2020中考数学专题训练—相似三角形

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形4（附答案）1．若两个圆的周长比为3:7，则它们的面积比为（ ）A ．3:7B ． 3:7C ．9:49D ．7:32．△ABC 和△A ′B ′C ′是位似图形，且面积之比为1∶9，则△ABC 和△A ′B ′C ′的对应边AB 和A ′B ′的比为( )A ．3∶1B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶273．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．（A ）B ．（B ）C ．（C ）D ．（D ）4．如图，已知像这样由7个全等的正六边形组成的图形叫做“二环蜂窝”，每个正六边形的顶点叫做格点，顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．已知△ABC 为该二环蜂窝一个格点三角形，则在该二环蜂窝中，以点A 为顶点且与△ABC 相似（包括全等但不与△ABC 重合）的格点三角形最多能作的个数为（ ）A ．18B ．23C ．25D ．285．如图，已知123////l l l ，4DE =，6DF =，那么下列结论正确的是（ ）A ．BC ：EF=1：1B ．BC ：AB=1：2 C ．AD ：CF=2：3 D ．BE ：CF=2：36．如图，DE ∥FG ∥BC ，若DB=4FB ，则EG 与GC 的关系是（ ）A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=52GC D．EG=2GC7．两个相似三角形的一组对应边分别为6cm和8cm，如果较小三角形的周长为27cm，那么较大三角形的周长为（）A．30cm B．36cm C．45cm D．54cm8．在比例尺为1：38 000的城市交通地图上，某条道路的长为5 cm，则它的实际长度为( )A．0.19 km B．1.9 km C．19 km D．190 km9．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝30°，∠B＝80°，则∠F的度数为()A．30°B．80°C．70°D．60°10．如图，在正方形ABCD中，AD=6，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，G，当14FHHG时，DE的长为（）A．2 B．125C．185D．411．如图，G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，交AB、AC，分别于D、E 两点,若△ADE的面积为5，则四边形BDEC的面积为__________．12．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为30cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为_____．13．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PCB=∠PBA ，则称点P 为△ABC 的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=120°，P 为△ABC 的布罗卡尔点，若PA=3，则PB+PC=_____．14．已知x ：y=1：2，则（x+y ）：y=_____．15．如图，已知ABC ACD V V ∽，且相似比是2，已知AB 8=，则AD =________．16．如图，已知△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且'OA OA =12，若点A （﹣1，0），点C （12，1），则A′C′=_____．17．如图中两三角形相似，则x =________．18．已知a ：2=b ：3=c ：4，则a b c c++=_____． 19．如图，在正方形ABCD 中，AB=6，E 是BC 边的中点，F 是CD 边上的一点，且DF=2，若M 、N 分别是线段AD 、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为 ．20．若0234a b c ==≠，则a b c+＝_____． 21．已知：如图，在Rt ABC V 中，90C o ∠=，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，且35AD AE =，连接DE ．若3AC =，5AB =，猜想DE 与AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论．22．如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD ，AC=5cm ，AB=4cm ，求AD 的长.23．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ．点C 在OP 上，且BC=PC ．(1)求证：直线BC 是⊙O 的切线；(2)若OA=3，AB=2，求BP 的长．24．如图，已知AO 为Rt △ABC 的角平分线，∠ACB=90°，43AC BC =，以O 为圆心，OC 为半径的圆分别交AO ，BC 于点D ，E ，连接ED 并延长交AC 于点F ．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan CAO的值。

专题02相似三角形选择填空题之压轴题训练(2)一、选择题（本大题共12题）1.（徐汇2020一模6）下列命题中，假命题是（）A.凡有内角为︒30的直角三角形都相似；B.凡有内角为︒45的等腰三角形都相似；C.凡有内角为︒60的直角三角形都相似；D.凡有内角为︒90的等腰三角形都相似．2.（进才北2019十月6）如图，在ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，//EF CD 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是()A.AF DEDF BC=; B.DF AFDB DF=; C.EF DECD BC=; D.AF ADBD AB=.3.（金山2019期中6）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE//BC ，点F 为BC 边上的一点，连接AF 交DE 于点G ，那么下列结论中一定正确的是（）A.AD AEAB EC=;B .AG EGGF CF=; C.EG GDCF FB=; D.AG DEFG BC=.4.（黄浦2020一模6）如图，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（）A ．AD DEAB BC=;B ．AD AEAC AB=;C ．AD •AB ＝DE •BC ;D ．AD •AC ＝AB •AE.5.（闵行2019期中6）如图，在△ABC 中，∠A=60︒，CD 、BE 分别是边AB 、AC 上的高线，联结DE ，那么△ADE 和△ACB 的周长之比为（）A.12;B .32; C.14; D.34.6.（松江2021一模6）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（）A.53； B.73； C.83； D.103.7.（普陀2019期中6）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，2OA =，3OB =，6OC =，4OD =，那么下列结论中，错误的是（）A.OAD OBC ∠=∠;B.12AB CD =; C.12AOB DOC C C ∆∆=;D.19AOD BOC S S ∆∆=.8.（杨浦2021一模6）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是（）A ．S △AOB ＝S △DOC ；B ．AOB BOC S OD S OB∆∆=； C.AOD BOC S OA S OC ∆∆=;D ．ABD ABC S ADS BC ∆∆=.9.（普陀2021一模6）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，OA OD OBOC=，由此推得的正确结论是()A.OA ABOD CD=； B.OA ADOC BC=； C.OB ABOD CD=； D.AB ADCD BC=．10.（浦东南片联合2019期中6）如图，在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，四边形DEGF 为内接正方形，那么AD ：DE ：EB 为（）A.3︰4︰5;B.16︰12︰9;C.9︰12︰16D.16︰9︰25.11.（杨浦黄兴2019九月6）如图，把△ABC 沿AB 边平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若AB ，则此三角形移动的距离是（）A.﹣1；B.；C.1；D.22.12.（闵行2021一模6）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A ．4cm ；B ．6cm ；C ．8cm ；D ．10cm.二、填空题（本大题共12题）13.（奉贤2019期中18）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8．点M 、N 分别在边AB 、BC 上，沿直线MN 将△ABC 折叠，点B 落在点P 处，如果AP ∥BC 且AP=4，那么BN=________．14.（嘉定2019期中18）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ＝CE ，将△CDE 沿DE 翻折，点C 落在点F 处，且DF ∥AB ，则BD 的长为．15.（崇明2021一模18）在ABC 中，AB =，45B ∠=︒，60C ∠=°．点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连结DE ，沿直线DE 将ADE 折叠得到'A DE ．连接'AA ，当'A E AC ⊥时，则线段'AA 的长为________．16.（松江2021一模18）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且1BE =，将CBE △沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D,F,E 在同一直线上，则线段AE 的长为．17.（长宁金山2020一模18）18.如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，点P 在边BC 上，联结AP ，将ABP △绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B 的对应点是点B '，则BB '的长等于_____．18.（浦东四署2019期中18）如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，点D 在边AB 上，线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处.如果ADm DB =，AE n EC=.那么用含n 的代数式表示m 是：m =__________________.20.（静安2021一模18）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，2tan3B （如图），将△ABC绕点C旋转后，点A落在斜边AB上的点A’，点B落在点B’，A’B’与边BC相交于点D，那么CDA'D的值为．21.（杨浦黄兴2019九月18）如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为_____时，使得△BOC∽△AOB．22.（黄浦2021一模18）已知一个矩形的两邻边长之比为1：2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为________．23.（浦东2021一模18）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC 上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．24.（新竹园2019九月18）如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为_____．专题02相似三角形选择填空题之压轴题训练(2)一、选择题（本大题共12题）1.（徐汇2020一模6）下列命题中，假命题是（）A.凡有内角为︒30的直角三角形都相似；B.凡有内角为︒45的等腰三角形都相似；C.凡有内角为︒60的直角三角形都相似；D.凡有内角为︒90的等腰三角形都相似．【答案】B ；【解析】解：凡有内角为30︒的直角三角形都相似,故A 为真命题；凡有内角为45︒的等腰三角形不一定相似，45︒是顶角还是底角不确定，故B 是假命题；凡有内角为60︒的直角三角形都相似，故C 为真命题；凡有内角为90︒的等腰三角形都相似，故D 为真命题；因此假命题为B ，答案选B.2.（进才北2019十月6）如图，在ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，//EF CD 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是()A.AF DEDF BC=; B.DF AFDB DF=; C.EF DECD BC=; D.AF ADBD AB=.【答案】C;【解析】解:A 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴AF AE DF EC =，AE DEAC BC=，∵CE≠AC ，∴AFDE DF BC ≠，故本选项错误；B 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴AF AE DF EC =，AE ADEC BD =，∴AF AD DF BD =，∵AD≠DF ，∴DF AF DB DF ≠，故本选项错误；C 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴DE AE BC AC =，EF AE CD AC =，∴EF DE CD BC =，故本选项正确；D 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴AD AE ABAC =，AF AE AD AC =，∴AF AD AD AB =，∵AD≠DF ，∴AF AD BD AB≠，故本选项错误.故答案选C.3.（金山2019期中6）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE//BC ，点F 为BC 边上的一点，连接AF 交DE 于点G ，那么下列结论中一定正确的是（）A.AD AEAB EC=;B .AG EGGF CF=; C.EG GDCF FB=; D.AG DEFG BC=.【答案】C ；【解析】解：∵DE//BC ，∴AD AEAB AC =，故A 错误；∵DE//BC ，∴AG EG AF CF=，故B 错误；∵DE//BC ，∴AG EG DG AF CF BF ==，故C 正确；∵DE//BC ，∴AG AE DE AF AC BC==，故D 错误；因此答案选C.4.（黄浦2020一模6）如图，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（）A ．AD DEAB BC=;B ．AD AEAC AB=;C ．AD •AB ＝DE •BC ;D ．AD •AC ＝AB •AE.【答案】D ；【解析】解：∵∠EAD ＝∠CAB ，∴当AE ADAC AB=，即AD •AC ＝AB •AE ，∴ED ∥BC ，故答案选D ．5.（闵行2019期中6）如图，在△ABC 中，∠A=60︒，CD 、BE 分别是边AB 、AC 上的高线，联结DE ，那么△ADE 和△ACB 的周长之比为（）A.12;B .32; C.14; D.34.【答案】A ；【解析】解：∵在△ABC 中，∠A=60︒，CD ⊥AB,BE ⊥AC ，易知△ADC ∽△AEB ，∴AD ACAE AB=，又∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，故△ADE 和△ACB 的周长之比为AD:AC ，在Rt △ABC 中，∠A=60︒，∴AD ：AC=1：2，故答案选A.6.（松江2021一模6）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（）A.53； B.73； C.83； D.103.【答案】C ；【解析】解：如图，连接AG 并延长交BC 于点D ． 点G 是△ABC 的重心，∴点D 为BC 的中点，21AG GD =，∵CB=8，∴142CD BD BC ===，∵GE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴90AEG C ∠=∠=︒，∵EAG CAD ∠=∠（公共角），∴△AEG ∽△ACD ，∴EG AG CD AD =，∵21AG GD =，∴23AG AD =，∴243EG AG AD ==，∴83EG =．故选：C ．7.（普陀2019期中6）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，2OA =，3OB =，6OC =，4OD =，那么下列结论中，错误的是（）A.OAD OBC ∠=∠;B.12AB CD =; C.12AOB DOC C C ∆∆=; D.19AOD BOC S S ∆∆=.【答案】D;【解析】解:∵OA =2，OB =3，OC=6，OD=4，∴23OA OD OB OC ==,∵∠AOD=∠BOC,∴△OAD ∽△OBC,∴OAD OBC ∠=∠，49AOD BOC S S ∆∆=,故A 正确，D 错误；∵OA=2，OB=3，OC=6，OD=4，∴12OA OB OD OC ==,∵∠AOB=∠DOC,∴△OAB ∽△ODC,∴12AB CD =,12AOB DOC C C ∆∆=,故B 正确，C 正确；故选D.8.（杨浦2021一模6）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是（）A ．S △AOB ＝S △DOC ；B ．AOB BOC S OD S OB ∆∆=； C.AOD BOC S OA S OC ∆∆=;D ．ABD ABC S ADS BC∆∆=.【答案】C ；【解答】解：如图，∵AD ∥BC ，∴S △ABC ＝S △DCB ，即S △AOB +S △OBC ＝S △OBC +S △DOC ，S △AOB ＝S △DOC ，所以A 选项的结论正确；∵AD ∥BC ，∴OA OD OC OB =，∵AOB BOC S OA S OC ∆∆=，∴AOB BOC S OD S OB ∆∆=；所以B 选项的结论正确；∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴2AOD BOC S OA S OC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以C 选项的结论错误；∵AD ∥BC ，∴点B 到AD 的距离等于点A 到BC 的距离，∴ABD ABC S AD S BC∆∆=，所以D 选项的结论正确；故答案选C．9.（普陀2021一模6）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，OA OD OBOC=，由此推得的正确结论是()A.OA ABOD CD=； B.OA ADOC BC=； C.OB ABOD CD=； D.AB ADCD BC=．【答案】A ；【解析】解：∵OA OD OB OC =,∴OA OBOD OC=，又∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ，∴OA ABOD CD=，故A 正确；因此答案选A.10.（浦东南片联合2019期中6）如图，在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，四边形DEGF 为内接正方形，那么AD ：DE ：EB 为（）A.3︰4︰5;B.16︰12︰9;C.9︰12︰16D.16︰9︰25.【答案】B ；【解析】解：设正方形边长为a ，即：DF=FG=EG=DE=a ；∵FD AB ⊥，四边形DEGF 为内接正方形，∴90ADF C ∠=∠= ，又∵A A ∠=∠，∴ADF ACB ∽，∴ADDF AC BC =,即：43AD a=，解得43AD a =；同理可得：BEG BCA ∆∆∽,∴BEEG BCCA =，即：34BE a=，解得34BE a =；∴43::::16:12:934AD DE EB a a a ==．故选B ．11.（杨浦黄兴2019九月6）如图，把△ABC 沿AB 边平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若AB，则此三角形移动的距离是（）A.﹣1；B.；C.1；D.22.【答案】A ；【解析】解：∵△ABC 沿AB 边平移到△DEF 的位置，∴AC ∥DF ，∴△ABC ∽△DBG ，∴DBG ABC S S ＝（DB AB ）2＝12，∴AB ：DB：1，∵AB，∴DB ＝1，∴AD﹣1．故选：A ．12.（闵行2021一模6）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A ．4cm ；B ．6cm ；C ．8cm ；D ．10cm.【答案】C;【解答】解：∵一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，∴她下半身的长度为92cm ，设鞋跟高为x 厘米时，她身材显得更为优美，根据题意得6292x+≈0.618，解得x ≈8.3（cm ）．经检验x ＝8.3为原方程的解，所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．故答案选C ．二、填空题（本大题共12题）13.（奉贤2019期中18）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8．点M 、N 分别在边AB 、BC 上，沿直线MN 将△ABC 折叠，点B 落在点P 处，如果AP ∥BC 且AP=4，那么BN=________．【答案】132;【解析】解：如图，连接BP ，交MN 于点O ；则BO=PO ，BO ⊥MN ；∵∠ABC=90°，∴∠MBO+∠NBO=∠NBO+∠BNO ，∴∠MBO=∠BNO ；∵AP ∥BC ，且∠ABC=90°，∴∠BAP=90°；由勾股定理得：BP 2=AB 2+AP 2，∵AB=6，AP=4，∴，ABP=∠BNO ，∴△ABP ∽△OBN ，∴AP PB BO BN =BN =解得：BN=132．14.（嘉定2019期中18）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ＝CE ，将△CDE 沿DE 翻折，点C 落在点F 处，且DF ∥AB ，则BD 的长为．【答案】4529；【解答】解：如图，延长DF 交AC 于点G ，设BD ＝CE ＝x ，∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，∴AC 12，∵将△CDE 沿DE 翻折，点C 落在点F 处，∴EF ＝CE ＝x ，∵DF ∥AB ，∴∠A ＝∠EGF ，∴△ABC ∽△GEF ，∴AB BC GE EF=，即133GE x =，解得GE ＝133x ，∴CG ＝GE +CE ＝133x x +=163x ，∵DF ∥AB ，∴CG CD AC BC =，即1653125x x -=，解得x ＝4529．即BD ＝4529．15.（崇明2021一模18）在ABC 中，AB =，45B ∠=︒，60C ∠=°．点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连结DE ，沿直线DE 将ADE 折叠得到'A DE ．连接'AA ，当'A E AC ⊥时，则线段'AA 的长为________．【答案】;【解析】解：过点A作AM⊥BC,在Rt△ABM中，AM=AB⨯sin45°=2=42,AC=AM÷∵'A E AC⊥，∠AEA´=90°,∵△ADE≌△A´DE,∴∠AED=∠A´ED=45°,∴∠AED=∠B,∵∠DAE=∠CAB,∴△ADE∽△ACB,AE AD AB AC=，=,AE==.16.（松江2021一模18）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且1BE=，将CBE△沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D,F,E 在同一直线上，则线段AE的长为．【答案】152;【解析】解：设AE=x，则AB=x+1，∵折叠，∴BE=EF=1，BEC FEC∠=∠，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴BEC DCE∠=∠，∴FEC DCE∠=∠，∴1DE DC AB x===+，∵AC DE⊥，∴90AFE DAE∠=∠=︒，∵AEF DEA∠=∠，∴AEF DEA∽，∴AE EFDE EA=，即2AE DE EF=⋅，∴()211x x=+⋅，解x=或，∴12AE=．17.（长宁金山2020一模18）18.如图，在Rt ABC中，90ABC∠=︒，2AB=，4BC=，点P在边BC上，联结AP，将ABP△绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B'，则BB'的长等于_____．;【解析】解:如图，延长AB'交BC 于E ，过点B'作B'D ⊥AB 于点D ，∵∠ABC ＝90︒，AB ＝2，BC ＝4，∴AC=∵点M 是AC 中点，∴AM∵将△ABP绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，∴AP ＝AM∠PAB ＝∠CAE ，AB ＝AB'＝2，∵AP 2＝AB 2＋PB 2，∴PB ＝1，∴2BA PB =,又2BC AB=,∴BA BC PB AB =且∠ABP ＝∠ABC ＝90°，∴△ABP ∽△CBA ，∴∠PAB ＝∠C ，∴∠C ＝∠CAE ，∴CE ＝AE ，∵AE 2＝AB 2＋BE 2，∴CE 2＝4＋（4−CE ）2，∴CE ＝AE ＝52，∴BE ＝32，∵B'D ∥BC ，∴△AB'D ∽△AEB ，∴''AB AD B D AE AB BE ==∴2'53222AD B D ==，∴AD ＝85，B'D ＝65，∴BD ＝AB-AD=2-85=25，∴BB'==．18.（浦东四署2019期中18）如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，点D 在边AB 上，线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处.如果AD m DB =，AE n EC=.那么用含n 的代数式表示m 是：m =__________________.【答案】21n +;【解析】解：作DH ⊥AC 于H ，如图，∵线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处，∴DE=DC ，∴EH=CH ，∵AE n EC=，即AE=nEC ，∴AE=2nEH=2nCH ，∵∠C=90°，∴DH ∥BC ，∴AD AH DB HC =，即AE EH 2nCH CH m 2n 1HC CH++===+.故答案为：2n+1．【答案】245；【解析】解：如图，90,10,cos AB == ∵旋转，∴CB '=CB=8=10，设A 'B '与AC ∴∠B 'FC=∠B 'CA CA ',∴''''B C CF A B A =∴8832'10B F ⨯==cosA=35,可知tanA=328'55B E =-=20.（静安2021一模18）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =13，2tan 3B =（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A’，点B 落在点B’，A’B’与边BC 相交于点D ，那么CD A'D 的值为．【答案】3135；【解析】解:过C 作CE ⊥AB 交AB 于E 点，∵2tan 3B =，∴23AC BC =，设AC=2x ，BC=3x ，在Rt △ABC 中，22)13AB x x ===13，∴x=，∴AC=，BC=，1122ABC S BC AC AB CE ∆== ，∴CE=BC AC AB=6，∵2tan 3CE B EB ==，∴EB=9，∵Rt △A 'B 'C 由Rt △ABC 旋转而得，∴∠B=∠B '，AC=A 'C ，∵CE ⊥AA '，∴AE=EA '，AE=AB-EB=13-9=4，∴AE=EA '=4，A 'B=EB-EA '=9-4=5，又∵∠A 'DB=∠CDB '，∴△A 'DB ∽△CDB '，∴''''5CD CB CB A D A B A B ===即'5CD A D =.21.（杨浦黄兴2019九月18）如图，在平面直角坐标系中有两点A （4，0），B （0，2），如果点C 在x 轴上（C 与A 不重合）当点C 的坐标为_____时，使得△BOC ∽△AOB ．【答案】（1，0）或（﹣1，0）；【解析】解：∵△BOC∽△AOB，∴BOAO=OCOB，∴24＝OC2，∴OC＝1，∵点C在x轴上，∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）．故答案为（1，0）或（﹣1，0）．22.（黄浦2021一模18）已知一个矩形的两邻边长之比为1：2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为________．【答案】1或0.5或2;【解析】解：如图所示，矩形ABCD中，AB：AD=1：2.5，∴AD=BC,若直线l∥AD，交AB、CD于E、F,根据题意和图形可知：矩形AEFD∽矩形BEFC，此时这两个小矩形的相似比为AD：BC=1；根据相似图形的性质，两个相似图形中长边必定对应长边，故此时不存在其它情况；若直线l∥AB，交AD、BC于E、F，此时存在两种情况：①若矩形ABFE∽矩形DCFE，如下图所示，此时这两个小矩形的相似比为AB：DC=1；②若矩形BAEF∽矩形EDCF，如下图所示，∴AB AEDE CD=，设AB=CD=a，AE=x，则AD=2.5a，DE=2.5a x-，∴2.5a xa x a=-，解得：x=0.5a或x=2a，当x=0.5a时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=0.5a：a=0.5；当x=2a时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=2a：a=2；综上：这两个小矩形的相似比为1或0.5或2．23.（浦东2021一模18）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC 上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．【答案】2；【解答】解：如图，∵点D 是BC 的中点，BC ＝12，∴BD ：CD ＝2：1，∴BD ＝8，CD＝4，过点M 作MH ∥AC 交CD 于H ，∴△DHM ∽△DAC ，∴MH DH DM AC CD AD==，∴点M 是AD 的中点，∴AD ＝2DM ，∵AC ＝8，∴1842MH DH ==，∴MH ＝4，DH ＝2，过点M 作MG ∥AB 交BD 于G ，同理得，BG ＝DE ＝4，∵AB ＝10，BC ＝12，AC ＝8，∴△ABC 的周长为10+12+8＝30，∵过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，∴CE +CF ＝15，设BE ＝x ，则CE ＝12﹣x ，∴CF ＝15﹣（12﹣x ）＝3+x ，EH ＝CE ﹣CH ＝CE ﹣（CD ﹣DH ）＝12﹣x ﹣2＝10﹣x ，∵MH ∥AC ，∴△EHM ∽△ECF ，∴MH EH CF CE =，∴410312x x x-=+-，∴x ＝2或x ＝9，当x ＝9时，CF ＝12＞AC ，点F 不在边AC 上，此种情况不符合题意，即BD ＝x ＝2，故答案为：2．24.（新竹园2019九月18）如图，等边△ABC 的边长为10，点M 是边AB 上一动点，将等边△ABC 沿过点M 的直线折叠，该直线与直线AC 交于点N ，使点A 落在直线BC 上的点D 处，且BD ：DC=1：4，折痕为MN ，则AN 的长为_____．【答案】7或653；【解析】解：①当点A 落在如图1所示的位置时，∵△ACB 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，∵∠MDC=∠B+∠BMD ，∠B=∠MDN ，∴∠BMD=∠NDC ，∴△BMD ∽△CDN ．∴得BD DM BM CN DN CD==，∵BD ：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，设AN=x=DN ，则CN=10﹣x ，∴2108DM BM x x ==-，∴DM=210x x -，BM=1610x -，∵BM+DM=10，∴210x x -+1610x-=10，解得x=7，∴AN=7；②当A 在CB 的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD ∽△CDN ．∴得BD DM BM CN DN CD ==，∵BD ：DC=1：4，BC=10，∴DB=103，CD=403，设AN=x ，则CN=x ﹣10，∴10340103DM BM x x ==-，∴DM=()10310x x -，BM=()400910x -，∵BM+DM=10，∴()10310x x -+()400910x -=10，解得：x=653，故AN=7或653．。

相似三角形专题一选择题1.在下列4×4的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中△ ABC 相似的三角形所在的网格图（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2.如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CH 、CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．AB 2= AC 2+BC 2； B ．CH 2=AH ·HB ； C ．CM =12AB ； D ．CB =12AB ．3.如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=；④2AC AD AB =．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）44．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，如果32ADC CDB C C =△△，9AD =，那么BC 的长是（ ）（A ）4； （B ）6； （C ）213； （D ）310．5. 如图，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似的三角形有（ ） ( A)1对； (B)2对； ( C)3对； ( D)4对.6.如图，已知ABC △和DEF △，点E 在BC 边上，点A 在DE 边上，边EF 和边AC 交于点G ．如果AE =EC ，B AEG ∠=∠．那么添加下列一个条件后，仍无法判定DEF △与ABC △一定相似的是( )（A ）EF DE BC AB =； （B ）GEGFAE AD =； 图1 第4题图A D CB ACD B 第3题第2题（第6题图）AB C DEF O 第5题图第18题E D C BA （C ）EF EG AC AG =； （D ）EAEGEF ED =．二填空题7．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为 度．8．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么这两个三角形的周长的比是9.在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 的延长线上，∠E=∠B ，AC=2，BC=3，CE=6，那么CD= ．10 .如果两个相似三角形的对应角平分线比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为 cm ．11.如图，已知⊿ABC 中，P 是AB 上的一点，∠ACP =∠B ，AB=9，AC=6，那么AP= . 12.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上， ADE C ∠=∠，如果=2AE ，△ADE 的面积是4，四边形BCED 的面积是5，那么AB 的长是 ．13.如图,R t ΔA B C 中,∠A C B =900,C D ⊥A B ,A C =8,B C =6,则AD=__ _ 14.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，如果21==EC AE DB AD ，那么△ADE 与△ABC 面积的比是 ．15.已知等腰梯形的上、下两底长分别为4cm 和6cm ，将它的两腰分别延长交于一点，这个交点到上、下两底的距离之比为 ．16.△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上，AD ＝2，在AB 上找一点E ，使 △ADE 与△ABC 相似，则AE 的长为 ． 17.如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交边BC 于点D ，AD BD =，3=AB ，2=AC ，那么AD 的长是 _． 18.如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且AE=4ED ，且BE ⊥CE ，则AB:BC=______________.三解答题19．如图，已知AB ⊥AD ，BD ⊥DC ，且BC AB BD ⋅=2，求证：∠ABD=∠DBC.E D C BA第12题BACD第14题A 第11题 B CP 第13题 第17题20. 已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．21如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 在边AD 上， CE 与BD 相交于点F ， AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．（1）求证：△DFE ∽△DAB ； （2）求线段CF 的长．22.如图， 在AH ABC 中，∆是BC 边上的高，矩形DEFG 内接于ABC ∆（即点G F E D 、、、都在ABC ∆的边上），6,18==AH BC ，矩形DEFG 的周长是20． ACDEBBCD AEF求：DEFG S 矩形的值．23．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10,BC=16，点P 、D 分别在边BC 、AC 上， BP=12，∠APD=∠B ，求CD 的长.24.如图：在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，E 是斜边AB 延长 线上一点，且∠ECB=∠BCD （1）求证：⊿ECB ∽⊿EAC ；（2）若AC=，AB=5cm ，求BE 的长.EDBCA相似三角形专题 参考答案一、1、B ，2、D ，3、C ，4、C ，5、C ，6、C二、7、70， 8、1:2 9、4 10、40 11、4，12、3 13、6.4 14、1:9 15 、2：3 16、23或38 17、5103 18、2:5． 三、19、证明Rt△DBC ∽△ABD Rt20、(1)证明∽△ADB △BDE ；(2)由DB=DC 可得DC 2=DE*DA ，可证∽△ADC △CDE 21、(1)由AD//BC 可得21==BF DF BC DE ，∴31=BD DF ,得DF=2, ∴BD DEAD DF =再由BDA EDF ∠=∠可证 (2)由1的结论可求EF=2.5,再可得CF=2EF=522、设AH 与DG 相交于M ，由∽△ABC △ADG 可得AHAMBC DG =可算出DE=4,DG=6 S=2423、证∽△PBA △DCP 可得ABCPBP CD =可得CD=4.8 24、1、证A BCD ECB ∠=∠=∠2、由勾股定理可求BC=5 ,由1的结论可得21===AE EC EC BE AC BC ,可得41=AE BE ，得BE=35。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形2（附答案）1．如图，P 为平行四边形ABCD 边AB 上一点，E 、F 分别为PD 、PC 的三等分点（靠近P ），则阴影部分的面积与四边形CDEF 的面积比为（ ）A ．12B ．103C ．98D ．542．如图，已知////AB CD EF ，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BCDF CE=B ．BC DFCE AD= C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF= 3．有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为( ) A ．9B ．3C ．D ．4．如图，BD 、CE 是ABC △的两条高，BD 、CE 相交于O ，则下列结论不正确的是（ ）．A ．ADE V ∽ABC △B ．DOE △∽COB △C ．BOE △∽COD △D ．BOE △∽BDE V5．如图，已知12∠∠=，若再增加一个条件不一定能使结论ADE ABC V V ∽成立，则这个条件是（ ）A ．DB ∠∠= B ．AEDC ∠∠=C ．AD AEAB AC=D ．AD DEAB BC=6．如图DE // BC ，AD :DB=2:1，那么△ADE 与△ABC 的相似比为（ ）A ．16B ．23C ．14D ．27．如图，的高AD ，BE 交于点0，连接DE ，则图中相似三角形共有（ ）A ．4对B ．6对C ．7对D ．8对8．如图，在△ABC 中，AC ＝15，BC ＝18，cos C ＝35，DE ∥BC ，DF ⊥BC ，若S △BFD ＝2S △BDE ，则CD 长为（ ）A ．7.5B ．9C ．10D ．59．已知线段a ，b ，c ，d 是比例线段，其中b 2cm =，c 3cm =，d 6cm =，则a 等于( )A ．1cmB ．4cmC ．9cmD ．36cm10．在比例尺为1：100000的地图上，相距3m 的两地，它们的实际距离为_____km ． 11．如图，直线112y x =+与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，与双曲线4y x=（0x >）相交于点P ，过P 作PC x ⊥轴于点C ，2OC =，在点P 右侧的双曲线上取一点M ，作MH x ⊥轴于H ，当以点M ，C ，H 为顶点的三角形与AOB ∆相似，则点M 的坐标是__________．12．如图，已知D 是BC 边延长线上的一点，DF 交AC 边于E 点，且AF ＝1，BC ＝3CD ，AE ＝2EC ，则FB 长为_____．13．如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么这两个三角形的相似比是______． 14．如图，在ABC V 中，AB AC ，M 为AC 边上一点．要使ABC BCM V V ∽，还需要添加一个条件，这个条件可以是________．（只需填写一个你认为适当的条件即可）15．如图，在矩形中，E 是边的延长线上一点，连接交边于点F 若AB =4，BC =6，DE =2，则AF 的长为___.16．若两个三角形的相似比为3：4，则这两个三角形的面积比为________． 17．如图，直线y ＝12x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B 的对应点B′的坐标为_____．18．如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，为了测量A 、B 之间的距离，小天想了一个办法：在地上取一点C ，使它可以直接到达A 、B 两点，连接AC ，BC ，在AC上取一点M，使AM=3MC，作MN//AB交BC于点N，测得MN=36m，则A、B两点间的距离为_____.19．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M 处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为______.20．如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．求证：CD CB CE CA⋅=⋅21．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？22．如图，AD DE AEAB BC AC==，求证：ABD ACE∠=∠.23．如图，AD 为ABC △的角平分线，BE AD ⊥的延长线于E ，CF AD ⊥于F ，BF 、EC 的延长线交于点P ，求证：CF//AP24．在ABC V 中，ACB 90∠=o ，AC BC 2==，点C 在直线m 上，m//AB ，DBE 45∠=o ，其中点D 、E 分别在直线AC 、m 上，将DBE ∠绕点B 旋转(点D 、E都不与点C 重合)．()1当点D 在边AC 上时(如图1)，设CE x =，CD y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；()2当BCE V 为等腰三角形时，求CD 的长．25．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，边BC 、CD 的垂直平分线交于四边形内部一点O ，连接BO 、DO ，已知BO ∥AD ．（1）判断四边形ABOD 的形状？并证明你的结论；（2）连接AO 并延长，交BC 于点E ，若CE ＝25，BE ＝65，∠ODC ＝45°． ①求AB 的长．②若∠BAD ＝135°，求AO•AE 的值．26．如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE ，AD 与BE 相交于点F.AEF V 与ABE △相似吗？说说你的理由.27．《九章算术》有一道这样的题，原文如下：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”大意为：今有一座长方形小城（如图），东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好有望见这棵树.请解答上述问题（注：1里=300步）.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴S △CPD ＝12S 四边形ABCD ， ∵E 、F 分别为PD 、PC 的三等分点， ∴13PE PF PD PC ==， ∵∠EPF ＝∠DPC ， ∴△PEF ∽△PDC ，∴19PEF PDC S S =n n ， ∴CDEF 89PDC S S n 四边形=，∴CDEF ABCD49S S =四边形四边形， ∴阴影部分的面积与四边形CDEF 的面积比为54， 故选：D ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题． 2．A 【解析】 【分析】已知AB ∥CD ∥EF ，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】 ∵AB ∥CD ∥EF ，DF CE故选A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．3．C【解析】【分析】先由位似图形的性质可得这两个正六边形相似；再由缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的可得相似比为1:，进而求解即可.【详解】∵这两个正六边形是位似图形，∴这两个正六边形相似.∵缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，∴相似比为1:.∵原正六边形的边长为3，∴后来正六边形的边长为=.故选C.【点睛】本题考查本题考查位似图形的应用，需掌握位似图形的性质.4．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，找出图中的全等三角形，即可得到答案.【详解】∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，又∵∠A=∠A∴△ADB∽△AECAE AC又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，故A正确；∵BD、CE是△ABC的高，∴∠OEB=∠ODC=90°，又∵∠EOB=∠DOC∴△BOE∽△COD，故C正确；∵△BOE∽△COD∴OE OB= OD OC又∵∠DOE=∠COB∴△DOE∽△COB，故B正确；无法判定△BOE∽△BDE，故D错误；故选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键. 5．D【解析】【分析】根据12∠=∠可得∠DAE=∠BAC，因此只要再找一组角相等或一组对应边成比例即可. 【详解】解：∵12∠=∠，∴∠DAE=∠BAC.选项A、B中，根据两角分别相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；选项C中根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；选项D中，由于∠DAE与∠BAC，不是成比例两边的夹角，所以不一定能使△ADE∽△ABC. 故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.6．B【解析】【分析】 先求出ADAB的值，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：∵AD ：DB=2：1，23∴=AD AB ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的相似比= 23AD AB = 故选：B ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键． 7．D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可. 【详解】 解：∵的高AD ，BE 交于点O ，∴.又∵，，，∴.∵，∴，∴，又∵，∴，∴，则，∴.又∵，∴.故选D. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及其判定，解题的关键是熟练掌握这些性质. 8．C 【解析】【分析】设CD=5x ，CF=3x ，先证△AED ∽△ABC ，得到ED BC =AD AC，又由S △BFD =2S △BDE ，即12ED•DF=12×12BF•DF ，解得x=2，即可求CD=5×2=10． 【详解】设CD=5x ，CF=3x ，则AD=15-5x ，BF=18-3x ，∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， 即ED BC =AD AC ， 即18ED =15515x -， ED=18(155)15x -（1） ∵S △BFD =2S △BDE ， 即12ED•DF=12×12BF•DF ， 即ED=12（18-3x ）（2） 由（1）（2）得x=2，故CD=5×2=10． 故选：C ．【点睛】本题较复杂，涉及到三角形相似及平行线的性质，需同学们熟练掌握．9．A【解析】【分析】根据a 、b 、c 、d 是成比例线段，得a ：b c =：d ，再根据比例的基本性质，求出a 的值即可．【详解】a Q 、b 、c 、d 是成比例线段，a ∴：bc =：d ，b 2cm =Q ，c 3cm =，d 6cm =，a1cm∴=；故选A．【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．10．300．【解析】【分析】首先根据地图的比例尺，求出在地图上相距3m的两地的实际距离，然后将实际距离的单位换算为km即可.【详解】3÷1100000＝300000（m），300000m＝300km；答：它们的实际距离为300km；故答案为：300．【点睛】本题考查比例尺的应用，学会换算单位也是本题的难点.11．(4,1)或(12)+【解析】【分析】先求出点A、点B的坐标，设点M的坐标为（m，n），分两种情况：当△MCH∽△BAO和△MCH∽△ABO时，由相似得比例求出m的值，即可得出点M的坐标．【详解】解：直线y=12x+1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，令x=0得y=1，令y=0得x=-2，∴A（-2，0），B（0，1）．设点M的坐标为（m，n），∵点M在双曲线4yx=上，∴n=4m．当△MCH∽△BAO时，可得CH MH AO BO=，即221 m n -=，∴m-2=2n，即m-2=8m，∴m2-2m-8=0，解得：m1=4，m2=-2（舍去），∴n=4m=1，∴M（4，1）；当△MCH∽△ABO时，可得CH MH BO AO=，即212 m n -=整理得：2m-4=4m，∴m2-2m-2=0，解得：m1m2，∴n=，∴M（，）．综上，M（4，1）或M（）．故答案为：（4，1）或（，）．【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，一次函数图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，设出点M的坐标然后分两种情况进行讨论是解本题的关键．12．2．【解析】【分析】过C作CG∥AB交DF于G，于是得到△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，根据相似三角形的性质得CGBF＝CDBD，CGAF＝CEAE，求得BF＝4CG，AF＝2CG，即可得到结论．【详解】过C作CG∥AB交DF于G，∴△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，∴CGBF＝CDBD，CGAF＝CEAE∵BC＝3CD，∴CDBD＝14，∴CGBF＝14，∴BF＝4CG，∵AE＝2EC，∴CGAF＝12，∴AF＝2CG，∵AF＝1，∴BF＝2；故答案为：2．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质列出比例式求解.13．1：3【解析】【分析】由两个相似三角形的面积比是1：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴这两个三角形的相似比是：1：3．故答案为：1：3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握定理的应用是解此题的关键． 14．BM BC =或ABC BMC ∠∠=或A MBC ∠∠=（答案不唯一）【解析】【分析】要使△ABC ∽△BCM ，可以再添加BM ＝BC 或∠ABC ＝∠BMC 或∠A ＝∠MBC 从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定．【详解】因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ，若BM ＝BC 或∠ABC ＝∠BMC 或∠A ＝∠MBC （答案不唯一），则△ABC ∽△BCM ．故答案为BM =BC 或∠ABC =∠BMC 或∠A =∠MBC （答案不唯一）．【点睛】这是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．15．4【解析】【分析】由四边形ABCD是矩形，推出，，设，则由，可得，由此构建方程即可解决问题．【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，设，则，，∽，，，，．故答案为4.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．9：16【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个三角形的相似比为3：4，∴这两个三角形的面积比为9：16，故答案为：9：16．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．17．（﹣8，﹣3）或（4，3）．【解析】【分析】先解得点A 和点B 的坐标，再利用位似变换可得结果．【详解】解：∵直线y ＝12x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 令x=0可得y=1；令y=0可得x=-2，∴点A 和点B 的坐标分别为（-2，0）；（0，1），∵△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，13OB OA O B AO ∴==′′′ ∴O′B′=3，AO′=6，∴B′的坐标为（-8，-3）或（4，3）．故答案为：（-8，-3）或（4，3）．【点睛】本题主要考查了位似变换和一次函数图象上点的坐标特征，得出点A 和点B 的坐标是解答此题的关键．18．144m【解析】【分析】根据MN ∥AB ，可得△CMN ∽△CAB ，然后再根据相似三角形的性质可得MN CM AB AC =，再代入数进行计算即可．【详解】解：∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB ， ∴MN CM AB AC=， ∵AM=3MC ，MN=36m ，∴3614 AB，AB=144m，故答案为144m．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形对应边成比例．19．4 3【解析】【分析】由勾股定理可求ME=5，BE=3，通过证明△AMG∽△BEM，可得AG=163，GM=203，即可求解．【详解】∵将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处．∴ME=CE，MB=12AB=4=AM，∠D'ME=∠C=90°，在Rt△MBE中，ME2=MB2+BE2，∴ME2=16+（8-ME）2，∴ME=5，∴BE=3，∵∠D'ME=∠DAB=90°=∠B∴∠EMB+∠BEM=90°，∠EMB+∠AMD'=90°∴∠AMD'=∠BEM，且∠GAM=∠B=90°∴△AMG∽△BEM∴AM AG GM BE MB ME ＝＝∴4345AG GM＝＝，∴AG=163，GM=203∴△AMG的内切圆半径的长=423 AG AM GM+-=故答案为：4 3 .【点睛】此题考查三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG，GM的长度是本题的关键．20．证明见详解【解析】【分析】根据垂直得出∠BEC=∠ADC=90°，求出∠CBE=∠DAC，根据相似三角形的判定定理得出即可.【详解】证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°，∵∠BCE=∠ACD（公共角），∴∠CBE=∠CAD，∴△CBE∽△CAD，∴CE CB CD CA=即：CD CB CE CA⋅=⋅【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．21．AB=4.5m【解析】【分析】如图，根据已知可得AB＝BE，再证明△DCM∽△DBA，然后利用相似三角形的性质得出DC BDMC AB=，设AB＝x，代入数据后解方程即可求出AB的高度．【详解】解：如图，∵∠ABE ＝90°，∠E ＝45°，∴∠E ＝∠EAB ＝∠EFD ＝45°， ∴AB ＝BE ，DE =DF =1.5，∵MC ∥AB ，∴△DCM ∽△DBA ，∴DC BD MC AB=， 设AB ＝x ，则BD ＝x ﹣1.5， ∴1 1.51.5x x -=， 解得：x ＝4.5．∴路灯A 的高度AB 为4.5m ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用和投影问题，根据已知得出AB ＝BE 、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．22．见解析【解析】【分析】由AD DE AE AB BC AC==，得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到∠DAE=∠BAC ，根据角的和差得到∠DAB=∠EAC ，推出△ADB ∽△AEC ，即可得到结论．【详解】证明:∵AD DE AE AB BC AC==， ∴ADE ABC ∆∆∽.∴DAE BAC ∠=∠.∴DAB EAC ∠=∠. ∵AD AE AB AC=， ∴ADBC AEC ∆∆∽.∴ABD ACE ∠=∠.【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23．见解析【解析】【分析】由条件可得CF ∥BE ，结合条件可证明△BAE ∽△ACF ，可得到CP AF PE AE =，则有CF ∥AP ． 【详解】证明：∵CF ⊥AE ，BE ⊥AE ，∴CF ∥BE ， ∴CP CF PE BE=，∠AFC ＝∠AEB ＝90°， ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE ＝∠EAC ，∴△BAE ∽△CAF ， ∴AF CF AE BE=， ∴CP AF PE AE =， ∴CF ∥AP ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的逆定理及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意由线段对应成比例也可以证明平行．24．（1）y 2x =<<；（2）当BCE V 为等腰三角形时，CD 的长为2或2或2．【解析】【分析】(1)证明△ADB ∽△CEB ，通过比例式找到y 与x 的关系；(2)分情况讨论，①当BE=CE 时，C 、D 重合，不符合题意，舍去；②当BC=BE 时，如图1；③当BC=CE 时，有两种图形(如图2、3).画出对应图形后，根据等腰三角形的性质，求出底角度数，再转化为边之间的关系即可求解．【详解】解：()1m //AB Q ，ECB CBA 45∠∠∴==o ．A ECB 45∠∠∴==o ．DBA 45CBD ∠∠=-o Q ，EBC 45CBD ∠∠=-o ，DBA EBC ∠∠∴=．ADB V ∴∽CEB V．AD AB CE BC ∴=，即2y x -=．y 2x ∴=-<<；()2①当BE CE =时，C 、D 重合，不符合题意，舍去；②当BC BE =时，如图1，ECB 45∠=o Q ，CEB 45∠∴=o ，CBE 90∠∴=o ．则CBD 90DBE 45∠∠=-=o o ．ABD 454590∠∴=+=o o o ．A 45∠=o Q ，ABD ∴V 是等腰直角三角形．AD 4∴=，CD 422∴=-=；③当BC CE =时，Ⅰ.如图2，ECB 45∠=o Q ，CBE 67.5∠∴=o ．ABD CBE 67.5∠∠∴==o ．ADB 1804567.567.5o o o o ∠∴=--=．ABD ADB ∠∠∴=，AD AB 22∴==．CD 222∴=-；Ⅱ.如图3，则BCE 135∠=o ，CBE 22.5∠∴=o ．ABD 22.5o ∠∴=，CAB 45∠=o Q ，ADB 4522.522.5∠∴=-=o o o ．AD AB 22∴==．CD 222∴=+．所以当BCE V 为等腰三角形时，CD 的长为2或222或222．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，还考查了分类讨论思想，解题的关键是画出对应图形进行求解．25．（1）证明见解析（2）10（3）100【解析】【分析】（1）连接AO 、CO ，根据中垂线知OB ＝OC ＝OD ，证△ABO ≌△ADO 得∠BAO ＝∠DAO ，由BO ∥AD 知∠BOA ＝∠DAO ，从而得∠BAO ＝∠BOA ，据此知AB ＝BO ，继而得证；（2）连接CO 、DE ，设DE 交OC 于点P ，先证△BOE ≌△DOE 得BE ＝DE 、∠OBE ＝∠ODE ，结合∠OBC ＝∠OCB 知∠OCE ＝∠ODE ，由∠EPC ＝∠OPD 知∠CEP ＝∠DOP ＝90°，根据CE 2+DE 2＝DC 2知CE 2+BE 2＝2AB 2，代入计算可得；（3）由△BOE ≌△DOE ，∠DEB ＝90°知∠OEB ＝∠OED ＝45°，结合四边形ABOD 是菱形，∠BAD ＝135°知∠ABO ＝45°，从而得∠ABO ＝∠AEB ，证△ABO ∽△AEB 得AO•AE ＝AB 2，代入计算可得．【详解】解：（1）四边形ABOD 是菱形，理由如下：如图1，连接AO、CO，∵边BC、CD的垂直平分线交于点O，∴OB＝OC＝OD，又AB＝AD，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SSS），∴∠BAO＝∠DAO，∵BO∥AD，∴∠BOA＝∠DAO，∴∠BAO＝∠BOA，∴AB＝BO，∴AB＝BO＝OD＝AD，∴四边形ABOD是菱形；（2）如图2，连接CO、DE，设DE交OC于点P，∵∠ODC＝45°，OC＝OD，∴∠COD＝90°，△OCD是等腰直角三角形，∴CD22AB，∵四边形ABOD是菱形，∴∠DOA＝∠BOA，∴∠BOE＝∠DOE，在△BOE和△DOE中，∵B0D0BOE DOE0E0E=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴BE＝DE、∠OBE＝∠ODE，∵∠OBC＝∠OCB，∴∠OCE＝∠ODE，又∵∠EPC＝∠OPD，∴∠CEP＝∠DOP＝90°，在Rt△DCE中，CE2+DE2＝DC2，即CE2+BE2＝2AB2，∵CE＝BE＝∴2AB2＝（2+（2＝200，∴AB＝10；（3）由（2）知△BOE≌△DOE，∠DEB＝90°，∴∠OEB＝∠OED＝45°，∵四边形ABOD是菱形，∠BAD＝135°，∴∠ABO＝45°，∴∠ABO＝∠AEB，又∵∠BAO＝∠EAB，∴△ABO∽△AEB，∴AB AD AE AB=，∴AO•AE＝AB2，∵AB＝10，∴AO•AE＝100．【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握菱形的判定与性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点．26．答案见解析【解析】【分析】证ABD BCE ∽△△，得BAD CBE ∠=∠，再证ABE FAE ∠=∠，可进一步证AEF BEA ∽△△.【详解】解：相似.理由如下：∵BD CE =，60ABC C ∠=∠=︒，AB BC =，∴ABD BCE ∽△△，∴BAD CBE ∠=∠，∵60ABC BAC ∠=∠=︒，∴ABE FAE ∠=∠.又∵AEF BEA ∠=∠，∴AEF BEA ∽△△.【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.熟记相似三角形的判定和性质的内容是关键. 27．315步【解析】【分析】根据题意写出AB 、AC 、CD 的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【详解】解：由题意，得15AB =里， 4.5AC =里， 3.5CD =里，∵DE CD ⊥，AC CD ⊥∴//AC DE ，易得ACB ∆∽DEC ∆， ∴DE DC AC AB=， 即 3.54.515DE =， 解得 1.05DE =（里）315=（步）∴走出南门315步恰好能望见这棵树.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出相似三角形是解决此题的关键．。

一、比例1．第四比例项、比例中项、比例线段； 2．比例性质： （1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac bc b b a =⇔=2（2）合比定理：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ba nd b m c a nm dc b a3．黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．结论：PA= AB ． 4．平行线分线段成比例定理： 5．相似三角形：（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形． （2）判定方法．（3）直角三角形判定方法． 6．相似三角形性质．（1）对应角相等，对应边成比例； （2）对应线段之比等于 ； （3）周长之比等于 ； （4）面积之比等于 ． 7．相似三角形中的基本图形． （1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型：（3）旋转型： （4）母子三角形：二、例题解析：1．如果cm a 4=，cm b 6=，cm a 3=，则a ，b ，c 的第四比例项是 ．如果3=a ，12=c ，则a 与c 的比例中项是 ． 2．已知，542c b a ==，则=-+-+bc a b c a 22 ．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= ． 4．如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB=1∶2，若S △AEF =6，则S △CDF = ．E DBACAED CBFEDCBA5．如图，△ABC 中，DE ∥BD ，AD ∶DB=2∶3，则S △ADE ∶S △ECB = ．6．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB 于D ．（1）若AC=4，BC=3，则AD= ，BD= ，CD= ；（2）若AB ∶BC=9∶1，则AD ∶BD= ．7．如图，平行四边形ABCD 中，BC=18cm ，P 、Q 是三等分点，DP 延长线交BC 于E ，EQ 延长线交AD 于F ，则AF=_______．8．如图，在△ABC 中，AB>AC ，边AB 上取一点D ，边AC 上取一点E ，使AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ． 求证：BP ∶CP=BD ∶CE ．9．如图，CD 是Rt △ABC 的斜边上的高线，∠BAC 的平分线交BC ，CD 于E ，F ． 求证：（1）△ACF ∽△ABE ；（2）AC ·AE= AF ·AB ．FAB CD E a b cA BCDEABCDEABCDEABCDDA BCABCDED AB CE BA BEDAPBE DCAFBEDC AF QPCBAD10．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C ． （1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长； （3）在（1），（2）条件下，若AD=3，求BF 的长．11．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=Rt ∠，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能到点B ，C ），过D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．一、判断题：1．两个等边三角形一定相似（ ）2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2（ ） 3．两个等腰三角形一定相似（ ）4．若一个三角形的两个角分别是400、1000，而另一个三角形是顶角为1000的等腰三角形，则这两个三角形相似（ ） 二、填空题：1．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，若AC ＝5cm ，CD ＝4cm ，则AD ＝ cm ，AB ＝ cm ．2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB ＝7cm ，CF ＝3cm ，则AD ∶CE ＝ ．FEDC B AB CE DA3．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，则AB 的长为 ． 4．CM 是△ABC 的中线，AB ＝12，AC ＝9，AC 上有一点N ，且∠ANM ＝∠B ，则CN ＝ ．NMCB AOFEDCBAFEDCBA5．梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过O 作EF 平行于底，与腰AD 、BC 相交于E 、F ，若DC ＝14，OF ＝8，AE ＝12，则DE ＝ ．6．如图，正方形ABCD 的面积为144cm 2，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为112.5cm 2，则BE 的长为 cm ． 三、选择题： 1．已知21=ba ，则ba a +的值为（ ）（A ）21 （B ）32 （C ）31 （D ）432．如图，已知△ADE ∽△ACB ，且∠ADE=∠C ，则AD ：AC=（ ） （A ）AE ：AC （B ）DE ：BC （C ）AE ：BC （D ）DE ：ABABCDABCD EBF EDCABEDCABF3．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果23=DBAD ，AE=15，那么EC 的长是（ ）（A ） 10 （B ） 22. 5 （C ） 25 （D ） 6 4．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DCE ADE S S ∆∆=2，则 ABCADE S S ∆∆=（ ）（A ）41 （B ）21 （C ）32 （D ）945．如图，DE 是三角形ABC 的中位线，△ADE 的面积为3cm 2，则梯形DBCE 的面积为（ ）A 、6cm2B 、9cm2C 、12cm 2D 、24cm2FE DCBA第5题 第6题 第8题6．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上的点，AE ＝21ED ，BE 交AC 于F ，则FCAF =（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、417．如图，△ABC 中，D 是AB 上的点，不能判定△ACD ∽△ABC 的是以下条件中的（ ）A 、∠ACD ＝∠B B 、∠ADC ＝∠ACB C 、AC 2＝AD ·AB D 、AD ∶AC ＝CD ∶BC 8．如图FD ∥BC ，FB ∥AC ，53=BCFE ，则FBAD ＝（ ）A 、52 B 、53 C 、32 D 、859．梯形ABCD 的两腰AD 和BC 延长相交于点E ，若两底的长度分别为12和8，梯形ABCD 的面积等于90，则△DCE 的面积为（ ）A 、50B 、64C 、72D 、5010．如图，已知△ABC 的面积为4 cm 2，它的三条中位线组成△DEF ，△DEF 的三条中位线组成△MNP ，则△MNP 的面积等于（ ） A 、161cm 2B 、81cm2C 、41cm2D 、1cm 2D FEC B AOD FECBA11．如图，E 是AC 的中点，C 是BD 的中点，则EDFE ＝（ ）A 、21 B 、31 C 、32 D 、4112．如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 在AD 上，且AF ＝21FD ，EF 交AC 于点O ，若AC ＝12，则AO ＝（ ）A 、4B 、3C 、2.4D 、213．如图，E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知△COE 与△BOC 的面积分别为2和8，则四边形AOED 的面积为（ ）A 、16B 、32C 、38D 、40 14．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 为对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 的值等于（ ）A 、2B 、35 C 、23 D 、115．如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB ，AC 于E ，F ．求证：BDBE ADAF =．ABCDEABCDE ABCD EABCDEFECADBAEF OEDCBAE FDCBA16．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少？FG HMABCDE。

相似模型【相似模型一：A 字型】 特征 模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB CBDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD特征 模型结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D 顺着比，交叉乘 ③ △BOC∽△DOA特征 模型 结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE② △ABD∽△ACE特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=特征模型结论ECD BAA BDC EEDCBA90度，45度； 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六：三角形内接矩形模型】 特征模型结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H G FED C BA【相似模型七：十字模型】 特征 模型 结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，则△CDE ∽△BCD ，CE CDBD BC平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，①D 为中点，②AE ⊥BD ，③BE ：EC＝2：1，④∠ADB ＝∠CDE ，⑤∠AEB ＝∠CED ，⑥∠BMC ＝135°，⑦2BMMC =，这七个结论中，“知二得五”【A 型，X 型，三平行模型】1.如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE =∠B ，AE =6，ED =3，AF =8，则AC =_________，CDBC=_________．F E DCBABCDE FA2．如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ，其中AF =6，DF =3，CF =2，则AE =_________．3.如图，在Rt △ABD 中，过点D 作CD ⊥BD ，垂足为D ，连接BC 交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，若AB =15，CD =10，则BF :FD =_____________．FEBCAN MEDCBA4.如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，AC ，分别交BD 于M ，N ，则BM :DN =_____________．5.如图所示，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ．则下列结论：①△EFD ∽△ABD ；②EF BF CD BD =；③1EF EF FD BF AB CD BD BD +=+=；④111AB CD EF+=．其中正确的有___________． F EDCBA图26.在△ABC 中，AB=9，AC=6，点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边上.当AN= 时，△AMN 与原三角形相似.7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 是边AB 的中点，现有一点P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为 .8.如图，已知O 是坐标原点，点A.B 分别在y x 、轴上，OA=1，OB=2，若点D 在x 轴下方，且使得△AOB 与△OAD 相似，则这样的点D 有 个.9.如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=16cm ，BC=8cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动；动点Q 同时从点B 出发，沿BC 方向运动,如果点P 的运动速度均为4cm/s ，Q 点的运动速度均为2cm/s ，那么运动几秒时，△ABC 与△PCQ 相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落地边AC上，记为点B＇，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图，四边形中，平分，，，为的中点．（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求的值．13.如图，在中，为上一点，，，，于，连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形，并证明．14.如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，交于点．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若，求的值．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= _________.19.如图所示，AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则S1:S2:S3=__________.20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于点G，则线段BG与GC的数量关系是___.21. 如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD=AB=4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 .22.如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在边AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ． （1）求证： ；（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG 、AF ，分别交DE 于M 、N 两点．如图2，若AB =AC =1，直接写出MN 的长；如图3，求证MN 2=DM【母子型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形1（附答案）1．如图，五边形ABCDE 和五边形11111A B C D E 是位似图形，点A 和点1A 是一对对应点，P 是位似中心，且123PA PA =，则五边形ABCDE 和五边形11111A B C D E 的相似比等于( )A ．23B ．32C ．35D ．532．下列三角形中，与下图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB=6cm ，则BC 的长为（ ）cmA ．353-B ．935-C ．656-或935-D ．935-或353-4．如图，点O 是△ABC 内任一点，点D ，E ，F 分别为OA ，OB ，OC 的中点，则图中相似三角形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得4BC =米，2CA =米，则树的高度为（ ）A ．6米B ．4.5米C ．4米D ．3米6．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CD ＝4，BC ＝5，则AC 等于（ ）A ．3B ．4C ．163D ．2037．已知：如图，在▱ABCD 中，AE ：EB=1：3，则FE ：FC=（ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．3：28．已知a ，d ，b ，c 依次成比例线段，其中3a cm =，4b cm =，6c cm =，则d 的值为（ ）A ．8cmB ．192 cm C ．4cm D ．92cm 9．如图，∠1=∠2=∠3，则下列结论不正确的是（ ）A ．△DEC ∽△ABCB ．△ADE ∽△BEAC ．△ACE ∽△BEAD ．△ACE ∽△BCA10．如图，BE ，CF 为△ABC 的两条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则AE 的长为（ ）A ．185B ．4C ．215D ．24511．如图，ADE ACB V V ∽，则:DE BC =________．12．如图，在ABC ∆中，//,3cm,5cm,DE BC AD AB ADE ==∆与ABC ∆是否相似_________，相似比是__________．13．以原点O 为位似中心，将ABC V 缩小，使变换后得到的111A B C V 与ABC V 对应边的比为1:2．请在网格内画出111A B C V ，并写出点1A 的坐标________．14．已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝4，点D 从A 出发以每秒5个单位的速度向点B 运动，同时点E 从点B 出发以每秒4个单位的速度向点C 运动，在DE 的右侧作∠DEF ＝∠B ，交直线AC 于点F ，设运动的时间为t 秒，则当△ADF 是一个以AD 为腰的等腰三角形时，t 的值为_____．15．如图，△ABC 是等边三角形，AB=3，E 在AC 上且AE=AC ，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转900，得到线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值是_______16．如图，在四边形ABCD 中，,15A CBD AB ∠=∠=cm ，20AD =cm ，18BD =cm ，24BC =cm ，则CD 的长为__________cm ．17．若a:b=1:3，b:c=2:5，则a:c=_____.18．（2017四川省绵阳市）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点，若CA =5，AB =6，AB =1：3，则MD +12MA DN⋅的最小值为______．19．A 城市的新区建设规划图上，新城区的南北长为120cm ，而该新城区的实际南北长为6km ，则新区建设规划图所采用的比例尺是__________.20．如图，ABC △与AEF V 中，AB AE BC EF B E AB ==∠=∠，，，交EF 于D ．给出下列结论：①AFC C ∠=∠；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠．其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）．21．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画圆，P 是⊙O 上一动点且在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线，与x 、y 轴分别交于点A 、B ．（1）求证：△OBP 与△OPA 相似；（2）当点P 为AB 中点时，求出P 点坐标；（3）在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q ，O ，A 、P 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，试求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，过点D 作DE ⊥AD 交AB 于点E ，以AE 为直径作⊙O（1）求证：点D 在⊙O 上；（2）求证：BC 是⊙O 的切线；（3）若AC=6，BC=8，求BE 的长度．23．已知O 是坐标原点，A 、B 的坐标分别为（3，1）、（2，−1）.（1）画出V OAB 绕点O 顺时针旋转90°后得到的11△OA B ；（2）在y 轴的左侧以O 为位似中心作V OAB 的位似22OA B △（要求：新图与原图的相似比为2：1）.24．如图，在68⨯的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O 和ABC V 的顶点均为格点．()1以O 为位似中心，在网格图中作A'B'C'V ，使A'B'C'V 与ABC V 位似，且位似比为1：2；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)()2若点C 和坐标为()2,4，则点A'的坐标为(______ ，______ )，点C'的坐标为(______ ，______ )，A'B'C'S V ：ABC S =V ______ ．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．(1)求证：DH 是圆O 的切线；(2)若32FD EF =，求证：A 为EH 的中点． (3)若EA=EF=1，求圆O 的半径．26．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AB 上一点，且AE=13AB ，EF ⊥EC ，连接BF ． （1）求证：△AEF ∽△BCE ；（2）若AB=33，BC=3，求线段FB 的长．27．已知在ABC V 中，D 是边AC 上的一点，CBD ∠的角平分线交AC 于点E ，且AE AB =，求证：2AE AD AC =⋅．28．已知△ABC 中，D 为AB 边上任意一点，DF ∥AC 交BC 于F ，AE ∥BC ，∠CDE=∠ABC ＝∠ACB ＝α，(1)如图1所示，当α=60°时，求证：△DCE 是等边三角形；(2)如图2所示，当α=45°时，求证：CD DE =2； (3)如图3所示，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE 与DE 的数量关系：CE DE ＝_____.参考答案1．B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为：1PAPA，进而求出即可．【详解】∵五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，P是位似中心，且2PA=3PA1，∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为：13=2PAPA．故选B．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比=相似比得出是解题关键．2．B【解析】【分析】根据图示知该三角形是腰长为3的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可．【详解】如图：A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；B．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确；C．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．3．D【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知BC可能是较长线段，也有可能是较短线段，则BC或BC，将AB＝6cm代入计算即可.【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，∴BC＝3或BC＝9－故选D.【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，其中较长的线段为全线段与较短线.4．D【解析】【分析】根据点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,可得DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,可得DE//AB,DF//AC,EF//BC,进而可判定△DOE∽△AOD,△DOF∽△AOC,△EOF∽△BOC,根据中位线性质可得12DE AB =,11,22DF AC EF BC ==, 继而可得12DE DF EF AB AC BC ===，可判定△DEF ∽△ABC. 【详解】因为点D,E,F 分别为OA,OB,OC 的中点,所以DE 是△AOB 的中位线,DF 是△AOC 的中位线,EF 是△BOC 的中位线,所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,所以△DOE ∽△AOD, △DOF ∽△AOC, △EOF ∽△BOC,因为DE 是△AOB 的中位线,DF 是△AOC 的中位线,EF 是△BOC 的中位线, 所以12DE AB =,11,22DF AC EF BC ==, 所以12DE DF EF AB AC BC ===， 所以△DEF ∽△ABC,因此有四对相似三角形,故选D.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法. 5．B【解析】【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】如图：∵BC=4， AC=2，∴AB=2+4=6，∵CD ∥BE ，∴△ACD ∽△ABE ，∴AC ：AB=CD ：BE ，∴2：6=1.5：BE ，∴BE=4.5m ，∴树的高度为4.5m ，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了转化的思想．6．D【解析】分析：由勾股定理求得BD，证得△BDC∽△CDA，根据相似三角形的性质即可求得结果．详解：∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=4，BC=5，由勾股定理得：2222=54BC CD--=3，∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠B=90°-∠BCD=∠ACD，∠BDC=∠ADC，∴△BDC∽△CDA，∴BC BD AC CD＝，即534 AC＝，解得：AC=20 3故选D．点睛：本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．C【解析】【分析】由平行四边形的性质可知AB=CD，再根据AE：EB=1：3可得BE：CD=3：4，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得FE：EC的值.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴△BEF ∽△DCF ，∴EF ：FC=BE ：CD ，∵AE ：EB=1：3，AE+BE=AB ，∴BE ：AB=3：4，∴EF ：FC=3：4，故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.8．D【解析】【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．根据题意得： ::a d b c =代入数值即可求得．【详解】根据题意得：a :d =b :c ，∵a =3cm ，b =4cm ，c =6cm ，∴3:d =4:6， ∴9cm 2d =； 故选:D.【点睛】本题主要考查了成比例线段，解题的关键是理解成比例线段的概念.9．C【解析】试题解析：A.∵∠2=∠3，∠C=∠C ，∴△DEC ∽△ABC ，故A 正确；B ∵∠2=∠3，∴DE ∥AB ，∴∠DEA=∠EAB ，∵∠1=∠3，∴△ADE ∽△BEA ；故B 正确；C.∵∠1=∠2，∠BEA≠∠C ，∴△ACE 与△BEA 不相似；故C 错误；D.∵∠1=∠3，∠C=∠C ，∴△ACE ∽△BCA ；故D 正确.故选C ．10．A【解析】【分析】根据两组角对应相等，得到△AEB ∽△AFC ，根据相似三角形的性质得到,AE AB AF AC =进而证明△AEF ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到,EF AE BC AB =代入即可求解. 【详解】∵BE ，CF 为△ABC 的两条高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A ，∴△AEB ∽△AFC ， ∴,AE AB AF AC= ∵∠A=∠A ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴,EF AE BC AB= ∵AB=6，BC=5，EF=3， ∴3,56AE = ∴18.5AE = 故选A ．【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键.11．1:3【解析】【分析】根据相似三角形的性质进行计算即可．【详解】∵△ADE ∽△ACB ， ∴DE BC =AD AC =233+=13.故答案为1:3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质. 12．相似3：5【解析】【分析】DE BC可得同位角相等，即∠ADE=∠B，∠AED=∠C，两角对应相等得由//△ADE∽△ABC，再由对应边的比例得相似比.【详解】DE BC，∵//∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，则:相似比=AD:AB=3:5【点睛】本题结合平行，考查了两角对应相等则两三角形相似的判定方法以及相似比.1,413．()【解析】【分析】利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【详解】如图所示：A1（1，4）．故答案为（1，4）．【点睛】此题主要考查了位似图形画法，得出对应点位置是解题关键．14．521【解析】【分析】当△ADF 是一个以AD 为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD ＝AF ，由题意DF ＝4t ，BE ＝4t ，DF ∥BE ，推出四边形BEFD 是平行四边形，由△ABC ∽△BED ，可得=BD BE BC AB，延长构建方程即可解决问题；【详解】如图1，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵AB ＝AC ＝5，∴BG ＝CG ＝2，由勾股定理得：AG ＝22(5)2 ＝1，由图形可知：∠BAC 是钝角，∴当△ADF 是一个以AD 为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD ＝AF ，由题意DF ＝4t ，BE ＝4t ，DF ∥BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴∴DEF ＝∠BDE ＝∠B ，∴△ABC ∽△BED ，∴=BD BE BC AB，∴55=5t，∴t＝5 21，故答案为5 21．【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．15．【解析】【分析】作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM=x，则CM=x，可计算出EM=-x+1，再利用旋转的性质得到ED=EF，∠DEF=90°，证明△EDM≌△FEN得到DM=FN=x，EM=NF=-x+1，接着利用勾股定理得到AF2=（-x+1）2+（2+x）2，配方得到AF2= （x-）2+，然后利用非负数的性质得到AF的最小值.【详解】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM=x，在Rt△CDM中，CM=DM=x，而EM+x=1，∴EM=-x+1，∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，∴ED=EF，∠DEF=90°，可得△EDM≌△FEN，∴DM=FN=x，EM=NF=-x+1，在Rt△AFN中，AF2=（-x+1）2+（2+x）2=（x-）2+，当x=时，AF2有最小值，∴AF的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质.16．1085（AB AD BDBD BC DC==）【解析】【分析】由AB:AD=BD:BC且其夹角对应相等，即A CBD∠=∠，可证明△BAD∽△DBC，再利用比例关系求解CD.【详解】∵AB:AD=BD:BC=34，又∵A CBD∠=∠，∴△BAD∽△DBC，∴201824AD BDBC DC DC===，解得CD=1085.【点睛】本题通过证明三角形相似，再利用相似的比例关系求解边.17．2∶15【解析】分析：已知a、b两数的比为1：3，根据比的基本性质，a、b两数的比1：3=（1×2）：（3×2）=2：6；而b、c的比为：2：5=（2×3）：（5×3）=6：15；，所以a、c两数的比为2：15．详解：a ：b=1：3=（1×2）：（3×2）=2：6； b ：c=2：5=（2×3）：（5×3）=6：15；，所以a ：c=2：15；故答案为：2:15．点睛：本题主要考查比的基本性质的实际应用，如果已知甲乙、乙丙两数的比，那么可以根据比的基本性质求出任意两数的比．18．．【解析】解：∵AB =6，AB =1：3，∴AD =6×13=2，BD =6﹣2=4．∵△ABC 和△FDE 是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，∴∠A =∠B =∠FDE ．由三角形的外角性质得，∠AMD +∠A =∠EDF +∠BDN ，∴∠AMD =∠BDN ，∴△AMD ∽△BDN ，∴MA MD BD DN =，∴MA •DN =BD •MD =4MD ，∴MD +12MA DN ⋅=MD +3MD =22+-2+∴=，即MD 时，MD +12MA DN ⋅有最小值为19．1:5000【解析】【分析】根据比例尺是图上距离与实际距离的比值即可求解．【详解】∵图上距离为120cm ，实际距离为6km=600000cm ，∴新区建设规划图所采用的比例尺=120：600000=1：5000．故答案为1：5000．【点睛】本题考查了比例尺的定义，熟知比例尺是图上距离与实际距离的比值是解题的关键. 20．①③④【解析】解：在△ABC与△AEF中，∵AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，∴△AEF≌△ABC，∴AF=AC，∴∠AFC=∠C，故①正确．由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，可知：△ADE∽△FDB，故③正确；∵∠EAF=∠BAC，∴∠EAD=∠CAF，由△ADE∽△FDB可得∠EAD=∠BFD，∴∠BFD=∠CAF，故④正确．综上可知：①③④正确．点睛：本题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．21．(1)见解析；（2）P）；（3）存在；Q）．【解析】【分析】（1）在Rt△OAB中，由切线的性质知：OP⊥AB，易证得△OAP∽△BPO．（2）当P为AB中点时，由于OP⊥AB，那么OP平分∠AOB，即P点的横、纵坐标相等，已知OP的长，易求得点P的坐标．（3）此题应分两种情况：①OP为对角线，此时OQ∥AP，由于∠OP A=90°，那么∠POQ=90°，即△POQ是等腰直角三角形，已知OA⊥OB，那么OB⊥PQ，此时OB为∠POQ的对角线，即P、Q关于y轴对称由此得解；②OP为边，此时OP∥AQ，由于∠OP A=90°，那么平行四边形OP AQ为矩形，即∠POQ是等腰直角三角形，解法同①．【详解】解：（1）证明：∵AB是过点P的切线，∴AB⊥OP，∴∠OPB=∠OPA=90°；∴在Rt△OPB中，∠1+∠3=90°，又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3；在△OPB中△APO中，∴△OPB∽△APO．（2）∵OP⊥AB，且PA=PB，∴OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴OP是∠AOB的平分线，∴点P到x、y轴的距离相等；又∵点P在第一象限，∴设点P（x，x）（x＞0），∵圆的半径为2，∴，解得x=（舍去），∴P）．（3）存在；①如图设OAPQ为平行四边形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，∴∠POQ=90°，∵OP=OQ，∴△POQ是等腰直角三角形，∴OB是∠POQ的平分线且是边PQ上的中垂线，∴∠BOQ=∠BOP=45°，∴∠AOP=45°，设P（x，x）、Q（﹣x，x）（x＞0），∵OP=2，解得∴Q）；②如图示OPAQ为平行四边形，同理可得Q）．【点睛】此题主要考查的是切线的性质以及平行四边形的判定,相似三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识,难度较大.22．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE=．【解析】【分析】(1)连接OD，由DO为直角三角形斜边上的中线，得到OD=OA=OE，可得出点D在圆O上；（2）由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据两直线平行同位角相等即可得到∠ODB为直角，即BC与OD垂直，即可确定出BC为圆O 的切线；（3）过E作EH垂直于BC，由OD与AC平行，得到△ACB与△ODB相似，设OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD与BE 的长．【详解】（1）连接OD，∵△ADE是直角三角形，OA=OE，∴OD=OA=OE，∴点D在⊙O上；（2）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠DAB，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，∴∠C=∠ODB=90°，∴BC是⊙O的切线；（3）在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，∴根据勾股定理得：AB=10，设OD=OA=OE=x，则OB=10﹣x，∵AC ∥OD ，△ACB ∽△ODB ，∴，∴OD=， 解得：x=，∴OD=，BE=10﹣2x=10﹣=．【点睛】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．23．见解析【解析】【分析】（1）将点A 、点B 绕点O 顺时针旋转90°得到点A 1、B 1，连接A 1、B 1、O 三点即可；（2）根据位似的性质得出A 2、B 2的位置，连接A 2、B 2、O 三点即可；【详解】如图所示：【点睛】本题主要考查图形的旋转以及图形的位似的作图方法.24．（1）详见解析；（2）()()2'1,0A -， ()'1,2C ，'''A B C S V ：1ABC S =V ：4． 【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出A′，B′，C′的位置，进而得出答案；（2）由（1）中所画图形可得．【详解】解：()1如图所示：'''A B C V 即为所求；()()2'1,0A -， ()'1,2C ，'''A B C S V ：1ABC S =V ：4．【点睛】此题主要考查了相位似变换，利用位似比得出对应点的位置是解题关键．25．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）51+ 【解析】【分析】（1）由角的关系易证OD //AC ，已知DH AC ⊥，即证.DH OD ⊥（2）由OD //AC ，可证ODF AEF V V ∽，根据“相似三角形的对应边成比例”易得32FD OD EF AE ==, 设32OD x AE x =，＝ 证明E B C ∠=∠=∠，EDC △是等腰三角形，表示出.EH 即可证明.（3）通过等量关系表示出边的长度，由BFD EFA V V ∽，可得对应边的比例关系的方程，求解即可.【详解】解：(1)连接OD ，如图1，∵在⊙O 中，OB OD =，∴OBD ODB ，∠=∠∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴ODB ACB ∠=∠，∴OD //AC ，∵DH AC ⊥，∴90,AHD ∠=︒∴180?90,ODH AHD ∠=︒-∠=︒ ∴DH OD ⊥，∴DH 是圆O 的切线；(2)∵ ODF E OFD AFE ∠=∠∠=∠，，∴ODF AEF V V ∽，∴32FD OD EF AE ==， 设32OD x AE x =，＝连接AD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，即AD BD ⊥，∵AB AC =，∴D 是BC 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ， 26AC OD x ==，∴8,EC EA AC x =+=∵在⊙O 中，E B ∠=∠，∴E B C ∠=∠=∠，∴EDC △是等腰三角形，∵DH AC ⊥， ∴142EH EC x == ∵A 在EH 上且2AE x =,∴A 为EH 的中点.(3)如图2，设⊙O 的半径为r ，即OD OB r ==，∵EF EA =，∴EFA EAF ∠=∠，∵OD ∥EC ，∴FOD EAF ∠=∠，则FOD EAF EFA OFD ∠=∠=∠=∠，∴DF OD r ==，∴1DE DF EF r =+=+，∴1?BD CD DE r ===+， 在⊙O 中，∵BDE EAB ∠=∠，∴BFD EFA EAB BDE ∠=∠=∠=∠，∴BF BD =，BDF V 是等腰三角形，∴1BF BD r ==+，∴()2211?AF AB BF OB BF r r r ==-=-+=-﹣，∵,BFD EFA B E ∠=∠∠=∠， ∴BFD EFA V V ∽，,EF BF FA DF= 11,1r r r+∴=-解得：12r r == (不合题意，舍去)，综上所述，⊙O ． 【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系、圆中的计算问题以及相似三角形的判定与性质.属于综合题，难度较大，对学生综合能力要求较高.26．（1）证明见解析（2）31【解析】 分析：(1)、根据矩形的性质以及EF ⊥EC 得出∠AFE=∠BEC ，从而得出三角形相似；(2)、根据题意得出AE 和BE 的长度，然后根据三角形相似得出AF 的长度，然后根据Rt △ABF 的勾股定理得出答案．详解：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A=∠CBE=90°， ∴∠AEF+∠AFE=90°， 又∵EF ⊥EC ， ∴∠AEF+∠BEC=90°， ∴∠AFE=∠BEC ， ∴△AEF ∽△BCE ； （2）∵AB=3、AE=AB ， ∴AE=、BE=2， ∵△AEF ∽△BCE ， ∴=，即=， 解得：AF=2， 则BF===． 点睛：本题主要考查的是矩形的性质以及三角形相似的判定与性质，属于中等难度的题型．根据双垂直得出∠AFE=∠BEC 是解题的关键．27．证明见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD ＝∠C ，可证明△ABD ∽△ABC ，即可解题．【详解】∵BE 平分CBD ∠，∴DBE CBE ∠∠=，∵AE AB =，∴ABE AEB ∠∠=，∵ABE ABD DBE ∠∠∠=+，AEB C CBE ∠∠∠=+，∴ABD C ∠∠=，∵ABD C ∠∠=，A A ∠∠=，∴ABD ABC V V ∽，∴AB:AD AC:AB =，即：AB AB AD AC ⋅=⋅，∵AE AB =，∴AE AE AD AC⋅=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．28．1【解析】试题分析：（1）证明△CFD≌△DAE即可解决问题．（2）如图2中，作FG⊥AC于G．只要证明△CFD∽△DAE，推出DCDE=CFAD，再证明CF=2AD即可．（3）证明EC=ED即可解决问题．试题解析：（1）证明：如图1中，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=BA．∵DF∥AC，∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF=BD，∴CF=AD，∠CFD=120°．∵AE∥BC，∴∠B+∠DAE=180°，∴∠DAE=∠CFD=120°．∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE．∵∠CDE=∠B=60°，∴∠FCD=∠ADE，∴△CFD≌△DAE，∴DC=DE．∵∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形．（2）证明：如图2中，作FG⊥AC于G．∵∠B=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BAC=90°，∴∠BFD=45°，∠DFC=135°．∵AE∥BC，∴∠BAE+∠B=180°，∴∠DFC=∠DAE=135°．∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE．∵∠CDE=∠B=45°，∴∠FCD=∠ADE，∴△CFD∽△DAE，∴DCDE=CFAD．∵四边形ADFG是矩形，FC2FG，∴FG=AD，CF2AD，∴CDDE2（3）解：如图3中，设AC与DE交于点O．∵AE∥BC，∴∠EAO=∠ACB．∵∠CDE=∠ACB，∴∠CDO=∠OAE．∵∠COD=∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴COEO=ODOA，∴COOD=EOOA．∵∠COE=∠DOA，∴△COE∽△DOA，∴∠CEO=∠DAO．∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°．∵∠CDE=∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ECD，∴EC=ED，∴CEDE=1．点睛：本题考查了相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。

专题三 相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF ,②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MB MC-的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ PA⊥交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，∥PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ∥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得∥CNQ与∥PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO =10，AB =8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点. (1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，∥APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似． ①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L ：y =﹣x 2+bx +c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x =1交于点B ．（1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y =kx ﹣k +4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1m（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？ （3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AEAB的值． （3）点C 关于x 轴的对称点为H 5FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式 （2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ． （1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠PAB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y ＝ax 2＋5ax ＋c （a ＜0）与x 轴负半轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，D 是抛物线的顶点，过D 作DH ⊥x 轴于点H ，延长DH 交AC 于点E ，且S △ABD ：S △ACB ＝9：16，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若△DBH 与△BEH 相似，试求抛物线的解析式．9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO V 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是32x =-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟）如图，抛物线2481293y x x =--与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点． （1）求△AOB 的外接圆的面积；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒2个单位沿射线AC 方向运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位沿射线BA 方向运动，当点P 到达点C 处时，两点同时停止运动．问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似？（3）若M 为线段AB 上一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交抛物线于点N ． ①是否存在这样的点M ，使得四边形OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M 运动到何处时，四边形CBNA 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形CBAN 面积的最大值．13．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()2y ax c a x c =+-+经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为L '. （1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D .若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.14．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．15．（2018·四川中考真题）如图，抛物线y =12x 2+bx +c 与直线y =12x +3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD |的值最大，并求出这个最大值； （3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧) (1)求点A 、B 的坐标；(2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；(3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

2020中考数学相似三角形专题训练（含答案）一、选择题：1. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（ ）A．B．C．D．﹣答案：D．2.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）A．=B．=C．=D．=答案：C3. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）A．①②③④ B．①④ C．②③④D．①②③答案D．4.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C．二、填空题：5.已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO= ．答案：4．6. 在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．答案：或．7.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．故答案为113°或92°．8.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．答案：1．9. （2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE= ．答案：．10.如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为．故答案为3：4．三、解答题：11.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；（2）∵△BDE∽△CEF，∴，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC．12.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．13. 如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE===4，在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2．∵△ADF∽△DEC，14. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是　MD=ME　；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，∴MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中，=tan∠MDE=tan．15. （1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE 是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为　AD=AB+DC　；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE 上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．。

中考专题训练——相似三角形的判定和性质1．如图，E是菱形ABCD对角线AC上一点，四边形BGFE是矩形．点F，G分别在DC，BC上．（1）求证：∠CFG＝∠ABE．（2）若BE＝4，，求FM的长．2．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．3．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b（b＜a），点E在CD 边上，点G在BC延长线上，点H为BC上的点，连接DF，DH．（1）当DH⊥DF时，求证：△DEF∽△HCD．（2）若点H为BC的中点，在（1）的条件下，求出a与b满足的关系式．4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF 相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．5．北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图为“弦图”的一部分，在正方形ABCD中，DE⊥AF，BF⊥AF．（1）求证：EF＝DE﹣BF；（2）连接BE，若BF2＝EF•DE，求证：∠1＝∠2．6．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．（1）求证：DE∥CF；（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．7．如图，△ABC中，AB＝AC．（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点E和点D．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接BD，若BD＝BC＝2，求AC的长．（3）在（2）的条件下，cos C＝．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P 与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E．（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长．9．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A 作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．（1）求证：△AEF∽△DAC；（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．10．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F 在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'．（1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'；（2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值．12．如图，正方形ABCD，E、F分别是边AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N．（1）求证：AF＝DE，AF⊥DE．（2）求AM：MN：NF的值．13．问题背景如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．变式迁移如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．拓展应用如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n ＞1，直接写出的值．14．问题提出（1）如图①正三角形ABC，边长为4，D、E是边AB、AC的中点，P在BC边上，则△PDE的面积为；问题解决（2）如图②，某小区有一块五边形空地ABCDE，CD⊥DE，AE∥CD，CB＝CD＝40m，AE＝10米，∠ABC＝∠BCD＝120°，物业想在这块空地中划出一块△MNP区域来种植草皮，其他区域种植花卉．已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100元．要求M，N，P分别位于AB，ED，CD边上，且MN∥CD，要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值．15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，在BC延长线上作EF＝AE，连接AF交CD于点G，设CE：EB＝λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．（2）连接EG，若G点为CD的中点，①求证：EG⊥AF．②求λ的值．16．如图，已知△ABC，点D，E分别在BC，CA上，且满足AD＝AB，EB＝EC．（1）用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD，EB，AD与EB交于点F．①求证：△BDF∽△CBA；②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则DF的长为．17．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°，DF的延长线与BC的延长线相交于点G．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的长；（3）若，求的值．18．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点（不与A、D重合），点F在边DC 延长线上，CF＝AE，连接BE、BF、EF，EF交BC于点M，交对角线BD于N．（1）求证：∠BEF＝45°；（2）若BE平分∠ABD，求证：BE2＝AB•BM；（3）若DE：EA＝3：2，则EN：NM：MF＝（直接写答案）．19．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．（1）求证：△ABH≌△EAF；（2）如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求的值．20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．参考答案与试题解析1．如图，E是菱形ABCD对角线AC上一点，四边形BGFE是矩形．点F，G分别在DC，BC上．（1）求证：∠CFG＝∠ABE．（2）若BE＝4，，求FM的长．【分析】（1）根据菱形的性质可得AB∥CD，从而可得∠CAB＝∠DCA，根据矩形的性质可得BE∥FG，从而可得∠BEM＝∠FME，然后利用三角形的外角可得∠BEM＝∠BAE+∠ABE，∠FME＝∠ACD+∠CFG，即可解答；（2）根据矩形的性质可得EB＝FG＝4，∠EFG＝∠FGB＝90°，EF∥BG，再利用（1）的结论在Rt△FGC中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出CG，CF的长，根据菱形的性质可得AD∥BC，AD＝DC，从而可得AD∥EF，∠DAC＝∠DCA，进而可得∠FEC＝∠DCA，然后利用等角对等边可得FE＝FC＝5，最后证明8字模型相似三角形△EFM∽△CGM，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵四边形BGFE是矩形，∴BE∥FG，∴∠BEM＝∠FME，∵∠BEM＝∠BAE+∠ABE，∠FME＝∠ACD+∠CFG，∴∠CFG＝∠ABE；（2）解：∵四边形BGFE是矩形，∴EB＝FG＝4，∠EFG＝∠FGB＝90°，EF∥BG，∴∠FGC＝180°﹣∠FGB＝90°，∵，∠CFG＝∠ABE，∴tan∠CFG＝，∴CG＝FG•tan∠CFG＝4×＝3，∴FC＝＝＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝DC，∴AD∥EF，∴∠DAC＝∠FEC，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∴∠FEC＝∠DCA，∴FE＝FC＝5，∵∠EFG＝∠FGC＝90°，∠EMF＝∠CMG，∴△EFM∽△CGM，∴＝，∴＝，∴FM＝，∴FM的长为．2．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵CF＝BE，∴CF+EC＝BE+EC．即EF＝BC．在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，∴AD∥EF且AD＝EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠ECA+∠DCF＝90°，∴∠EAC＝∠DCF，∴△AEC∽△CFD，∴＝＝，∴EC＝2AE＝8，解法一：∴＝＝＝4．解法二：∴＝（）2＝（）2＝4．3．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b（b＜a），点E在CD 边上，点G在BC延长线上，点H为BC上的点，连接DF，DH．（1）当DH⊥DF时，求证：△DEF∽△HCD．（2）若点H为BC的中点，在（1）的条件下，求出a与b满足的关系式．【分析】（1）证明∠EDF＝∠DHC，再结合90°角可以证明△DEF∽△HCD；（2）根据（1）中的相似得到对应边成比例，可以得到关于a和b的等式即可得解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，CEFG都是正方形，∴∠HCD＝90°，∠CEF＝∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠HCD＝90°，∴∠HDC+∠DHC＝90°，又∵DH⊥DF，∴∠HDF＝90°，∴∠HDC+∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠DHC，∴△DEF∽△HCD．（2）解：∵点H为BC的中点，∴HC＝，∵CD＝a，CE＝EF＝b，∴DE＝a﹣b，由（1）可知△DEF∽△HCD，∴，∴，∴，即a与b满足的关系式为a＝．4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF 相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．【分析】（1）根据已知可得＝，从而可得△CDG∽△CFD，然后利用相似三角形的性质可得∠CDG＝∠CFD，从而可得∠CDG＝∠AED，进而可得AB∥CD，最后证明四边形ABCD是平行四边形，从而利用平行四边形的性质即可解答；（2）根据等腰三角形的性质可得∠CFD＝∠M，从而可得∠AED＝∠M，然后利用平行线的性质可得∠A＝∠CDM，从而可证△AED∽△DMC，进而利用相似三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵CD2＝CG•CF，∴＝，∵∠DCG＝∠DCF，∴△CDG∽△CFD，∴∠CDG＝∠CFD，∵∠AED＝∠CFD，∴∠CDG＝∠AED，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD；（2）如图：∵CF＝CM，∴∠CFD＝∠M，∵∠AED＝∠CFD，∴∠AED＝∠M，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∴△AED∽△DMC，∴＝，∴AE•DC＝AD•DM，∵AB＝DC，∴EA•AB＝AD•MD．5．北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图为“弦图”的一部分，在正方形ABCD中，DE⊥AF，BF⊥AF．（1）求证：EF＝DE﹣BF；（2）连接BE，若BF2＝EF•DE，求证：∠1＝∠2．【分析】（1）利用正方形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，从而可得∠BAF+∠DAE ＝90°，根据垂直定义可得∠AED＝∠F＝90°，从而可得∠BAF+∠ABF＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠DAE＝∠ABF，从而可证△ABF≌△DAE，D进而可得DE＝AF，AE＝BF，即可解答；（2）利用（1）的结论可得DE＝AF，∠BAF＝∠ADE＝∠2，从而可得＝，进而可得△FBE∽△F AB，然后利用相似三角形的性质可得∠1＝∠BAF，即可解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AF，BF⊥AF，∴∠AED＝∠F＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠DAE＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴DE＝AF，AE＝BF，∵EF＝AF﹣AE，∴EF＝DE﹣BF；（2）∵△ABF≌△DAE，∴DE＝AF，∠BAF＝∠ADE＝∠2，∵BF2＝EF•DE，∴＝，∴＝，∵∠F＝∠F，∴△FBE∽△F AB，∴∠1＝∠BAF，∴∠1＝∠2．6．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．（1）求证：DE∥CF；（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出∠BDE＝∠CAD，进而得出∠BDE＝∠BCF，即可证明DE∥CF；（2）先证明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM ＝∠CAD，即可证明DF∥AC．【解答】证明：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF（SAS），∴∠CAD＝∠BCF，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠ACB＝60°，∵∠ADE+∠BDE＝∠ACB+∠CAD，∴∠BDE＝∠CAD，∴∠BDE＝∠BCF，∴DE∥CF；（2）如图2，∵DF2＝FM•FC，∴，∵∠DFM＝∠CFD，∴△DFM∽△CFD，∴∠FDM＝∠FCD，∵∠CAD＝∠BCF，∴∠FDM＝∠CAD，∴DF∥AC．7．如图，△ABC中，AB＝AC．（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点E和点D．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接BD，若BD＝BC＝2，求AC的长．（3）在（2）的条件下，cos C＝．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）求出证明∠A＝36°，再利用相似三角形的性质证明即可；（3）过点B作BH⊥CD于点H．求出CH，可得结论．【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求；（2）如图，∵点D在AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C，∵∠BDC＝∠A+∠DBA＝2∠A，∴∠C＝2∠A，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝36°，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴CB2＝CD•CA，∴22＝CD•（CD+2），∴CD＝﹣1（负值已经舍去），∴AC＝CD+AD＝+1；（3）过点B作BH⊥CD于点H．∵BC＝BD，BH⊥CD，∴CH＝DH＝，∴cocC＝＝．故答案为：．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P 与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E．（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长．【分析】（1）利用“一线三直角”模型，即可证明Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）由矩形的性质结合已知条件得出CD＝AB＝4，利用含30度角的直角三角形的性质得出PC＝8，利用勾股定理求出PD的长度，进而求出AP的长度，再利用相似三角形的性质即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝90°，∴∠PCD+∠DPC＝90°，∵∠CPE＝90°，∴∠EP A+∠DPC＝90°，∴∠PCD＝∠EP A，∴Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴CD＝AB＝4，在Rt△PCD中，∠CPD＝30°，CD＝4，∴PC＝8，∴，∴，∵Rt△AEP∽Rt△DPC，∴，即，∴．9．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A 作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．（1）求证：△AEF∽△DAC；（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．【分析】（1）根据矩形的性质可得AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D ＝90°，根据垂直定义可得∠F AE＝90°，从而可得∠BAF＝∠DAE，进而可得△ABF ∽△ADE，然后利用相似三角形的性质可得＝，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答；（2）根据角平分线的定义可得∠AFE＝∠CFE，从而证明△AFE≌△CFE，进而可得AF ＝CF，AE＝EC，然后再证△AFG≌△CFG，从而可得∠F AG＝∠FCG，再结合（1）的结论可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，从而可得AE∥CG，进而利用菱形的判定方法即可解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，∵AE⊥AF，∴∠F AE＝90°，∴∠F AE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，∴∠BAF＝∠DAE，∵∠D＝∠ABF＝90°，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠D＝∠F AE＝90°，∴△AEF∽△DAC；（2）如图：∵FE平分∠AFB，∴∠AFE＝∠CFE，∵∠F AE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，∴△AFE≌△CFE（AAS），∴AF＝CF，AE＝EC，∵FG＝FG，∴△AFG≌△CFG（SAS），∴∠F AG＝∠FCG，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠FCG，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠BCG+∠DCG＝90°，∴∠DCG＝∠AED，∴AE∥CG，∵AB∥CD，∴四边形AGCE是平行四边形，∵AE＝EC，∴四边形AGCE为菱形．10．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F 在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得AE＝DE＝BD，CE＝BD，再结合已知CF＝BD，从而可得AE＝CF，进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据AE＝CE，即可解答；（2）利用（1）的结论可得AE＝CF＝DE，AD∥CE，从而可得∠ADE＝∠DEC，进而可得∠ADE＝∠DCG，再利用平行线的性质可得∠EAD＝∠CFD，然后证明△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝90°，E为BD的中点，∴AE＝DE＝BD，∵CF＝BD，∴AE＝CF＝DE，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BCD＝90°，E为BD的中点，∴CE＝BD，∴AE＝CE，∴四边形AECF为菱形；（2）∵四边形AECF为菱形，∴AD∥CE，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠DCG＝∠DEC，∴∠ADE＝∠DCG，∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠CFD，∴△ADE∽△FCD，∴＝，∴CF•DE＝AD•CD，∵AE＝CF＝DE，∴AE2＝AD•DC．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'．（1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'；（2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值．【分析】（1）可证得∠F′BE＝∠CBG′，＝，从而证明了结论；（2）先求得BG的长，进而求得BG′，然后解直角三角形ABG′求得结果．【解答】（1）证明：∵FG∥CE，∴△BFG∽△BEC，∴＝，∴＝，∵∠F′BG′＝∠EBC，∴∠FBG′+∠EBG′＝∠EBC+∠EBG′，即∠F′BE＝∠CBG，∴△BEF′∽△BCG′；（2）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝3，∴BE＝3，由（1）知：＝，∴＝，∴BG＝，∴BG′＝BG＝，在Rt△ABG′中，由勾股定理得，AG′＝＝＝，∴EG′＝AE﹣AG′＝3﹣＝，EG″＝，综上所述：EG′＝．12．如图，正方形ABCD，E、F分别是边AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N．（1）求证：AF＝DE，AF⊥DE．（2）求AM：MN：NF的值．【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△BAF，即可得AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，故∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，AF⊥DE；（2）设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，由勾股定理和面积法可得AM＝＝x，证明△NAD∽△NFB，可得NF＝AF＝x，即可得到答案．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB＝DA，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F为边AB、BC的中点，∴BF＝AE，在△ADE与△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，∴∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AME＝90°，∴AF⊥DE；（2）解：设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，在Rt△ADE中，DE＝＝x，由（1）知DE＝AF，∴AF＝x，∵2S△ADE＝AE•AD＝DE•AM，∴AM＝＝x，∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠NBF，∠NAD＝∠NFB，∴△NAD∽△NFB，∴＝＝2，∴AN＝2FN，∴NF＝AF＝x，∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，∴AM：MN：NF＝x：x：x＝6：4：5．13．问题背景如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．变式迁移如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．拓展应用如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n ＞1，直接写出的值．【分析】问题背景：由2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，得出∠ADE ＝∠EDB，由∠DEB＝90°，得出∠DEA＝∠DEB＝90°，即可得出△DEA≌△DEB，进而证明AE＝BE；变式迁移：延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，由DF∥BE，得出△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，进而得出，即可证明DG＝FG；拓展应用：在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，进而得出△DBE≌△DBP，得出∠EDB＝∠PDB，由∠EDB＝∠DCB，得出∠PDB＝∠DCB，继而证明△DPB∽△CPD，得出＝＝＝，设BP＝1，则PD ＝n，得出PC＝n2，求出BC＝n2﹣1，继而得出＝n2﹣1．【解答】问题背景：证明：如图1，∵2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝2∠EDB，∴∠ADE+∠EDB＝2∠EDB，∴∠ADE＝∠EDB，∵∠DEB＝90°，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，在△DEA和△DEB中，，∴△DEA≌△DEB（ASA），∴AE＝BE；变式迁移：证明：如图2，延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，∵DF∥BE，∴∠CDG＝∠M，∠CGD＝∠CEM，∠CGF＝∠CEB，∠CFG＝∠CBE，∴△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，∴，，∴，∵ME＝BE，∴DG＝FG；拓展应用：解：如图3，在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，在△DBE和△DBP中，，∴△DBE≌△DBP（SAS），∴∠EDB＝∠PDB，∵∠EDB＝∠DCB，∴∠PDB＝∠DCB，∵∠P＝∠P，∴△DPB∽△CPD，∴＝＝，∵，∴＝＝＝，设BP＝1，则PD＝n，∴，∴PC＝n2，∴BC＝PC﹣BP＝n2﹣1，∴＝＝＝n2﹣1．14．问题提出（1）如图①正三角形ABC，边长为4，D、E是边AB、AC的中点，P在BC边上，则△PDE的面积为2；问题解决（2）如图②，某小区有一块五边形空地ABCDE，CD⊥DE，AE∥CD，CB＝CD＝40m，AE＝10米，∠ABC＝∠BCD＝120°，物业想在这块空地中划出一块△MNP区域来种植草皮，其他区域种植花卉．已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100元．要求M，N，P分别位于AB，ED，CD边上，且MN∥CD，要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，根据三角函数求出AH，由中位线定理得出DE的长度，再根据三角形面积公式求出面积即可；（2）延长AB交DC延长线于点G，要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即△MNP面积最大，作MF⊥DC于点F，设QH＝m，用m的代数式表示出△MNP的面积，利用二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等边三角形，D、E是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝2，∵AH＝tan∠ABC•AB＝4，∴△PDE的高为AH＝2，∴△PDE的面积为×2×2＝2，故答案为：2；（2））延长AB交DC延长线于点G，要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即△MNP面积最大，作MF⊥DC于点F，∵∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠GBC＝∠BCG＝60°，∴△GBC为等边三角形，即GC＝BC＝40m，GD＝GC+CD＝80m，作MF⊥CD于F，设GF＝x，则MF＝GF•tan60°＝x，∵MN∥CD，MF⊥CD，ND⊥CD，∴四边形MNDF是矩形，∴MN＝FD＝GD﹣GF＝80﹣m，∴S△MNP＝（80﹣m）×m＝﹣（m﹣40）2+800，∵﹣＜0，∴当m＝40时，△MNP的面积最大为800，作AQ⊥MN于Q，则MQ＝MN﹣NQ＝MN﹣AE＝80﹣40﹣10＝30，∴AQ＝MQ•tan60°＝30，此时花卉种植面积为S梯形AEDG﹣S△BCG﹣S△MNP＝（10+80）×（30+40）﹣×40×20﹣800＝1950，∴总费用为800×100+1950×200＝470000（元），即要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积最大，费用的最小值为470000元．15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，在BC延长线上作EF＝AE，连接AF交CD于点G，设CE：EB＝λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．（2）连接EG，若G点为CD的中点，①求证：EG⊥AF．②求λ的值．【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立；②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；（2）①证明：∵EA＝EF，点G为CD的中点，∴DG＝CG，在△ADG和△FCG中，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴AG＝FG，∵AE＝EF，∴EG⊥AF；②设CD＝2a，则CG＝a，由①知，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴＝，∵GC＝a，FC＝2a，∴＝，∴＝，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝＝＝．16．如图，已知△ABC，点D，E分别在BC，CA上，且满足AD＝AB，EB＝EC．（1）用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD，EB，AD与EB交于点F．①求证：△BDF∽△CBA；②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则DF的长为．【分析】（1）以A点为圆心AB长为半径画弧交BC于点D，作BC的垂直平分线交AC 于E即可；（2）①根据等腰三角形的性质得出两组对应角相等即可证明三角形相似；②过点A作AH⊥BD于点H，根据勾股定理求出BC的长度，刘勇三角函数求出BH，根据等腰三角形的性质得出BD，再根据相似三角形对应边成比例求出DF即可．【解答】解：（1）作图如下：（2）①如下图：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵EB＝EC，∴∠EBD＝∠C，∴△BDF∽△CBA；②过点A作AH⊥BD于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵cos∠ABH＝，∴＝，∴BH＝，∵AB＝AD，∴BD＝2BH＝，由①知△BDF∽△CBA，∴，即，解得DF＝，故答案为：．17．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°，DF的延长线与BC的延长线相交于点G．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的长；（3）若，求的值．【分析】（1）根据已知可得∠B＝∠C＝45°，再根据∠DEF＝45°，然后利用一线三等角模型证明，即可解答；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，根据已知可得DE＝DF，然后证明一线三等角模型全等△ADF≌△HED，从而可得AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，进而可求出BH，BE，AB，BC的长，进行计算即可解答；（3）过点C作MC⊥AC，交DG于点M，可得AB∥CM，根据已知在Rt△DHE中，设EH＝m，则DH＝2m，利用（2）的结论可得EH＝AD＝BH＝m，DH＝AF＝2m，BE＝BH＝m，从而求出BE，BC，CF的长，进而可得AF＝CF，然后证明△ADF≌△CMF，利用全等三角形的性质可得AD＝CM＝m，最后证明△BDG∽△CMG，利用相似三角形的性质进行计算可求出CG的长，从而求出EG的长，即可解答．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝135°，∵∠DEF＝45°，∴∠BED+∠FEG＝180°﹣∠DEF＝135°，∴∠BDE＝∠FEG，∴△BDE∽△CEF；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∵∠DEF＝45°，∴DE＝DF，∵∠ADF+∠EDB＝90°，∠ADF+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠EDB，∵∠A＝∠EHD＝90°，∴△ADF≌△HED（AAS），∴AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，∵∠BHE＝90°，∠B＝45°，∴BH＝HE＝1，∴BE＝BH＝，AB＝AD+DH+BH＝4，∵BC＝AB＝4，∴EC＝BC﹣BE＝3；（3）过点C作MC⊥AC，交DG于点M，∴∠A＝∠MCA＝90°，∴CM∥AB，在Rt△DHE中，，∴＝，设EH＝m，则DH＝2m，由（2）得：EH＝AD＝BH＝m，DH＝AF＝2m，BE＝BH＝m，∴AC＝AB＝AD+DH+BH＝4m，∴BC＝AB＝4m，CF＝AC﹣AF＝4m﹣2m＝2m，∴AF＝CF，∵∠A＝∠MCF＝90°，∠AFD＝∠MFC，∴△ADF≌△CMF（ASA），∴AD＝CM＝m，∵CM∥AB，∴∠B＝∠MCG，∠BDG＝∠CMG，∴△BDG∽△CMG，∴＝，∴＝，∴CG＝2m，∴EG＝BC+CG﹣BE＝5m，∴＝＝5，∴的值为5．18．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点（不与A、D重合），点F在边DC 延长线上，CF＝AE，连接BE、BF、EF，EF交BC于点M，交对角线BD于N．（1）求证：∠BEF＝45°；（2）若BE平分∠ABD，求证：BE2＝AB•BM；（3）若DE：EA＝3：2，则EN：NM：MF＝21：29：20（直接写答案）．【分析】（1）先证明△ABD≌△BCF，进而便可得∠BEF的度数；（2）证明BD＝AB，再证明△EBD∽△MBF，得BE•BF＝BD•MB，进而便可得出结论；（3）设正方形ABCD的边长为a，用a表示AE、CF、DE，证明△FMC∽△MED，用a 表示CM，进而用a表示BM，再证明△EDN∽△MBN，便可求得EN：MN，进而便可求得结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°＝∠BCF，∵AE＝CF，∴△ABD≌△BCF（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，∴∠ABF＝∠EBC+CBF＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝90°，∴∠BEF＝∠BFE＝45°；（2）证明：由（1）知，∠BFE＝∠BEF＝45°，BE＝BF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB＝∠ABD＝45°，∠ABC＝90°，∴BD＝AB，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∴∠CBF＝90°﹣∠EBC＝∠ABE＝∠EBD，∵∠EDB＝∠NFB＝45°，∴△EBD∽△MBF，∴，∴BE•BF＝BD•MB，∵BE＝BF，BD＝AB，∴；（3）解：设正方形ABCD的边长为a，∵DE：EA＝3：2，∴AE＝AD＝，DE＝a，∴CF＝AE＝＝，∵CD＝AD＝a，∴CF：DF＝2：7，∵CM∥DE，∴△FMC∽△FED，∴＝，∴CM＝DE＝，∴BM＝BC﹣CM＝a﹣＝a，∵DE∥BM，∴△EDN∽△MBN，∴，设EN＝21k，则MN＝29k，∵，∴MF＝，∴MF＝20k，∴EN：NM：MF＝21k：29k：20k＝21：29：20．故答案为：21：29：20．19．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．（1）求证：△ABH≌△EAF；（2）如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求的值．【分析】（1）由∠ABC＝∠BCD和AE∥DC可得AB＝AE，由EF∥AB可得∠BAH＝∠AEF，由AE∥DC，CH∥AF可得四边形AHCF为平行四边形，从而可得AH＝CF，再由EF∥AB可得∠ABC＝∠CEF，从而可得EF＝CF，即可得出EF＝AH，即可证明；（2）延长BM，EF交于点G，由EF∥AB可得∠ABE＝∠FEC，由AE∥CF可得∠AEB ＝∠FCE，从而可得△ABE∽△FEC，设EF＝CF＝a，AB＝AE＝ax，由点M为AF中点可得AM＝FM，由EF∥AB可得∠ABM＝∠FGM，可证△ABM≌△FGM（AAS），则FG ＝AB＝ax，则EG＝EF+FG＝a+ax，由（1）可知四边形AHCF为平行四边形，可得AH ＝CF＝a，则EH＝AE﹣AH＝ax﹣a，由AB∥EG可得△ABH∽△EGH，从而可得＝，即＝，解得x＝1±，由x＞0可得x＝1+，即＝x＝1+．【解答】（1）证明：∵AE∥DC，∵∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠AEB＝∠ABC，∴AB＝AE，∵EF∥AB，∴∠BAH＝∠AEF，∵AE∥DC，CH∥AF，∴四边形AHCF为平行四边形，∴AH＝CF，∵EF∥AB，∴∠ABC＝∠CEF，∵AE∥CF，∴∠ECF＝∠AEB＝∠ABC，∴∠ECF＝∠CEF，∴EF＝CF，∴EF＝AH，∴△ABH≌△EAF（SAS）；（2）如图，延长BM，EF交于点G，∵EF∥AB，∴∠ABE＝∠FEC，∵AE∥CF，∴∠AEB＝∠FCE，∴△ABE∽△FEC，设EF＝CF＝a，AB＝AE＝ax，∵点M为AF中点∴AM＝FM，∵EF∥AB∴∠ABM＝∠FGM，∴△ABM≌△FGM（AAS），FG＝AB＝ax，∴EG＝EF+FG＝a+ax，由（1）可知四边形AHCF为平行四边形，∴AH＝CF＝a，∴EH＝AE﹣AH＝ax﹣a，∵AB∥EG∴△ABH∽△EGH，∴＝，即＝，解得x＝1±，∵x＞0，∴x＝1+，即＝x＝1+．20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．【分析】（1）根据垂线的画法画图即可；设AG＝x，则BG＝5﹣x，在Rt△AFG中，tan ∠BAE＝＝2，可得FG＝2x，在Rt△BFG中，tan∠ABF＝，求得x＝2，由勾股定理可得AF＝，即可得出答案．（2）过点C作CM⊥AH于点M，在Rt△ABH中，tan∠BAE＝＝2，可得BH＝10，CH＝BH﹣BC＝2，根据AB∥CD，可得∠CEH＝∠BAE，则tan∠CEH＝＝2，可得CE＝1，在Rt△CEM中，tan∠CEM＝＝2，设EM＝a，则CM＝2a，由勾股定理可得CE2＝EM2+CM2，即可求得a＝，则CM＝，在Rt△CFM中，CF＝BC＝2，由勾股定理可得FM＝＝，进而可得EF＝FM﹣EM＝，则根据EF•CM可得出答案．【解答】解：（1）如图，FG即为所求．设AG＝x，则BG＝5﹣x，在Rt△AFG中，tan∠BAE＝＝2，∴FG＝2x，在Rt△BFG中，tan∠ABF＝，解得x＝2，∴AG＝2，FG＝4，AF＝＝2．（2）过点C作CM⊥AH于点M，在Rt△ABH中，tan∠BAE＝＝2，∴BH＝10，则CH＝BH﹣BC＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠CEH＝∠BAE，则tan∠CEH＝＝2，∴CE＝1，在Rt△CEM中，tan∠CEM＝＝2，设EM＝a，则CM＝2a，由勾股定理可得CE2＝EM2+CM2，即a2+（2a）2＝12，解得a＝，∴CM＝，在Rt△CFM中，CF＝BC＝2，由勾股定理可得FM＝＝，∴EF＝FM﹣EM＝．∴EF•CM＝．。