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线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的优化问题。
它的基本思想是在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或者最小值的最优解。
线性规划广泛应用于工业、经济、管理、运筹学等领域，对于决策问题的求解具有重要意义。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性等式或者不等式，用于限制决策变量的取值范围。
约束条件通常表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为常数，b₁、b₂、...、bₙ为常数，m为约束条件的个数。
3. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即x₁ ≥ 0，x₂≥ 0，...，xₙ ≥ 0。
三、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。
首先，将目标函数和约束条件转化为直线或者半平面的图形表示，然后通过图形的分析找到最优解的位置。
2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，单纯形法是一种常用的求解方法。
该方法通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解为止。
单纯形法的基本思想是从一个可行解出发，通过改变决策变量的取值逐步挨近最优解。
3. 整数规划：当决策变量的取值限制为整数时，称为整数规划。
整数规划是线性规划的一个特例，解决整数规划问题的方法包括分支定界法、割平面法等。
四、线性规划的应用案例1. 生产计划问题：假设某工厂生产两种产品，产品A和产品B，每天可用的资源有限。
产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为15元。
线性规划李建恩在现实生活以及工业生产中，我们会遇到各种各样的优化问题。
其实呢，很多优化问题都可以归类于规划问题，如线性规划、非线性规划、二次规划、整数规划、动态规划、多目标规划等等。
什么是优化问题，如何将问题最优化？今天，我给大家讲解的是线性规划，它属于规划类问题，是运筹学的一个重要分支。
什么是线性规划？1.1 实例与定义例 1 某工厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂应每天生产1x 台甲机床和2x 乙机床，此时总利润最大，则21,x x 应满足：(1)（目标函数）2134max x x z +=A B C 利润（千元/台）甲 2 1 0 4 乙 1 1 1 31087（2）s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x这里变量12,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
上述即为一规划问题数学模型的三个要素。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
线性规划问题简称LP （linear programming ）问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解效果。
而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
线性规划的图解法2134maxx x z += ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x246810012345678910x2=72x1+x2=10x1+x2=8z=12(2,6)图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。
线性规划教案一、引言线性规划是运筹学中的一种优化问题求解方法，它可以用来解决多种实际问题，如生产计划、资源分配、投资决策等。
本教案旨在介绍线性规划的基本概念、求解方法和应用案例，帮助学生理解和掌握线性规划的原理和应用。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行解等。
2. 掌握线性规划的求解方法，包括图形法、单纯形法等。
3. 能够应用线性规划解决实际问题，如生产计划、资源分配等。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
三、教学内容1. 线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
1.2 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
1.3 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
2. 线性规划的图形法2.1 二元线性规划的图形解法：通过绘制目标函数和约束条件的图形，确定最优解的方法。
2.2 三元或多元线性规划的图形解法：通过绘制等高线图，确定最优解的方法。
3. 线性规划的单纯形法3.1 单纯形表格法：通过构造单纯形表格，通过迭代计算找到最优解的方法。
3.2 单纯形法的基本步骤：初始化、选择主元、计算新的单纯形表格、迭代计算等。
4. 线性规划的应用案例4.1 生产计划问题：如何安排生产计划，使得利润最大化。
4.2 资源分配问题：如何合理分配资源，满足各项需求。
4.3 投资决策问题：如何选择最佳投资组合，最大化收益。
（可以根据实际情况增加或修改案例内容）四、教学方法1. 讲授法：通过讲解线性规划的基本概念和求解方法，帮助学生理解和掌握知识点。
2. 实例演示法：通过具体的应用案例，演示线性规划的解题过程，培养学生的应用能力。
3. 讨论互动法：引导学生参与讨论，思考问题，提高学生的思维能力和合作能力。
4. 练习和作业：布置练习和作业，巩固学生的知识和技能。
五、教学评估1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度和表达能力。
线性规划讲义一、引言线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、问题形式化、求解方法以及应用领域。
二、线性规划的基本概念1. 线性规划定义线性规划是一种在给定的约束条件下，求解线性目标函数的最优解的数学问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的。
2. 线性规划的数学模型线性规划可以用数学模型来表示，一般形式为：最大化（或最小化）目标函数约束条件：线性规划的目标函数和约束条件可以包含多个变量和多个约束条件。
3. 线性规划的基本假设线性规划的求解过程基于以下假设：- 可行解存在：问题存在满足约束条件的解。
- 目标函数有界：问题存在有限的最优解。
- 线性关系：目标函数和约束条件都是线性的。
三、线性规划的问题形式化1. 目标函数的确定线性规划的目标函数可以是最大化或最小化某个特定的指标，如利润最大化、成本最小化等。
2. 约束条件的确定约束条件是限制问题解的条件，可以包括等式约束和不等式约束。
约束条件可以来自于问题的实际限制，如资源的有限性、技术要求等。
3. 决策变量的确定决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
决策变量的选择应该与问题的实际需求相匹配。
四、线性规划的求解方法1. 图解法图解法是线性规划求解的一种直观方法，通过绘制约束条件的图形和目标函数的等高线，找到目标函数取得最大（或最小）值的点。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的线性规划求解算法，它通过迭代计算，逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是通过不断地移动到更优的解，直到找到最优解。
3. 整数规划的分支定界法整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量的取值为整数。
分支定界法是一种用于求解整数规划的方法，它通过将问题分解为多个子问题，并逐步缩小解空间，最终找到最优解。
五、线性规划的应用领域线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：- 生产计划与调度- 运输与物流管理- 金融投资组合优化- 能源调度与优化- 供应链管理等六、总结线性规划是一种重要的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。
第4讲 不等式及线性规划【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题．1． 四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx ＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)简单分式不等式的解法①变形⇒f x g x>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； ②变形⇒f x g x≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)简单指数不等式的解法①当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；②当0<a<1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)．(4)简单对数不等式的解法①当a>1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；②当0<a<1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0.2． 五个重要不等式(1)|a|≥0，a2≥0(a ∈R)．(2)a2＋b2≥2ab(a 、b ∈R)．(3)a ＋b 2≥ab(a>0，b>0)． (4)ab≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)． (5) a2＋b22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b(a>0，b>0)． 3． 二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．4． 两个常用结论(1)ax2＋bx ＋c>0(a≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，Δ<0. (2)ax2＋bx ＋c<0(a≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.考点一 一元二次不等式的解法例1 (2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案 9解析 由题意知f(x)＝x2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b －a24＝0，即b ＝a24. ∴f(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f(x)<c.∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ， 即－a 2－c<x<－a 2＋ c. ∴⎩⎨⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知关于x 的一元二次不等式ax2＋2x ＋b>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x≠－1a ，则a2＋b2＋7a －b(其中a>b)的最小值为________． (2)设命题p ：{x|0≤2x －1≤1}，命题q ：{x|x2－(2k ＋1)x ＋k(k ＋1)≤0}，若p 是q 的充 分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________．答案 (1)6 (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)由题意知a>0且Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，则由a>b 得a －b>0.故a2＋b2＋7a －b ＝ a －b 2＋2ab ＋7a －b ＝a －b ＋9a －b ≥29＝6， 当且仅当a －b ＝3时取“＝”．(2)p ：{x|12≤x≤1}，q ：{x|k≤x≤k ＋1}， 由p ⇒q 且qD ⇒/p ，则⎩⎪⎨⎪⎧ k≤121<k ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧k<121≤k ＋1，∴0≤k≤12，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 考点二 利用基本不等式求最值问题例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．(2)设x ，y 为实数，若4x2＋y2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．答案 (1)5 (2)2105解析 (1)∵x>0，y>0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12y x＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.(2)方法一 ∵4x2＋y2＋xy ＝1，∴(2x ＋y)2－3xy ＝1，即(2x ＋y)2－32·2xy ＝1， ∴(2x ＋y)2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y)2≤85， 即2x ＋y≤2105. 等号当且仅当2x ＝y>0，即x ＝1010，y ＝105时成立． 方法二 令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x2＋y2＋xy ＝1，得6x2－3tx ＋t2－1＝0，由于x 是实数，故Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，解得t2≤85， 即－2105≤t≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值，为2105. 方法三 化已知4x2＋y2＋xy ＝1为⎝⎛⎭⎫2x ＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫154y 2＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．(1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．。
