湖南省名校联考联合体2022-2023学年高一下学期入学考试数学试题(解析版)

一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则下列结论正确的是（ ）{}{}2,lg A y y x B x y x ====∣∣A. B.A B =A B ⊆C. D. BA ⊆{}1A B xx ⋂=≥∣【答案】C 【解析】【分析】化简集合，据此可判断的关系.,A B ,A B 【详解】因为， {}{}2[0,),lg (0,)A yy x B xy x ===+∞===+∞∣∣所以、、错误，正确.A B =A B ⊆{}1A B xx ⋂=≥∣B A ⊆故选：C2. 若，则为（ ） 1:(0,),2p x x x∀∈+∞+≥p ⌝A .B. 1(0,),2x x x ∃∈+∞+<1(0,),2x x x ∃∈+∞+…C. D. 1(0,),2x x x∃∈+∞+…1(0,),2x x x∀∈+∞+<【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】， 1:(0,),2p x x x∀∈+∞+≥则为. p ⌝1(0,),2x x x∃∈+∞+<故选：A3. 不等式的解集是，则的解集是（ ） 20x ax b --<{|23}x x <<210bx ax -->A .B. C. D.{|23}x x <<11{|}32x x <<11{|}23x x -<<-{|32}x x -<<-【答案】C 【解析】【分析】由题知的两根为，进而得，再代入解不等式即可得答20x ax b --=122,3x x ==,=5=-6a b 案.【详解】解：因为不等式的解集是， 20x ax b --<{|23}x x <<所以方程的两根为，20x ax b --=122,3x x ==所以由韦达定理得，，即， 23a +=23b ⨯=-,=5=-6a b 所以，解不等式得解集为 2216510bx ax x x --=--->11{|}23x x -<<-故选：C4. 如图，在中，点是边的中点，，则用向量表示为（ ）ABC A D BC 2AG GD = ,AB AC BGA.B.2133BG AB AC =-+1233BG AB AC =-+C.D.2133BG AB AC =- 2133BG AB AC =+ 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意，得到，，再由向量的加减运算，即可得出结果. ()12AD AB AC =+23AG AD =u u u r u u u r 【详解】因为点是边的中点，所以， D BC ()12AD AB AC =+又，所以，2AG GD =23AG AD =u u u r u u u r 因此. ()21123333BG AG AB AD AB AB AC AB AC AB =-=-=+-=-故选：A.【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.5. 若，则（ ）tan 2θ=-21cos sin2θθ+=A. B. C. D. 23-32-34-43-【答案】B 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简即可得解. 【详解】因为，tan 2θ=-所以,22221cos sin 2cos 2tan 243sin22sin cos 2tan 42θθθθθθθθ++++====--故选：B6. 已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则ABC A A B C a b c 2sin b a B =cos sin B C +的取值范围为（ ）A. B.C. D.32⎫⎪⎪⎭12⎛⎝【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由sin B B cos sin B C +此求得取值范围.【详解】依题意， 2sin b a B =由正弦定理得， sin 2sin sin B A B =所以，1sin 2A =cos A =由于三角形是锐角三角形，所以.ABC 6A π=由. 23202A B B B ππππ⎧+>⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩所以 5cos sin cos sin 6B C B B π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭13cos cos cos 22B B B B B=+=+，3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由于，所以， 25336B πππ<+<1sin 32B π⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝. 332B π⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，两角差的正弦公式，属于中档题. 7. 如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是ABCD A P A BP BD ⋅（ ）A. B. C. D.[]2,6⎡⎣44⎡-+⎣2,⎡⎣【答案】C 【解析】【分析】由向量的加法可得，再由向量数量积的运算即可得解.()B B D A P P BD B A =+⋅⋅【详解】设与的夹角为，则，AP BDθ0πθ≤≤()B BA AP B BP BD BD D BD A AP ⋅=+⋅=⋅+⋅=2451θ⨯︒+⨯，=4θ+因为，1cos θ1-££所以 44BP BD ⋅-≤≤+故选：C8. 设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数则称函()y f x =R p ()()()(),,4,,p f x f x p f x f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩数为的“界函数”.若给定函数，则下列结论不成立的是（ ）()p f x ()f x p ()221,2f x x x p =--=A. B.()()00p p f f f f ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦()()11p p f f f f ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦C. D.()()22p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦()][()33p f f f f ⎡⎤=⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】由题意可得，然后逐个分析判断即可。

湖南2023-2024学年度高一第二学期入学考试数学（答案在最后）命题：（考试范围：必修1）时量：120分钟满分：150分得分：______.一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知全集()U {010},{1,3,5,7}U M N x x M N =⋃=∈≤≤⋂=N ∣ð，则集合N =（）A.{}010x x ≤≤∣ B.{}010x x ∈≤≤N∣C.{}0,2,4,6,8,9,10 D.{}0,2,4,6,8,10【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果.【详解】{}{010}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U M N x x =⋃=∈≤≤=N∣，且()U {1,3,5,7}M N ⋂=ð，则集合N 中不包含元素1,3,5,7，即{}0,2,4,6,8,9,10N =.故选：C2.已知R 上的函数()f x ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】取()()1f x x x =-，x ∈R ，则()00f =，但()()10,12f f =-=，即()()11f f -≠-，所以函数()f x 不是奇函数，故充分性不满足；若函数()f x 为奇函数，则()()00f f =--，即()00f =，故必要性满足；所以“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件.故选：B3.为了得到函数cos5xy =的图象，只需把余弦曲线cos y x =上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的15，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【详解】将函数cos y x =图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数1cos 5y x =的图象．故选：A ．4.函数()()1ln f x x x =-的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】通过函数的定义域排除D 选项；通过函数的零点、在1x <-，10x -<<，01x <<，1x >四段范围内函数值的正负可排除AB 选项，确定C 选项.【详解】函数()()1ln f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，故排除D 选项；令()()1ln 0f x x x =-=，即1x =或=1x -，所以函数有两个零点1，1-，当1x <-时，1x ->，则10x -<，()ln ln 0x x =->，则()()1ln 0f x x x =-<，故排除AB 选项；当10x -<<时，1x -<，则10x -<，()ln ln 0x x =-<，则()()1ln 0=->f x x x ；当01x <<时，10x -<，ln ln 0x x =<，则()()1ln 0=->f x x x ；当1x >时，10x ->，ln ln 0x x =>，则()()1ln 0=->f x x x .所以函数()()1ln f x x x =-的图象可能是C 选项.故选：C.5.已知实数a ，b ，满足33(1)(1)2a b a b -+-≥--恒成立，则a b +的最小值为（）A.2B.0C.1D.4【答案】A 【解析】【分析】化简可得33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，再根据函数3y x x =+单调递增判断即可.【详解】33(1)(1)2a b a b -+-≥--，所以33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，因为函数3y x x =+单调递增，所以11a b -≥-，即2a b +≥.故选：A ．6.已知4cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πα<，则sin21cos2αα=+（）A.43 B.34C.34-D.43-【答案】D 【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求sin α的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解.【详解】解：∵4cos sin 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭且2πα<，所以4sin 5α=-，3cos 5α==所以2sin22sin cos sin 41cos22cos cos 3ααααααα===-+故选：D .7.已知函数())lg f x x =，正实数a ，b 满足()()220f a f b -+=，则2aba b +的最大值为（）A.49B.29C.15D.14【答案】B 【解析】【分析】先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出22a b +=，再结合基本不等式计算即可.【详解】易知函数()f x 定义域为R，且)()lg ()lgf x x x⎤-=+-=-⎦)()lgx f x ==-=-，所以)()lgf x x =+为R 上的奇函数，有()()0f x f x -+=，由复合函数的单调性可知()f x 单调递增，由()()220f a f b -+=，得220a b -+=，即22a b +=，因为,a b 为正实数，则有1122ab a b b a=++，而()12222559a b a b b a b a ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =即23a b ==时等号成立，所以1292b a +≥，则2ab a b +的最大值为29.故选：B.8.已知495ln ,log 3log 17,72425bb c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（）A.b c a >>B.a c b>> C.b a c>> D.a b c>>【答案】D 【解析】【分析】根据零点存在性定理可求解23b <<，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解c b <的范围，即可比较大小．【详解】由ln 50a a +-=，令()ln 5f a a a =+-，则()f a 在定义域内单调性递增，且()()33ln35ln320,44ln 45ln 410f f =+-=-<=+-=->，由零点存在性定理可得34a <<，49lg3lg17log 3log 1722lg22lg3b =+=+≥==>=，又494917log 3log lo 4813g log b =+<=+，因此23b <<，2272425724625b b c >+=+=，可得2>c ，72425bbc+=，72425252525b b cb b b +=，22724724()()()()125252525b b +<+=，∴25125cb <，2525c b <，c b ∴<，c b a ∴<<．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则（）A.2c cd <B.a c b d -<-C.ac bd >D.c d a b>【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ，利用特殊值判断BC ，利用作差法，结合不等式的性质判断D .【详解】由0c d >>可得，2c cd <，A 正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，a c b d ->-，B 不正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，ac bd <，C 不正确；因为0a b c d >>>>，所以0,,0ab bc ac c d >>->，所以0,c d bc ad ac ad c d a b ab ab b----=>=>所以c da b>，D 正确；故选：AD.10.已知函数()23xf x a kx =---，给出下列四个结论，其中正确的有（）A.若1a =，则函数()f x 至少有一个零点B.存在实数,a k ，使得函数()f x 无零点C.若0a >，则不存在实数k ，使得函数()f x 有三个零点D.对任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点【答案】ABD 【解析】【分析】同一坐标系中，作出函数2,3xy a y kx =-=+的图象，结合图象，利用数形结合法求解.【详解】A 中，当1a =时，函数()213x f x kx =---，令()0f x =，可得213xkx -=+，在同一坐标系中作出21,3xy y kx =-=+的图象，如图所示，由图象及直线3y kx =+过定点(0,3)，可得函数()f x 至少一个零点，故A 正确；B 中，当4a =-，0k =时，作出函数24,3xy y =+=的图象，由图象知，函数()f x 没有零点，所以B 正确；C 中，当16,2==-a k 时，在同一坐标系中，作出函数126,32xy y x =-=-+的图象，如图所示，由图象可得，此时函数()f x 有3个零点，所以C 错误；D 中，分别作出当0,0,0a a a =><时，函数2,3xy a y kx =-=+的图象，由图象知，对于任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点，所以D 正确.故选：ABD.11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深()f t （单位：m ）与时间t （单位：h ）从0~24时的关系可近似地用函数π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭来表示，函数()f t 的图象如图所示，则（）A.π()3sin5(024)6f t t t =+≤≤B.函数()f t 的图象关于点(12,0)对称C.当5t =时，水深度达到6.5mD.已知函数()g t 的定义域为[0,6]，(2)(2)g t f t n =-有2个零点12,t t ，则12πtan 3t t =+【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象的最值求出,A b ，再根据图象得到其周期则得到ω，代入最高点求出ϕ，则得到三角函数解析式，则判断A ，再结合其对称性即可判断B ，代入计算即可判断C ，利用整体法和其对称性即可判断D.【详解】对A ，由图知()max 8f t =，()min 2f t =，()()max min32f t f t A -∴==，()()max min52f t f t b +==，()f t 的最小正周期12T =，2ππ6T ω∴==，()π33sin 582f ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ，()ππ2π22k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()2πk k ϕ=∈Z ，又π2ϕ<，0ϕ∴=，π()3sin 5(024)6f t t t ∴=+≤≤，故A 正确；对B ，令ππ6t k =，()k ∈Z ，解得6t k =，()k ∈Z ，当2k =时，12t =，则(12)3sin 2π55f =+=，则函数()f t 的图象关于点(12,5)对称，故B 错误；对C ，()π3sin55 6.565f ⨯+==，故C 正确；对D ，[]20,6t ∈，则[]0,3t ∈，令(2)(2)0g t f t n =-=，则(2)f t n =，令2t m =，则根据图象知两零点12,m m 关于直线3t =，则126m m +=，即12226t t +=，则123t t +=，则12ππtantan 3t t ==+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】65【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设圆心角的弧度数为α，则120144α=，解得65α=.故答案为：65.13.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】5-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或5sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.14.如图，正方形ABCD 的边长为1,,P Q 分别为边,AB DA 上的点.当APQ △的周长为2时，则PCQ ∠的大小为______.【答案】π4【解析】【分析】设出角,PCB QCD αβ∠=∠=，然后求得,AP AQ ，再根据APQ △的周长求得αβ+，即可得解.【详解】设,PCB QCD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==，则1tan ,1tan AP AQ αβ=-=-，PQ =，21tan 1tan αβ∴=-+-即tan tan αβ+=，将上式两边平方，整理得tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅，即tan()1αβ+=，因为π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ+=，所以π4PCQ ∠=.故答案为：π4.【点睛】关键点点睛：解决该试题的关键是能根据边表示出,PCB QCD αβ∠=∠=，的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合2{|1327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>.（1）求()R B A ⋃ð；（2）已知集合{|11}C x a x a =-<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}3x x ≤；（2）1a ≤.【解析】【分析】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合,A B ，然后由集合的运算法则计算．（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．【详解】解：（1）{}03A x x =≤≤，{}2B x x =>，{}2R B x x =≤ð，(){}3RB A x x ⋃=≤ð.（2）当C =∅时，11a a -≥+，即0a ≤成立；当C ≠∅时，11100113a aa a a -<+⎧⎪-≥⇔<≤⎨⎪+≤⎩成立.综上所述，1a ≤．【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在A B ⊆中，要注意A =∅的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．16.已知函数()πsin cos 44f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若5π122414f θ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值.【答案】（1）π（2）1314【解析】【分析】（1）利用恒等变换得到()1πsin 224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解；（2）由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由ππcos cos 66θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式求解.【小问1详解】解：()π2222sin cos sin cos sin 44224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222221πsin cos sin2cos2sin 22244424x x x x x x ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期2π2T π==；【小问2详解】由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,663θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 67θ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1113727214⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭.17.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？【答案】（1）4,2,,26A K πωϕ===-=；（2）3π分钟；（3）再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【解析】【分析】（1）先结合题设条件得到T π=，4,2A K ==，求得2ω=，再利用初始值计算初相ϕ即可；（2）根据盛水筒达到最高点时6d =，代入计算t 值，再根据0t >，得到最少时间即可；（3）先计算0t 时03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求0cos 26t π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由6π分钟后00sin()=sin 2sin 26663t t t ππππωϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-=-+ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，进而计算d 值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，T π=，即2ππω=，所以2ω=，由题意半径为4米，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，可得：4,2A K ==，当0=t 时，0d =，代入4sin(2)2d t ϕ=++得，1sin 2ϕ=-，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-；（2）由（1）知：4sin 226d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，盛水筒达到最高点时，6d =，当6d =时，64sin 226t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以sin 216t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,Z 62t k k πππ-=+∈，解得,Z 3t k k ππ=+∈，因为0t >，所以，当0k =时，min 3t π=，所以盛水筒出水后至少经过3π分钟就可达到最高点；（3）由题知：04sin 2256t π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题意，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，知0cos 206t π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以0cos 264t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以00313sin 2sin 2666342428t t ππππ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以，再经过6π分钟后32172142082d --=⨯+=>，所以再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.18.若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）已知函数()24()3h x x a a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【答案】18.不是“依赖函数”，理由见解析；19.4112.【解析】【分析】（1）由“依赖函数”的定义举例子判断即可；（2）分类讨论解决函数不等式()()24h x t s t x ≥-+-+恒成立的问题，分离参数265324339s x x⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值问题即可.【小问1详解】对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在1π6x =，而()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.【小问2详解】①若443a ≤≤，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1a =（舍）或133a =.从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的t ∈R ，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭对R t ∈恒成立，则2226133Δ4039x x s x ⎡⎤⎛⎫=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，由存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使265324339s x x ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭能成立，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112.19.已知e 是自然对数的底数，()e e1xx f x =+．（1）判断函数()f x 在[)0+∞，上的单调性并证明你的判断是正确的；（2）记()(){}ln 3()e1ln 32xg x a f x a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明见解析（2）[1,3]【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，可证()()()1212121e e 10e ex x x x f x f x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x <，则可判断函数单调性；（2）将()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，转化为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明如下：任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()12121211e e e e xx x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212111e e e e 1e e e e x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21e e 1x x >≥，所以12e e 0x x -<，12e e 1x x >，12110e e x x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增.【小问2详解】()ln (3)e 1ln 32xg x a a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，首先(3)e 10x a -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即13,e 0,xa a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩因为[0,)x ∈+∞，则1334ex <+≤，所以03a <≤.其次，ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为2(3)e 13e x xa a -+≤,即23e (3)e 10x x a a +--≥成立，亦即()()3e 1e 10xxa +-≥成立,因为3e 10x +>，所以e 10x a -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max1e x a ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以1a ≥.。

名校联考联合体2023年春季高一入学考试化 学（答案在最后）第Ⅰ卷 选择题（共42分）一、单选题（本题共14小题，每小题3分，共42分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列过程中，没有涉及化学变化的是（ ） A ．长时间放置的水果、疏菜腐烂 B ．利用“高炉炼铁”的方法冶炼生铁 C ．用干冰进行人工降雨D ．用稀盐酸除铁钉表面的铁锈2．下列变化中，需要加入合适的氧化剂才能实现的是（ ） A ．2HCl H →B ．2Br Br -→C ．32FeFe ++→D ．32CaCO CO →3．下列关于钠及其化合物的叙述中，错误的是（ ） A ．钠燃烧时发出黄色的火焰B ．钠燃烧时生成过氧化钠，过氧化钠常用作供氧剂C ．相同条件下，与同浓度稀盐酸反应生成气体，3NaHCO 比23Na CO 快D ．少量的钠可保存在水里4．下列关于氯及其化合物的叙述中，错误的是（ ） A ．氯气是一种黄绿色、有刺激性的有毒气体B ．纯净的2H 能在2Cl 中安静地燃烧，发出苍白色火焰C ．铁丝在少量的2Cl 中燃烧时，生成2FeClD ．漂白粉的漂白原理是2Ca(ClO)与空气的2CO 和水反应生成HClO 的过程，在酸性条件下漂白效果更佳是因为生成的HClO 浓度增大5．下列关于铁及其化合物的叙述中，错误的是（ ） A ．铁是地壳中含量最多的金属元素 B ．铁具有延展性和导热性，可制作炊具C ．23Fe O 是一种红棕色粉末，俗称铁红，常用作红色颜料D ．34Fe O 是具有磁性的黑色晶体，铁的化合价有+2价和+3价 6．黑火药爆炸时的反应为3222S 2KNO 3C K S N 3CO +++↑+↑，下列说法正确的是（ ）A ．S 发生氧化反应B ．S 和3KNO 都作氧化剂C ．参加反应的氧化剂与还原剂的物质的量之比为1∶3D ．生成21molN 时，转移10mol 电子 7．下列有关化学用语中，正确的是（ ）A ．氯化钠的电子式：Na [Cl ]::+- B ．2S -的结构示意图：C ．2CO 分子的结构式：O -C -OD ．中子数为10的氧的核素：168O8．在配制一定物质的量浓度的溶液时，下列使用250mL 容量瓶的操作中，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列各组离子能在溶液中大量共存的是（ ） A ．K +、2Fe +、H +、ClO -B ．Na +、H +、24SO -、23CO -C ．Na +、2Ba+、23CO -、3NO -D ．2Cu +、K +、Cl -、24SO -10．某同学用下列装置进行实验，能达到实验目的的是（ ）11．向等物质量浓度的3FeCl 和2CuCl 的混合溶液中加入一定质量的Zn 粉，充分反应后过滤，得到固体X 和溶液Y ．下列说法正确的是（ ）A ．向溶液Y 中滴几滴KSCN 溶液，溶液可能变为红色B ．将固体X 投入稀盐酸中，有气泡产生，则溶液Y 中一定不含有3Fe +C ．若溶液Y 呈蓝色，则固体X 中一定不含铁元素D ．若溶液Y 无色透明，则固体X 中一定含有Zn 粉12．四种短周期元素X 、Y 、Z 、M ，原子序数依次增大，Y 、M 为同主族元素，Z 的原子半径是同周期主族元素中最大的，X 、Y 、Z 、M 形成的化合物可表示为[]4Z XMY -+．下列说法正确的是（ ） A ．对应简单离子的半径：(M)(Z)(Y)r r r >> B ．X 与Y 能形成两种化合物分子，且化学键完全相同 C ．Y 与Z 、M 三种元素能形成多种离子化合物 D ．Y 、M 两种元素形成的化合物的水化物一定是强酸 13．下列离子方程式书写正确的是（ ）A ．稀23Na CO 溶液中通入过量2CO ：23223CO CO H O2HCO --++ B ．3NaHCO 溶液滴入4NaHSO ：234224HCO HSO CO H O SO ---+↑++ C ．2FeI 溶液中通入少量2Cl ：232Cl 2Fe 2Fe 2Cl ++-++D ．向稀24H SO 滴入少量2Ba(OH)溶液：22442Ba OH H SO BaSO H O +-+-+++↓+14．A N 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（ ） A ．常温常压下，24.48LCO 中含有的分子数为A 0.2N B ．416gCH 分子中含有共价键数目为A 4NC ．240.1mol /LNa SO 溶液中，Na +的数目为A 0.2N D ．221molNa NO 中，含有的阴离子数为A 2N第Ⅱ卷 非选择题（共58分）二、非选择题（本题共4小题，共58分．请考生根据要求作答．）15．（16分）高铁酸钾()24K FeO 是一种环保、高效饮水处理剂，利用铁屑制备的简略流程如图所示：请回答下列问题：（1）高铁酸钾()24K FeO 中Fe 的化合价为_________价；反应Ⅰ的生成物中可能含有的金属阳离子是_________（用离子符号表示）．（2）操作A 和操作B 相同，其操作名称是_________；由操作B 判断该生产条件下物质的溶解性：24Na FeO _________24K FeO （填“>”或“<”）．（3）从反应基本类型看，反应Ⅲ属于_________；溶液C 中的主要溶质的化学式为__________________． （4）反应Ⅱ中的反应化学方程式为__________________；当生产过程中制得1mol 的24K FeO 时，反应Ⅱ中转移的电子为_________mol ．（5）反应Ⅱ中用到NaOH ．若某同学做实验时要用到200mL 1.0mol /LNaOH 溶液，需要临时用容量瓶配制，则：①配制该浓度的溶液需用托盘天平称量NaOH 固体的质量为_________g ； ②配制过程中，下列操作导致所配溶液浓度偏小的是_________（填标号）． a ．转移溶液时有少许液体溅出 b ．转移溶液时容量瓶中有少许蒸馏水 c ．定容时俯视刻度线d ．定容摇匀后，发现液面下降，继续加水至刻度线16．（12分）五种短周期主族元素X 、Y 、Z 、E 、F ，原子序数依次增大．X 是非金属元素，且最外层电子数与其周期数相同；Y 的最外层电子数是其所在周期数的2倍；Z 的最外层电子数与最内层电子数之比为1∶3；E +与Z 的最简单离子具有相同的电子数；X 单质在F 单质中燃烧，有苍白色火焰．回答下列问题：（1）Z 在周期表中的位置是_________． （2）22E Z 的电子式为_________． （3）XFZ 的结构式为_________．（4）元素Z 、E 、F 形成的最简单离子的半径由大到小为__________________（用离子符号表示）． （5）Y 、Z 的最简单气态氢化物的稳定性是：_________>_________（用化学式表示）．（6）设计一个简单的实验证明F 和Y 的非金属性强弱__________________（用化学方程式表示）． 17．（16分）某固体混合物中，可能含有Na +、K +、2Fe +、Cl -、24SO -、23CO -等离子，取少量固体溶于蒸馏水配成溶液，进行如下图的实验：请回答下列问题：（1）沉淀A 的化学式为_________，沉淀E 的化学式为_________．（2）①混合物中，一定存在的离子有_________，②一定不存在的离子有_________，③可能存在的离子是_________，若要检验是否存在，实验方法是__________________． （3）沉淀D 在空气中转化为E 的化学方程式为__________________．（4）某溶液中含有Na +、K +、2Fe +、Cl -、24SO -五种离子，且()()()()2K :Fe :Na :Cl 1:2:3:4c c c c +++-=，()K 0.1mol /L c +=，则()24SO c -=_________mol /L ．18．（14分）某实验兴趣小组用氯酸钾()3KClO 和浓盐酸制取氯气，为了制取并验证氯气的某些性质和证明在制备2Cl 的过程中会有水蒸气和HCl 挥发出来．某甲同学查阅资料知2Cl 易溶于4CCl ，HCl 不溶于4CCl ，于是设计如图装置（部分夹持仪器省略）进行实验．请按要求回答下列问题：（1）装置A 中发生反应的化学方程式为__________________，橡皮管的作用是__________________． （2）证明混有水蒸气，装置B 中的U 形接管中所盛试剂为__________________． （3）装置D 、E 的实验目的是__________________．（4）装置F 中湿润的KI -淀粉试纸变蓝色，反应的离子方程式为__________________． （5）证明混有HCl 的离子方程式：__________________．（6）乙同学认为甲同学的实验有缺陷，不能证明最终通入3AgNO 溶液中的气体只有一种．为了确保实验结论的可靠性，证明最终通入3AgNO 溶液的气体只有一种，乙同学提出在H 和I 两个装置之间再加一个装置瓶检验．你认为该装置瓶中可以放入__________________．名校联考联合体2023年春季高一入学考试化学参考答案一、单选题（本题共14小题，每小题3分，共42分．每小题只有一个选项符合题意）1．C 【解析】A ．水果、蔬菜腐烂发生的是化学变化；B ．冶炼生铁是铁的氧化物被还原生成单质铁，是化学变化；C ．用干冰人工降雨是固态2CO 气化，吸收空气中热量，使局部空气降温，水蒸气凝结而降雨，是物理变化；D ．铁锈的主要成分是23Fe O ，与稀盐酸发生化学反应；故答案选C ．2．B 【解析】需要加入氧化剂，物质本身作还原剂，化合价升高．2HCl H →，H 的化合价降低，A 不合题意；2Br Br -→，Br 的化合价升高，B 合题意；32Fe Fe ++→，Fe 的化合价降低，C 不合题意；32CaCO CO →，没有元素化合价变化，D 不合题意；故答案选B ．3．D 【解析】A 、B 、C 三项正确；D 项，钠与水反应，少量的钠保存在煤油里，故答案选D ．4．C 【解析】A 、B 、D 三项正确；C 项，不论2Cl 的量多少，铁丝只要在2Cl 中燃烧，发生反应，都生成3FeCl ，故答案选C ．5．A 【解析】B 、C 、D 三项正确；金属元素在地壳中的含量是铝元素为第一，铁元素为第二，A 错；故答案选A ．6．B 【解析】在反应3222S 2KNO 3CK S N 3CO +++↑+↑中，单质硫中的S 元素和3KNO 中的N 元素的化合价降低，发生还原反应，所以S 和3KNO 都作氧化剂，故A 错误，B 正确；参加反应的氧化剂与还原剂的物质的量之比应为1∶1，故C 错误；生成21molN 时，转移12mol 电子，故D 错误；故答案选B ．7．A 【解析】氯化钠是离子化合物，其电子式为Na [Cl ]::+-，A 正确；2S -的结构示意图应为，B 错误；2CO 分子的结构式应为OC O ==，C 错误；中子数为10的氧的核素应为188O ，D 错误；故答案选A ．8．C 【解析】A ．容量瓶使用过程中，不能用手等触碰瓶口，以免污染试剂，故A 错误；B ．定容时，视线应与溶液凹液面和刻度线“三线相切”，不能仰视或俯视，故B 错误；C ．向容量瓶中转移液体，需用玻璃棒引流，玻璃棒下端位于刻度线以下，同时玻璃棒不能接触容量瓶口，故C 正确；D ．定容完成后，盖上瓶塞，将容量瓶来回颠倒，将溶液摇匀，颠倒过程中，左手食指抵住瓶塞，防止瓶塞脱落，右手扶住容量瓶底部，防止容量瓶从左手掉落，故D 错误；故答案为C ．9．D 【解析】2Fe +和H +、ClO -发生氧化还原反应，不能大量共存，A 错误；H +和23CO -发生复分解反应生成气体，不能大量共存，B 错误；2Ba+和23CO -发生复分解反应生成沉淀，不能大量共存，C 错误；D 中离子之间不反应，能大量共存，故答案选D ．10．B 【解析】量取8.5mL 稀盐酸，应使用10mL 量筒，A 不能达到实验目的；3NaHCO 受热易分解生成2CO ，使澄清石灰水变浑浊，23Na CO 受热难分解，不能使澄清石灰水变浑浊，B 能达到实验目的；浓盐酸与2MnO 制氯气要加热才能发生反应，C 不能达到实验目的；2Cl 和HCl 都与23Na CO 溶液，2Cl 在饱和NaCl 溶液中溶解度很小，HCl 易溶于水，故洗气瓶中应盛饱和NaCl 溶液，D 不能达到实验目的；故答案选B ． 11．C 【解析】若有3Fe +，不可能得到固体，A 错误；将固体X 投入稀盐酸中，有气泡产生，固体X 中可能有Fe 或Zn ，则溶液Y 中一定不含有3Fe +、2Cu +，B 错误；若溶液Y 呈蓝色，有2Cu +，则固体X 中一定不含铁元素，C 正确；若溶液Y 无色透明，证明溶液Y 中不含铁元素和铜元素，则固体X 中可能含有Zn 粉，D 错误；故答案为C ．12．C 【解析】由题已知可推出X 为H ，Y 为O ，Z 为Na ，M 为S ；简单离子的半径应为()()()22S O Na r r r --+>>，A 错误；X 与Y 能形成2H O 和22H O 两种化合物分子，2H O 中只有极性键，22H O 中有极性键和非极性键，B 错误；O 与Na 、S 三种元素能形成多种离子化合物，如23Na SO 、24Na SO 、223Na S O 等，C 正确；O 、S 两种元素形成的化合物的水化物有23H SO 和24H SO ，23H SO 不是强酸，D 错误；故答案为C ．13．A 【解析】稀23Na CO 溶液中通入过量2CO ，反应离子方程式为23223CO CO H O2HCO --++，A 正确；3NaHCO 溶液滴入4NaHSO ，反应离子方程式为322HCO H CO H O -++↑+，B 错误；因还原性2I Fe -+>，故2FeI 溶液中通入少量2Cl ，反应离子方程式为222I Cl I 2Cl --++，C 错误；向稀24H SO 滴入少量2Ba(OH)溶液，反应离子方程式为22442Ba 2OH 2H SO BaSO 2H O +-+-+++↓+；故答案选A ．14．B 【解析】标准状况下，24.48LCO 中含有的分子数为A 0.2N ，A 错误；1个4CH 分子有4个共价键（C -H ），416gCH 为41molCH 分子，则含有的共价键数为A 4N ，B 正确；240.1mol /LNa SO 溶液中，没有溶液体积，不能计算离子数目，C 错误；22Na O 是离子化合物，阴离子是22O -，则221molNa O 中，含有的阴离子数为A N ，D 错误；故答案选B ．二、非选择题（本题共4小题，共58分．请考生根据要求作答．） 15．（16分） （1）+6 3Fe +（2）过滤 >（3）复分解反应 NaOH（4）32423NaClO 10NaOH 2FeCl 2Na FeO 9NaCl 5H O +++↓+（2分，没有标“↓”不扣分） 3（5）①10.0 ②ad【解析】（1）由24K FeO 化学式，可知Fe 的化合价为+6价；足量新制氯水与铁屑反应，则生成物中含有的金属阳离子只有3Fe +．（2）分离固体（或晶体）与溶液的操作名称是过滤；向24Na FeO 溶液中加饱和KOH 溶液可转化为24K FeO 晶体析出，说明24K FeO 溶解度小．（3）反应Ⅲ是复分解反应，反应为2424Na FeO 2KOHK FeO 2NaOH +↓+，溶液C 中的主要溶质NaOH ． （4）反应Ⅱ的反应物：反应Ⅰ的生成物3FeCl 和加入的NaClO 、NaOH ，生成物：24Na FeO 溶液和NaCl 固体，故反应化学方程式为32423NaClO 10NaOH 2FeCl 2Na FeO 9NaCl 5H O +++↓+；由反应知242Na FeO 6e -~，而2424Na FeO K FeO ~，故制得1mol 的24K FeO ，反应Ⅱ中转移的电子数为3mol ．（5）①要用到200mL 1.0mol /LNaOH 溶液，需要临时用容量瓶配制，则只能用250mL 容量瓶配制，需NaOH 的质量为()3250mL 10L /mL 1.0mol /L 40g /mol 10g -⨯⨯⨯=，多则用托盘天平称量NaOH 固体的质量应为10.0g ；②转移溶液时有少许液体溅出，则溶质减少，导致所配溶液浓度偏小，a 符合题意；容量瓶中有少许蒸馏水，对溶液浓度无影响，b 不符合题意；定容时俯视刻度线，液面最低点没有达到刻度线，溶液体积小于要求体积，结果浓度偏大，c 不符合题意；定容摇匀后，发现液面下降，继续加水至刻度线，所得溶液体积大于要求体积，结果浓度偏小，d 符合题意；故答案选ad ． 16．（12分，每空2分，凡用X -F 等题干中符号作答均不给分） （1）第二周期ⅥA 族（2）2 Na [O O ]Na :::+-+ （3）H -O -Cl （4）2Cl ONa --+>>[写成()Cl r -等亦可]（5）24H O CH >（“>”可不写，但顺序要对） （6）34422NaHCO HClO NaClO CO H O ++↑+（只要是4HClO 与碳酸盐或碳酸氢盐反应生成2CO 气体的化学方程式均给分，但离子方程式不给分）【解析】由题，短周期主族元素X 、Y 、Z 、E 、F ，原子序数依次增大．X 是非金属元素，且最外层电子数与其周期数相同，则X 为H ；Y 的最外层电子数是其所在周期数的2倍，则Y 为C ；Z 的最外层电子数与最内层电子数之比为1∶3，由Z 为O ；E +与Z 的最简单离子具有相同的电子数，Z 的最简单离子是2O -，则E 为Na ；X 单质在F 单质中燃烧，有苍白色火焰，X 是H ，则F 为Cl ．即可得各问题答案． 17．（16分）（1）4BaSO 3Fe(OH) （2）①2Fe +、Cl -、24SO -②23CO -③Na +、K +做焰色试验 （3）32234Fe(OH)O 2H O 4Fe(OH)++（4）0.2【解析】由题，固体溶于蒸馏水配成溶液，一份加入足量()32Ba NO 溶液，有沉淀A 生成，且不溶于盐酸，则沉淀A 为4BaSO ，含有24SO -，不存在23CO -；过滤后，滤液B 加入3AgNO 溶液和稀3HNO ，有沉淀C ，说明含有Cl -；另一份加NaOH 溶液，有沉淀D ，且沉淀D 在空气中能转化为红褐色沉淀E ，则说明有2Fe +，沉淀E 为3Fe(OH)，转化反应化学方程式为32234Fe(OH)O 2H O4Fe(OH)++；Na +、K +没有实验，不能判断是否存在，若要判断是否存在，可做焰色试验，因此（1）（2）（3）即解．（4）由电荷守恒可得为()24SO c -为0.2mol /L ． 18．（14分，每空2分）（1）322KClO 6HCl()KCl 3Cl 3H O ++↑+浓（没标“浓”不给分；没有“↑”，不扣分） 平衡压强，使分液漏斗中的浓盐酸顺利流下 （2）无水硫酸铜或4CuSO（3）检验干燥和湿润条件下的2Cl 是否具有漂白性（或其他合理答案给分） （4）22Cl 2I 2Cl I --++（5）Ag Cl AgCl +-+↓（6）湿润的淀粉-KI 试纸（或湿润的品红试纸）【解析】（1）氯酸钾（3KClO ）和浓盐酸发生反应为322KClO 6HCl()KCl 3Cl 3H O ++↑+浓；橡皮管的作用是使烧瓶和分液漏斗压强平衡，让浓盐酸顺利流下．（2）U 形管中所盛试剂作用是检验水蒸气的存在，无水硫酸铜与水反应生成蓝色五水硫酸铜晶体，可用来检验水．（3）D 中有色布条不褪色，说明2Cl 在干燥条件下没有漂白性，E 中有色布条褪色，说明2Cl 在湿润条件下有漂白性，故D 、E 的实验目的是检验干燥和湿润条件下的2Cl 是否具有漂白性． （4）湿润的KI -淀粉试纸变蓝色，则有2I 生成，离子方程式为22Cl 2I2Cl I --++．（5）用3AgNO 溶液检验HCl ，可产生白色沉淀，离子方程式为Ag ClAgCl +-+↓．（6）用Ⅰ装置用来检验HCl 气体，为了确保实验结论的可靠性，应排除氯气的干扰，在H 吸收氯气之后要检验氯气是否完全除去，根据氯气具有强氧化性的性质，可用湿润的淀粉-KI 试纸（或湿润的品红试纸）检验，如试纸不变色（或不褪色），说明已经完全除去．。

2023年邵阳市高一联考试题卷数学本试卷共22个小题．满分150分．考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数()f x =的定义域为（ ） A ．[)1,-+∞B ．[)2,+∞C ．[)()1,22,-⋃+∞D ．()(),22,-∞⋃+∞2．幂函数()()22255m m f x m m x +-=+-在区间()0,+∞上单调递增，则()3f =（ ）A ．9B ．27C ．19D ．1273．设0a >，0b >，若22a b +=，则21a b+的最小值为（ ）A ．B ．4C ．9D ．924．如图，给出奇函数()y f x =的局部图象，则()()2132f f -+-的值为（ ）A ．7-B ．7C ．5D ．5-5．若0.515a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，43log b =，13log 9c =，则它们大小关系正确的是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．a c b >>6．已知角α终边经过点(),3P x -，且3tan 4α=-，则sin α的值为（ ） A ．45±B ．35±C ．45-D ．35-7．已知函数()22log ,0,4,0,x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩若()()g x f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．()0,3C ．()0,2D ．()0,18．函数()22sin f x x x =+，若()()123f x f x ⋅=-，则122x x -的最小值为（ ）A ．2π3B ．π4C ．π6D ．π3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．若命题P 的否定是“()0,x ∀∈+∞1x >+”，则命题P 可写为“(],0x ∃∈-∞1x ≤+”C ．若“1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ--<”是假命题，则实数λ的范围为1λ≤-D ．若()231f x x x =-+，()221g x x x =+-，则()()f x g x >对x ∈R 恒成立10．已知()()323,1,log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值可能是（ ）A ．13B ．14C ．35D ．4511．已知函数()3sin222f x x x =-的图象为C ，则下列结论中正确的是（ ） A ．图象C 关于直线5π12x =对称B ．图象C 的所有对称中心都可以表示为ππ,062k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ） C ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 D ．函数()f x 在区间ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 12．已知函数()1lg 13f x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()3f x -是奇函数B ．()3f x -是偶函数C ．()f x 在区间(),3-∞-上是增函数，在区间()3,-+∞上是减函数D ．()f x 有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 14．函数()f x =______．15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______．16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急．约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log ba a Nb N =⇔=．现已知3log 12a =，4144b=，则24a b+=______，2ba =______．（第一空3分，第二空2分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知πtan 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （1）求tan α的值；（2）求()()2π3πsin 2π2sin cos 222cos π2sin ααααα⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+的值． 18．（本小题满分12分）已知全集U =R ，集合{}22320A x x ax a =-+<，______． 在下面三个条件中任选一个，补充在上面的已知条件中并作答： ①2513x B xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭②2lg3x B x y x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭③(){}223,1,2B y y x x x ==-+∈（1）当1a =时，求()UA B ⋂；（2）当0a >时，“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 19．（本小题满分12分）函数()y F x =的图象如图所示，该图象由幂函数()af x x =与对数函数()log b g x x=“拼接”而成．（1）求()F x 的解析式； （2）若()()232aam m --+>-，求m 的取值范围．20．（本小题满分12分）某药品企业经过市场调研，生产某种药品需投入月固定成本3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()W x 万元，在月产量不足7万件时，()2122W x x x =+；在月产量不小于7万件时，()144737W x x x=+-，每件药品售价6元，通过市场分析该企业的药品能当月全部售完．（1）写出月利润()P x （万元）关于月产量x （万件）的函数解析式（注：月利润＝月销售收入－固定成本－流动成本）；（2）月产量为多少万件时，该企业在这一药品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 21．（本小题满分12分）设函数()2sin sin cos 2f x x x x =-+⋅+．（1）求使不等式()2f x ≥成立的x 的取值范围；（2）先将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移π4个单位；最后向下平移32个单位得到函数()h x 的图象，若不等式()21cos 4h x x m ⎡⎤+->⎣⎦0在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数m 的取值范围． 22．（本小题满分12分）某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“⊕”：()ln e e x y x y ⊕=+（e 为自然对数的底数，e 2.718≈），x ，y ∈R ．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：x y y x ⊕=⊕，()()x y z x y z ⊕⊕=⊕⊕等等．（1）对任意实数a ，b ，c ，请判断()()()a b c a c b c ⊕+=+⊕+是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明．（2）若2a tx =（0t >），1b x =+，22c tx =--，()()()()2ln e 1f x a b b c =+⊕--+．定义闭区间[]12,x x （12x x <）的长度为21x x -，若对任意长度为1的区间D ，存在m ，n D ∈，()()1f m f n -≥，求正数t 的最小值2023年邵阳市高一联考参考答案与评分标准数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．分，有选错的得0分．13．13- 14．[)2,+∞15．0 16．2 3（第一空3分，第二空2分） 四、解答题： 17．∵πtan 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴πtan tantan 61tan tan 6ααπα++∴==-∴tan 9α=． tan 9α∴=． （2）()()22π3πsin 2π2sin cos sin2cos sin 222cos π2sin 2cos2sin αααααααααα⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪--⋅⎝⎭⎝⎭=--+++ 222222222sin cos sin cos 3sin cos 3tan 2sin 2cos cos sin sin 3cos 2sin 32tan ααααααααααααααα----====++-+++．18．（1）当1a =时，{}{}232012A x x x x x =-+<=<<，{}12UA x x x =≤≥或．选①，{}23B x x =<<，∴(){}23U A B x x ⋂=<<． 选②，{}23B x x =<<，∴(){}23U A B x x ⋂=<<． 选③，{}23B x x =<<，∴(){}23UA B x x ⋂=<<． （2）当0a >时，{}2A x a x a =<<，∵“x B ∈”是“”x A ∈的充分不必要条件，∴2,23,0,a a a ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩解得322a ≤≤．故a 的范围为322a ≤≤． 19．（1）依题意得14,21log 4,2a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,216.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以()1216,04,log ,4,x x F x x x -⎧⎪<≤=⎨⎪>⎩．（2）由()()1122232m m +>-得20,320,232,m m m m +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩解得2,3,21,3m m m ⎧⎪≥-⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎪⎩∴m 取值范围为13,32⎛⎤ ⎥⎝⎦．20．（1）由题意得，当07x <<时，()22116234322p x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当7x ≥时，()1441446737334p x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()2143,07,214434,7.x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当07x <<时，()()21452p x x =--+，当4x =时，()p x 最大值为5万元． 当7x ≥时，()144343410p x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当144x x=，即12x =时等号成立，即()p x 最大值为10万元． ∵510<，∴当月产量为12万件时，该企业所获利润最大值为10万元． 21．由题意得：()()1cos2113π3sin22sin2cos222222242x f x x x x x -⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭．2①()2f x ≥得πsin 24x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ππ3π222π444k x k π+≤+≤+． 则x 的取值集合为πππ,4x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．②()3242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得函数π3sin 242y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，最后由题意得函数()h x x =， ∴()222111111cos sin cos cos cos .424242h x x x x x x ⎡⎤+=+=-++⎣⎦ 令cos t x =，由π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得()0,1t ∈，设()2111242g t t t =-++，()0,1t ∈在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上递减， ∴()()114g t g >=，∴14m ≤为所求． 22．（1）由定义得：()ln a b a b e e ⊕=+， ∴()ln a b b e e c a ⊕=++． ∵()()()()()()ln ln ln ln ln a c b c a b ca b c a b a c b c e e e e e e e e e e c ++⎡⎤+⊕+=+=+⋅=++=++⎣⎦．∴()()a b a c b c ⊕=+⊕+． （2）()()()()()()2222131212ln ln ln 1ln ln 1a b b c txx txx txx tx x a b b c e e e e e e e e +-++++++++⎡⎤+⊕-=+=+=+=++⎣⎦∴()212ln 1txx f x e tx x ++==++（0t >）．∴()21f x tx x =++开口向上，对称轴为：12x t=-． ∵211x x -=，根据二次函数的对称性不妨设121x x t+≥-， 当12x t≥-时，()f x 在[]12,x x 内单调递增，则得 ()()()()()22222122111111111211f x f x tx x tx x t x x tx t ⎡⎤-=++-++=+-+=++≥⎣⎦，即12112t t t ⎛⎫⋅-++≥ ⎪⎝⎭，∴1t ≥． 当112x t <-，即212x t >-时，()f x 在11,2x t ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内单调递减，21,2x t ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内单调递增．()()222222111111242f x f tx x t x t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=++--=+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵21121,1x x x x t -=⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，∴21122x t +≥． ∴114t ≥，4t ≥， ∴正数t 的最小值为4．。

化学时量：75分钟满分：100分可能用到的相对原子质量：H~1C~12N~14O~16Na~23S~32Cl~35.5Fe~56Cu~64一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分。

每小题只有一个选项符合题意。

1.科技新成果应用于考古领域，丰富了考古的研究方法，使考古有着较好的发展前景。

其中，利用13C 和15N 的测定，可分析古代人类的食物结构，具有重要参考价值。

核素13C 中子数和质子数的差值为A.1B.6C.7D.22.中国文化源远流长，下列古诗文不涉及化学变化的是A.丹砂(HgS)烧之成水银，积变又还成丹砂B.熬胆矾铁釜，久之亦化为铜C.日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川D.春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干3.下列选项中，漂白原理与其他几种物质不同的是A.“84”消毒液 B.2SO C .二氧化氯消毒片D.漂白粉4.下列各组离子在无色透明溶液中能大量共存的是A.ClO -、Na +、23SO -、24SO -B.Ag +、H +、K +、Cl -C.2Cu +、H +、3NO -、2S -D.2Mg +、Cl -、2Ca +、3NO -5.A N 是阿伏加德罗常数的值。

下列叙述正确的是A.标准状况下，322.4LSO 中含有3SO 的物质的量为1mol B.21molN 与23molH 充分反应转移电子数为6A N C.1molNO 中含有N 原子的数目为AN D.1240.1mol L Na SO -⋅溶液中含有的氧原子数为0.4AN 6.下列说法错误的是A.34Fe O 常用作油漆、涂料、油墨和橡胶的红色颜料B.大气中游离态的氮转化为氮的化合物的过程叫氮的固定C.放电影时，放映机到银幕间光柱的形成是因为丁达尔效应D.过氧化钠可在呼吸面具或潜水艇中作为氧气的来源7.下列实验操作错误的是ABCD实验室制氨气除去2Cl 中的HCl称量氯化钠固体24.0g向容量瓶中转移溶液A.AB.BC.CD.D8.将盛有26mLNO 和2O 的混合气体的量筒倒立于水槽中，充分反应后，还剩余1mL 无色气体，则原混合气体中2NO 的体积可能是A.0.6mLB.2mLC.2.4mLD.4mL9.下列离子方程式书写正确的是A.向2CaCl 溶液中通入2SO ：2223CaH O SO CaSO 2H ++++=↓+B.碳酸氢钠溶液与足量氢氧化钡溶液混合：2332HCO Ba OH BaCO H O-+-++=↓+C.2FeI 溶液中通入少量2Cl ：232Cl 2Fe 2Fe 2Cl ++-+=+D.2Mg(OH)和稀盐酸的反应：2OH H H O-++=10.短周期主族元素A 、B 、C 、D 、E 、F 和G 原子序数依次递增，其中A 是原子半径最小的元素，4BA 的空间结构呈正四面体形，D 是地壳中含量最多的元素，E 、F 和G 同周期，E 是该周期中原子半径最大的元素，F 的单质是黄色晶体。

明德中学2024年上学期入学考试数学参考答案1-8CADAD ADA9.ACD 10.BD 11.AD 8.【详解】设()f x 的零点为0x ，则()00f x =，又()()00f f x =，故()00f =，解得0a =，则()()()()()2222.222f x x bx f f x x bx x bx b =−=−−−，因为函数()yf x =与函数()()y f f x =的零点相同，所以方程2220x bx b −−=无解或与方程220x bx −=的解相同，所以2Δ480b b =+<或0b =，解得20b −<≤，所以024a b ≤−<，故选：A 11.【详解】 如图所示：对于A ：方程()f x m =有三个解⇔()y f x =与y m =有3个交点，从图中可以看出A 正确；对于B ：令()12log 14x +=得1516x =−，即B 点的坐标为15,416 −，令()12log 11x +=得12x =−，即C 点的坐标为1,12−， 由图可知3x 的范围应该介于B ，C 之间，可以取B 点，不能取C 点，所以3151162x −≤<−，故B 正确； 对于C ：()f x 的增区间为[]2,1−−，所以()1f x +的增区间为[]3,2−−，故C 错误；对于D ：12,x x 关于2x =−对称，所以124x x +=−，()()22122244x x m ++=令()2244x +=得3x =−或=1x −，由图可知[)13,2x ∈−−()()()()22122222121112411log 4log22842x m x x x x x x ++++−−+++++()()212112288842x x +++≥+=+等号当()()212112242x x +=+时即1x =[)23,2∈−−时成立，故D 正确.故选：ABD 12.【答案】()()0,11,∞∪+ 13.【答案】(1,3]14.12【详解】令cos αα=，其中α为锐角， 则())()sin 2cos sin cos cos sin f x x x x x x x x ααα =++++，因为当x θ=时，()f x 取得最大值，则()π2π2k k Z θα+=+∈，所以，()π2π2k k Z θα=+−∈，所以，πsin sin 2πcos 2k θαα =+−==，πcos cos 2πsin 2k θαα=+−==，故sin 1tan cos 2θθθ==， 15.20.522230327491371147(0.008)(1)12589252352593π−−− −+×+−=−+×+=−+×147112.25939+=−+= （2）解：由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得：2log 324231lg3lg81log 3log 8(lg5)lg5lg 20lg162lg5(lg5lg 20)lg 22lg 2lg32⋅+++−=⋅+++−()3lg23lg5lg 5202lg23lg2=+⋅×+−32lg52lg232lg10 2.=++−==16.（1）由诱导公式得：()()()sin πsin πcos ,Z tan πtan 2k f k ααααααα−===≠∈ +，所以1111ππππcos cos 2πcos 6666f==−==.（2）由（1）得()πcos ,Z 2k f k ααα =≠∈ ，由π133f α +=，得π1cos 33α+=. 所以πππsin sin 623αα−=−+πcos 3α+13=.17.（1）()212cos sin 2f x x x x x =⋅+−21πsin cos sin2sin 223x x x x x x=−=+令ππ2π32x k +=+得ππ,122k x k Z =+∈ 所以()f x 的对称轴方程为ππ,122k x k Z =+∈ （2）因为ππ,63x ∈−，则[]π20,π3x +∈，()f x 的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令()t f x =则[]0,1t ∈依题意得：2310t mt ++=在[)0,1t ∈上仅有一个实根.令()231Ht t mt =++，因为()010H =>则需()1310H m =++<或2Δ120016m m=−=<−<， 解得：4m <−或m =−.18.【详解】（1）要使函数()f x 有意义，则10x b x −>+> ，可得：1b x −<<，因为()f x 为奇函数，所以10b −+=，即1b =，所以()f x 的定义域为()1,1−，由(0)0f =可得：0m =，所以()log (1)log (1)a a f x x x =−−+，此时()()()()log 1log 1a a f x x x f x −=+−−=−，()f x 是奇函数，符合题意. （2）12()log (1)log (1)log log 111a a a a x f x x x x x − =−−+==−+ ++，①当1a >时，函数()y f x =单调递减，所以max 131()()log log log 3222a a a f x f =−=−=， min 1131()()log log log 2223a a a f x f ==−=，所以max min 1()()log 3log log 923a a a f x f x −=−==，解得3a =.②当01a <<时，函数()y f x =单调递增，所以max 1131()()log log log 2223a a a f x f ==−=，min 131()()log log log 3222a a a f x f =−=−=， 所以max min11()()log log 3log 239a a a f x f x −=−==，解得13a =. 综上，13a =或3a =.19.【详解】（1）集合110,,1,22A=是4H 集合， 当{}{}{}{}1,,,0,,1,22a b c d= 时，1101222A ×+×=∈；当{}{}{}{}1,,,0,1,,22a b c d=时，1101212A ×+×=∈； 当{}{}{}{}1,,,0,2,,12a b c d= 时，11102122A ×+×=∈； 集合21,1,2,33A=不是4H 集合， 取{}1,,,,1,2,33a b c d =，则211912333ab cd A +=×+×=∉，不满足题中性质.（2）当{}{},,,0,,,a b c d z x y =时，ab cd xy A +=∈，当{}{},,,0,,,a b c d x y z =时，ab cd yz A +=∈， 当{}{},,,0,,,a b c d y z x =时，ab cd xz A +=∈， 所以{}{},,,,x y z xy yz xz =.不妨设x y z <<，①若0x y z <<<，因为0yz >，从而yz A ∉，与yz A ∈矛盾； ②若0x y z <<<，因为xz yz xy <<，故,,xz x yz y xy z ===，所以1,1z xy ==. 经验证，此时1,,0,1A x x=是4H 集合，元素大于1的个数为0； ③若0x y z <<<，因为0xz xy <<，所以与{}{},,,,x y z xy yz xz =矛盾；④若0x y z <<<，因为xy xz yz <<，故,,xy x xz y yz z ===，所以11,1yz x ==>.经验证，此时10,,1,A x x =是4H 集合，元素大于1的个数为1； 综上：A 中大于1的元素的可能个数为0,1.（3）假设集合A 中全为正实数.若A 中至少两个正实数大于1，设120n a a a <<<< ，则11n n a a −>>，取{}{}321,,,,,,n n n n a b c d a a a a −−−=，则321n n n n ab cd a a a a A −−−+=+∈， 而3211n n n n n n n a a a a a a a −−−−+>>，从而321n n n n a a a a A −−−+∉，矛盾；因此A 中至多有1个正实数大于1.当4n =时，设1234a a a a <<<，若123401a a a a <<<≤<，当{}{}1234,,,,,,a b c d a a a a =时，1234ab cd a a a a A ++∈， 当{}{}1324,,,,,,a b c d a a a a =时，1324cd a a a a A ++∈， 当{}{}1423,,,,,,a b c d a a a a =时，1423ab cd a a a a A ++∈，由于()()()()()()1234132443213241320a a a a a a a a a a a a a a a a a a +−+=−−−=−−>，()()()()()()1324142324314343210a a a a a a a a a a a a a a a a a a +−+=−−−=−−>，所以1234132414231a a a a a a a a a a a a a +>+>+>，所以123441324314232,,a a a a a a a a a a a a a a a +=+=+=.因为3101a a <−<，所以()()()()4212341423431231a a a a a a a a a a a a a a a a −=+−+=−−−()()423142a a a a a a =−−<−，矛盾.因此当4n =时，12340,,,1a a a a <≤.当5n ≥时，集合A 中至少有4个不同的正实数不大于1，设{}{},,1,2,,,i j St t a a i j n i j==−∈≠ ，因为S 是有限集，设min s r S −=，其中,,r s A r s ∈<.又因为集合A 中至少有4个不同的正实数不大于1，所以1s r −<，且存在,p q A ∈，且1,1p q ≤≤使,,,p q r s 互不相同，则01p q <−<，当{}{},,,,,,a b c d r p s q =时，ab cd rp sq A +=+∈， 当{}{},,,,,,a b c d s p r q =时，ab cd sp rq A +=+∈，于是()()()()()()rp sq sp rq p r s q r s p q s r s r +−+=−−−=−−<−，与min s r S −=矛盾.因此，A 中元素不能全为正实数.。

湖南省名校联考联合体2022-2023高一数学下学期期末联考试题（含解析）一、单选题1.已知复数满足，则（）A. B.C.D.2.已知某地近三天每天下雨的概率为0.5，现采用计算机模拟的方法估计这三天中至少有两天下雨的概率，先由计算机产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9表示不下雨，经随机模拟产生了20组随机数：据此估计，三天中至少有两天下雨的概率为（）A. 0.5B. 0.55 C. 0.6D. 0.653.已知三个函数的图象示，则（）A. B.C.D.4.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B.C.D.5.经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬纬线的长为（）A. B.C. D.6.在平面直角坐标系中，已知角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，角满足，则的值为（）A. B.C.D.7.如图，为测量楼房的高度PQ，选择A和另一座楼房的房顶C作为测量基点，从A测得P点的仰角为，点的仰角从点测得，且BC楼高50 ，则PQ楼高为（）A. B.C.D.8.在平面中的向量满足且，为平面内一点，且，则的取值范围为（）A. B.C.D.二、多选题9.下列命题中，真命题有（）A. 若复数，则B. 若复数满足，则或C. 若复数，则D. 若复数满足，则且10.下列关于概率的命题，正确的有（）A. 若事件满足，则为对立事件B. 若事件A，B满足，则A，B相互C. 若对于事件，则两两D. 若对于事件与相互，且，则11.已知函数则下列判断正确的有（）A. 方程的所有解之和为B. 若直线与的图象有且仅有两个公共点，则C. 若方程恰有四解，则D. 若有两正根，则12.如图，在正方体中，点在线段运动，则（）A. 三棱锥的体积为定值B. 异面直线与所成的角的取值范围为C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为D. 过作直线，则三、填空题13.已知集合，用列举法表示集合，则 ________.14.若复数 (其中为虚数单位)所对应的向量分别为和，则的面积为________.15.我省高考实行3+1+2模式，高一学生A和B两位同学的首选科目都是历史，再选科目两人选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为________.16.已知，如图，正方体棱长为，为上的动点，则的是小值为________.四、解答题17.某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.（1）根据图中数据，试求的表达式. （2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？18.已知.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点.（1） .求；（2）当的周长为2时，求的大小.19.新冠疫苗接种是能构建人群免疫屏陈，阻断病毒传挪，国家卫健委宣布至2022年6月14日，我国已累计报告接种新冠病毒疫苗超9亿剂次.在某社区接种点，随机抽取了100名来接种疫苗的市民，统计其在接种点等待接种的时间(等待时间不超过40分钟)，将统计数据按分组，制成以下频率分布直方图.（1）由所给的频率分布直方图：①估计该接种点市民等待时间的上四分位数；(结果保留一位小数)②记A事件为该接种点居民等待接种时间少于30分钟”，试估计件A的概率.（2）为鼓励市民踊跃接种，在该接种点接种疫苗的市民有机会获取小礼物；现场有1个箱子，箱子中有质地相同的10个小球，其中9个蓝球，1个红球，每个完成接种的市民有两种选择，选择1：每次摸出1球，有放回地摸10次；选择2：每次可摸出2球，有放回地摸5次.两种选择至少能摸出一个红球即可获赠小礼物，则哪种选择获得小礼物的概率较大？说明理由.20.已为c分别为三内角的对边，且（1）求 .（2）若，的平分线，求的面积 .21.设函数定义在上的奇函数.（1）若不等式有解，求实数的取值范围；（2）若，求满足条件的a的取值范围.22.如图，直三棱柱中，，M为侧梭的中点.（1）试探究在上是否存在点，使面，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由.（2）若与平面所成角的正弦值为，求该三棱柱的体积.答案解析部分一、单选题1.已知复数满足，则（）A. B.C.D.【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】 .故答案为：B【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得出答案。

2023-2024学年湖南省长沙市高一下册3月联考数学试题一、单选题1．已知复数()2i z m m m =-+为纯虚数，则实数m 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．0或1【正确答案】C【分析】根据题意和纯虚数的概念可得200m m m ⎧-=⎨≠⎩，解之即可.【详解】因为()2i z m m m =-+为纯虚数，所以200m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =.故选：C.2．已知向量()3,5a =- ，()6,b x = ，且a b∥，则x 等于（）A ．185B ．185-C ．10D ．10-【正确答案】D【分析】根据平面向量共线的坐标公式直接运算即可.【详解】由()3,5a =- ，()6,b x = 及a b∥，得(3)56x -⨯=⨯，所以10x =-，故选：D3．秀峰公园里有块周长为46米的扇形花田，其弧长30米，则这块扇形花田的圆心角的弧度数是（）A ．154B ．415C ．158D ．120【正确答案】A【分析】利用扇形的周长和扇形的弧长公式计算即可.【详解】设扇形的圆心角为α，半径为R ,弧长为30l =，则由扇形的周长为46得：223046R l R +=+=，所以8R =则154l R α==，故选：A.4．已知x ∈R ，则“21x <”是“11x>”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】解两个不等式，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解不等式11x>，得110x ->即10x x ->，则01x <<，解不等式21x <，得11x -<<.所以“1x <”是“11x -<<”成立的必要不充分条件，即“21x <”是“11x>”成立的必要不充分条件.故选：B.5．函数222x xx y -=-的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】先判断函数奇偶性，再判断x 趋近于+∞时函数值的大小.【详解】()()()()222222222x x x xx x x x x f x f x -------===-=----,故函数为奇函数，故排除A 、C;当x 趋近于+∞，则2x -趋近于0，则222x x x y -=-趋近于22x x y =，又2x在趋于+∞时增速远比2x 快，故22x x y =趋近于0，故当x 趋近于+∞时，222x xxy -=-趋近于0，故排除D;故选：B.6．命题p ：()00,x ∃∈+∞，使得20040x x λ-+<成立.若p 是假命题，则实数λ取值范围是（）A ．(],4∞-B ．[)4,+∞C ．[]4,4-D ．(][),44,-∞-⋃+∞【正确答案】A【分析】根据命题p 的否定的真假性分离常数λ，结合基本不等式的知识求得λ的取值范围.【详解】因为命题p ：()00,x ∃∈+∞，使得20040x x λ-+<成立，所以命题p 的否定为：()0,x ∀∈+∞，240x x λ-+≥成立，而p 是假命题，故命题p 的否定为真命题.所以4x xλ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，因为14x x +≥=，当且仅当42x x x =⇒=时，等号成立，所以4λ≤，即(],4λ∈-∞.故选：A7．点P 是ABC 所在平面内的一点，当0PA PB PC ++=且()()0PB PC AB AC +⋅-=时，ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】A【分析】利用三角形中向量运算，先后判断出点P 是三角形重心，AP 垂直平分BC ，进而即可判断三角形形状.【详解】因为0PA PB PC ++=，所以P 是ABC 的重心，又()()0PB PC AB AC AP CB +⋅-=⋅=，所以AP 垂直平分BC ，所以ABC 为等腰三角形.故选：A8．已知定义在R 上的函数()y f x =，满足()30f =，函数()1y f x =+的图象关于点()1,0-中心对称，且对任意的()12,0,x x ∈+∞，()12x x ≠，不等式()()202320231122120x f x x f x x x ->-恒成立，则不等式()0f x >的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()3,03,-⋃+∞D ．()(),33,-∞-+∞ 【正确答案】C【分析】根据条件判断()f x 是奇函数，结合不等式的性质，构造函数()()2023g x x f x =，研究函数()g x 的奇偶性和取值情况，进行求解即可.【详解】由题知()1y f x =+的图象关于点()1,0-中心对称，所以()y f x =关于()0,0中心对称，因为定义域为R ，所以()y f x =为奇函数，记()()2023g x xf x =，当()12,,0x x ∈-∞时，()()20232023112212x f x x f x x x -<-，即()()12120g x g x x x -<-，所以()g x 在(),0∞-上单调递减，因为20232023()()()()()g x x f x x f x g x -=--==，所以()g x 在R 上为偶函数，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()00g =，()()()202333330g g f =-==，()g x 是在R 上为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，所以当(),3x ∈-∞-，()g x 单调递减，()()30g x g >-=，而20230x <，所以()0f x <，当()3,0x ∈-，()g x 单调递减，()()30g x g <-=，而20230x <，所以()0f x >，因为()y f x =为奇函数，所以()0f x >的解集为()()3,03,-⋃+∞.故选：C.二、多选题9．下列不等式成立的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b >>，则2ab a <C ．若4ab =，则4a b +≥D ．若a b >，c d >，则a d b c->-【正确答案】BD【分析】当0c =时，即可判断A ；当2a b ==-，即可判断C ；根据不等式的基本性质即可判断C ，D ．【详解】对于A ，当0c =时，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，由0a b >>，则0ab <，20a >，故B 正确；对于C ，当2a b ==-，则4a b +=-，故C 错误；对于D ，由a b >，c d >，则a c b d +>+，所以a d b c ->-，故D 正确．故选：BD ．10．下列命题中正确的是（）A ．在ABC 中，()sin sin AB C+=B ．若3sin 5α=，则4cos 5α=C ．若tan 2θ=，则222sin 2cos 5θθ-=D ．tan 30tan1511tan 30tan15︒+︒=-︒︒【正确答案】ACD【分析】根据三角形内角和与诱导公式化简可判断A ；根据平方公式可判断B ；根据平方关系与商数关系齐次转化可判断C ；根据正切两角和公式可判断D.【详解】在ABC 中，πA B C ++=，所以()()sin sin πsin A B C C +=-=，故A 正确；若3sin 5α=，则4cos 5α==±，故B 不正确；若tan 2θ=，则2222222222sin 2cos tan 2222sin 2cos sin cos tan 1215θθθθθθθθ----====+++，故C 正确；()1tan 30tan15tan 3015tan 451tan 30tan15︒︒︒+︒︒=︒+=-︒=，故D 正确.故选：ACD.11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =ABC 满足sin :sin :sin 2:3:A B C =，且ABC S =△，则（）A ．4a =B ．π3C =C ．ABCD ．ABC 中线CD 的长为2【正确答案】ABC【分析】由题设及正弦定理得::2:a b c =a ，b ，c 即可判断A ；应用余弦定理求角C 即可判断B ；正弦定理求外接圆的半径即可判断C ；根据向量的线性运算，结合选项A 和数量积的性质求解模长即可判断D ．【详解】因为ABC满足sin :sin :sin 2:3:A B C =，所以由正弦定理得::2:a b c =设2a m =，3b m =，()0c m =>，因为ABC的面积ABC S =△，所以26S ==，解得2m =，即4a =，因此A 正确；对于B ，由余弦定理得2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，又C 是三角形内角，因此π3C =，因此B 正确；对于C，由正弦定理知外接圆直径为2πsin sin 3c R C ===，C 正确；对于D ，因为CD 是ABC 的中线，所以()12CD CA CB =+ ，结合选项A 得()()22221164264cos601944CD CA CB=+=++⨯⨯⨯︒=，即CD =，因此D 不正确．故选：ABC ．12．在等腰梯形ABCD 中，AB CD ，2AD DC ==且60DAB ∠=︒，点P 在梯形（含边）内，满足AP xAB y AD =+，则下列结论正确的是（）A ．当点P 与C 重合时，AP AB AD=+B ．当点P 与梯形对角线的交点重合时，1233AP AB AD =+ C ．x y +的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．AP BC ⋅的取值范围是[]4,2-【正确答案】BCD【分析】根据所给条件，求出等腰梯形的特点，由向量的平行四边形法则判断A 选项，由三角形相似得出2BO OD =，计算向量AP判断B 选项，由平面向量基本定理判断C ，由数量积的几何意义判断D ，得出结果.【详解】ABCD 为等腰梯形，则2===BC AD CD ，120BCD ∠= ，由余弦定理可知2222cos12012BD BC CD BC CD =+-⨯=，即BD =，在ABD △中，60DAB ∠= ，2AD =，2222cos 6012BD AB AD AB AD =+-⨯= ，解得：4AB =，且AC BC ⊥.A 选项：取AB 中点F ，则四边形AFCD 为平行四边形，当P 与C 重合时，12AP AC AD AF AD AB ==+=+，故A 错误；B 选项：因ABO CDO 且2BO OD =，所以1233AP AB AD =+，故B 正确；C 选项：由平面向量基本定理知：当P 与A 重合时0x y ==，当P 与C 重合时12x =，1y =，所以30,2x y ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，C 正确；D 选项：因AC BC ⊥，由AP BC ⋅ 等于AP 在BC上的投影向量与BC 的数量积可知，当P 与D 重合时，AP BC ⋅ 取最大值2，当P 与B 重合时，AP BC ⋅取最小值4-.故D 正确.故选：BCD三、填空题13．若幂函数()()25mf x m m x =--在()0,∞+单调递减，则m =________.【正确答案】2-【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.【详解】根据幂函数的定义和性质，得2510m m m ⎧--=⎨<⎩，解得2m =-.经检验2m =-，符合题意.所以2m =-.故-2.14．已知4a = ，3b =，a b += ，则a 与b的夹角为______.【正确答案】2π3【分析】根据向量的数量积概念及运算律，即可求出结果.【详解】()222222242313a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅+=，所以6a b ⋅=- ，所以61cos 432θ⋅-===-⨯ a b a b .又0πθ≤≤，所以2π3θ=.故2π315．如图所示,正方形ABCD 边长为6,圆D 的半径为1,E 是圆D 上任意一点,则AE CE ⋅的最小值为________.【正确答案】1-【分析】以D 为原点建立直角坐标系,然后结合三角函数的定义将所求向量坐标化,就可以求出最值.【详解】如图以D 为原点坐标,DC 为x 轴,AD 为y 轴建立直角坐标系:则()0,6A -,()6,0C ,设()cos ,sin E θθ,[)0,2πθ∈,则()()cos ,sin 6cos 6,sin AE CE θθθθ⋅=+⋅-=22πcos 6cos sin 6sin 61164θθθθθ⎛⎫-++=-+≥- ⎪⎝⎭当且仅当π3π42θ-=即7π4θ=时等号成立.∴AE CE ⋅的最小值为1-故答案为:1-四、双空题16．已知函数()()21,01log ,0x f x x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩，()21cos 4g x x x =-.若()()11f f -=，则实数=a ________；若对1,22x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，总2x ∃∈R 使()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围为________.【正确答案】1-1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】首先分别求出()1f -与()1f ，然后根据()()11f f -=得()21log 12a =-，解方程即可求出a 的值；首先设()f x 的值域为A ，()g x 的值域为B ，再根据()g x 的函数解析式求出()g x 的值域，根据题意得出B A ⊆，进而根据集合的包含关系求出参数a 的取值范围.【详解】()()111112f -==--，()()21log 1f a =-，由()()11f f -=，得()21log 12a =-，解得1a =设()f x 的值域为A ，()g x 的值域为B ，由题意B A ⊆.()g x 为偶函数且在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦为增函数，所以当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x 的最大值为2216g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为()01g =-，故21,16B π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.当0x <时，()()0,1f x ∈，当0x ≥时，()f x 为增函数，值域为())0,f ⎡+∞⎣，要使B A ⊆，则()f x 在[)0,∞+连续且()001a f ->⎧⎨≤-⎩，即()20log 1a a ->⎧⎨-≤-⎩，解得102a -≤<.故1；1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭五、解答题17．已知集合20x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬⎩⎭，{}|21B x a x a =-<<-(1)若3a =，求A B ⋃，() B A R ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1){}12|A B x x =-<< ，(){} |12B A x x ⋂=-<≤R ð(2){}2a a ≤【分析】（1）确定集合,A B ，再根据集合的并集，补集，交集运算即可；（2）根据A B B = 得B A ⊆，讨论B ≠∅和B =∅时，即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）∵当3a =时，集合{}12B x x =-<<，集合{}20|02x A x x x x ⎧⎫-=<=<<⎨⎬⎩⎭∴{}12|A B x x =-<< ∵{} |02A x x x =≤≥R 或ð∴(){} |10B A x x ⋂=-<≤R ð.（2）若A B B = ，∴B A⊆∴当B ≠∅时，201221a a a a -≥⎧⎪-≤⎨⎪-<-⎩，解得322a <≤当B =∅时，21a a -≥-，解得32a ≤，满足题意；综上所述：实数a 的取值范围是{}2a a ≤.18．已知向量)a =，()cos ,sin b x x =，()0,πx ∈.(1)若a b ⊥，求x 的值；(2)若()f x a b =⋅ ，且()3f α=，求πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)23π(2)59-【分析】（1）根据题意得到tan x =，再结合()0,πx ∈即可得到答案.（2）首先根据题意得到πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而得到22ππ5cos 212sin 339αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据π2ππsin 2sin 2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解即可.【详解】（1）因为a b ⊥ 所以sin 0a b x x ⋅=+= ，所以tan x =由于()0,πx ∈，所以2π3x =.（2）由()sin 2sin 3f x a b x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭所以()π2sin 33f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.而22ππ5cos 212sin 339αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π2ππ2π5sin 2sin 2cos 263239ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.19．已知函数()e e x x a f x a-=+是定义域为R 的奇函数.(1)求a 的值；(2)若对[]1,2x ∀∈，不等式()()12410x x f f m +-+->恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1(2)()1,+∞【分析】（1）根据奇函数的性质可得()00f =，计算即可求出a ；（2）利用函数的奇偶性和单调性解原不等式可得()22221x x m ⋅-<-，设2x t =，[]2,4t ∈，根据换元法和二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由函数为奇函数且定义为R ，∵()()f x f x -=-，当0x =时，可得()()00f f -=-，故()00f =，则00e 1(0)0e 1a f ⋅-==+，得1a =，经检验1a =，符合题意，故1a =；（2）由（1）可知，函数2()11e xf x =-++在[]1,0-上为减函数，由()()12410x x f f m +-+->，得()()2222(1)(1)x x f f m f m ⋅->--=-，所以()22221x x m ⋅-<-，设2x t =，[]2,4t ∈，则(2)1t t m ⋅-<-，又函数2(2)(1)1y t t t =⋅-=--+图象是一条抛物线，开口向下，对称轴为1t =，所以在[]2,4t ∈上，2(2)(1)10y t t t =⋅-=--+≤，所以10m ->，得1m >，故实数m 的取值范围()1,+∞.20．在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足2cos 2a B b c +=.(1)求角A ;(2)若D 为BC 边的中点,且AD =2AC =,求ABC 的周长.【正确答案】(1)π3A =(2)8+【分析】(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将sin C 转化成()sin A B +即可求解;(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长.【详解】（1）在ABC 中因为2cos 2a B b c +=,由正弦定理得2sin cos sin 2sin A B B C +=,所以2sin cos sin 2sin()2sin cos 2sin cos A B B A B A B B A +=+=+,即sin 2sin cos B B A =,又因为(),0,πA B ∈,sin 0B ≠,所以1cos 2A =,所以π3A =.（2）取AB 边的中点E ,连接DE ,则//DE AC ，且112DE AC ==,2π3AED ∠=，在ADE V 中,由余弦定理得:2222π2cos133AD AE DE AE DE =+-⋅⋅=,解得3AE =,所以6AB =.在ABC 中,由余弦定理得:BC ===所以ABC 的周长为8+.21．为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x 台()x +∈N 需要另投入成本()a x （万元），当年产量x 不足45台时，()21303002a x x x =+-万元，当年产量x 不少于45台时，()2500619001a x x x =+-+万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为10060x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.(1)求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；(2)年产量x 为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？【正确答案】(1)()2130200,452N 2500800,451x x x y x x x x +⎧-++<⎪⎪=∈⎨⎪--+≥⎪+⎩(2)当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案.【详解】（1）当45x <，N x +∈时，22101160200()60100200303003020022y x a x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=+--+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当45x ≥，N x +∈时，1002500250060200()601002006190080011y x a x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=+--+-=--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭；综上所述：()2130200,452N 2500800,451x x x y x x x x +⎧-++<⎪⎪=∈⎨⎪--+≥⎪+⎩（2）当45x <，N x +∈时，21302002y x x =-++，则当30x =时，y 的最大值为650；当45x ≥，N x +∈时，25002500800(1)80180170111y x x x x ⎡⎤=--+=-+++≤+=⎢⎥++⎣⎦（当且仅当250011x x +=+，即49x =时等号成立）；∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万.22．已知函数()2cos cos 2f x x x x =+，将()f x 的图象向左平移524π个单位得()g x 的图象.(1)求()g x 的最小正周期与单调递增区间；(2)若方程()3sin 44310a x g x a ++-=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)T π=，()3,Z 88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)43a =-或513a -≤≤.【分析】（1）化简()f x 的解析式，然后根据图象的平移变换得到()g x 的解析式，最后求最小正周期和单调区间即可；（2）利用换元的思想令sin 2cos 2t x x =+，将方程()3sin 44310a x g x a ++-=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点转化为23410at t +-=在()1,1-有且仅有一个零点，然后分0a =和0a ≠两种情况讨论即可.【详解】（1）()2cos 22226f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以5()2244g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 的最小正周期T π=，由222,Z 242k x k k πππππ-+≤+≤+∈，得3,Z 88k x k k ππππ-+≤≤+∈，所以()g x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）因,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭得2,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()2sin 2cos 2(1,1)4g x x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭且单调递增，设sin 2cos 2t x x =+，所以2sin 41x t =-，所以原方程等价于23410at t +-=在()1,1-有且仅有一个零点设()2341h t at t =+-，()1,1t ∈-，①当0a =时，14t =，合题意，②当0a ≠时，（i ）若1t =-，得53a =，由方程25410t t +-=解得15t =，合题意，（ii ）若1t =，得1a =-，由方程23410t t -+=解得13t =，合题意，（iii ）若1t ≠±，则()Δ041,16a=⎧⎪⎨-∈-⎪⎩或()()110h h -<，解得43a =-或10a -<<或503a <<，综上所述：43a =-或513a -≤≤.。

湖南高一年级3月阶段性考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册、必修第二册第六章至第七章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数()()2i 12i z =+-，则z =（）A.25B.52.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，a =105B =︒，45C =︒，则c =（）A.1B.23.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos25α=，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.31010-B.31010C.1010-D.10104.已知向量()2,1m m =+a ，(),12n =b ，若向量a ，b 共线且0m >，则n 的最大值为（）A.6B.4C.8D.35.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，其中a =b =，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（）A.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.20,,33πππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭6.已知向量()2,1=a ，(),3λ=b ，若向量b 在向量a 上的投影向量()10,5=c ，则2-=b a （）A.7B.C. D.7.设1247a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3435b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln1.6c =，则（）A.c a b <<B.b a c <<C.c a b<< D.c b a<<8.如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影.某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底O 位于同一水平面上的A ，B ，C 三处进行测量，如图2.已知在A 处测得塔顶P 的仰角为30°，在B 处测得塔顶P 的仰角为45°，在C 处测得塔顶P 的仰角为60°，22BC AB ==米，则清风楼的高度OP =（）A.米B.米C.米D.米二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足4i 8i z +-=+，则下列命题是真命题的是（）A.z 的虚部为2-B.2z -为纯虚数C.若z 与复数()()22356i a a a a a ++++∈R 相等，则1a =D.z 在复平面内对应的点位于第一象限10.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A.16πϕ=B.函数16f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C.()f x 在,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 的图象关于直线2716x π=对称11.在平行四边形ABCD 中，6AB =，8AD =，60ABC ∠=︒，点P 从B 出发，沿B A D C →→→运动，则下列结论正确的是（）A.当点P 在线段AB 上运动时，PB PC ⋅的值逐渐增大B.当点P 在线段AD 上运动时，PB PC ⋅的值先减小，再增大C.当点P 在线段CD 上运动时，PB PC ⋅的值逐渐减小D.PB PC ⋅的取值范围是[]4,60-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知函数()()1,0,22,0,xf x x f x x ⎧+=⎨+>⎩则()2log 3f =________，()()2f f -=________.13.若复数65i56iz +=-，则2399z z z z ++++= ________.14.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫作角的密位制，在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线，如5密位写成“005-”，235密位写成“235-”，1246密位写成“1246-”.1周角等于6000密位，写成“6000-”，在ABC △中，点D 在边BC 上，AD 是ABC △的内角A 的角平分线，24CD AD BD ===，则ADC ∠用密位制表示为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量()2,3=a ，()1,=b x ，()4,1=c .（1）若2x =，λμ=+a b c ，求λμ+的值；（2）若()⊥-a c b ，求a 与b 的夹角的余弦值.16.（15分）在ABC △中，已知120BAC ∠=︒，D 为BC上一点，CD =，BD =，且90BAD ∠=︒.（1）求ABAC的值；（2）求ACD △的面积.17.（15分）如图，在ABC △中，8AB = ，5AC = ，3BAC π∠=，且58AB AE = ，35AC AF = ，BF 与CE 交于点O .（1）用AB ，AC 表示BF ，CE；（2）求BF CE ⋅的值；（3）求cos EOF ∠的值.18.（17分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2sin 6c A a b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求C 的大小；（2）设BC 的中点为D ，且3AD =，求2a b +的取值范围.19.（17分）已知函数()22cos 2sin 3f x x x t =-++，t 为常数.（1）证明：()f x 的图象关于直线2x π=对称.（2）设()f x 在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点m ，n .（ⅰ）求t 的取值范围；（ⅱ）证明：52m n π+<.湖南高一年级3月阶段性考试数学参考答案1．B ()()22i 12i 24i i 2i 43i z =+-=-+-=-，则1695z =+=．2．B 1801054530A =︒-︒︒-=︒，由sin sin a c A C =，得sin 2sin a Cc A==．3．C因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,απ∈，则25sin25α=，故10cos 2cos2cos sin2sin 44410πππααα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭．4．A 因为向量,a b 共线，所以()21210m m n -+=，解得2121m n m =+．又0m >，所以12m m+≥，1261n m m=≤+，当且仅当1m =时，等号成立。

湖南省湖湘教育三新探索协作体2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题解析版（全卷满分：150分，考试用时：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()(){}234A x x x =-+>，{}2|log 1B x x =<，则A B = （）A.()2,1- B.()0,2 C.()3,2- D.()0,1【答案】D【分析】解一元二次不等式和对数不等式，求出,A B ，得到交集.【详解】()()234x x -+>变形为220x x +-<，解得2<<1x -，故{}21A x x =-<<，因为{}{}2|log 12|0B x x x x =<<=<，所以{}{}{}21|02|01A B x x x x x x ⋂=-<<⋂<<=<<.2.已知i 为虚数单位，复数()()33i 1i z a =-+为纯虚数，则z =（）A.0B.13-C.3D.10【答案】D【分析】利用复数的乘法法则和纯虚数、模长的定义求解即可.【详解】由题意可得因为复数()()()()()33i1i 3i 1i 331i z a a a a =-+=++=-++，所以30a -=，解得3a =，即10i z =，所以10z ==，3.已知正三棱锥A BCD -，则其外接球的体积为（）A.π8B.812π16C.92π8D.93π16【答案】C形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，从而即可求出外接球的半径为r ，进而可求出外接球的体积．【详解】由A BCD -则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，如图，取CD 的中点，连接BF ，过A 作⊥AE 平面BCD ，且垂足为E ，则2BE EF =，由AB BC CD AD BD =====则在Rt BCF 中，有32BF ==，所以23132BE =⨯=，则在Rt ABE △中，有AE ==设外接球的半径为r ，则()222BE AE r r +-=，即)2221rr +=，解得324r =，故外接球的体积为33443292πππ3348V r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．4.若“2340x x +-<”是“()2233230x m x m m -+++>”的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（）A.4m ≤-或m 1≥B.4m ≤-或3m >-C.1m ≤-或4m ≥D.3m <-或4m ≥【答案】A【分析】解不等式2340x x +-<，对实数m 的取值进行分类讨论，求出不等式()2233230x m x m m -+++>的解集，根据题意可得出集合的包含关系，综合可求得实数m 的取值范围.【详解】解不等式2340x x +-<可得41x -<<，由()2233230x m x m m -+++>可得()()230x m x m --->，①当23m m =+时，即当3m =-时，不等式()()230x m x m --->即为()230x +>，解得3x ≠-，此时，“41x -<<”⇒“3x ≠-”，不合乎题意；②当23m m <+时，即当3m >-时，解不等式()()230x m x m --->可得x m <或23x m >+，由题意可知，{}41x x -<<{x x m <或}23x m >+，所以，m 1≥或234m +≤-，解得72m ≤-或m 1≥，所以，m 1≥；③当23m m >+时，即当3m <-时，解不等式()()230x m x m --->可得23x m <+或x >m ，由题意可得{}41x x -<<{23x x m <+或}x m >，所以，231m +≥或4m ≤-，解得4m ≤-或1m ≥-，此时4m ≤-.综上所述，实数m 的取值范围是4m ≤-或m 1≥.5.在ABC ∆中，2BD BC = ，3BE BA =，且CE 与AD 交于点P ，若CP xCA yCB =+(),R x y ∈，则x y +=（）A.25B.35 C.45D.1【答案】B【分析】根据平面向量共线定理得到AP AD λ= ，CP CE μ=，利用CA 、CB 分别表示出CP，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得λ、μ，再代入计算可得.【详解】依题意A 、P 、D 三点共线，故AP AD λ=，所以()CP CA AP CA AD CA CD CAλλ=+=+=+- ()1122CA CB CA CB CA λλλ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，C 、P 、E 三点共线，故CP CE μ=，则()2233CP CA AE CA AB CA ABμμμμ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭()212333CA CB CA CA CB μμμμ=+-=+，所以113232μλλμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得4535λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2155CP CB CA =+ ，又CP xCA yCB =+ ，所以1525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以35x y +=.6.已知正实数a ，b 满足24a b +=，则111a b ++的最小值是（）A.1B.3328C.3226+ D.133+【答案】C【分析】由已知可推得()12116a b ++=⎡⎤⎣⎦，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值.【详解】由已知可得，()216a b ++=，所以()12116a b ++=⎡⎤⎣⎦.又,0a b >，所以()1111121116a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=+⨯⨯++ ⎪⎣⎦++⎝⎭1112261b a a b +⎛⎫=⨯++⨯+ ⎪+⎝⎭112361b a a b +⎛⎫=⨯⨯++ ⎪+⎝⎭1122361b a a b ⎛⎫+≥⨯⨯⨯+ ⎪ ⎪+⎝⎭()132222366+=⨯+=.当且仅当121b aa b +⨯=+，即626a =-，532b =-时，等号成立.所以，111a b ++的最小值是3226+.7.将函数()22πsin 2cos sin 6f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于直线π3x =轴对称，则ϕ的值为（）A.5π12B.π3C.π4 D.π6【答案】B【分析】根据二倍角的余弦公式和两角的和差公式可得()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换可得()πsin 226g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用条件结合正弦函数的对称性列方程即可求得ϕ的值．【详解】由()22π1πsin 2cos sin cos2cos2sin 26226f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()πsin 226g x x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又函数()g x 的图象关于直线π3x =轴对称，则πππ22π362k ϕ⨯++=+()Ζk ∈，得ππ26k ϕ=-()Ζk ∈，又π02ϕ<<，则1k =，即π3ϕ=．8.对任意的x ∈R 函数()f x ，都有()()()()2f x f x f x f x -=-=+，，且当[1,0x ∈-]时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()log 0a f x x -=在区间[]5,5-内恰有6个不等实根，则实数a 的取值范围是（）A.(3,5)B.[3,5]C.[3,5)D.(3,5]【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求出函数的解析式，利用函数的周期性画出函数图象，结合方程的根与函数图象交点的关系可得函数()y f x =与log a y x =图象在[5,5]-上有6个不同的交点，由图可得log 31,log 51a a <>，解之即可求解.【详解】由()()f x f x =-，知函数()f x 为偶函数，由)(()(2)f x f x f x -=+=，知函数()f x 为周期函数，且2T =.又当[1,0]x ∈-时，1()()12xf x =-，则当[0,1]x ∈时，[1,0]x -∈-，1()(1212x x f x --=-=-，由()()f x f x =-，得()21xf x =-，所以1(1,10()221,01xx x f x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪-≤≤⎩，若方程()log 0a f x x -=在[5,5]-上有6个不等实根，则函数()y f x =与log a y x =图象在[5,5]-上有6个不同的交点，若01a <<，函数log a y x =在(0,)+∞上与函数()y f x =图象只有1个交点，不符题意，故1a >，如图，由图可知，(3)(5)1,log 31,log 51a a f f ==<>，解得35a <<，即实数a 的取值范围为(3,5).二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列关于复数的命题不正确的有（）A.若12z z =，则2212z z = B.若12||z z =，则12z z =±C.1212z z z z = D.22z z zz==【答案】ABD【分析】举例说明，即可判断AB ；根据复数的乘法运算和几何意义计算化简，即可判断C ；根据复数的乘法运算和共轭复数的概念，即可判断D.【详解】A：令1213i,2z z =+=，满足12=z z ，而221286i,2z z =-+=-+，2212z z ≠不成立，故A 错误；B ：由选项A 的分析可知，12=±z z 不成立，故B 错误；C ：设12i,i(,,,R)z a b z c d a b c d =+=+∈，则12()()i z z ac bd ad bc =-++，2222222222212()()=z z ac bd ad bc a c b d a d b c =-+++++，又222222222222212()()()z z a b c d a c b d a d b c =++=+++，所以221212()z z z z =，即1212z z z z =，故C 正确；D ：设i(,R)z a b a b =+∈，则i z a b =-，得2222i z a b ab =-+，222i z a b ab =--，22zz a b =-，所以22z z zz ==不成立，故D 错误.10.已知α，β为两个不同的平面，a ，b 为两条不同的直线，A 为点，下列说法正确的是（）A.//,,//a b a bαβαβ⊂⊂⇒B.,,,a b A A a a b αα⊂⋂=∉⇒为异面直线C.//,//,//a b a b b ααα⊄⇒D.//,//b a a b αα⊂⇒【答案】BC【分析】根据线面、面面平行的性质定理与判定定理判断即可.【详解】对于A ：若//,,a b αβαβ⊂⊂，则a 与b 平行或异面，故A 错误；对于B ：若,,a b A A a αα⊂⋂=∉，则a 与b 为异面直线，故B 正确；对于C ：若//,//a b a α则在平面α内存在直线c ，使得//a c ，所以//b c ，又b α⊄，c α⊂，所以//b α，故C 正确；对于D ：若//,b a αα⊂，则a 与b 平行或异面，故D 错误；11.已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()1f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则下列说法中正确的是（）A.函数()f x 是周期函数B.函数()f x 为R 上的偶函数C.函数()f x 的图象关于点()1,0-对称D.函数()f x 为R 上的单调函数【答案】AC【分析】由题可得()()2f x f x +=即可判断A ；由()1y f x =-为奇函数可得()()110f x f x --+-=，即可判断B ；由()()2f x f x -=--、()2()f x f x -=可得()()f x f x -=-，即可判断C ；根据()f x 为R 上的奇函数，结合单调函数的定义即可判断D.【详解】A 选项，由()()1f x f x +=-，得()()()21f x f x f x +=-+=，即2T =，故A 正确；B 选项，因为()1y f x =-为奇函数，()()11f x f x --=--，用1x -换x ，得()()2f x f x -=--，又()2()f x f x -=，所以()()f x f x -=-，即函数()f x 为R 上的奇函数，故B 错误；C 选项，因为()1y f x =-为奇函数，所以()()()()11110f x f x f x f x --=--⇒--+-=，则()y f x =的图象关于点()1,0-对称，故C 正确；D 选项，因为函数()f x 为R 上的奇函数，其图象关于原点对称，函数()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞的单调性相同，但函数()f x 在R 上不一定为单调函数，故D 错误.12.已知()cos33cos f x x x =+，下列关于()f x 说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为2π3B.()f x 的最大值为4C.()f x 在()0,π上单调递减D.()f x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称【答案】BCD【分析】先求出2π是()f x 的周期.设()f x 的最小正周期为2πk，*k ∈N ，根据()2π40f f k ⎛⎫= ⎪⎭=⎝，即可推导出1k =，判断A 项；根据余弦函数的值域得出()4f x ≤，结合()04f =，即可得出B 项；化简可得()34cos f x x =，然后根据复合函数的单调性，即可得出C 项；求出并化简()πf x -的表达式，即可得出D 项.【详解】对于A 项，因为()()()2πcos 36π3cos 2πf x x x +=+++()cos33cos x x f x =+=，所以，2π是()f x 的周期.则可设()f x 的最小正周期为2πk，*k ∈N ，因为()0cos 03cos 04f =+=，所以应有46πcos 23cos π2πf k k k ⎛⎫=+ ⎝⎭=⎪，所以，应有6πcos1k =，cos 2π1k=.由6πcos 1k =可得，*116π2π,n n k=∈N ，所以13k n =.又*k ∈N ，所以11n =，3k =，或13n =，1k =；由cos2π1k =可得，*222π2π,n n k=∈N ，所以21k n =.又*k ∈N ，所以必有21n =，此时1k =.所以，1k =，所以，()f x 的最小正周期为2π，故A 项错误；对于B 项，因为cos31x ≤，cos 1≤x ，所以()cos33cos 4f x x x =+≤.又()04f =，所以()f x 的最大值为4，故B 项正确；对于C 项，()cos33cos f x x x =+()cos 23cos cos 2cos sin 2sin 3cos x x x x x x x x =++=-+()2212sin cos 2sin cos 3cos x x x x x=--+()224sin cos 4cos 4cos 1sin x x x x x =-+=-34cos x =.令cos t x =，则函数cos t x =在()0,π上单调递减，而函数34y t =单调递增，所以，根据复合函数的单调性可知，函数()34cos f x x =在()0,π上单调递减，故C 正确；对于D 项，()()()πcos 3π33cos πf x x x -=-+-()cos33cos x x f x =--=-，所以，()f x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，故D 项正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45，的等腰梯形，则原平面图形的面积为___________.【答案】4+【分析】计算出梯形的下底的长，作出原图形，确定原图中梯形的上、下底的长以及梯形的高，利用梯形的面积公式可求得结果.【详解】在直观图等腰梯形A B C D ''''，A B //C D ''''，且A B A D B C ''''''===，如下图所示：分别过点A '、B '作A E C D '''⊥，B F C D '''⊥，垂足分别为点E 、F ，由题意可知45A D E B C F ''''∠=∠= ，所以，cos 4512D E A D '''=== ，同理可得1C F '=，因为//A B EF ''，A E C D '''⊥，B F C D '''⊥，则四边形A B FE ''为矩形，所以，EF A B ''==，故2C D C F EF D E ''''=++=，将直观图还原为原图形如图所示：由题意可知，梯形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB =，AD =，2=+CD，AD CD ⊥，因此，梯形ABCD 的面积为()(2422AB CD AD S +⨯+⋅===.14.已知5sin 5α=，π02α<<，且cos 10β=，π02β<<，则()cos αβ+=___________.【答案】10-【分析】首先求出cosα，sinβ，再根据两角和的余弦公式计算可得.【详解】因为sinα，π2α<<，且10cos10β=，π2β<<，所以cos5α==，310sin10β==，所以()0 c3os cos cos sin si251051025105101nαβαβαβ=⨯-⨯--+==.15.已知函数()[]e e ln,2,0)(0,22x xf x x x-+=+∈- ，则满足不等式()()221f a f a-≥+的实数a的取值范围是___________.【答案】1[0,3【分析】根据奇偶函数的定义证明()f x为偶函数，易知当2(]0,x∈时函数lny x=单调递增，利用定义法证明函数e e2x xy-+=在(0,2]上单调递增，则函数()f x在(0,2]上单调递增，利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解.【详解】e e()ln,[2,0)(0,2]2x xf x x x-+=+∈- ，定义域关于原点对称，则e e()ln()2x xf x x f x-+-=+=，所以函数()f x为偶函数；当2(]0,x∈时，函数ln lny x x==单调递增，设1202x x<<≤，则12e ex x<，120e e1x x+>=，所以11222112e e e e11(e e)(1)222ex x x xx xx x--+++-=--，又21121e e0,10ex xx x+->-<，所以1122e e e e022x x x x--++-<，则函数e e 2x x y -+=在(0,2]上单调递增，所以函数()f x 在(0,2]上单调递增，由(2)(21)(|2|)(|21|)f a f a f a f a -≥+⇔-≥+，得02122a a <+≤-≤，解得103a ≤≤，所以实数a 的取值范围为1[0,]3.16.在ABC ∆中，点O 满足0BA AO BA BC BA BC λλλ-=+>（），且AO 所在直线交边BC于点D ，有||||||||BD AB DC AC = ，6CA CB -= ，2CA CB -= ，则||BO BA BA ⋅的值为___________.【答案】2【分析】由题干条件得到点O 为ABC 的内心，再由切线长定理和向量数量积公式变形得到答案.【详解】0BA AO BA BC BA BC λλλ-=+>（），变形为0BA BO BA BC BA B B A C λλλ-=+>-（），即()BABC BA BC BO BA BA BABCBA BC λλλ⎛⎫⎪=-++=+ ⎪⎝⎭，其中BA BA表示BA方向上的单位向量，BC BC表示BC 方向上的单位向量，故O 在ABC ∠的平分线上，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB =∠∠，在ADC △中，由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，因为πADB ADC ∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，故sin sin sin sin BD CAD AB ADC ABBAD CD ADB AC AC∠∠⋅=⋅=∠∠，因为||||||||BD AB DC AC =，所以sin sin CAD BAD ∠=∠，故CAD BAD ∠=∠，故AD 平分BAC ∠，故点O 为ABC ∆的内心，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，作OG ⊥AC 于点G ，则,,CF CG AE AG BE BF ===，因为2CA CB -=，所以2AE BE -=，又6CA CB BA -==，所以4,2AE BE ==，由向量数量积得cos BO BA BO BA ABO ⋅=⋅∠，故2||cos BO BA BA BO ABO BE ⋅=∠==.【点睛】方法点睛：点O 为ABC ∆所在平面内的点，且0OA OB OC ++=，则点O 为ABC∆的重心，点O 为ABC ∆所在平面内的点，且OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心，点O 为ABC ∆所在平面内的点，且OA OB OC ==，则点O 为ABC ∆的外心，点O 为ABC ∆所在平面内的点，且0aOA bOB cOC ++=，则点O 为ABC ∆的内心.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平面直角坐标系中，点O为原点，)1A-，()0,2B （1）若1a = ，//a OA 且方向相反，求a的坐标；（2）若2b = ，b 与AB的夹角为30 ，且向量b k AB + 与b AB - 互相垂直，求k 的值.【答案】（1）3122a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭（2）13k =-【分析】（1）根据已知可设a OA λ=r uu r，0λ<，然后根据已知得出2OA = ，即可得出λ的值，代入即可得出答案；（2）求出AB = ，根据数量积的定义得出6b AB ⋅=r uu u r .由向量垂直，得出()()0b k AB b AB +-⋅=r uur uu u rr u ，根据数量积的运算律展开，得出方程，求解即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，)1OA =-，设a OA λ=r uu r ，0λ<，所以2OA ==，2a OA λλ==-r uu r.又1a = ，所以21λ-=，所以12λ=-，所以，122a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由已知可得，()AB =，所以AB ==，所以3cos30262b AB b AB ⋅=︒=⨯=r uu u r r uu u r .因为向量b k AB + 与b AB -互相垂直，所以，()()0b k AB b AB +-⋅=r uur uu u r r u ，即()2201b k b AB k AB +--=⋅uu u r uu u r r r ，即()461120k k +--=，解得13k =-.18.已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）先将函数()y f x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移π6个单位后得到函数()y g x =的图象，若()2g x ≤，求实数x 的取值范围.【答案】（1）()1πsin 436f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）ππ5π3ππ,ππ,π124124k k k k ⎡⎤⎡⎤-++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U，k ∈Z【分析】（1）由图象可求得13A =，π2T =，即可得出4ω=，所以()()1sin 43f x x ϕ=+.根据“五点法”，可推得π6ϕ=，即可得出答案；（2）由已知可得，()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.然后得出2π6332sin 2x ⎛⎫-- ⎪⎭≤≤⎝，根据正弦函数的图象，即可得出答案.【小问1详解】由图象可得，13A =，πππ23124T =-=，所以π2T =，2π4π2ω==，所以，()()1sin 43f x x ϕ=+.又()f x 在π12x =处取得最大值，由“五点法”可知ππ42π,122k k ϕ⨯+=+∈Z ，所以π2π,6k k ϕ=+∈Z .又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以，()1πsin 436f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】将函数()y f x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到πsin 46y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；将πsin 46y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；将πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象向右平移π6个单位后得到函数πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，所以()πsin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.由()2g x ≤可知，2πsi 2n 6x ⎛⎫⎪⎝⎭≤- ，所以2π6332sin 2x ⎛⎫-- ⎪⎭≤≤⎝.根据正弦函数的图象可得，πππ2π22π,363k x k k -+≤-≤+∈Z 或2ππ4π2π22π,363k x k k +≤-≤+∈Z ，所以，ππππ,124k x k k -+≤≤+∈Z 或5π3πππ,124k x k k +≤≤+∈Z ，所以，实数x 的取值范围为ππ5π3ππ,ππ,π124124k k k k ⎡⎤⎡⎤-++⋃++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，k ∈Z .19.已知函数()[]2,2,4f x x ax a x =-+∈的最小值为()a ϕ.（1）求()a ϕ的解析式；（2）若()()123m m ϕϕ+>-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）24,4(),484316,8a a aa a a a a ϕ-+≤⎧⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎩；（2）(4,)+∞.【分析】（1）根据题意可知二次函数()f x 的对称轴为2a x =，分类讨论当22a ≤、242a<<、42a≥时函数()f x 的单调性，求出对应的最小值即可；（2）由（1），结合一次函数、二次函数的性质可知函数()a ϕ在R 上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可求解.【小问1详解】函数2()f x x ax a =-+，对称轴为2a x =，当22a≤即4a ≤时，函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以min ()(2)4f x f a ==-，即()4a a ϕ=-；当242a <<即48a <<时，函数()f x 在[2,2a上单调递减，在[,4]2a 上单调递增，所以2min ()()24a a f x f a ==-+，即2()4a a a ϕ=-+；当42a≥即8a ≥时，函数()f x 在[2,4]上单调递减，所以min()(4)316f x f a ==-+，即()316a a ϕ=-+，故24,4(),484316,8a a aa a a a a ϕ-+≤⎧⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎩.【小问2详解】由（1）知，当4a ≤时，()4a a ϕ=-，函数()a ϕ单调递减，当48a <<时，2()4a a a ϕ=-+，对称轴为2a =，函数()a ϕ在[4,8]上单调递减，当8a ≥时，()316a a ϕ=-+，函数()a ϕ单调递减，注意到()a ϕ是连续函数，所以函数()a ϕ在R 上单调递减.由(1)(23)m m ϕϕ+>-，得123m m +<-，解得4m >，故实数m 的取值范围为(4,)+∞.20.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b A a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若锐角△ABC 中2b =，求其周长的取值范围.【答案】（1）π3B =；（2）(2,6⎤⎦.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于π消去角C ，然后通过和差公式展开化简即可求解；（2）由正弦定理、三角恒等变换化简可得π4sin 6a c A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合角A 的范围和正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】π2sin 6b A a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得π2sin sin sin sin 6B A A C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即12sin cos sin sin()22B A A A A B ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭，整理得sin sin cos sin B A A B A =+，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πB ∈，ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以ππ66B -=，即π3B =.【小问2详解】由（1）知π3B =，又2b =，由正弦定理，得sin sin sin a b c A B C ===所以,a A c C ==，所以)2sin sin sin sin π3a c A C A A ⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3πsin cos 4sin 226A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，在锐角ABC 中，2ππ0ππ32π6202C A A A ⎧<=-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩，则ππ2π363A <+<，所以3πsin 126A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，则4a c <+≤，故ABC ∆的周长的取值范围为2,6]+.21.如图，直线12l l ∥，点A 是1l ，2l 之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线1l ，AE m AF n ==，（m ，n 为常数），点B ，C 分别为1l ，2l 上的动点，已知π4BAC ∠=.设π04ACF αα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，ABC 的面积为()S α.（1）写出()S α的解析式；（2）求()S α的最小值.【答案】（1）()1π1tan 24tan S mn ααα⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦（2）1)mn+【分析】(1)利用三角函数表示各个边长的关系，再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出()S α即可.(2)由(1)有()1π1tan 24tan S mn ααα⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，将正切值用正弦除以余弦表示，再利用三2π1242⎝⎭再求最值即可.【小问1详解】由题意1EF l ⊥，12l l //，所以2EF l ⊥，在Rt ACF 中，tan n CF α=，π04α<<，则ππππ424EAB αα⎛⎫∠=---=+ ⎪⎝⎭，在Rt ABE 中，ππtan tan 44EB AE m αα⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ACF △的面积2111122tan S AF CF n α=⋅=⋅，∴ABE 的面积2211πtan 224S AE EB m α⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭，∴梯形EFCB 的面积()()11πtan 224tan n S EB CF EF m n m αα⎡⎤⎛⎫=+⋅=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴12()S S S S α=--()221π111πtan tan 24tan 2tan 24n m n m m αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++-⋅-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1π1tan 24tan mn αα⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【小问2详解】令πsin π1cos 4tan π4tan sin cos 4y αααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭ππsin sin cos sin 44πsin cos 4αααααα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 42222αα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥=⎝⎭πcos 42222=111cos 2sin 222αα=--2π1242=⎝⎭所以当ππ242α+=时，即π8α=时，y取得最小值2，此时()S α取得最小值1)mn +.22.已知函数()1lg1xf x x-=+.（1）证明：函数()f x 为奇函数；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）若函数2(),11()1,11f x x h x kx x x -<<⎧=⎨+≤-≥⎩或，其中0k ≤，讨论函数()()2y h h x =-的零点个数.【答案】（1）证明见解析；（2）函数()f x 在()1,1-上单调递减；（3）答案见解析.【分析】（1）根据对数函数的概念求出函数的定义域，结合奇偶函数的定义即可证明；（2）()2lg 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，利用复合函数的单调性质即可判断；（3）令()t h x =，则()2h x =，分类讨论0k <，0k =时，结合图形，t 分别对应的零点个数，进而得解.【小问1详解】10(1)(1)0111x x x x x->⇒-+>⇒-<<+，则函数()f x 的定义域为(1,1)-，关于原点对称，1111()lg lg()lg ()111x x x f x f x x x x-+---===-=--++，所以函数()f x 为奇函数；【小问2详解】()()1212lglg lg 1111x x f x x x x -++-⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭，又函数2y x =在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，由函数图象的平移可知211y x =-++在(1,1)-上单调递减，而函数lg y x =在(0,)+∞上单调递增，利用复合函数的单调性质知，函数()f x 在()1,1-上单调递减；【小问3详解】由[]()2y h h x =-，得[]()2h h x =，令()t h x =，则()2h t =，当0k <时，由()2h t =，得99101t =-，如图，当2000101k -≤<时，991101k +≥-，由图可知，对应有3个零点；当200101k <-时，991101k +<-，由图可知，对应有1个零点；当0k =时，如图，由图可知，只有一个10t -<<，对应有1个零点；综上，当2000101k -≤<时，函数[]()2y h h x =-只有3个零点；当200101k <-时，函数[]()2y h h x =-只有1个零点；当0k =时，函数[]()2y h h x =-只有1个零点.。