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复数的概念及运算，直线和平面的位置关系一. 教学内容： 复数的概念及运算，直线和平面的位置关系二. 重点、难点：1. 高考分析：复数问题的低档题，一般是对基本概念、基本运算，简单的复平面有关问题的考查、多集中在选择题。
可能重点考查复数相等、复数的模与共轭等基本概念及复数与曲线的联系等。
2. 直线与平面的位置关系主要内容有：空间角（异面直线所成的角、斜线与平面所成的角，二面角的平面角）的概念与求法，空间距离（点线，点面，异面直线的距离）的概念和求法、线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质及三垂线定理，解题应注意： （1）因果关系交代清晰明了、层次清楚、有条不紊。
（2）合乎逻辑、说理充分、根据确切、可靠（3）概念、术语、公式、定理和字符的运用，应当正确、恰当和规范，并且合乎习惯。
（4）论证完整、不重不漏【例题分析】例1.设复数、满足z z z z iz iz 1212122210⋅+-+= （）若，求和；122112z z i z z -=（）若，求证：为常数。
23412||||z z i =-本题主要考查共轭复数的有关性质，复数的模等及复数问题与实数问题的转化。
分析：（1）设出复数的代数形式依复数相等即可求之；（）注意的应用。
22z z z ⋅=|| （1）解：由得代入已知式：，z z i z z i z z i iz i z i 2121111122222210=+=--+--+=()() 即，令、||()z iz z a bi a b R 1211230--==+∈则a b b ai 222320+---=即a b b a 2223020+--==⎧⎨⎩∴==⎧⎨⎩==-⎧⎨⎩a b a b 0301或∴==-=-=-z i z i z i z i 121235，或，（2）证明： 由已知：z iz z i 211212=---又，||z z z 11133==∴-=----||||z i iz z i i 21142124=---=---||||692632111111iz z i iz z z z i =-+-=--|()|||||||322322111111z z i z i z z i z i=33，为一常数小结：虚实转化是求解复数问题的基本思路，它的依据是复数相等的定义。
11.1 复数一．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．规定i 2=-1(2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．二．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R)是一一对应关系．三．复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则①加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；②减法：；③乘法：； ④除法：1222i (i)(i)()i (i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d++-++-===+≠++-+． （2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有1221123123()(),z z z z z z z z z z +=+++=++．（3）复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有1221z z z z ⋅=⋅，，1231213()z z z z z z z +=+.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.考向一 复数的基本概念【例1】（1）复数12z i =-的虚部是 。
第十五章 复数(理)网络体系总览考点目标定位1.复数的概念.2.复数的加法和减法.3.复数的乘法和除法.4.数系的扩充.复习方略指南本章主要内容是复数的有关概念、代数形式、向量表示以及复数的运算法则.从近几年的高考试题看，对复数的要求呈下降趋势，试题考查的重点仍是基本概念和运算,为此建议复习中注意以下几点:1.在复习中，应注意理解和掌握复数的基本概念，特别是虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模等.2.应重视数形结合的思想方法在解题中的应用.3.所选习题应突出概念、运算，以中、低档难度的选择题和解答题为主，并注意转化思想的应用.复数问题常转化为实数问题处理.15.1 复数的概念与运算巩固·夯实基础一、自主梳理1.i 叫虚数单位,满足(1)i 2=-1;(2)实数可以与i 进行四则运算,原有的加、乘运算律仍然成立,它具有周期性,表现为i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i(n ∈Z).2.形如a+bi(a 、b ∈R)叫复数,a 叫实部,b 叫虚部,当b=0时,a+bi(a 、b ∈R)是实数;当b ≠0时,a+bi 是虚数;当a=0,b ≠0时,a+bi(a 、b ∈R)是纯虚数.3.复数可以用向量表示.用点Z(a,b)表示复数z=a+bi(a 、b ∈R),复数与复平面上的点一一对应,这是复数的几何意义.4.a 、b 、c 、d ∈R 时,a+bi=c+di ⇔a=c 且b=d,两个虚数不能比较大小.5.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,用z 表示,当z ∈R ⇔z=z ;当z ≠0时,z 为纯虚数⇔z+z =0;对于任意复数z 均有z+z ∈R,|z|2=|z |2=z ·z .利用这些结论,往往可以使问题得到简洁明快的解决.6.z=a+bi(a 、b ∈R),则|z|=22b a +叫复数的模.它的几何意义是复数z 对应的点到原点的距离.二、点击双基1.(2005北京春季高考)i-2的共轭复数是( )A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i解析:由共轭复数的定义知选D.答案:D2.(2005全国高考卷Ⅰ)复数ii 2123--等于( ) A.i B.-i C.22-i D.-22+i 解析:原式=i i 212-+=i. 答案:A3.(2005天津高考,理)若复数ii a 213++(a ∈R)是纯虚数,则实数a 的值为（ ） A.-2 B.4 C.-6 D.6解析:i i a 213++=41)21)(3(+-+i i a =51(a+6)+51(3-2a)i. ∵i i a 213++是纯虚数, ∴⎩⎨⎧≠-=+.023,06a a ∴a=-6.答案:C4.在复平面内,z=(m 2-m-2)+(m 2-3m+2)i 所对应的点在实轴负半轴上,则实数m 的取值为______ _____________.解析:由题意知z ∈R 且z<0,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-<--.023,0222m m m m ∴m=1. 答案:15.下列命题中:①任意两个确定的复数都不能比较大小；②若｜z ｜≤1，则-1≤z ≤1；③若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0；④z+z =0⇔z 为纯虚数；⑤z=z ⇔z ∈R.其中正确的命题是_________________________.解析:①中的两个实数可比较大小，②中的z 可为虚数，③中的z 1=i,z 2=1,④中的z=0. 答案:⑤诱思·实例点拨【例1】 设关于x 的方程是x 2-(tan θ+i)x-(2+i)=0.(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;(2)证明对任意θ≠k π+2π(k ∈Z),方程无纯虚数根. 剖析:(1)对于复数方程存在实根的问题,一般可先设出实根,然后再利用复数相等的条件求解.(2)直接证明有困难时,可用反证法.(1)解:设实数根为α,则α2-(tan θ+i)α-2(2+i)=0,即α2-tan θ·α-2-(α+1)i=0.∴⎩⎨⎧=-=.1tan ,1θα 又θ∈(0,2π),∴θ=4π,α=-1. (2)证明:若方程有纯虚数根βi(β∈R,β≠0),则(βi)2-(tan θ+i)·(βi)-(2+i)=0.∴⎩⎨⎧=-•-=-+-.01tan ,022θβββ此方程组无解,∴原方程没有纯虚数根.讲评:对于虚系数一元二次方程,不可用判别式Δ来判断方程根的实虚,而应该用复数相等的条件转化为实数方程进行讨论.【例2】设复数ｚ=l ｇ(ｍ2-2ｍ-2)+(ｍ2+3ｍ+2)ｉ，试求实数m 取何值时，(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限?剖析:利用复数的有关概念易求得.解:(1)由⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--,023,0)22lg(22m m m m 得ｍ=3. (2)由ｍ2+3ｍ+2=0,得ｍ=-1或ｍ=-2．(3)由⎪⎩⎪⎨⎧>++<--,023,0)22lg(22m m m m 得-1＜ｍ＜1-3或1+3＜ｍ＜3.讲评:对复数的分类条件要注意其充要性,对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样． 链接·聚焦若复数z 对应的向量OZ ，逆时针旋转90°是纯虚数，求实数m 的值.提示:设复数z 对应的点为Z 1(lg(m 2-2m-2),m 2+3m+2)，向量1OZ 逆时针旋转90°对应的点为Z 2,易知Z 2(-(m 2+3m+2),lg(m 2-2m-2)).由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠--=++-.0)22lg(,0)23(22m m m m解得m=-2.【例3】设z ∈C,求满足z+z1∈R 且|z-2|=2的复数z. 剖析:设z=a+bi(a 、b ∈R),代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a 、b 的两个方程. 解法一:设z=a+bi,则z+z 1=a+bi+bi a +1=a+bi+22b a bi a +- =a+22b a a ++(b-22b a b +)i ∈R. ∴b=22b a b +. ∴b=0或a 2+b 2=1.当b=0时，z=a,∴|a-2|=2.∴a=0或4.a=0不合题意舍去，∴z=4.当b ≠0时，a 2+b 2=1.又∵|z-2|=2,∴(a-2)2+b 2=4.解得a=41,b=±415, ∴z=41±415i. 综上，z=4或z=41±415i. 解法二:∵z+z1∈R, ∴z+z 1=z +z 1. ∴(z-z )-zz z z -=0,(z-z )·22||1||z z -=0. ∴z=z 或|z|=1,下同解法一.讲评:解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究；解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化.这些都是解决复数问题的常用方法.链接·提示试探究z ∈C,z+z 1是实数的充要条件. 提示:z+z1是实数的充要条件是|z|=1且z ≠0.【例4】已知z 1=x 2+12+x i,z 2=(x 2+a)i 对于任意x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立，试求实数a 的取值范围.剖析:求出|z 1|及|z 2|，利用|z 1|>|z 2|问题转化为x ∈R 时不等式恒成立问题.解:∵|z 1|>|z 2|,∴x 4+x 2+1>(x 2+a)2.∴(1-2a)x 2+(1-a 2)>0对x ∈R 恒成立.当1-2a=0，即a=21时，不等式成立； 当1-2a ≠0时,⎩⎨⎧<--->-0)1)(21(40212a a a ⇒-1<a<21. 综上,a ∈(-1,21］. 讲评:本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围.。
高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。
只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。
4、共轭复数：z a bi =−， 对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。
横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。
11-2 复数的概念与运算1.(2011·福建理，1)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D.2i∈S [答案] B[解析] i 2＝－1∈S ，故选B.2．(文)(2011·天津文，1)i 是虚数单位，复数1－3i1－i ＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．－1－2iD ．－1＋2i[答案] A [解析]1－3i1－i＝1－3i 1＋i 1－i1＋i ＝4－2i2＝2－i.(理)(2011·安徽皖南八校联考)复数z 满足z ＝2－i 1－i ，则z －等于( )A ．1＋3iB ．3－i C.32－12i D.12＋32i [答案] C[解析] ∵z ＝2－i 1－i ＝2－i 1＋i 2＝3＋i2，∴z －＝32－12i ，故选C.3．(2011·揭阳一中月考)设a ，b 为实数，若复数1＋2ia ＋b i ＝1＋i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3 [答案] A[解析] 1＋2i ＝(a ＋b i)(1＋i)＝a －b ＋(a ＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1a ＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝12，故选A.4．(文)(2011·山东济南一模)设a 是实数，且a 1＋i ＋1－i2是实数，则a 等于( )A.12 B ．－1 C ．1 D ．2[答案] B [解析] ∵a1＋i ＋1－i 2＝a 1－i 2＋1－i2＝1＋a 2－1＋a2i 是实数， 又∵a ∈R ，∴1＋a 2＝0，∴a ＝－1.(理)(2011·山东潍坊一模)复数z ＝2＋m i1＋i (m ∈R)是纯虚数，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] A [解析] 因为z ＝2＋m i1－i2＝2＋m 2＋m －22i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋m ＝0，m －2≠0.得m＝－2.5．(2010·广东江门调研)已知复数z ＝a ＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的模为|z |＝2，则a 等于( )A ．1B ．±1 C. 3 D ．± 3[答案] D[解析] ∵|z |＝2，∴a 2＋1＝4，∴a ＝± 3.6．(文)(2011·安徽文，1)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－ 12D.12[答案] A [解析]1＋a i2－i＝1＋a i 2＋i 2－i2＋i＝2－a ＋2a ＋1i 5＝2－a 5＋2a ＋15i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a 5＝02a ＋15≠0，∴a ＝2.(理)(2011·温州八校期末)若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i 1－i (a ，b ∈R)，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定[答案] A[解析] ∵a ＋b i ＝2＋i 1－i ＝2＋i 1＋i2＝12＋32i(a ，b ∈R)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝32，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52>2， ∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32在圆x 2＋y 2＝2外，故选A.7．规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i －i2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数z ＝________. [答案] 1－i[解析] 由已知可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪zi －i2＝2z ＋i 2＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i . 8．(2011·无为中学月考)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A 、B 、C .若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．[答案] 5[解析] ∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(3－2i )＝x (－1＋2i )＋y (1－i )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4，故x ＋y ＝5.9．(2010·上海大同中学模考)设i 为虚数单位，复数z ＝(12＋5i)(cos θ＋isin θ)，若z ∈R ，则tan θ的值为________．[答案] －512[解析] z ＝(12cos θ－5sin θ)＋(12sin θ＋5cos θ)i ∈R ， ∴12sin θ＋5cos θ＝0，∴tan θ＝－512.10．(2010·江苏通州市调研)已知复数z ＝a 2－7a ＋6a ＋1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R)．试求实数a分别为什么值时，z 分别为：(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．[解析] (1)当z 为实数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a ＋1≠0，∴a ＝6，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a ＋1≠0，∴a ≠－1且a ≠6，故当a ∈R ，a ≠－1且a ≠6时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6＝0a ＋1≠0∴a ＝1，故a ＝1时，z 为纯虚数.11.(文)(2011·东北四市统考)已知复数z 1＝cos23°＋isin23°和复数z 2＝cos37°＋isin37°，则z 1·z 2为 ( )A.12＋32i B.32＋12i C.12－32i D.32－12i [答案] A [解析]z 1·z 2＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin 37°cos23°＋cos37°sin23°)i＝cos60°＋i·sin60°＝12＋32i ，故选A.(理)若z ＝cos θ＋i sin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( )A.π6B.π4C.π3D.π2[答案] D[解析] ∵z 2＝cos2θ＋i sin2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1sin2θ＝0.∴2θ＝2k π＋π (k ∈Z)， ∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．12．如果复数(m 2＋i )(1＋mi )是实数，则实数m 等于( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．－ 2[答案] B[解析] ∵(m 2＋i )(1＋mi )＝(m 2－m )＋(m 3＋1)i 是实数，m ∈R ， ∴由a ＋bi (a 、b ∈R)是实数的充要条件是b ＝0， 得m 3＋1＝0，即m ＝－1.13．(2011·南通调研)若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.[答案]17[解析] ∵z ＝3＋ii －i ＝－3i ＋1－i ＝1－4i ，∴|z |＝17.14．在复平面内，z ＝cos10＋isin10的对应点在第________象限． [答案] 三[解析] ∵3π<10<7π2，∴cos10<0，sin10<0，∴z 的对应点在第三象限．15．(文)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当实数m 取何值时． (1)z 是纯虚数． (2) z 是实数．(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧lg m 2－2m －2＝0，m 2＋3m ＋2≠0.解得m ＝3.所以当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2， 又m ＝－1或m ＝－2时，m 2－2m －2>0， 所以当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧lg m 2－2m －2<0，m 2＋3m ＋2>0.解得：－1<m <1－3或1＋3<m <3.(理)设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2.(1)求z 的实部的取值范围；(2)设u ＝1－z1＋z ，那么u 是不是纯虚数？并说明理由．[解析] (1)设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋bi ＋1a ＋bi ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b 2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －bi 1＋a ＋bi ＝1－a 2－b 2－2bi 1＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i ， ∵－12<a <1，b ≠0，∴u 是纯虚数．16．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋bi (i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率；(2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥00≤a ≤4b ≥0表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋bi (i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋bi －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.依题意得b 的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果． 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.1．(2011·罗源一中月考)已知复数z 1＝cos α＋i sin α，z 2＝sin β＋i cos β，(α，β∈R)，复数z ＝z 1·z －2的对应点在第二象限，则角α＋β所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] ∵z ＝(cos α＋i sin α)·(sin β－i cos β)＝sin(α＋β)－i cos(α＋β)的对应点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋β<0－cos α＋β>0，∴角α＋β的终边在第三象限．2．(2010·安徽合肥市质检)已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi (其中i 为虚数单位，x ∈R)，若复数ab∈R ，则实数x 的值为( )A ．－6B ．6 C.83 D ．－83[答案] C [解析] a b ＝3＋2i 4＋xi ＝3＋2i 4－xi 16＋x 2＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2·i ∈R ，∴8－3x 16＋x2＝0，∴x ＝83. 3．(2010·泰安市质检)若复数2＋ai1－i (a ∈R)是纯虚数(i 是虚数单位)，则a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D [解析] 2＋ai1－i ＝2＋ai 1＋i 1－i 1＋i ＝a ＋2i ＋2－a2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0a ＋2≠0，∴a ＝2.4．若i 是虚数单位，则满足(p ＋q i)2＝q ＋p i 的实数p 、q 一共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对[答案] D[解析] 由(p ＋q i)2＝q ＋p i 得(p2－q 2)＋2pq i ＝q ＋p i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2－q 2＝q ，2pq ＝p .解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0q ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0q ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝32q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－32q ＝12，因此满足条件的实数p 、q 一共有4对．5．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cot B －tan A )＋i (tan B －cot A )对应点位于复平面的第________象限.[答案] 二[解析] 由于0<A <π2，0<B <π2且A ＋B >π2∴π2>A >π2－B >0 ∴tan A >cot B ，cot A <tan B 故复数z 对应点在第二象限．6．关于x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R)的解集为区间(－53，2)，则复数m ＋ni 所对应的点位于复平面内的第________象限．[答案] 三[解析] ∵mx 2－nx ＋p >0(m 、n 、p ∈R)的解集为(－53，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0－53＋2＝n m>0－53×2＝p m<0，∵m <0，∴p >0，n <0.故复数m ＋ni 所对应的点位于复平面内的第三象限．7．(2011·上海文，19)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.[解析] 设z 1＝(a ＋2)＋b i ，a ，b ∈R ，∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴a －b ＋(b ＋a )i ＝1－i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1a ＋b ＝－1∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝－1，∴z 1＝2－i.又设z 2＝c ＋2i ，c ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)(c ＋2i)＝(2c ＋2)＋(4－c )i ∵z 1z 2∈R ，∴4－c ＝0，c ＝4，∴z 2＝4＋2i.。
§9.3 复数的运算考点核心整合1.复数的基本概念,复数为虚数、纯虚数的条件,复数模的性质,复数相等条件的运用等.2.下述结果的变形运用:(1)i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i(n ∈N )；(2)(1±i)2=±2i,i i +-11=-i,ii -+11=i ；(3)设ω=-21+23i,则ω3=1,ω2=ω,1+ω+ω2=0. 3.复数问题与相关知识的转化:(1)利用复数的代数形式z=x+yi(x 、y ∈R )、模的计算公式、代数运算等把复数问题转化为实数范围内的代数问题；(2)利用|z|的几何意义,将复数问题转化为平面几何问题.4.强调数学思想的训练(1)转化思想；(2)分类讨论思想；(3)数形结合思想.链接·提示数的概念扩展为复数后,实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了.如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.考题名师诠释【例1】复数z 1=22++m m m +(m-15)i,z 2=-2+m(m-3)i(m ∈R ),若z 1+z 2是虚数,求m 的取值范围. 分析：z 1+z 2是虚数,需z 1+z 2的虚部不为0,故需化简z 1+z 2为a+bi 型(a 、b ∈R ).解：∵z 1=22++m m m +(m-15)i,z 2=-2+m(m-3)i, ∴z 1+z 2=22++m m m -2+(m 2-2m-15)i(m ∈R ). ∵z 1+z 2为虚数,∴m 2-2m-15≠0且m+2≠0.∴m ∈R 且m ≠5,m ≠-3且m ≠-2.评述：(1)z 1+z 2是虚数,需虚部不为零,同时要注意实部、虚部中若含分母,一定要使分母不为零；(2)涉及复数的概念的题目,常需把复数化成代数形式a+bi(a 、b ∈R ).【例2】已知虚数z 满足122+-z z ∈R ，且z+1的实部与虚部相等且都大于0，求z. 解：由题意可设z+1=x+xi(x ＞0)∴z=(x-1)+xi则122+-z z =1)1(3++-+-xi x xi x =i x x x x x x x x )1)(1(22)1)(1(232222+--++--+- 令x 2-2x=0得x=0或x=2因x ＞0,∴x=0舍去，故得x=2,z=1+2i.【例3】已知z=1+i ，如果122--++z z b az z =1-i ，求实数a 、b 的值. 解：∵z=1+i, ∴122+-++z z b az z =i i a b a i i b i a i )2()(1)1()1()1()1(22+++=++-+++++ =(a+2)-(a+b)i=1-i,∴⎩⎨⎧-=+-=+,1)(,12b a a ∴⎩⎨⎧=-=.2,1b a 反思：若干个复数进行四则运算，最终总可以化为a+bi(a,b ∈R )的形式，则虚、实部可见. 链接·拓展关于x 的方程2x 2+3ax+a 2-a=0至少有一个模等于1的根,求实数a 的值.解:(1)若两根均为实数,则其中至少有一个根为1或-1.若x=1,则a 2+2a+2=0,Δ=4-8<0无解；若x=-1,则a 2-4a+2=0,∴a=2±2.(2)若两根均为虚数,则它们互为共轭,且两根之积为1.∴22a a -=1.解得a=-1或a=2,但a=2时,方程有实根,故a=2舍去.综上,得a=-1或a=2±2.。
第三节复数的概念与运算复数的有关概念及四则运算1.(2012年山东卷,文1,5分)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为( )(A)3+5i (B)3-5i(C)-3+5i (D)-3-5i解析:本题考查复数的除法运算,z====3+5i.答案:A.2.(2012年江西卷,文1,5分)若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+的虚部为( )(A)0 (B)-1 (C)1 (D)-2解析:法一:由z=1+i知=1-i,z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0,其虚部为0.故应选A.法二:由z=1+i知=1-i,z2+=(z+)2-2z=4-4=0,其虚部为0.故应选A.答案:A.3.(2012年安徽卷,文1,5分)复数z满足(z-i)i=2+i,则z=( )(A)-1-i (B)1-i (C)-1+3i (D)1-2i解析:z=+i=-2i+1+i=1-i.答案:B.4.(2012年广东卷,文1,5分)设i为虚数单位,则复数等于( )(A)-4-3i (B)-4+3i(C)4+3i (D)4-3i解析:本小题主要考查复数的除法运算.===4-3i.答案:D.5.(2012年辽宁卷,文3,5分)复数=( )(A)-i (B)+i(C)1-i (D)1+i解析:===-i.故选A.答案:A.6.(2012年浙江卷,文2,5分)已知i是虚数单位,则等于( )(A)1-2i (B)2-i(C)2+i (D)1+2i解析:本题主要考查了复数的除法运算.因为===1+2i,所以选D.答案:D.7.(2012年福建卷,文1,5分)复数(2+i)2等于( )(A)3+4i (B)5+4i(C)3+2i (D)5+2i解析:(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i,故选A.答案:A.本题考查复数的运算,属于容易题.8.(2012年新课标全国卷,文2,5分)复数z=的共轭复数是( )(A)2+i (B)2-i(C)-1+i (D)-1-i解析:由z====-1+i,故=-1-i.答案:D.9.(2012年湖南卷,文2,5分)复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是( )(A)-1-i (B)-1+i(C)1-i (D)1+i解析:z=i(i+1)=-1+i,故其共轭复数是-1-i.答案:A.10.(2012年天津卷,文1,5分)i是虚数单位,复数=( )(A)1-i (B)-1+i(C)1+i (D)-1-i解析:===1+i.故选C.答案:C.11.(2012年上海数学,文15,5分)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则( )(A)b=2,c=3 (B)b=2,c=-1(C)b=-2,c=-1 (D)b=-2,c=3解析:∵1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根,则1-i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的另一个根.∴⇒,故选D.答案:D.12.(2011年广东卷,文1)设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z等于( )(A)-i (B)i (C)-1 (D)1解析:由iz=1得z===-i.答案:A.13.(2011年浙江卷,文2)若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+z)·z等于( )(A)1+3i (B)3+3i (C)3-i (D)3解析:(1+z)·z=(1+1+i)(1+i)=(2+i)(1+i)=2+2i+i-1=1+3i.故选A.答案:A.14.(2011年天津卷,文1)i是虚数单位,复数等于( )(A)2-i (B)2+i (C)-1-2i (D)-1+2i解析:===2-i.答案:A.15.(2011年安徽卷,文1)设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为( )(A)2 (B)-2 (C)-(D)解析:若===+i为纯虚数,则,∴a=2. 答案:A.16.(2011年辽宁卷,文2)i为虚数单位,+++等于( )(A)0 (B)2i (C)-2i (D)4i解析:+++=(1+)+(1+)=(1-1)+(1-1)=0.故选A.答案:A.17.(2010年浙江卷,文3)设i为虚数单位,则等于( )(A)-2-3i (B)-2+3i(C)2-3i (D)2+3i解析:===2-3i,故选C.答案:C.18.(2010年全国新课标卷,文3)已知复数z=,则|z|等于( )(A)(B)(C)1 (D)2解析:∵z======-=,∴|z|==,故选B.答案:B. 19.(2012年上海数学,文1,4分)计算:= (i 为虚数单位).解析:====1-2i.答案:1-2i20.(2011年江苏卷,3)设复数z 满足i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),则z 的实部是 .解析:∵z+1==2+3i,∴z=1+3i,∴z 的实部是1.答案:121.(2010年江苏卷,2)设复数z 满足z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为 . 解析:∵z==2i,∴|z|=2.故填2.答案:222.(2011年上海卷,文19)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,且z 1·z 2是实数,求z 2.解:由(z 1-2)(1+i)=1-i 得,z 1-2===-i,∴z 1=2-i.设z 2=a+2i(a ∈R),则z 1·z 2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实数,∴a=4.∴z 2=4+2i.复数相等23.(2011年湖南卷,文2)若a,b ∈R,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( )(A)a=1,b=1 (B)a=-1,b=1(C)a=1,b=-1 (D)a=-1,b=-1解析:∵(a+i)i=b+i,∴ai-1=b+i,∴a=1,b=-1.故选C.答案:C.24.(2010年山东卷,文2)已知=b+i(a,b ∈R),其中i 为虚数单位,则a+b 等于( ) (A)-1 (B)1(C)2 (D)3 解析:∵=b+i,∴a+2i=-1+bi,∴a=-1,b=2,∴a+b=1.答案:B.25.(2012年湖北卷,文12,5分)若=a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则a+b= . 解析:由=a+bi,得3+bi=(a+bi)(1-i)=a+b+(b-a)i, 由复数的相等的充要条件得 解得所以a+b=3.答案:3 26.(2012年江苏数学,3,5分)设a,b ∈R,a+bi=(i 为虚数单位),则a+b 的值为 .解析:本题考查复数的除法运算和复数相等的概念.因为a+bi===5+3i,所以a=5,b=3,所以a+b=8.答案:8复数的几何意义27.(2012年北京卷,文2,5分)在复平面内,复数对应的点的坐标为( )(A)(1,3) (B)(3,1) (C)(-1,3) (D)(3,-1)解析:∵===1+3i,∴复数对应的点的坐标为(1,3).故选A.答案:A.28.(2010年陕西卷,文2)复数z=在复平面上对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:z====+i,在复平面上对应的点(,)位于第一象限,故选A.答案:A.29.(2010年北京卷,文2)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB 的中点,则点C对应的复数是( )(A)4+8i (B)8+2i (C)2+4i (D)4+i解析:由题意A(6,5),B(-2,3),因为C是线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i,故选C.答案:C.。
