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初中数学教案二次函数的性质与变化规律一、二次函数的定义和基本性质二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
这里我们将探讨二次函数的一些基本性质和变化规律。
1. 函数图像二次函数的图像一般为抛物线，开口的方向取决于 a 的正负。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 零点二次函数的零点对应于方程 y = ax^2 + bx + c 的根。
利用求根公式可以求得零点的坐标。
若 b^2 - 4ac > 0，则函数有两个不相等的实根；若 b^2 - 4ac = 0，则函数有一个实根；若 b^2 - 4ac < 0，则函数无实根。
3. 对称轴对称轴是指二次函数抛物线的中心线，可以通过求抛物线的对称轴方程来得到。
对称轴的方程为 x = -b / (2a)，它垂直于 x 轴，将抛物线分成两个对称的部分。
二、二次函数的变化规律1. 参数 a 的变化当a > 0 时，二次函数的图像开口向上，当a 的绝对值越大时，抛物线越窄；当 a < 0 时，二次函数的图像开口向下，当 a 的绝对值越大时，抛物线越宽。
不论 a 是正数还是负数，当 a 的值接近于 0 时，函数的图像会变得平缓。
2. 参数 b 的变化参数 b 决定了抛物线的位置。
当 b > 0 时，抛物线的顶点在 y轴右侧；当 b < 0 时，抛物线的顶点在 y 轴左侧。
当 b 的绝对值越大时，抛物线的顶点越远离 y 轴。
3. 参数 c 的变化参数 c 决定了抛物线与 y 轴的交点和函数图像与 x 轴的交点。
当 c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在原点的上方；当 c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在原点的下方。
当 c 的绝对值越大时，抛物线与 y 轴的交点越远离原点，同时函数图像与 x 轴的交点也会相应改变。
关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。
误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。
九年级数学上册二次函数教案模板优秀8篇二次函数教案篇一一、由实际问题探索二次函数某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(1) 问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些因变量(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。
果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量y=(100+z)(6005x)=-5x2+100x+ 60000.二、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多？我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况。
你能根据表格中的数据作出猜测吗 ?自己试一试。
x/棵y/个三。
做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。
也就是说，利率是一个变量。
在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的。
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。
如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).四、二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为零。
例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数。
我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2，圆面积s与半径r的关系s=Try2等也都是二次函数的例子。
随堂练习1.下列函数中(x,t是自变量)，哪些是二次函数？y=- +3x.y= x-x+25,y=2 + 2x,s=1+t+5t2.圆的半径是l㎝，假设半径增加x㎝时，圆的面积增加y㎝.(1)写出y与x之间的关系表达式；(2)当圆的半径分别增加lcm、㎝、2㎝时，圆的面积增加多少？五、课时小结1. 经历探索和表示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义及一般形式。
二次函数数学活动教案（热门16篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中数学教案二次函数初中数学教案 - 二次函数引言：二次函数是数学中的重要概念之一，它在代数学、几何学以及实际问题中都有广泛的应用。
本教案将围绕着二次函数的基本概念、图像以及相关性质展开，以帮助初中学生全面理解和掌握二次函数的知识。
一、二次函数的定义与特点二次函数可以定义为一般形式为f(x) = ax²+ bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
首先，我们来了解二次函数的基本特点：1. 当二次函数的二次项系数a > 0时，其对应的图像开口朝上；当a < 0时，图像开口朝下。
2. 二次函数的平坦度与二次项系数a的绝对值大小相关，即a的绝对值越大，图像越平缓，而a的绝对值越小，图像越陡峭。
3. 二次函数的图像关于对称轴x = -b/2a对称。
4. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中x = -b/2a是对称轴的横坐标。
二、二次函数的图像绘制与性质研究1. 图像绘制为了更好地理解二次函数的图像特点，我们可以通过以下步骤绘制二次函数的图像：Step 1：计算出对称轴的横坐标x = -b/2a。
Step 2：选取几个x值，计算对应的y值，得到一些坐标点。
Step 3：根据坐标点绘制二次函数的曲线。
2. 最值与零点通过观察二次函数的图像，我们可以发现：（1）当a > 0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a < 0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
（2）二次函数的零点是指函数曲线与x轴相交的点，可以通过解方程ax² + bx + c = 0求得。
三、二次函数的应用场景二次函数在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 抛物线的建模抛物线可以用二次函数来模拟，例如抛物线的运动轨迹、跳水运动员的运动轨迹等。
2. 面积与周长优化在给定周长的情况下，如何使得图形的面积达到最大或最小？这种问题可以通过建立二次函数来解决。
《二次函数》的复习教学设计数学《二次函数》优秀教案篇一一、教材分析本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像的基础上对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质进行研究。
主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)转化，体会知识之间在内的联系。
在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a0和a0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质。
二、学情分析本节课前，学生已经探究过二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质，面对一般式向顶点式的转化，让学上体会化归思想，分析这两个式子的区别。
三、教学目标（一）知识与能力目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程；2、能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，从而确定开口方向、顶点坐标和对称轴。
（二）过程与方法目标通过思考、探究、化归、尝试等过程，让学生从中体会探索新知的方式和方法。
（三）情感态度与价值观目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程，渗透配方和化归的思想方法；2、在运用二次函数的知识解决问题的过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣并获得成功的体验。
四、教学重难点1、重点通过配方求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。
2、难点二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的性质。
五、教学策略与设计说明本节课主要渗透类比、化归数学思想。
对比一般式和顶点式的区别和联系；体会式子的恒等变形的重要意义。
六、教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）（一)提出问题(约1分钟）教师活动：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么？那么对于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标和对称轴又怎样呢？图像又如何？学生活动：学生快速回答出第一个问题，第二个问题引起学生的思考。
初中数学教案二次函数的图像与性质教案教学目标：1. 熟练掌握二次函数的概念和基本性质；2. 能够准确绘制二次函数的图像；3. 理解二次函数图像的平移、伸缩和翻转变化。
前置知识：1. 熟练掌握一元二次方程的解法；2. 了解坐标系及其基本概念；3. 理解函数的概念和函数图像的基本特征。
教学过程：一、导入（5分钟）为了引起学生的兴趣，教师可以提出以下问题：什么是函数？你能举出一些例子吗？请简要解释一下函数的特点。
二、概念讲解（15分钟）1. 二次函数的定义二次函数是指形如 f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中a ≠ 0。
2. 二次函数的图像特征a) 抛物线的开口方向与 a 的正负相关，当 a > 0 时，抛物线开口向上，当 a < 0 时，抛物线开口向下；b) 顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))；c) 对称轴的方程为 x = -b/2a。
三、图像绘制（25分钟）1. 绘制基本二次函数 y = x²由于 a = 1，b = 0，c = 0，教师可以引导学生逐点绘制函数图像，并强调顶点和对称轴的位置。
2. 变化一：改变 a 的值教师可以指导学生通过改变a 的值，观察抛物线开口的变化。
例如：若 a > 1，抛物线会变窄；若 0 < a < 1，抛物线会变宽。
3. 变化二：改变 b 的值教师可以指导学生通过改变b 的值，观察抛物线的位置变化。
例如：若 b > 0，抛物线会向左平移；若 b < 0，抛物线会向右平移。
4. 变化三：改变 c 的值教师可以指导学生通过改变 c 的值，观察抛物线的顶点高低变化。
例如：若 c > 0，抛物线的顶点会上移；若 c < 0，抛物线的顶点会下移。
四、图像分析（25分钟）1. 零点与解（交点与解的关系）引导学生通过观察二次函数图像，理解零点表示函数与 x 轴的交点，而解则代表对应的一元二次方程的解。
初中数学《二次函数》教案一、教学目标1. 知识目标：了解二次函数的定义、性质和图像特征；掌握二次函数的标准形式及其图像的绘制方法；能够解决与二次函数相关的实际问题。
2. 能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力；培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和热爱，激发他们学习数学的积极性。
二、教学重难点1. 教学重点：掌握二次函数的基本概念、标准形式和图像特征；能够解决与二次函数相关的实际问题。
2. 教学难点：能够灵活应用二次函数的性质和图像特征解决实际问题。
三、教学过程1. 导入（5分钟）通过引入一个实际问题，让学生了解二次函数在现实生活中的应用，激发学生的兴趣和思考。
2. 概念讲解与达标检测（15分钟）2.1 二次函数的定义和性质：引导学生回忆一次函数的定义和性质，然后引入二次函数的概念和特点。
2.2 二次函数的标准形式：介绍二次函数的标准形式以及如何将一般形式转化为标准形式。
2.3 二次函数的图像特征：讲解二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标和对称轴。
3. 图像绘制与类型判断（25分钟）3.1 图像绘制方法：通过讲解关于图像绘制的步骤和技巧，引导学生掌握如何绘制二次函数的图像。
3.2 类型判断：介绍如何通过二次函数的系数判断其图像的开口方向和类型。
4. 实例分析与解题练习（30分钟）4.1 实例分析：通过提供一些实例，引导学生分析实际问题，找到与二次函数相关的数学模型。
4.2 解题练习：设计一些练习题，让学生运用所学知识解决实际问题，培养他们的问题解决能力。
5. 拓展与归纳总结（10分钟）引导学生进一步思考，拓展二次函数的应用领域，以及如何综合运用所学知识解决更复杂的问题。
然后对本节课的重要内容进行归纳总结。
四、课堂作业布置一些练习题，既巩固学生对二次函数的理解，又锻炼他们的解题能力。
五、教学反思本节课通过引入实际问题、概念讲解、图像绘制、实例分析等多种教学方法，使学生对二次函数的定义、性质和图像有了初步的了解。
数学《二次函数》优秀教案数学《二次函数》优秀教案（精选8篇）作为一无名无私奉献的教育工作者，就不得不需要编写教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。
优秀的教案都具备一些什么特点呢？下面是小编收集整理的数学《二次函数》优秀教案，仅供参考，欢迎大家阅读。
数学《二次函数》优秀教案篇1教学目标（一）教学知识点1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
2、进一步发展估算能力。
（二）能力训练要求1、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
2、利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想。
（三）情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
教学重点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学方法学生合作交流学习法。
教具准备投影片三张第一张：（记作§2.8.2A）第二张：（记作§2.8.2B）第三张：（记作§2.8.2C）教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可。
但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算。
本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根。
数学《二次函数》优秀教案篇2一.学习目标1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。
2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
初中数学二次函数说课教案本节课主要教学二次函数的图像和性质。
通过学习，使学生掌握二次函数的图像特点，了解二次函数的顶点、对称轴、开口方向等性质，并能运用这些性质解决实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能：学生能理解二次函数的图像和性质，学会如何判断二次函数的开口方向、对称轴和顶点位置。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现二次函数的图像和性质之间的关系，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
三、教学重点与难点1. 教学重点：二次函数的图像和性质。
2. 教学难点：如何引导学生发现二次函数的图像和性质之间的关系。
四、教学方法采用讲解法、演示法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
五、教学过程1. 导入新课通过复习一次函数和正比例函数的图像和性质，引出二次函数的图像和性质，激发学生的学习兴趣。
2. 自主探究让学生通过观察二次函数的图像，总结二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点等。
3. 讲解与演示教师讲解二次函数的图像和性质，并通过多媒体演示二次函数的图像变化，使学生更直观地理解二次函数的性质。
4. 小组讨论学生分组讨论如何运用二次函数的性质解决实际问题，如判断二次函数的开口方向、对称轴等。
5. 巩固练习布置一些有关二次函数的练习题，让学生运用所学的知识解决问题，巩固所学内容。
6. 总结与反思让学生总结本节课所学的内容，反思自己的学习过程，提高学生的自我认知能力。
六、课后作业布置一些有关二次函数的课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
通过以上教学设计，相信学生能更好地理解和掌握二次函数的图像和性质，提高学生的数学素养。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
6.1 二次函数（1）教学目标：（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
（2）注重学生参及，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯重点难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学过程：一、试一试1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x 的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。
对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。
形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。
对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1．商品的利润及售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?[(10－8－x)；(100＋100x)]4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y及x的函数关系式。
[y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)]将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：y=－2x2＋20x (0＜x＜10)……………………………(1)将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2)……………………(2)三、观察；概括1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?(各有1个)(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?(分别是二次多项式)(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?(都是用自变量的二次多项式来表示的)(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。
2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项． 四、课堂练习1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x ＋1 (2)y=4x2－1(3)y=2x3－3x2 (4)y=5x4－3x ＋1 2．P3练习第1，2题。
五、小结1．请叙述二次函数的定义．2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。
六、作业：略6.2 二次函数的图象及性质（1）[教学目标]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [教学过程] [新课引入]我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数x y 3=的图象y=的图象是什么分别是、，那么二次函数2x呢？y=的图象前，想一想，列表时如何合（1）描点法画函数2x理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？y=的图象，你能得出什么结论？（2）观察函数2x[例题精讲]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）2=y-2xy=（2）22x解列表分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：2y=的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，2x在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾及反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x的增大而增大． （1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解 （1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ， 解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内．解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． 列表：C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾及反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y =2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；（2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．6．2 二次函数的图象及性质（2）[教学目标]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [教学过程] [例题精讲]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =及222+=x y 的图象． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾及反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 222+=x y…20104241020…置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =及222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 及12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示． 可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的．回顾及反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？回顾及反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．6．2 二次函数的图象及性质（3）[教学目标]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [教学过程] [新课引入]我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ [例题精讲]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．回顾及反思对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=及2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y的顶点坐标为（-2，0）．因此，抛物线23x y -=及2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的．回顾及反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．6．2 二次函数的图象及性质（4）[教学目标]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律； 2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [教学过程] [新课引入]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？[例题精讲]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示． 它们的开口方向都向，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾及反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移及x… -3-2 -10 12 3 (22)1x y = (2)9 221 021 229 … 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…平移的顺序无关．探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．⎩⎨⎧=-=148c b[当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ）A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．6．2 二次函数的图象及性质（5）[教学目标]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标； 2．会利用对称性画出二次函数的图象． [教学过程] [新课引入]我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[例题精讲]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图． 解 6422++-=x x y[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：x… -2 -1 0 1 2 34…6422++-=x x y … -10 0 6 8 6 0 -10 …描点、连线，如图26．2．7所示．回顾及反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0．解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ． 当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ， 解得 2-=a ．当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ， 解得 4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？6.3 用函数的观点看一元二次方程（1）教学目标：1．通过探索，使学生理解二次函数及一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
