Ｂ十 ）（ｃ＋ ）＝１ （１） ／－ Ｚ－ Ｆ（一ｏｏ，－Ｉ－。。）＝Ａ（Ｂ一 ）（ｃ＋ ）＝０ （３） Ｚ－ Ｆ（十ｏｏ，一ｏ。）＝Ａ（Ｂ十 ）（ｃ一 ）＿０ （４） ‘ 解得：Ａ：１，Ｂ： （１—１ｒ ｚ），ｃ＝ 二＿，是方程组的解，且 解不唯一。那么它满足分布函数要求吗？我们将其代人分 布函数，并取特殊：ｘ＝０，ｙ＝０经验证Ｆ（０，０）＜０，故此解不 是我们要的解，舍掉。同理，我们把方程（１）去掉，得到： Ｆ（一。。，一。ｏ）：Ａ（Ｂ一 ｒ＿）（ｃ一 ｒ＿）＝０ （２） ／－ Ｆ（一ｏｏ，－Ｉ－ｏ。）＝Ａ（Ｂ一 ）（ｃ＋ ）＝ｏ （３） Ｆ（＋ｏｏ，一ｏｏ）＝Ａ（Ｂ＋ ｝）（ｃ一 ｒ＿）：０ （４） 解得：Ａ：１，Ｂ： ，ｃ＝ ，是方程组的解，且解不唯 一。那么它满足分布函数要求吗？我们将其代入分布函数， 并取特殊：ｘ＝０，Ｙ＝０经验证Ｆ（０，０）＝孚＞１，故此解不是 我们要的解，舍掉。至此，我们得到：原方程组解唯一，且所 有方程都不能去掉。并且说明二维随机变量的分布函数是 唯一的。做到这我们想到：三元三次方程组要有什么条件 才能得到唯一的解呢？
本讲主要内容：
1.二维离散随机变量
2.二维连续随机变量（重点）
3.二维随机变量函数的分布（重点）
设Ｘ与Y为两个随机变量，那么我们称二元组（X，Y）为二维随机变量.
一、二维离散随机变量
定义7：设X与Y均为离散随机变量，取值分别x1, x2,„, xi，„，y1, y2,„，yj,„
那么我们称（X，Y）为二维离散随机变量，并称
P（X=xi, Y=yj）=pij, i, j =1,2,„
为（X，Y）的联合分布列.
联合分布列的性质：
① pij≥0
②
边际分布列：
X与Y独立的任何两行或者两列都成比例
离散随机变量的独立性：
设（X，Y）为二维离散随机变量，如果
即联合分布列等于边际分布列的乘积，则称X与Y相互独立.
条件分布列与乘法公式：
二、二维随机变量的联合分布函数
定义8：设（X，Y）为二维随机变量，我们称二元函数
为（X，Y）的联合分布函数.
联合分布函数的性质：
（1）F（x,y）为x与y的右连续函数.
（2）F（x,y）为x与y的不减函数.
（3）
（4）
三、二维连续随机变量
定义9：设（X，Y）为二维随机变量，如果（X，Y）的联合分布函数可以写成
则称（X，Y）为二维连续随机变量，并称f（x,y）为（X,Y）的联合密度函数.
易知：
联合密度函数的性质：（1），（2）
边际密度函数：
随机变量X的边际密度：
随机变量Y的边际密度：
连续随机变量的独立性：设（X，Y）为二维连续随机变量，如果
则称X与Y相互独立.
条件密度：我们称
为在给定Y=y时X的条件密度.
为在给定X=x时Y的条件密度.
如果二维连续随机变量（X，Y）的联合密度为
则称（X，Y）服从区域G上的二维均匀分布.其中为区域G的面积.
2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计
53 第三章 二维随机变量及其分布
■2009考试内容
多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布
■2009考试要求
1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率。
2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。
3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N（221212,;,;)的概率密度，理解其中参数的概率意义。
4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。
本章构架 本章的核心内容是离散3分布（联合、边缘和条件）；连续3密度（联合、边缘和
条件）；均匀与正态。介绍了作者原创的3个秘技（直角分割法、平移法和旋转法）
求分布问题。本章是教育部关于概率论大题命题的重点。
一、二维随机变量（向量）的分布函数
1.1 二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义
, XY是二维随机变量，对任意实数x和y，称
(, ){ , }FxyPXxYyPXxYyPAB
为, XY的分布函数，又称联合分布函数。
●, Fxy具有一维随机变量分布类似的性质。
① 0, 1Fxy；
② , Fxy对x和y都是单调非减的，如1212, , xxFxyFxy；
③ , Fxy对x和y都是右连续； 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计
