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第六章 数理统计的基本概念

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概率与统计学课件-第六章-数理统计的基本概念2-1

概率与统计学课件-第六章-数理统计的基本概念2-1
6.1
�总体与样本
基本概念: 总体：研究的问题所涉及的对象的全体 个体：总体中的每个成员 样本：从总体中抽取部分个体 样本容量：样本所包含的个体数量 样本观测值：
数的属性 样本的二重性 随机变量的属性
设X1,X2, …,Xn为总体X的一个容量为 n的 样本。若它满足 独立性，即X1,X2, …,Xn 相互独立； 同分布性，即每个 Xi都与总体X服从相 同的分布. 则称这样的样本为简单随机样本，简称为 样本。
�统计量
设是总体X的样本，g(X1,X2, …,Xn)是样本 的实值函数，且不包含任何未知参数，则 称g(X1,X2, …,Xn)为统计量。
例2.若X1,X2, X3是来自总体X~N(μ, σ 2)的 其中参数μ未知， σ2已知，则
X 1 X 3 − 3µ , X12 + 4 X 22 + 5µ 都不是统计量
�定理
若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本，设X 的分布函数为 F(x)，则样本X1,X2, …,Xn的 联合分布函数为
n
∏ F (x )
i i =1
例1.若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本，设 X的分布函数为 F(x)，则样本 X1,X2, …,Xn的联合分布函数为
⎧ n − λ xi (1 − e ), xi > 0(i = 1, 2,⋯ , n) ⎪∏ F ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = ⎨ i =1 ⎪ 0 , 其他 ⎩
1/8， 25 ≤ x<27 2/8， 27 ≤ x<30 3/8， 30 ≤ x<33 Fn(x)= 5/8， 33 ≤ x<35 6/8， 35 ≤ x<45 7/8， 45 ≤ x<65 1， 65 ≤ x

第六章 数理统计的基本概念pdf_(一)基本要求

第六章 数理统计的基本概念pdf_(一)基本要求
分别为总体的样本均值和样本方差分别为总体的样本均值和样本方差独立同服从分布由分布的性质知为来自x的简单随机样本x是样本均值为总体x的样本为总体y的样本的样本均值分别表示总体证明由抽样分布的知识可得11独立又两个总体相互独立
.第六章 数理统计基本概念
一、基本要求、重点与难点
（一）基本要求
1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念。掌握样本均值和样本 方差的计算。
（2）设 X ~ χ 2 (n) ，则 E(X)=n，D(X)=2n .
若 X ~ χ 2 (n) ，对于α (0 < α < 1) ，称满足 P( X > χα2 (n)) = α的点χα2 (n) 为 χ 2 (n) 分布的
上侧α 分位点。当 n>45 时，R.A.Fisher 证明了下面的近似公式
( ) χα2
(n)
≈
1 2
uα +
2
2n −1 ,
其中 uα 为标准正态分布的上侧α 分位点。
2、 自由度为 n 的 t 分布：
定义设 X1, X2 独立，X1～N(0,1)， X2～ χ 2 (n) ，则称
T (n) = X1 X 2 n
的分布是自由度为 n 的 t 分布,简记为 t(n) ，亦称为学生（student）分布。这种分布是英国人 w.s.Gosset 在 1908 年以笔名”student”发表的，它是数理统计中最重要的分布之一。 命题 设 T(n)是自由度为 n 的 t 分布，则它的概率密度函数为：
2．会列出分组数据统计表。 3．了解X2-分布、t-分布和F-分布的定义及性质。了解分位数的概念并会查
表计算。 4．掌握正态总体的抽样分布规律。
（二）重点
1．样本均值和样本方差的计算。 2．分组数据统计表。 3．正态总体的抽样分布规律。

概率论与数理统计-6

概率论与数理统计-6

一、统计量
定义1 设X1, X2, …, Xn是总体X的样本，样本函数g(X1, X2, …, Xn)是样 本的实体函数，且不含有任何未知参数，则称这类样本函数g(X1, X2, …, Xn)为统计量。
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即对 一次具体的观测或试验，它们都是具体的数值，但当脱离开具体的某 次观测或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量。
n i 1
( xi
x )2
1n (
n 1 i1
xi2
nx 2 )
。
（3）样本标准差
S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
它的观测值记为 s
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
。
（6-5）
（4）样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
(k
1，2 ，3，
)
它的观测值记为 ak
解 将样本的观察值由小到大排列为 1 2 3 3 4 4 4 5 6 8
所以样本的频率分布如表所示
X
1
2
3
4
5
6
8
fn
0.1
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.1
例1 设总体服从泊松分布，容量为10的样本观察值如下：
214 3 5 6 4 8 4 3 试构造样本的分布函数F10(x)。
例1 设随机变量 X ~ (0 ，1) 分布，求D(X)。
解 因为 X ~ (0 ，1)
所以 又
E(X ) p E( X 2 ) 0 (1 p) 12 p p

数理统计基本概念

数理统计基本概念
n1 Γ( ) 2 n 1 x 2 fT ( x ) (1 ) 2 , n n n Γ ( ) 2
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;

数理统计的基本概念

数理统计的基本概念
(n 2) n n

n 1 2
, x .
t 分布的概率密度图形
图形关于 x 0 对称， lim f ( x; n) 0 , 且 x 当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态 分布的概率密度。
定理 4： X 1， 2， ， n 是抽自正态总体 设 X X
若总体 X 是离散型的，其分布律为：
则样本的联合分布为
§6.2 抽样分布
6.2.1 统计量的概念 由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“ 加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数， 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 。 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。 定义2：设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体X的样本， g( X 1 , X 2 , , X n ) 是样本 X 1 , X 2 , , X n 的函数，如果 g( X 1 , X 2 , , X n ) 中不包含任何未知参数，则称它 是一个统计量。
1 (0.82)
1 0.7939 0.2061
X ~ N (0, 22 ), X1 , X 2 , X3 , X 4 为其样本，求a,b 例2:总体
(2). (n 1)S / ~ (n 1)
2
X (1). X ~ N ( ， / n)， 或 ~ N (0，) ； 1 / n 2 2 2
2
X (3). X 与 S 相互独立； (4). ~ t(n 1). S/ n
定理5：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自总体 2 两样本独立， X ~ N ( 1 , 12 )和Y ~ N ( 2 , 2 )的样本， 2 S12 / S2 则有 F 2 ~ F ( m 1, n 1). 2 1 / 2 定理6*：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自

概率论与数理统计 第六章--数理统计的基本概念

概率论与数理统计 第六章--数理统计的基本概念

F分布性质2 若X ~t(n)，则X2~F(1,n)
例4.设X1,X2, …,Xn是来自正态总体N(0,1) 的样本，试问c=( )统计量
c
2 X i 3 i 1 n
X
i 4
2 i
服从F分布？
抽样分布的分位点
设α为给定的常数，且0<α<1.若存在χα2(n)使
P ( n)
分位点的性质
(1) u1 u (2)
t1 (n) t (n)
1 (3) F (m, n) F1 (n, m)
回顾1. 设X1 ,X2 ,X3, X4是来自总体N(0,4)的简单 随机样本，X=a(X1-2 X2)2+b(3X3 -4X4)2，问当 a,b为何值时，统计量X服从 2分布 .
Max=1572, Min=738, 组数=6 组距=(Max-Min)/6=139140 取a0=735, 则分组区间及相关数据如下
组序 1 2 分区区间 (735,875] (875,1015] 频数 6 8 频率 0.2 0.27 累计频率 0.2 0.47
3
4 5 6 合计
(1015,1155]
2
所服从的分布为自由度为 n 的 分布 记为
2
~ (n)
2 2
分布的密度函数为
2
n x 1 1 n2 x2 e 2 f ( x; n ) 2 ( n 2 ) 0
x0 x0
其中伽玛函数 ( x )通过积分
( x ) e t dt, x 0 0 来定义.
(1155,1295] (1295,1435] (1435,1575]
9
4 2 1 30
0.3

习题解答 - 第六章 数理统计基本概念

2 2
么值时， η 服从 χ 分布？并给出自由度。
2
解答：因 ξ1 ,L , ξ 4 是 N (0, 2 ) 的一个样本，所以 a (ξ1 − 2ξ 2 ) 与 b (3ξ3 − 4ξ 4 ) 相互独立，
2
且由例 3.16 可知它们分别服从 N (0, 20a ) 、 N (0,100b) ，要使 η 服从 χ 分布，只要
_ _
σ2
n
, E (S 2 ) = σ 2 。 （1）因
ξ
B(k , p) ， 则 E (ξ ) = μ = kp, D (ξ ) =
_
_
_
σ2
n
_
=
kp(1 − p ) ， E ( S 2 ) = σ 2 = kp(1 − p ) ； n =
（2）因 ξ
π (λ ) ，则 E (ξ ) = μ = λ , D(ξ ) =
i =1
10
N (0, 0.32 ) ，所以 ξ 0.3
N (0,1) ，即从中抽取的容量为 10 的样本，去
10 10
我们有
∑ (ξ 0.3)2
i =1
10
χ 2 (10) ，所以 0.05 = P{∑ ξ 2 > λ} = P{∑ (ξ / 0.3) 2 >
i =1 i =1
λ
0.09
}
查表可知
_ 1 1 11 [∑ ni ⋅ xi2 − n( x) 2 ] = (8 ⋅ 02 + 5 ⋅12 + 7 ⋅ 32 + 3 ⋅ 42 + 2 ⋅ 62 − 25 ⋅ 22 ) = ， 3 24 n −1 _ 1 n − 1 2 24 11 b2 = [∑ ni ⋅ xi2 − n( x) 2 ] = s = ⋅ = 3.52 n n 25 3

第六章 数理统计的基本概念


1 n 2 S S ( X X ) i n 1 i 1
2
(4) 样本k阶(原点)矩
1 n k Ak X i n i 1
k 1, 2,
k 2,3,
(5) 样本k阶中心矩
1 n Bk ( X i X )k n i 1
§2
常用统计量的分布
统计量的分布称为抽样分布.下面介绍三种由 正态总体演化而来的统计量的分布：
• 从二战后到现在，是统计学发展的第三个时期，这是一个在 前一段发展的基础上，随着生产和科技的普遍进步，而使这 个学科得到飞速发展的一个时期，同时，也出现了不少有待 解决的大问题．
学科奠基者



数理统计作为一个进一步完善的数学学科的奠基者是英国人费歇尔。他1909 年入剑桥大学，攻读数学物理专业，三年后毕业。毕业后，他曾去投资办工 厂，又到加拿大农场管过杂务，也当过中学教员。1919年，他开始对生物统 计学产生了浓厚的兴趣，参加罗萨姆斯泰德试验站的工作，致力于数理统计 在农业科学和遗传学中（费歇尔1890—1962）的应用研究。 年轻的费歇尔主要的研究工作是用数学将样本的分布给以严格的确定。 在一般人看来枯燥乏味的数学，常能带给研究者极大的慰藉，费歇尔热衷于 数理统计的研究工作，后来的理论研究成果有：数据信息的测量、压缩数据 而不减少信息、对一个模型的参数估计等。 最使科学家称赞的工作则是试验设计，它将一切科学试验从某一个侧面 “科学化”了，不知节省了多少人力和物力，提高了若干倍的工效。 费歇尔培养了一个学派，其中有专长纯数学的，有专长应用数学的。在30－ 50年代费歇尔是统计学的中心人物。1959年费歇尔退休后在澳大利亚度过了 最后三年。
若 x1 , x2 , , xn 是样本的观察值, 则 g ( x1 , x2 , xn ) 是 g ( X 1 , X 2 , X n )

概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第6章 数理统计的基本概念教程


3.样本k阶(原点)矩 Ak = 样本k阶中心矩
Bk =
1 n k ∑ X i 反映总体k阶矩E(Xk)的信息 n i =1 P E ( X k ) = k , k = 1, 2, L →
反映总体k
9
1 n P → ∑ ( X i X )k E {[ X E ( X )]k } = mk n i =1 k=1,2,…
1o
X ~ N ( ,
σ2 ) n
即
X ~ N (0,1) σ/ n
2o 3o
(n 1) S 2 ~ χ 2 ( n 1) σ2 X 与 S 2 相互独立 4o X ~ t ( n 1) S/ n
23
24
4
1o
X ~ N ( , X=
σ2 ) n
即
X ~ N ( 0, 1) σ/ n
4o
正态总体的抽样分布定理
例 设 X1,…,X10 是取自N(0,0.32)的样本,求
P{∑ X i > 1.44}
2 i =1 10
定理一,二,三
2 2 设 X 1 ,..., X n 是来总体 N ( , σ ) 的样本, X , S 分别为样
本均值和样本方差,则
例 设 X 1 , X 2 , L , X 15 是来自总体 N (0,1)的一个简单随 2 2 X 12 + X 2 + L + X 10 机样本, Y= 则 服从 分布. 2 2 2 2( X 11 + X 12 + L + X 15 )
4
个体:组成总体的元素(如:某一个灯泡的寿命)
每个可能的观察值
有限总体 无限总体 如:考察某大学大一2000名男生的身高 如:考察某大学大一2000名男生的身高 如:测量一湖泊任一地点的深度

第六章 数理统计的基本概念

第六章 数理统计的基本概念§6.1基本概念 §6.2样本数字特征一、填空题1. 若12,,n X X X ,为来自总体X 的容量为n 的样本，则样本均值X = ，样本方差2S = ； 2．设总体(4,40)X N , 1210,,X X X ,是X 的简单随机样本，则X 的概率密度()f x = ； .3．某种灯泡的寿命X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，12,,n X X X ，是取自总体X 的简单随机样本，则12(,,)n X X X ，的联合密度函数为 ；4．设总体2(,2)X N μ ，12,,n X X X ，为取自总体的一个样本，X 为样本均值，要使2()0.1E X μ-≤成立，则样本容量n 至少应取多大 ；.5．设n X X X ,,21 ，是来自总体2(,)N μσ的随机样本，,a b 为常数，且0a b <<，则随机区间222211()(),n n i i i i X X b a μμ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑∑的长度的数学期望为 。

.二、选择题1. 设(1,4)X N ，12,,n X X X ,为X 的样本，则（C ）（A ）1~(01)2X N -，； （B ）1~(01)4X N -，； （C~(01)N ，； （D~(01)N ，. 2．设12,,n X X X ,是总体X 的样本，则有（D ）（A ）()X E X =； （B ）()X E X ≈； （C ）1()X E X n=； （D ）以上三种都不对. 3．设总体(2,9)X N , 1210,,X X X ,是X 的样本，则（B ）（A ）(20,90)X N ； （B ）(2,0.9)X N ； （C ）(2,9)X N； （D ）(20,9)X N .4．设总体2(,)X N μσ , 其中μ已知, 1234,,X X X X ,是X 的样本，则不是统计量的是（C ） （A ）145X X +； （B ）41i i X μ=-∑； （C ）1X σ-； （D ）421i i X =∑.5．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，对给定的(01)αα<<，数a u 满足{}a P X u α>=，若{||}P X x α<=，则x 等于（C ）（A ）2a u ； （B ）12a u-；（C ）12a u -； （D ）1a u -.6．设12,,n X X X ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，则（C ）（A ）2222()E X S μσ-=-； （B ）2222()D X S μσ+=+； （C ）22()E X S μσ-=-； （D ）22()D X S μσ+=+.三、 计算题5. 设1234,,,X X X X 是取自正态总体2(,)N μσ中的一个大小为4的样本，其中μ已知，但2σ未知，指出下面随机变量中哪些是统计量？ （1）1234X X X X +++；（2）42211()ii Xμσ=-∑； （3）12max{,}X X ；（4）4X μ+； （5）141()2X X +； （6X . 其中4114i i X X ==∑.6. 12,,n X X X ，是取自正态总体2(,)N μσ中的一个样本，12, m U X X X =+++12 m m n V X X X ++=+++ ( )n m >.求,U V 的联合密度函数。

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⋯ 利用依概率收敛的性质，对任何连续函数 g ( x1，x2， ，xm )， P 有
g ( A1，A2， ，Am ) → g ( µ1，µ 2， ，µ m ). ⋯ ⋯
结论2. 只要总体的k阶矩存在，则样本k阶矩的任何连续函数 依概率收敛于总体k阶矩的同一函数。 说明：结论2 正是我们进行参数估计的理论基础。
n
第二节 抽样分布 一、统计量 定义6.4 (教材p159)
⋯ ⋯ 组样本观察值，则称 g ( x1，x2， ，xn ) 是 g ( X 1，X 2， ，X n )的 一个观察值。
二、样本数字特征 定义6.5 (教材p160)
g ⋯ ⋯ 设 ( X 1，X 2， ，X n )是总体X 的一个样本，( y1，y2， ，yn ) ⋯ 是不含任何未知参数的连续函数，则称 g ( X 1，X 2， ，X n )是 一个统计量。 ⋯ ⋯ 若 g ( X 1，X 2， ，X n ) 是一个统计量，( x1，x2， ，xn ) 是一
为样本中位数。 称
R = X ( n ) − X (1) 为样本极差。
引入样本矩的意义：
E ( X k ) = µ k，k = 1， ⋯，m，为总体X 的k阶原点矩 2， 称
⋯ 对样本 ( X 1，X 2， ，X n ) ，因 X i 与 X 同分布，有
E ( X ik ) = µ k，i = 1， ⋯，n；k = 1， ⋯，m. 2， 2， 由辛钦大数定律，对样本k阶原点矩 Ak ，有 P A k → µ k ， k = 1，， ， m . 2 ⋯
P( X1 = x1，X2 = x2， ，Xn = xn ) = ∏P( Xi = xi ). ⋯
i =1
n
若X 是连续型随机变量，其密度函数为 f(x)，则
( X 1，X 2， ，X n ) 的密度函数为 ⋯
f ∗ ( x1， x 2， ， xn ) = ∏ f ( xi ). ⋯
i =1
n
三、样本分布函数 问题：用样本观察值推断总体，其结论可靠吗？ 解决问题的途径：根据抽样得到的样本观察值构造一个函数---样本分布函数，再证明当n很大时，样本分布函数近似于总体 的分布函数。
是统计量。
k = 2，⋯ n −1. 3 ， ，
X ( k )，k = 1， ⋯，n 2，
⋯ ⋯ 定义6.7 设 ( X (1)，X ( 2)， ，X ( n ) ) 为 ( X 1，X 2， ，X n ) 的顺序 统计量，称
X n+1 ， 当n为奇数， ( ) 2 m = 1 [ X ( n ) + X ( n +1) ]， 当n为偶数。 2 2 2
为样本k阶原点矩，
1 n k 当k 为正整数，称 Ak = ∑ X i n i =1
1 n Bk = ∑ ( X i − X ) k n i =1
为样本k阶中心矩。
(Y ⋯ 设 ( X 1，X 2， ，X n ) 为来自总体X的样本， 1，Y2， ，Yn ) ⋯
为来自总体Y的样本，称
1 n k = ∑ ( X i − X )(Yi − Y ) n i=1 n
2
( X 1，X 2， ，X n ) 是总体的一个样本，则称 ⋯
χ = ∑X
2 i=1
n
2 i
χ 2 − 分布，记为 χ 2～χ 2 (n) 。 服从自由度为n的
n 1 注：1. χ ( n ) = Γ ( ， )； 2 2
2
χ 2 (n) 的密度函数表达式和曲线见教材p163(不用掌握)。 2.
r=
i=1 i i n n
为样本协方差，
为样本相关系数。
∑(X − X )(Y −Y )
i=1
( Xi − X )2 ∑(Yi −Y )2 ∑
i=1
说明：1. 样本原点矩反映样本的平均特征，样本中心矩反映样 本的离散特征，样本协方差反映两个样本的相关程度。 2. 样本数字特征是随机变量，但对一组样本观察值，得到的样 本数字特征观察值是一个具体的数，我们通常把这个数也称为 样本均值、样本方差、样本相关系数等。
四、 X 的分布
⋯ 1. 设 X～N ( µ，σ 2 )，( X 1，X 2， ，X n ) 是X的一个样本，则
2. 若X的分布类型未知，仅知 E(X)=µ，D(X)= σ 2 ，则
X～ (µ， ) N n
2
σ
2
σ . N(µ， ) X～
n
五、 χ − 分布 定义6.8 （教材p162-163）设总体X～N(0，1)，
第一节 随机样本 一、总体 在数理统计中，将所研究的对象的某项指标值的全体称为 总体(或母体)，而将构成总体的每个单位称为一个个体。 当总体中包含的个体总数是有限的，就称总体为有限总体， 否则称总体为无限总体。 设待研究的指标为X，由于X的取值是对随机抽取的个体观 察得到的，因而可将X视为随机变量，并设其分布函数为F(x)。 定义6.1 一个随机变量X(或其分布函数F(x))叫做一个总体，X 的每个可能值叫做一个个体。 二、样本 从总体X中，随机地抽取n个个体进行观察，可得到n个观 察值，将其依抽取的顺序记为 ( x1，x2， ，xn )。 ⋯
若将总体在进行第 i 次抽样时对应的随机变量记为 X i ， 则 xi 就是 X i 的观察值。 我们提出以下要求： 1. X i 与X同分布；
⋯ 2. X 1，X 2， ，X n 实际应用中，一般当有限总体中包含个体数目 N>10n 时，即 使采用不重复抽样，也认为要求满足。
定义6.2 若 X i，i = 1， ⋯ n 相互独立，且均与总体X有相同分 2， ⋯ 布，则称随机向量( X 1，X 2， ，X n )为总体X的一个容量为n 的 简单随机样本(简称样本)，称 n 为样本容量。
k −1 ≤ x < x ，有Fn ( x) = 则当 x ， n ∗ ∗ xk ≤ x < ，k +l 有 Fn ( x) = k + l − 1， x 当 n
∗ k −1 ∗ k
即： Fn (x) 在
x=x
∗ k 处有
l / n 的跃度。
n
F 4. 容易证明： n (x) 确是某随机变量 ξ n 的分布函数，且有
1 1 2 E(ξn ) = ∑xi = x，D(ξn ) = ∑(xi − x) . ˆ n i=1 n i=1
F 5. 当n 越大， n (x ) 的图形与总体分布函数 F(x) 的图形越近 似。
6. 由贝努利大数定律或 W. 格列汶科定理(1953) 可从理论上证 明：当n 很大时，有 Fn ( x ) ≈ F ( x ).
第六章 数理统计的基本概念 绪言 数理统计包括两大内容： 一、试验的设计和研究-----研究更合理、更有效、更精确地获 取观察资料的方法。 二、统计推断------研究如何利用一定的资料对所关心的问题 作出尽可能精确、可靠的结论。
例 为了解南京市民2002年收入情况，现抽样调查10000人的 收入。 问题： 1. 怎样从10000人的收入情况去估计全体南京市民的平均收入？ 怎样估计所有南京市民的收入与平均收入的偏离程度？ 2. 若市政府提出了全体南京市民平均收入应达到的标准，从抽 查得到的10000人收入数据，如何判断全体南京市民的平均收入 与收入标准有无差异？差异是否显著？ 3. 抽查得到的10000人的收入有多有少，若这10000人来自不同的 行业，那么，收入的差异是由于行业不同引起的，还是仅由随机 因素造成的？ 4. 假设收入与年龄有关，从抽查得到的10000人收入和年龄的 对应数据，如何表述全体南京市民的收入与年龄之间的关系？
问题1实质：从10000人的收入出发，估计全体南京市民收入 分布的某些数字特征(此处是期望和方差)。 -----在数理统计中，解决这类问题的方法称为参数估计。 问题2实质：根据抽查得到的数据，去检验总体收入的某个 数字特征(此处是期望)与给定值的差异。 -----在数理统计中，解决这类问题的方法称为假设检验。 问题3实质：分析数据误差的原因(此处是行业)。当有多个因 素起作用时，还要分析哪些因素起主要作用。 -----在数理统计中，解决这类问题的方法称为方差分析。 问题4实质：根据观察数据研究变量间(此处是收入与年龄间) 的关系。 -----在数理统计中，解决这类问题的方法称为回归分析。
⇒ 抽样方式为重复抽样 相互独立。
⋯ 设 X i 的观察值为 x i ，称( x1，x2， ，xn )为X的一个样本 ⋯ 观察值(样本点)，称Ω={( x1，x2， ，xn )}为样本空间。
说明：1. Ω是样本观察值全体所成集合，是 n 维空间上的点集， 它不是总体X的样本空间。
⋯ 2. 在一次抽样之前，我们只知道样本( X 1，X 2， ，X n )(n 维
⋯ 设 ( X 1，X 2， ，X n )是总体X 的一个样本，称以下统计量为样本 数字特征：
1 n X = ∑Xi 为 本 值 样 均 ； n i=1
1 n S2 = ( Xi − X )2 为样本方差； ∑ n −1 i=1
1 n S= ( Xi − X )2 ∑ n −1 i=1 为 本 准 ； 样 标 差
称 Fn (x)为样本分布函数(或称经验分布函数)。 说明：1. 在定义6.3中，k/n 是不大于x的样本观察值出现的频 率。 2. 对总体进行两次抽样，会得到两组不同的样本观察值， 因而就会产生两个不同的样本分布函数。 3. 样本分布函数是一个阶梯函数：设
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ xk −1 < xk = xk +1 = ⋯ = xk +l −1 < xk +l，
X 2～χ 2 (1). 性质1. 设X～N(0,1)，则
2 ⋯ 性质2. 设X～N ( µ，σ )，( X 1，X 2， ，X n ) 是X的一个样本， 则 1 n
性质3. 设 X ～χ (n) ，则 E ( χ 2 ) = n， ( χ 2 ) = 2n. D 2 定理6.1. 设 χ12 ~ χ 2 (n1 )， 2 ~ χ 2 (n2 )， 且χ12和χ 2 相互独立， χ2