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2015-2016学年福建省莆田二十五中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共5×12=60分）1．在△ABC中，若sinA：sinB=2：3，则边b：a等于( )A．3：2或9：4 B．2：3 C．9：4 D．3：22．在△ABC中，已知a：b：c=3：5：7，则这个三角形的最大内角为( )A．300B．1350C．600D．12003．在数列{a n}中，a1=，a n=（﹣1）n•2a n﹣1（n≥2），则a5等于( )A．﹣B．C．﹣D．4．等差数列{a n}中，已知a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为( )A．50 B．49 C．48 D．475．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=3，S6=7，则S9的值为( )A．12 B．15 C．11 D．86．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=( )A．8 B．﹣8 C．±8D．7．已知数列{a n}满足：a1=1，，则数列{a n}是( )A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列8．已知等差数列{a n}的前n项和是S n，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是( )A．60 B．70 C．D．9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是，则 b=( )A．1+B．C．D．2+10．在20米高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度是( )A．20（1+）B．20（+）C．10（+）D．20（1+）11．在△ABC中，三边a、b、c与面积S的关系是S=（a2+b2﹣c2），则角C应为( ) A．30° B．45° C．60° D．90°12．数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），若前n项的和为10，则项数n为( ) A．11 B．99 C．120 D．121二、填空题（每小题4分，共16分）13．在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=__________．14．已知等差数列{a n}中，a3、a15是方程x2﹣6x﹣1=0的两根，则a7+a8+a9+a10+a11=__________．15．若△ABC的周长等于20，面积是，A=60°，则a=__________．16．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB 的值为__________．三、解答题（17-21小题每小题12分，22小题14分，共74分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=，b=，B=45°，（Ⅰ）求角A、C；（Ⅱ）求边c．18．设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．19．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值．20．已知等比数列{a n}的首项a1=，公比q满足q＞0且q≠1，又已知a1，5a3，9a5成等差数列（1）求数列{a n}的通项．（2）令b n=log3，求+++…+的值．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosA=ccosA+acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=，S△ABC=，试判断△ABC的形状，并说明理由．22．（14分）某海轮以30公里/小里的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点，求①PC间的距离；②在点C测得油井的方位角是多少？2015-2016学年福建省莆田二十五中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共5×12=60分）1．在△ABC中，若sinA：sinB=2：3，则边b：a等于( )A．3：2或9：4 B．2：3 C．9：4 D．3：2【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据正弦定理可知===2R，将条件代入即可求出所求．【解答】解：∵===2R，sinA：sinB=2：3∴b：a=3：2故选D．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理是解三角形问题中常用的方法，是进行边角问题转化的关键．2．在△ABC中，已知a：b：c=3：5：7，则这个三角形的最大内角为( )A．300B．1350C．600D．1200【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】由余弦定理，算出cosC的值得到C=120°，即得三角形的最大内角．【解答】解：∵△ABC中，a：b：c=3：5：7，∴设a=3x，b=5x，c=7x．由余弦定理，得cosC==﹣结合C∈（0°，180°），得C=120°即三角形的最大内角为120°故选：D【点评】本题给出三角形三条边的比，求它的最大内角．着重考查了利用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．3．在数列{a n}中，a1=，a n=（﹣1）n•2a n﹣1（n≥2），则a5等于( )A．﹣B．C．﹣D．【考点】数列的函数特性．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用递推式即可得出．【解答】解：∵a1=，a n=（﹣1）n•2a n﹣1（n≥2），∴a2=（﹣1）2•2a1==．a3=（﹣1）3•2a2=﹣2×=﹣．a4=（﹣1）4•2a3==﹣．∴a5=（﹣1）5•2a4==．故选：B．【点评】本题考查了利用递推式求数列的值，属于基础题．4．等差数列{a n}中，已知a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为( )A．50 B．49 C．48 D．47【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设公差为d，由条件a1=，a2+a5=4，可求得d的值，再由a n=33，利用等差数列的通项公式，求得n的值．【解答】解：设公差为d，∵a1=，a2+a5=4，∴a1+d+a1+4d=4，即+5d=4，可得d=．再由a n=a1+（n﹣1）d=+（n﹣1）×=33，解得 n=50，故选 A．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=3，S6=7，则S9的值为( )A．12 B．15 C．11 D．8【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得S3 、S6﹣S3、S9﹣S6仍成等差数列，故有 2（7﹣3）=3+（S9﹣7），由此可得S9的值．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=3，S6=7，则由等差数列的性质可得S3 、S6﹣S3、S9﹣S6仍成等差数列，即3，7﹣3，S9﹣7 成等差数列，故有 2（7﹣3）=3+（S9﹣7），∴S9=12．故选A．【点评】本题考查等差数列的定义和性质，利用了等差数列每相邻三项的和仍然构成等差数列，属基础题．6．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=( )A．8 B．﹣8 C．±8D．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题．【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案．【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3∴b2（a2﹣a1）=﹣8．故选 B．【点评】本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查．在做关于等差数列以及等比数列的题目时，其常用性质一定要熟练掌握．7．已知数列{a n}满足：a1=1，，则数列{a n}是( )A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意知，得到连续两项的比值等于大于0且小于1常数，得到数列是一个递减的等比数列．【解答】解：由于数列{a n}满足：a1=1，，则数列的后一项为前一项的，且数列各项为正，故数列为一个递减的等比数列．故答案为：B【点评】本题考查由数列的递推式来证明数列的特殊性质，属于基础概念题．8．已知等差数列{a n}的前n项和是S n，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是( ) A．60 B．70 C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题；规律型；函数思想；等差数列与等比数列．【分析】首先根据题意求出S10=10，S30=130，再根据S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等差数列，得到S20．【解答】解：因为S30=13S10，S10+S30=140，所以S10=10，S30=130．∵数列{a n}为等差数列，∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等差数列，即S10，S20﹣S10，S30﹣S20也是等差数列，即，2（S20﹣10）=10+130﹣S20所以S20=．故选：D．【点评】本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列中S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等差数列的性质．9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是，则 b=( )A．1+B．C．D．2+【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先根据已知条件求出a，b，c的关系，再根据三角形的面积公式求出ac=6，利用余弦定理求出b的值．【解答】解：∵B=30°，△ABC的面积是，∴，即ac=6，∵2b=a+c，∴4b2=a2+c2+2ac，①则由余弦定理得，②∴两式相减得，即，即b=1+，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识．要求熟练掌握相应的公式和定理．10．在20米高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度是( )A．20（1+）B．20（+）C．10（+）D．20（1+）【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题．【分析】由题意，AB=20米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可先在直角三角形ABC中求出BC，再由AD⊥CE，得出DC，AD的长度，再求出DE即可得出塔吊的高度．【解答】解：由题意，AB=20米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=，AD=20∴塔高为DE+CD=20+20 =20（+1）故选D．【点评】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角．11．在△ABC中，三边a、b、c与面积S的关系是S=（a2+b2﹣c2），则角C应为( ) A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题．【分析】用三角形面积公式表示出S，利用题设等式建立等式，进而利用余弦定理求得2abcosC=a2+b2﹣c2，进而整理求得sinC和cosC的关系进而求得C．【解答】解：由三角形面积公式可知S=absinC，∵S=，∴absinC=由余弦定理可知2abcosC=a2+b2﹣c2∴sinC=cosC，即tanC=1，∴C=45°故选B【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．要能熟练掌握余弦定理公式及其变形公式．12．数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），若前n项的和为10，则项数n为( )A．11 B．99 C．120 D．121【考点】数列的求和．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】运用分母有理化可得a n=﹣，再由裂项相消求和可得前n项的和为S n，由S n，=10，解方程可得n．【解答】解：a n==﹣，前n项的和为S n=﹣1+﹣+2﹣+…+﹣=﹣1，由题意可得﹣1=10，解得n=120．故选：C．【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题4分，共16分）13．在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=3﹣．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由A与C的度数，以及AB的长，利用正弦定理即可求出BC的长．【解答】解：∵AB=，A=45°，C=75°，sin75°=sin（45°+30°）=×+×=，∴由正弦定理得：=，即BC===3﹣．故答案为：3﹣【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．14．已知等差数列{a n}中，a3、a15是方程x2﹣6x﹣1=0的两根，则a7+a8+a9+a10+a11=15．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 a3+a15=6，再由等差数列的性质可得a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15 ，由此求得要求式子的值．【解答】解：由题意可得 a3+a15=6，又a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15 ，∴a7+a8+a9+a10+a11=（2+）（a3+a15）=×6=15，故答案为 15．【点评】本题主要考查一元二次方程等于系数的关系，等差数列的定义和性质的应用，属于中档题．15．若△ABC的周长等于20，面积是，A=60°，则a=7．【考点】解三角形．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据三角形面积公式，结合A=60°算出bc=40．利用余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，化简得出a2=（b+c）2﹣120，结合三角形的周长为20得到关于a的方程，解之可得边a的长．【解答】解：∵A=60°，∴S△ABC=bcsinA=，即bc=解之得bc=40由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得a2=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣120∵△ABC的周长a+b+c=20∴b+c=20﹣a，得a2=2﹣120，解之得a=7故答案为：7【点评】本题给出三角形的面积和周长，在已知角A的情况下求边a的长．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式等知识，属于中档题．16．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB 的值为．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】由a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a可得，b=，c=2a，结合余弦定理可求【解答】解：∵a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2ab2=ac=2a2，b=，c=2a=故答案为：【点评】本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题三、解答题（17-21小题每小题12分，22小题14分，共74分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=，b=，B=45°，（Ⅰ）求角A、C；（Ⅱ）求边c．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得sinA=，可得A的值，再利用三角形内角和公式求得C的值．（Ⅱ）由条件分类讨论，分别根据c=计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a，∴△ABC有两解．由正弦定理得sinA===，则A为60°或120°．（Ⅱ）①当A=60°时，C=180°﹣（A+B）=75°，c===．②当A=120°时，C=180°﹣（A+B）=15°，c=c=═=．故在△ABC中，A=60°，C=75°，c=；或A=120°，C=15°，c=．【点评】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18．设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a n}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由a n=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n（2）由（1）知S n=na1+d=10n﹣n2．因为S n=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，S n取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．19．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题．【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后，由sinA不为0，即可得到cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，配方后把b，a+c及cosB的值代入，列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：（1）由正弦定理得===2R，得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入=﹣，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，化简得：2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，∵sinA≠0，∴cosB=﹣，又∵角B为三角形的内角，∴B=；（2）将b=，a+c=4，B=，代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得13=a2+（4﹣a）2﹣2a（4﹣a）cos，∴a2﹣4a+3=0，∴a=1或a=3．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．已知等比数列{a n}的首项a1=，公比q满足q＞0且q≠1，又已知a1，5a3，9a5成等差数列（1）求数列{a n}的通项．（2）令b n=log3，求+++…+的值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的性质建立方程组，即可求出数列{a n}的通项．（2）求出b n的通项公式，利用裂项法即可求和．【解答】解：（1）在等比数列{a n}中，∵，a1，5a3，9a5成等差数列，∴2×5a3=a1+9a5即：，∴9q4﹣10q2+1=0，解得：又∵q＞0且q≠1∴∴（2）∵，∴b n=n，则===【点评】本题主要考查数列的通项公式的求解，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosA=ccosA+acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=，S△ABC=，试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】正弦定理；三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出cosA的值，由A的范围即可确定出A的度数；（2）利用三角形的面积公式列出关系式，将sinA与已知面积代入求出bc的值，再由余弦定理列出关系式，将cosA，a的值代入求出b2+c2的值，联立求出b与c的值，即可确定出三角形的形状．【解答】解：（1）由2bcosA=ccosA+acosC及正弦定理，得2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，即sinB（2cosA﹣1）=0，∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=；（2）∵S△ABC=bcsinA=，即bcsin=，∴bc=3，①∵a2=b2+c2﹣2bccosA，a=，A=，∴b2+c2=6，②由①②得b=c=，则△ABC为等边三角形．【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（14分）某海轮以30公里/小里的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点，求①PC间的距离；②在点C测得油井的方位角是多少？【考点】解三角形．【专题】应用题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】①在△ABP中，根据正弦定理，求BP，再利用余弦定理算出PC的长，即可算出P、C 两地间的距离．②证明CP∥AB，即可得出结论．【解答】解：①如图，在△ABP中，AB=30×=20，∠APB=30°，∠BAP=120°，根据正弦定理得：，∴BP=20．在△BPC中，BC=30×=20．由已知∠PBC=90°，∴PC=40（n mile）∴P、C间的距离为40n mile．②在△BPC中，∠CBP=90°，BC=20，PC=40，∴sin∠BPC=，∴∠BPC=30°，∵∠ABP=∠BPC=30°，∴CP∥AB，∴在点C测得油井P在C的正南40海里处．【点评】本题给出实际应用问题，求两地之间的距离，着重考查了正弦定理和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．。
2015-2016学年上学期高一数学月考试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U C A B 为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ． {}0,2,3,42．函数21)(--=x x x f 的定义域为（ ） A ．[1，2）∪（2，+∞） B ．（1，+∞）C ．[1，2）D ．[1，+∞）3．若指数函数(23)x y a =-在R 上是增函数, 则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞4．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数x xx f 2log 1-)(+=的一个零点落在下列哪个区间 （ ）A ．()10，B ．()21，C ．()32，D ．()43，6．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO 的面积是（ ）A ．12 B ．C．7．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是 （ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>8．已知幂函数)(x f 的图象过点)21,4(，则()8f 的值为（ ） A ．42 B ．64 C ．22 D ．6419长方体''''D C B A ABCD -的顶点均在球面上，且AB=1，AC=2，AA ’=3，则该球的表面积为（ ）A ．7πB ．14πC ．72π D 10．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，d 为直线，下列推理错误的是( ) A ．A ∈d ，A ∈β，B ∈d ，B ∈β⇒d ⊂βB ．M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MNC ．A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝AD ．A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合11． 三棱锥S ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知偶函数)(x f 在区间]0,(-∞单调递减，则满足)31()12(f x f <-的实数x 的取值范围是（ ）A ．)32,21[B ．)32,31[C ．)32,21(D ．)32,31(二、填空题（每小题4分，共16分）13．市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种都订的有150户，则两种都不订的有 户．14．如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________．15．如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是BC BB ,1的中点，则图中上的投影的面积为 ．16．如图，给出奇函数()f x 的局部图像，则使()0<x xf 的x 的集合是_____ ____.三、解答题（17、18、19、20题每题12分，21、22题每题14分）17．已知()x x f --=3的定义域为集合A .关于为常数）（的不等式a x x a x-->⎪⎭⎫ ⎝⎛2212. 的解集为B 。
高二上理科数学第二次月考试卷 班级： 姓名： 座号：命题人:陈梅英 审题人:高二数学备课组一．选择题：（共60分，每小题5分）1。
已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72。
设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．123.设a ＝（2,1,-m ）,b ＝ （n ,4,3-)，若b a //，则m ，n 的值分别为( ）A ．43，8B ．43-，—8C ．43-，8 D ．43，－8 4双曲线1＝ 9－422y x 的渐近线方程是( ）． A ．x y 23＝± B ．x y 32＝± C ．x y 49＝± D ．x y 94＝±5已知向量a =（0，2，1），b =（1，—1，2 ）的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°6.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A 。
错误!B 。
错误!C 。
错误!D 。
错误!直，则k 的值是（ ）A ． 1B ． 51C ． 53D ． 57 8.在△ABC 中,错误!＝m ,错误!＝n ，若点D 满足错误!＝2错误!，则错误!等于（ )．A.错误!n ＋错误!m B.错误!m － 错误! n C 。
错误!n －错误! m D 。
错误!n ＋错误!m9.已知双曲线方程为2x －24y ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有 （ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条10.椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（ ) A ．20 B ．22 C ．28 D ．2411 已知a ＝（2，－1，3)，b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ）， 若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ等于（ ）（A ）627 (B ）637 (C ）647 (D ）65712.抛物线2yx 到直线 240x y 距离最近的点的坐标是 （ ） A ．)45,23( B ．（1，1） C ．)49,23( D ．（2，4)13。
2015-2016学年福建省莆田二十五中高一（上）期中数学试卷一．选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分，将正确的答案填写在答题卷相应的位置．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}2．（5分）下列各组函数表示同一函数的是（）A．与y=x+3 B．与y=x﹣1C．y=x0（x≠0）与y=1（x≠0） D．y=2x+1，x∈Z与y=2x﹣1，x∈Z3．（5分）已知f（x）=，则f（f（2））=（）A．﹣7 B．2 C．﹣1 D．54．（5分）f（x）=（m﹣1）x2+2mx+3为偶函数，则f（x）在区间（2，5）上是（）A．减函数B．增函数C．有增有减D．增减性不确定5．（5分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．（5分）已知函数y=g（x）的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，则g （2）的值为（）A．9 B．C．D．log327．（5分）函数f（x）=2﹣|x|的值域是（）A．（0，1]B．（0，1） C．（0，+∞）D．R8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则（）A．f（3）＜f（2）＜f（4） B．f（1）＜f（2）＜f（3） C．f（2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（0）9．（5分）函数f（x）=ax3+bx+4（a，b不为零），且f（5）=10，则f（﹣5）等于（）A．﹣10 B．﹣2 C．﹣6 D．1410．（5分）已知f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=e x﹣1（其中e为自然对数的底数），则f（ln）=（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣311．（5分）定义运算：，则函数f（x）=1⊗2x的图象是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（）A．最大值为3，最小值﹣1 B．最大值为，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，也无最小值二．填空题，本大题共四题，每小题4分，共16分．13．（4分）设a，b∈R，集合{a，1}={0，a+b}，则b﹣a=．14．（4分）函数y=+的定义域是．15．（4分）当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x﹣2﹣3必过定点．16．（4分）函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=．三、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程，前五题每题12分，第22题14分，共74分．）17．（12分）计算：（1）（﹣3）0﹣+（﹣2）﹣2﹣；（2）．18．（12分）若集合A={x|﹣3≤x≤4}和B={x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）当m=﹣3时，求集合A∩B；（2）当B⊆A时，求实数m取值范围．19．（12分）已知二次函数的顶点的纵坐标为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间上[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=，且f（1）=2．（1）证明函数f（x）是奇函数；（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（3）求函数f（x）在[2，5]上的最大值和最小值．21．（12分）若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y）（1）求f（1）的值，（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．22．（14分）已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数．（1）求a、b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．2015-2016学年福建省莆田二十五中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分，将正确的答案填写在答题卷相应的位置．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}【解答】解：（C U M）={2，3，5}，N={1，3，5}，则N∩（C U M）={1，3，5}∩{2，3，5}={3，5}．故选：C．2．（5分）下列各组函数表示同一函数的是（）A．与y=x+3 B．与y=x﹣1C．y=x0（x≠0）与y=1（x≠0） D．y=2x+1，x∈Z与y=2x﹣1，x∈Z【解答】解：A．=x+3，（x≠3），两个函数的定义域不相同．不是同一函数．B．y=|x|﹣1，两个函数的对应法则不相同．不是同一函数．C．y=x0=1（x≠0）．两个函数的定义域和对应法则相同．是同一函数．两个函数的定义域不相同．不是同一函数．D．两个函数的对应法则不相同．不是同一函数．故选：C．3．（5分）已知f（x）=，则f（f（2））=（）A．﹣7 B．2 C．﹣1 D．5【解答】解：∵f（x）=，∴f（f（2））=f（﹣1）=2，故选：B．4．（5分）f（x）=（m﹣1）x2+2mx+3为偶函数，则f（x）在区间（2，5）上是（）A．减函数B．增函数C．有增有减D．增减性不确定【解答】解：f（x）=（m﹣1）x2+2mx+3为偶函数，所以m=0，所以f（x）=﹣x2+3，开口向下，f（x）在区间（2，5）上是减函数．故选：A．5．（5分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选：A．6．（5分）已知函数y=g（x）的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，则g （2）的值为（）A．9 B．C．D．log32【解答】解：因为函数y=g（x）的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，所以g（x）=log3x，故g（2）=log32，故选：D．7．（5分）函数f（x）=2﹣|x|的值域是（）A．（0，1]B．（0，1） C．（0，+∞）D．R【解答】解：令t=﹣|x|，则t≤0因为y=2x单调递增，所以0＜2t≤20=1即0＜y≤1故选：A．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则（）A．f（3）＜f（2）＜f（4） B．f（1）＜f（2）＜f（3） C．f（2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（0）【解答】解：若对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则函数f（x）满足在[0，+∞）上单调递减，则f（3）＜f（1）＜f（0），故选：D．9．（5分）函数f（x）=ax3+bx+4（a，b不为零），且f（5）=10，则f（﹣5）等于（）A．﹣10 B．﹣2 C．﹣6 D．14【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=a（﹣x）3﹣bx+4+（ax3+bx+4）=8．∵f（5）=10，∴10+f（﹣5）=8，解得f（﹣5）=﹣2．故选：B．10．（5分）已知f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=e x﹣1（其中e为自然对数的底数），则f（ln）=（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：∵f（ln）=f（﹣ln2）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）∵当x≥0时，f（x）=e x﹣1，则f（ln）=f（﹣ln2）=﹣f（ln2）=﹣（e ln2﹣1）=﹣1故选：A．11．（5分）定义运算：，则函数f（x）=1⊗2x的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知新运算a⊗b的意义就是取得a，b中的最小值，因此函数f （x）=1⊗2x=，因此选项A中的图象符合要求．故选：A．12．（5分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（）A．最大值为3，最小值﹣1 B．最大值为，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，也无最小值【解答】解：f（x）=3﹣2|x|=①当x≥0时，解f（x）≥g（x），得3﹣2x≥x2﹣2x⇒0≤x≤；解f（x）＜g（x），得3﹣2x＜x2﹣2x⇒x＞．②当x＜0，解f（x）≥g（x），得3+2x≥x2﹣2x⇒2﹣≤x＜0；解f（x）＜g（x），得3+2x＜x2﹣2x⇒x＜2﹣；综上所述，得分三种情况讨论：①当x＜2﹣时，函数为y=3+2x，在区间（﹣∞，2﹣）是单调增函数，故F （x）＜F（2﹣）=7﹣2；②当2﹣≤x≤时，函数为y=x2﹣2x，在（2﹣，1）是单调递减函数，在（1，）是单调递增函数，故﹣1≤F（x）≤2﹣③当x＞时，函数为y=3﹣2x，在区间（，+∞）是单调减函数，故F（x）＜F（）=3﹣2＜0；∴函数F（x）的值域为（﹣∞，7﹣2]，可得函数F（x）最大值为F（2﹣）=7﹣2，没有最小值．故选：B．二．填空题，本大题共四题，每小题4分，共16分．13．（4分）设a，b∈R，集合{a，1}={0，a+b}，则b﹣a=1．【解答】解：∵集合{a，1}={0，a+b}，∴a=0，a+b=1，解得a=0，b=1．∴b﹣a=1．故答案为：1．14．（4分）函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2} ．【解答】解：要使函数y=+的解析式有意义自变量x须满足：解得x≥﹣1，且x≠2故函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2}故答案为：{x|x≥﹣1，且x≠2}15．（4分）当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x﹣2﹣3必过定点（2，﹣2）．【解答】解：由题意得函数f （x）=a x的图象过定点（0，1）函数f （x）=a x﹣2﹣3的图象是由函数f （x）=a x的图象先向左平移两个单位，再向下平移3个单位得到∴f （x）=a x﹣2﹣3的图象过的定点也是先向左平移两个单位，再向下平移3个单位得到∴定点为（2，﹣2）∴函数f （x）=a x﹣2﹣3必过定点（2，﹣2）．∴故答案为（2，﹣2）．16．（4分）函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=．【解答】解：由图象可求得直线的方程为y=2x+2，又函数y=log c（x+）的图象过点（0，2），将其坐标代入可得c=，所以a+b+c=2+2+=．故答案为：三、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程，前五题每题12分，第22题14分，共74分．）17．（12分）计算：（1）（﹣3）0﹣+（﹣2）﹣2﹣；（2）．【解答】解：（1）（﹣3）0﹣+（﹣2）﹣2﹣=1﹣0+=；（2）====1．18．（12分）若集合A={x|﹣3≤x≤4}和B={x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）当m=﹣3时，求集合A∩B；（2）当B⊆A时，求实数m取值范围．【解答】解：（1）m=﹣3时，B={﹣7≤x≤﹣2}，则A∩B={x|﹣3≤x≤﹣2}；（2）根据题意，分2种情况讨论：①、B=∅时，则2m﹣1＞m+1，即m＞2时，B⊆A成立；②、B≠∅时，则2m﹣1≤m+1，即m≤2时，必有，解可得﹣1≤m≤3，又由m≤2，此时m的取值范围是﹣1≤m≤2，综合①②可得，m的取值范围是m≥﹣1．19．（12分）已知二次函数的顶点的纵坐标为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间上[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=a（x﹣h）2+1，∵f（0）=f（2）=3，∴，解得a=2，h=1．∴f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3．（2）由（1）可知：函数f（x）的对称轴为x=1，∵f（x）在区间上[2a，a+1]上不单调，∴2a＜1＜a+1，解得．∴a的取值范围是．20．（12分）已知函数f（x）=，且f（1）=2．（1）证明函数f（x）是奇函数；（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（3）求函数f（x）在[2，5]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）证明：f（﹣x）=，∴函数f（x）是奇函数；（2）证明：∵f（1）=2，∴，∴a=1，f（x）=，f′（x）=；∵x＞1，∴x2＞1，∴f′（x）＞0；∴f（x）在（1，+∞）上是增函数；（3）由（2）知，f（x）在[2，5]上是增函数，所以f（x）的最大值为f（5）=，最小值为f（2）=．21．（12分）若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y）（1）求f（1）的值，（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．【解答】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1），∴f（1）=0；（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），即f（）＜f（6），∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，∴，解得﹣3＜x＜9，即不等式的解集为（﹣3，9）．22．（14分）已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数．（1）求a、b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵定义在R上的函数f（x）=是奇函数．∴f（0）=0，即，得b=1，则f（x）=，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）+f（1）=0，∴+=0，解得a=1．即a=b=1．（2）∵a=b=1．∴f（x）===﹣1+，则f（x）为减函数，由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）即t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，即3t2﹣2t﹣k＞0恒成立，则判别式△=4+3×4k＜0，解得k＜﹣，即k的取值范围是（﹣∞，﹣）．。
福建省莆田市第二十五中学【精品】高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}2,4,1,2,3A B ==，则图中阴影部分所表示的集合（ ）A ．{}1,3B ．{}2,4C ．{}4,5D ．{}42．函数2()lg(31)f x x =+-的定义域是（ ） A ．()1-∞， B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．[)1+∞， D ．()1+∞， 3．“YouBike 微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）A ．三点确定一平面B ．两条相交直线确定一平面C ．不共线三点确定一平面D ．两条平行直线确定一平面 4．当01a <<时，在同一坐标系中x y a =与log a y x =的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．3()f x x =B ．1()f x x =-C ．()2x f x =D ．()f x x x =- 6．函数22()2x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）.A ．(-1,0)B ．(0,1)C ．(1，2)D ．(2,3)7．当a ＞0，且a ≠1时，f （x ）=log a （x +2）+3的图象恒过定点P ，则点P 坐标为（ ） A ．()2,4- B ．()1,4- C ．()2,3- D ．()1,3-8．设函数2,1(),1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则(f f =（ ） A ．14 B ．12 C ．1 D ．39．已知0.50.59log 8,6,5a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >> 10．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）A．2+B ．8 C ．4 D．11．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()10f =，则满足(23)0x f ->的x 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()2+∞，C ．()(),12,-∞⋃+∞D ．[)02，二、填空题12．设幂函数()a f x kx =的图像经过点(4,2)，则k α+=__________．13．不等式x-1239x ≤的解集是________________14．已知函数()f x 的定义域是（-1，2），则(21)f x +的定义域是________15．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，若2019()()2x f x g x ++=则()2019g =_______三、解答题16．计算 （1）-22318ln 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）)()20.50log 321125log lg1016⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ 17．已知集合{}36A x x =≤<，{}|131B x m x m =-≤≤-（1）当2m =时，分别求A B 、()R C B A ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.18．已知函数()log a f x x =经过点（3，1），其中（a >0且a ≠1）（1）求a ；（2）求函数()()2g x f x =-的零点；（3）解不等式()log 21a x +<19．如图,已知四棱锥P-ABCD ,底面四边形ABCD 为正方形，AB=2，M ,N 分别是线段P A 、PC 的中点.（1）求证:MN ∥平面ABCD ；（2）判断直线MN 与BC 的位置关系，并求它们所成角的大小.20．已知一个几何体的三视图如图所示.（1）求此几何体的表面积、体积；（2）在如图的正视图中，如果点A 为所在线段中点，一只蚂蚁沿着几何体的侧面从点B 爬到点A ，求蚂蚁爬行最短路径的长.21．设函数()f x 与()g x 的定义域都是{|x x R ∈且1}x ≠±,()f x 是奇函数, ()g x 是偶函数,且1()()1f xg x x +=-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）求1111(2)(3)(4)(5)5432g g g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.参考答案1．A【分析】图中阴影部分表示()U C A B ⋂，先求得U C A ，由此求得()U C A B ⋂.【详解】由图可知，阴影部分表示()U C A B ⋂.{}1,3,5U C A =，所以(){}1,3U C A B =. 故选：A.【点睛】本小题主要考查Venn 图的识别，考查集合交集和补集的运算，属于基础题.2．D【分析】根据分式分母不为零、偶次方根的被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.【详解】依题意10310x x ->⎧⎨->⎩，解得1x >，所以函数()f x 的定义域为()1+∞，. 故选：D.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3．C【分析】根据欧氏几何公理2及其推论，结合实际问题的场景，选出正确选项.【详解】自行车两个车轮与地面的切点，以及撑脚与地面的交点，组成不共线的三点，不共线的三点确定一平面.故选：C.【点睛】本小题主要考查欧氏几何公理2及其推论，考查实际生活中的数学应用，属于基础题. 4．B【详解】解析过程略5．A【分析】对选项逐一分析函数的定义域、奇偶性和单调性，由此选出正确选项.【详解】对于A 选项，函数()f x 的定义域为R ，是奇函数并在R 上递增，符合题意.对于B 选项，函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，是奇函数，但在()(),0,0,-∞+∞上都是减函数，不符合题意.对于C 选项，函数()f x 是非奇非偶函数，不符合题意.对于D 选项，函数是定义在R 上的奇函数，且()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，故函数在R 上单调递减，不符合题意.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数的定义域、奇偶性和单调性，属于基础题.6．B【分析】利用零点存在性定理，判断出函数零点所在的区间.【详解】由于()()()()20120,110,010f f e f f =-<=->⋅<，所以函数的零点在区间()0,1. 故选：B.【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题.7．D【分析】令真数等于1，求出x 、y 的值，可得函数的图象经过定点的坐标．【详解】当a ＞0，且a ≠1时，对于函数f （x ）＝log a （x +2）+3，令x +2＝1，求得x ＝﹣1，y ＝3，可得函数的图象经过定点（﹣1，3）．再根据它的的图象恒过定点P ，则点P 坐标为（﹣1，3），故选D ．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．8．C【分析】根据分段函数解析式，先求得f 的值，然后求得(f f 的值. 【详解】依题意1f ==，所以(f f ()2111f ===.故选：C.【点睛】本小题主要考查分段函数的函数值的求法，属于基础题.9．A【分析】先用1进行分段，然后根据幂函数0.5y x=的单调性判断,b c 的大小关系，由此确定正确选项.【详解】 99log 8log 91a =<=，0.500.50661,551b c =>==>=，故a 是三者中的最小值.由于0.5y x =为[)0,+∞上的增函数，所以0.50.565>，即b c >.所以b c a >>.故选：A.【点睛】本小题主要考查对数的性质，考查幂函数的单调性，属于基础题.10．B【分析】画出直观图对应的原图，由此求得原平面图形的周长.【详解】直观图中，''''''1,O A C B O B ===1,OA OB ==3OC AB ===，所以原平面图形的周长为32128⨯+⨯=.故选：B.【点睛】本小题主要考查斜二测画法的直观图和原图的关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11．C【分析】根据()f x 的奇偶性和单调性，以及函数的零点，画出()f x 的大致图像，由此化简不等式(23)0x f ->，求得不等式的解集.【详解】由于偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()10f =，所以()f x 在(],0-∞上递减，且()()110f f -==.由此画出函数()f x 的大致图像如下图所示，由图可知，当1x <-或1x >时，()0f x >.故由(23)0x f ->，得231x -<-或231x ->，即22x <或222x >，解得1x <或2x >.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查抽象函数不等式的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.12．32【解析】 由题意得131,2422k k ααα==⇒=∴+= 13．13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭【分析】将不等式两边转化为同底的形式，再根据指数函数单调性化简不等式，由此求得不等式的解集.【详解】由x-1239x ≤得1433x x -≤，由于3xy =在R 上递增，所以14x x -≤，解得不等式的解集为1|3x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. 故答案为：13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭【点睛】本小题主要考查指数运算，考查指数不等式的解法，属于基础题.14．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据函数定义域的概念列不等式，由此求得()21f x +的定义域.【详解】由于()f x 的定义域是()1,2-，所以对于函数()21f x +有1212x -<+<，解得112x -<<.所以函数()21f x +的定义域为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.15．4037122+ 【分析】 将x -代入2019()()2x f x g x ++=，结合函数()f x 和()g x 的奇偶性，求得()g x 的解析式，由此求得()2019g 的值.【详解】 x -代入2019()()2x f x g x ++=①得，()()20192x f x g x -+-+-=②，由于()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以②可化为()()20192x f x g x -+-+=③，①+③得()20192019222x x g x +-+=+，所以()2018201822x x g x +-+=+，故()20192018201920184037120192222g +-+=+=+. 故答案为：4037122+ 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题.16．（1）5π+；（2）74 【分析】（1）根据根式、指数、对数运算公式，化简所求表达式.（2）根据指数、对数运算公式，化简所求表达式.【详解】（1）原式()()2233224π1444π15π=+--+=+--+=+.（2）原式122819713log 1401644⎛⎫=+-+=-+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 17．（1）{}16x x -≤<，{}56x x <<；（2）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）当2m =时，根据并集、交集和补集的概念和运算，求得A B 、()R C B A . （2）由A B A ⋃=得出B 是A 的子集，将B 分为空集、不是空集两种情况列不等式，由此求解出实数m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，{}|15B x x =-≤≤.所以{}|16A B x x ⋃=-≤<（2）由于A B A ⋃=，所以B 是A 的子集.当B =∅时，131m m ->-，解得12m <； 当B ≠∅时，13131631m m m m -≤-⎧⎪≤-⎨⎪>-⎩，该不等式组无解.综上所述，m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查集合并集、交集和补集的概念和运算，考查根据并集的结果求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.18．（1）3；（2）9；（3）()2,1-【分析】（1）根据()f x 所经过点()3,1，求得a 的值.（2）令()0g x =，解方程求得()g x 的零点.（3）根据对数函数的单调性，求得不等式的解集.【详解】（1）由于()f x 经过点()3,1，所以log 31a =，所以3a =.故()3log f x x =.（2）令()233log 20,log 2,39g x x x x =-====，所以()g x 的零点为9. （3）不等式()33log 2log 3x +<，由于3log y x =在()0,∞+上递增，所以023x <+<，解得21x -<<.所以不等式的解集为()2,1-.【点睛】本小题主要考查待定系数法求对数函数解析式，考查函数零点的求法，考查根据对数函数的单调性解不等式，属于基础题.19．（1）见解析；（2）45【分析】（1）连接AC ，利用中位线证得//MN AC ，由此证得//MN 平面ABCD .（2）根据（1）的结论，判断MN 与BC 异面，且ACB ∠是异面直线MN 与BC 所成角，根据正方形的几何性质求得这个角的大小.【详解】（1）连接AC ，在三角形PAC 中，,M N 分别是,PA PC 的中点，所以MN 是三角形PAC 的中位线，所以//MN AC ，由于MN ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .（2）由于//MN AC ，AC 与BC 相交，所以MN 与BC 为异面直线，且ACB ∠是异面直线MN 与BC 所成角，由于四边形ABCD 是正方形，所以45ACB ∠=.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.20．（1）表面积20π+，体积24π；（2）【分析】（1）根据三视图判断出组合体是由圆柱和圆锥构成，由此求得几何体的表面积和体积. （2）根据圆柱侧面展开图，利用勾股定理，求得蚂蚁爬行最短路径的长.【详解】（1）由三视图可知，该组合体是圆柱和圆锥构成，故表面积为2⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+π22π24π220π（2）画出圆柱侧面展开图如下图所示，由图可知，最短路径长为==【点睛】本小题主要考查根据三视图求原图的表面积和体积，考查圆柱有关的最短距离问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.21．（1）()21x f x x =-，()211g x x =-；（2）4- 【分析】（1）将x -代入1()()1f x g x x +=-，根据函数的奇偶性，化简求得()f x 和()g x 的解析式.（2）计算出()11g g x x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，由此求得所求表达式的值. 【详解】 （1）依题意1()()1f x g x x +=-①，将x -代入①得1()()1f xg x x -+-=--，由于()f x 是奇函数, ()g x 是偶函数，所以1()()1f x g x x -+=--②. ①+②得()11211g x x x =--+，所以()211112111g x x x x ⎛⎫=-= ⎪-+-⎝⎭.①-②得()11211f x x x =+-+，所以()21x f x x =-. （2）由（1）得()211g x x =-，所以()221111111g g x x x x ⎛⎫+=+=- ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1111(2)(3)(4)(5)45432g g g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.。
2015-2016学年福建省莆田二十五中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分共60分）1．（5.00分）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）2．（5.00分）下列图象中表示函数图象的是（）A．B．C．D．3．（5.00分）下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）A．f（x）=2x B．C．f（x）=lnx D．f（x）=4．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（f（））（）A．B．C．D．5．（5.00分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）6．（5.00分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于（）A．﹣2 B．0 C．2 D．47．（5.00分）已知直线的方程是y+2=﹣x﹣1，则（）A．直线经过点（2，﹣1），斜率为﹣1 B．直线经过点（1，﹣2），斜率为﹣1 C．直线经过点（﹣2，﹣1），斜率为1 D．直线经过点（﹣1，﹣2），斜率为﹣18．（5.00分）已知过点A（2，m）和B（m，5）的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5.00分）以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=010．（5.00分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①④C．②④D．①③11．（5.00分）用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（）A．π B．2πC．4πD．π12．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．1+B．2 C．D．二、填空题（每小题4分共计16分）13．（4.00分）直线的倾斜角为．14．（4.00分）已知函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）恒过定点P，若点P也在幂函数g（x）的图象上，则g（4）=．15．（4.00分）已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，设AC中点为O，若∠PDA=45°，则EF与平面ABCD所成的角的大小为．16．（4.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为．三、解答题（17-21每小题12分，22题14分共计74分）17．（12.00分）已知函数f（x）=x3+mx的图象过点（1，5）．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性．18．（12.00分）求满足下列条件的直线方程：（1）经过点（﹣2，1），且与y轴垂直；（2）过A（﹣4，0），B（0，6）两点．19．（12.00分）已知直线l：kx﹣y﹣2k﹣1=0（k∈R）．（1）若直线l过定点P，求点P的坐标；（2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k的值．20．（12.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分别为A1C1和BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．21．（12.00分）已知边长为2的正方形SG₁G₂G₃，E，F分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，SG₂交EF于点D，现沿着线段SE，SF，EF翻折成四面体，使G₁，G₂，G₃重合于点G，则四面体S﹣EFG中有：（A）SD⊥平面EFG；（B）SG⊥平面EFG；（C）GF ⊥平面SGF；（D）GD⊥平面SEF．（1）画出四面体的草图，并在（A）（B）（C）（D）四个结论中选择你认为正确的结论，加以证明；（2）求四面体S﹣EFG的体积．22．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．2015-2016学年福建省莆田二十五中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共60分）1．（5.00分）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，∴A∩B={x|﹣4＜x≤2}，故选：B．2．（5.00分）下列图象中表示函数图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．故选：C．3．（5.00分）下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）A．f（x）=2x B．C．f（x）=lnx D．f（x）=【解答】解：f（x）=2x是定义域R上的增函数，故排除A；f（x）=lnx是定义域（0，+∞）上的增函数，故排除C；f（x）=在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，故排除D；f（x）=在定义域（0，+∞）上单调递减，故选：B．4．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（f（））（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，f（f（））=f（﹣2）=．故选：B．5．（5.00分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．6．（5.00分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【解答】解：∵三点A（2，2），B（a，0），C（0，4），∴=（a﹣2，﹣2），=（﹣2，2），∵三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，∴2（a﹣2）=﹣2×（﹣2），∴a=4，故选：D．7．（5.00分）已知直线的方程是y+2=﹣x﹣1，则（）A．直线经过点（2，﹣1），斜率为﹣1 B．直线经过点（1，﹣2），斜率为﹣1 C．直线经过点（﹣2，﹣1），斜率为1 D．直线经过点（﹣1，﹣2），斜率为﹣1【解答】解：直线的方程是y+2=﹣x﹣1，化为点斜式即：y+2=﹣（x+1 ），故直线经过点（﹣1，﹣2），斜率为﹣1，故选：D．8．（5.00分）已知过点A（2，m）和B（m，5）的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：直线2x﹣y+1=0的斜率为2．过点A（2，m）和B（m，5）的直线与直线2x﹣y+1=0平行，所以，解得m=3．故选：D．9．（5.00分）以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=0【解答】解：因为A（1，3），B（﹣5，1），所以AB的中点坐标（﹣2，2），直线AB的斜率为：=，所以AB的中垂线的斜率为：﹣3，所以以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是y﹣2=﹣3（x+2），即3x+y+4=0．故选：B．10．（5.00分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①④C．②④D．①③【解答】解：①当α⊥β，m∥α时，m⊥β不一定成立，所以错误；②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；③因为m∥α，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥β可得出n⊥β，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，故成立；④m∥α，n∥β，且m∥n，α，β也可能相交，如图所示，所以错误，故选：A．11．（5.00分）用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（）A．π B．2πC．4πD．π【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为：cm；已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，所以球的体积为：=4π故选：C．12．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．1+B．2 C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体为，以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：，其中AC=AB=AC=1，SA=BC=，SB=，且该棱锥的四个面中，有两个面为直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面为直角边长分别为1和的等边三角形，故该几何体的表面积S=2××1×1+2××1×=1+，故选：A．二、填空题（每小题4分共计16分）13．（4.00分）直线的倾斜角为．【解答】解：将直线方程化为斜截式得，，故斜率为，∴，故答案为14．（4.00分）已知函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）恒过定点P，若点P也在幂函数g（x）的图象上，则g（4）=16．【解答】解：∵log a1=0，∴当x﹣1=1，即x=2时，y=4，∴点M的坐标是P（2，4）．幂函数g（x）=xα的图象过点M（2，4），所以4=2α，解得α=2；所以幂函数为g（x）=x2，则g（4）=16．故答案为：16．15．（4.00分）已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，设AC中点为O，若∠PDA=45°，则EF与平面ABCD所成的角的大小为45°．【解答】解：连结OE，OF，∵O，F是AC，PC的中点，∴OF∥PA，OF=．∵PA⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD，∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角．∵∠PDA=45°，∴PA=AD，∵O，E是AC，AB的中点，∴OE=，∴OF=OE，∴∠FEO=45°．故答案为：45°．16．（4.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为．【解答】解：如图所示不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），O（1，1，0），E（0，2，1），F（1，0，0）．∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，0，2）．∴===．∴异面直线OE和FD1所成角的余弦值为．故答案为：．三、解答题（17-21每小题12分，22题14分共计74分）17．（12.00分）已知函数f（x）=x3+mx的图象过点（1，5）．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性．【解答】解：（1）因为函数图象过点（1，5），所以1+m=5，即m=4．…（5分）（2）由（1）可得函数f（x）=x3+mx=x3+4x，因为f（﹣x）=（﹣x）3+4（﹣x）=﹣x3﹣4x=﹣（x3+4x）=﹣f（x），…（7分）即f（﹣x）=﹣f（x）成立，…..（9分）故f（x）为奇函数．…（10分）18．（12.00分）求满足下列条件的直线方程：（1）经过点（﹣2，1），且与y轴垂直；（2）过A（﹣4，0），B（0，6）两点．【解答】解：（1）∵经过点（﹣2，1），且与y轴垂直；∴斜率k=0，∴直线的方程为：y﹣1=0；（2）直线过A（﹣4，0），B（0，6）由两点式得，所以直线的方程为：3x﹣2y+12=0．19．（12.00分）已知直线l：kx﹣y﹣2k﹣1=0（k∈R）．（1）若直线l过定点P，求点P的坐标；（2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k的值．【解答】解：（1）kx﹣y﹣2k﹣1=0，化为y+1=k（x﹣2），∵k∈R，∴，解得．∴点P的坐标为（2，﹣1）．（2）当x=0时，y=﹣2k﹣1，当y=0时，，由题意得＞0，解得k=﹣1或（经检验不合题意舍去）．∴k=﹣1．20．（12.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分别为A1C1和BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．【解答】证明：（1）∵BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥BB1 又AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1而AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1（2）取AC的中点G，连结C1G、FG，∵F为BC的中点，∴FG∥AB又E为A1C1的中点∴C1E∥AG，且C1E=AG∴四边形AEC1G为平行四边形，∴AE∥C1G∴平面C1GF∥平面EAB，而C1F⊂平面C1GF，∴C1F∥平面EAB．21．（12.00分）已知边长为2的正方形SG₁G₂G₃，E，F分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，SG₂交EF于点D，现沿着线段SE，SF，EF翻折成四面体，使G₁，G₂，G₃重合于点G，则四面体S﹣EFG中有：（A）SD⊥平面EFG；（B）SG⊥平面EFG；（C）GF ⊥平面SGF；（D）GD⊥平面SEF．（1）画出四面体的草图，并在（A）（B）（C）（D）四个结论中选择你认为正确的结论，加以证明；（2）求四面体S﹣EFG的体积．【解答】解：（1）草图如图，选B，事实上，∵SG⊥GF，SG⊥GE，且GF∩GE=G，∴SG⊥平面EFG；（2）∵正方形SG₁G₂G₃的边长为2，且E，F分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，∴EG2=FG2=1，底面△GEF为等腰直角三角形，且由（1）知，SG为三棱锥S﹣EFG的高，SG=1，∴=××1×1×2=．∴四面体S﹣EFG的体积为．22．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．【解答】解：（1）∵△PCD中，E、F分别是线段PC、PD的中点，∴EF∥CD，又∵四边形ABCD为正方形，得AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．同理可证：EG∥平面PAB，∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面PAB∥平面EFG；（2）Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．证明如下取PB中点Q，连结DE、EQ、AQ，由于EQ∥BC∥AD，且AD、QE不相等，所以ADEQ为梯形，由PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，得AD⊥PD，∵AD⊥CD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PDC，∵PC⊂平面PDC，∴AD⊥PC，∵△PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，∴DE⊥PC，∵AD、DE是平面ADQ内的相交直线，∴PC⊥平面ADQ．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yxo x x2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）yxo如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2015-2016学年福建省莆田二十五中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C．D．5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α6．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30° B．45° C．60° D．75°7．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm38．已知数列{a n}的前n项和，则a n=（）A．B．C．D．9．若点P（x，y）满足线性约束条件，点，O为坐标原点，则•的最大值为（）A．0 B．3 C．﹣6 D．610．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．212．设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．14．当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是．15．若数列{a n}满足，则a n= ．16．f′（x）为定义在R上的函数f（x）的导函数，而y=3f'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的单调递增区间是．三、解答题（本大题共6题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求b，c．18．如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面都是正方形，D为底边AB中点，E为侧棱CC1中点，AB1与A1B交于点O．（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：平面AB1C⊥平面A1EB．19．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E 是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．四、（本小题满分10分）选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）【选修4-2：坐标系与参数方程】22．已知直线n的极坐标是pcos（θ+）=4，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．（2015•包头一模）设函数f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|（1）若a≥2，x∈R，证明：f（x）≥3；（2）若f（1）＜2，求a的取值范围．2015-2016学年福建省莆田二十五中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合C U A，再计算（C U A）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．【点评】本题主要考查了集合间的交，补混合运算，较为简单．2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数为a+bi （a、b∈R）的形式，可以确定z对应的点位于的象限．【解答】解：复数=故选C．【点评】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题．3．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．【解答】解：当a=﹣2时，l1：2x+y﹣3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=﹣2，或a=1，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．4．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角；单位向量．【专题】计算题．【分析】设与的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得•=﹣，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵|+|=1，∴（+）2=2+2•+2=1…（*）∵向量、均为单位向量，可得||=||=1∴代入（*）式，得1+2•+1=1=1，所以•=﹣根据向量数量积的定义，得||•||cosθ=﹣∴cosθ=﹣，结合θ∈[0，π]，得θ=故选C【点评】本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题．5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，γ与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β；在D中，n∥α或n⊂α．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故A错误；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故B错误；若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β，故C 正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积确定C的大小，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是4，3；高是3；其几何体的体积为：V=3×=90（cm3）．故选：B．【点评】本题考查三视图还原几何体，几何体的体积的求法，容易题．8．已知数列{a n}的前n项和，则a n=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知，结合递推公式可得，a n=S n﹣S n﹣1=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1（n＞1），即=，利用迭代法能求出an．【解答】解：∵S n=n2a n当n＞1时，S n﹣1=（n﹣1）2a n﹣1∴a n=S n﹣S n﹣1=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1（n2﹣1）a n=（n﹣1）2a n﹣1即=，∴a n=a1••…•=1××××…×==．故选B．【点评】本题主要考查由数列的递推公式a n=S n﹣S n﹣1求把和的递推转化为项的递推，及由即=，利用迭代法求解数列的通项公式，求解中要注意抵消后剩余的项是：分子，分母各剩余两项．9．若点P（x，y）满足线性约束条件，点，O为坐标原点，则•的最大值为（）A．0 B．3 C．﹣6 D．6【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设z=•，根据数量积的公式计算出z，作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．【解答】解：设z=•，则z=3x+y，即y=﹣x+，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+=3+3=6，故•的最大值为6，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据数量积的公式将条件化简，以及利用数形结合是解决本题的关键．10．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．2【考点】点到直线的距离公式．【专题】转化思想；导数的综合应用．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x ﹣2的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx，得y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，∴点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故选：C．【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想方法，是中档题．12．设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】转化函数的零点为方程的根，利用数形结合，推出3个零点满足的情况，利用函数的导数求出切线的斜率，推出结果即可．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，就是g（x）=f（x）﹣ax=0在区间（0，4）上有三个根，也就是f（x）=ax的根有3个，即两个函数y=f（x）与y=ax图象在区间（0，4）上的交点个数为3个．如图：由题意以及函数的图象可知函数有3个零点，直线y=ax过A，与l之间时，满足题意．A（4，lg4），k OA=．设l与y=lgx的切点为（t，f（t）），可得y′=，切线的斜率为： ==，即lgt=lge，t=e．可得切线l的斜率为：，a∈．故选：B．【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合转化思想的应用，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为﹣2 ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=，f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．14．当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是9 ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质、指数的运算法则即可得出．【解答】解：∵点（x，y）在直线x+3y=2上移动，∴x+3y=2，∴z=3x+27y+3≥+3=+3=+3=9，当且仅当x=3y=1时取等号．其最小值是9．故答案为：9．【点评】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算法则，属于基础题．15．若数列{a n}满足，则a n= ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件通过n=1与n＞1利用作商法求解即可．【解答】解：n=1时，a1=6，n≥2时，，…①=n2+n…②，可得=．a n=，故答案为：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，值域数列的首项，是易错点．16．f′（x）为定义在R上的函数f（x）的导函数，而y=3f'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的单调递增区间是（﹣∞，3] ．【考点】函数的图象．【专题】应用题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意知，欲求函数的增区间，由图象确定出函数导数为非负的区间就可以了，由于y=3f'（x）是一个指数型的函数，当指数大于0时函数值大于1，故由图象找出函数图象在直线y=1上面的那一部分的自变量的集合即为所求【解答】解：由题意如图f'（x）≥0的区间是（﹣∞，3），故函数y=f（x）的增区间（﹣∞，3），故答案为：（﹣∞，3]．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，由于函数的导数是指数型函数的指数，故可以借助指数函数的图象观察出导数非负的区间，此即为函数的递增区间．三、解答题（本大题共6题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求b，c．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；解三角形．【分析】（I）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，再由余弦定理求出cosA，从而确定A 的大小；（II）利用三角形的面积公式S=bcsinA得bc=16；再由余弦定理得b2+c2+bc=48，联立求出b、c．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得4bccosA=﹣2bc，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵sinA=，cosA=﹣，∴，a2=b2+c2﹣2bccosA⇔b2+c2+bc=48，⇒b=c=4，故b=4，c=4．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，结合题设条件，利用余弦定理求出角A的大小是解答本题的关键．18．如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面都是正方形，D为底边AB中点，E为侧棱CC1中点，AB1与A1B交于点O．（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：平面AB1C⊥平面A1EB．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）说明三棱柱为正三棱柱，连结OD，证明CD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明CD∥平面A1EB．（Ⅱ）证明AB1⊥平面A1EB，通过平面与平面垂直的判定定理证明平面A1EB⊥平面AB1C．【解答】证明：（Ⅰ）∵棱柱的每个侧面为正方形，∴⇒AA1⊥底面ABC，∴三棱柱为正三棱柱，连结OD，∵D为AB中点，O为对面线AB1，A1B交点，∴OD∥BB1，又E为CC1中点，∴EC∥BB1，OD∥EC，∴DCEO为平行四边形，CD∥EO，又CD⊄平面A1EB，EO⊂平面A1EB，∴CD∥平面A1EB．（Ⅱ）∵AB=AC=CB，∴CD⊥AB，又直棱柱侧面ABB1A1⊥底面ABC，∴CD⊥平面ABB1A1，CD⊥AB1，由（Ⅰ）CD∥EO，∴EO⊥AB1，又正方形中，A1B⊥AB1，EO∩A1B=O，EO、A1B⊂平面A1EB，∴AB1⊥平面A1EB，又AB1⊂平面AB1C，∴平面A1EB⊥平面AB1C．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力、逻辑推理能力．19．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）设数列{a n}的公差为d，由于a1+a7=﹣9，S9=﹣，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；（Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得S n=，于是b n=﹣=﹣，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明．【解答】（Ⅰ）解：设数列{a n}的公差为d，∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵S n==，∴b n==﹣=﹣，∴数列{b n}的前n项和为T n=﹣+…+==．∴T n＞﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E 是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．【考点】直线与平面平行的判定；棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）利用四棱锥的体积计算公式即可；（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（3）利用线面垂直的判定和性质即可证明．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA为此四棱锥底面上的高．∴V四棱锥P﹣ABCD==．（2）连接AC交BD于O，连接OE．∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，又∵AE=EP，∴OE∥PC．又∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE．∴PC∥平面BDE．（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵CE⊂平面PAC．∴BD⊥CE．【点评】熟练掌握线面平行、垂直的判定和性质定理及四棱锥的体积计算公式是解题的关键．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…（4分）令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分）（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分）当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…（11分）综上，a≥e﹣1…（12分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．四、（本小题满分10分）选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）【选修4-2：坐标系与参数方程】22．已知直线n的极坐标是pcos（θ+）=4，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）由ρcos（θ+）=4，展开为=4，利用即可得出；（2）圆A的（θ是参数）化为普通方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=2，圆心（1，﹣1），半径r=．利用点到直线的距离公式可得；圆心到直线n的距离d．即可得出圆A上的点到直线n上点距离的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）由ρcos（θ+）=4，展开为=4，化为x﹣y﹣8=0；（2）圆A的（θ是参数）化为普通方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=2，圆心（1，﹣1），半径r=．∴圆心到直线n的距离d==3．∴圆A上的点到直线n上点距离的最小值=d﹣r=2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】23．（2015•包头一模）设函数f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|（1）若a≥2，x∈R，证明：f（x）≥3；（2）若f（1）＜2，求a的取值范围．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【专题】综合题；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用绝对值不等式，即可证明结论；（2）分类讨论，利用f（1）＜2，求a的取值范围．【解答】（1）证明：f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|（x﹣1+a）﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|∵a≥2，∴|2a﹣1|≥3，∴f（x）≥3；（2）解：f（1）=|a|+|1﹣a|a≤0时，f（1）=|a|+|1﹣a|=1﹣2a∵f（1）＜2，∴1﹣2a＜2，∴a＞﹣，∴﹣＜a≤0；0＜a≤1时，f（1）=1＜2恒成立；a＞1时，f（1）=|a|+|1﹣a|=2a﹣1∵f（1）＜2，∴2a﹣1＜2，∴a＜，∴1＜a＜综上，a的取值范围是（﹣，）．【点评】本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2015-2016学年福建省莆田二十五中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C．D．5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α6．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30° B．45° C．60° D．75°7．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm38．已知数列{a n}的前n项和，则a n=（）A．B．C．D．9．若点P（x，y）满足线性约束条件，点，O为坐标原点，则•的最大值为（）A．0 B．3 C．﹣6 D．610．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．212．设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．14．当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是．15．若数列{a n}满足，则a n= ．16．f′（x）为定义在R上的函数f（x）的导函数，而y=3f'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的单调递增区间是．三、解答题（本大题共6题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求b，c．18．如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面都是正方形，D为底边AB中点，E为侧棱CC1中点，AB1与A1B交于点O．（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：平面AB1C⊥平面A1EB．19．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E 是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．四、（本小题满分10分）选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）【选修4-2：坐标系与参数方程】22．已知直线n的极坐标是pcos（θ+）=4，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．（2015•包头一模）设函数f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|（1）若a≥2，x∈R，证明：f（x）≥3；（2）若f（1）＜2，求a的取值范围．2015-2016学年福建省莆田二十五中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合C U A，再计算（C U A）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．【点评】本题主要考查了集合间的交，补混合运算，较为简单．2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数为a+bi （a、b∈R）的形式，可以确定z对应的点位于的象限．【解答】解：复数=故选C．【点评】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题．3．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．【解答】解：当a=﹣2时，l1：2x+y﹣3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=﹣2，或a=1，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．4．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角；单位向量．【专题】计算题．【分析】设与的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得•=﹣，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵|+|=1，∴（+）2=2+2•+2=1…（*）∵向量、均为单位向量，可得||=||=1∴代入（*）式，得1+2•+1=1=1，所以•=﹣根据向量数量积的定义，得||•||cosθ=﹣∴cosθ=﹣，结合θ∈[0，π]，得θ=故选C【点评】本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题．5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，γ与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β；在D中，n∥α或n⊂α．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故A错误；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故B错误；若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β，故C 正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积确定C的大小，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是4，3；高是3；其几何体的体积为：V=3×=90（cm3）．故选：B．【点评】本题考查三视图还原几何体，几何体的体积的求法，容易题．8．已知数列{a n}的前n项和，则a n=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知，结合递推公式可得，a n=S n﹣S n﹣1=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1（n＞1），即=，利用迭代法能求出an．【解答】解：∵S n=n2a n当n＞1时，S n﹣1=（n﹣1）2a n﹣1∴a n=S n﹣S n﹣1=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1（n2﹣1）a n=（n﹣1）2a n﹣1即=，∴a n=a1••…•=1××××…×==．故选B．【点评】本题主要考查由数列的递推公式a n=S n﹣S n﹣1求把和的递推转化为项的递推，及由即=，利用迭代法求解数列的通项公式，求解中要注意抵消后剩余的项是：分子，分母各剩余两项．9．若点P（x，y）满足线性约束条件，点，O为坐标原点，则•的最大值为（）A．0 B．3 C．﹣6 D．6【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设z=•，根据数量积的公式计算出z，作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．【解答】解：设z=•，则z=3x+y，即y=﹣x+，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+=3+3=6，故•的最大值为6，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据数量积的公式将条件化简，以及利用数形结合是解决本题的关键．10．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．2【考点】点到直线的距离公式．【专题】转化思想；导数的综合应用．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x ﹣2的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx，得y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，∴点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故选：C．【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想方法，是中档题．12．设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】转化函数的零点为方程的根，利用数形结合，推出3个零点满足的情况，利用函数的导数求出切线的斜率，推出结果即可．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，就是g（x）=f（x）﹣ax=0在区间（0，4）上有三个根，也就是f（x）=ax的根有3个，即两个函数y=f（x）与y=ax图象在区间（0，4）上的交点个数为3个．如图：由题意以及函数的图象可知函数有3个零点，直线y=ax过A，与l之间时，满足题意．A（4，lg4），k OA=．设l与y=lgx的切点为（t，f（t）），可得y′=，切线的斜率为： ==，即lgt=lge，t=e．可得切线l的斜率为：，a∈．故选：B．【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合转化思想的应用，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为﹣2 ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=，f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．14．当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是9 ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质、指数的运算法则即可得出．【解答】解：∵点（x，y）在直线x+3y=2上移动，∴x+3y=2，∴z=3x+27y+3≥+3=+3=+3=9，当且仅当x=3y=1时取等号．其最小值是9．故答案为：9．【点评】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算法则，属于基础题．15．若数列{a n}满足，则a n= ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件通过n=1与n＞1利用作商法求解即可．【解答】解：n=1时，a1=6，n≥2时，，…①=n2+n…②，可得=．a n=，故答案为：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，值域数列的首项，是易错点．16．f′（x）为定义在R上的函数f（x）的导函数，而y=3f'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的单调递增区间是（﹣∞，3] ．【考点】函数的图象．【专题】应用题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意知，欲求函数的增区间，由图象确定出函数导数为非负的区间就可以了，由于y=3f'（x）是一个指数型的函数，当指数大于0时函数值大于1，故由图象找出函数图象在直线y=1上面的那一部分的自变量的集合即为所求【解答】解：由题意如图f'（x）≥0的区间是（﹣∞，3），故函数y=f（x）的增区间（﹣∞，3），故答案为：（﹣∞，3]．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，由于函数的导数是指数型函数的指数，故可以借助指数函数的图象观察出导数非负的区间，此即为函数的递增区间．三、解答题（本大题共6题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求b，c．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；解三角形．【分析】（I）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，再由余弦定理求出cosA，从而确定A 的大小；（II）利用三角形的面积公式S=bcsinA得bc=16；再由余弦定理得b2+c2+bc=48，联立求出b、c．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得4bccosA=﹣2bc，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵sinA=，cosA=﹣，∴，a2=b2+c2﹣2bccosA⇔b2+c2+bc=48，⇒b=c=4，故b=4，c=4．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，结合题设条件，利用余弦定理求出角A的大小是解答本题的关键．18．如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面都是正方形，D为底边AB中点，E为侧棱CC1中点，AB1与A1B交于点O．（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：平面AB1C⊥平面A1EB．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）说明三棱柱为正三棱柱，连结OD，证明CD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明CD∥平面A1EB．（Ⅱ）证明AB1⊥平面A1EB，通过平面与平面垂直的判定定理证明平面A1EB⊥平面AB1C．【解答】证明：（Ⅰ）∵棱柱的每个侧面为正方形，∴⇒AA1⊥底面ABC，∴三棱柱为正三棱柱，连结OD，∵D为AB中点，O为对面线AB1，A1B交点，∴OD∥BB1，又E为CC1中点，∴EC∥BB1，OD∥EC，∴DCEO为平行四边形，CD∥EO，又CD⊄平面A1EB，EO⊂平面A1EB，∴CD∥平面A1EB．（Ⅱ）∵AB=AC=CB，∴CD⊥AB，又直棱柱侧面ABB1A1⊥底面ABC，∴CD⊥平面ABB1A1，CD⊥AB1，由（Ⅰ）CD∥EO，∴EO⊥AB1，又正方形中，A1B⊥AB1，EO∩A1B=O，EO、A1B⊂平面A1EB，∴AB1⊥平面A1EB，又AB1⊂平面AB1C，∴平面A1EB⊥平面AB1C．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力、逻辑推理能力．19．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）设数列{a n}的公差为d，由于a1+a7=﹣9，S9=﹣，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；（Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得S n=，于是b n=﹣=﹣，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明．【解答】（Ⅰ）解：设数列{a n}的公差为d，∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵S n==，∴b n==﹣=﹣，∴数列{b n}的前n项和为T n=﹣+…+==．∴T n＞﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E 是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．【考点】直线与平面平行的判定；棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）利用四棱锥的体积计算公式即可；（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（3）利用线面垂直的判定和性质即可证明．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA为此四棱锥底面上的高．∴V四棱锥P﹣ABCD==．（2）连接AC交BD于O，连接OE．∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，又∵AE=EP，∴OE∥PC．又∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE．∴PC∥平面BDE．（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵CE⊂平面PAC．∴BD⊥CE．【点评】熟练掌握线面平行、垂直的判定和性质定理及四棱锥的体积计算公式是解题的关键．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…（4分）令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分）（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分）当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…（11分）综上，a≥e﹣1…（12分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．四、（本小题满分10分）选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）【选修4-2：坐标系与参数方程】22．已知直线n的极坐标是pcos（θ+）=4，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）由ρcos（θ+）=4，展开为=4，利用即可得出；（2）圆A的（θ是参数）化为普通方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=2，圆心（1，﹣1），半径r=．利用点到直线的距离公式可得；圆心到直线n的距离d．即可得出圆A上的点到直线n上点距离的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）由ρcos（θ+）=4，展开为=4，化为x﹣y﹣8=0；（2）圆A的（θ是参数）化为普通方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=2，圆心（1，﹣1），半径r=．∴圆心到直线n的距离d==3．∴圆A上的点到直线n上点距离的最小值=d﹣r=2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】23．（2015•包头一模）设函数f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|（1）若a≥2，x∈R，证明：f（x）≥3；（2）若f（1）＜2，求a的取值范围．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【专题】综合题；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用绝对值不等式，即可证明结论；（2）分类讨论，利用f（1）＜2，求a的取值范围．【解答】（1）证明：f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|（x﹣1+a）﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|∵a≥2，∴|2a﹣1|≥3，∴f（x）≥3；（2）解：f（1）=|a|+|1﹣a|a≤0时，f（1）=|a|+|1﹣a|=1﹣2a∵f（1）＜2，∴1﹣2a＜2，∴a＞﹣，∴﹣＜a≤0；0＜a≤1时，f（1）=1＜2恒成立；a＞1时，f（1）=|a|+|1﹣a|=2a﹣1∵f（1）＜2，∴2a﹣1＜2，∴a＜，∴1＜a＜综上，a的取值范围是（﹣，）．【点评】本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2015-2016学年上学期高三数学月考二试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．复数(1)(z i i i =-+为虚数单位）在复平面内所对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()B C A R ⋂=（ ）A.(3,0)-B.(3,1]--C.(3,1)--D.(3,3)-3．以下说法错误的是 （ ） A.命题“若x 2-3x +2=0,则x =1”的逆否命题为“若x ≠1,则x 2-3x +2≠0”B.“x =1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件C.若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题D.若命题p :∃x 0∈R,使得20x +x 0+1<0,则﹁p :∀x ∈R,则x 2+x +1≥04. 设)cos ,21(),1,(sin x x ==,且//，则锐角x 为（ ） A ．3π B ． 4πC ．6π D ．12π5．函数2()ln(1)(0)f x x x x=+->的零点所在的大致区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2，e ) D ．(3,4)6. 函数()2sin f x x x =-的图象大致是（ ）7.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象( ) A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,=+==的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．90°D ． 60°9．实数a =0.3b =，0.3c =的大小关系正确的是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<10． 若函数ϕπϕ则上是增函数且在是奇函数,)4,0(,)2cos(2)(+=x x f 的一个值为（ ）A ．2π-B ．0C ．2π D ．π11．(2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为（ ）A．B ． 10C ．D ．212．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k=+有三个不同的实根，则实数k 的取值范是（ ） A ．111(1,][,)243-- B ．111[1,)(,]243--C ．111[,)(,1]342--D ．111(,][,1)342-- 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在,2ABC A AB ∆∠=中,=60,且ABC ∆的面积为2,则BC 的长为 . 14.已知135sin ,53)cos(-==-ββα且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈,则sin α= .15.函数()s i n()(0,0,||)2f x A x k A πωϕωϕ=++>><的图象如图所示，则()f x的表达式是()f x = .16. 图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，A C 两边分别交于M ，N 两点，且y x ==, ，则x ·yx ＋y 的值为 三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
莆田第二十五中—上学期月考试卷高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的) 1、下列正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2、若A=，B=，则A ∩B=（ ）A ．B ．C ．D ．R3、 正方体的内切球与其外接球的半径之比为（ ） A. 3B. 3C. 33D. 1∶94、 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为（） A ．B ．C ． D ．5、已知集合A 到B 的映射f:x →y=2x+1，那么集合A 中元素2在B 中对应的 元素是：( )A. 2B. 5C. 6D. 86、式子的值为 ( )A. B. C. D.7、已知函数f(x)的图象是连续不断的，x ，f(x)的对应值如下表：则函数f(x)A ．(－6，－2) B ．(1,2)C ．(2,3) D ．(3,5) 8、函数在区间上（2，4）上 （ ）A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D.先增后减2N -∈3Z ∈0φ⊆0φ={}1x x <{}2x x >-{}21x x -<<{}1x x <φ1:1:1:123482log 9log 32332232610y x x =-+9、 一梯形的直观图是一个如图所示的面积为2的等腰梯形，则原梯形的面积为( )A. 2B. 2C. 22D. 410、已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(12x x x x y 使得函数值为5的的值是：（ ） A ．2或-2 B. 2或-2.5 C. -2 D. 2或-2或-2.511、三个数23.0=a ，322,3.0log ==c b 之间的大小关系是（ ）A. a ﹤c ﹤bB. a ﹤b ﹤cC.b ﹤c ﹤aD.b ﹤a ﹤c 12、如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，，则该几何体的表面积为( ) A.36+ B.324+ C.24+23D.32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中的横线上）13、已知37222--<x x , 则x 的取值范围为。
