盛金公式

一元三次方程求根公式目录盛金公式三次方程新解法——盛金公式解题法三次方程应用广泛。

用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

盛金公式（Shengjin's Formulas）一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，总判别式：Δ=B2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。

当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1<T<1)。

盛金判别法盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means）① 当A=B=0时，方程有一个三重实根；② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

一元三次方程的卡尔丹公式与盛金公式(使用软件公式编辑器编辑的精华版)元三次方程的解法的历史人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。

古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。

在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。

在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。

那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。

数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛•冯塔纳(Niccolo Fontana )。

冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。

由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”(Tartaglia ),也就是意大利语中“结巴”的意思。

后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。

经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。

这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。

但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世。

当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。

他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。

可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。

虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。

后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。

冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。

一元三次方程的三个解一元三次方程的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

归纳出来的形如x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x+px+q=0作比较，可知（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-(p/3)（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9) 对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-(p/3)＝c/a(10)由于型为ay+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝（－b＋（b－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝（－b－（b－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为（11）y1＝－(b/2a)-((b/2a)-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-(p/3)＝c/a代入（11）可得（12）A＝－(q/2)-((q/2)＋(p/3)^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)＋(p/3)）^(1/2) （（13）将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得（14）x=（－(q/2)-((q/2)＋(p/3)）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)＋(p/3)）^(1/2)）^(1/3)式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了将其以下图具体显示注意此处的三次方程是实数域的。

解三次方程的一般方法资料解三次方程的一般方法一、引言三次方程是数学中常见的高次方程，它的解法相对于一次和二次方程来说要复杂得多。

在本篇文章中，我们将介绍解三次方程的一般方法，包括因式分解法、卡尔丹诺公式法和盛金公式法。

这些方法在数学、工程、物理等领域都有广泛的应用。

二、因式分解法因式分解法是通过将三次方程转化为几个一次或二次方程的乘积，从而求得方程的根。

这种方法适用于一些特殊形式的三次方程，如：x^3 - 3x^2 + 2x = 0该方程可以分解为：x(x-1)(x-2) = 0从而得到方程的根为 x=0, x=1, x=2。

然而，对于一般的三次方程，因式分解法往往难以应用，这时我们可以考虑使用卡尔丹诺公式法或盛金公式法。

三、卡尔丹诺公式法卡尔丹诺公式法是一种求解三次方程的通用方法，它适用于任何形式的三次方程。

首先，我们将三次方程转化为标准形式：x^3 + px + q = 0其中 p 和 q 是已知数。

接着，我们令：u = x + p/3u^3 + qu = 0通过一系列的变换和计算，我们可以得到卡尔丹诺公式：x = u - p/3其中 u 是以下方程的根：u^3 + qu - p^3/27 = 0卡尔丹诺公式法的计算过程相对复杂，需要应用复数、三角函数等知识。

此外，它也可能得到复数解，需要进一步处理。

四、盛金公式法盛金公式法是另一种求解三次方程的通用方法，它相较于卡尔丹诺公式法更为简洁和直观。

盛金公式法的核心思想是通过引入参数将三次方程转化为二次方程，从而可以利用二次方程的求根公式来求解。

具体步骤如下：1.将三次方程转化为标准形式：x^3 + px + q = 0。

2.令 x = y - p/3y，将原方程转化为：y^3 + (q - p^3/27)y - p^2q/27 =0。

3.引入参数 A 和 B，使得：A^3 + B^3 = q - p^3/27, AB = -p^2q/27。

4.通过解二次方程 A^2 + B^2 - yA - yB = 0，得到 y 的值。

盛金公式法求函数的零点可用盛金公式、范盛金判别法或传统解法（卡尔丹公式法）。

三次方程应用广泛。

用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

我国数学家、高中教师范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

1.盛金公式一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a,b,c,d∈R，且a≠0）重根判别式总判别式Δ=B2－4AC。

当A=B=0时；当Δ=B2－4AC>0时；其中，当Δ=B2－4AC=0时；当Δ=B2－4AC<0时；（详细见图）其中，（A>0，－1<T<1）。

2.盛金判别法当A=B=0时，方程有一个三重实根。

当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

3.盛金定理当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T<－1或T>1时，盛金公式4无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。

盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。

一元三次方程发展史及解法解读众所周知，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为3次的整式方程叫做一元三次方程。

一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。

在很早之前就有人掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是困难重重。

如在古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发现的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。

随着社会不断进步和数学进一步的发展，在十六世纪的欧洲，一元三次方程也有了固定的求解方法。

在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。

卡尔丹诺公式解法介绍：卡丹公式法的特殊情况如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为x3+px+q=0。

它的解是：当△＞时，方程有一个实根和一对共轭复根，当△=0时，方程有三个实根，其中有两个根相等，当△＜0时，方程有三个不相等的实根。

一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法，两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。

用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

由于用卡尔丹公式解题存在复杂性，范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。

相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。

1.盛金公式2.盛金判别法当A=B=0时，方程有一个三重实根。

当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当Δ=B2－4AC<>3.盛金定理当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T1时，盛金公式4无意义。

一元三次方程求根公式c语言代码盛金公式盛金公式，也被称为一元三次方程的求根公式，是由法国数学家盛金（Girard）在16世纪提出的。

这个公式被广泛应用于解决一元三次方程的根的问题。

一元三次方程的一般形式为：ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a、b、c和d分别表示方程的系数。

为了求解这个方程的根，我们可以使用盛金公式。

盛金公式的表达式如下：x = (q + √(q² + r³))^(1/3) + (q - √(q² + r³))^(1/3) - b / (3a)其中，q = (3ac - b²) / (9a²)r = (9abc - 27a²d - 2b³) / (54a³)通过这个公式，我们可以求解一元三次方程的根。

下面，我们来看看如何使用C语言编写一个求解一元三次方程根的程序。

我们需要定义一个函数，该函数接受方程的系数a、b、c和d作为参数，然后返回方程的根。

```c#include <stdio.h>#include <math.h>double cubicroot(double num) {if (num < 0) {return -pow(-num, 1.0 / 3.0);} else {return pow(num, 1.0 / 3.0);}}void solveCubicEquation(double a, double b, double c, double d) {double q = (3 * a * c - b * b) / (9 * a * a);double r = (9 * a * b * c - 27 * a * a * d - 2 * b * b * b) / (54 * a * a * a);double s = cubicroot(r + sqrt(q * q * q));double t = cubicroot(r - sqrt(q * q * q));double x1 = s + t - b / (3 * a);printf("x1 = %f\n", x1);double x2 = -(s + t) / 2 - b / (3 * a) + (s - t) * sqrt(3) / 2 * I; printf("x2 = %f + %fi\n", creal(x2), cimag(x2));double x3 = -(s + t) / 2 - b / (3 * a) - (s - t) * sqrt(3) / 2 * I; printf("x3 = %f + %fi\n", creal(x3), cimag(x3));}int main() {double a, b, c, d;printf("请输入一元三次方程的系数：\n");printf("a = ");scanf("%lf", &a);printf("b = ");scanf("%lf", &b);printf("c = ");scanf("%lf", &c);printf("d = ");scanf("%lf", &d);solveCubicEquation(a, b, c, d);return 0;}```在这个程序中，我们定义了一个名为cubicroot的函数，用于计算一个数的立方根。

一元三次方程的卡尔丹公式与盛金公式（使用软件公式编辑器编辑的精华版）一元三次方程的解法的历史人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。

古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。

在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。

在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。

那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。

数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳（Niccolo Fontana）。

冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。

由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia），也就是意大利语中“结巴”的意思。

后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。

经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。

这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。

但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世。

当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。

他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。

可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。

虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。

后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。

冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。

一元三次方程的解法七——盛金公式法-待定系数法本方基于MMA,给出了一元三次方程标准式,精简式和一般式盛金公式法-待定系数法的求解过程,并通过韦达定理进行验证。

一.一元三次方程1.一般式：a x3+b x2+c x+d=0(a≠0)2.标准式：x3+p x+q=0其中,p=3a c-b23a2,q=2b3-9a b c+27a2d27a3。

3.精简式：x3+3r x+2s=0其中,r=3a c-b29a2,s=2b3-9a b c+27a2d54a3。

二.待定系数法-盛金公式法1.标准式：x3+p x+q=0设标准式：x3+p x+q=0的三根为x1=-h-k3,x2=-ωh-ω2k3,x3=-ω2h-ωk3。

其中,h,k为待定系数。

则有x1+x2+x3=0,x1x2+x1x3+x2x3=-h k 3,x1x2x3=-h3+k3 27。

根据韦达定理,得-h k3=p 1-h3+k327=-q 2由 1 得,h k=-3p,h3k3=-27p3。

代入 2 得,h3+k3=27q。

则h3,y3是关于t的一元二次方程t2-27q t-27p3=0的两根。

t1,2=329q±12p3+81q2。

h,k有六组根,只需取最简结的一组。

当h=329q+12p3+81q23≠0,取k=-3ph。

当h=0时,p=0,标准方程简化为x3+q=0。

此时,k=3q3。

综合,得x1=-h-k3,x2=-ωh-ω2k3,x3=-ω2h-ωk3。

其中,h=329q+12p3+81q23p≠0 0p=0,k=-3php≠03q3p=0,ω=2清除全部ClearAll[p,q,h,k]h=329q+12p3+81q23;k=-3ph;ω=2x1=-h-k3;x2=-ωh-ω2k3;x3=-ω2h-ωk3;完全简化FullSimplify[{x1+x2+x3,x1x2+x1x3+x2x3,x1x2x3}]{0,p,-q}2 4.2 方程的解法\\附录2 一元三次方程\\一元三次方程的13种解法\\一元三次方程的解法七——盛金公式法-待定系数法.nb清除全部ClearAll [p,q,h,k ]h =0;k =3q 3;ω=2x 1=-k3;x 2=-ω2k3;x 3=-ωk3;完全简化FullSimplify [{x 1+x 2+x 3,x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3,x 1x 2x 3}]{0,0,-q }2.精简式：x 3+3r x +2s =0设精简式：x 3+3r x +2s =0的三根为x 1=-h -k 3,x 2=-ωh -ω2k 3,x 3=-ω2h -ωk3。

一元三次方程的标准型为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。

两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。

由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。

定义在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。

标准型形如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）的方程是一元三次方程的标准型。

公式解法1．卡尔丹公式法（卡尔达诺公式法）特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0(p、q∈R)判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3【卡尔丹公式】X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；X2=(Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。

标准型一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0令X=Y—b/(3a)代入上式，可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。

【卡尔丹判别法】当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根２．盛金公式法三次方程应用广泛。

用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

范盛金推导出一套直接用a 、b 、c 、d 表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

【盛金公式】一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX ＋d=0，（a ，b ，c ，d ∈R ，且a≠0）。