龙源期刊网
二维随机变量的分布函数
作者：王麟等
来源：《中小企业管理与科技·上旬刊》2012年第10期
摘要：概率论与数理统计是学习现代科学技术的重要理论基础，同时它也是考研必考科目之一，在教学过程中，我遇到了这样一道题目，本文由这道概率习题联想到了几个问题：二维随机变量的分布函数是否唯一；三元三次方程组解的唯一性。
关键词：二维随机变量的分布函数 三元三次方程组 唯一性
概率论与数理统计是学习现代科学技术的重要理论基础。从概率论的发展初期到现在，这一特点越来越突出。目前，概率论与数理统计的理论几乎涉及所有工程技术领域，并且广泛应用于医药行业、农林行业、经济和社会保障等部门。同时概率也是考研数学一中概率统计占22%，数学二不考概率，数学三中概率统计占22%，概率统计在数一和数三中仍然占有很重要的地位，所以考生要想取得高分，学好概率统计也是必要的。在教学过程中，我遇到了这样一道题目：
参考文献：
[1]刘照升.概率论与数理统计.中国矿业大学出版社，2011，71～
93.
[2]魏宗舒.概率论与数理统计教程.高等教育出版社，1999，102～179.
[3]杜红.线性代数.科学出版社，2007.
[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等教育出版社.1999.
[5]徐萃薇.高等教育出版社.2001.
项目名称：应用型本科高校工程数学系列课教学改革的研究与实践。项目号：HGJXHC
110909。项目名称：“大工程”教学理念下保险精算课程教学改革的研究与实践。项目号：HGJXHC 110882。
第二章 一维随机变量及其分布
1. 将3个球随机地投到编号为1，2，3的三个盒子中，试求空盒数的分布列.
2. 设随机变量的分布列为8141214321 a，试求：
（1）常数a；（2）P（42＜）；（3）P（＞1）.
3. 有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品. 现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求这5件所含次品数的分布列.
4. 设随机变量的分布密度为p（x）＝
其他 0102xx，求P（21）与P（241＜）.
5. 已知某校学生英语四级的考试成绩服从正态分布),60(2N，现随机从该校学生中抽取3名，求下列事件的概率：(1)三名学生都通过了四级考试；(2) 三名学生中只有两名学生通过了四级考试.（达到60分予以通过）
6. 学生完成一道作业的时间（单位：小时）是一随机变量，它的密度函数为p(x)= 其他 ，,05.00 2xxcx,(1)确定常数c;(2)求分布函数；（3）求20分钟内完成一道作业的概率；（4）10分钟以上完成一道作业的概率.
7. 某校电器（3）班学生期末考试的数学成绩x（分）近似服从正态分布N（75，102），求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？
8. 已知随机变量的分布列为25.013.02.005.037.073101 ，
（1） 求＝2－的分布列； （2）求＝3＋2分布列. 9. 已知随机变量的分布密度为)(xp＝ ， 其他， 0412ln21xx，且＝2－，试求的分布密度.
10. 设随机变量X服从正态分布),(211N，Y服从正态分布),(222N，且}1{}1{21YPXP，试比较1和2的大小.
概率论基础知识
第 1 页 @kaiziliu 第三章 二维随机变量及其分布 一、 二维随机变量及其联合分布 设Ω为某实验的样本空间，X和Y是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y）为二维随机变量。 比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。 §3.1.1联合分布函数 定义1：设（X，Y）为二维随机变量，对任意实数χ，y，称二元函数F（χ,y）=P{X≤χ,Y≤y}为（X，Y）的分布函数或称为X与Y的联合分布函数。 几何上，F（χ，y）表示（X，Y）落在平面直角坐标系中以（χ,y）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y （x,y） 二维随机变量（X，Y）的分布函数F（x,y）具有以下四条基本性质： 0 x 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1
第 2 页 @kaiziliu §3.1.2联合分布律 定义2：如果二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量 设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……，则称下列一组概率 P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 的联合分布律,用表格表示: X Y y 1 y 2 „„ yj „„ χ1 p11 p12 „„ p1j „„ χ2 p21 p22 „„ p2j „„ ┆ ┆ ┆ „„ ┆ „„ χi pi1 pi2 „„ pij „„ ┆ ┆ ┆ „„ ┆ „„ 性质 1. pij≥0,一切i,j, 2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为 由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为 例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数 。试求（X，Y）的分布律，并分别求投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒内信件数相同及至少有一封信投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒的概率。 解： 总之，（X，Y）的分布律为 X Y 0 1 2 0 4/16 4/16 1/16 1 4/16 2/16 0 2 1/16 0 0 投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒内邮件数相等的概率为 至少有一封信投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒的概率为 P{X≥1或Y≥1}=1-P{X<1且Y<1}=1-P{X=0,Y=0}=1-P11=1 - 4/16=3/4 概率论基础知识
二维随机变量的分布函数 王麟 陈辉 （黑龙江科技学院理学院） 摘要：概率论与数理统计是学＞－－３现代科学技术的重要理论基础， 同时它也是考研必考科目之一，在教学过程中，我遇到了这样一道题 目，本文由这道概率＞－ｊ题联想到了几个问题：二维随机变量的分布函 数是否唯一；三元三次方程组解的唯一性。 关键词：二维随机变量的分布函数三元三次方程组唯一性 概率论与数理统计是学习现代科学技术的重要理论 基础。从概率论的发展初期到现在，这一特点越来越突出。 目前，概率论与数理统计的理论几乎涉及所有工程技术领 域，并且广泛应用于医药行业、农林行业、经济和社会保障 等部门。同时概率也是考研数学一中概率统计占２２％，数 学二不考概率，数学三中概率统计占２２％，概率统计在数 一和数三中仍然占有很重要的地位，所以考生要想取得高 分，学好概率统计也是必要的。在教学过程中，我遇到了这 样一道题目： 二维随机变量的分布函数为Ｆ（Ｘ，Ｙ）＝Ａ（Ｂ＋ａｒｃｔａｎ Ｘ）（Ｃ＋ａｒｃｔａｎ Ｘ）求Ａ，Ｂ，Ｃ的值。 本文由这道概率习题联想到了如下几个问题：二维随 机变量的分布函数是否唯一ｉ三元三次方程组解的唯一 性。为了求解该问题，我们将用到如下内容： 定义１：随机变量Ｘ和Ｙ的联合分布函数Ｆ（Ｘ，Ｙ）定 义为下式： Ｆ（Ｘ，Ｙ）＝Ｐ｛Ｘ≤Ｘ，Ｙ≤Ｙ） Ｆ（Ｘ，Ｙ）表示事件｛Ｘ≤ｘ）和｛Ｙ≤ｙ）同时发生的概率，式 中Ｘ，Ｙ是两个任意实数。 性质１：二维随机变量（×，Ｙ）的分布函数满足： Ｆ《＋∞，４－ｏｏ），Ｆ（一ｏ。，＋ｏｏ），Ｆ（＋ｏ，ｏ，一 ）ｏ 该题解为：根据二维随机变量分布函数的性质有： Ｆ（＋ｏｏ，４－ｏ。）＝Ａ（Ｂ＋． ）（ｃ＋ ） （１） Ｆ（一ｏｏ，一。ｏ）：Ａ（Ｂ一 ｒ＿）（ｃ一 ｒ＿） （２） Ｆ（一ｏｏ，４－。。）：Ａ（Ｂ一 ）（ｃ＋ ） （３） Ｆ（＋Ｄｏ，一ｏ。）＝Ａ（Ｂ＋ ）（ｃ一罢） （４） （１）＋（２）得：ＡＢＣ＋ Ａ＝÷ （３）＋（４）得：２ＡＢＣ一 Ａ＝０ （５） ＡＢＣ＝ Ｉ，Ｆｈ（５）￣Ａ＝ 。Ｅｈ（５Ｈ￣ＡＢＣ一手Ａ， 代入（４）得：ＡＣ＝ＡＢ 解得：Ａ＝ ＿２，Ｂ＝ ，ｃ＝ 。我们将其代入分布函 数，并取特殊：ｘ＝Ｏ，ｙ＝Ｏ，经验证Ｆ（０，０）＝ ，满足分布函 数定义，是我们要的解。那我们就想这个解是否唯一呢？又 想去掉一个方程又会怎样？我们不妨把（４）去掉，得到： Ｆ（＋ｏｏ，４－ｏ。）＝Ａ（Ｂ＋ ｒ＿）（ｃ＋ ｒ＿）＝１ （１） Ｆ（一ｏｏ，一ｏ。）＝Ａ（Ｂ一 ）（ｃ一 ）＝０ （２） Ｚ－ Ｆ（一。ｏ，４－ｏｏ）＝Ａ（Ｂ一 ）（ｃ＋ ）＝０ （３） Ｚ－ 解得：Ａ＝１，Ｂ＝ ，ｃ＝ （１一 二＿），是方程组的解， 且解不唯一。那么它满足分布函数要求Ｄ－－５７我们将其代入 分布函数，并取特殊：ｘ＝Ｏ，ｙ＝Ｏ经验证Ｆ（０，０）＜０，故此解 不是我们要的解，舍掉。同理，我们把方程（３）去掉，得到： Ｆ（＋ｏｏ，＋。ｏ）＝Ａ（Ｂ＋导）（ｃ＋ ）＝１ （１） Ｆ（一ｏｏ，－Ｉ－。ｏ）＝Ａ（Ｂ一 ）（ｃ＋ ）＝０ （２） ￡ 工 Ｆ（＋ｏｏ，一ｏｏ）＝Ａ（Ｂ＋ ）（ｃ一 ）＝０ （４） ／－ 解得：Ａ＝１，Ｂ＝ ，Ｃ＿－ （１一 ），是方程组的解， 且解不唯一。那么它满足分布函数要求吗？我们将其代入 分布函数，并取特殊：ｘ＝Ｏ，ｙ＝Ｏ经验证Ｆ（０，Ｏ）＜０，故此解 不是我们要的解，舍掉。同理，我们把方程（２）去掉，得到： Ｆ（＋ｏｏ，４－ｏ。）＝Ａ（Ｂ十 ）（ｃ＋ ）＝１ （１） ／－ Ｚ－ Ｆ（一ｏｏ，－Ｉ－。。）＝Ａ（Ｂ一 ）（ｃ＋ ）＝０ （３） Ｚ－ Ｆ（十ｏｏ，一ｏ。）＝Ａ（Ｂ十 ）（ｃ一 ）＿０ （４） ‘ 解得：Ａ：１，Ｂ： （１—１ｒ ｚ），ｃ＝ 二＿，是方程组的解，且 解不唯一。那么它满足分布函数要求吗？我们将其代人分 布函数，并取特殊：ｘ＝０，ｙ＝０经验证Ｆ（０，０）＜０，故此解不 是我们要的解，舍掉。同理，我们把方程（１）去掉，得到： Ｆ（一。。，一。ｏ）：Ａ（Ｂ一 ｒ＿）（ｃ一 ｒ＿）＝０ （２） ／－ Ｆ（一ｏｏ，－Ｉ－ｏ。）＝Ａ（Ｂ一 ）（ｃ＋ ）＝ｏ （３） Ｆ（＋ｏｏ，一ｏｏ）＝Ａ（Ｂ＋ ｝）（ｃ一 ｒ＿）：０ （４） 解得：Ａ：１，Ｂ： ，ｃ＝ ，是方程组的解，且解不唯 一。那么它满足分布函数要求吗？我们将其代入分布函数， 并取特殊：ｘ＝０，Ｙ＝０经验证Ｆ（０，０）＝孚＞１，故此解不是 我们要的解，舍掉。至此，我们得到：原方程组解唯一，且所 有方程都不能去掉。并且说明二维随机变量的分布函数是 唯一的。做到这我们想到：三元三次方程组要有什么条件 才能得到唯一的解呢？
