20.5(1)等腰梯形及其性质导学案

课题：等腰梯形的性质数学教案
课题：等腰梯形的性质数学教案
课题：等腰梯形的性质数学教案 2010-08-05 22:50:31 阅读7 评论0 字号：大中小订阅教学过程：一、学生自主探究：等腰梯形同一底上的两个角有什么关系？（学生先自己动手画图，进行测量、判断、猜想等，然后小组内交流）结论：等腰梯形同一底上的两个角相等。

这是本结论的合情推理过程。

对于几何命题来说，需要有严密的逻辑推理过程，也就是演绎推理过程，要求有理有据，符合逻辑。

二、师生共同探究：证明：等腰梯形同一底上的两个角相等。

引导学生回顾：等腰三角形的两个角相等。

全等三角形的对应角相等。

引导学生分析：可以把等腰梯形同一底上的两个角转化到等腰三角形的'两个角或者全等三角形的对应角当中。

引导学生找到方法：1、作一腰的平行线。

如：过点C作AD的平行线，交AB于点E。

将角A转化到三角形CEB中。

2、作两条高。

分别过点D、C作DE垂直于AB、CF垂直于AB，E、F分别为垂足。

将角A和角B转化到全等三角形DAE和CBF中。

由学生板书证明过程，完成后师生共同点评。

虽然等腰梯形的性质可以直接作为证明命题的依据，但是通过上述演绎推理过程，i 相信学生会更好的掌握此性质，运用起来会恰如其分，得心应手。

《等腰梯形》导学案学习目标：（1）能证明等腰梯形的性质定理和判定定理，会运用性质定理、判定定理进行计算和证明。

（2）发展分析问题和解决问题的能力，体会转化、类比的数学思想。

（3）通过对等腰梯形的探究，培养合作意识。

学习重点：等腰梯形的性质证明及应用。

学习难点：（1）等腰梯形的性质证明及应用。

（2）添加辅助线进行问题的转化。

学法指导：自主学习，合作探究基础案学习过程：知识探究一：等腰梯形的性质（一）思考：等腰梯形在同一底上的两个角有什么关系？你能证明你的结论吗？已知：如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC求证：∠B=∠C，∠A=∠D温馨提示：想一想（1）证明角相等的方法有哪些？（2）怎样将梯形转化为我们已学过的图形来解决问题？（比一比：看看哪组解决问题的方法多？）定理1：等腰梯形在同一底上的两个角（）一）定理应用1、如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=3，BC=5，∠C=600 ，则腰DC= （）变式训练：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=3，BC=5，腰DC=2，则∠B=（）2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=BC=6，AC⊥CD，则∠D=（），AD=（）D 二）思考：你能运用上面的定理来证明等腰梯形两条对角线相等吗？已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC求证：AC=BD证明：D C定理2：等腰梯形的两条对角线（）定理运用1、如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、ＢＤ相交于点Ｏ，则图中的ＤＣ全等三角形有（）对OＡＢ能力提升：（2010青岛中考题）梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC延长AB到E，使BE=CD求证：AC=CE探究案知识探究二：等腰梯形的判定证明：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C求证：梯形ABCD为等腰梯形温馨提示：能否类比定理1的证明方法来进行证明？ C定理应用：1、有两个角为700的梯形（）（填“是”或“不是”）等腰梯形2、如图，梯形ABDC 中，AC ∥BD ，AD=BC求证：梯形ABDC 为等腰梯形能力提升（2010北京中考）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=2 A D BC=4，求∠B 的度数及AC 的长巩固案1、 如图，等腰梯形ABCD 中，∠B=700，则∠C =（ ）∠A=（ ） ∠D= （ ）2、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=600AD=2，BC=8，则此等腰梯形周长为（ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22B C 3、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠C ，点E 是BC 边的中点求证：AE=DEC*活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm 2,则两条对角线所用竹条至少需要（ ）cm 。

等腰梯形的性质和判定一．学习目标：1．能证明等腰梯形的性质定理和判定定理，并能用之解决问题；2．经历证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径；3．感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法．二．学习重点：等腰梯形的性质和判定；学习难点：转化思想．以及正确的添加辅助线．三．教学过程（一）预习自学：我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形并探索得到等腰梯形的性质和判定，请你回忆等腰梯形的相关知识．1．等腰梯形定义：_______________________________的图形叫做等腰梯形．2．根据上图，我们得知了等腰梯形的一个性质：______________________________．同样我们也可以通过图①、图②得到这样的性质，你知道这些线是如何添加的吗？有何帮助？ 图①______________________________．图②______________________________．3．若按照图③________________________的添法，我们又能得到一个性质：________ _____．4．等腰梯形性质：①________ _____；②________ _____．5．等腰梯形的判定：________________________________________________ ________________________ （二）探索活动：1. 若等腰梯形的一个锐角为40°，则其他三个角的度数分别是________ _____．变式1：若等腰梯形两角之和为100°，则等腰梯形的四个角度数分别是________ _____． 思考：有两个内角．．相等的梯形是________ _____． ①通过“平移一腰．．．．”找寻等腰梯形的边角关系．已知等腰梯形的上底是4cm ，下底是10cm ，一个底角是60°，则腰长为______ __．变式1： 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝4，∠C ＝70°，∠B ＝40°，则AB 的长为______ ． 变式2：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝5，AD ＝2，BC ＝7，则∠B ＝_____ 变式3：如图2，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A ＋∠B =90°．若AB =10，AD =4，DC =5，则梯形ABCD 的面积为 ．②熟记一个常规的题型．图① 图② 图③ 的梯形．．是等腰梯形 图1 图2梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD =2，∠B =60°，则下底BC 的长是 .变式1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =CD . 若∠ABC =60°，BC =12，则梯形ABCD 的周长为 .变式2：如图2，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DB ⊥AD ，AD =DC =BC =2cm ，那么梯形ABCD 的面积是 ．变式3：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝60°．（1）求∠ABD 的度数；（2）若AD ＝2，求对角线BD 的长．变式4：如图4，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，∠ABD =30°，AC ⊥BC , AB ＝8cm ，则△COD 的面积为 ．（三）典型例题：③通过“平移对角线．．．．．”找寻梯形两条对角线与两底和关系． 如右图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC ＝6，BD ＝8．Ⅰ．AD ＋BC ＝ ．Ⅱ．梯形ABCD 的高＝ ．Ⅲ．S 梯形ABCD ＝ ．变式1．如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ．若CD ＝3，AB ＝5，则AC 的长为 ．变式2．如图2，在等腰梯形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC ＝6cm ，则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2. 变式3．如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF 等于 ．（四）课堂作业：A 组：1．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 延长线上一点，DE ＝BC ．（1）求证：∠E ＝∠DBC ； 图1 图2 图 3 图4图1 图2 图3 A B CD EDC BA （2）判断△ACE 的形状（不需要说明理由）．2．如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上的一个动点（点E 不于B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．（1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；（2）请将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明3．如图，是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为2的等边三角形，四边形ACDE 是等腰梯形，AC ∥ED ，∠EAC =60°，AE =1．（1）证明：△ABE ≌△CBD ；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM =MN =NC ，请证明此结论；（4）求线段BD 的长．4．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3cm ，BC =7cm ，∠B =60°，P 为下底BC 上一点(不与B 、C 重合)，连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE =∠B .（1）求证：△ABP ∽△PCE .（2）求等腰梯形的腰AB 的长.B 组：1将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状是 ．依据： ．2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC边的中点，EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分别为M、N且 EM=EN．求证：梯形ABCD是等腰梯形3．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/秒的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm/秒的速度向B运动，P、Q 分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，t 分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形、等腰梯形?5．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．。

等腰梯形的性质及证明教学目标：1. 理解等腰梯形的定义和性质。

2. 学会如何证明等腰梯形的性质。

3. 能够应用等腰梯形的性质解决实际问题。

教学重点：1. 等腰梯形的性质。

2. 等腰梯形的证明方法。

教学难点：1. 等腰梯形性质的理解和应用。

2. 证明方法的灵活运用。

教学准备：1. 课件或黑板。

2. 等腰梯形的相关图片或实物。

3. 证明工具，如直尺、三角板等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入等腰梯形的概念，展示等腰梯形的图片或实物。

2. 引导学生观察等腰梯形的特征，并提出问题：“等腰梯形有什么特殊的性质？”二、探索等腰梯形的性质（10分钟）1. 引导学生通过观察和动手操作，发现等腰梯形的性质。

三、证明等腰梯形的性质（10分钟）1. 引导学生运用证明工具，证明等腰梯形的性质。

2. 学生分组讨论和展示证明过程，教师进行指导和评价。

四、应用等腰梯形的性质解决问题（5分钟）1. 给出实际问题，引导学生应用等腰梯形的性质进行解决。

2. 学生展示解题过程，教师进行指导和评价。

教学延伸：1. 进一步研究等腰梯形的其他性质和证明方法。

2. 应用等腰梯形的性质解决更复杂的问题。

教学反思：本节课通过引导学生观察、操作、证明和应用等腰梯形的性质，让学生深入理解等腰梯形的特殊性质。

在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行指导和评价，确保学生能够掌握等腰梯形的性质和证明方法。

也要注重培养学生的观察能力、动手能力和解决问题的能力，提高学生的学习兴趣和效果。

六、等腰梯形面积的计算教学目标：1. 理解等腰梯形面积的计算方法。

2. 学会如何应用等腰梯形的性质来简化面积计算。

教学重点：1. 等腰梯形面积的计算方法。

2. 等腰梯形性质在面积计算中的应用。

教学难点：1. 等腰梯形面积计算方法的掌握。

2. 等腰梯形性质与面积计算的关联。

教学准备：1. 课件或黑板。

2. 等腰梯形的相关图片或实物。

3. 计算工具，如计算器或纸笔。

等腰梯形学案学习目标：1、认识梯形的定义并掌握梯形的相关判定并能证明等腰梯形的判定定理。

2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。

3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。

4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。

学习重点：等腰梯形的判定。

学习难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．学习过程：一、课前延伸；前面我们学过了梯形的定义与性质，你能说出它们来吗？试写在下面的空格中：；；。

二、课上探究：（一）自主学习：你能说出等腰梯形性质定理1的逆命题吗？。

（二）合作交流：你能证明你得到的命题是真命题吗？等腰梯形的判定：1、定理：是等腰梯形．2、定理的证明：已知：求证：（三）精讲点拨：要说明一个梯形是等腰梯形，我们要根据定义来证明，即：两腰相等。

本题可以从不同角度着手证明两腰相等：①②3、定理的书写格式：如图∵______________________________∴______________________________（四）巩固检测：典型示例：1、课本例2（自主探究后小组合作交流：我们还有其它的证明方法吗？试写在下面的空格中）归纳总结：通过例2，我们可以得到判定等腰梯形的又一种判定方法：。

如图梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，∠MBC=∠MCB 求证：四边形ABCD是等腰梯形；有效训练，巩固提高：1、四边形的四个内角的度数比是2∶3∶3∶4，则这个四边形是（）A.等腰梯形B.直角梯形C.平行四边形D.不能确定2、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，则S梯形ABCD是S△ABE的2倍吗？为什么？3、如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．ADCFEB（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当AB=CD时，求证：四边形ABCD是矩形．课堂小结1、我们今天学习了等腰梯形的哪几种判定？试写出来：。

等腰梯形的性质导学案组号： ___ 姓名：___ _____ 小组评价等级:__ ___ 教师评价等级:__ ___【学习目标】1、知道等腰梯形的概念；能证明并掌握等腰梯形的性质；2、会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算；3、通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，来解决实际问题。

【学习重难点】重点：等腰梯形的性质定理的证明。

难点：运用等腰梯形的性质来解决实际问题.学习过程：专题一：梯形相关知识回顾和等腰梯形的性质的猜想和论证.（一）知识回顾：1、梯形的定义1：一组对边，另一组对边的四边形叫做梯形。

∵AD BC AB DC∴四边形ABCD是梯形梯形的定义2：一组对边的四边形叫做梯形。

∵AD BC AD BC ∴四边形ABCD是梯形2、相关概念（如上图）：底：的两边叫做梯形的底。

较短的底叫做，较长的底叫做腰：的两边叫梯形的腰。

高：叫做梯形的高。

3、特殊的梯形:1、梯形 2、梯形（二）等腰梯形的性质探讨。

自已用纸制作一个等腰梯形，请你用手中的等腰梯形图片,探索等腰梯形有哪些性质？并用所学的知识论证所得到的结论是否正确？（1）已知：如图，在梯形ABCD中,AD∥BC ，（2）已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=DCAB=DC 求证：∠B= ∠C, ∠A= ∠D 求证：AC=BD★等腰梯形的性质总结：等腰梯形的性质1：___ 几何语言：∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠ = ∠∠= = ∠等腰梯形的性质2：___ 几何语言：∵四边形ABCD是等腰梯形∴ =☆对称性：等腰梯形是图形，有条对称轴,对称轴是专题二：等腰梯形性质的基本应用1、如图1,等腰梯形ABCD的两条对角线AC、BD相交与于点O，则图中等腰三角形有个。

2、如图2,在梯形ABCD中，如果AD∥BC,AB＝CD,∠B＝60°,AC⊥AB,那么∠ACD＝____,∠D＝____.3、如图3,在等腰梯形ABCD中，AD∥BC ，AB＝CD=AD=3，BC=6，则∠B＝4、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AB=８厘米，则∠C=____，∠D=_____CD=____厘米.专题三：能力提升5、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°BC=10,AD=4求AB的长。

等腰梯形的判定导学案一、目标：1、熟练掌握判定等腰梯形的常用方法，会运用；2、对梯形常用辅助线加深理解、运用。

二、学案过程：1直接引入：要说明一个四边形是否是等腰梯形，该具备哪些条件才能判断呢？ 2方法： （1）使用定义：两腰 的 形是等腰梯形。

条件：①是 形；②两腰数学描述：在ABCD 中，若AD BC ，AB CD ，则ABCD 为 。

（2）使用性质逆定理：同一底上两角 的 形是等腰梯形。

条件：①是 形；②同一底上两角数学描述：在ABCD 中，若AD BC ，∠ =∠ ，或∠ =∠ （两者取一） 则ABCD 为 。

对角线 的 形是等腰梯形。

条件：①是 形；②对角线数学描述：在ABCD 中，若AD BC ， = ，则ABCD 为 。

请用证明方法说明这两种方法的正确性。

归纳：3、运用：练习：（1）如图：梯形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC ，求证：ABCD 为等腰梯形A BC DA B C D A B C D A B C D E F（2）如图：四边形ABCD 中，∠B=∠C ，AB 与CD 不平行，且AB=CD ，求证：ABCD 为等腰梯形(3) 如图：正方形ABCD 中，对角线的交点为O ，E 是OB 上一点，DG ⊥AE 于G ，交OA 于F ，连接EF ，求证：EFAC 为等腰梯形阅读材料：1、梯形中位线：连结梯形两腰中点的线段叫梯形中位线。

2、性质猜想：梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半。

已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，M,N 分别为AB,，CD 中点求证：MN//BC ， )(21BC AD MN +=3、归纳 4运用：1．基本练习①已知梯形上底8厘米，下底为10厘米，则中位线为_____②已知梯形中位线长9厘米，一底长12厘米，则另一底为___________③等腰梯形中位线长6，腰为4，周长为____________④ DE 是三角形ABC 的中位线，FG 为梯形中位线，DE=4，则FG=__________性质拓展：中位线与梯形面积的关系（小组合作探究、交流、归纳）梯形面积=中位线长×高练习：已知EF 是梯形ABCD 的中位线，△DEF 的面积为4，则梯形ABCD 的面积是综合运用，相信自己：梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 与BD 垂直相交于O ，MN 是梯形中位线，∠DBC ＝30o ，猜想MN 与AC 什么关系？并证明猜想。