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河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量a=−2,0，b=−1,−1，则12a−2b等于（）A．1,2B．−1,−2C．−1,2D．1,−22．如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且BC=4BD，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若AM=λAB，AN=μACλ>0,μ>0，则μ−1λ的最小值是（）A．23−43B．23+43C．233−7D．23+233．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB=a，AD=b，E 为BF的中点，则AE=（）A．45a+25b B．25a+45bC．43a+23b D．23a+43b4．设f x=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知关于x的方程f x=x有纯虚数根，则关于x的方程f f x=x的解的情况，下列描述正确的是（）A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根B．可能方程有四个实数根的解C．可能有两个实数根，两个纯虚数根D．可能方程没有纯虚数根的解5．已知a=1,m与b=n,−4共线，且向量b与向量c=2,3垂直，则m+n=（）A．152B．163C．−103D．−26．已知非零向量a,b满足 a+2b=7a=7 b，则 a,b=（）A．π6B．π4C．π3D．2π37．图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是（）A．AB=2B．A′D′=22C．四边形ABCD的周长为4+22+23D．四边形ABCD的面积为628．在ΔABC中，点P满足BP=3PC，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若AM=λAB，AN=μACλ>0,μ>0，则λ+μ的最小值为A．22+1B．32+1C．32D．52二、多选题9．给出下列四个命题，其中正确的是（）A．非零向量a、b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a−b的夹角是120°B．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=6，若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围为6<b<22C．若单位向量a、b，夹角为120°，则当|2a+xb|x∈R取最小值时x=1D．已知OA =3,−4，OB =6,−3，OC =5−m,−3−m，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−3410．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3(a cos C+c cos A)=2b sin B，且∠CAB=π3.若点D是△ABC外一点，DC=1,DA=3，下列说法中，正确的命题是（）A．△ABC的内角B=π3B．△ABC一定是等边三角形C．四边形ABCD面积的最大值为532+3D．四边形ABCD面积无最大值11．在三角形ABC中，令CB=a，AC=b，若a+b=e1，a−2b=e2，e1=e2=1，e1⋅e2=12，则（）A．e1,e2的夹角为π3B．a=2e1+e23，b=e1 −e23C．a//bD．三角形ABC的AB边上的中线长为76三、填空题12．复数Z=log2(a−1)+i⋅log2a2−2a−2是实数，则a=.13．设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为.14．已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1，且α与β−α的夹角为120°，则|α|的取值范围是__________________ .四、解答题c+2=a cos C.15．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知b=2，12(1)求A的值；(2)若5AD=2AB+3AC，CD=b，求c的值.16．已知向量a=3sin x,cos x ,b=cos x,cos x，设函数f x=a⋅b.上的单调增区间；(1)求f x在0,π2,f x−1≤m恒成立，求m的取值范围.(2)若对任意x∈0,π217．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，DC∥EF.(1)若DC=2EF，求证：OE//平面ADF；(2)若FB=FD，求证：平面AFC⊥平面ABCD.18．如图，在△ABC中，CA=3，CB=4，∠ACB=60°，CH为AB边上的高.(1)求CH的长；(2)设CM=mCB，0<m<1.①若CH⋅MA=9，求实数m的值；②求MH⋅MA的最小值.19．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使BE⊥EC．(1)若BE=3，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP//平面ABEF？若存在，求出APPD 的值；若不存在，说明理由．(2)求三棱锥A−CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离．。
2023-2024学年吉林省白山市抚松一中高一（下）月考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量，则()A. B. C. D.2.“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.复数的共轭复数为()A. B. C. D.4.若集合，则()A. B. C. D.5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则()A. B. C. D.6.已知向量，则向量在上的投影向量的坐标为()A. B. C. D.7.在复数范围内，，是方程的两个不同的复数根，则的值为()A.1B.C.2D.或28.已知函数的部分图象如图所示，，，，则()A.4B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则()A. B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.为奇函数10.已知函数，，则()A.当有2个零点时，只有1个零点B.当有3个零点时，只有1个零点C.当有2个零点时，有2个零点D.当有2个零点时，有4个零点11.湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点.某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点P，Q之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点M，N，测得米，，，则()A.米B.米C.米D.米三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则______.13.已知复数，若z为纯虚数，则z的虚部为______；若z在复平面内对应的点位于第四象限，则a的取值范围是______.14.已知P是正六边形ABCDEF边上任意一点，且，，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
高中部高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．（ ）()osin 1020=-A ． BC ．D ．1212-【答案】B【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】. ()()o sin 1020sin 603603sin 60-=︒-︒⨯=︒=故选：B.2．已知向量的夹角为，且，则（ ） ,a b 23π||3,||4a b ==2a b += A ．49 B ．7 C D【答案】B【分析】根据向量数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可a b ⋅a + 得；【详解】解：因为向量的夹角为，且，所以,a b 23π||3,||4a b ==，所以21346o 32c s a b a b π⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⋅=⎭a += ；7==故选：B3．函数的图象的对称中心是tan(2)4y x π=+A ． B ． (,0)4k k Z ππ-∈(,0)24k k Z ππ-∈C ． D ． (,0)28k k Z ππ-∈(,0)48k k Z ππ-∈【答案】D【详解】试题分析：令2x+=，k ∈z ，求得x=-，k ∈z ．4π2k π4πk 8π故函数y ＝tan(2x+)的图象的对称中心是（-，0），k ∈z ， 4π4πk 8π故选D ．【解析】正切函数的奇偶性与对称性．4．当时，若，则的值为（ ） ()0,πθ∈2π3cos 35θ⎛⎫-=-⎪⎝⎭πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ． B ． C ． D ．45-4545±35【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， ()0,πθ∈()π,0θ-∈-所以， 2ππ2π,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又因为，所以， 2π3cos 035θ⎛⎫-=-<⎪⎝⎭2ππ2π,323θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以， 2π4sin 35θ⎛⎫-== ⎪⎝⎭又因为， π2ππ()33θθ+=--所以. π2π2π4sin sin πsin 3335θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选:B.5．的值为（ ）2π4πsin sin sin 33x x x ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ． B ．C ．D ．01212-2【答案】A【分析】直接利用诱导公式和两角和的正弦展开公式求解即可. 【详解】原式 2π2π4π4πsin sin coscos sin sin cos cos sin 3333x x x x x =++++ππππsin sin cos πcos sin πsin cos πcos sin π3333x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ππππsin sin coscos sin sin cos cos sin 3333x x x x x =-+--11sin sin sin 0.22x x x x x =--=故选:A.6．电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度（ ）． α=注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相等； （ⅱ）取等于3进行计算． πA ．30密位 B ．60密位 C ．90密位 D ．180密位【答案】A【分析】求出1密位对应的弧度，进而求出转过的密位. 【详解】有题意得：1密位=，因为圆心角小于200密位，扇形的弦长和弧长近似相2π160001000=等，所以，因为，所以迫击炮转动的角度为30密位. 5431800100α==31301001000÷=故选：A7．已知为所在平面内一点，且满足，则点（ ）O ABC 22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ O A ．在边的高所在的直线上 B ．在平分线所在的直线上 AB C ∠C ．在边的中线所在直线上 D ．是的外心AB ABC 【答案】A【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可得，进而可判断. BA OC ⊥【详解】由得，所以22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ 220BA OA BC AB OB AC ⋅+-⋅-= ,()()()00BA OA BC AC BC AC BA OB BA OA OB BC AC⋅+⋅-+⋅++⋅++⇒==,所以，所以在边的高所在的直线上， 20BA OC ⋅= BA OC ⊥O AB 故选：A8．设，，若函数恰好有三个不同的零点，分别为、()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x a =-1x 、，则的值为（ ）2x ()3123x x x x <<1232x x x ++A ． B ．C ．D ．π34π32π74π【答案】C【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】由，得对称轴， ()242x k k Z πππ+=+∈()28k x k ππ=+∈Z ，由，解得，90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦90288k πππ≤+≤124k -≤≤当时，对称轴，时，对称轴. 0k =8x π=1k =58x π=由得，()0f x a -=()f x a =若函数恰好有三个不同的零点，等价于函数与的图象有三个交点，()y f x a =-()y f x =y a =作出函数的图象如图，得，()f x ()0f 1a ≤<由图象可知，点、关于直线对称，则， ()()11,x f x ()()22,x f x 8x π=124x x π+=点、关于直线对称，则， ()()22,x f x ()()33,x f x 58x π=2354x x π+=因此，. 1231223532442x x x x x x x πππ++=+++=+=故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴，结合对称性求解.二、多选题9．若满足，，则可以是（ ） ,αβ1sin 2α=-1cos()2αβ-=βA ．B ．C ．D ．6π2π56ππ【答案】AC【分析】利用特殊角的三角函数值求解. 【详解】因为，， 1sin 2α=-所以或， 112,6k k Z παπ=-+∈2252,6k k Z παπ=-+∈因为， 1cos()2αβ-=所以或，332,3k k Z παβπ-=+∈442,3k k Z παβπ-=-+∈所以()131322,,2k k k k Z πβπ=-+-∈或， ()2323722,,6k k k k Z πβπ=-+-∈或，()141422,,6k k k k Z πβπ=+-∈因为范围不定， ,αβ当时，，当时，=，14k k =6πβ=231k k -=β56π故选：AC10．已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（ ）a b cA ．，B ．可能成立R λ∃∈()a b a b λ+=⋅()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r C ．若，则D ．若，则或a b b c ⋅=⋅r r r ra c = 1ab ⋅=1a = 1b = 【答案】ACD【分析】利用平面向量积的定义可判断A 选项；利用特例法可判断BCD 选项. 【详解】仍是向量，不是向量，A 错； ()+a b λ a b ⋅不妨取，，，则， ()1,1a =r()2,2b = ()3,3c = ()()()43,312,12a b c ⋅⋅== ，此时，B 对；()()1212,12a b c a ⋅⋅==()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 若，，，则，但，C 错；()1,0b = ()3,2a = ()3,3c = 3a b b c ⋅=⋅= a c ≠若，，则，但，，D 错. ()2,1a = ()1,1b =-r 1a b ⋅=1a > 1b > 故选：ACD.11．在平面四边形ABCD 中，，，则（ ）2221AB BC CD DA DC ===⋅=12⋅= BA BC A ． B ．21AC = CA CD CA CD +=-C ．D ．AD =BD CD ⋅= 【答案】ABD【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】由已知可得， 1AB BC CD === 又由，可得，12⋅= BA BC 3B π=所以△ABC 为等边三角形，则 ，故A 正确；21AC = 由 ，得， 2CD DA DC =⋅()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅= 所以，则，故B 正确；AC CD ⊥CA CD CA CD +=-根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误； 建立如上图所示的平面直角坐标系，则，，， 1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭12D ⎫⎪⎪⎭，， 12BD ⎫=⎪⎪⎭ 12CD ⎫=⎪⎪⎭所以D 正确；BD CD ⋅ 故选：ABD.12．设函数的最小正周期为，且过点，则()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>≤ ⎪⎝⎭π下列正确的为（ ） A ．4πϕ=-B ．在单调递减()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．的周期为 (||)f x πD ．把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数的解析式为()f x2π()g x ()2g x x =【答案】BC【分析】把函数式化为一个角的一个三角函数形式，根据三角函数的性质求出参数值，然后判断各选项．【详解】由已知，())))4f x x x x πωϕωϕωϕ⎤=++=++⎥⎦所以，，2T ππω==2ω=又，，又，所以，A 错误；()4f x πϕ+=242k ππϕπ+=+Z k ∈2πϕ≤4πϕ=，时，，由余弦函数性质得B 正确；())22f x x x π=+=0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,x π∈是偶函数，，周期为，C 正确；()f x (||)()f x f x =π把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数解析式这()f x 2π，D 错．()2())22g x x x x ππ+=+=故选：BC ．三、填空题 13__________.=【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为，()()2220cos 20sin 20cos 20sin 20cos s 0i 2n -=-+，()cos155cos 25cos 4520=-=-- ，20sin 20=-cos 20sin 20=-==()()cos 20sin 2021cos 20sin 202+==+故答案为：2.14．已知函数在区间上的最小值为-1，则__________．sin (0)y x x ωωω=+>[0,6πω=【答案】5【详解】整理函数的解析式有：，2sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,,,63363x x πππωππω⎡⎤⎡⎤∈∴+∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 函数的最小值为，则：. 1-7,5636ωπππω+=∴=15．已知，又在方向上的投影向量为，则的值为__________.||4,||3,6a b a b ==⋅=a b c ()c a b ⋅+ 【答案】10【分析】由已知先求出在方向上的投影向量的，再计算的值.a b c()c a b ⋅+ 【详解】由已知，可得，||4,||3,||||cos 6a b a b a b θ==⋅=⋅⋅=1cos 2θ=所以在方向上的投影向量， a b 2cos 3b c a b b θ=⋅⋅=所以.()2222263103333c a b c a c b b a b b ⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅=⨯+⨯= 故答案为：1016．如图，在中，已知，点分别在边上，且ABC ∆4,6,60AB AC BAC ==∠=︒,D E ,AB AC ，点为中点，则的值为_________________.2,3AB AD AC AE == F DE BF DE【答案】4【详解】试题分析：1111()()()()2223BF DE BD DF DA AE AB DE AB AC ⋅=+⋅+=-+⋅-+111113111()()()()246234623AB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+⋅-+=-+⋅-+223113111163646624 4.818381832AB AC AB AC =+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯=+-= 【解析】向量数量积四、解答题17．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角的终边与单位圆交于点α，角的终边所在射线经过点. 34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭β(,)(0)Q m m m -<（1）求的值；sin tan αβ⋅（2）求. 223sin sin 22sin()sin 2sin cos ππαβπαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++【答案】（1）；（2）. 4574-【分析】（1）根据三角函数的定义求和的值，即可求解. sin αtan β（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可求解. 【详解】（1）点到原点O 的距离，P 11r =由三角函数定义知4sin 5α=-由角的终边所在射线经过点，由知，β(,)m m -0m<|||OQ m =由三角函数定义知，sinβ==cos β==则 tan 1β=-所以. 4sin tan 5αβ⋅=（2） 22223sin sin cos cos 22sin()sin 2sin cos sin sin 2sin cos ππαβαβπαβββαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+++-+21tan tan 2tan αββ=-++由三角函数定义知，，所以且4sin 5α=-3cos 5α=-4tan 3α=tan 1β=-所以原式. 3174124=-+=--18．已知向量．(1,1),(3,1)a b ==-(1)若有，求值；(2)()a b a b λ-⊥+2()a b λ+ (2)若，向量与的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．(2,)c m = 2a b - c 【答案】(1)136(2)6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，，再由2(5,3)a b -=- (3,1)a b λλλ+=+-代入坐标运算求出，再求即可；(2)()0a b a b λ-⋅+= λ2()a b λ+ （2）由向量与的夹角为钝角，首先满足，再排除与的夹角为平角的2a b - c (2)0a b c -⋅< 2a b -c 情况即可得解.【详解】（1）由题可得：，2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-，(1,1)(3,1)(3,1)a b λλλλ+=+-=+-因为，所以有，(2)()a b a b λ-⊥+(2)()0a b a b λ-⋅+= 所以，解得，515330λλ--+-=9λ=- (1,1)(3,1)=(3,1)(6,10)a b λλλλ+=+-+-=--故的值为136．2()a b λ+ （2） 2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-向量与的夹角为钝角，2a b -c 首先满足，得：，所以．(2)0a b c -⋅<3100m -<103<m 其次当与反向时，，所以． (2)a b -c650m +=65m =-所以且，即m 的取值范围是．103<m 65m ≠-6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 19．如图：四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠ABC =，E 为AO 的中点，（3πCF CD λ=01λ≤≤）．(1)求；BE BD ⋅ (2)求当取最小值时，的值． EF λ【答案】(1)24(2) 38λ=【分析】（1）由平行四边形法则结合数量积公式得出；BE BD ⋅ （2）当时，取到最小值，再由直角三角形的边角关系得出，进而得出的值．EF CD ⊥EF CF λ【详解】（1）， BD BA BC =+ 11312244BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 223144BE BD BA BA BC BC ⋅=+⋅+∴ 1244cos 4243π=+⨯⨯+=（2）当时，取到最小值，此时 EF CD ⊥EF 33cos 602CF ⋅=︒= ∴33248λ==20．已知，，．()cos ,5sin m x x = ()sin ,cosn x x x =- ()f x m n =⋅+ (1)将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求的解析式及最小正周()f x π3()g x ()g x 期； (2)当时，求函数的单调递增区间、最值及取得最值时的值． ,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ()g x x 【答案】(1)，最小正周期为 ()π6sin 23g x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭π(2)函数的单调增区间为；的最大值为，此时；的最小值为，()g x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x 6π12x =()g x 6-此时 512x π=-【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数，再进行伸()f x 缩平移可得及其图象性质；()g x （2）利用整体代入法可得单调区间，进而得最值.【详解】（1）由已知得， ()()cos sin5sin cos x x x x x f x =⋅-++2cos sin5sin cos x x x x x =⋅-+⋅+26cos sin x x x =⋅-+1cos 23sin 22x x +=-+3sin 22x x =-． 6sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，()f x 3π()g x 所以． ()6sin 26sin 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+-=+⎭⎝⎭所以的最小正周期． ()g x 22T ππ==（2）由（1）得，当时，． ()6sin 23g x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦242,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦令，解得， 2232x πππ-≤+≤51212x ππ-≤≤所以函数的单调增区间为， ()g x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以的最大值为，此时，；()g x 6232x ππ+=12x π=的最小值为，此时，． ()g x 6-232x ππ+=-512x π=-21．已知函数 的部分图像如图所示. ()()cos (0,0,)2f x A x a πωϕωϕ=+>><(1)求的解析式； ()f x(2)设为锐角，的值. ,αβ()cos sin ααβ=+=2f β⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）. ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭713-【详解】试题分析：（1）根据函数图象求出，和的值即可；（2）利用两角和差的余弦公式A ωϕ和正弦公式进行化简求解．试题解析：(1)由图可得, ππ3πω2f cos 0,ω88844A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+⇒==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. ()1A cos ,244A f x x ππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭(2)为钝角， ()cos sin αααβαβ==>+=∴+， ()()125cos sin sin cos 1313αββαβαβ+==+-===，. 7cos sin 2413f βπβββ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析()sin y A x ωφ=+()sin y A x ωφ=+式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小,,A ωφA 值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，ω2T πω=2T 4T φA ω通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.22．已知函数()2sin 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求函数的单调区间 ()f x （2）将函数的图象先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到()f x 6π函数的图象.若对任意的，不等式成立，求实数()h x 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦的取值范围.p【答案】（1）增区间；（2）. 5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (,6p ∈-∞+【分析】（1）将函数转化为，然后利用正弦函数的性质求解； ()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）根据平移变换和伸缩变换得到，然后将不等式()sin h x x =()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦恒成立，转化为，成立求解. ()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【详解】（1） ()2sin 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 2sin 2cos sin cos 2332x x x ππ+=+-， 1sin 2222x x x =， 1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭由于的单调增区间为，， sin y θ=2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 令，， 22,2322x k k πππππ⎡⎤-∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 得：，， 5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ∴单调增区间为，. ()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z（2）， ()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移个单位得， 6πsin 2sin 263x x ππ⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再将各点横坐标伸长为原来的两倍得：， 1sin 2sin 2x x ⋅=故，()sin h x x =不等式， ()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦即， ()sin 1sin 1sin 22p x x x π⎡⎤⎛⎫⋅-+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，成立， ()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此时，，， ()sin 0,1x ∈()cos 0,1x ∈(]sin 20,1x ∈∴，，()()sin 1cos 10x x -->sin 20x >当时，不等式恒成立，0p ≤当时，， 0p >()()maxsin 1cos 11sin 2x x p x --⎡⎤>⎢⎣⎦令，()()()sin 1cos 1sin 2x x F x x --=sin cos 1cos sin 11cos sin 2sin cos 22sin cos xx x x x x x xx x +----==+设，则， cos sin 4t x x x π⎛⎫=+=+∈⎪⎝⎭22sin cos 1x x t =-则， 211113(0,21212t y t t -=+=-∈-+所以， 132p >06p <<+综上，. (,6p ∈-∞+。
武汉2023级高一4月月考数学试卷（答案在最后）出题人：一、单选题1.与垂直的单位向量是（）A.(,55±B.(55±C.,55±D.,55±【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出与垂直的一个向量，再求出其单位向量即可.【详解】设与垂直的向量(,)a x y =，0=，令x =y =，即a =，与a共线的单位向量为5)||,55a a ±===±±，所以与垂直的单位向量是,55±.故选：D2.在ABC 中，D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，设AB a =，AC b =，则AE = （）A.1124a b + B.1124a b -C.1142a b +D.1142a b -【答案】C 【解析】【分析】根据图形特征进行向量运算即可.【详解】因为D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，所以1111122242A C E C B ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，又因为AB a =，AC b =，所以1142AE a b =+ .故选：C3.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.12B.33C.23D.22【答案】B 【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.4.已知0a >，()sin sin3f x x a x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x ＝m 是()f x 的一条对称轴，则m 的最小值为（）A.6π B.3πC.23π D.56π【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的性质可得221322a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可得,Z 3m k k ππ+=∈，即得.【详解】∵()1sin sin sin cos 322f x x a x a x x π⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2213322a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0a >，∴2a =，∴()12sin cos 223f x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又x ＝m 是()f x 的一条对称轴，∴,Z 3m k k ππ+=∈，即,Z 3m k k ππ=-∈，∴m 的最小值为3π.故选：B.5.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5a b ==，8c =，I 是ABC 内切圆的圆心，若AI xAB y AC =+，则x y +的值为（）A.203B.103 C.32D.1318【答案】D 【解析】【分析】计算出ABC 的内切圆半径，以AB 直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可求得x 、y 的值，即可得解.【详解】5a b == ，8c =，所以，ABC 内切圆的圆心I 在AB 边高线OC 上（也是AB 边上的中线），4OA OB ∴==，3OC ===，以AB 直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0A -、()4,0B 、()0,3C，设ABC 的内切圆的半径为r ，根据等面积法可得：()1122a OC abc r ⋅=++，解得3848553r ⨯==++，即点40,3I ⎛⎫⎪⎝⎭，则()8,0AB = ，()4,3AC = ，44,3AI ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为AI xAB y AC =+ ，则844433x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得51849x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1318x y +=.故选：D.6.在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若1cos 2cos cos C A B -=，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】B 【解析】【分析】利用三角形内角和定理及三角恒等变换求得三角形角的关系，再判断三角形的形状作答.【详解】在ABC 中，()C A B π=-+，则cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，而1cos 2cos cos C A B -=，则有cos cos sin sin 1A B A B +=，即cos()1A B -=，因0,0A B ππ<<<<，即A B ππ-<-<，因此，0A B -=，即A B =，所以ABC 是等腰三角形.故选：B7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3sin cos()62A A π++=，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是A.[6,8) B.[6,8]C.[4,6)D.(4,6]【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得32sin A π+=（，结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =-，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．【详解】∵ sin 62A cos A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1222sinA cosA sinA ∴+-=，可得：32sin A π+=（），40333A A ππππ∈+∈ （，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=，∵4b c +=，∴由余弦定理可得222222163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），∵由4b c +=，b c +≥，得04bc ≤＜，∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．∴ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，）．故选A．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．8.向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量1e ，2e是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点．对于α内任意一点P ，若()12,OP xe ye x y =+∈R，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标．若点A ，B 的广义坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，关于下列命题正确的（）A.点()1,2M 关于点O 的对称点不一定为()1,2M '--B.A ，BC.若向量OA平行于向量OB，则1221x y x y -的值不一定为0D.若线段AB 的中点为C ，则点C 的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可.【详解】对于A ，122OM e e =+，设()1,2M 关于点O 的对称点为(),M x y '，则12122OM OM e e xe ye '=-=--=+，因为1e ，2e 不共线，所以12x y =-⎧⎨=-⎩，A 错误；对于B ，因为()()21221112211212AB OB OA x e y e x e y e x x e y y e =-=+--=-+-，所以AB =，当向量1e ，2e 是相互垂直的单位向量时，A ，BB 错误；对于C ，当OA 与OB 中至少一个是0时，结论成立；当OA 与OB 都不为0 时，设OA OB λ=（0λ≠），有11122122x e y e x e y e λλ+=+ ，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，所以1221x y x y =，C 错误；对于D ，()()12121112212212112222x x y y OC OA OB x e y e x e y e e e ++=+=+++=+，所以线段AB 中点C 的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确故选：D二、多选题9.函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.)3π(2y f x =+是奇函数C.π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D.若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,66t ∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(26f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(2)2co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ()cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin(cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin(cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,66t ∈，D 正确.故选：ACD10.设点M 是ABC 所在平面内一点，下列说法正确的是（）A.若AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为等边三角形B.若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点C.过M 任作一条直线，再分别过顶点A ，B ，C 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC 的垂心D.若2AM AB AC =-，则点M 在边BC 的延长线上【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.【详解】对于选线A ，如图作BC 的中点D ，连接AD ，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v，得()()20BC AB CA BC AB AC BC AD ⋅-=⋅+=⋅= ，即BC AD ⊥，结合三角形性质易知，AB AC =，同理AB BC =，BC AC =，故ABC 的形状为等边三角形，故A 正确；对于选项B ，由1122AM AB AC =+ ，得11112222-=-AM AB AC AM ，即BM MC = ，因此点M 是边BC 的中点，故B 正确；对于选项C ，如图当l 过点A 时，0AD =，由0AD BE CF ++= ，得0BE CF +=，则直线AM 经过BC 的中点，同理直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点，因此点M 是ABC 的重心，故C 错误；对于选项D ，由2AN AB AC =- ，得AN AB AB AC -=- ，即BN CB =，因此点M 在边CB 的延长线上，故D 错.故选：AB.11.ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且2a =，AB AC ⋅=，下列选项正确的是（）A.3A π=B.若3b =，则ABC 有两解C.若ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】由数量积的定义及面积公式求得A 角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC 选项，利用1()2AD AB AC =+，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D ．【详解】因为AB AC ⋅= ，所以1cos sin 2bc A bc A ==，tan 3A =，又(0,)A π∈，所以6A π=，A 错；若3b =，则sin b A a b <<，三角形有两解，B 正确；若ABC 为锐角三角形，则02B π<<，62A B B ππ+=+>，所以32B ππ<<，sin 12B <<，sin sin b aB A =，sin 4sin 4)sin a B b B A==∈，C 正确；若D 为BC 边上的中点，则1()2AD AB AC =+，222222111()(2cos )()444AD AB AC c bc A b b c =+=++=++ ，又222222cos 4a b c bc A b c =+-=+-=，224b c +=+，由基本不等式得2242(2b c bc bc =+-≥-=-，4(2bc ≤=+，当且仅当b c =时等号成立，所以21(4)1742AD bc ⎡⎤=+=+≤+⎣⎦ 所以2AD ≤+ ，当且仅当b c =时等号成立，D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得sin B ，然后根据,a b 的大小关系判断B 角是否有两种情况即可．三、填空题12.如图，ABC 是等边三角形，边长为2,P 是平面上任意一点．则()PA PB PC ⋅+的最小值为__________．【答案】32-【解析】【分析】取BC 的中点D ，AD 的中点O ，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】在边长为2的在ABC 中，取BC 的中点D ，连接AD 并取其中点O ，连接PO ，则1322OD AD ==，于是)22()()(PA PB PC PA PD PO OA PO OD ⋅+=⋅=+⋅+ 222332()()222()22PO OD PO OD PO OD =-⋅+=-≥-⨯=- ，当且仅当点P 与点O 重合时取等号，所以()PA PB PC ⋅+ 的最小值为32-.故答案为：32-13.已知向量31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2b = ，26a b -= ，a b ⋅=__________；b 在a 上的投影向量的坐标为__________．【答案】①.12##0.5；②.31,44⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求a r ，根据向量的模与数量积的关系由条件26a b -= a b ⋅ ，再由投影向量的定义求b 在a上的投影向量的坐标.【详解】因为31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1a =，由26a b -= 226a b -= ，所以()()22446aa b b-⋅+=，即4446a b -⋅+=所以12a b ⋅= ，所以b 在a上的投影向量为131,244a a b a aa ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎭⋅⎝．故b 在a上的投影向量的坐标为31,44⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：12；31,44⎛⎫⎪⎝⎭.14.已知正ABC 的边长为1，中心为O ，过O 的动直线l 与边AB ，AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ=，AN AC μ= ，BD DC =．（1）若2AN NC = ，则AD BN ⋅=________.（2）AMN 与ABC 的面积之比的最小值为__________.【答案】①.14-##0.25-②.49【解析】【分析】根据12()()23AB AC A C A D BN A B ⋅=+⋅-，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得1133AO AM AN λμ=+ ，根据三点共线可得113λμ+=，利用三角形的面积公式可得AMN ABCS S λμ= ，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）112()()()()223AB AC AN AB AB A AC AC AB D BN ⋅=+⋅-=+⋅-2211211121()(1)23323234AB AC AC AB =-⋅+-=⨯-⨯+-=- ；（2）因为2111()3233AO AB AC AB AC =⨯+=+ ，所以1133AO AM AN λμ=+，因为M ，O ，N 三点共线，故11133λμ+=，即113λμ+=，又因为1||||sin 21||||sin 2AMN ABC AM AN AS S AB AC A λμ⋅⋅==⋅⋅ ，而(],0,1λμ∈，113λμ+=，则113λμ+=≥，即49λμ≥，当且仅当23λμ==时取等号，所以AMN 与ABC 的面积之比的最小值为49.故答案为：14-；49.四、解答题15.已知向量()cos ,2sin a x x =，()2cos b x x = ，函数()f x a b =⋅.（1）若()0115f x =，且0ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求0cos2x 的值；（2）将()f x 图象上所有的点向右平移π6个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，解不等式()12g x ≥.【答案】（1）310-（2）ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简()f x ，依题意可得0π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出0πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后由00ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦利用两角差的余弦公式计算可得；（2）根据三角函数的变换规则求出()g x 解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为()cos ,2sin a x x =，()2cos b x x = ，函数()f x a b =⋅，所以()22cos cos cos 212f x x x x x x=+=++12cos 2sin 2122x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()0115f x =，所以0π112sin 2165x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以0π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0ππ,63x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以0ππ5π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以0π4cos 265x ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以0000ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210-=-⨯+⨯=.【小问2详解】将()f x 图象上所有的点向右平移π6个单位得到πππ2sin 212sin 21666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将π2sin 216y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向下平移1个单位得到π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后将π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的所有点的纵坐标变为原来的12得到πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()πsin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()12g x ≥，即π1sin 262x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，令0k =可得ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1k =-可得5ππ,62x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即在ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时不等式()1g 2x ≥的解集为ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若()2253a b bc -=，5sin 8sin C B =，∠BAC 的平分线交BC 于D ．（1）求∠BAC ；（2）若5AC =，求AD ．【答案】（1）π3（2）13【解析】【分析】（1）利用所给等式及正弦定理用b 表示a 、c ，再利用余弦定理求出cos BAC ∠即可得解；（2）求出各边长度进而利用余弦定理求出cos C ，再由πsin sin π6ADC C ⎛⎫∠=--⎪⎝⎭求出sin ADC ∠，在ADC △中利用正弦定理即可求得AD .【小问1详解】∵5sin 8sin C B =，由正弦定理得58c b =，即85c b =，代入已知()2253a bbc -=，整理可得75a b =，∴22222287155cos 82225b b b bc a BAC bc b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯，结合0πBAC <∠<，可得π3BAC ∠=．【小问2详解】因为5AC b ==，于是由（1）得7a =，8c =．根据余弦定理得2225781cos 2577C +-==⨯⨯，进而可得sin 7C ==，又∴ππ1113sin sin πsin 66272714ADC C C ⎛⎫⎛⎫∠=--=+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC AD ADC C =∠，即513147=，解得13AD =．17.如图，在平行四边形ABCD中，13AM AD=，令AB a=，AC b=.（1）用,a b表示AM，BM，CM；（2）若2AB AM==，且10AC BM⋅=，求cos,a b.【答案】（1）()13AM b a=-，1433B b aM=-，1233CM a b=--（2）68【解析】【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可；（2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可.【小问1详解】因为AB a=，AC b=，且ABCD是平行四边形，所以BC AC AB b a=-=-，所以()1133AM BC b a==-，所以()114333BM AM AB b a a b a=-=--=-，所以()14123333CM BM BC b a b a a b=-=---=--.【小问2详解】方法一：由（1）知()114,333A BM b a M b a=-=-，又,10,2AC b AC BM AB AM=⋅===，所以()14110,2,2333b b a b aa⎛⎫⋅-=-==⎪⎝⎭，即222430,236b a b b a a b-⋅=+-⋅=，解得1,a b b ⋅==，所以cos ,68a b a b a b⋅==.方法二：因为1,23AM AD AM ==，所以6AD BC ==，因为()22121333AC BM BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，且10AC BM ⋅= ，所以2221262cos 61033ABC ∠-+⨯⨯⨯+⨯=，解得1cos 4ABC ∠=，所以()()22126214a b BA BC BA BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯+= ，又2,a b ====，所以34cos ,68a b a b a b⋅== .18.如图，扇形ABC 是一块半径2r =（单位：千米），圆心角π3BAC ∠=的风景区，点P 在弧BC 上（不与B ，C 重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直于点Q ，街道PR 与AC 垂直于点R ，线段RQ 表示第三条街道．记PAB θ∠=．（1）若点P 是弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）通过计算说明街道RQ 的长度是否会随θ的变化而变化；（3）由于环境的原因，三条街道PQ PR RQ ,,每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值．【答案】（1）2+（2）RQ =θ的变化而变化.（3）最大值为2W =（万元)【解析】【分析】（1）易知PA 平分BAC ∠，可得30θ= ，即可得求得各街道长；（2）写出PQ ，PR 的表达式，利用余弦定理可得RQ =（3）结合各街道单位效益可得经济总效益为00sin 2044W θθ=++出最大值.【小问1详解】根据题意可得若点P 是弧BC 的中点，可得30PAB θ∠== ，此时sin sin 301PQ r r θ=== ，πsin sin 3013PR r r θ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，而π2ππ33RPQ ∠=-=，由余弦定理可得2222π2cos 3RQ PR PQ PR PQ =+-⋅，即可得RQ =；所以三条街道的总长度为2PQ PR RQ ++=；【小问2详解】在Rt PAQ 中可得2sin PQ θ=，同理π2sin 3PR θ⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用余弦定理可得2222π2cos3RQ PR PQ PR PQ =+-⋅22ππ2π4sin 4sin 22sin 2sin cos333θθθθ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ1ππ4sin cos cos sin 4sin 22sin 2sin cos cos sin 33233θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-++⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222cos sin cos 4sin cos 2sin 3θθθθθθθθ+-++-=22cos 3sin 33θθ+==；可得RQ =因此街道RQ 的长度为定值θ的变化而变化.【小问3详解】依题意可得这三条街道每年能产生的经济总效益为：π300200400600sin 400sin 4003W PQ PR RQ θθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭ππ600sin 400sin cos cos sin33θθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭200sin 4600sin 00sin 200θθθθθ=+=++-+θθ⎫=+⎪⎪⎭()θϕ=++，其中cosϕϕ==当()sin 1θϕ+=时，W 的取值最大，最大值为2W =(万元).19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）233-（3）2+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z ===，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得3xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=--⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。
济宁市2023-2024学年度第二学期阶段性测试数学试卷（答案在最后）注意事项：考试时间：120分钟满分：150分1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知向量()1,a t =，()3,9b =，若//a b r r，则t =（）A.1B.2C.3D.42.若tan 2θ=-，则1sin 2πsin 4θθθ-=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭（）A.12B.12-C.32-D.323.已知点E 为平行四边形ABCD 对角线BD 上一点，且2DE BE =，则AE =（）A.2133AB AD+B.2133AB AD - C.1233AB AD+ D.1323AB AD-4.若向量a ，b满足2a = ，1b = ，()26a b a +⋅= ，则cos ,a b = （）．A.32B.12C.12-D.5.若函数()()sin 0x f x x ωωω=->的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（）A.32B.2C.52D.36.若1cos 23πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则A.9-B.79-C.79D.97.函数sin(2)3y x π=+的图象可由函数cos y x =的图象A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移6π个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位8.已知点G 为ABC 的重心，,D E 分别为AB ，AC 边上一点，D ，G ，E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF AD AE λμ=+ ，则14λμ+的最小值为（）A.272B.7C.92D.6二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9.在ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 的中线且交于点O ，则下列结论正确的是（）A.AB BC CA-= B.()13=+AO AB ACC.0AD BE CF ++=D.0OA OB OC ++=10.与向量()6,8=-a 共线的单位向量的坐标为（）A .45,35⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.45,35⎛⎫-⎪⎝⎭C .34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D.若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则m n += 第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，若30A ∠=︒，a =14c =，则C =________．13.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b的夹角为60︒，则2a b += ______.14.已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM AN ⋅的最大值为______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量()()()1,2,,1,3,1a b t c ==-=-．（1）若()a b +r r ∥()2a c -，求实数t 的值；（2）若()a b c ⊥+ ，求a 与b夹角的余弦值．16.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<．（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC的夹角；（2）若⊥AC BC ，求33sin cos ,sin cos αααα-+的值．17.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos 2f παπαπααπαπα+--=⎛⎫---- ⎪⎝⎭．（1）化简：()f α；（2）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若2c =，1()2f C =-，且ABC的面积S =，求a 、b 的值．18.已知向量(cos a x = ，()1,sin b x = ，函数()1f x a b =⋅+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若()23g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，求函数()g x 的最值．19.已知函数2211()cos sin cos 222222x x x xf x =-+（1）将函数()f x 化简成sin()A x ωϕ+的形式，并求出函数的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象.若方程2()1g x m -=在[0,2x π∈上有两个不同的解1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求12tan()x x 的值.济宁市2023-2024学年度第二学期阶段性测试数学试卷注意事项：考试时间：120分钟满分：150分1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知向量()1,a t =，()3,9b =，若//a b r r，则t =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数t 的等式，即可得解.【详解】因为//a b r r，则39t =，解得3t =.故选：C.2.若tan 2θ=-，则1sin 2πsin 4θθθ-=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭（）A.12B.12-C.32-D.32【答案】D 【解析】【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系，弦切互化得含tan θ的式子再代入即可解出答案．【详解】()()()2212sin cos 1sin 2sin cos 2sin cos πsin sin cos sin sin cos sin 4θθθθθθθθθθθθθθθ--+-==--⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2sin cos sin cos 11sin sin cos sin tan θθθθθθθθθ--===--，∵tan 2θ=-，1131=1=tanθ22-+\，故选：D3.已知点E 为平行四边形ABCD 对角线BD 上一点，且2DE BE =，则AE =（）A.2133AB AD+B.2133AB AD -C.1233AB AD+D.1323AB AD-【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用向量的线性运算即可得出结果.【详解】因为AE AD DE =+，又2DE BE =，所以2221()3333AE AD DB AD AB AD AB AD =+=+-=+.故选：A.4.若向量a ，b满足2a = ，1b = ，()26a b a +⋅= ，则cos ,a b = （）．A.2B.12C.12-D.2【答案】B 【解析】【分析】将()26a b a +⋅= 展开，利用数量积的定义以及2a = ，1b =即可求解.【详解】由()26a b a +⋅= 可得：226a a b +⋅=，即22cos ,6a a b a b +⋅=，将2a = ，1b = 代入可得：2222cos ,6a b +⨯= ，所以1cos ,2a b = ，故选：B5.若函数()()sin 0x f x x ωωω=->的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（）A.32B.2C.52D.3【答案】C 【解析】【分析】由对称轴为3x π=可知3f π⎛⎫⎪⎝⎭为最大值或最小值，即可求解.【详解】∵()12sin cos 2sin 223f x x x x πωωω⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，∴当3x π=时，()2sin 333f x f πππω⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值或最小值，∴,332k k πππωπ-=+∈Z ，∴53,2k k ω=+∈Z ，∵0ω>，∴ω的最小值为52.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.6.若1cos 23πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则A.9-B.79-C.79D.9【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由1cos 23πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得，则，故选B.考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式.7.函数sin(2)3y x π=+的图象可由函数cos y x =的图象A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移6π个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位【答案】B 【解析】【详解】分析：由函数sin 2cos 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由伸缩平移变换可得解.详解：由函数sin 2cos 2cos 2366y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.只需将函数cos y x =的图象各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到cos2y x =；再向右平移12π个单位得到：cos2 cos 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.点睛：1．利用变换作图法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若“先伸缩，再平移”，容易误认为平移单位仍是|φ|，就会得到错误答案．这是因为两种变换次序不同，相位变换是有区别的．例如，不少同学认为函数y ＝sin 2x 的图象向左平移6π个单位得到的是y ＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象，这是初学者容易犯的错误．事实上，将y ＝sin 2x 的图象向左平移6π个单位应得到y ＝sin 2(x ＋6π)，即y ＝sin(2x ＋3π)的图象．2．平移变换和周期变换都只对自变量“x ”发生变化，而不是对“角”，即平移多少是指自变量“x ”的变化，x 系数为1，而不是对“ωx ＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x 的系数改变，而不涉及φ.要通过错例辨析，杜绝错误发生．8.已知点G 为ABC 的重心，,D E 分别为AB ，AC 边上一点，D ，G ，E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF AD AE λμ=+ ，则14λμ+的最小值为（）A.272B.7C.92D.6【答案】D 【解析】【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了2:1，即23AG AF =，由三点共线定理可知()213AG AF mAD m AE ==+- ，所以32m λ=，()312m μ=-.得(]3,,0,12λμλμ+=∈.再利用基本不等式解决最值问题即可.【详解】因为点G 为ABC 的重心，所以23AG AF =，则32AF AG = .因为,,D G E 三点共线，()213AG AF mAD m AE ==+-，所以32m λ=，()312m μ=-.所以(]3,,0,12λμλμ+=∈.所以()(14142242556333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫+=++⋅=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4μλλμ=，即1μ=，12λ=时，等号成立，故14λμ+的最小值为6.故选：D二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9.在ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 的中线且交于点O ，则下列结论正确的是（）A.AB BC CA-=B.()13=+AO AB AC C.0AD BE CF ++=D.0OA OB OC ++=【答案】BCD 【解析】【分析】根据三角形重心的性质，结合向量加法和减法法则进行即可即可.【详解】依题意，如图所示：因为AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 的中线且交于点O ，所以O 是ABC 的重心.对于A ：若AB BC CA -= ，则AB BC CA =+ ，因为BA BC CA =+，所以BA AB =，显然不成立，故A 错误；对于B ：()()22113323AO AD AB AC AB AC ==⨯⨯+=+，故B 正确；对于C ：()()()111222AD BE C AB AC BA F BC CA CB =+++++++()()()1110222AB BA AC CA BC CB =+++++=，故C 正确；对于D ：222333OA OB OC AD BE CF++=---()220033AD BE CF =-++=-=，故D 正确.故选：BCD.10.与向量()6,8=-a 共线的单位向量的坐标为（）A.45,35⎛⎫⎪⎝⎭ B.45,35⎛⎫-⎪⎝⎭C.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】CD 【解析】【分析】与a共线的单位向量为a a± ，求出答案.【详解】与()6,8=- a 共线的单位向量为()6,834,1055a a-⎛⎫==- ⎪⎝⎭或()6,834,1055a a-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故选：CD11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c ，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b 可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.若向量m 、n 满足2m = ，3n = ，3m n ⋅=，则m n += 【答案】BC【解析】【分析】取0b =，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c 不一定共线，A 错；对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b 不共线，所以，a 、b可作为平面向量的一组基底，B 对；对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b = ，所以，a 在b 上的投影向量为()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a bb⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅ 1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n 满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则m n +== ，D 错.故选：BC.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，若30A ∠=︒，a =14c =，则C =________．【答案】45 或135【解析】【分析】根据正弦定理直接求解即可.【详解】解：根据正弦定理sin sin a c A C =得sin 2sin 2c A C a === ，因为()0,150C ∈ ，所以45C = 或135C =故答案为：45 或13513.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b 的夹角为60︒，则2a b += ______.【答案】【解析】【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可.【详解】2a b +== ，.14.已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM AN ⋅ 的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】法一建立直角坐标系，用坐标计算AM AN ⋅ 的最值；法二用极化恒等式得22AM AN MO ⋅=- ，当MO AD ⊥时MO 最小，从而AM AN ⋅ 最大.【详解】法一：以A 为坐标原点，AB 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设()0,M y ，则()2,2N y -，[]0,2y ∈，所以()()22111AM AN y y y ⋅=-=--+≤ ，当且仅当1y =时取得最大值．法二：由极化恒等式可得：2222AM AN AO MO MO ⋅=-=- ，当MO AD ⊥时，min 1MO =此时AM AN ⋅的最大值为1．【点睛】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量()()()1,2,,1,3,1a b t c ==-=- ．（1）若()a b +r r ∥()2a c - ，求实数t 的值；（2）若()a b c ⊥+ ，求a 与b 夹角的余弦值．【答案】（1）23t =（2）210【解析】【分析】（1）先求出a b + 和2a c - 的坐标，再由()a b +r r ∥()2a c - 列方程可求出实数t 的值；（2）由()a b c ⊥+ ，得()0a b c ⋅+= ，求出t 的值，再利用向量的夹角公式可求得结果.【小问1详解】因为()()()1,2,,1,3,1a b t c ==-=- ，所以(1,1)a b t +=+ ，22(1,2)(3,1)(5,3)a c -=--= ，所以()a b +r r ∥()2a c - ，所以1153t +=，解得23t =；【小问2详解】因为()(),1,3,1b t c =-=- ，所以()3,0b c t +=- ，因为()a b c ⊥+ ，所以()30a b c t ⋅+=-= ，得3t =，所以()3,1b =- ，设a 与b 夹角为θ，则2cos 101491a b a bθ⋅===+⨯+ ，所以a 与b 夹角的余弦值为10.16.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<．（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求33sin cos ,sin cos αααα-+的值．【答案】16.6π17.sin cos 4αα-=，33sin cos αα+47128=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解；再利用立方和公式展开33sin cos αα+，进而得解.【小问1详解】由OA OC += 得()224+cos sin 21αα+=，1cos 2α=，又0πα<<，3πα∴=，1,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β,()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角β为6π.【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅=，即()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，1sin cos 4αα∴+=，152sin cos 016αα-∴=<，故ππ2α<<,()21531sin cos 11616αα-∴-=-=，sin cos 4αα∴-=.又33sin cos αα+()()22sin cos sin sin cos cos αααααα=+-+1151432⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭47128=.17.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos 2f παπαπααπαπα+--=⎛⎫---- ⎪⎝⎭．（1）化简：()f α；（2）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若2c =，1()2f C =-，且ABC的面积S =，求a 、b 的值．【答案】（1）()cos f αα=-；（2）2a b ==．【解析】【分析】（1）根据诱导公式可化简()f α；（2）由（1）可得3C π=，再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得224+8ab a b =⎧⎨=⎩，解之得答案.【详解】（1）因为sin cos (tan )()cos tan sin f ααααααα--==--，所以()cos f αα=-；（2）因为1()2f C =-，即1cos 2C -=-，又0C π<<，所以3C π=，因为ABC的面积S =1sin 23S ab π==，解得4ab =，又22221cos 22a b C ab +-==，所以22+8a b =，由224+8ab a b =⎧⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，所以2a b ==.【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题.18.已知向量(cos a x = ，()1,sin b x = ，函数()1f x a b =⋅+ ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若()23g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，求函数()g x 的最值．【答案】（1）()22,2Z 33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数()g x1，1-．【解析】【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可．（2）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．【详解】（1）()1cos 12sin 16f x a b x x x π⎛⎫=⋅+=+=++ ⎪⎝⎭ ．由22262k x k ππππ-≤+≤π+，Z k ∈，可得22233k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈，∴单调递增区间为：()22,2Z 33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（2）若()22sin 2136g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，52663x πππ-≤-≤，即31sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则()11g x -≤≤，所以函数()g x 的最大值、最小值分别为：1+，1-．【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知函数2211()cos sin cos 222222x x x x f x =-+（1）将函数()f x 化简成sin()A x ωϕ+的形式，并求出函数的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象.若方程2()1g x m -=在[0,2x π∈上有两个不同的解1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求12tan()x x +的值.【答案】（1）()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π（2）实数m的取值范围是)1,1，()12tan 3x x +=【解析】【分析】（1）使用三角恒等变换和辅助角公式化简()f x ，并利用2πT ω=求出最小正周期即可.（2）先使用伸缩和平移变换得到()g x ，再将方程2()1g x m -=等价变换为1()2m g x +=，由()g x 的图象和性质求出12+m 的取值范围，即可求出实数m 的取值范围，同时，利用()g x 的对称性，可求出12tan()x x +的值.【小问1详解】2211()cos sin cos 222222x x x x f x =-+221cos sin 2sin cos 222222x x x x ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭13cos sin 22x x =+πsin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期2π2π1T ==.【小问2详解】由（1）()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，∴()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得5ππππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z ，∴()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-（k ∈Z ）上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间π7ππ,π1212k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ122k x =+，k ∈Z 对称，方程2()1g x m -=等价于1()2m g x +=，∴当[0,2x π∈时，方程1()2m g x +=有两个不同的解1x ，2x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,122⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，且()3π026g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π322g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴当1122m +≤<时，方程1()2m g x +=有两个不同的解1x ，2x ，11m ≤<，实数m 的取值范围是)1,1-.又∵()g x 的图象关于直线π12x =对称，∴12π212x x +=，即12π6x x +=，∴()12tan x x +=.。
石室中学高2018届2015-2016学年度下期四月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线6x π=-对称3.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +，R x ∈，0A >，0ω>，2πϕ<的图象（部分）如图，则()f x 的解析式是（ ） A ．()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（R x ∈） B ．()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭（R x ∈）C ．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（R x ∈） D ．()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭（R x ∈）4.已知5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则1cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2413 B ．513 C ．1324 D ．1355.函数5sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）C ．32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 6.平行四边形CD AB 中，a AB =，D b A =，3C AN =N ，M 为C B 的中点，则MN =（ ）A ．1144a b -+B ．1122a b -+C ．12a b + D ．3344a b -+7.设13cos 6sin 622a =-，22tan131tan 13b =-，cos50c =，则有（ ） A ．c b a << B ．a c b << C ．a b c << D ．b c a <<8.已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值X 围是（ ） A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，sin :sin :sin C A B =C 12S ∆AB =，则C C C C AB⋅B +B ⋅A +A⋅AB 的值是（）A ．2 BC ．2-D ． 10.已知A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，关于x 的方程22C cos cos cos02x x -⋅A⋅B -=有一个根为1，则C ∆AB 一定是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形11.已知函数tan4xy π=，()2,6x ∈的图象与x 轴交于A 点，过点A 的直线与函数的图象交于B ，C 两点，则()C OB +O ⋅OA =（ ）A ．32B ．16C ．8D ．4 12.在C ∆AB 中，E ，F 分别是C A ，AB 的中点，且32C AB =A ，若CFt BE<恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34 B ．45 C ．67 D ．78第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.等边C ∆AB 的边长为2，则AB 在C B 方向上的投影为．14.在C ∆AB 中，已知C 8B =，C 5A =，三角形面积为12，则cos2C =． 15.设点O 是C ∆AB 的外心，13AB =，C 12A =，则C B ⋅AO =． 16.给出下列命题：①函数sin y x =在第一象限是增函数； ②在非直角C ∆AB 中，()22sinC cos A++B 的值为常数；③向量()1,2a =与向量()2,b λ=的夹角为锐角，则1λ>-； ④若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． 其中为假命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10分）已知向量()cos ,sin a θθ=，[]0,θπ∈，向量()3,1b =-．（I ）若a b ⊥，求θ的值；（II ）若2a b m -<恒成立，某某数m 的取值X 围．18.（10分）如图，在平面直角坐标系x y O 中，以x O 为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255．（I ）求tan α及tan β的值； （II ）求2αβ+的值．19.（12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3cos 5B =，C 21AB⋅B =-． （I ）求C ∆AB 的面积； （II ）若7a =，求角C ．20.（12分）在锐角三角形C AB 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，C ∠所对应的边，向量()2223u a c b ac =+-，()cos ,sin v =B B ，且//u v ．（I ）求角B ；（II ）求sin sinC A+的取值X 围．21.（12分）如图，在平面四边形CD AB 中，D 4AB =A =，C 6B =，CD 2=，3D 4C CD 0AB⋅A +B⋅=．（I ）求四边形CD AB 的面积； （II ）求三角形C AB 的外接圆半径R ；（III ）若C 60∠AP =，求C PA +P 的取值X 围．22.（12分）（I ）将sin3θ表示成sin θ的多项式； （II ）求值：333sin 10sin 50sin 70+-；(III)已知3sin ,sin 8a x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin3,8sin b x x =且()f x a b =⋅，求函数()y f x =的最大值()g m ，并解不等式()51g m m <--．参考答案1.B【解析】主要考查正弦函数的图象与性质.对函数∵当时,∴函数的图象不关于原点对称,故A错误;当函数函数的图象关于点对称,故B正确;当时,函数∴函数图象不关于轴对称,故C错误;当函数∴函数的图象不关于直线对称,D错误.故选B.2.C【解析】主要考查平面向量的基本定理及其意义.===,与是不能构成基底的一组向量.故选C.3.A【解析】主要考查利用三角函数的性质求函数的解析式.由图象可知A=2,由图知即,,,又,∴函数的解析式是).故选A.4.D【解析】主要考查两角和与差的正、余弦公式,熟练掌握公式是解决本题的关键.==,==故选D.5.B【解析】主要考查三角函数的诱导公式、正弦函数的单调区间的求法.,∴函数的单调增区间,即函数单调减区间.由解得故函数的单调递增区间是).故选B.6.A【解析】主要考查平面向量的线性运算.平行四边形中,=====故选A.7.B【解析】主要考查两角和与差的三角公式,以及倍角公式.,,,又因为,故选B.8.B【解析】主要考查平面向量的数量积.因为关于的方程有实根,所以即,,,故选B.9.C【解析】主要考查三角形面积公式,向量数量积的定义.因为中,为等腰直角三角形,且为直角,==又因为,,,即故选C.10.D【解析】主要考查二倍角公式,两角和与差的三角公式在解三角形中的应用.依题意可知=整理得,∴三角形为等腰三角形.故选D.11.A【解析】主要考查正切函数的图象与性质,同时也考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题,是一道综合性题目.∵函数的图象与x轴交于A点,,解得,又∵过点Α的直线与函数的图象交于Β,C两点,设,且B,C两点关于A对称,即,如图所示,又,,故选A.12.D【解析】主要考查余弦定理在解三角形中的应用,以及不等式恒成立问题,余弦定理建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.根据题意画出图形,如图所示:,,又分别是的中点,,,∴在∆中,由余弦定理得===在∆中,由余弦定理得===,=,∵当取最小值时,比值最大,∴当,时,达到最大值,最大值为,则恒成立,的最小值为故选D.13.【解析】主要考查平面向量的数量积的几何意义,向量的夹角是解题的关键.因为等边Δ的边长为,所以在方向上的投影为故答案为14.【解析】主要考查三角形面积公式及倍角公式的应用.由三角形面积公式得又,,,故答案为15.【解析】主要考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义.过作OS垂足分别为,则分别为的中点,===故答案为16.①③④【解析】主要考查三角函数的性质和解三角形,以及平面向量的夹角和向量共线的知识.①因为都是第一象限角,且但,故①错误;②因为=故②正确;③当时,向量与向量的夹角为,不是锐角,故③错误;④当为零向量时,与共线,与共线,但与不一定共线,故错误;所以假命题为①③④.故答案为①③④.17.(1)若,则即,解得,又.(2),又,,又恒成立,．【解析】主要考查平面向量垂直的条件及数量积运算,考查三角恒等变换等知识. (1) 由得即求得tan,结合所给角的X围可求的值;(2)首先求出将问题等价转化为求的最大值,再利用三角恒等变换转化为求正弦函数的最值.18.(1)由条件得,∵为锐角,∴因此.(2)由(1)知,所以.为锐角,,.【解析】主要考查同角三角函数的关系式及两角和的正切公式与转化思想.(1)由条件得,利用同角三角函数的基本关系求出,进而求出及的值;(2)由(1)可求得再利用两角和的正切公式求出最后根据都是锐角确定的取值.19.(1),又,.(2)由(1)知,且,由余弦定理得,,,又由正弦定理知,又.【解析】主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式以及平面向量的数量积. (1) 根据平面向量的数量积,求出的值,再根据同角三角函数的基本关系求出,代入三角形面积公式即可求出结果;(2)利用余弦定理和正弦定理求出,再根据角的取值X围即可求出角C的值.20.(1)．又．(2)由(1)知,.又且,所以,.【解析】主要考查三角函数的恒等变形,解决本题的关键是利用向量之间的关系写出三角函数之间的关系,其中应注意余弦定理的应用.(1)根据两个向量共线的条件,得到关于三角形中边角的表达式,再结合余弦定理得到角的正弦值,求出角;(2)根据(1)的结果,写出之间的关系式,把要求的两个角的正弦值的和,写成一个角的形式,利用辅助角公式化成能够求函数值的形式,得到结果.21.(1)由得,,,,故,.(2)由(1)知,.(3)由(1)和(2)知点在三角形的外接圆上,故.设,则,,,.【解析】主要考查向量的数量积,余弦定理,以及三角形的面积公式,三角函数的单调性等.(1)由向量式和已知数据可得,而由余弦定理可得==,从而可求出由三角形面积公式即可求出四边形ABCD的面积;(2)由正弦定理可得代入数据即可求出三角形ABC的外接圆半径R的值;(3)利用正弦定理得出根据角的取值X围和三角函数的单调性即可得出结果.22.(1).(2)由(1)知,原式.(3),,,,当时,,当时,恒成立,当时,,综上,不等式解集为.【解析】主要考查两角和与差的正、余弦公式以及平面向量的数量积的运算,同时也考查了含绝对值不等式的解法. (1)利用两角和的正弦公式即可得出结果;(2)根据(1)的结论,将式子化简,再利用两角和的正弦公式即可求出结果;(3)利用平面向量的数量积将函数表示出来,根据三角函数的性质求出,再对进行分类讨论解不等式,即可求出结果.。
高一数学试题分值：150分 时间：120分钟 命题人：路杰、邵会礼注意事项：请将I 卷（选择题）答案涂在答题卡上，第II 卷（非选择题）答案用黑色钢笔（作图除外）做在答题卡上，不得出框。
I 卷（主观题 共80分）一、选择题(每小题5分)1、满足条件的所有集合B 的个数为A ．8B ．4C ．3D ．22、与角6-π终边相同的角是（ ）A ． B. C. D.3、62015sinπ的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知平面向量，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．5、三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系为 ( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a6、设角属于第二象限，且，则角属于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7、已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程必过点（）A． B.C．D．8、要得到的图象只需将y=3sin2x的图（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位9、函数的图象的一个对称轴方程为( )A． B． C． D．10、已知函数等于（）A ．B ．C ．D ．11、函数是（ ）A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数12、在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为( )A . B. C. D.二、填空题（每小题5分）13、已知角的终边经过点，则 =14、=+︒︒15tan 115tan -115、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是16、若，则＝ ．（第15题图）II 卷（客观题 共70分）三、简答题17、（10分）已知，（1）求sinx3cosx 5cosx2-sinx 4+的值。
（2）求的值。
18、（12分）若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值19、（12分）已知，，求的值20、（12分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（2）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上的概率；21、（12分）如果函数)200(sin y πϕωϕω<>>++=，，）（A B x A 的一段图象。
一、单选题1．已知，则点P 所在象限为（ ） ()sin1,cos 2P A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据角所在象限确定点横、纵坐标的正负，即可得解. 【详解】因为1（rad ）是第一象限角，2（rad ）是第二象限角， 所以， sin10,cos 20><所以点P 所在象限为第四象限. 故选：D.2．已知，则（ ） π3sin 65a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2πcos 3α⎛⎫-=⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．354535-45-【答案】A【分析】由角的变换，根据诱导公式化简求值.【详解】，ππ3sin sin 665a α⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，π3sin 65α⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭.2ππππ3cos cos sin 32665ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.3．已知向量，，，则（ ） a b c +=- 3a = 2b c == a b b c c a ⋅+⋅+⋅=A ．B ．C ．D ． 172152172-152-【答案】C【分析】根据题意结合数量积的运算律分析运算.【详解】因为，则，a b c +=-()22a bc += 可得，即，整理得，2222a a b b c +×+=9244a b +×+=92⋅=- a b 所以 ()()()2a b b c c a a b a b c a b a b ⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-=⋅-+r r r r r r r r r r r r r r r .()229179422a a b b ⎛⎫=-+⋅+=--+=- ⎪⎝⎭r r r r 故选：C.4．在中，若，则点H 是的（ ）ABC A HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅ABC AA ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心【答案】A【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.【详解】因为，则， HA HB HB HC ⋅=⋅()0HB HA HC HB CA ⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r 所以，即点H 在边的高线所在直线上，HB CA ⊥u u u r u u rCA 同理可得：，,HA CB HC AB ⊥⊥u u u r u u r u u u r u u u r所以点H 为的三条高线的交点，即点H 是的垂心. ABC A ABC A 故选：A.5．已知在中，（ ） ABC A sin cos A A +=sin cos A A -=A ．BCD ． 35-【答案】B【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号.【详解】因为sin cos A A +=，()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 5A A A A A A A A +=++=+=可得， 2sin cos 05A A =-<又，则，()0,πA ∈π,π2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即，可得，sin 0,cos 0A A ><sin cos 0A A ->又因为， ()2229sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 5A A A A A A A A -=-+=-=所以sin cos A A -=故选：B.6．函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(2f πA ．B ．C ．D ．1-【答案】A【分析】由函数的部分图象以及五点法作图，求出的解析式，再计算的值．()f x ()f x 2f π⎛⎫⎪⎝⎭【详解】解：由函数，，的部分图象知，()sin()(0f x A x A ωϕ=+>0ω>)2πϕ<，解得， A =2744123T πππω==-2ω=再由五点法作图可得，解得；23πϕπ⨯+=3πϕ=，())3f x x π∴=+．22233f ππππ⎛⎫⎛⎫∴⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A ．7．已知，则的一个可能值是．（ ）π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭sin cos αα+A ．B ． CD ．12325π【答案】B【分析】利用辅助角公式化简，根据定义域求值域即可判断选项.【详解】,πsin cos 4ααα+=+因为，所以，π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以，πsin cos )4αα=α+∈+因为，，322π5∈所以的一个可能值是，sin cos αα+2π5故选：B8．若把函数的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重sin(3y x ωπ=+3π合，则ω的一个可能取值是（ ） A ． B ．C ．D ．2123223【答案】A【分析】由三角函数图像平移规则，可得到平移后图像的解析式，利用诱导公式可以得到关于的ω关系式，解之即可解决.【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到 sin(3y x ωπ=+3πsin()33y x ωπωπ=++由可得，即 sin(cos 33x x ωπωωπ++=2332k ωππππ+=+16Z 2k k ω=+∈当时，. 0k =12ω=故选：A二、多选题9．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ）()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π12()y g x =A ．在上是减函数()y f x =ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．由可得是的整数倍 ()()1212f x f x ==12x x -πC ．是奇函数()y g x =D ．函数在区间上有个零点 ()f x ()0,8π8【答案】AC【分析】对于A ，确定的取值范围，根据正弦函数的单调性即可判断；对于B ，举反例即可π26x -判断；对于C ，根据三角函数的图象的平移变换确定的解析式，再判断奇偶性即可；对于()y g x =D ，求出函数在一个周期内的零点个数，即可判断. 【详解】由题意知，()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A.当时，，ππ,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2ππ5π,626x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为在上单调递减，sin y x =π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以在上是减函数，A 正确()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦;对于B.当，时，，但不是的整数倍，B 错误1π6x =2π2x =()()1212f x f x ==12π3x x -=-π;对于C.由题意，得，故是奇函数，C 正确()ππsin 2sin2126g x x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()y g x =;对于D.由，可得.()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2ππ2T ==当时，，()0,πx ∈ππ11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭令或，则或，26π0x -=ππ12x =7π12因此在上有两个零点，而含有个周期，()f x ()0,π()0,8π8因此在区间上有个零点，D 错误. ()f x ()0,8π16故选：AC.10．已知函数，则（ ） ()tan sin tan sin f x x x x x =++-A ．的最小正周期为 B ．在上单调递减()f x π()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象关于原点中心对称D ．的值域为()f x ()f x ()2,-+∞【答案】BD【分析】化简函数，画出的图象，从而利用图象可一一判断各选项. ()f x ()f x 【详解】因为tan sin tan (1cos )x x x x -=-当为第一或第三象限角时，，又，可得， x tan 0x >1cos 0x ->tan x -sin 0x >所以；()2tan f x x =当为第二或第四象限角时，，又，可得， x tan 0x <1cos 0x ->tan sin 0x x -<所以； ()f x =2sin x 当时，.π,x k k =∈Z ()0f x =综上，，π3π2tan ,2π,2ππ2π,2π()22()π3π2sin ,2π,π2π2π,2π2π()22x x k k k k k f x x x k k k k k ⎧⎡⎫⎡⎫∈+⋃++∈⎪⎪⎪⎢⎢⎪⎣⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎛⎫⎪∈++⋃++∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ZZ 作出的部分图象如图所示.()f x对于A ，结合图象可得的最小正周期为，A 错误； ()f x 2π对于B ，在上单调递减，B 正确；()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，的图象不关于原点中心对称，错误； ()f x C 对于D ，的值域为，D 正确. ()f x (2,)-+∞故选：BD11．已知平面向量，是两个夹角为的单位向量，且与垂1e 2e π3()123e 1e a λ=+- ()1221e 2e b λ=-- 直，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则与方向相同的单位向量是0λ>a1e B ．若，则在上的投影向量是0λ>b2e23e 2C ．若，则与0λ<a D ．若，则与0λ<a 2e 【答案】AC【分析】先由向量垂直化简可得或，分结合投影向量判断AB ，时由夹角公1λ=72λ=-0λ>0λ<式判断CD.【详解】由题意得， ()()()21212353e 1e 21e 2e 632122a b λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⋅=+-⋅--=---+--⎣⎦⎣⎦ ，解得或．257022λλ=+-=1λ=72λ=-A ，B 选项：若，则，此时，，与方向相同的单位向量是，在0λ>1λ=13a e = 12e 2e b =- a1e b 2e 上的投影向量是，（注意投影向量的概念）故A 正确，B 错误．22222e e 3e 2e e b ⋅⋅=-C ，D 选项：若，则，此时，因此与0λ<72λ=-1293e e 2a =- a且与C 正确，D 错误． a 2e 故选：AC12．已知函数在上单调，且，则（ ） ()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭π03f ⎛⎫< ⎪⎝⎭A ．函数的图象关于原点对称π6x f ω-⎛⎫⎪⎝⎭B ．的图象向左平移个单位长度后可能得到的图象()f x π12()πsin 3g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．的值不可能是整数ωD ．在上仅有两个零点()f x ()0,π【答案】ACD【分析】根据条件求出的范围，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.ω【详解】因为为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，A 正确；πsin 66x x f ω-⎛⎫= ⎪⎝⎭π6x f ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭因为在（，）上单调，所以≥=，即≥，所以， ()f x π6π22T π2π6-π32πω2π303ω<≤因为，又<ω+≤，得ω+>π，所以，0ππi 33πs n 6f ω⎛⎫⎛⎫=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6π3π67π6π3π6532ω<≤因为f （x ）在（，）上单调，所以函数在（ω+，ω+）上单调，π6π2sin y t =t ∈π6π6π2π6因为<ω+≤，<ω+≤，所以ω+≤，即，7π12π6π62π317π12π2π65π3π2π63π283ω≤综上，，C 正确. 5823ω<≤将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象， ()f x π12πππsin 12126f x x ωω⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若，则，即， ππsin 123f x x ω⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()πππ2πZ 1263k k ω+=+∈()224Z k k ω=+∈又，所以不存在ω，使得的图象向左平移个单位长度后得到5823ω<≤()f x π12()πsin 3g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，B 错误. 由，得ωx+∈（，πω+），因为，得<πω+≤，()0,πx ∈π6π6π65823ω<≤8π3π617π6由，可得πω+=π或πω+=2π，即f （x ）在上仅有两个零点，D 正确 ()0f x =π6π6()0,π故选：ACD三、填空题13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20cm ，则扇形的周长为___cm. 【答案】6π＋40【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形的弧长公式，可得弧长，即310πα=l 可求解扇形的周长，得到答案.【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角， 35410πα==∴由扇形的弧长公式，可得弧长， 6l r απ=⋅=∴扇形的周长为.(640)cm π+【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14．在△ABC 中，，，M 为AC 的中点，P 在线段AB 上，则的最小值2C π∠=2AC BC ==MP CP ⋅为________ 【答案】78【分析】以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为轴，线段AB 的垂直平分线为轴建x y 立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.【详解】如图：以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为轴，线段AB 的垂直平分线为x 轴建立平面直角坐标系，y则，设，， (,M C (),0P x x ≤≤则， (2,11MP CP x x x x x ⎛⎛⋅=⋅=+=+ ⎝⎝当 x =()2min718MP CP⋅=+= 故答案为：. 78四、双空题15．已知函数，若，使得，且π())0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭12,x x ∃∈R ()()122f x f x ⋅=-的最小值为，则的值为_________；若将的图象向右平移个单位长度后所得函数12x x -π2ω()f x π6图象关于直线对称，则在区间上的最小值为_________． 7π12x =()f x ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】2【分析】根据题意可得最小正周期满足，再由，求出，再根据三角函数的平T π22T =2πT ω=2ω=移变换可得，由对称轴可得，，进而求出，再根据三π()23g x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭5ππ6k ϕ=-+Z k ∈ϕ角函数的性质即可求解.【详解】因为， ())f x x ωϕ=+又，所以，中一个为最大值，一个为最小值， ()()122f x f x =-()1f x ()2f x 因为的最小值为，所以的最小正周期满足，21x x -π2()f x T π22T =所以，故. πT =2π2Tω==将的图象向右平移个单位长度后， ())f x x ϕ=+π6所得图象对应的函数为，π()23g x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭由题意可知，直线是图象的一条对称轴， 7π12x =()g x 所以，，所以，，5ππ6k ϕ+=Z k ∈5ππ6k ϕ=-+Z k ∈又，令，则，所以.π2ϕ<1k =π6ϕ=π()6os 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，所以，ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,626x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以在区间上为减函数，()f x ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦故最小值为π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：2；五、填空题16．已知函数，某相邻两支图像与坐标轴分别交于点π()tan()0,0||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭π,06A ⎛⎫⎪⎝⎭，，则方程，所有解的和为_________．2π,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]0,πx ∈【答案】5π6【分析】先由题意求出和，从而确定解析式，进而确定方程，然后找出满足题意的情况，ωϕ()f x 解出即可得解.【详解】由题意知函数的周期，所以，， ()f x 2ππππ362T ω=-==2ω=()tan(2)f x x ϕ=+把点坐标代入得，结合解得，π,06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭πtan 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π0||2ϕ<<π3ϕ=-所以，则方程，π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即为，即为，， ππtan 2sin 233x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π3sin 2π3cos 23x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭[]0,πx ∈因为，所以，[]0,πx ∈ππ5π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以当或时满足题意，πsin 203x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 213πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以或，解得，，故. π203x -=π2π3x -=1π6x =22π3x =12π2π5π636x x +=+=故答案为：. 5π6六、解答题17．已知角的终边经过点． θ()()4,30P a a a <(1)求、的值；sin θcos θ(2)求的值．()()2212sin πcos 2023ππ5πsin cos 22θθθθ++-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)，3sin 5θ=-4cos 5θ=-(2) 7【分析】（1）由三角函数的定义可求得、的值；sin θcos θ（2）求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.tan θ【详解】（1）解：因为角的终边经过点， θ()()4,30P a a a <由三角函数定义可得，33sin 55a a θ===--. 44cos 55a a θ===--（2）解：由三角函数的定义可得， 33tan 44a a θ==原式 ()()()22222cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ+++==-+-. 31cos sin 1tan 473cos sin 1tan 14θθθθθθ+++====---18．已知函数的部分图象如图所示.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求的解析式；()f x (2)若方程在上恰有三个不相等的实数根，求的取值范围()0f x m -=40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()123123,,x x x x x x <<m 和的值. ()123tan 2x x x ++【答案】(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)见解析【分析】（1）由函数图象可得，，求得，将点代入的解析式，求得2A =T π=2ω=,212π⎛⎫⎪⎝⎭()f x ，即可求得函数的解析式；.3πϕ=()f x （2）将问题转化为函数与的图象在上有三个不同的交点，结合图象以及对称性()f x y m =40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦求解即可.【详解】（1）解：由函数的图象可得，且，解得， ()f x 2A =43124T πππ=-=T π=所以，即， 22Tπω==()2sin(2)f x x ϕ=+将点代入的解析式，可得，,212π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈解得，2,3k k Z πϕπ=+∈因为，可得，所以.||2ϕπ<3πϕ=()2sin(2)3f x x π=+（2）方程在上恰有三个不相等的实数根，()0f x m -=40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则函数与的图象在上有三个不同的交点，()f x y m =40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦设交点的横坐标分别为. ()123123,,x x x x x x <<函数在上的图象如下图所示：()f x 40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦由图可知，0m ≤<由对称性可知，. 1231223713102()()2212132x x x x x x x πππ++=+++=⨯+⨯=故12210tan(2)tantan 33x x x ππ++===19．设两个向量满足，,a b()12,0,2a b ⎛== ⎝ (1)求方向的单位向量；a b +(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．27ta b +a tb + 【答案】(1)(2)17,2⎛⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎝⎭【分析】（1）根据，求得的坐标和模后求解； ()12,0,2a b ⎛== ⎝ a b +（2）根据向量与向量的夹角为钝角，由，且向量不与27ta b + a tb + ()()270ta b a tb ++< 27ta b +向量反向共线求解.a tb +【详解】（1）由已知，()152,022a b ⎛⎛+=+= ⎝⎝ 所以a +=所以，a b +=即方向的单位向量为；a b +（2）由已知，，1a b ⋅=2,1a b == 所以， ()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ 因为向量与向量的夹角为钝角，27ta b +a tb + 所以，且向量不与向量反向共线，()()270ta b a tb ++< 27ta b +a tb + 设，则，解得，()()270ta b k a tb k +=+< 27tk kt=⎧⎨=⎩t =从而， 221570t t t ⎧++<⎪⎨≠⎪⎩解得. 17,2t ⎛⎛⎫∈-⋃- ⎪ ⎪⎝⎝⎭20．如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移t s y （单位：）之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用mm 来刻画．()ππsin 0,0,,22y A t A ωϕωϕ⎛⎫⎡⎤=+>>∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭t 0.000.100.20 0.30 0.40 0.500.60y20.0- 10.1-10.3 20.0 10.3 10.1-20.0-(1)试确定位移关于时间的函数关系式；y t (2)在理想状态下，经过10秒，该弹簧振子的位移和路程分别是多少？（精确到0.1）【答案】(1) 10ππsin 3220y t ⎛=⎫-⎪⎝⎭(2)弹簧振子的位移是，路程为10mm 1310mm【分析】（1）根据最值确定，由周期求，代入一个最高点或最低点坐标求出；A ωϕ（2）经过秒，该弹簧振子的位移即为时的函数值，而计算该弹簧振子经过的路程则要先1010x =计算周期，再乘以一个周期弹簧振子经过的路程. 【详解】（1）由数据表可知，． 20A =振子的周期为0.60s ，所以，解得． 2π0.6T ω==10π3ω=所以，因为时，． 10π20sin 3y t ϕ⎛=+⎫⎪⎝⎭0=t 20.0y =-所以，，，sin 1ϕ=-π2π2k ϕ=-+k ∈Z 因为，所以．ππ,22ϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2ϕ=-所以位移y 关于时间t 的函数解析式为． 10ππsin 3220y t ⎛=⎫-⎪⎝⎭（2）当时，10t =，100ππ100πππ20sin 20cos 20cos 33π20cos 1032333y ⎛⎫⎛⎫=-=-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以该弹簧振子的位移是10mm ． 因为10秒内，该弹簧振子经过了个周期， 10500.63=所以该弹簧振子经过的路程为． ()400020416+10201310mm 3⨯⨯--==21．已知函数，.()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()0ω>(1)若，，求的对称中心；()()12()f x f x f x ≤≤12min π2x x -=()f x (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个05ω<<()f x π6()g x π3x =()g x 零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值.()g x [],m n ,R m n ∈m n <n m -【答案】(1)；ππ,1(Z)122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭(2).139π【分析】（1）由题意利用正弦函数的性质可求出的最小正周期为，从而可求出，则可求()f x πω得解析式，然后可求出其对称中心；()f x （2）先利用三角函数图象变换规律求出，再根据是的一()ππ2sin 2163g x x ωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭3x π=()g x个零点和可求出，从而可求出的解析式，则可求出的最小正周期，再利用正05ω<<ω()g x ()g x 弦函数的零点和周期性可求得结果.【详解】（1）因为，， ()()12()f x f x f x ≤≤12min π2x x -=所以的最小正周期为，()f x π因为，的最小正周期为，()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()0ω>2π2ω所以，得， 22ππω=1ω=所以，()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由，得，2,Z 6x k k ππ+=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以的对称中心为；()f x ππ,1(Z)122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2）由函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，可得 ()f x π6()g x ，()2sin 2()12sin 216663g x x x ππππωωω⎡⎤⎛⎫=-++=+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为是的一个零点，π3x =()g x 所以，ππππ2sin 2103363g ωω⎛⎫⎛⎫=⋅+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，ππ1sin 362ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以，或， ππ7π2π,Z 366k k ω+=+∈ππ11π2π,Z 366k k ω+=+∈解得或， 36,Z k k ω=+∈56,Z k k ω=+∈因为，所以，05ω<<3ω=所以，()5π2sin 616g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以的最小正周期为， ()g x 263ππ=令，则，()52sin 6106g x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭51sin 662x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解得，或， 115ππ62π,Z 66x k k -=-+∈115π5π62π,Z 66x k k -=-+∈所以，或， 11ππ,Z 39k x k =+∈11π,Z 3k x k =∈因为函数在（且）上恰好有10个零点， ()g x [],m n ,R m n ∈m n <且要使最小，必须使恰好为的零点，前两个零点相距， n m -,m n ()g x π9所以的最小值为. n m -ππ13π4399⨯+=22．，且. ()()13πsin 2π242f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭π16f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)方程在有且仅有一个解，求的取值范围．()21f x k =+π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦k (2)设，对，总，使成立，求的范围．()22sin 4sin g x x t x =+1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀2ππ,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≥t (3)若与的图象关于对称，求不等式的解集． ()h x ()f x π12x =-()sin h x h ≥【答案】(1)931,84⎧⎫⎛⎤---⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦ (2),⎛-∞ ⎝(3)()πππ,π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【分析】（1）由已知条件求出的值，可得出函数的解析式，分析可知函数与函数ϕ()f x 21y k =+在上的图象只有一个公共点，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可； ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦k （2）求出函数在上的最小值，可得出，令，()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2215sin 28sin t x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭2sin p x ⎤=∈⎥⎦求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；1528y p p ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎤⎥⎦t （3）利用函数的对称性可得出函数的解析式，由结合余弦函数的图象可得()h x ()sin h x h ≥出，结合正弦函数基本性质可解此不等式. )πsin πk x k k ≤≤∈Z 【详解】（1）解：因为，()()13πsin 2π242f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭则，可得，π1π3sin 16234f ϕ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin 32ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭因为，则，所以，，可得，ππ2ϕ<<5ππ4π633ϕ<+<π7π36ϕ+=5π6ϕ=所以，，()15π3sin 2264f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当时，，π02x ≤≤5π5π11π2666x ≤+≤作出函数与函数在上的图象如下图所示：21y k =+()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦由图可知当或时，即当时，5214k +=-11212k -<+≤-931,84k ⎧⎫⎛⎤∈---⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦ 函数与函数在上的图象只有一个公共点，21y k =+()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，实数的取值范围是.k 931,84⎧⎫⎛⎤---⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦ （2）解：因为，()22sin 4sin g x x t x =+由题意，对，总，使，则，1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦∀2ππ,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≥()()12min min f x g x >当时，，则，π02x ≤≤5π5π11π2666x ≤+≤()min 13π35sin 2244f x =-=-所以，，使得，2ππ,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()222252sin 4sin 4g x x t x =+≤-所以，， 222222252sin 15154sin sin 4sin 216sin 28sin x t x x x x x --⎛⎫≤=--=-+ ⎪⎝⎭因为，2ππ,32x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin 1x ≤≤令，函数在上单调递减，2sin p x⎤=∈⎥⎦1528y p p ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎤⎥⎦所以，，max12y ⎫=-=⎝t ≤因此，实数的取值范围是. t ,⎛-∞ ⎝（3）解：因为与的图象关于对称， ()h x ()f x π12x =-则()π15ππ31π3sin 2sin 262664224h x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 13cos 224x =-因为，令，()sin h x h ≥sin m x =则，即 ()1313cos 22424h m m h =-≥=cos 2m ≥作出函数的图象如下图所示：cos y x =由， cos 2m ≥)2π22πk m k k ≤≤∈Z即， )πsin πk x k k ≤≤∈Z因为，故，可得， 1sin 1x -≤≤0k =sin x ≤≤解得或， ()ππ2π2π33n x n n -≤≤+∈Z ()2π4π2π2π33n x n n +≤≤+∈Z 即， ()ππππ33k x k k -≤≤+∈Z 因此，原不等式的解集为.()πππ,π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，.()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，则；[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min max f x g x <（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x ()g x。
高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，角，其顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终xOy 120α=︒O x 边过点，则实数的值是（ ） (4,)P m -mA ．B ．C ．D ．--【答案】C【分析】根据三角函数的定义，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.【详解】由三角函数定义，可得，解得 tan1204m︒=-4tan120m =-︒=故选：C2．已知在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的ABC A B C a b c sin 2sin 2A B =a b =（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据结合三角函数的性质，可得或，进而可求解. sin 2sin 2A B =A B =π2A B +=【详解】若，则或， sin 2sin 2A B =222π,Z A B k k =+∈22π+2π,Z A B k k +=∈由于在三角形中，所以或，故或， 22A B =22πA B +=A B =π2A B +=当时，则，但时，关系不确定； A B =a b =π2A B +=,a b 反过来，若，则必有，．故“”是“”的必要不充分条a b =A B =sin 2sin 2A B =sin 2sin 2A B =a b =件， 故选：B3．已知函数，若，则（ ） 2cos(π)()sin (π)1x f x x -=--π322f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin α=A ．B ．C ．D 23-23【答案】A【分析】利用三角函数的诱导公式，化简得到，结合，即可求解． 1()cos f x x=π322f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】由函数，222cos(π)cos cos 1()sin (π)1sin 1cos cos x x x f x x x x x --====---因为，即，解得． π322f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭113πsin 2cos 2αα=-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭2sin 3=-a 故选：A.4．对于非零向量，，定义．若，则a btan ,a b a b a b ⊕=⋅⋅<> a b a b b ⊕=+=-= （ ）tan ,ab <>=A BCD【答案】B【分析】根据定理可得，代入即可求解.tan,a b <>= 54a b ⋅= 【详解】∵，∴tan ,a b a b a b ⊕=⋅⋅=tan ,a b <>= 由可得，a b b +=-= 22222·62·1a a b b a a b b ⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩ 两式相减得，∴．54a b ⋅= tan ,a b <>==故选：B.5．已知在中，为的中点，点满足，则（ ） ABC D AC E 2BE EC = 1136AB AC --= A ． B ． C ． D ．DBAE EC ED 【答案】D【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】如图，．1111136332AB AC AB AC AC --=-+-()111323AC AB AC BC DC EC DC ED =--=-=-= 故选：D6．已知，且，则（ ） 1sin cos 5αα+=(0,π)α∈sin cos sin cos αααα=-A ． B ．C ．D ．125-1251235-1235【答案】C【分析】根据，，三者间关系求解即可. sin cos αα+sin cos αα-sin cos αα【详解】因为①，两边平方得， 1sin cos 5αα+=21(sin cos )12sin cos 25αααα+=+=故， 242sin cos 025αα=-<所以与异号，又，所以，，sin αcos α0πα<<sin0α>cos 0α<所以②，7sin cos 5αα-====由①②解得 ， 4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以．43sin cos 12557sin cos 355αααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==--故选：C7．某病毒在一天内的活跃度与时间（，单位：）近似满足关系式y t 024t ≤≤h ，其图象如图所示．已知时，该病毒对人类不具有sin()y A t b ωϕ=++π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭2y <-传染性，则该病毒在一天内对人类不具有传染性的时长大约为（ ）A ．B ．C ．D ．6h 8h 10h 12h 【答案】B【分析】根据图象求得三角函数的解析式，由此列不等式来求得不具有传染性的时长.【详解】由图可知，， 10(6)82A --==6682b A =-+=-+=且，所以． 2π2(2210)24ω=⨯-=π12ω=由以及可得．π12⨯()()ππ102πZ ,2πZ 23k k k k ϕϕ+=+∈=-∈π||2ϕ<π3ϕ=-所以，．ππ8sin 2123y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭024t ≤≤令，得，2y <-ππ1sin 1232t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭所以，， 7πππ11π2π2π61236k t k +<-<+Z k ∈解得，， 18242624k t k +<<+Z k ∈因为，所以或． 024t ≤≤02t ≤<1824t <≤所以该病毒在一天内有对人类不具有传染性． 8h 故选：B8．已知的角，，的对边分别为，，，且，，ABC A B C a b c cos (2)cos b C a c B =-3ac =3b =，则（ ） a c +=A ．4B ．6C ．D ．【答案】D【分析】用余弦定理将角化边，求出角后，再用余弦定理即可求出.B a c +【详解】∵，由余弦定理可得， cos (2)cos bC a c B =-222222(2)22a b c a c b b a c ab ac +-+-⋅=-⋅整理得，∴，即，而，∴．222ac a c b =+-222122a c b ac +-=1cos 2B =(0,π)B ∈π3B =又，，∴由余弦定理可得， 3ac =3b =22229()3()9a c ac a c ac a c =+-=+-=+-∴，∴ 2()18a c +=a c +=故选：D二、多选题9．已知向量，，则（ ）(1,3)a =- (2,6)b =-A B ． 20a b ⋅=-C ．D ．与方向相同20a b += b a - a【答案】ABC【分析】根据向量的模的坐标表示判断A ，根据数量积的坐标运算判断B ，根据向量的线性运算的坐标表示判断C ，根据共线向量判断D.【详解】对于A ，因为向量，所以A 正确；(1,3)a =- a == 对于B ，，故B 正确；1(2)(3)620a b ⋅=⨯-+-⨯=-对于C ，，故C 正确；22(1,3)(2,6)(0,0)0a b +=-+-==对于D ，，则，所以与方向相反，故D 错误．(3,9)b a -=- ()13a b a =-- b a - a 故选：ABC10．下列给出的角，其终边与的终边互相垂直的有（ ） 56πA ．B ．C ．D ．8π3-4π3-5π37π3【答案】AD【分析】根据任意角的概念逐项求解即可. 【详解】在范围内，终边与的终边互相垂直的角为和，A 项中的终边与的[0,2π)5π6π34π38π3-4π3终边重合，D 项中的终边与的终边重合，故A ，D 满足．7π3π3故选：AD .11．已知函数（，）的图象有两条相邻的对称轴与()3sin()f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<2π3x =-π3x =，且在区间上单调递增，则下列各选项正确的是（ ）()f x 2ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ．的最小正周期为()f x πB ．的图象关于点对称()f x 5π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．在区间上的值域为()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．方程有3个不等实根()1π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】根据两对称轴确定周期即可求出，再通过最大值建立方程求解，即可求出函数1ω=π6ϕ=，然后根据整体代换法求对称轴及值域即可判断B 、C ，把方程根的问题转化为()π3sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的交点问题，数形结合即可判断D. 【详解】由题意，，为图象的两条相邻的对称轴， 2π3x =-π3x =()f x 且当时，取得最小值，当时，取得最大值. 2π3x =-()f x x =π3()f x故最小正周期，故，解得， π2π22π33T ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π2πT ω==1ω=又当时，取得最大值，故，即， π3x =()f x ()ππ12π32k k ϕ⨯+=+∈Z ()π2π6k k ϕ=+∈Z 又，故．所以.0πϕ<<π6ϕ=()π3sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的最小正周期，故A 错误； ()f x 2πT =对于B ，令，解得，令，得， ()ππ6x k k +=∈Z ()ππ6x k k =-∈Z π5ππ66k -=1k =∈Z 所以的图象关于点对称，故B 正确；()f x 5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，当时，，所以，所以π02x ≤≤ππ2π,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π1sin ,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 正确；()π33sin ,362f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦对于D ，的图象和直线都关于点对称，作图如下，()π3sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1π26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭注意到，所以二者图象只有3个交点，故原方程有3个不等实根，故D 正确． 17ππ5π32364⎛⎫+=>⎪⎝⎭故选：BCD12．在中，的平分线交边于点，，，，则ABC BAC ∠BC P 4AB =π3BAC ∠=3255AP AB AC =+ （ ）A ．B ．C ．D ．25BP BC =35BP BC =12AB AC ⋅=AP = 【答案】ACD【分析】根据平行线的性质、三角形内角平分线的性质，结合平面向量数量积的定义和运算性质逐一判断即可.【详解】如图所示，过点作交于点，作交于点，则P PE AC ∥AB E PF AB ∥AC F ，而，∴，，∴，故A 正确，AP AE AF=+ 3255AP AB AC =+ 35AE AB = 25AF AC = 25BP AF BC AC ==B 错误；对于C ，∵是的平分线，，而，∴， AP BAC ∠23AB BP AC PC ∴==4AB =6AC =∴，故C 正确；1cos 46122AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯= 对于D ，∵222232912491244321612365525252525252525AP AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=+=+⋅+=⨯+⨯+⨯=⎪⎝⎭，∴，故D 正确．AP = 故选：ACD【点睛】关键点睛：根据三角形内角平分线性质，结合数量积的运算性质是解题的关键.三、填空题13的圆中，弦的长为2，则劣弧的长为__________．O AB AB【分析】根据垂径定理得到弦所对圆心角为，代入弧长公式即可求解. ABαπ2【详解】因为圆，弦的长为2，O AB 所以，所以， OA OB ==2AB =222OA OB AB +=故为直角三角形，且为直角， OAB AOB ∠所以弦所对圆心角为，由弧长公式得AB απ2π2l r α===14．已知的角，，的对边分别为，，，且，，，则ABC A B C a b c 4a =2b =π3C =sin B =__________． 【答案】##120.5【分析】先利用余弦定理求出边，再利用正弦定理即可得解. c【详解】∵ c ===∴由正弦定理可得，即，∴． sin sin B C b c =sin 2B =11sin 242B =⨯=故答案为：.1215．已知函数（，）为偶函数，且在区间上没有最小()sin()f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<π2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭值，则的取值范围是________． ω【答案】30,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用诱导公式化简函数，然后换元，结合余弦函数图象建立不等式组求解即可. 【详解】因为（，）为偶函数，则， ()sin()f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<π2ϕ=所以，令，，则，()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭t x ω=π2π,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭π2π,33t ωω⎛⎫∈- ⎪⎝⎭因为在区间上没有最小值，()f x π2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭所以函数在时没有最小值，cos y t =π2π,33t ωω⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以，解得.ππ32ππ3ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩302ω<≤故答案为：30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦16．如图所示，某次航展期间，一架表演机以的速度在同一水平高度向正东方向飞/h行，地面上观众甲第一次观察到该表演机在北偏西60°方向，1 min 后该表演机飞到北偏东75°方向，此时仰角为30°，则该表演机的飞行高度为__________．km【分析】根据题意作出示意图，在中，利用正弦定理求得，结合ABC 5AB =tan BD AB BAD =⋅∠，即可求解．【详解】如图所示，由，则，，，AF BC ⊥60CAF ∠=︒75BAF ∠=︒30BAD ∠=︒又由四边形为矩形，可得 BCED 160BC DE ===且， 6075135BAC CAF BAF ∠=∠+∠=︒+︒=︒在中，根据正弦定理可得，ABC sin sin =∠∠BC ABBAC BCA即，sin 30AB =︒5AB ==所以 tan 5tan 30BD AB BAD =⋅∠=︒=.四、解答题17．如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交ABCD E F AB BC G AC BD 点．(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．AB AB BC CD =++ABCD (2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． AD GC EB --【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)答案见解析【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可； （2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可.【详解】（1）由条件知，AB AB BC CD AD =++=即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．AB AD =ABCD ABCD （2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．GC EF =所以．()AD GC EB AD EF AE AD AE EF AD AF FD --=--=-+=-= 作出向量如图所示．FD18．在中，角的对边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c )()(sin sin )sin a b A B c C +-=-(1)求角； B(2)若，边上中线的长． 2π3C =a =BC 【答案】(1) π6【分析】（1）利用正弦定理化简得到，再由余弦定理求得的值，即可求222a c b +-=cos B 解；（2）由题意求得，得到的中点为，在中，利用余弦定理，即可6A π=a b ==BC D ACD 求解.【详解】（1）解：由题意知，)()(sin sin )sin a b A B c C +-=-根据正弦定理，可得，即，()())a b a b c c +-=-222a c b +-=又由余弦定理得 222cos 2a c b B ac +-===因为，故． (0,)B π∈π6B =（2）解：由，，可得，所以π6B =2π3C =π6A B C π=--=a b ==设的中点为，BC D在中，由余弦定理可得 ACD AD ===故. BC 19．已知，求下列各式的值：1tan 2θ=-(1)； 22cos 12sin cos θθθ-(2)． tan(π)sin(π)3πππsin cos cos 222θθθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】(1) 34-(2)54【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简即可求值；（2）化简可得代入即可求值； tan(π)sin(π)3πππsin cos cos 222θθθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21tan θ+【详解】（1）原式． ()222222cos sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos θθθθθθθθθ-+-==22111tan 3212tan 422θθ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（2）原式． tan sin (cos )sin (sin )θθθθθ=--22221sin cos cos cos θθθθ+==22151tan 124θ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭20．记的内角的对边分别为，分别以为直径的三个半圆的面积依次为ABC ,,A B C ,,a b c ,,a b c ，已知，．123,,S S S 1235S S S π+-=3C π=(1)求的面积；ABC (2)求的最大值．sin sin A B 【答案】(1)(2)． 34【分析】（1）根据题意，利用圆的面积公式化简得，由余弦定理求得，进22240a b c +-=40ab =而求得面积；（2）由正弦定理可得化简得到，再由余弦定理和基本不等式求得，进而求230sin sin A B c =240c ≥得的最大值．sin sin A B 【详解】（1）解：因为，可得，解得，1235S S S π+-=2225888a b c ππππ+-=22240a b c +-=由余弦定理得，解得， 2221cos 22a b c C ab +-==40ab =所以 11sin 4022ABC S ab C ==⨯=△（2）解：由正弦定理可得，可得，， sin sin sin a b c A B C ==sin sin a C A c =sin sin b C B c=所以， 222224030sin sin sin ab A B C c c c ==⨯=又由余弦定理得，222222cos 240c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-==当且仅当a b ==所以，即的最大值为． 2303sin sin 4A B c =≤sin sin A B 3421．在平面直角坐标系中有三个向量，，，已知，，，与共线． a b c (3,4)a = 3b = 10c = a c (1)求；c(2)，求的最小值．(0)b a b λλ-=+> a b ⋅ 【答案】(1)或(6,8)c = (6,8)c =--． 【分析】（1）根据向量共线定理可设，根据向量的模的坐标表示列方程求即可；(3,4)c k k = k（2）由已知求，根据数量积的性质化简可得，利用基本不等a r b a b λ-=+ 33144a b λλ⋅=+ 式求最小值.【详解】（1）∵与共线，a c ∴存在实数，使得，k c ka = 又，(3,4)a = ∴，(3,4)c k k = ∵，10c =，10=解得或，2k =-2k =∴或．(6,8)c = (6,8)c =-- （2）∵，(3,4)a = ∴．5a =可得， b a b λ-=+ ()()223a b a b λλ-=+ 展开得，又， 2222223632a a b b a b b a λλλλ-⋅+=+⋅+ 3b = ∴，22756272529a b a b λλλλ-⋅+=+⋅+ ∴，28662a b λλ⋅=+ ∴，而， 33144a b λλ⋅=+ 0λ>∴， a b ⋅≥=当且仅当，即 33144λλ=λ=故． a b ⋅ 22．已知函数的部分图象如图所示，矩形的面积为． π()4sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭OABC 9π2(1)求的最小正周期和单调递增区间．()f x (2)先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵()f x 5π24坐标缩小为原来的，最后得到函数的图象．若关于的方程在区12()g x x 2[()](1)()0g x m g x m +--=间上仅有3个实根，求实数的取值范围．[0,]πm 【答案】(1)，，． πT =3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z (2)．[1,2)【分析】（1）根据矩形的面积公式，结合正弦型最小正周期公式和正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据正弦型函数图象的变换性质，结合因式分解法、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）由的解析式可知，()f x ||4OC =矩形的面积为，所以． OABC 9π||||2OC OA ⋅=9π||8OA =根据点在的图象上的位置知，得．所以． B ()f x 9ππ5π842ω⨯+=2ω=π()4sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为． ()f x 2π2ππ2T ω===令，，得，， πππ2π22π242k x k -≤+≤+k ∈Z 3ππππ88k x k -≤≤+k ∈Z 所以的单调递增区间为，． ()f x 3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2）将的图象向右平移个单位长度， ()f x 5π24所得曲线对应的函数为，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来5ππ()4sin 2246y f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的2倍，纵坐标缩小为原来的，所得曲线对应的函数为，即12π2sin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x =π2sin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由得，即或．2[()](1)()0g x m g x m +--=[()1][()]0g x g x m +-=()1g x =-()g x m =作出在上的大致图象如图所示：()g x [0,]π易知方程在上仅有一个实根．()1g x =-[0,]π要使原方程在上仅有3个实根，则须方程在上有2个实根，[0,]π()g x m =[0,]π即直线与曲线在上有2个公共点，结合图象可知须．即的取值范围y m =()y g x =[0,]π12m ≤<m 是．[1,2)。
滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷（答案在最后）命题人：一､单选题本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.2024- 的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若()π,πx ∈-，使等式()sin πsin 1x =-成立的x 的值是（）A.π2-B.π2 C.π5π,66D.π5π,66--3.函数()21sin 21xf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A. B.C. D.4.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是ABC 的外接圆的一部分和以AB 为直径的圆的一部分，若C 是 AB 的中点，2π3ACB ∠=，南北距离AB 的长大约，则该月牙泉的面积约为（）（参考数据：π 1.73≈≈）A.22288mB.25792mC.27312mD.28112m 5.若sin ,cos θθ是方程20x mx m -+=的两根，则m 的值为（）A.1B.1+C.1±D.1-6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，若12π5π2πsin ,cos ,tan 777a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c >>B.c a b >>C.b a c>> D.c b a>>7.已知函数()()cos sin f x x =，现给出下列四个选项正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的最小正周期为2πC.π2x =是()f x 的一条对称轴D.()f x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增8.定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数()()2211,32sin 32cos f x g x x x ==--，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（）A.12 B.23 C.1 D.43二､多选题本题共三道小题，每小题6分，共18分，在每道小题给出的四个选项中，多个选项是符合题目要求的，部分正确得2或3分，有选错的得0分9.下列选项正确的是（）A.函数()()sin 2(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期是πωB.若α是第一象限角，则tan 02α>C.函数()πtan 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是()ππ,0,Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，“sin cos tan 0A B C <”是“ABC 是钝角三角形”的充要条件10.函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数C.()π14g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭11.已知函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()(0)g x f x t t =->有2n 个零点()n N +∈，记为12212,,,,n n x x x x - ，且12212n n x x x x -<<<< ，则下列结论正确的是（）A.()0,2t ∈B.1217,24x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭C.45189,484x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭D.()3452122182n n x x x x x -+++++= 三､填空题本题共三道小题，每小题5分，共15分12.函数()1πlg sin 26f x x =⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的定义域是__________.13.已知函数()22tan sin sin cos 2cos f x x x x x =-+，则()2f =__________.14.已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时满足()π16ππ2sin 2,0,6613π,226x x x f x x x -+⎧⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩关于的方程()()2[]230f x af x -+=有且仅有8个不同实根，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题本题共五道小题，其中15题满分13分，16､17题满分各15分，18､19题满分各17分共77分.15.在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点,2P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，连接圆心O 和P 得到射线OP ，将射线OP 绕点O 按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-的值；（2）记点B 的横坐标为()f θ，若π164f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求π5πcos cos 36θθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.16.已知点()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭图象上的任意两点，()01f =-，且当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=.（1）求当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的单调递增区间；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标也变为原来的12倍，再将所得函数图象上的所有点向左平移π8个单位得到()y g x =的图象，若()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，求实数m 的取值范围.17.位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点P ，在乘降点P 处进入座舱后开始开始观光，再次回到乘降点P 时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计.（1）甲乙两名游客分别坐在A B ､两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧 AB 的弧长l （单位：米）；（2）设游客从乘降点P 处进舱，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.18.已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<，且满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）设()2cos 2sin g x x a x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()123g x f x <+，求实数a 的取值范围；（2）当（1）()2cos 2sin g x x a x =+中12a =时，若[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，()42(0)x xh x m m m =⋅-+>都有()()2140h x g x -≥成立，求实数m 的取值范围.19.若函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭且()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“M 函数”.（1）试判断()4sin3xf x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，求()3S .滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷答案详解一､单选题1.【答案】B【详解】易知20241366360-=-⨯ ，而136 的终边在第二象限，故1640- 的终边在第二象限.即B 正确.2.【答案】D【详解】由()sin πsin 1x =-得ππsin 2π,2x k k Z =-+∈，所以1sin 2,2x k k Z =-+∈，又[]sin 1,1x ∈-，所以1sin 2x =-，所以π2π6x k =-+或5π2π,6x k k Z =-+∈，因为()π,πx ∈-，所以π6-或5π6-.故选：D3.【答案】C【详解】()21sin 21x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，由已知()f x 的定义域为R ，又()()()()()221121sin sin sin 212112x x x x xf x x x x f x ---⎛⎫⎛⎫--⎛⎫-=-⋅-=⋅-=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除AB ，当1x =时，()12111sin1sin10213f ⎛⎫=-=> ⎪+⎝⎭，故排除D.故选：C.4.【答案】D【详解】设ABC 的外接圆的半径为r ，圆心为0，如图，因为1π,23BCO BCA OB OC ∠∠===，所以OBC 是等边三角形，120322AB BD ===因为月牙内弧所对的圆心角为2π2π2π233-⨯=，所以内弧的弧长2π12080π3l =⨯=，所以弓形ABC 的面积为11180π120604800π22S =⨯⨯-⨯=-以AB 为直径的半圆的面积为21π5400π2⨯=，所以该月牙泉的面积为(5400π4800π600π188462288112--=+≈+=，故选：D5.【答案】A【详解】由题设2Δ()40m m =--≥，得4m ≥或0m ≤.由韦达定理得sin cos m θθ+=且sin cos m θθ=，所以22(sin cos )12sin cos 12m m θθθθ+=+⇒=+，即2210m m --=，可得12m =±4m ≥或0m ≤，所以故12m =-.故选：A 6.【答案】B 【详解】根据题意，12π12π2π2πsinsin 2πsin sin 07777⎛⎫⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π2πsin sin 077a f f ⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π2π2π2π2πcoscos πcos 0,cos cos 077777b f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-<=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为π2ππ472<<，由三角函数线知2π2πcos sin 77<，所以2π2πcos sin 77->-已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，所以在(),0∞-上是减函数且有()0f x <则0b a <<，已知2πtan 07>，则有2πtan 07c f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以.故选B.7.【答案】C【详解】因为()f x 的定义域为()()()()()R,cos sin cos sin cos sin f x x x x f x ⎡⎤-=-=-==⎣⎦，所以()f x 为偶函数，A 错误；由()()πf x f x =+，可得()f x 的最小正周期为π，B 错误；()ππcos sin cos cos 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()ππcos sin cos cos cos cos 22f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =是()f x 的一条对称轴，C 正确；当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()1,0-，当()1,0x ∈-时，函数cos y x =单调递增，故()f x 在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()0,1，当()0,1x ∈时，函数cos y x =单调递减，故()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，D 错误.故选：C.8.【答案】A【详解】依题意得()()()(),F x f x F x g x ≥≥，则()()()2F x f x g x ≥+，()()()()2222221111132sin 32cos 32sin 32cos 432sin 32cos f x g x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+=+=+-+- ⎪⎣⎦----⎝⎭2222132cos 32sin 1221432sin 32cos 4x x x x ⎛⎛⎫--=++≥+= ⎪ --⎝⎭⎝（当且仅当222232cos 32sin 32sin 32cos x x x x --=--，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时，()()1f x g x ==，()()21,F x F x ∴≥∴的最小值为12，故选：A.二､多选题9.【答案】AB【详解】对A ：最小正周期是2ππ2ωω=，故A 正确；对B ：若α是第一象限角，则2α是第一或第三象限角，所以tan 02α>，故B 正确；对C ：令()()ππππ2Z Z 62124k k x k x k +=∈⇒=-+∈，故C 错误；对D ：在ABC 中，由0πA <<知sin 0A >，又由sin cos tan 0A B C <，则有cos 0tan 0B C >⎧⎨<⎩或cos 0tan 0B C <⎧⎨>⎩，所以C 或B 为钝角，满足充分性，而ABC 是钝角三角形，A 为钝角，则有sin cos tan 0A B C >，不满足必要性，故D 错误.故选：AB 10.【答案】ABC【详解】由()01f =-，得1ϕ=-，即sin 2ϕ=-，又ππ22ϕ-<<，π4ϕ∴=-，又()f x 的图象过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ84k ω∴-=，即得82,k k Z ω=+∈，又02,2ωω<≤∴=，所以()π5π2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；()f x 向右平移3π8个单位后得3352228842y f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，()πππ2121444g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()πππ2π482k x k k Z x k Z +=∈⇒=-+∈所以对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,Z 2x k k =+∈，方程()1f x =即()ππππsin 20,2,242444x x m x m ⎛⎫⎛⎫-=∈∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又在()0,m 上有6个根，π19π25π2,444m ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，所以5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故D 错误.故选：ABC.11.【答案】ABD【详解】将函数2log ,(04)y x x =<<的图象沿y 轴对称并将x 轴下方部分翻折到x 轴上方，即可得到()()2log ,(40)f x x x =--<<的图象；对于()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤< ⎪⎝⎭，最小正周期为2π6π3T ==，故[)0,24上有4个周期，令ππππ,Z 362x k k +=+∈，则可得()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤<⎪⎝⎭的对称轴为31,0,1,2,3,,7x k k =+= ；由此作出函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象，如图：则()()(0)g x f x t t =->的零点问题即为()f x 的图象与直线y t =的交点问题，由图象可知，当4t >时，()f x 的图象与直线y t =有1个交点，不合题意；当4t =时，()f x 的图象与直线y t =有5个交点，不合题意；当24t ≤<时，()f x 的图象与直线y t =有9个交点，不合题意；当02t <<，即()0,2t ∈时，()f x 的图象与直线y t =有10个交点，符合题意，A 正确；由题意可知1241,10x x -<<--<<，满足()()2122log log x x -=-，则()()2122log log x x -=--，即()()()()2122212log log 0,log 0x x x x -+-=--=，()()()()()1212121,2,x x x x x x ∴--=∴-+->=≠，即122x x +<-，由图像知()0,2t ∈，有2n 个零点()n N +∈，所以()1214,1,1,4x x ⎛⎫∈--∈--⎪⎝⎭，由对勾函数得1217,2,B 4x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭正确；由函数图象可得；4541114,,62x x x ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，故()454518714,48,C 4x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭错误；由图象可知()f x 的图象与直线y t =有10个交点，即5n =，且34,x x 关于直线4x =对称，故348x x +=，同理得455667788991014,20,26,32,38,44x x x x x x x x x x x x +=+=+=+=+=+=，故()()345212345291022n n x x x x x x x x x x -+++++=+++++ 8142026323844182=++++++=，D 正确.故选：ABD三､填空题12.【答案】()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭【详解】由函数定义可知πsin 206πsin 216x x ⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≠ ⎪⎪⎝⎭⎩，可得π2π2π2π6,ππ22π62k x k k Z x k ⎧<+<+⎪⎪∈⎨⎪+≠+⎪⎩，所以定义域是()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭13.【答案】45【详解】因为()22222222sin sin cos 2cos tan tan 2tan sin sin cos 2cos sin cos tan 1x x x x x x f x x x x x x x x -+-+=-+==++，所以()42242415f -+==+.14.【答案】74⎫⎪⎭【详解】因为π06x ≤≤，可得πππ2662x ≤+≤，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，()π01,26f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又由π6x >时，()π161322x f x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为单调递减函数，且π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为函数()f x 是R 上的偶函数，画出函数()f x的图象，如图所示，设()t f x =，则方程()()2[]230f x af x -+=可化为2230t at -+=，由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；当312t <<时，方程()t f x =有2个实数根；当1t =时，方程()t f x =有1个实数根；要使得()()2[]230f x af x -+=有8个不同的根，设12,t t 是方程2230t at -+=的两根12,t t ，设()223g t t at =-+，（1）1212322322t t t t ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪≠⎪⎪⎩，即()2Δ4120322393302424430a a g a g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎛⎫⎪=-+> ⎪⎪⎝⎭⎪=-+>⎩74a <<，综上可得，实数a的取值范围是74⎫⎪⎭.四､解答题15.【答案】（1）1；（2）1514-【详解】（1）由于点P 在单位圆上，且α是锐角，可得12m =，所以1cos 2α=，所以()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-3224cos 2cos 4cos 2cos 122cos cos αααααα++===++（2）由（1）可知1cos 2α=，且α为锐角，可得π3xOP α∠==，根据三角函数定义可得：()πcos 3f θθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为ππ1cos 0664f θθ⎛⎫⎛⎫-=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此ππ0,62θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 64θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以π5ππππcos cos cos cos π36626θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππsin cos 66θθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1514-=16.【答案】（1）π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎣⎦⎣⎦；（2）π7π2424m <≤【详解】（1）因为()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，且()()12max 24f x f x A -==，所以2A =依题意可得()02sin 1π02f ϕϕ⎧==-⎪⎨-<<⎪⎩得π6ϕ=-又 当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=，1ππ22T ω∴==，又0ω>，即2ω=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令πππ2π22π,262k x k k Z -+≤-≤+∈得()f x 在R 的单调递增区间为πππ,π,63k k k Z⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦又11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以()f x 的单调递增区间为π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标变为原来的12倍得到πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再πsin 46y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移π8个单位得到()πππsin 4sin 4863y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当()0,x m ∈，所以πππ4,4333x m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，所以ππ3π4232m <+≤，解得π7π2424m <≤，17.【答案】（1）35π3米；（2）()π35cos 45,0189H t t t =-+≤≤；（3）3分钟【详解】（1）解：由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，所以两个相邻座舱所对的圆心角为：2ππ3015=，因为甲､乙之间间隔4个座舱，所以劣弧 AB 所对的圆心角为ππ5153⨯=所以π35π3533l r α==⨯=，即劣弧 AB的弧长为35π3米.（单位：米）（2）如图，以摩天轮转轮中心O 为坐标原点，分别以过O 的水平线和坚直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系.不妨设开始转动t 分钟后距离地面的高度()()sin ,(0,0,0)H t A t b A b ωϕω=++>>>（单位：米），由题可知，max min ()80,()807010H t H t ==-=，所以max min()()352H t H t A -==，max min ()()452H t H t b +==，因为2π18T ω==，解得π9ω=，此时()π35sin 45,(0)9H t t ϕω⎛⎫=++>⎪⎝⎭因为()0807010H =-=，代入有：35sin 4510ϕ+=，解得π2π,Z 2k k ϕ=-+∈故()πππππ35sin 2π4535sin 4535cos 4592929H t t k t t ⎛⎫⎛⎫=-++=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上：()π35cos45,0189H t t t =-+≤≤；（t 的范围）（3）因为在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，所以()()62.5,0,18H t t ≥∈，即π35cos 4562.59t -+≥，解得：π1cos92t ≤-甲，即2ππ4π393t ≤≤，解得612t ≤≤甲，所以1266-=分钟，故有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果，因为劣弧AB 所对的圆心角为π3，所以甲乙相隔的时间为π32π18t =乙，解得3t =乙分钟当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果，故甲乙都有最佳视觉效果的时间为633-=分钟.18.【答案】（1）()2,2-；（2）[)3,∞+【详解】（1）因为()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的对称中心为π,012⎛⎫-⎪⎝⎭，所以π6ϕ=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()22π1sin 2,162f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为对任意的12πππ,,0,222x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，都有()()123g x f x <+成立，所以()()()121max max max 3,134g x f x g x <+<+=，()22cos 2sin sin 2sin 1g x x a x x a x =+=-++，因为1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]1sin 1,1x ∈-，设[]sin ,1,1t x t =∈-，则有()221t t at ϕ=-++图象开口向下，对称轴为t a =的抛物线，当1a ≥时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递增，所以()max ()12t a ϕϕ==，所以24a <，解得2a <，所以12a ≤<；当1a ≤-时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递减，所以()max ()12t a ϕϕ=-=-，所以24a -<，解得2a >-，故21a -<≤-；当11a -<<时，()2max ()1t a a ϕϕ==+，故214a +<，解得a <<11a -<<，综上所述：实数a 的取值范围为()2,2-.（2）当12a =时，对[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，都有()()21504h x g x -≥成立，则()min max 5()4h x g x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦由（1）可知12a =时，max 5()4g x =，所以()max [4]5g x =.则()5h x ≥在[]0,1x ∈恒成立，即()425xxh x m m =⋅-+≥在[]0,1x ∈恒成立则5241xx m +≥+在[]0,1x ∈恒成立.令[]52,6,7xt t +=∈，则()12126102610t h t t t t t==-++-，因为()22610h t t t =+-在[]6,7t ∈单调递增，所以2min 261()61063h t =+-=，所以()11313h t ≤=，所以3m ≥，综上所述，实数m 的取值范围为[)3,∞+.19.【答案】（1）不是，理由见解析（2）答案见解析（3）()7π,0220π,012330π,240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或【详解】（1）解：()4sin 3xf x =不是为“M 函数”，理由如下：因为()π4π2π444πsin sin ,sin sin2323333x x f x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，()()πR 2f x f x x ⎛⎫+≠-∈⎪⎝⎭，因此，函数()4sin3xf x =不是为“M 函数”.（2）解：函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令3π4x x =+得()3π3π3π444f x fx f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()3π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为3π2T =，因为()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈⎪⎝⎭，则()f x 的一个对称轴为π4x =.①当()3ππ3π,π242k k x k Z ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦时，()3ππ,π24k x k Z ⎡⎤-∈∈⎢⎥⎣⎦，则()()3π3πsin 22k k f x f x x k Z ⎛⎫⎛⎫=-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②当()3ππ3ππ,Z 2224k k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，则()3πππ,Z 224k x k ⎡⎤-∈-∈⎢⎥⎣⎦，则()π3ππ,πZ 224k x k ⎛⎫⎡⎤--∈∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以，()π3ππ3π3πsin cos 22222k k k f x f x x x k Z ⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎭.综上所述，()()()3π3ππ3ππcos ,222243π3ππ3πsin ,π2242k k k x x k Z f x k k k x x k Z ⎧⎛⎫--≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<≤+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以，函数()f x 在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ3π,,π,422⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（3）解：由（2）可得函数()f x 在π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，下面考虑方程()f x a =在区间π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的根之和.①当202a ≤<或1a =时，方程()f x a =有两个实数解，其和为π2；②当22a =时，方程()f x a =有三个实数解，其和为3π4；③当212a <<时，方程()f x a =有四个实数解，其和为π.当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，所以，当0a =时，()()π3π341237π22S =-⨯+⨯++=；当202a <<或1a =时，()()π3π32412320π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当22a =时，()()π3π33412330π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当212a <<时，()()π3π34412340π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦.因此，()7π,0220π,0123230π,2240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或。
