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材料力学扭转知识点总结1. 概述材料力学是研究材料的力学性能和行为的一门学科，而扭转则是指在材料中施加扭矩力的作用。
材料力学扭转是材料力学中重要的一个分支，涉及到材料的变形、强度、破坏等方面的内容。
本文将对材料力学扭转的主要知识点进行总结。
2. 扭转应力扭转应力是材料在扭转加载下产生的应力。
与拉伸、压缩应力相比，扭转应力呈圆柱对称分布，沿着截面的半径方向逐渐减小，最大应力出现在材料的表面。
扭转应力的大小与施加的扭矩、材料断面的形状和尺寸有关。
3. 扭转变形扭转加载下，材料会产生扭转变形。
扭转变形主要表现为材料的轴线在垂直截面上的位移，称为扭转角。
扭转角的大小与施加的扭矩、材料的几何形状和材料的性质有关。
当材料的弹性变形超过一定范围时，会发生塑性变形，导致材料的破坏。
4. 扭转刚度扭转刚度是指材料对扭转加载的抵抗能力。
扭转刚度可以由杨氏模量计算得出，与材料的剪切模量相关。
较高的扭转刚度意味着材料在扭转加载下能够保持较小的变形，具有较好的强度和刚度。
5. 扭转强度扭转强度是指材料在扭转加载下破坏的能力。
与拉伸强度、压缩强度类似，扭转强度也是一个材料的重要指标，用来评估材料在扭转加载下的耐用性能。
6. 扭转应力-应变关系材料在扭转加载下的应力-应变关系可以描述材料在扭转过程中的力学行为。
对于线弹性材料而言，扭转应力与扭转角之间呈线性关系，称为胜肽方程。
扭转应力-应变关系可用来预测材料的扭转刚度、扭转变形等力学性能。
7. 扭转实验扭转实验是研究材料力学扭转性能的重要手段。
通过在材料上施加一定的扭矩载荷，并测量相应的应变和变形，可以获取材料的扭转应力-应变关系、扭转刚度等信息。
扭转实验可以通过机械试验机、扭转试验机等设备进行。
8. 扭转设计与应用在工程实践中，材料力学扭转的理论和实验成果被广泛应用于各种设计和制造中。
例如，扭杆、螺旋弹簧、传动轴等都是在扭转加载下工作的零件，需要考虑材料的扭转强度、刚度等特性。
直升机的旋转轴
电机每秒输入功：外力偶作功完成：
×
=P W
M W
e
⋅
=
形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
τdα
τ
l
ϕ
做薄壁圆筒的扭转试验可得
l
是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，G的量纲各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：
ρργγtg ≈x
d d d ′=x d d ϕρ⋅=O 1O 2ABCD 为研究对象
D’
微段扭转变形d dx Rd dx DD tg ϕγγ==≈'d ϕ/ d x －扭转角沿x 轴的变化率
扭转变形计算式
O d A ρTρ⋅
（实心截面）
1、横截面上角点处，切应力为零；
2、横截面边缘各点处，切应力
3、切应力沿横截面周边形成与
4、横截面周边长边中点处，切应力最大。
有关，见教材P93 之表3.2。
第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。
2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。
又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。
规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。
3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。
（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。
γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。
弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。
dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。
则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。
第三章扭转目录第三章扭转 3§3－1 扭转的概念 3一、定义 3二、基本概念 3三、实例 3§3－2 外力偶矩计算、扭矩和扭矩图 3一、外力偶矩计算 3二、扭矩和扭矩图 3§3－3 纯剪切 5一、薄壁圆筒扭转时的剪应力 5二、剪应力互等定理 5三、剪应变、剪切胡克定律 6§3－4 圆轴扭转时的应力 6一、圆轴扭转时的应力计算公式 6二、极惯性矩计算 7三、圆轴扭转强度条件 7§3－5 圆周扭转时的变形 9一、相邻截面扭转角计算公式 9第三章扭转§3－1 扭转的概念一、定义在杆两端作用两大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶，使杆的任意两个截面发生绕轴的相对转动。
杆件的这种变形形式称为扭转。
二、基本概念轴：工程中一般将发生扭转变形的直杆称为轴扭转角：扭转时杆的任意两个横截面的相对角位移三、实例搅拌机轴、汽车传动轴等1、螺丝刀杆工作时受扭2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭3、机器中的传动轴工作时受扭。
§3－2 外力偶矩计算、扭矩和扭矩图一、外力偶矩计算在工程实际中，作用于轴上的外力偶矩往往上未知的，已知的往往是轴的转速以及轴上各轮所传送的功率。
以下图所示的齿轮轴简图为例，主动轮B的输入功率经轴的传递，由从动轮A、C输出给其它构件。
1. 外力偶矩与功率、角速度关系2. 外力偶矩与功率、转速关系(1马力=735.5N?m/s)二、扭转杆件的内力——扭矩和扭矩图1、扭转杆件的内力（截面法）由平衡方程，，称为截面m-m上的扭矩。
按右手螺旋法则把表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线的方向一致时，为正；反之，为负。
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。
以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩，绘成的图形称为扭矩图。
第三章扭转
3–1概述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。
如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。
扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（γ）：直角的改变量。
3–2传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m)(N 9550⋅=n
P m 其中：P —功率，千瓦（kW ）n —转速，转/分（rpm ） m)(N 7024
⋅=n P m 其中：P —功率，马力（PS ）n —转速，转/分（rpm ） m)(N 7121⋅=n
P m 其中：P —功率，马力（HP ）n —转速，转/分（rpm ） 二、扭矩及扭矩图
1、扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”。
2、截面法求扭矩
m
T m T m x ==-=∑00
3、扭矩的符号规定：
“T ”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
4、扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目的：①扭矩变化规律；
②|T |max 值及其截面位置->强度计算（危险截面）。
3–3薄壁圆筒的扭转
一、实验：
1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m 。
2.实验后：
①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度γ 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
4.ϕ与γ的关系：L R ⋅=ϕγ
二、薄壁圆筒剪应力τ大小：t
r T 220πτ=
三、剪应力互等定理：ττ'=
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律：
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp )，剪应力与剪应变成正比关系。
γτ⋅=G 式中：G 是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因γ无量纲，故G 的量纲与τ相同
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。
对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：)
1(2μ+=E G
3–4等直圆杆在扭转时的应力强度条件
一、等直圆杆扭转实验观察：
1、横截面变形后仍为平面；
2、轴向无伸缩；
3、纵向线变形后仍为平行。
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1.变形几何关系：
x d d ϕργρ=，距圆心为ρ任一点处的γρ与该点到圆心的距离ρ成正比。
x
d d ϕ：扭转角沿长度方向变化率。
2.物理关系：
x
G d d ϕρτρ= 3.静力学关系：
横截面上距圆心为ρ处任一点剪应力计算公式：p
I T ρτρ⋅= 4.公式讨论：
①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。
②式中：T —横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
ρ —该点到圆心的距离。
I p —截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
A I A p d 2
ρ⎰=，单位：mm 4，m 4
③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是I p 值不同。
a.对于实心圆截面：44
1.032D D I p ≈=π
b.对于空心圆截面：)1(1.0)1(32 )(32 4444
44ααππ
-≈-=-=D D d D I p
④应力分布
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。
⑤确定最大剪应力：
t
W T =max τ，W t —抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm 3或m 3 对于实心圆截面：332.016D D R I W p t ≈==π 对于空心圆截面：)-(12.016)1(4343ααπD D R I W p t ≈-==（自：注意这里还是4
α）
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
转角α规定：x 轴正向转至截面外法线，逆时针：为“+”顺时针：为“–” αττατσαα2cos ; 2sin =-=
当α =0°时，τττσ===︒︒max 00 , 0
当α =45°时，0 , 45min 45=-==︒︒ττσσ
当α =–45°时，0 , 45max 45===︒-︒-ττσσ
当α = 90°时，τττσ-=-==︒︒max 9090 , 0
四、圆轴扭转时的强度计算 对于等截面圆轴：][max τ≤t
W T ，([τ] 称为许用剪应力。
) 强度计算三方面： ①校核强度：][max max ττ≤=t
W T ②设计截面尺寸：][max τT W t ≥⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-）（空：实：43
3116 16 αππD D W t ③ 计算许可载荷：][max τt W T ≤
3–5等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件
一、扭转时的变形
长为l 一段杆两截面间相对扭转角ϕ为值不变）若 ( T GI Tl p
=ϕ 二、单位长度扭转角θ ： (rad/m) d d p GI T x ==ϕθ，/m)( 180 d d ︒⋅==π
ϕθp GI T x GI p 反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。
三、刚度条件
[](rad/m) max max θθ≤=p GI T ，[]/m)( 180 max max ︒≤⋅=θπ
θp GI T [θ ]称为许用单位长度扭转角。
刚度计算的三方面：
①校核刚度：[]θθ≤ max ②设计截面尺寸： ] [max θG T I p ≥
③计算许可载荷：] [max θp GI T ≤
3–6等直圆杆的扭转超静定问题
解决扭转超静定问题的方法步骤：
1、平衡方程；
2、几何方程——变形协调方程；
3、物理方程；
4、补充方程：由几何方程和物理方程得；
5、解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
3–7等直圆杆在扭转时的应变能
一、应变能与能密度 应变比能：22
121γτγG u == 二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算（略）
位移的计算(能量法） 外力功：∆=P W 2
1 变形能：⎰⎰=
=V
V V U U d 21d τγ U W =
3–8非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。
二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。
三、矩形杆横截面上的剪应力:
1. 剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）
2. 最大剪应力及单位扭转角 t W T max max =
τ，其中：3 b t W β=，max 1 νττ= t
GI T =θ，其中：It —相当极惯性矩。
4 b I t α= （略）。
