2.2.1认识椭圆

2．2 椭 圆2．2.1 椭圆及其标准方程1.了解椭圆的实际背景，理解从具体情境中抽象出椭圆的过程．2.掌握椭圆的定义与标准方程．3．通过对椭圆及其标准方程的学习，了解用坐标法研究曲线的基本步骤．, [学生用书P24])1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)焦点：两个定点F 1，F 2.(3)焦距：两焦点间的距离|F 1F 2|.(4)几何表示：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (常数)且2a ＞|F 1F 2|.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) (2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( )(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a 2＝b 2＋c 2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案：D3．已知两焦点坐标分别为(2，0)和(－2，0)，且经过点(5，0)的椭圆的标准方程为( ) A ．x 216＋y 225＝1B ．x 225＋y 216＝1C ．x 225＋y 221＝1D ．x 29＋y 225＝1答案：C4．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是________．答案：(0，±12)5．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P 到定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离的和等于点M (5，3)到定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离的和，则点P 的轨迹为椭圆．解析：①因为2＜2，所以点P 的轨迹不存在；②因为|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；④因为点M (5，3)到定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离的和为410＞8，所以点P 的轨迹为椭圆．故填②④.答案：②④求椭圆的标准方程[学生用书P25](1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．【解】 (1)法一：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋ ⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322＝210， 所以a ＝10.又因为c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. 因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.法二：设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6.所以所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)法一：当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)因为椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， 所以⎩⎨⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，与a ＞b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )． 因为椭圆过(2，0)和(0，1)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a ＞b ＞0这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26. 解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为2a ＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－3＝16.所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为2a ＝26，2c ＝10，所以a ＝13，c ＝5.所以b 2＝a 2－c 2＝144.所以所求椭圆标准方程为y 2169＋x 2144＝1.椭圆定义的应用[学生用书P25]已知P 为椭圆x 212＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【解】 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.①由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝43， 即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4. 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3.1．[变条件]若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠F 1PF 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． 解：由椭圆x 212＋y 23＝1知|PF 1|＋|PF 2|＝43，|F 1F 2|＝6，因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝36， 所以|PF 1|·|PF 2|＝6， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝3.2．[变条件]若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠PF 1F 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． 解：由已知得a ＝23，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝12－3＝3.从而|F 1F 2|＝2c ＝6. 在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋36，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×23＝43， 所以|PF 2|＝43－|PF 1|.从而有(43－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋36.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×6＝332，即△PF 1F 2的面积是332.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解．已知AB 是过椭圆49x 2＋y 2＝1的左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝4，其中F 2为椭圆的右焦点，则|AB |＝________．解析：由椭圆定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6. 所以|AF 1|＋|BF 1|＝6－4＝2，即|AB |＝2. 答案：2求与椭圆有关的轨迹方程[学生用书P26]如图所示，已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动圆圆心P 到两定点A (－3，0)和B (3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8＞|AB |，所以动圆圆心P 的轨迹是以A ，B 为左，右焦点的椭圆，其中c ＝3，a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－32＝7，其轨迹方程为x 216＋y 27＝1.利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4，0)，C (4，0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，c ＝4，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．1．对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．2．对椭圆标准方程的两点认识(1)标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴或y 轴上．(2)标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于x a 与yb 的平方和，并且分母为不相等的正值．注意：焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同． 3．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法 (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．注意：求轨迹方程时注意求得的方程中的自变量的取值范围．1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件．2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7 解析：选D.由椭圆方程知a ＝5，根据椭圆定义有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.3．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选B.由4＝25－m 2(m >0)，解得m ＝3.4．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则m 满足的条件是______．解析：由方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，解得m >12且m ≠1.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >12且m ≠1 5．求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．解：因为所求椭圆与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝25－9＝16.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.①又点P (3，15)在所求椭圆上，所以32a 2＋（15）2b 2＝1，即9a 2＋15b2＝1.② 由①②得a 2＝36，b 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1., [学生用书P105(单独成册)])[A 基础达标]1．平面内，若点M 到定点F 1(0，－1)，F 2(0，1)的距离之和为2，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．直线F 1F 2 C ．线段F 1F 2 D ．直线F 1F 2的垂直平分线解析：选C.由|MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|知，点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2.2．方程x 2k －4＋y 210－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(4，7)C ．(7，10)D ．(4，10)解析：选C.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，所以7<k <10.3．(2017·郑州高二检测)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．32解析：选B.设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8.因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.4．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 212＋y 29＝1B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1C ．x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1解析：选B.由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝ 3. 因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， 所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的焦点F (1，0)，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝( )A ． 3B ．2C ． 2D ．3解析：选C.如图所示，设l 与x 轴交于点A 1，过B 点作x 轴的垂线BB 1，交x 轴于点B 1，设|AF →|＝t ，则|FB →|＝t 3，得：|AA 1→|＝t 2－1，|BB 1→|＝t 2－13，|FB 1→|＝13，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，t 2－13， 代入椭圆方程得：⎝⎛⎭⎫4322＋t 2－19＝1，得：t ＝ 2.6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知2a ＝8，2c ＝215， 所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y 轴上， 所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝17．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝6，且|PF 1|＝4，知|PF 2|＝2. 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.所以∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°8．已知椭圆的焦点F 1，F 2在x 轴上，且a ＝2c ，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆的标准方程为________．解析：根据椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，则a ＝4，因为a ＝2c ，所以c ＝22，则b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.故椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝19．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点的椭圆(点x ＝－2除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)． 10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142. 解：(1)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与a >b >0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1， 解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14， 所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. [B 能力提升] 11．(2017·唐山高二检测)已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选B.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，因为|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32. 又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2，即∠MF 2F 1＝90°，所以△MF 1F 2为直角三角形．12．已知椭圆C 1：mx 2＋y 2＝8与椭圆C 2：9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则m 的值为________． 解析：将椭圆C 1化成标准方程为x 28m＋y 28＝1， C 2化成标准方程为x 21009＋y 24＝1. 设椭圆C 2的焦距为2c ，则c 2＝1009－4＝649. 当椭圆C 1的焦点在x 轴上时，因为椭圆C 1与椭圆C 2的焦距相等． 所以8m －8＝649，解得m ＝917. 当椭圆C 1的焦点在y 轴上时，因为椭圆C 1与椭圆C 2的焦距相等． 所以8－8m ＝649，解得m ＝9. 综上可知，m ＝9或m ＝917. 答案：9或91713. 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△POF 2为面积是3的正三角形，试求椭圆的标准方程．解：由△POF 2为面积是3的正三角形得，|PO |＝|PF 2|＝|OF 2|＝2，所以c ＝2. 连接PF 1，在△POF 1中，|PO |＝|OF 1|＝2，∠POF 1＝120°，所以|PF 1|＝2 3.所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2＋23，所以a ＝1＋3，所以b 2＝a 2－c 2＝4＋23－4＝2 3. 所以所求椭圆的标准方程为x 24＋23＋y 223＝1. 14．(选做题)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1|·|PF 2|的最大值．(2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF →1＝λ CF →1，求λ的值．(3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值．解：(1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3， 即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫422＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4.(2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)，由BF →1＝λ CF →1得x 0＝3（1－λ）λ，y 0＝－1λ. 又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1，C 异于B 点，故λ＝1舍去．所以λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|，所以△PBF 1的周长≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，△PBF 1周长最大，最大值为8.。

2.2.1椭圆及其标准方程（1）教学目标:重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：椭圆标准方程的建立和推导．知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义；2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错.拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课【创设情景】材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料2：20XX 年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片．【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆． 学生分组做试验,教师同时做好指导:按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）思考:点M 运动时，12,F F 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程， 师生共同总结规律：当1212||||||MF MF F F +> 时,M 点的轨迹为椭圆；当1212||||||MF MF F F +=时,M 点的轨迹为线段1F 2F ； 当1212||||||MF MF F F +<时,M 点的轨迹不存在． 【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．二、探究新知 （一）归纳定义思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？设椭圆上任一点为M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.（二）椭圆标准方程的推导复习提问求曲线方程的一般步骤：（教师提问，针对对于学生回答情况做一总结） （1）建系、设点;（2）写出点的集合;（3）列式;（4）化简;（5）证明. 思考：如何建系，才能使求出的方程最简呢？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较。

§2.2.1 椭圆及其标准方程一、教学目标1.知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．2.能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．二、重点、难点1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．2．难点：椭圆的标准方程的推导．三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．四、教学过程(一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．问题2：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……认识椭圆（幻灯片）在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)F1(-c，0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；F1(-c，0)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．，，(三)例题与练习例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为∵ 2a ＝10，2c ＝8，∴ a ＝5，c ＝4．∴ b2=a2－c2=52－42=9．所以所求椭圆的标准方程为(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，又c=2，∴ b2=a2－c2＝10－4=6．所以所求椭圆的标准方程为练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点A (0,2)和B (12，3)． 【解】 (1)a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设所求椭圆的标准方程为 Mx 2＋Ny 2＝1(M ＞0，N ＞0，M ≠N )．∵椭圆经过A (0,2)和B (12，3)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧M ·0＋N ·4＝1M ·14＋N ·3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ M ＝1N ＝14. ∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. (四)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：F1(-c ，0)，F2(c ，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．3.讨论了求椭圆标准方程的方法：注意：求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点应在所得方程后注明限制条件。