哈尔滨市高二上学期数学10月月考试卷B卷

黑龙江省高二上学期10月月考数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·金华月考) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·桂林期中) 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A .B .C .D . 或3. （2分） (2019高二上·吉林期中) 等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=（）A . 9B . 12C . 15D . 164. （2分） (2017高二上·汕头月考) 在等比数列中，，则a6=（）A . 6B . ±8C . -8D . 85. （2分） (2019高一下·凯里月考) 若数列与均为等差数列（其中），则（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·河北模拟) 的内角，，的对边分别为，， .若，，，则（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·鹤壁模拟) 数列的通项公式，其前项和为，则（）A .B .C .D .8. （2分）已知0＜a＜，tanα= ，则sinβ=（）A .B .C .D . ﹣9. （2分）已知数列的前项和，则（）A . 36B . 35C . 34D . 3310. （2分） (2015高三上·滨州期末) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5 ， b7＝a7 ，则b6的值为（）A .B .C .D . 无法确定11. （2分） (2020高二下·丽水期末) 已知数列满足（），（），则下列说法中错误的是（）A . 若，则数列为递增数列B . 若数列为递增数列，则C . 存在实数，使数列为常数数列D . 存在实数，使恒成立12. （2分） (2016高二下·河北期末) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a= ，c=2，cosA= ，则b=（）A .B .C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·泉州模拟) △ABC中，D为线段BC的中点，AB=2AC=2，tan∠CAD=sin∠B AC，则BC=________．14. （1分） (2019高三上·吴江月考) 在边长为1的菱形中，，若点为对角线上一点，则的最大值为________．15. （1分） (2019高二上·拉萨期中) 在中，角所对的边分别为．已知，则的面积为________．16. （1分）(2017·石家庄模拟) 已知数列{an}满足，an+1bn=bn+1an+bn ，且（n∈N*），则数列{an}的前2n项和S2n取最大值时，n=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2020高一下·海淀期中) 如图,在等腰直角三角形中, ,点M 在线段PQ上.（1）若 ,求PM的长；（2）若点在线段上,且 ,求△ 的面积.18. （10分） (2019高一下·山西月考) 已知等差数列满足，前3项和 .（1）求的通项公式.（2）设等比数列满足，求的前项和 .19. （10分）(2018·河北模拟) 如图所示，在三棱锥中，平面平面，，，， .（1）证明：平面；（2）若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.20. （10分）(2019·南通模拟) 如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，的长分别为和，上部是圆心为的劣弧，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设与地面水平线所成的角为．记拱门上的点到地面的最大距离为，试用的函数表示，并求出的最大值．21. （10分） (2019高二上·济南月考) 已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128.(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若bn＝，且数列{bn}的前项和为Sn＝360，求的值.22. （5分） (2020高二下·东台期中) 已知数列满足 .（1）求证:数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设，求数列的前项和 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知向量()2,3,4a =，()1,2,0b =，则a b +等于（ ）A ．B ．C ．D 【答案】C【分析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.【详解】由()2,3,4a =，()1,2,0b =，得()3,5,4a b +=，因此23a b +=+故选：C.2．焦点坐标为()0,4-，（0，4），且长半轴6a =的椭圆方程为（ ）A ．2213620x y +=B ．2212036x y +=C ．2213616x y +=D ．2211636x y +=【答案】B【分析】根据题意可知4,6c a ==，即可由222b a c =-求出2b ，再根据焦点位置得出椭圆方程．【详解】因为4,6c a ==，所以22220b a c =-=，而焦点在y 轴上，所以椭圆方程为2212036x y +=． 故选：B ．3．若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =--，平面α的一个法向量为()2,4,2b =-，则（ ） A ．l ⊂α B ．//l α C ．l α⊥ D ．//l α或l ⊂α【答案】C【分析】推导出//a b ，利用空间向量法可得出线面关系.【详解】因为()1,2,1a =--，()2,4,2b =-，则2b a =-，即//a b ，因此，l α⊥. 故选：C.4．已知圆1C 的圆心在x 轴上，半径为1，且过点2,1，圆2C ：()()224210x y -+-=，则圆1C ，2C 的公共弦长为A B ．C D ．2【答案】A【解析】根据题意设圆1C 方程为:22()1x a y -+=,代点(2,1)-即可求出a ,进而求出1C 方程,两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长. 【详解】设圆1C 的圆心为(,0)a ,则其标准方程为:22()1x a y -+=, 将点(2,1)-代入1C 方程,解得2a =, 故1C 方程为:22(2)1x y -+=,两圆1C ,2C 方程作差得其公共弦所在直线方程为:4470x y +-=,圆心()12,0C 8=,因此公共弦长为故选:A.【点睛】本题综合考查圆的方程及直线与圆,圆与圆位置关系,属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定理解决问题.5．圆()2224x y +-=与圆：222210x mx y m +++-=至少有三条公切线，则m 的取值范围是（ ）A ．(,-∞ B ．[)5,+∞C ．⎡⎣D ．(),-∞⋃+∞【答案】D【分析】21+即可得答案.【详解】解：圆222210x mx y m +++-=，即()221x m y ++=，其圆心为(,0)m -，半径=1r ，圆()2224x y +-=，其圆心为(0,2)，半径=2R ， 若两圆至少有三条公切线，则两圆外切或外离，21≥+，解得：m ≥m ≤所以，m的取值范围为：(),-∞⋃+∞，故选：D ．6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在无数个点P ，满足：12π2F PF ∠>，则ba 的取值范围为（ ）A．⎛ ⎝⎭B．2⎫⎪⎪⎝⎭C．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．2⎛ ⎝⎭【答案】D【分析】由题意得到以12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点，进而得到c b >，求出ba的取值范围.【详解】设椭圆的半焦距为c ，因为C 上存在无数个点P 满足：12π2F PF ∠>， 所以以12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点， 所以c b >，所以222a b b ->，所以0b a <<故选：D7．已知圆C 的方程为()()22111x y -+-=，直线l ：()()321210t x t y t -+-+-=恒过定点A .若一条光线从点A 射出，经直线50x y --=上一点M 反射后到达圆C 上的一点N ，则AM MN +的最小值为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】A【分析】先求得定点A 的坐标，再去求点A 关于直线50x y --=的对称点B 的坐标，再去求点B 到圆C 上一点N 距离的最小值即为AM MN +的最小值. 【详解】圆()()22111x y -+-=的圆心()1,1C ，半径1r =直线l 可化为()31220x y t x y -----=，令310220x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得14x y =-⎧⎨=-⎩，所以定点A 的坐标为()1,4--.设点()1,4A --关于直线50x y --=的对称点为(),B a b ， 由411145022b a a b +⎧=-⎪⎪+⎨--⎪--=⎪⎩，解得16a b =⎧⎨=-⎩，所以点B 坐标为()1,6-.由线段垂直平分线的性质可知，AM BM =， 所以716AM MN BM MN BN BC r +=+≥≥-=-= （当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时等号成立）， 所以AM MN +的最小值为6. 故选：A8．已知P 是直线l ：x ＋y －7＝0上任意一点，过点P 作两条直线与圆C ：()2214x y ++=相切，切点分别为A ，B .则｜AB ｜的最小值为（ ）AB C ．D 【答案】A【分析】根据直线与圆相切的几何性质可知，当||PC 取得最小值时，cos ACP ∠最大，||AB 的值最小，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，进而可求此时||AB =【详解】圆C 是以(1,0)C -为圆心，2为半径的圆，由题可知，当ACP ∠最小时，||AB 的值最小. ||2cos ||||AC ACP PC PC ∠==，当||PC 取得最小值时，cos ACP ∠最大，ACP ∠最小，点C 到直线l 的距离d ==||PC =cos ACP ∠最大，且最大，此时||||sin 2||44AB AB ACP AC ∠===||AB =故选：A9．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（ ）A 2B 3C 5D 6 【答案】B【分析】由题意如图所示，由球的半径可得|BF |，||BO 的值，进而可得BOF ODM ∠=∠的正弦值，求出||OD 的值，即求出a 的值，由圆柱的底面半径可得2b 的值，即求出b 的值，进而求出c 的值，再求出离心率的值．【详解】解：如图所示，1BF =，2BO =，1sin 2BOF ∠=，则11sin 2OM ODM OD OD∠===， 2OD ∴=，即2a =，而22b =，即1b =，所以22413c a b =-- 所以离心率3c e a ==故选：B ．10．已知圆()()2221:37C x y a a ++=>和()222:31C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C △的内心，且12123PMC PMC PC C S S S +=△△△，则a 的值为（ ） A ．9 B ．11 C ．17或19 D ．19【答案】C【分析】由两圆方程得圆2C 内含于圆1C ，由P 是12MC C △的内心，且12123PMC PMC PC C S S S +=△△△得12123C M C M C C +=，动圆M 内切于圆1C ，分别讨论圆2C 内切、外切于动圆M ，由圆心距得121C M C M a +=±，即可求解【详解】根据题意：圆()()2221:37C x y a a ++=>，其圆心()13,0C -，半径1R a =，圆()222:31C x y -+=，其圆心()23,0C ，半径21R =，又因为7a >，所以圆心距121261C C R R a =<+=+，所以圆2C 内含于圆1C ， 因为P 为12MC C △的内心，设内切圆的半径为0r ，又由12123PMC PMC PC C S S S +=△△△，则有10201201113222C M r C M r C C r ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯，得12123C M C M C C +=， 因为动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，设圆M 的半径为r ，（1）当动圆M 内切于圆1C ，与圆2C 外切（r a <），则有11C M R r a r =-=-，221C M R r r =+=+，所以121C M C M a +=+，所以123181C C a ==+，得a ＝17；（2）当动圆M 内切于圆1C ，圆2C 内切于动圆M ，则有11C M R r a r =-=-，221C M r R r =-=-，所以121C M C M a +=-，所以123181C C a ==-，得a ＝19. 综上可得：a ＝17或19； 故选：C ．二、多选题11．已知椭圆2212y x +=的上下焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为1A ，2A ，P 是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．该椭圆的长轴长为2B ．使12PF F △为直角三角形的点P 共有6个C ．12PF F △的面积的最大值为1D ．若点P 是异于1A ､2A 的点，则直线1PA 与2PA 的斜率的乘积等于-2 【答案】BCD【分析】依题意作图，分别求出椭圆的,,a b c ，然后逐项分析判断. 【详解】依题意作下图：对于A ，由题可知222222,1,1===-=a b c a b ，所以长轴长为222a = ，A 错误；对于B ，()()120,1,0,1F F - ，分别过12,F F 作平行于x 轴的直线与椭圆有4个交点1234,,,P P P P ，当点P 与这4个点重合时，12PF F △ 为直角三角形；以原点O 为圆心，11OF = 为半径作圆，与椭圆有2个交点，证明如下：联立方程：2222112x y y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，解得10x y =±⎧⎨=⎩ ，故交点为12,A A ，即当点P 与12,A A 重合时， 12PF F △ 为直角三角形，共有6个直角三角形，B 正确；对于C ，当点P 与1A 或2A 重合时，12PF F △面积最大122112F F OA =⨯⨯= ，C 正确；对于D，运用参数方程，设()()()cos 0,2,P αααπαπ∈≠ ，同时有：()()121,0,1,0A A - ，则有：12PA PA k k == ，12222sin 2cos 1PA PA k k αα==-- ，D 正确； 故选：BCD.12．设有一组圆()()()22:4R k C x k y k k -+-=∈，下列命题正确的是（ ） A ．不论k 如何变化，圆心k C 始终在一条直线上 B ．存在圆k C 经过点（3，0） C ．存在定直线始终与圆kC 相切D ．若圆k C 上总存在两点到原点的距离为1，则k ⎛∈⋃ ⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【分析】对于A ，考查圆心k C 的横纵坐标关系即可判断；对于B ，把3x =，0y = 代入圆k C 方程，由关于k 的方程根的情况作出判断； 对于C ，判断圆心k C 到直线0x y -± 距离与半径的关系即可； 对于D ，圆k C 与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答．【详解】解：根据题意，圆22:()()4(R)k C x k y k k -+-=∈，其圆心为(,)k k ，半径为2， 依次分析选项：对于A ，圆心为(,)k k ，其圆心在直线y x =上，A 正确； 对于B ，圆22:()()4k C x k y k -+-=，将(3,0)代入圆的方程可得22(3)(0)4k k -+-=， 化简得22650k k -+=，364040∆=-=-<，方程无解，所以不存在圆k C 经过点()3,0，B 错误；对于C ，存在直线y x =±，即0x y -+=或0x y --=，圆心(,)k k 到直线0x y -+=或0x y --=的距离2d ==， 这两条直线始终与圆k C 相切，C 正确，对于D ，若圆k C 上总存在两点到原点的距离为1， 问题转化为圆221x y +=与圆k C 有两个交点，，则有1|3k <，解可得：k <<k ，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题13．若直线123:34,:0,:234l x y l x y l x my +=-=-=不能构成三角形，则m 的取值集合是________.【答案】222,,339⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【分析】首先解出直线12,l l 的交点，若三条直线不能构成三角形，则3l 过直线12,l l 的交点，或者3l 与直线12,l l 其中一条直线平行，分三种情况讨论，求出m 的值，得到答案.【详解】由340x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 与2l 的交点为M （1，1），因为直线123:34,:0,:234l x y l x y l x my +=-=-=不能构成三角形， 所以3l 过点M 或31//l l 或32//l l ，若3l 过点M ，则234m -=，即23m =-，若31//l l ，则233m =-，即29m =-， 若32//l l ，则213m =，即23m =,综上，m 的取值集合为222,,339⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.故答案为：222,,339⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.14．过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =， 所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ， 所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即20x y +-=；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=. 故答案为：20x y +-=15．点(2,2)P -到直线()()()212320x y λλλ+-+-+=的距离的取值范围是______．【答案】0,⎡⎣【分析】直接根据点线距公式求解即可.【详解】解：设点(2,2)P -到直线()()()212320x y λλλ+-+-+=的距离为d ，则d ====因为23112222λ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，所以[)2120,231222λ-+∈⎛⎫++⎪⎝⎭，所以0,⎡⎣，所以0,d ⎡=⎣故答案为：0,⎡⎣16．经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆2242200x y x y +-+-=相交于AC BD ，，，四点，有下列结论： ①弦AC长度的最小值为 ②线段BO长度的最大值为10③四边形ABCD面积的取值范围为⎡⎤⎣⎦．其中所有正确结论的序号为______． 【答案】①③【分析】由题知圆心(2,1)E -，半径=5r ，进而根据OE AC ⊥时AC 长度的最小求解判断①；根据BO 长度最大，则圆心与B O ，共线且在它们中间求解判断②；设12,d d 分别为圆心(2,1)E -到直线AC 和BD 的距离，根据222125d d OE +==，12ABCD S AC BD =计算求解判断③.【详解】解：由题设()()222125x y -++=，则圆心(2,1)E -，半径=5r ， 由圆的性质知：当OE AC ⊥时，即圆心与直线AC 距离最大时，AC 长度的最小， 此时，圆心到直线AC2AC ==①正确；BO 长度最大，则圆心与B O ，共线且在它们中间，此时5BO r ==，②错误； 设12,d d 分别为圆心(2,1)E -到直线AC 和BD 的距离，所以，AC =，BD =因为直线AC 和BD 经过坐标原点O 且互相垂直，所以222125d d OE +==， 所以12ABCD S AC BD == 令[]222150,5t d d ==-∈，所以，ABCD S ==当52t =，即12d d ==时，()max 45ABCD S =，当=0t 或=5t ，即10d =，2d =或1d 20d =时，()min ABCD S =所以ABCD S ⎡⎤∈⎣⎦，③正确． 故答案为：①③．四、解答题17．已知圆22:4670C x y x y +--+=，点(1,0)P ． (1)过P 作圆C 的切线，求切线方程； (2)过P 作直线与圆C 交于A ，B 两点，且2AB ，求直线AB 的方程【答案】(1)1)y x =-或1)y x =- (2)1122y x =-或22y x =-+【分析】（1）根据题意，设所求切线方程为()=1y k x -，再根据圆心到直线的距离为半径列式解方程即可求解；（2）根据题意得圆心到直线AB AB 的方程为()=1y k x -，再根据圆心到直线的距离为半径列式解方程即可求解；【详解】(1)解：由题知圆()()22:2+3=6C x y --，即圆心为()2,3C ，半径为r =因为()()2212+03>6--，所以点(1,0)P 在圆C 外，所以，当切线斜率不存在时，方程为=1x ，此时与圆C 相交，不满足题意； 故设所求切线的斜率为k ，方程为()=1y k x -， 因为()=1y k x -与圆C 相切，，即25+63=0k k -，解得k所以，所求切线方程为1)y x -或1)y x -(2)因为2AB，所以圆心到直线AB当切线斜率不存在时，方程为=1x ，圆心到直线AB 的距离为1，不满足题意； 所以，设直线AB 的方程为()=1y k x -， 所以，235=1+k k -，即22+32=0k k -，解得12k =或=2k -， 所以，直线AB 的方程为11=22y x -或=2+2y x -18．过点(2,1)P 作直线l 分别交,x y 轴正半轴于,A B 两点 (1)当AOB 面积最小时，求直线l 的方程; (2)当PA PB ⋅取最小值时，求直线l 的方程 【答案】(1)240x y +-=； (2)30x y +-=【分析】（1）由题设截距式方程，然后利用均值不等式及三角形面积公式即得； （2）设出直线方程的点斜式，利用两点间距离公式及均值不等式即得. 【详解】(1)设所求的直线l 方程为1x ya b+=(0,0)a b >>,则211a b+=， ∴221212a b a b ⎛⎫+ ⎪⋅≤ ⎪ ⎪⎝⎭14=,当且仅当2112a b ==,即4,2a b ==时取等号,∴AOBS142ab =≥, 此时直线l 的方程为142x y +=,即240x y +-=； (2)设直线l :()12y k x -=-,0k <，分别令0,0y x ==，得()12,0,0,12A k B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭-，又(2,1)P ，则()221441PA PB k k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⋅22184k k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭4≥，当且仅当21k =，即1k =±时，取等号， 又0k <,∴1k =-，此时直线l 的方程为30x y +-=.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>33⎛ ⎝⎭在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程； (2)若圆222:(1)(0)M x y r r ++=>上的点都在椭圆内部，求r 的取值范围．【答案】(1)2214x y +=(2)⎛ ⎝⎭【分析】（1）由椭圆过点及离心率列方程组解出参数即可；（2）由椭圆方程，设椭圆上的点()2cos ,sin P αα=，则圆M 上的点都在椭圆内部等价于22PM r >恒成立，结合三角函数求2PM 最小值即可 【详解】(1)由题意得222222222221+=1===abc a b e a a -⎧⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎪⎪⎝⎭⎩，解得22=1=4b a ⎧⎨⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=； (2)由椭圆方程，可设椭圆上的点()2cos ,sin P αα=，()1,0M =-，∵圆M 上的点都在椭圆内部，故()22222cos 1sin PM r αα=++>恒成立，即222223cos 4cos 23cos 33r ααα⎛⎫<++=++ ⎪⎝⎭，故223r <，∴r的取值范围为⎛ ⎝⎭20．的椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于,A B两点，AB =． （1）求此椭圆的方程；（2）已知直线2y kx =+与椭圆交于,C D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点()1,0E -，求k 的值．【答案】（1）2213x y +=；（2）76k =．【详解】试题分析：（1）设焦距2,c c e a ==（2）将2y kx =+代入椭圆的方程，得()22131290k x kx +++=，由0∆>，得到21k >，再由韦达定理得到1221213kx x k +=-+，122913x x k =+，利用平面向量化简，列出方程，即可求解k 的值．试题解析：（1）设焦距为22226332,,,,,1,3333c b b c e a b c b a a a a ===+∴==∴==,∴椭圆的方程为2213x y +=． （2）将2y kx =+代入椭圆的方程，得()22131290k x kx +++=, 又直线与椭圆有两个交点，所以()()221236130k k ∆=-+>, 解得21k >．设()()1122,,,C x y D x y ,则121222129,1313k x x x x k k +=-=++, 若以CD 为直径的圆过E 点，则·0EC ED =, 即()()1212110x x y y +++=,而()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++, 则()()()()()()()221212121222911221111215501313k k k x x y y kx x k x x k k +++++=+++++=-+=++,解得76k =,满足21k >． 【解析】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中把直线方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、韦达定理化简运算是解答的关键，试题运算量大，思维难度深，属于中档试题．21．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==，且点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．请用空间向量知识解答下列问题：（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求平面1ACD 与平面1ACB 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）1010. 【分析】以A 为原点，1AC AB AA 、、为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法证明或计算：（1）分别求出MN 和面ABCD 的一个法向量()=0,0,1n ，由·=0MN n 即可证明； （2）分别求出平面1ACD 与平面1ACB 的法向量，用向量法计算.【详解】（1）如图，以A 为原点，1AC AB AA 、、为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，依题意可得：()()()()()()()()11110,0,0,0,1,0,2,0,0,0,0,2,0,1,2,2,0,2,1,2,0,1,2,2A B C A B C D D --因为点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点， 所以()11,,1,1,2,12M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以5=0,,02MN ⎛⎫ ⎪⎝⎭.显然()=0,0,1n 是面ABCD 的一个法向量，因为()5=0,0,10,,0=000=02MN n ⎛⎫⋅⋅++ ⎪⎝⎭，又MN ⊄面ABCD ,所以//MN 平面ABCD ；（2）()()1`=2,0,0,=1,2,2,AC AD -设()1=,,m x y z 为面ACD 1的一个法向量，则()()()()111`·=,,?2,0,020·=,,?1,2,2220m AC x y z x m AD x y z x y z ⎧==⎪⎨-=-+=⎪⎩ 不妨设y =1，则()1=0,1,1m .同理可求面1ACB 的一个法向量()2=0,2,1m -.设平面1ACD 与平面1ACB 夹角为θ，由图示0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，，所以121212cos cos ,0m m m m m m θ===⨯ 即平面1ACD 与平面1ACB 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.22．椭圆的两个焦点是1(0,2)F -，2(0,2)F ，点2)P 在椭圆上． (1)求此椭圆方程；(2)过2F 做两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，求四边形ABCD 面积的取值范围． 【答案】(1)22184y x +=(2)64,89S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由条件求出,a b ，即可写出椭圆方程；(2)将过2F 的两直线分为斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，联立直线和椭圆方程，按照对角线互相垂直求出四边形ABCD 的面积，再对四边形ABCD 的面积表达式求范围；当有一条直线的斜率不存在时，线段AB 和CD 中有一条是椭圆长轴长，另一条是通径，直接计算ABCD 的面积，即可求出ABCD 的取值范围. 【详解】(1)由题意，()2=22=4,=2c c -- ，因焦点在y 轴，设椭圆方程为22221y x a b+= ，将点P 的坐标代入上式得：22421a b += ，联立方程222242+=1=4+a ba b⎧⎪⎨⎪⎩ ，解得228,4a b == ，a =，∴椭圆方程为22184y x += ； (2)如图：当过2F 的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为=+2y kx ，直线CD 的方程为1=+2y x k- ， 设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立直线AB 与椭圆方程22+=184=+2y x y kx ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得：221111++=04822k x kx -⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 由韦达定理得12122244+=,?=+2+2k x x x x k k -- ，线段AB 的长为()22221212122+1=1+=1++4?=42+2k AB k x k x x x x k -- ，同理联立直线CD 与椭圆方程得到223421+1=1+=422+1k CD x x k k --⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB CD ⊥ ，所以四边形ABCD 的面积()()()2222+11==162+22+1k S AB CD k k ⨯ ()221=8111+1+12+1k k -⨯⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 令()()2211=1+1+12+1f k k k -⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，211t k =+ ，则有0<<1t ， ()()1=1+12g t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，是关于t 的二次函数，当0<<1t 时，其取值范围是()91g 8t ≤＜ ，64<89S ≤∴； 当直线AB 或CD 有一条斜率不存在时，不妨设=0k ，则直线AB 的方程为=2y ，代入椭圆方程，得2x =，22AB = ，242CD a ==，四边形ABCD 的面积为1=?=82S AB CD ； 所以四边形ABCD 的取值范围是64,88S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上，椭圆方程为22184y x+=，四边形ABCD的取值范围是64,88S⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】熟练运用韦达定理很重要，求出S的表达式后，需要对表达式作处理，变换成二次函数的形式才便于求出其范围，如果运用导数，则计算会很复杂.。

2023-202410一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量，，则等于()A. B. C. D.2.焦点坐标为，，且长半轴长为6的椭圆方程为()A. B. C. D.3.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则()A. B. C. D.或4.已知圆的圆心在x轴上，半径为1，且过点，圆，则圆，C2的公共弦长为()A. B. C.D.25.圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是()A. B.C. D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若C上存在无数个点P，满足：,则的取值范围为()A.B.C.D.0号7.已知圆C的方程为，直线l：恒过定点若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为()A.6B.5C.4D.38.已知P是直线上任意一点，过点P作两条直线与圆相切，切点分别为A，则的最小值为()A. B. C. D.9.如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.10.已知圆和，动圆M与圆，圆均相切，P是△MC1C2的内心，且，则a的值为()A.9B.11C.17或19D.19二、多选题：本题共2小题，共10分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

11.已知椭圆的上下焦点分别为，，左右顶点分别为，，P是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是()A.该椭圆的长轴长为B.使为直角三角形的点P共有6个C.的面积的最大值为1D.若点P是异于、的点，则直线与的斜率的乘积等于-212.设有一组圆，下列命题正确的是()A.不论k如何变化，圆心始终在一条直线上B.存在圆经过点,0)C.存在定直线始终与圆相切D.若圆上总存在两点到原点的距离为1，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省哈尔滨市数学高二上学期10月文数月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，则角所在的象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2019高一下·上海月考) 在中，，则（）A . 或B . 或C .D .3. （2分）已知点A（2008，5，12），B（14，2，8），将向量按向量 =（2009，4，27）平移，所得到的向量坐标是（）A . （1994，3，4）B . （﹣1994，﹣3，﹣4）C . （15，1，23）D . （4003，7，31）4. （2分）已知=1，=，=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设=m+n（m，n∈Ｒ），则=（）A .B .C .D . 15. （2分）已知向量若，则实数k的取值为（）A .B .C . -3D . 3．6. （2分）等差数列中，已知前15项的和，则等于（）A .B . 6C .D . 127. （2分） (2018高一下·大连期末) （）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·利辛月考) 已知为等比数列，若，则（）A . -32B . 96C . -32或96D . -96或329. （2分） (2016高一下·黄石期中) sin34°sin26°﹣cos34°cos26°=（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·乌兰察布期末) 的值为（）A .B .C .D .11. （2分）平面向量与的夹角为60°且||=2，||=1，则向量+2的模为（）A . 2B . 12C . 3D . 1012. （2分） (2015高三上·包头期末) 已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A . ﹣1B . -C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·红桥期末) 的值是________．14. （1分） (2017高二上·正定期末) 已知向量 =（3，1）， =（1，3）， =（k，﹣2），若（﹣）⊥ ，则k=________．15. （1分）若α，β均为锐角，，则cosβ=________16. （1分）设 =（m+1）i﹣3j， =i+（m﹣1）j，（ + ）⊥（﹣），则m=________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一下·雅安月考) 已知（1）求；（2）若，求 .18. （10分） (2017高二上·浦东期中) 设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（1）求{an}的通项公式；（2）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．19. （10分）(2020·海南模拟) 在平面直角坐标系中，点 .（1）若，求实数的值；（2）若，求的面积.20. （15分） (2017高一上·孝感期末) 某同学用“五点法”画函数在区间[﹣， ]上的图象时，列表并填入了部分数据，如表：2x﹣﹣π﹣π﹣πx﹣﹣﹣f（x）（1）请将上表数据补充完整，并在给出的直角坐标系中，画出f（x）在区间[﹣， ]上的图象；（2）求f（x）的最小值及取最小值时x的集合；（3）求f（x）在时的值域．21. （5分）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）．（1）若∥，求x的值；（2）若（8﹣）•=30，求x的值．22. （10分） (2019高二下·沭阳月考) 已知函数（其中），且.（1）求的值，并求在上的值域；（2）若在上有且只有一个零点，，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。

哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得：123a xe ye ze =++ ，我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为（）A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点()1,3,0A -在平面α内，若点()2,1,P z -到α的距离为103，则z =（）A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.9B.12C.18D.247.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（）A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.2+二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是（）A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，,M N 分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.不存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ，则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______．13.当点()2,1P --到直线l ：()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时，直线l 的一般式方程是______．14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1i =，2，……，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；（2）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；19.如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点，（1）若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；（2）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）14a =-或73a =-（2）370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】（1）2310x y --=，51(,)77，（2）107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)存在，AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】（1）2（2）13-【19题答案】【答案】（1）π6；（2）11。

黑龙江省哈尔滨市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）一组数据中，每一个数都减去，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别为（）A . 81.2，78.8B . 84.4，78.8C . 81.2 ， 4.4D . 84.4，4.42. （2分）下列随机试验的数学模型属于古典概型的是（）A . 在适宜条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽B . 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点C . 某射击运动员射击一次，试验结果为命中0环，1环，2环， (10)D . 四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会3. （2分）(2017·运城模拟) 如图给出了一个程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x 值有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1 ， y1)，(x2 ， y2)，…，(xn ， yn)，则下列说法中不正确的是（）A . 由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心B . 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C . 用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D . 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高；5. （2分）下列命题中的假命题是（）A .B .C .D .6. （2分）设集合，则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2017高二上·襄阳期末) 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（）A . 曲线上的点的坐标都适合方程B . 凡坐标不适合的点都不在上C . 不在上的点的坐标必不适合D . 不在上的点的坐标有些适合，有些不适合9. （2分）已知直线上两点A，B的坐标分别为(3，5)，(a，2)，且直线与直线3x+4y-5=0垂直，则|AB|的值为（）A .B .C .D . 510. （2分） (2016高二上·昌吉期中) 抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A . y=±2xB .C .D .12. （2分） (2016高一下·内江期末) 下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A . p1 ， p2B . p3 ， p4C . p2 ， p3D . p1 ， p4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现按分层抽样的方法抽取30人进行座谈，则抽取的各职称人数分别为________．14. （1分） (2017高二上·长泰期末) 双曲线的渐近线方程为________．15. （1分）甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4；乙：2、3、1、1、0、2、1、1、0、1；则机床性能较好的为________．16. （1分）(2017·湖北模拟) 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1 ， k2 ，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高三上·莆田期中) 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望Eξ．18. （10分）已知命题p：∀m∈[﹣1，1]，不等式；命题q：∃x∈R，使不等式x2+ax+2≤0成立．若p∨q是真命题，￢q是真命题，求a的取值范围．19. （10分）随着互联网经济逐步被人们接受，网上购物的人群越来越多，网上交易额也逐年增加，某地一建设银行连续五年的网银交易额统计表，如表所示：年份x20122013201420152016网上交易额y（亿元）567810经研究发现，年份与网银交易额之间呈线性相关关系，为了计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t=x﹣2011，z=y﹣5，得到如表：时间代号t12345z01235（1）求z关于t的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地网银交易额可达多少？（附：在线性回归方程 = x+ 中，，）20. （15分） (2018高二下·临汾期末) 某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活费定额管理，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示.（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中的值并估计该市每户居民平均用电量的值；（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量服从正态分布（i）估计该市居民月平均用电量介于度之间的概率；（ii）利用（i）的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于度之间的户数为，求的分布列及数学期望 .21. （5分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C．求C的方程．22. （10分）(2018·浙江模拟) 已知抛物线：内有一点，过的两条直线，分别与抛物线交于，和，两点，且满足，，已知线段的中点为，直线的斜率为 .（1）求证：点的横坐标为定值；（2）如果，点的纵坐标小于3，求的面积的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知随机变量X 服从正态分布()24,,(5)0.3N P X σ>=，则(34)P X <<=（ ） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.42．在5(2)x -的展开式中，2x 项的系数为（ ）A ．10-B ．10C ．80-D ．803．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（ ）A ．192B ．240C ．360D ．7204．如图，三个元件123,,T T T 正常工作的概率均为13，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ）A ．19B ．127C ．527D ．7275．如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（ ）A ．14 B ．18 C ．38 D ．166．如图是函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，则下列说法错误的是（ ）A ．2ω=B ．π3ϕ= C ．()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 D ．()f x 在2ππ,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 7．有一道数学题，不知道答案的概率为0.6，如果知道答案则本题答对的概率为0.9，不知道答案则本题答对的概率为0.2，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（ ） A ．0.75 B ．0.52 C ．0.48 D ．0.258．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD AB BC ⊥，二面角P CD A --的大小为45,2AD CD ︒+=，若点P A B C D ,,,,均在球O 的表面上，则球O 的表面积最小值为（ ）A ．3πBC ．8π3 D二、多选题9．近年来，我国持续释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，如图所示，是我国从2014年到2023年的国内游客出游花费统计，下列说法正确的是（ ）A ．从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的第75百分位数为4.9B ．从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的中位数为3.4C ．从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的极差为2.7D ．从2014年到2019年，国内游客出游花费呈现上升趋势10．学校分别对高一学年和高二年学开展体育水平抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（ ）A．样本中高二学年成绩的众数是85B．样本中高二学年成绩在80分以上的人数高于高一学年成绩在80分以上的人数C．样本中高二学年成绩的方差高于高一学年成绩的方差D．样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数11．某学校共有4000人，其中高一1000人，高二1500人，高三1500人，现采用抽样调查的方式调查学生平均身高，则下列说法正确的是（）A．若采用简单随机抽样的方式，抽取容量为200的样本，则高一25班的小明同学被抽入样本的概率为1 200B．若采用按比例分层抽样的方式，抽取容量为200的样本，则应从高一中抽取的人数为50C．若采用按比例分层抽样，发现高一、高二、高三学年的样本平均身高分别为167，169，173，则总体平均身高的估计值为170D．若采用按比例分层抽样，发现高一、高二、高三学年的样本平均身高分别为167，169，173，方差分别为50，60，40，则总体身高方差的估计值为50三、填空题12．对于随机事件,A B有111(),(),(),() 462P A P AB P A B P B ==+==.13．随机变量ξ的分布列如下表所示，则()Dξ=.14．哈三中2024-2025年度上学期高二年级十月月考中有这样一道题目:已知A，B是两个随机事件，且0()1,0()1P A P B <<<<，给出5个命题如下:①若()()1P A P B +=，则事件A ，B 对立；②若事件A 与B 独立，则()()()P AB P A P B =成立；③若()()()()P AB P AB P AB P AB ===，则事件A ，B 相互独立，且1()4P AB =；由于印刷原因，其中命题④⑤漏印了.若老师说某考生在5个命题中任选两个命题，其中真命题的个数X 的方差为925，则④⑤中真命题的个数为.四、解答题15．李老师使用频数分布表、频率分布直方图与扇形图来统计两个班学生某次数学考试的分数，已知所有学生考试成绩均位于[85，145）内，问:(1)求频率分布直方图中a 的值及分数的平均值（每组数据用该组区间中点值代表）;(2)若李老师决定对[85,95)与[95,105)这两组的学生采用按比例分层抽样，抽取6名同学进行谈话，再从这6人中随机选择两人进行试卷分析，求选中的2人来自不同组的概率. 16．在ABC V 中,,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且满足_______________.请在①2sin()2C A B +=；②()sin()()(sin sin )a b A C a c A C -+=-+，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题.(1)求C ；(2)若AB 边上的高为1，ABC V ABC V 的周长. 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,,ABCD AD PA AD CD ⊥⊥，//,AD BC 2PA AD CD ,===150,BAD E ︒∠=为PD 的中点.(1)求证：AE ⊥平面PCD ;(2)求平面PAB 与平面ECD 夹角的余弦值.18．如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A 腔室出发，到达C 腔室，粒子从A 室经过1号门进入B 室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从B 室经过2号门进入C 室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为13.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从A 室出发.(1)求两粒子进入C 室都为上旋状态的概率；(2)若实验装置出现故障，两个粒子进入C 室后，共裂变为m 个粒子，裂变后的每个粒子再经过2号门返回B 室的概率为23，各粒子返回B 室相互独立. ①4m =时，写出返回B 室的粒子个数X 的分布列、期望、方差；②30m =时，记有r 个粒子返回B 室的概率为()f r ，则r 为何值时，()f r 取最大值. 19．随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成,,A B C 三个小组，其中A 组15人，B 组15人，C 组10人.(1)第一轮测试按小组,,A B C 顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为45，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为X ，求X 的分布列;(2)第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作.①求最后一名同学来自A 组的条件下，B 组同学比C 组同学提前完成测试的概率; ②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求A 组和B 组同学全部完成测试所需时间的期望.。

黑龙江省哈尔滨市高二数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·定远模拟) 已知数列的首项为1，第2项为3，前项和为，当整数时，恒成立，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一下·吉林期末) 在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·右玉期中) 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）①若m⊥α，α⊥β，则m∥β②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αA . ①②B . ③④C . ①③D . ②④4. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（）A .B .C .D .5. （2分）若直线被圆截得的弦最短，则直线的方程是（）A .B .C .D .6. （2分）圆心坐标为（2，－1）的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为，那么这个圆的方程为（）A . （x－2）2＋（y＋1）2＝4B . （x－2）2＋（y＋1）2＝2C . （x－2）2＋（y＋1）2＝8D . （x－2）2＋（y＋1）2＝167. （2分） (2018高二下·双流期末) 为双曲线：上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，，则的值为（）A . 6B . 9C . 18D . 368. （2分） (2016高三上·湛江期中) 若直线l与平面α相交，则（）A . 平面α内存在直线与l异面B . 平面α内存在唯一直线与l平行C . 平面α内存在唯一直线与l垂直D . 平面α内的直线与l都相交9. （2分）双曲线x2-y2=4左支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为，则a+b=（）A . 2B . -2C . 4D . -410. （2分） (2019高二上·襄阳期中) 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点（）A .B .C .D .11. （2分）如图：在图O内切于正三角形△ABC，则S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=3•S△OBC ，即，即h=3r，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a倍”，则实数a=（）A . 2B . 3C . 4D . 512. （2分）(2017·潮州模拟) 已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，且离心率互为倒数，F1 ， F2是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若∠F1PF2=60°，则椭圆C1的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知a＞1，则不等式a+的最小值为________14. （1分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则该三棱锥的外接球的表面积为________．15. （1分） (2018高二上·江苏期中) 如图，椭圆，圆，椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为________.16. （1分）(2019·浙江模拟) 数列满足，若数列是等比数列，则取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2017·泰安模拟) 已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点（，1），过点A（0，1）的动直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．18. （10分） (2020高三上·西安月考) 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，且数列的前n项和为 .（1）求､的通项公式；（2）数列中，，且，求的通项公式.19. （10分） (2018高一下·黑龙江期末) 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，E是BC的中点．（1）求证：；（2）求异面直线AE与所成的角的大小；（3）若G为中点，求二面角的正切值．20. （10分） (2016高三上·思南期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0 ， y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．21. （10分） (2020高二下·虹口期末) 已知三棱锥 (如图一)的平面展开图(如图二)中，为边长等于的正方形，△ 和△ 均为正三角形，在三棱锥中，（1）求证：；（2）求与平面所成的角的大小；（3）求二面角的大小.22. （10分）(2017·兰州模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为﹣，若动点P满足，试探究，是否存在两个定点F1 ， F2 ，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1 ， F2的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：。

黑龙江省哈尔滨市数学高二上学期 10 月文数月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020 高一下·内蒙古月考) 已知角 的终边过点，且的值为（ ）A.，则 mB.C.D. 2. （2 分） (2020 高一下·忻州期中) 已知角 α 的终边经过点 P（﹣3，1），则 cos2α＝（ ）A.B.C.D.3. （2 分） 已知点 A（2008，5，12），B（14，2，8），将向量 到的向量坐标是（ ）按向量 =（2009，4，27）平移，所得A . （1994，3，4）B . （﹣1994，﹣3，﹣4）C . （15，1，23）D . （4003，7，31）第 1 页 共 10 页4. （2 分） 已知△ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足,则（ ）A., ,若,B.C.D.5. （2 分） (2019 高二下·浙江期中) 若向量 （）与向量A.是共线向量，且B.C.或D.或6. （2 分） (2020 高一下·宁波期中) 在等差数列 中，若，（）A . 50B . 60C . 65D . 757. （2 分） 已知函数 f(x)＝sin A . 函数 f(x)的最小正周期为 2π(x∈R)，下面结论错误的是（ ）第 2 页 共 10 页，则 ，则B . 函数 f(x)在区间上是增函数C . 函数 f(x)的图象关于直线 x＝0 对称D . 函数 f(x)是奇函数8. （2 分） (2017·沈阳模拟) 已知等比数列{an}中，公比 A.1 B.2 C.4 D.8，则 a4=（ ）9. （2 分） 已知，， 则 的值为（）A.B.C.D.10. （2 分） 已知点数（）是圆 C：内任意一点，点是圆上任意一点，则实A . 一定是负数B . 一定等于 0C . 一定是正数D . 可能为正数也可能为负数11. （2 分） 在中， 是等于（ ）的中点，，点 在第 3 页 共 10 页上且满足，则A.B.C.D.12. （2 分） (2016 高三上·福州期中) △ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，且，则向量 在 方向上的投影为（ ）A. B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （2 分） (2019 高三上·杭州期中) 已知角 的终边经过点 ________.，则________，14. （1 分） (2020 高二下·宁波期中) 设则________．，向量，，若，15. （1 分） (2017 高二上·马山月考) 已知 ________.为锐角，且，则16. （1 分） (2020 高一下·胶州期中) 已知向量 ， 满足，，且在 方向上的投影为________.，则三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)第 4 页 共 10 页17. （10 分） (2018·重庆模拟) 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线 的参数方程为（ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为．（1） 写出曲线 的极坐标方程和 的直角坐标方程；（2） 记曲线 和 在第一象限内的交点为 ，点 在曲线 上，且 面积．，求的18. （5 分） (2019 高二上·咸阳月考) 记等差数列 成等比数列，求 ．的前 n 项和为 ，设19. （10 分） 如图，在四边形中，．，且 ， ，（1） 若△为等边三角形，且， 是 的中点，求；（2） 若，，，求．20. （10 分） (2019 高三上·齐齐哈尔月考) 已知函数.（1） 求的定义域与最小正周期；（2） 求的单调递增区间.21. （10 分） 平面内给定三个向量，，．（1） 求满足的实数；（2） 若，求实数 .22. （10 分） (2019 高二下·瑞安期末) 已知 . 为锐角，，.第 5 页 共 10 页（1） 求 （2） 求的值； 的值.第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)参考答案13-1、 14-1、 15-1、第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、17-2、18-1、19-1、第 8 页 共 10 页19-2、20-1、第 9 页 共 10 页20-2、 21-1、 21-2、 22-1、22-2、第 10 页 共 10 页。