行列式的相关研究现状

二维矢量组的行列式行列式是矢量形成的平行四边形的面积在一个二维平面上，两个矢量和的行列式是：[27]比如说，两个矢量和的行列式是：经计算可知，当系数是实数时，行列式表示的是矢量和形成的平行四边形的有向面积，并有如下性质：▪行列式为零当且仅当两个矢量共线（线性相关），这时平行四边形退化成一条直线[29]。

▪如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当以原点为不动点将逆时针“转到”处时，扫过的地方在平行四边形里，否则的话面积就是负的。

如右图中，和所构成的平行四边形的面积就是正的[31]。

行列式是一个双线性映射。

也就是说，，并且[29]。

行列式其几何意义是：以同一个矢量v作为一条边的两个平行四边形的面积之和，等于它们各自另一边的矢量u和u'加起来后的矢量：u + u'和v所构成的平行四边形的面积，如左图中所示。

[编辑]三维矢量组的行列式在三维的有向空间中，三个三维矢量的行列式是：。

[28]比如说，三个矢量 (2, 1, 5)、(6, 0, 8)和 (3, 2, 4)的行列式是：当系数是实数时，行列式表示、和三个矢量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个矢量的混合积。

同样的，可以观察到如下性质[32]：▪行列式为零当且仅当三个矢量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零[30]。

两个相邻平行六面体的体积之和▪三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右手定则来约定。

比如右图中（u, v, w）所形成的平行六面体的体积是正的，而（u, w, v）所形成的平行六面体的体积是负的。

这个定义和行列式的计算并不矛盾，因为行列式中矢量的坐标都是在取好坐标系后才决定的，而坐标系的三个方向一般也是按照右手规则来设定的。

如果计算开始时坐标系的定向反过来的话，有向体积的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积[30][33]。

▪这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个矢量有，对第二、第三个矢量也是如此。

行列式的计算方法文献综述行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个科学领域的数学问题中。

在计算行列式的过程中，有多种方法可供选择，本综述将对其中几种主要的计算方法进行介绍和比较。

一、初等变换法：初等变换法是最早也是最基础的行列式计算方法之一、该方法通过对行列式进行一系列的初等行变换，将行列式转化为上(下)三角阵，然后通过对角线上元素的乘积得到行列式的值。

初等变换法的计算过程较为简单，易于操作。

然而，初等变换法需要进行多次的计算操作，当行列式的规模较大时，计算效率会较低。

二、按行（列）展开法：按行（列）展开法是另一种常用的行列式计算方法。

该方法通过选择行或列，将行列式展开为多个较小规模的子行列式，并使用递归的方法计算子行列式的值，最终将这些子行列式的值代入求和得到行列式的值。

按行（列）展开法可以用于计算任意规模的行列式，计算过程相对简单明了。

然而，按行（列）展开法需要进行多次的递归计算，这在计算较大规模的行列式时可能会导致计算时间过长。

三、特征值法：特征值法是一种较为高级的行列式计算方法。

该方法通过求解行列式与特征值之间的关系式，将行列式的计算转化为特征值的计算。

具体而言，首先求解特征值，然后根据特征值求解特征向量，最后代入特征向量计算行列式的值。

特征值法相对于初等变换法和按行（列）展开法而言，计算过程更为复杂，但其思想更加深入和抽象，适用于解决较为复杂的行列式计算问题。

四、Laplace定理：Laplace定理，也称为拉普拉斯展开定理，是另一种重要的行列式计算方法。

该定理通过选择行或列，将行列式展开为多个较小规模的子行列式，然后使用归纳的方法计算子行列式的值，最终将这些子行列式的值代入求和得到行列式的值。

Laplace定理可以看作是按行（列）展开法的一种推广和总结，通过较为规则的计算步骤，使得计算过程更加简洁和高效。

综上所述，行列式的计算方法有初等变换法、按行（列）展开法、特征值法和Laplace定理等。

开题报告-行列式的计算方法和应用毕业论文开题报告信息与计算科学行列式的计算方法和应用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）1.选题的背景行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末，它的理论体系已基本形成了。

1693年，德国数学家莱布尼茨（Leibnie，1646—1716）解方程组时将系数分离出来用以表示未知量，得到行列式原始概念。

当时，莱布尼兹并没有正式提出行列式这一术语。

1729年，英国数学家马克劳林(Maclaurin，1698—1746)以行列式为工具解含有2、3、4个末知量的线性方程组。

在1748年发表的马克劳林遗作中，给出了比菜布尼兹更明确的行列式概念。

1750年，瑞士数学家克拉默(Gramer，1704—1752)更完整地叙述了行列式的展开法则并将它用于解线性方程组。

即产生了克拉默法则。

1772年。

法国数学家范德蒙(Vandermonde，1735—1796)专门对行列式作了理论上的研究，建立了行列式展开法则，用子式和代数余子式表示一个行列式。

1172年，法国数学家拉普拉斯(Laplace。

1749梷1827)推广了范德蒙展开行列式的方法。

得到我们熟知的拉普拉斯展开定理。

1813一1815年，法国数学家柯西(Cauchy，1789—1857，对行列式做了系统的代数处理，对行列式中的元素加上双下标排成有序的行和列，使行列式的记法成为今天的形式。

英国数学家凯菜(Cayley，于1841年对数字方阵两边加上两条竖线。

柯西证明了行列式乘法定理。

1841年，德国数学家雅可比(jacobi)发表的《论行列式的形成与性质》一文，总结了行列式的发展。

同年，他还发表了关于函数行列式的研究文章，给出函数行列式求导公式及乘积定理。

至19世纪末，有关行列的研究成果仍在式不断公开发表，但行列式的基本理论体系已经形成。

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。

行列式的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具，因此对许多人来说，掌握行列式的计算是重要的。

曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目：范德蒙行列式的应用研究作者、学号：学院、年级：数学与信息科学学院2006级学科、专业：数学数学与应用数学指导教师：完成日期：2010年5月26日曲靖师范学院教务处曲靖师范学院本论文（设计）经答辩小组全体成员审查，确认符合曲靖师范学院本科(学士学位)毕业论文（设计）质量要求。

答辩小组签名答辩日期：2010年5月26日原创性声明本人声明：所呈交的论文（设计）是本人在指导教师指导下进行的研究工作成果。

除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文（设计）中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。

参与同一工作的其他同志对本研究所作的任何贡献已在论文（设计）中作了明确的说明并表示了谢意。

签名：日期： 2010年5月26日。

论文（设计）使用授权说明本论文（设计）作者完全了解曲靖师范学院有关保留、使用毕业(学位)论文（设计）的规定，即学校有权保留论文（设计）及送交论文（设计）复印件，允许论文（设计）被查阅和借阅；学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。

签名：指导教师签名：日期： 2010年5月26日。

范德蒙行列式的应用研究摘要行列式是一个重要的数学工具,它不仅有着悠久的历史,更具有广泛的应用.范德蒙行列式是数学家范德蒙在1772年提出的.作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅结构独特、形式优美,而且具有十分广泛的应用.正确的掌握使用范德蒙行列式解题可以达到事半功倍的效果.利用范德蒙行列式解题的本质在于化复杂为简单,化繁琐为简便.然而要正确、适当的构造和应用范德蒙行列式去有效解决问题绝非易事.因此,本毕业论文从计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面较为系统的探讨了范德蒙行列式的应用,并对方法和技巧作了一点总结，希望帮助初学者更好的理解和掌握范德蒙行列式及其广泛的应用.关键词:行列式;范德蒙行列式;应用;构造Study on Application of Vandermonde DeterminantAbstract: Determinant is an important mathematical tool, it is not only has a long history, but also more widely used. vandermonde determinant was proposed a mathematician whose name is Vandermonde in 1772. As a special determinant ——vandermonde determinant not only unique in the structure and graceful form, and it is of wide application. The right to use vandermonde determinant to solve the problem can be reached the effect of half paying double getting. The nature of using vandermonde determinant to solve problem is to make complex become simple, complicated to easy. However, it is not easy to solve the problem effectively by constructing and application vandermonde determinant is not in a right and proper way. Therefore, this thesis systematically researches the application of the vandermonde determinant and makes a little summary of its methods and techniques from six aspects: the calculation of determinant, solving n-order k loop determinant, solving problems finding roots of polynomials, linear correlation vectors answer questions, questions and answers divisible. In the hope that it can help beginners to better understand and master the vandermonde determinant and its wide range of applications.Keywords: determinant; Vandermonde determinant; applications; structure目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1 国内外研究现状 (1)2.2 国内外研究现状评价 (1)2.3 提出问题 (2)3 范德蒙行列式简介 (2)4 范德蒙行列式的应用探讨 (3)4.1 计算行列式 (3)4.2 求解n阶k循环行列式 (6)4.3 解决多项式的求根问题 (8)4.4 解答向量线性相关性问题 (9)4.5 解答整除问题 (11)4.6 解答微积分问题 (14)5 结论 (15)5.1 主要发现 (15)5.2 启示 (15)5.3 局限性 (15)5.4 努力方向 (15)参考文献 (16)1 引言行列式是一个重要的数学工具,活跃在数学的各个分支.行列式最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中,行列式的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的.18世纪,法国著名数学家范德蒙（A,T,Vandermonde,1735—1796）将行列式的理论脱离线性方程组,放到理论高度作为专门的理论进行研究,在此基础上确立了行列式的一些性质,从而使行列式逐步发展成一门独立的数学课题.到了19世纪,数学家柯西、凯莱和西尔维斯特等人给出了真正现代意义上的行列式理论.行列式(Determinant)这个名称是柯西1815年首先使用的,随其后,凯莱于1841年使用了行列式记号| |[1].范德蒙行列式是数学家范德蒙在1772年提出的.作为一种特殊的行列式,范德蒙行列式不仅结构独特、形式优美,而且具有广泛而丰富的应用.基于范德蒙行列式结构的独特性,学习者在计算行列式时不易掌握,尤其是需要通过变换构造这一行列式来解决相关方面的问题就显得更加困难.因此,本毕业论文从计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面来探究范德蒙行列式的应用,希望对初学者提供一定的参考.2 文献综述2.1 国内外研究现状从目前参阅的文献资料[1—20]中了解的信息来看,针对范德蒙行列式的应用,近几年来研究者们得出了许多成果.真所谓仁者见仁,智者见智,不同研究者的角度、出发点和研究方向均不相同.例如:北京大学第三版《高等代数》教材[2]和其他不同版《高等代数》教材[3、4]、习题集[5、6]中就提到了范德蒙行列式在行列式的计算和多项式根存在问题中的应用.在许多高校的学报中我们可以找到范德蒙行列式应用的文章.比如:在《范德蒙行列式应用三则》一文[7]中张文治、赵艳给出了通过构造范德蒙行列式计算缺项行列式;在《范德蒙行列式的应用》一文[8]中徐杰探讨了应用范德蒙行列式证明向量的线性相关性问题;在《范德蒙行列式在微积分中的应用》一文[9]中程伟健、贺冬冬研究了利用范德蒙行列式求高阶无穷小和证明k阶导数极限的存在问题;此外文献[10]、[11]、[12]中也提到了范德蒙行列式的相关应用,等等.2.2国内外研究现状评价综上所述,目前国内外对范德蒙行列式的应用研究虽然是比较多的，但是对应用方法技巧的总结、归纳还比较欠缺,比较零散,不够全面,系统性、规范性不足.同时对如何构造范德蒙行列式的研究不是很透彻,使初学者在实际处理具体问题时不易运用和掌握.2.3 提出问题利用范德蒙行列式解题的本质在于化复杂为简单、化繁琐为简便.正确的使用范德蒙行列式解题可以达到事半功倍的效果.虽然对范德蒙行列式在各个方面的应用研究是许多学者关注的焦点,但是对范德蒙行列式应用的方法、技巧的总结还比较欠缺、零散、不够全面.因此本毕业论文通过探讨范德蒙行列式在计算行列式、求解n 阶k 循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题中的一些应用,总结了构造范德蒙行列式解题的一些方法和技巧,希望能给广大学者提供一定的参考. 3 范德蒙行列式简介形如:113121122322213211111----=n nn n n nna a a a a a a a a a a a D的行列式称为n 级范德蒙(Vandermonde)行列式.可以证明：对任意的n ()2≥n ，n 级范德蒙（Vandermonde ）行列式等于1a ,2a , ,na 这n 个数的所有可能的差()j i a a -()n i j ≤<≤1的乘积．即：()∏≤<≤-----==ni j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a D 1113121122322213211111因为D D T =，所以范德蒙行列式还可以写成：()∏≤<≤-----==ni j j i n nnnn n n a a a a a a a a a a a a a a D 1121323312222112111111从定义可以得出，范德蒙行列式等于零的充分必要条件是1a ,2a , ,n a 这n 个数中至少有两个相等．4 范德蒙行列式的应用探讨范德蒙行列式常做为行列式理论的一个教学实例而出现，虽然未被明确提出和探讨研究，但出于它结构独特、形式优美，在数学的各个分支都具有十分广泛的应用．下面将从计算行列式、求解n 阶k 循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面探讨研究范德蒙行列式的应用． 4.1 计算行列式范德蒙行列式在行列式的计算问题中起着举足轻重的作用．利用范德蒙行列式计算行列式已被确立为一种特殊的方法被广泛使用．下面先来看几个例子．例1[13]计算行列式：n n n n n n n n n n n n n nnn n ny y x y x x y y x y x x y y x y x x A 111111112122212211111111+-+++-++----=,其中0121≠⋅⋅⋅+n x x x ．分析：A 不是范德蒙行列式，但仔细观察发现它具有范德蒙行列式的影子，可考虑构造范德蒙行列式．解：将第1行提出n x 1,第2行提出 ,2nx ,第n 行提出n n x ,第1+n 行提出n n x 1+,则有:nn n n n n n n n n nn nn n i n i x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++-++++++--+=∏11111211112212222222111112111111111因此,构造出了一个1n +阶的范德蒙行列式:=1A nn n n n n n n n n nn nn x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++++++--1111121111221222222211111211111111j i j i n i j y y x x ≤<≤⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∏()∏∏∏∏+≤<≤+=≤<≤+=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==11111111n j i i j j i n i n i j j j i i nin i n iy x y x x y x y x A x A 所以：.点评:本例的解题技巧在于从第i 行中提出n i x ()1,3,2,1+=n i ,从而构造了一个1n +阶的范德蒙行列式.例2[8]计算行列式:n nn n nn nn n n nna a a a a a a a a a a a a a a a D321223222122322213211111----=．分析:D 不是范德蒙行列式,但具有该行列式的特点,可考虑构造1n +阶范德蒙行列式,再根据范德蒙行列式的结果间接地求出D 的值.解:考察此行列式,构造1n +阶范德蒙行列式:nn nn nn n nn n nna a a a a a a a a a a a a a a a D211112112222212111111----=则行列式D 等于1D 中元素1-n a 的余子式,将行列式1D 按1n +列展开得:1,11,11,321,21,11+++-++++++++=n n n n n n n n n A a A a A a aA A D其中1-n a 的系数为:()D M M A n n n n n n n -=-=-=++++1,1,121,1即行列式D 等于1n +阶范德蒙行列式1D 的展开式中1-n a 的系数的相反数.又因为 ()()j ni j j ia a a aD --=∏≤<≤11.对()1j j na a ≤≤-∏展开得1-n a的系数为∑=-nj j a 1,因此在1D 中1-n a 的系数为:()∏∑≤<≤=--ni j jinj ja a a 11.故行列式()∏∑≤<≤=-=ni j j inj ja aa D 11.点评:本例通过添加了第n 行、第1n +列构造了1n +阶范德蒙行列式1D ,再利用行列式D 与1D 中某元素余子式的关系来计算行列式.例3[7] 计算行列式:()()()()()()()()()nn n nn nn nn nn n n nn y x y x y x y x y x y x y x y x y x A +++++++++=101110101000解:利用二项式定理的展开式()ii n ni i nny x C y x -=∑=+0和行列式的乘法规律得: 01122000010112222211110112201111n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n nnnC xC x C x Cy y y C xC xC xC A y y y C x C x C x C y y y ------=⋅ ()()20000121012222111212011111111n n n n n n n n nnn n n nn nnnnx x xy y y x xx C C CCy y y x x x y y y +=-⋅()()()()()()1012200012001n n n n n nnijijj i nj i nnn n nnji ijj i nj i nC C CCx x y y C C C C xx y y +≤<≤≤<≤≤<≤≤<≤=---=--∏∏∏∏点评:本例先按照二项式定理的展开式()ii n ni i nny x C y x -=∑=+0将行列式A 中的每一个元素展开,可变为乘积之和,再根据行列式的乘法规则分别构造出1n +阶范德蒙行列式进行计算.通过对上述例题的分析,可归纳出构造范德蒙行列式计算行列式的一点技巧: (1)、观察要计算的行列式是否具有范德蒙行列式的某些结构特征; (2)、通过适当方法(如:拆项法、添项法等)构造出范德蒙行列式; (3)、结合范德蒙行列式和题目的要求进行计算. 4.2 求解n 阶k 循环行列式形如[11]:1432211121321b kb kb kb b b kb kb b b b kb b b b b B n n n n nn n ---=的行列式，称为n 阶k 循环行列式，其中123,,,,,n b b b b k 是常数且0≠k .特别地,当1=k 时,叫做n 阶循环行列式;当1-=k 时,叫做n 阶反循环行列式. 对于n 阶k 循环行列式的计算.利用范德蒙行列式可证明以下定理.定理1:对n 阶k 循环行列式1432211121321b kb kb kb b b kb kb b b b kb b b b b B n n n n nn n ---=构造多项式函数: ()21123n n f x b b x b x b x -=++++．若方程0=-k x n 的n 个根为()n i x i ,,3,2,1 =,则必有:()∏==ni i n x f B 1 .证明:考察方程0=-k x n ,设()k x x n -=ϕ,则()1'-=n nx x ϕ,由于存在()kx h 1-=,()x nkx l 1=.使得: ()()()()111111'=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n nxx nk k x k x x nk x k ϕϕ 故得多项式()x ϕ与()x 'ϕ互质,因此多项式()x ϕ没有重根,即方程0=-k x n 没有重根.也即方程0=-k x n 有n 个互异根.以方程0=-k x n 的n 个根()n i x i ,,3,2,1 =构造n 阶范德蒙行列式:112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D显然0≠n D ,()n i k x n i ,,3,2,1 ==.因为()12321-++++=n n x b x b x b b x f ,故()12321-++++=n i n i i i x b x b x b b x f ()n i ,,3,2,1 =.考察⋅=---1432211121321b kb kb kb b b kb kb b b b kb b b b b D B n n n n nn n n 112112222121111---n nn n nnx x x x x x x x x=()()()()()()()()()n n n n n n n n x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x f x f 1212111221121---= ()()()n n D x f x f x f ⋅⋅ 21 所以()()()()∏==⋅=ni i n n x f x f x f x f B 121 .例4[14]计算行列式:11111011110=n A ．解:经观察,此行列式n A 为n 阶循环行列式且1,0321=====n b b b b .设()132-++++=n x x x x x g .若方程01=-n x 的根记为()n i x i ,,3,2,1 =.不妨设11=x 则()()01111121111=++++-=--n n x x x x x 故对()n i x i ,,3,2 =必有:0112=++++-n i i i x x x .既有()()n i x g i ,,3,21 =-=,故得:()()()()()121111-==--=⋅==∏∏n ni i ni i n n x g x g x g D .n 阶k 循环行列式的解法以多项式理论为基础，结合范德蒙行列式进行探讨n 阶k循环行列式的初等解法，方法简便易行，有一定的实用价值． 4.3 解决多项式的求根问题多项式是一类最常见，最简单的函数，它的应用非常广泛．多项式理论是高等代数的重要内容，是学习代数学及其他数学分支的必要基础，是中学数学有关知识的加深和扩充．虽然它在整个高等代数中是一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数的基本内容提供了理论依据．研究学习多项式、多项式根的存在问题、多项式求根等是多项式理论的重点和难点．由于多项式理论的高度抽象性，初学者在学习时不好把握．多数多项式的求根问题又与行列式相关联，巧妙的应用它们之间的联系，对解决会起到化繁为简的作用．例5[8]证明一个n 次多项式至多有n 个互异根.证明:设n 次多项式为()n n x k x k x k k x f ++++= 2210，假设()x f 有1n +个互异的根为121,,,,+n n x x x x ,则有:()()1,,2,102210+==++++=n i x k x k x k k x f n i n i i i即: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=+++++++00001212110221022222101212110n n n nn n n n n nnn n n x k x k x k k x k x k x k k x k x k x k k x k x k x k k因此,这个关于n k k k k ,,,,210 的齐次线性方程组的系数行列式为:()∏+≤<≤++++-==11121122222121111111n i j j i nn n n nnn n nnn x x x x x x x x x x x x x x A.因为121,,,,+n n x x x x 是互异的.所以01≠+n A , 因此0210=====n k k k k .矛盾.故()x f 至多有n 个互异的根,即n 次多项式至多有n 个互异根,证毕.例6[6]设()112111222211211121111-------=n n n n n n n k k k k k k k k k x x x x f. 其中121,,,-n k k k 是互不相同的数,证明:()x f 是一个关于x 的1n -次的多项式,并求出()x f 的根.证明:因为()x f 中只有第一行含有x 的幂次,而最高幂次为1n -,另外展开后1-n x 的系数为:()011111212112222221211≠-=∏-≤<≤------n i j j in n n n n n k kk k k k k k k k k故()x f 是一个关于x 的1n -次多项式.又因为当121,,,-=n k k k x 时.()()()121,,,-n k f k f k f 都有两行相同,从而()()1,,2,1,0-==n i k f i .故互不相同的数121,,,-n k k k 就是()x f 的根.在多项式理论中，很多问题都涉及求根问题，在分析题目时，范德蒙行列式起到了关键作用,再结合范德蒙行列式为零的充要条件,更起到了化繁为简的作用.若能熟练有效的运用范德蒙行列式,对我们最终解决问题会有直接帮助. 4.4 解答向量线性相关性问题向量的线性相关性是向量研究的一个重点也是一个难点,比较抽象,且对逻辑推理有较多要求,不容易理解其实质.无论是判断还是证明或者计算,初学者往往会感到困惑,难以掌握.但将其与行列式适当相结合,对于判断、证明和计算相应问题就比较容易理解、掌握,尤其是与特殊行列式—范德蒙行列式相结合,效果更显而易见.例7[10]设t ααα,,,21 是t 个互不相同的数，t n ≤.证明:向量组()211,,,,n i i i i βααα-'=线性无关,1,2,,i n =.证明:考察向量组()12',,,,1-=t i i i i αααβ ,t i ,,2,1 =,可构造一个t 阶的范德蒙行列式:121222211211111---=t t t tt t t D ααααααααα因为t ααα,,,21 是互不相同的,所以0≠t D .故()12',,,,1-=t i i i i αααβ ,t i ,,2,1 =,线性无关.在每个'i β的后面再添上t n -个分量11,,,-+n i t i t i ααα 所得向量组()112',,,,,,,1--=n i t i t i i i i αααααβ ,1,2,,i n =,仍线性无关.例8[15] 设A 是n 阶矩阵，证明：A 的不同特征值的特征向量线性无关.证明：是t ξξξ,,,21 是A 的两两不相同的t 个特征值，存在非零向量t βββ,,,21 有：i i i A βξβ=，1i t ≤≤.假设02211=+++t t y y y βββ ，那么()t j y y y A t t j ≤≤=+++1,02211βββ .所以().1,01111t j y y A y y A ti i i j i t i i ji i t i i j i t i i i j≤≤====⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑====βξβξββ即： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0222111222221121222111t t t t t t t t t t t t y y y y y y y y y βξβξβξβξβξβξβξβξβξ所以 022113212232221321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t t tt t t t y y y βββξξξξξξξξξξξξ考察系数矩阵B ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----1131211321211111t t t t t t t B ξξξξξξξξξξξ因为t ξξξ,,,21 是两两互不相同的特征值.所以0B ≠,因此必有0332211=====t t y y y y ββββ .于是021====t y y y ,因此t βββ,,,21 线性无关.在向量空间理论中,我们经常会碰到证明向量线性无关的问题,而有些问题需要用范德蒙行列式进行转化,通过转化,我们就很容易地得到所需要的结论,这就要求我们充分掌握范德蒙行列式及其结构特征.达到灵活应用. 4.5 解答整除问题多项式整除性理论是多项式理论中的重点，也是难点.由于多项式整除多项式的抽象性，它也成为学生学习时的难点[15].下面将结合范德蒙行列式来探讨多项式整除的相关问题.先介绍两个特殊的行列式的计算．(1)、行列式 ()()()()()()()()()()∏≤<≤----==ni j j i n n n n n n n x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f A 1121112221212111111其中()kk k k k k t x t x x f +++=- 11．证明：因为()kk k k k k t x t x x f +++=- 11,所以⋅=------10100100011,31,21,1122211n n n n n n n t t t t t t A 112112222121111---n nn n nnx x x x x x x x x=()∏≤<≤-ni j j i x x 1．(2)、行列式()()∏≤<≤--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i j j i n n n n x x n n x n x n x n x x x x x x x x x B 1321321321!1!3!2!111111222211111111．证明：因为()()!11r r x x x r x +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111222211111111321321321n x n x n x n x x x x x x x x x B n n n n()()()()()()()()()()212121111111!11!31!21!11222111221121+--+--+------⋅⋅=n x x x n x x x n x x x x x x x x x x x x n n n n n n n再令()()()11+--=r x x x x f r ,所以()()()()()()()()()()()()1112121222111121111111!2!3!1!1!2!3!1!n n n ijj i nn n n n f x f x f x f x f x f x B x x n n f x f x f x ≤<≤---==---∏． 例9[11]设n k k k ,,,21 是正整数，证明n 阶行列式121222211211111---=n nn nn n n k k k k k k k k k f能被()1)2(21221----n n n n 整除．证明；直接运用以上两行列式的结果得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121112111211!1!2!1222111n k k k n k k k n k k k n f n n n n因为()!1!2!1-n =()1)2(21221----n n n n ，所以n f 能被()1)2(21221----n n n n 整除． 例10[16]设()()()t g t g t g n 121,,,- 是1n -（2n ≥）个多项式,证明:多项式()()++n n t tg t g 21()n n n t g t 12--+ 能被211n t t t -++++整除,则每个()()1,,2,1-=n i t g i 的所有系数之和为0.证明:设()()()()()2211211n n n n n n g t tg t t g t t t t q x ---+++=++++. ①要证()t g i 的系数之和为0,即要证()01=i g . 设211n t t t -++++的1n -个根为121,,,-n r r r ,它们都是n 次单位根即有1=n i r ,现令()()1,,2,11-==n i t g i i ,并把121,,,-n r r r 依次代入①得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---------0121321211122322221121321211n n n n n n n n n t r t r t r t t r t r t r t t r t r t r t② 这是一个关于121,,,-n t t t 的齐次线性方程组,其系数行列式212112222221211111------=n n n n n n r r r r r r r r r A是一个1-n 阶的范德蒙行列式,由于121,,,-n r r r 是互不相同的,因此0≠A ,从而方程组②只有零解,即12310n t t t t -=====即()()1,,2,101-==n i g i .因此,原命题得证.通过对上述例题的分析,可归纳出构造范德蒙行列式解此类问题的方法: (1)、变换形式,构造出范德蒙行列式； (2)、结合题目已知信息进行解题. 4.6 解答微积分问题无穷大量、无穷小量、高阶导数和极限是微积分研究的主要内容，这些概念的正确理解和掌握对学好微积分是必要的[18]．然而初学者在学习掌握这些概念时常常会遇到困难．在解决此类问题时，有时构造范德蒙行列式变换一下形式，可巧妙地得到解答． 例10[19] 设()t g 至少有k 阶导数,且对某个实数r ,有()0lim =∞→t g t r t 和()()0lim =∞→t g t k r t .试证:()()()1,,2,10lim -==∞→k i t g t i r t .其中()()()t g t g =0.证明:因为()t g 至少有k 阶导数,对某个实数r ，有()0lim =∞→t g t r t 和()()0lim =∞→t g t k r t .要证()()()1,,2,10lim -==∞→k i t g t i r t ，只要将()()t g i 写成()t g 与()()t g k 的线性组合即可.利用泰勒公式[20]:()()()()()()()()()m k k k k g k m t gk m t g m t mg t g m t g ξ!!1!211"2'+-++++=+-- (*) 其中()k m m t t m ,3,2,1=+<<ξ,这是()()()()1'",,,k g t g t g t -线性方程组,其系数行列式为:()()()()()12121212122211111!11!21!11!1!11!12!2221!11!2111-----⋅=----=k k k k k k kk k k k kkk k B.故构造了一个k 阶的范德蒙行列式,其值为()!1!3!2!1-⋅⋅k ,所以1=B .于是可将方程组(*)中的()()()()t g t g t g k 1"',,,- 写成()()()()k m g m t g m k ,,2,1 =+ξ与的线性组合.我们只要证明()()()()k m g t m t g t m k r t r t ,,2,10lim lim ===+∞→∞→ξ即可.事实上,设k t x t +<<,于是()()()()()()()k i x g x x t x g x x t x g t i r x rt i r r t i r t ,00lim lim lim lim ==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→∞→在此式中分别令0,=+=i m t x 和令k i x m ==,ξ,则得()()()()k m g t m t g t m k r t r t ,,2,10lim lim ===+∞→∞→ξ. 通过对以上例题的分析,可归纳出利用范德蒙行列式解这类问题方法:(1)、运用泰勒公式构造范德蒙行列式；(2)、结合范德蒙行列式和题目要求解题.从范德蒙行列式在以上六个方面的应用可以看出,巧妙的构造范德蒙行列式确实可化繁为简,达到事半功倍的效果.5 结论5.1 主要发现范德蒙行列式的构造，为问题的求解提供十分有效的手段．对范德蒙行式的应用，不仅需要对范德蒙行列式的形式、特点及性质熟练掌握，而且要能灵活的运用，善于将知识之间衔接起来．因此，只有不断地分析解决典型的题目，找出内在规律，对范德蒙行列式的应用才能进一步掌握．总之，以上问题出现的形式灵活多变，题目有一定难度，又有一定的技巧性，但只要我们善于思考、总结，就能找到解决问题的突破口，最终解决问题．5.2 启示范德蒙行列式应用中构造范德蒙行列式是解决问题的难点，也是关键点．要巧妙的构造范德蒙行列式进行解题，必须对高等数学的基础知识熟练掌握，能够将知识融会贯通．5.3 局限性由于本人的能力水平有限，这里提供的仅是范德蒙行列式在几方面的应用．不能提供更多的有关范德蒙行列式的应用，这是本毕业论文的不足之处.5.4 努力方向在今后的学习研究中将不断地深入探讨，发现更多范德蒙行列式的应用和构造范德蒙行列式的方法，为学习者提供更多的帮助．除了文中所涉及的几种应用外，根据问题不同可能还有其他的用法，这些方法将有待我们作进一步探讨研究，以弥补本毕业论文的不足．参考文献[1] 李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社,2002:177-206.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003:55-83.[3] 姚慕生.高等代数学[M].上海:复旦大学出版社,1999:23-32.[4] 丘维声.高等代数学习指导书（上册）[M].北京:清华大学出版社,2005:42-43.[5] 刘丁西.高等代数习题精解[M].第二版.合肥:中国科学技术大学出版社,2004:38-66.[6] 杨子胥.高等代数习题解[M].济南:山东科学技术出版社,2009:307-366.[7] 张文治,赵艳.范德蒙行列式应用三则[J].北华航天工业学院学报,2007,17（4）:38-39.[8] 徐杰.范德蒙行列式的应用[J].职校论坛,2009,(17):584-586.[9] 程伟健,贺冬冬.范德蒙行列式在微积分中的应用[J].大学数学,2004,20（3）:127-130.[10]徐仲,陆全等.高等代数（导数.导学.导考）[M].西安:西北工业大学出版社,2004:85-130.[11]孙宗明.高等代数的内容与方法[M].兰州:兰州大学出版社,1990:109-114.[12]陈文磊,肖俊起,莫延文.一类特殊矩阵多项式计算方法浅谈[J].高等函授学报（自然科学版）,2008,21（4）:58-59.[13]牛海军.范德蒙行列式在行列式计算中的应用[J].中国科教创新导刊,2008,(17):140.[14]杨培国.n阶k循环行列式的初等解法[J].上海工程技术大学学报,2004,18（1）:37-39.[15]王寿生.考研数学常见题型解析及模拟试题[M].西安:西北工业大学出版社,2000:216-218.[16]邓敏.多项式余数定理的推广形式[J].数学理论与应用,2006,26（3）:108-110.[17]刘玉琏,傅沸仁,林玎等.数学分析讲义[M].第四版.北京:高等教育出版社,2003:97-205.[18]华青,邵之泉,俞颂.基础微积分[M].上海:知识出版社,1987:1-12.[19]斐礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993:180-181.[20]邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉:武汉大学出版社,2001:168-169.。

行列式的性质及应用论文行列式是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。

本文将从性质和应用两个方面来探讨行列式的相关内容。

首先，我们来讨论行列式的性质。

行列式是一个标量，它可以表示矩阵所围成的平行四边形的面积或者体积。

行列式的计算可以通过拉普拉斯展开定理、三角矩阵法和克拉默法则等方法来进行。

下面是行列式的一些重要性质：1. 行列式的性质一：行列式的值与行列式的转置值相等。

即，对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。

2. 行列式的性质二：行列式的值等于它的任意两行（或两列）互换后的值的相反数。

即，如果将矩阵A的第i行和第j行进行互换，那么有det(A) = -det(A')，其中A'是矩阵A进行行互换后的矩阵。

3. 行列式的性质三：如果矩阵A的某一行（或某一列）的元素全为零，则行列式的值为零。

即，如果A的某一行（或某一列）所有元素都为零，则有det(A) = 0。

4. 行列式的性质四：行列式的某一行（某一列）的元素都乘以一个常数k，等于用该行（该列）的元素乘以k的行列式的值。

即，如果将矩阵A的第i行的所有元素都乘以k，那么有det(A) = k * det(A')，其中A'是矩阵A进行行数乘k后的矩阵。

行列式的这些性质使得我们可以通过简单的操作来计算复杂矩阵的行列式，从而简化线性代数的运算。

接下来，我们来探讨行列式的应用。

行列式在数学和工程中有广泛的应用，下面举几个例子：1. 线性方程组的解：行列式可以用来求解线性方程组的解。

对于一个n阶方阵A和一个n维向量b，如果det(A)≠0，那么方程组有唯一解；如果det(A) = 0，那么方程组无解或有无穷多解。

2. 矩阵的逆：行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆。

对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，那么A是可逆的，且其逆矩阵的行列式为1/det(A)。

3. 平面和体积的计算：行列式可以用来计算平面和体积的面积或体积。

行列式不同计算方法的比较研究1. 引言1.1 研究背景行列式是线性代数中一个十分重要的概念，它是矩阵的一个属性，可以帮助我们判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等问题。

在数学和工程领域中，对行列式的研究有着重要的意义。

对于不同的行列式计算方法，在实际应用中常常存在着计算速度、精度和稳定性等方面的差异，因此有必要对不同的计算方法进行比较研究。

随着计算机技术的不断发展，人们对行列式计算方法的要求也越来越高。

研究行列式的不同计算方法，探索其优缺点，并提出改进和优化方案，对于提高计算效率、降低计算误差，具有重要的理论和实际意义。

本研究旨在比较分析不同的行列式计算方法，包括传统行列式计算方法、基于展开定理的计算方法、基于矩阵的计算方法和基于特征值的计算方法。

通过对这些方法的比较研究，探讨其优缺点，为行列式计算方法的选择和优化提供参考。

1.2 研究意义行列式是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域有着广泛的应用。

行列式的计算方法不仅在理论研究中起着关键作用，而且在实际问题的求解中也有着重要的意义。

研究不同的行列式计算方法，可以帮助我们深入理解行列式的性质和特点，提高我们对行列式计算的效率和准确性。

传统的行列式计算方法虽然能够准确地求解行列式的值，但在处理较大规模的行列式时往往计算量较大，耗时较长。

基于展开定理的行列式计算方法通过将行列式按行或列展开，可以减少计算量，提高计算效率。

基于矩阵的行列式计算方法利用矩阵的性质简化行列式的计算过程，降低计算难度。

而基于特征值的行列式计算方法则通过求解矩阵的特征值和特征向量，进一步简化了行列式的计算过程。

1.3 研究目的研究目的是为了比较不同的行列式计算方法，分析它们在实际应用中的优劣势，并找到最有效的计算方法。

通过研究不同方法的特点和适用场景，可以为数学领域的相关研究和应用提供有益参考。

深入研究行列式的计算方法，对于提高数学学习者对行列式概念的理解和掌握也具有重要意义。

行列式的计算文献综述文献综述行列式的计算一前言部分1.1 写作目的我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程的代数就叫做线性代数。

在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式有一定的计算规则,利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,因此行列式是解线性方程组的工具。

行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,也就是说行列式代表着一个数。

行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具。

无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。

[1] 行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题,时至今日行列式理论的应用却远不如此,它在消元法、矩阵论、坐标变换,多重积分中的变量替换,解行星运动的微分方程组、将二次型及二次型束化简为标准型等诸多的问题中都有广泛的应用,然而这些应用最终都离不开行列式的计算,它是行列式理论中的一个重要问题。

它的起源于1757 年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的,然而它的应用早已超出了代数的范围,成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具。

行列式是代数学中线性代数的重要分支,是研究高等代数的一个重要工具。

行列式的理论和方法,是研究现代科学技术的重要方法,在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。

对行列式在高等数学中的应用作了总结,初步揭示工科数学两门重要的基础课线性代数与高等数学之间密切的联系。

行列式的计算是一个很重要的问题,也是一个很复杂的问题。

阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值,零元素很多的行列式(如三角行列式)也可按照定义求值。

对于一般n阶行列式特别是当n很大的时候,直接用定义求值是不大可能的。

所以,研究一般n阶行列式的计算是非常必要的。

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。

十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。

行列式发展历史一、行列式的起源和发展概述行列式是线性代数中的重要概念，最早由日本数学家关孝和在18世纪末提出。

行列式的发展经历了多个阶段，逐渐形成了现代线性代数的基础。

二、行列式的起源行列式最早起源于代数学中的消元法，用于解决线性方程组的问题。

在17世纪末，法国数学家Cramer提出了Cramer法则，通过行列式的计算来求解线性方程组。

这标志着行列式作为一个独立的数学概念开始被正式研究。

三、行列式的初步发展18世纪末，日本数学家关孝和进一步发展了行列式的理论。

他提出了行列式的定义和性质，并给出了行列式的计算方法。

关孝和的研究成果为后来的数学家们提供了重要的理论基础。

四、行列式的矩阵表示19世纪初，数学家Cauchy将行列式的概念与矩阵相结合，引入了矩阵的概念。

他将行列式看作是一个方阵，通过矩阵的运算来计算行列式的值。

这一创新为后来的矩阵论奠定了基础。

五、行列式的性质和应用随着对行列式理论的深入研究，人们逐渐发现了行列式的一些重要性质。

行列式具有可加性、齐次性、交换性等基本性质，这些性质使得行列式在线性代数中具有广泛的应用。

六、行列式在线性代数中的应用行列式在线性代数中有着广泛的应用。

首先，行列式可以用来求解线性方程组的解，通过计算行列式的值，可以判断线性方程组是否有唯一解。

其次，行列式可以用来计算矩阵的逆和行列式的秩，这对于矩阵的求逆和判断线性相关性非常重要。

此外，行列式还可以用来计算向量的叉乘和面积、体积等几何量。

七、行列式的发展现状和展望目前，行列式的理论已经非常成熟，已经成为线性代数的基础知识之一。

随着计算机技术的发展，人们可以通过计算机程序来计算行列式的值，大大提高了计算的效率。

未来，行列式的研究还将与其他数学分支相结合，进一步拓展行列式的应用领域。

八、总结行列式作为线性代数中的重要概念，经历了从起源到发展的过程。

通过对行列式的研究，人们发现了行列式的性质和应用，为线性方程组的求解和矩阵运算提供了重要的工具。

行列式发展历史一、行列式的起源与发展背景行列式是线性代数中的一个重要概念，它最早由日本数学家关孝和在1683年提出。

关孝和在研究数学问题时，发现了一种特殊的方阵运算方法，即行列式。

随着时间的推移，行列式的概念逐渐被人们所接受，并在数学和工程领域得到广泛应用。

二、行列式的定义与性质行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用于描述矩阵的某些重要性质。

行列式的定义如下：对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其行列式记作det(A)，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

行列式的计算方法可以通过展开定理、代数余子式等方式进行，具体计算过程较为复杂。

行列式具有以下重要性质：1. 如果A是一个n阶方阵，那么det(A) = det(A^T)，即行列式的值与其转置矩阵的行列式值相等。

2. 如果A是一个n阶方阵，那么如果A的某一行或某一列全为0，则det(A) = 0。

3. 如果A是一个n阶方阵，那么如果A的某两行或某两列相同，则det(A) = 0。

4. 如果A是一个n阶方阵，那么如果A的某一行或某一列是另一行或另一列的倍数，则det(A) = 0。

5. 如果A是一个n阶方阵，那么如果A的两行或两列交换位置，则det(A)的值改变符号。

三、行列式的应用领域行列式在数学和工程领域有着广泛的应用，下面列举了几个常见的应用领域：1. 线性代数：行列式是线性代数中的重要概念，它与线性方程组的解、矩阵的可逆性等密切相关。

2. 线性变换：行列式可以用于描述线性变换的特性，如旋转、缩放、镜像等。

3. 物理学：行列式在物理学中有广泛应用，如量子力学中的波函数、电磁场的描述等。

4. 金融学：行列式可以用于计算投资组合的风险和收益，帮助投资者进行决策。

5. 工程学：行列式可以用于求解工程问题，如电路分析、结构力学等。

四、行列式的发展历史与研究进展行列式的发展历史可以追溯到17世纪，最早由关孝和提出。

随着时间的推移，行列式的概念逐渐被人们所接受，并在数学和工程领域得到广泛应用。

关于行列式计算方法的进一步探讨引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的,它不论是在线性代数，多项式理论还是微积分中都有广泛应用，所以掌握行列式的计算是十分必要的. 为此，我在查阅部分参考资料的基础上,结合自己的学习实践,对行列式的计算总结了二十一种方法.常规做法都是用行列式的性质和相关定理来求解.以下是对一些典型类型的行列式的计算，以拓宽行列式的解题思路，下面依次说明其求解方法和过程.1.定义法n 阶行列式的定义展开式式中包含!n 项,当n 较大时，利用定义进行计算就会很麻烦，只有当行列式中0比较多时考虑利用定义算行列式，这样可以大大减少行列式展开的项数.例1计算000100002000010n n -.解 根据行列式的定义，行列式展开式的每一项都是n 个元素的乘积，这些元素来自行列式不同的行和不同的列，由于行列式中只有一个非零项!)1(21n n n =⋅-⋅ ，这一项的逆序数为1-n ，有计算可得!)1(1n D n n --=.2.化三角形法化三角形法主要是利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式.虽然每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式.但当行列式阶数较高时,计算往往较为复杂.因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作某种变形,再将其化为三角形行列式.上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积.例2 计算行列式 12311212332125113311231------=n n n n n n n n n n A .解 首先将行列式的第一行乘以()1-加到第n ,,3,2 行,再将其第1,2,,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列,则得()()()!110200132100001002000200010001231)1(12121-=-=---=----n n n n n n n A n n n n）（.3.降阶法可利用按一行(列)展开定理降低n 阶行列式的阶数并且使得行列式的计算较为简便的方法称为降阶法.降阶比较适合于行列式中某行或列中零元素比较多时.例3 计算行列式 nA 222232222222221=.解 首先应考虑A 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以()2-加到第n ,,3,2 行,数字反而复杂了,要使行列式尽可能多的出现“0”项,将该行列式的第一行乘以()1-加到第n ,,3,2 行,得2001010100012221-=n A.上式仍不是上（下）三角形行列式，我们可以用降阶法，注意第二行除了第一项是1， 后面的项都是0，我们按第二行展开，得()!2221222--=-=n n A. 4.加边法加边法就是将原来的行列式添加一行一列,且其值不变,所得的新行列式更容易求出其值.该方法适用于除主对角线上元素外,各行（或列）对应的元素分别相同的类型.例4 计算行列式nn n na a a a a a a a a a a a a a a a D 321321321321111+++=. 解 利用加边法将行列式添加一行一列，使其值保持不变.则有nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a D +++=1010101321321321321=1100101000111321---n a a a a =10001000001013211n ni ia a a a a ∑=+=∑=+ni i a 11=n a a a a +++++ 3211.加边法最大的特点是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就可以大大减少计算量.5.分解行列法(拆项法)如果行列式某行(列)是两行(列)之和,将行列式分解为两行列式的和,然后再利用性质进行计算.即分解行列法.例5 计算 nn n nn n n x n x x x n x x x n x x D ααααααααα+++++++++=212222111211212121.解 将行列式n D 分解为若干行列式的和,则当2>n 时,每个行列式至少有两列成比例,故0=n D ；当1=n 时，1111x D α+=.当2=n 时，()()212121112212222112112222112121αααααααααα--=+=++++=x x x x x x x x x x D .则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=--=+=.2,0,2),2)((,1,1212111n n x x n x D n ααα6.分解法利用矩阵乘积的性质可把行列式分解成若干个行列式乘积的方法称为分解法.如果矩阵A 分解为m A A A A A 321=，其中i A 都是n 阶方阵),,2,1(m i =,则.321m A A A A A =例6 计算行列式nn nn n n n nn n n nn n n nnn nn nn nnn n nn nn n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a D ------------------=111111111111111111221122222212121121211111. 解 首先用以前学过的公式化简行列式，然后再进行计算.由于 )1)(1()(11122111111--++++-=-n n n b a b a b a b a b a ， 则有∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-=-==1010211121022101210110211011n k knk n n k k k n n k k k n n k k nk n k k k n k k k n k k n k n k k k n k k k n b a b abab abab ab a b a b aD=112112222121121222211211111.111------n nn n n n n n n n n n b b b b b b b b b a a a a a a aaa=∏≤≤≤--nj i i j i jb b a a1))((.7.拆元法把某一行或列的元素写成两个数的和的形式，再利用行列式的性质将其写成两个行列式的和，以简化计算.例7 计算行列式xm m m m xmm m mx m mm mxD n ------=.解xm m m m xmm m m xm mm m x D n ------=xm m m m xmm m m x m mm mm------=xm m mm xmmm m x m mm m mx -------+11)()(---++=n n D m x m x m (1)由于n nD D =' ，即将n D 中的m 换成m -，行列式的值不变，故 11)()(--++--=n n n D m x m x m D (2)（1））（m x +⨯122)()()(--++=+n n n D m x m x m D m x（2）)(m x -⨯122)()()(--+--=-n n n D m x m x m D m x则])()[(21)()()()(n n n n n m x m x m x m x m x m m x m D --+=--+-++=.8.析因子法所谓析因子法就是当行列式为零时,求得方程的根,从而将行列式转化为其因子的积,这样会大大减少计算量,该方法适用于主对角线上含多项式的类型.对于一个n 次多项式,当最多找到r 个因子使其行列式值为零时,就要把它画成一个r 次多项式与一个r n -次多项式的乘积.但一般找到的使其行列式为零的个数与行列式的次数相差太多时，不适用本方法.例8 计算 1321121311321+++=x n x n x n D n.解 令(),n D x f =当1,,2,1-=n i 时，()0=i f ，即()()()1,,2,1+---n x x x 是()x f 的因子且它们互质.故()∏-=-11n i i x 是()x f 的因子，比较1-n x的系数知()=x f ()n n i D i x =-∏-=11.9.分块矩阵法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00通过分块若能化为对角矩阵或下（上）三角矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0,那么行列式BA 00=BCA 0B A ⋅=，其中阶可逆矩分别是r s B A ,,s r C ⨯是阶矩阵，r s ⨯是0阶矩阵.可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题，通过矩阵分块转换为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rr r rsr r s sr s ss s r s b b c c b b c c d d a a d d a a G1111111111111111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B C D A ， 其中，B A ,分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，s r C ⨯是阶矩阵, r s D ⨯是阶矩阵,则有下面公式成立.C DB A B B CD A G 1--⋅==或C D B A BC DA G 1A --⋅==. 下面推导公式，事实上当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----B C D A E DB E D BCA D A B C D A E A E000111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-B C CDB A 01. 上面两式两边同时取行列式即可得出上面的公式.例9计算 8710650143102101=D . 解法1 0440440043102101871650143102101===原式. 若用前面介绍的公式则可以直接得出结果.解法2 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8765B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321D ， 则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001'A ,由公式知原行列式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-⋅==-432110011001876510011D CA B A B CD A 04444432187651==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，这道题目还有一个特点，那就是C A =,如果我们把公式变形， 即D ACA AB D CA B A D CA B A BC DA 111)(----=-=-⋅=. 当C A =时CD AB D CAA AB D ACA AB -=-=---11.所以当C A =时CD AB BC DA -=, 这类题就可以直接写出答案了.解法3 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8765B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321D . 因为C A =，所以原行列式0432187654321100187651001=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=CD AB .10.递推法应用行列式的性质,把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式,这种关系式称为递推关系.根据递推关系式及某个低阶初始行列式的值,便可递推求得所给行列式的值,这种计算行列式的方法称为递推法.注意 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法. （1） 1-=n n kD D 类例10 计算行列式 2n D =d cd c b a ba.解 将2n D 按第1行展开可得()0100122cd dc b a bab dc d c b a b a aD n n+-+=()()阶阶2222---=n n dcdc b a ba bcdc d c b a b a ad22--=n D bc ad ）（.所以 422222)()(---=-=n n n D bc ad D bc ad D n n bc ad D bc ad )()(22-=-==- . （2） 2211--+=n n n D k D k D 类例11 计算带形行列式1111n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=++.解 将n D 按第一行展开可得，211)(111)(----+=+++-+=n n n n D D D D αββαβααββααββααβαββα所以12()n n n D D D αβαβ--=+-，112n n n n D D D D αβαβ----=-， 112()n n n n D D D D αβα----=-，223()n n D D βα--=- …………332()n D D βα-=-.2233311αββαβαβααββααββα+++=+++=D αββαβααββα++=++=2221D 323βα=-D D333132()n n n n n D D D D αβαβββ----=-==，同理可得 1n n n D D βα--=，联立解得 1n nn D αβαβ--=-，因此 11n n n D αβαβ++-=-.11.构造代数方程组法当所求行列式是由几个元素组成的,若用曾经求解过的行列式作系数行列式,构造一个n 元线性方程组,所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分.例12 计算 n nn nn n n n nnn a a a a a a a a a a a a D21222212222121111---=. 解 如果使用常规的方法,解这道题是非常复杂的,而且困难的是因为n D 不是范德蒙行列式,若我们用刚刚介绍的代数方程组法求解这道题就变得十分容易了,因为n D 类似于范德蒙行列式,我们构造一个n 阶的范德蒙行列式()∏≤<≤----==nj i i jn nn n n n a aa a a a a a a a a D 1112112222121111.于是当j i a a ≠时，比值DD n是线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---.,,121212221111211nn n n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 的解中的n x 值，又这个方程组x t x t x t n n n =-----121 可以看作是()是未知数t 有n 个根：n a a a ,,,21 .于是由高次方程与系数的关系有n n a a a x +++= 21， 因此，()()∏≤<≤-+++==nj i i jn n n a aa a a D x D 121 .12.数学归纳法数学归纳法多用于证明题.用数学归纳法计算n 阶行列式，需要对同结构的低阶行列式进行计算,从中发现规律并得出一般性结论,然后用归纳法证明其正确性.例13 证明αααααn cos cos 2100cos 210001cos 21001cos = .证明 第二数学归纳法.2=n 时,ααcos 211cos 2=D =αα2cos 1cos 22=-.结论成立.假设对级数小于n 的行列式,结论成立,则21cos 2---=n n n D D D α,由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n ,代入前一式得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D n=αααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---. 故对一切自然数n 结论成立.13.辅助行列式法辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同.解题程序1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式);,,2,1(n i A ii = 3)∑-*-=nij ij A x D D 1 .例14 求下列n 阶行列式的值.111212112111 n n n D n ---=.解 在n D 的各元素上加上(1)-后，则有n n n n n nn n)1()1(000101001000)(D 2)1(-⋅-=---=-* ，又(1)1212,11(1)(1)n n n n n n A A A n ---====-⋅- ，其余的为零.故 ∑=*+=nj i ij n n A D D 1,)(=∑=+--+-⋅-ni i n i nn n A n 11,2)1()1()1(=12)1(2)1()1()1()1()1(----⋅⋅-+-⋅-n n n nn n n n n=1)1(2)1()1(--⋅--n n n n . 若知道辅助行列式法的解题程序，用此法就可轻松地解出此题.但根据该行列式的特点，我们也可以用加边法，把大部分元素化为零，再化为三角形行列式也可轻易解出该行列式.14.利用拉普拉斯展开法拉普拉斯定理的四种特殊情形1）0nn nn mm mnmmA ABC B =⋅2）0nn nm nn mm mm A C A B B =⋅3）0(1)nn mnnn mm mmmnA AB BC =-⋅ 4）(1)0nm nn mn nn mm mmC A A B B =-⋅例15 计算n 阶行列式n D ,其中aba b ab ab aa a a D nββββββββββββλ=.解 如果从第三行开始每一行都减去第二行,再从第三列开始每一列都加上第二列， 使行列式种更多的元素为零.先按上述分析对行列式进行变换βββββββββλ------=a aa a a a ab aa a a D n00000000βββββββλ----+-=a a a n a b aaaan00000000)2()1()2()2(2200000)2(1-⨯-⨯---⋅-+-=n n a a a n a ba n ββββλ）（2)()]1()2([--⋅---+=n a n ab n a ββλλ.15.利用范德蒙行列式例16 计算行列式1+n D ,其中111)()1()()1(1111---+----=n n n nnnn n a a a n a a a D .解 该行列式与范德蒙行列式类似,我们可以先利用行列式的性质把它变成范德蒙行列式在进行计算.通过相邻两行的交换,先把最后一行交换至第一行（交换n 次）,再将新的最后一行交换至第二行（交换1-n 次）继续下去,经过2/)1(-n n 次交换以后,原行列式变成范德蒙行列式.由范德蒙行列式的性质得nn n n n n n a a a na a a D )()1(1111)1(2)1(1-----=++=∏∏≤<≤≤<≤--=----ni j ni j n n j i j a i a 002)1()()]()[()1(.推论 （超范德蒙行列式法）超范德蒙行列式法就是考察1+n 阶范德蒙行列式)(x f ,利用行列式n D 与)(x f 中某一元素余子式的关系来计算行列式的方法.这种方法适用于n D 具有范德蒙行列式形式的题型.例17 计算行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=. 解 1+n 阶范德蒙行列式为)(x f =∏≤<≤-------=ni j j i n n nn nn n n n nnx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 12121112112222121)()())((111由分析知n D 就是行列式)(x f 中元素1-n x 的余子式1,+n n M ，即1,1,++-==n n n n n A M D （1,+n n A 为代数余子式）， 又由)(x f 的表达式及根与系数关系知)(x f 中1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+++-ni j j in x xx x x 121 .即1,+n n A =()()∏≤<≤-+++-ni j j in x xx x x 121 .所以 =n D ()()∏≤<≤-+++ni j j in x xx x x 121 .16.利用矩阵行列式公式引理 设A 为n m ⨯型矩阵，B 为m n ⨯型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有)det()det(AB E BA E m n ±=±.例18 计算下行列式的值.ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a n n n n n ++++=321321321321D .解 令矩阵 A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=b a a a a a b a a a a a b a a a a a b a n n n n321321321321则可得A ),,,(11121321321321321n n n n n n n a a a bE a a a a a a a a a a a a a a a a bE⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n C B bE ⨯⨯+=11.其中 ()n n T n a a a C B ,,,,)1,,1,1(2111 ==⨯⨯， 那么根据上面所提到的引理可得111D ⨯⨯-+=+=n n n n n B C b b BC bE .又()∑=⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ni i n n n a a a a B C 12111111，故)(11b a bD ni i n n +=∑=-.17.利用方阵特征值与行列式的关系例19 计算下行列式的值 ba a a a ab a a a a a b a a a a a ba D n n n n n ++++=321321321321.解 令矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=b a a a a a ba a a a ab a a a a a ba A n n n n321321321321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a bE321321321321n n A bE +=，显然 ,n bE 的n 个特征值为b b b ,,, .而n A 的n 个特征值为0,,0,0,1∑=ni i a .故A 的特征值为11,,,,-=∑+n ni i b b b a b .由矩阵特征值与对应行列式的关系知)(11∑=-+==ni i n n b a bA D .18.乘以已知行列式例 20 计算行列式abc db a dc cd a bd c b aD ------=4. 解 直接计算这种行列式比较困难.所给行列式易于利用行列式乘法公式求得4424D D D '=，再确定4D 的符号即可求出4D .根据行列式的乘法公式有 4424D D D '==abc db a dc cd a b d c b a------ab c d b a d c cd a b d c b a ------=22222222222222220000000d c b a d c b a d c b a d c b a ++++++++++++=42222)(d c b a +++,所以4D = 22222)(d c b a +++±.根据行列式的定义可知,4D 的展开式中有一项为444332211)1234()1(a a a a a =-τ，故4D = 22222)(d c b a +++.19.递推方程组方法例21 求行列式的值xz zzy x z zyy x zyy y xD n = . (3) 解 从）（1的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第1-n 列减第n 列，得,00000000000xxz y y x y y x x z y y x x z y y x D n -------=(4)上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是)(y x -乘一个1-n 阶行列式，这个1-n 阶行列式和（4）中的n 阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为1)(--n D y x ；展开的另一项是111)1(1)()()1(00000000000)1(--+-+-=--=-------n n n n n z x y x z y x z x z y x x z y x xz y故递推式,)()(11---+-=n n n z x y D y x D （5）若y z =，则上式化为,)()(11---+-=n n n y x y D y x D （6）类似地有;)()(;)()(223221y x y D y x D y x y D y x D n n n -+-=-+-=---又))((2y x y x xy yx x xy y yx D +-==--=. 故可对（4）式递推计算如下：11)()(---+-=n n n y x y D y x D=(y x -)[]122)()()(----+-+-n n n y x y y x y D y x =1332)(2])()[()(----+-+--n n n y x y y x y D y x y x =133)(3)(---+-n n y x y D y x])1([)()()2())(()()()2()(112122y n x y x y x y n y x y x y x y x y n D y x n n n n n -+-=--++--=--+-==-----上面得到原行列式当y z =时的值.下面讨论y z ≠的情形.把（5）的行列式的z y 与对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变.于是z y 与对调后，1,-n n D D 的值不变，这时（5）式变为11)()(---+-=n n n y x z D z x D （7）从（5）与（7）（递推方程组）消去1-n D ，即（3）式乘以z x -，（5）乘以)(y x -，相减得n n n y x z z x y D y x z x )()()]()[(---=---)()()(y z zy y x z z x y D nn n ≠----=当注: 当y z =时，行列式n D 也可以用极限计算zy y x z z x y nn y z ----→)()(lim(固定y ) 1)()(lim 1----⋅-=-→nn y z y x z x n y (用罗必达法则)])1([)()()(1y n x y x y x y x ny nn n -+-=-+-=-又行列式n D 当y z =时可以用余式定理来做.推广 其实上述行列式我们仅仅能看见主对角线相等的情况，那么对于主对角线不等的我们更进一步考虑用函数来解决.()()()()()x x x x x f ba a bfb af x bbba xb baa xb aa a x D n n--=--==1321其中，b a ≠. 证明 作()xx xb xb xb x a x x x b xb x a x a x x xb x a xa x a xx x D n ++++++++++++++++=321. 可见()()())(,b f b D a f a D =-=-，又据行列式的性质，可知()x D 是x 的一次多项式，所以可令()d cx x D +=，又因D D d ==)0(，所以)()(),()(b f D cb b D a f D ca a D =+-=-=+-=-.故()()ba a bfb af D --=.20.导数在计算行列式中的应用1.行列式的求导法则定理1 设)(x f ij （n j i ,,2,1, =）为可导函数，则有行列式求导法则)()()()(11111x f Vf M Mf V x f M M x f V x f dxdnn n in i n =∑=ni nn n in i n x f Vf M M f dx dV x f dx dM Mx f Vx f 111111)()()()(. 即行列式的导数是数个项之和，其项数等于行列式的阶数，第一项是把原行列式的第一行（或第一列）的各元变成相应的导数，其余各行（或列）不变。