高二第一学期数学试题

高二数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线近似地刻画其相关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）A ．线性相关关系较强，的值为3.25B ．线性相关关系较强，的值为0.83C ．线性相关关系较强，的值为-0.87 D．线性相关关系太弱，无研究价值 2.已知函数在上满足，则曲线在处的切线方程是( )A ．B ．C ．D ．3.关于复数，给出下列判断： ①；②；③；④.其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.直线被圆截得的弦长等于（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知函数的导数为，（）A． B． C． D．6.7.设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（）A． B． C． D．8.已知实数、满足约束条件,则的最大值为( ) A．24 B．20 C．16 D．129.设满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）A． B． C． D．10.设，，则是成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于。

A． B． C． D．12.已知等差数列的公差为，且成等比数列，则等于（）A．-4 B．-6 C．-8 D．813.下列命题中，真命题是（）A．B．C．的充要条件是D．是的充分条件14..已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,f(x)=a x×g(x)，(a>0且a¹1),,在有穷数列{}(n=1,2,¼,10)中,任取正整数k(1£k£10),则数列{}前k项和大于的概率是( )A． B． C． D．15.函数的图象在点处的切线的斜率等于（）A． B．1 C． D．16.设等差数列的前项和为，若，则（）A．63B．45C．36D．2717.设，，则的大小关系（）A． B． C． D．18.若a，b在区间［0，］上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是()A． B． C． D．1-19.“有些指数函数是减函数，是指数函数，所以是减函数”上述推理（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．以上都不是20.（）A． B． C． D．二、填空题21.设n 为正整数，f (n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)> ，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_________________．22.若函数存在有零点，则m的取值范围是__________；23.200辆汽车经过某一雷达测速地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于的汽车数量为_________.24.已知数列的前项和，则数列的通项公式为___________.25.下列几个命题：①方程有一个正实根，一个负实根，则；②和表示相同函数;③ 函数是非奇非偶函数; ④方程有两解，则其中正确的有___________________. 26. 双曲线上的点P 到点（5，0）的距离为8．5，则点P 到左准线的距离为___ ____．27.函数的图象如图2所示，则。

高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知变量和满足关系，变量与正相关.下列结论中正确的是（ ）A ．与正相关，与负相关B ．与正相关，与正相关C ．与负相关，与负相关D ．与负相关，与正相关2..若椭圆交于A ，B 两点,过原点与线段AB中点的连线的斜率为，则的值是( )3.关于空间两条直线、与平面，下列命题正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，则 C ．，则 D ．若则4. 抛物线的准线方程是A ．B ．C ．D ．5.如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A ．B ．C ．D ．6.已知在R上开导，且，若，则不等式的解集为（）A． B． C． D．7.函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8.若，则下列结论一定正确的是A． B． C． D．9.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A．B．C．D．10.下表是之间的一组数据，则的线性回归直线必过点A．B．C．D．11.已知函数，则（）A．32 B．16 C． D．12.给出函数的一条性质：“存在常数，使得对于定义域中的一切实数均成立”，则下列函数中具有这条性质的函数是（）A． B． C． D．13.已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于A．4 B．3 C．2 D．14.下列命题中错误的是A．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面D．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面15.如右图的流程图，若输出的结果，则判断框中应填A． B． C． D．16.已知直线与椭圆相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A． B． C． D．217.已知各项为正数的等比数列中，，，则等于（）A．B．7C．6D．18.用数学归纳法证明由到时，不等式左边应添加的项是（）A．B．C．D．19.a,b,c成等比数列是b=的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件20.现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（）A．1 m B．1.5 m C．0.75 m D．0.5 m二、填空题21.对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是；22.已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是________(填所有真命题的序号)．①(¬p)∨q；②p∧q；③p∨q；④(¬p)∨(¬q)．23.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________．24.设f(x)是定义在R上的函数.且满足，如果25.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为________．26.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 *** .（用数字回答）K^S*5U.C#O27.已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为 cm3．28.如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有种.29.已知有限集．如果中元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，且是“复活集”，则；③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复合集”有且只有一个，且．其中正确的结论是．（填上你认为所有正确的结论序号）．30.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则直线的倾斜角。

一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误； 对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（ ） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（ ）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（ ）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（ ）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（ ）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（ ） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（ ）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时， 取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（ ） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。

顺义2023-2024学年度第一学期高二年级10月考试数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一.单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知向量()1,2,1a = ，()1,0,4b =- ，则2a b +=（）A.()1,2,9- B.()1,4,5- C.()1,2,7- D.()1,4,9【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解.【详解】∵()1,2,1a =，()1,0,4b =- ∴()21,2,9a b +=-故选：A.2.空间四边形ABCD 中，AB a = ，BC b =，AD c =uuu r r，则CD等于（）A.a b c +-B.c a b--C.a b c-- D.b a c-+【答案】B 【解析】【分析】根据向量的三角形法则，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算，可得()CD BD BC AD AB BC a b c =-=--=--+.故选：B.3.已知空间向量(,1,2),(,1,1)a b λλ=-= ，则“1λ=”是“a b ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当1λ=时，(1,1,2),(1,1,1)a b =-= ，所以0a b ⋅= ，即a b ⊥，故充分；当a b ⊥时，0a b ⋅= ，即2120λ+-=解得1λ=±，故不必要；故选：A【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及空间向量的数量积运算，属于基础题.4.已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-=，且//a b，那么||b =（）A. B.6C.9D.18【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设b ka =，即(3，x ，)(1y k =-，2，1)，分析可得x 、y 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，向量(1a =- ，2，1)，(3b = ，x ，)y ，且//a b ，则设b ka =，即(3，x ，)(1y k =-，2，1)，则有3k =-，则6x =-，3y =-，则(3b = ，6-，3)-，故||b =故选：A ．5.已知{},,a b c 是空间的一个基底，在下列向量中，与向量a b + ，a b -一定可以构成空间的另一个基底的是（）A.aB.bC.cD.23a b- 【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.【详解】解：对于A 选项，()()1122a ab a b =++-，故不能构成空间的另一个基底；对于B 选项，()()1122b a b a b =+--，故不能构成空间的另一个基底；对于C 选项，不存在,R x y ∈使得()()c x a b y a b =++-成立，故能构成空间的另一个基底；对于D 选项，假设存在,R x y ∈使得()()23a b x a b y a b -=++- ，则23x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()()152322a b a b a b -=-++-，故不能构成空间的另一个基底；故选：C6.在空间直角坐标系中，点(2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点为B ，则OA OB ⋅=A.10-B.10C.12- D.12【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据点 (2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点(2,1,3)B ，求得,OA OB的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.【详解】由题意，空间直角坐标系中，点(2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点(2,1,3)B ，所以 =(2,1,3),(2,1,3)OA OB -= ,则22(1)13312OA OB ⋅=⨯+-⨯+⨯=，故选D.【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A.()1,1- B.()(),11,∞∞--⋃+C.[]1,1- D.][(),11,∞∞--⋃+【答案】D 【解析】【详解】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031---=﹣1，PB 的斜率为2031--=1，∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.8.正方体不在同一表面上的两顶点()1,2,1A --，()3,2,3B -，则正方体的体积是（）A.4B.C.64D.【答案】C 【解析】【分析】先根据题意可知AB 是正方体的体对角线，利用空间两点的距离公式求出AB ，再根据正方体的棱长求出体积．【详解】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点()1,2,1A --，()3,2,3B -，∴AB 是正方体的体对角线，AB ==，∴正方体的棱长为4，正方体的体积为64．故选：C ．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD =，则BE = （）A.131222a b c -+ B.111222a b c ++C.131222a b c--+ D.113222a b c--+ 【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD =，所以()()111222BE BP BD PB BA BC =+=-++()()111111222222PB BA BC PB PA PB PC PB=-++=-+-+-131131222222PA PB PC a b c =-+=-+．故选：A ．10.在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为线段AC 的中点，点E 在线段11A C 上，则直线OE 与平面11A BC 所成角的正弦值的范围是（）A.33,43⎣⎦B.23,33⎣⎦C.11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,32⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B【解析】【分析】设正方体边长为2，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，后由空间向量知识可得OE 与平面11A BC 所成角的正弦值的表达式，即可得答案.【详解】设正方体边长为2，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系.则()()()()()110,0,0,2,0,2,0,2,2,2,2,0,1,1,0D A C B O .因点E 在线段11A C 上，设111A E A C λ=，[]0,1λ∈.则()()()()11112,0,2,2,2,0,0,2,2,1,1,0DA A C A B DO ==-=-=，()1111122,2,2DE DA A E DA A C λλλ=+=+=- ，()12,21,2OE λλ=--.设平面11A BC 法向量为(),,n x y z =，则111220220n A C x y n A B y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取()1,1,1n = .设OE 与平面11A BC 所成角为θ，则sin cos ,OE n θ===.注意到()221443422f λλλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()()(){}1max 0,12f f f f λ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭()[]2,3sin ,33f λθ⇒∈⇒∈⎣⎦.故选：B二.填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.与向量()1,2,2a =-方向相同的单位向量是______．【答案】122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由与a方向相同的单位向量是a a可计算求得结果.【详解】3a ==，122,,333a a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，即与向量()1,2,2a =-方向相同的单位向量是122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.12.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC的坐标为________【答案】(4,3,2)-【解析】【详解】如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB的坐标为(4,3,2)，所以()()14,0,0,0,3,2A C ,所以1(4,3,2)AC =-.13.若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】【详解】试题分析：由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a 的取值范围．解：∵过点P （1-a ，1+a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0，210(1)(2)02131a a a a a a--∴<⇔-+<⇔-<<-+，故答案为21a -<<考点：直线的斜率公式点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点B 到直线1AC 的距离为_________．【答案】3【解析】【分析】连接1AC ，过B 作1BH AC ⊥，则BH 即为所求，由三角形等面积计算求解.【详解】解：如图，连接1AC ，过B 作1BH AC ⊥，则BH 即为点B 到直线1AC 的距离，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面1BC ，1AB BC ∴⊥，在直角1ABC 中，11⨯=⨯AB BC AC BH ，且11=1,AB BC AC ，所以=3BH ，点B 到直线1AC 的距离为3.故答案为：63.15.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和11BB C C 的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是______．【答案】2【解析】【分析】因为点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，所以点A ，M ，N 三点共面，只需要找到平面AMN 与正方体表面的交线即可．【详解】因为点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，所以点A ，M ，N 三点共面，又因为M 和N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心，所以1CN B N =，AM MC =，连接MN ，1AB ，则1//MN AB ，所以1AB C V 即为经过A ，M ，N 三点的平面与正方体的截面，故P 点可以是正方体表面上线段1AB ，1B C ，AC 上的点．所以所有点P 构成的图形的面积为1sin 6022︒=．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知直线l 1过点A (1，1)，B (3，a )，直线l 2过点M (2，2)，N (3+a ，4).（1）若l 1//l 2，求a 的值；（2）若l 1⊥l 2，求a 的值.【答案】（1）（2）0a =.【解析】【分析】（1）由直线平行知斜率相等，建立等量关系得解.（2）由直线垂直知斜率积为-1，建立等量关系得解.【详解】解：设直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2.（1）因为111312a a k --==-，所以2k 存在且2422321k a a -==+-+.因为12l l //，所以12k k =，即1221a a -=+，解得5a =±.当5a =±时，AM BM k k =，所以A，B ，M 不共线，则5a =±符合题意.（2）112a k -=，①当1a =时，12120,1,0k k k k ===，不符合题意；②当1a ≠时，10k ≠，因为12l l ⊥，所以2k 存在且()2211k a a =≠-+，则121k k =-，即12121a a -⋅=-+，解得0a =.17.如图，在平行六面体.1111,ABCD A B C D -中11,AB AD AA ===1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，设向量1,,.AB a AD b AA c === （1）用a b c、、表示向量1,;DB A C （2）求1.A C 【答案】（1）DB a b =- ，1AC a b c =+-（2）12A C =【解析】【分析】（1）利用空间向量的基本定理与空间向量的线性运算可得出1AC 关于a b c、、的表达式；（2）由（1）知1AC a b c =+- ，利用空间向量数量积的运算可求得.【小问1详解】DB AB AD a b =-=- ，111A C AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+- ；【小问2详解】由（1）知1AC a b c =+- ，由已知可得1a b c === ，211cos 602a b b c c a ︒⋅=⋅=⋅=⨯=所以1A C == 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，1PD AB ==，E 是PB 的中点.（1）求直线BD 与直线PC 所成角的余弦值；（2）求证：PC ⊥平面ADE（3）求点B 到平面ADE 的距离.【答案】（1）12（2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值；（2）利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；（3）利用点到平面距离向量公式直接计算即可.【小问1详解】以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系.由题意()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线BD 与直线PC 所成的角为θ，因为(1,1,0)BD =-- ，(0,1,1)PC =- ，所以1cos 222BD PC BD PCθ⋅==⨯⋅ ，所以直线BD 与直线PC 所成角的余弦值为12；【小问2详解】因为(1,0,0)DA = ，(0,1,1)PC =- ，111(,,)222DE = ，所以10010(1)0DA PC ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，11101(1)0222DE PC ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以,PC DA PC DE ⊥⊥，又,,DA DE D DA DE ⋂=⊂平面ADE ，所以PC ⊥平面ADE ；【小问3详解】由（2）知，(0,1,1)PC =- 为平面ADE 的一个法向量，设点B 到平面ADE 的距离为d ，则d 为向量DB 在向量(0,1,1)PC =- 上的投影的绝对值，由(1,1,0)DB = ，得1222DB PC d PC⋅=== ，所以点B 到平面ADE 的距离为22.19.在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为矩形，AC ⊥平面11BCC B ，D ，E 分别是棱11,AA BB 的中点.（1）求证：//AE 平面11B C D ；（2）若12AC BC AA ===，求直线AB 与平面11B C D 所成角的正弦值.【答案】（1）答案见详解（2）1010【解析】【分析】（1）由棱柱的性质证得四边形1AEB D 是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求直线AB 与平面11B C D 所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，且11AA BB =，因为D ，E 分别是棱11,AA BB 的中点，所以1//AD B E ，且1AD B E =,所以四边形1AEB D 是平行四边形，所以1//AE DB ,又AE ⊄平面11B C D ，1DB ⊂平面11B C D ，所以//AE 平面11B C D .【小问2详解】分别以1,,CA CB CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，由题意得()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2A B B ，()()10,0,2,2,0,1C D ，所以()2,2,0AB =- ，()110,2,0C B = ，()12,0,1C D =- ，设平面11B C D 的法向量为(,,)n x y z =，则11100n C B n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y x z =⎧⎨-=⎩，令1x =，则0y =，2z =，于是(1,0,2)n =，所以()cos ,10n AB n AB n AB ⋅==- ，所以直线AB 与平面11B C D所成角的正弦值10.20.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．【答案】（1）略（2）4π(3)见解析【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答．第三问的创新式问法，难度非常大【解析】【详解】试题分析：（1）证明A 1C ⊥平面BCDE ，因为A 1C ⊥CD ，只需证明A 1C ⊥DE ，即证明DE ⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE=D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，设平面A1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]∴，设平面A1DP法向量为则∴∴假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，,,60AC AD AB BC BCA ∠⊥⊥=︒，2AP AD AC ===，E 为CD 的中点，M 在AB 上，且2AM MB = ，（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）点F 是线段PD 上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF 与AC 所成角为45︒，求AF 的长．【答案】（1）证明见解析（2）7（3【解析】【分析】（1）由已知可得,,AD AC AP 两两垂直，所以以A 为坐标原点，以,,AD AC AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，通过向量证明线线平行，再证明线面平行即可；（2）分别求出相关平面的法向量后，再运用夹角公式计算即可；（3）根据已知条件求出点F 的坐标，再计算长度即可．【小问1详解】证明：因为PA ⊥平面ABCD ，,AD AC ⊂平面ABCD ，所以,PA AD PA AC ⊥⊥，因为AC AD ⊥，所以,,AD AC AP 两两垂直，所以以A 为坐标原点，以,,AD AC AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为,,60AC AD AB BC BCA ∠⊥⊥=︒，2AP AD AC ===，E 为CD 的中点，M 在AB 上，且2AM MB = ，所以3(0,0,0),(0,2,0),(,0),(,1,0),223A CB M --(0,0,2),(1,1,0),(2,0,0)P E D ．所以(1,0,0),(0,2,0),EM AC == 所以0EM AC ⋅= ，所以AC EM ⊥，又AC AD ⊥，所以//EM AD ，又EM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//EM 平面PAD ．【小问2详解】3(0,2,2),(,2)2PC PB =-=-- ．设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则有2200320022y z PC n x y z PB n -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎪⎪⎩⎩，可取(n = ，由题意，平面PAD 的一个法向量可取(0,1,0)m = ，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则cos |cos ,|7m n θ=〈〉= ，所以平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值为7．【小问3详解】设000(,,)F x y z ，PF PD λ= (01)λ<<，即000(,,2)(2,0,2)x y z λ-=-，可得(2,0,22)F λλ-，所以(21,1,22)EF λλ=--- ，又(0,2,0)AC = ，由题意有2cos ,2EF AC == ，化简得22310λλ-+=，解得12λ=或1λ=（舍），所以(1,0,1)F ，所以||AF =.。

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合2{|4}A x x =<，{}|41B x x =−<≤，则A B = （ ▲ ）A.{|2}x x <B.{|21}x x −<≤C.{|41}x x −<≤D.{|42}x x −<< 2．记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ▲ ）A ．1BC ．2D．3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7， 且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ）A ．两人都中靶的概率为0.12B ．两人都不中靶的概率为0.42C ．恰有一人中靶的概率为0.46D ．至少一人中靶的概率为0.74 4．已知向量12a =，b = ，若()()//a b a b λµ++，则（ ▲ ） A. 1λµ= B. 1λµ=− C.1λµ+=− D. 1λµ+= 5．已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= 则“//n m ”是“//n α”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 设函数()f x x x = ，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ▲ ）A ．1,2727B ．1027，C ．()270，D ．()27+∞，7．已知函数()4f x x π=+ 的定义域为[],a b ，值域为，则b a −的取值范围是（ ▲ ） A ．π4π,23B ．π5π,23C ．5π5π,63D ．2π4π,33 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点， 且1A F //平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角1F AD E −−的大小为常数 ②二面角1F D E A −−的大小为常数 ③二面角1F AE D −−的大小为常数A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差 22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A ．极差变大 B ．中位数不变11．四面体ABCD 中,3AC BC AB ===，5BD =，4CD =，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ， 当AD 变化时，则（ ▲ ） A. 当3AD =时，32411S=π B. 当四面体ABCD 体积最大时，28S =π C. S 可以是16π D. S 可以是100π非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数()2()57m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是 ▲ .13．已知1,1x y >>且3log 4log 3y x =，则xxxx 的最小值为 ▲ .14．在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ .四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）．15．已知a R ∈,()(){}|20A x a x a x =++>,102x B xx −=≤ −． (Ⅰ)当0a <时求集合A ；(Ⅱ)若B A ⊆，求a 的取值范围.16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．17．已知函数()sin()cos()sin +632f x x x x πππ=+−++. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位， 得到函数()g x 的图象，若6()5g α=−，且5,612αππ∈−，求cos 2α的值.18．如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD ∠=∠=°，且PB PD ⊥， (Ⅰ)求证：BD PA ⊥；(Ⅱ)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；(Ⅲ)若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．19．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”.设()2816log log f x x x =⋅，()16g x ax m ax =+−.(Ⅰ)判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个交点，求m 的值；(Ⅲ)当1a >时,设()()()hx f x g x =−，已知()h x 在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，证明：1216x x <.命题： 学军中学 温岭中学（审校） 审核：春晖中学2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则E 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．2 2.根据，判定方程的一个根所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ．3.某班主任对全班50名学生进行了作业量调查，数据如下表： 总数262450根据表中数据得到，因为，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ） A ．B ．C ．D ．无充分根据 4.已知命题，则命题是（ ）A ．B ．C ．D ．5.如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且//平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是 ( ▲ ) A ．B ．C ．D．6.设是函数的导函数，的图象如右图所示，则的图象最有可能的是A B C D7.已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．8.将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A．66 B．48 C．36 D．309.设，若，则=（）A． B． C． D．10.执行下面的程序框图，输出的结果为( )A．9 B．27 C．18 D．3611.一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A． B． C．与所成的角为 D．与相交12.“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13.不等式的解集是( )A．B．C．D．14.已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有（）①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比可以是1∶2∶3∶4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15.已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A．0.9 B．0.1 C．0.6 D．0.416.已知椭圆的左焦点到右准线的距离为，中心到准线的距离为，则椭圆方程为 ( ）A．B．C．D．17.“”是“”的（ )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要18.函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（）A． B． C． D．19.极坐标方程表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线20.已知函数，则函数的图象是（）二、填空题21.若数列满足：则22.已知正整数满足，使得取最小值时，实数对(是23.函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的条件。

高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知圆:，点是直线上一点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2.i 为虚数单位，若，则=（ ）A ．1B ．C ．D ．23.抛物线的焦点坐标是 （ ） A ．B ．C ．D ．4.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5.若是虚数单位，则乘积的值是A ．B ．C ．D ．6.已知，则下列命题为真命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．7.在等差数列中，已知则等于（ ）A ．15B ．33C ．51D ．638.若DABC 中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC=（ ） A ． B ． C ．D ．9.在等差数列｛｝中，已知，，则等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．4510.三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为（ ） A ．720 B ．144 C ．36 D ．12 11.在区间上随机取两个数，则事件“≤”的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12.数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式是（ ） A ．a n =2n-1 B ．a n = C ．a n = D ．a n =13.设，若是的等比中项，则的最小值为（ ）A ．8B ．C ．1D ．414.若，则A． B． C． D．15.方程表示的曲线是（）A．一个椭圆 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆16.的值是( )A． B． C． D．17.若向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件18.椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（）A 8B9 C10 D1219.下列推理正确的是（）A．把与类比，则有B．把与类比，则有C．把与类比，则有D．把与类比，则有20.在中，，则的周长为（）A．B．C．D．二、填空题21.如图，在三棱柱中，侧面，且与底面成角，，则该棱柱体积的最小值为．22.设、分别为具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足，则的值为．23.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．24.对于四面体ABCD，①相对棱AB与DC所在的直线是异面直线；②若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；③分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积。

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学 2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y -+=不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（ ） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz -中，点()4,2,8A -到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（ ） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）C.136.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（ ）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ）A.5B.C.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y -+-=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.44⎡--⎣C.22⎡--+⎣D.2⎡-+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+-m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；①不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；①异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ①三棱锥1F A DE -的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A --的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y -+=上.（1）求C 的方程；（2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y -+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：PB BD =；条件①：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2024.1一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩ 令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB mAB m AB m ⋅−===−⨯， 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ， 则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C 的离心率c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=.所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x =时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,5⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD ====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩ 取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP n d n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈， 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BMn BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=， 即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AM k x y k x x x x +−==−−， 同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−− ()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()1212010220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立， 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++， 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。

一、单选题1．已知直线，则直线的倾斜角为（ ） :l y =l A ． B ．C ．D ．30 60 120 150 【答案】B【分析】设直线l 的倾斜角为，，可得，即可得出． θ0θ180<< tan θ=【详解】设直线l 的倾斜角为，． θ0θ180<<则tan θ=．60θ∴= 故选：B2．已知点P 为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则22142x y +=1F 2F 21=3PF PF 1PF =（ ）A ．BC ．1D ．312【答案】C【分析】利用椭圆的定义进行求解.【详解】因为点P 为椭圆上的一点，所以，因为，所以22142x y +=12+=4PF PF 21=3PF PF .1=1PF 故选：C.3．已知数列为等比数列，若，则数列的公比为（ ） {}n a 26182a a a a ={}n a A ．B ．C ．2D ．41412【答案】B【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式计算作答.【详解】设等比数列的公比为，由，得，而，解得{}n a q 26182a a a a =7111512a q a a q q a =⋅⋅10a q ≠， 12q =所以数列的公比为. {}n a 12故选：B4．三棱锥中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若，则=O ABC -OA a,OB b,OC c === OE（ ）A ．B ．1122a b c --+ 1122-++a b c C ． D ．111244a b c --+ 111244a b c ++ 【答案】D【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答.OE【详解】三棱锥中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，且，如图，O ABC -OA a,OB b,OC c ===.11111111()22222244OE OA OD OA OB OC a b c =+=+⋅+=++故选：D5．已知O （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，2），则点O 到直线BC的距离为（ ） A BCD【答案】A【分析】先求得，得到向量在方向上的投影为(2,0,0),(2,2,2)OB BC ==- OB BC ||OB BC BC ⋅=，进而求得点O 到直线的距离．BC 【详解】由O （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，2），，可得， (2,0,0),(2,2,2)OB BC ==-则向量在方向上的投影为OB BC||OB BC BC⋅==所以点O 到直线 BC =故选：A.6．已知双曲线C 的右顶点为A ，左、右焦点分别为，，以为直径22221(0,0)x y a b a b -=>>：1F 2F 12F F 的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，且，则该双曲线的离心率为（ ）1||2MFMA =A BC ．2 D1【答案】C【分析】设出双曲线半焦距，由双曲线渐近线斜率求出，再由余弦定理求出，判断cos MOA ∠||MA 形状即可求解作答.MOA A 【详解】设双曲线的半焦距为c ，直线的方程为，有，如图 C OM by x a =tan b MOA a∠=即有，而，解得， sin cos bMOA MOA a ∠=∠22sin cos 1MOA MOA ∠+∠=cos a MOA c∠==在中，由余弦定理得：MOA A ||MA b ===，因此，即有，而，则，222||||||MA OA OM +=90OAM ∠= 1||2MF MA =130MF A ∠=又，于是，1||||OM OF c ==1260MOA MF A ∠=∠=所以双曲线的离心率. ||112||cos cos 60c OM e a OA MOA =====∠故选：C7．数列满足，∀，则实数的取值范围是（ ）{}n a 114,32n n a a a +==-()*N 128n n n a a λ∈-<-，λA ． B ． (,9)-∞-(,8)-∞-C ． D ．(12,9)--(12,7)--【答案】B【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出数列的通项，再分离参数，借助数列单调性求{}n a 解作答.【详解】因为数列满足，则，而， {}n a 132n n a a +=-113(1)n n a a +-=-113a -=因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则，即，{1}n a -11333n n n a --=⨯=31n n a =+又∀，因此对恒成立，即， ()*N 128n n n a a λ∈-<-，3327n n λ<-N n *∈2713nλ<-而数列是递增数列，则当时，，有， 27{1}3n -1n =min 27(183n-=-8λ<-所以实数的取值范围是.λ(,8)-∞-故选：B8．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这A B P PBPAλ=0λ>1λ≠P种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线()0,0O Q ⎛ ⎝1:230l kx y k -++=，若为，的交点，则的最小值为（ ） 2:320l x ky k +++=P 1l 2l 32PO PQ +A ．B ．C ．D ．6-9-3【答案】A【分析】由直线方程可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程12l l ⊥P CD D P为，即，取()()22293x y y ++=≠-()22453x y x y ++=≠-)3y ≠-，则，结合，可得，进而求解.5,02A ⎛⎫⎪⎝⎭32PQ PA =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥【详解】由已知过定点，1:230l kx y k -++=()2,3C -过定点，2:320l x ky k +++=()2,3D --因为，，所以，即，1l k k =21l k k=-121l l k k ⋅=-12l l ⊥所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，P CD D ()2,0-则的轨迹方程为，即，易知O 、Q 在该圆内，P ()()22293x y y ++=≠-()22453x y x y ++=≠-又32PO ===即， )332PO y ==≠-取，则，又 5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭32PO PA ==所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以的最小值为32PO PQ +故选：A.二、多选题9．记是数列的前n 项和，且，则下列说法正确的有（ ） n S {}n a 112n a n =-A ．数列是等差数列 B ．数列是递减数列 {}n a {}n S C ． D ．当 时，取得最大值46S S =5n =n S 【答案】ACD【分析】由等差数列的定义可判断A ；求出可判断B 、C ；根据的表达式结合二次函数的46,S S n S 性质可判断D.【详解】∵，∴数列是等差数列，故A 正确；1112(1)(112)2n n a a n n +-=-+--=-{}n a ， 21()(9112)1022n n n a a n n S n n ++-===-+∵，从而，可知数列不是递减数列，故B 错误，C 正确；4624,24S S ==46S S ={}n S ∵，，∴当 时，取得最大值，故D 正确.2210(5)25n S n n n =-+=--+*N n ∈5n =n S 故选：ACD.10．已知点P 为圆上的动点，直线l 过点，过l 上一点Q 作圆O 的229O x y +=：(6,0),(0,6)A B --切线QC ，QD ，切点分别为C ，D ，则下列说法正确的有( )A ．当∠PAB 最大时，PA =B ．点P 到l 的距离的最大值为 3C ．四边形CQDO 的面积的最小值为9D ．四边形CQDO 的面积最小时，直线OQ 的方程为 220x y -+=【答案】BC【分析】选项A ，当PA 与圆相切时，∠PAB 最大；选项B ，点P 到l 最大距离为圆心到直线l O O 的距离加上半径；选项C ，D ，当时，四边形CQDO 的面积最小.OQ AB ⊥【详解】对于A ，如图1，当PA 与圆相切时，∠PAB 最大，设圆半径为，229O x y +=：O r,，A 错误；OP PA ⊥6OA =3OP r ==对于B ，由已知直线l 的方程为，当点P 到l 的距离最大时，最大距离为圆心到直线60x y ++=Ol 的距离加上半径，即为，故B 正确； 33d r +==对于C ，如图2，QC ，QD 是圆O 的切线，则，， OC CQ ⊥OD DQ ⊥四边形CQDO 的面积， 1232S OC CQ OC CQ CQ =⨯==四边形CQDO 的面积最小时，即为取最小，又，即， CQ 222OC CQ OQ +=229CQ OQ =-所以当最小时，取最小，即当时， OQ CQ OQ AB ⊥OQ d ==则，四边形CQDO 的面积的最小值为9，故C 正确；3CQ =对于D ，四边形CQDO 的面积最小时，，直线OQ 的斜率为，方程为，故OQ AB ⊥1k =0x y -=D 错误；故答案为：BC.11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过下顶点A 和右焦点的直线与E 交于2212x E y +=：1F 2F 2F 另一点B ，与y 轴交于点P ，则（ ） 1BFA ．B ． 12AF AF ⊥2BF =C ．△D ．1ABF 1430F P PB -= 【答案】ABD【分析】根据给定条件，求出焦点及下顶点坐标，画出图形，再逐项分析计算、判断作答.【详解】依题意，椭圆的焦点，下顶点，如图，22:12+=x E y 12(1,0),(1,0)F F -(0,1)A -对于A ，，因此，A 正确；12||||||OF OF OA ==12AF AF ⊥对于B ，直线，由消去y 得：，则点， 2:1AF y x =-22122y x x y =-⎧⎨+=⎩2340x x -=41(,)33B于是，B 正确；2||BF ==对于C ，的周长为，， 1ABF A r ()1121141233ABF S F F =⋅--=A因此，解得C 错误；1423⨯=r =对于D ，，设点，则，而，即有，41(,)33B 0(0,)P y 10041(1,),(,)33F P y PB y ==- 1//F P PB 143F P PB = 因此，D 正确. 1430F P PB -=故选：ABD12．正方体的棱长为2，H 为线段AB 中点，P 在正方体的内部及其表面运动，若1111ABCD A B C D -，则（ ）1HP DB ⊥A ．三棱锥的体积为定值 11P A BC -B ．若P DP =C ．正方体的每个面与P 的轨迹所在平面所成角都相等D ．正方体的每条棱与P 的轨迹所在平面所成角不都相等 【答案】ABC【分析】根据给定条件，作出点P 的轨迹所在平面截正方体所得截面，再逐项分析、计算判断作答.【详解】点O 为正方体的中心，连接，过AB 的中点H 作交BC 1111ABCD A B C D -,BD AC //HI AC 于I ，则I 为的中点，如图，BC平面，平面，有，而，1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1BB AC ⊥1,BD AC BD BB B ⊥= 平面，则平面，又平面，即有，1,BD BB ⊂1BB D AC ⊥1BB D 1DB ⊂1BB D 1AC DB ⊥连接，同理，而平面，则1111,,A B BC A C 1111,A B DB BC DB ⊥⊥1111,,A B BC B A B BC =⊂ 11A BC 1DB ⊥平面，11A BC 令点P 的轨迹所在平面与正方体的棱所在直线交于点， 1111ABCD A B C D -,,,,,H I J K L M 平面平面，平面平面，而平面平面HIJKLM ABCD HI =HIJKLM 1111A B C D KL =//ABCD ，1111D C B A 于是，同理，依题意，平面，因此平面平面//KL HI //,//IJ LM HM JK 1DB ⊥HIJKLM 11//A BC ，HIJKLM 平面平面，平面平面，于是， 11A BC ⋂111BCC B BC =HIJKLM 11BCC B IJ =1//IJ BC 又为棱中点，则为棱中点，同理点分别为棱中点， I BC J 1CC ,,K L M 11111,,C D A D AA 因此点P 的轨迹为正六边形及内部，HIJKLM 对于A ，因为平面平面，则点P 到平面的距离为定值，又的面积为11//A BC HIJKLM 11A BC 11A BC V 定值，于是三棱锥的体积为定值，A 正确； 11P A BC -对于B ，P 在以点D 为半径的球面上，而点D 到正六边形DP =HIJKLM 则点P 的轨迹是该球截正六边形所得截面小圆，而点D 到平面距离HIJKLM HIJKLM112DO DB ==因此这个截面小圆半径，B 正确； r ===对于C ，由于平面平面，则正方体的每个面与平面所成角等于正方体该11//A BC HIJKLM HIJKLM 面与平面所成角，11A BC 又三棱锥是正三棱锥，即正方体的侧面，侧面，上底面与平面111B A BC -11ABB A 11BCC B 1111D C B A 所成角都相等，11A BC 又正方体的相对面平行，所以正方体的每个面与P 的轨迹所在平面所成角都相等，C 正确； 对于D ，正三棱锥的侧棱与平面所成角都相等， 111B A BC -11111,,A B B C BB 11A BC 即正三棱锥的侧棱与P 的轨迹所在平面所成角都相等，111B A BC -11111,,A B B C BB而，，， 1111/////AB CD C D A B 1111//////BC AD A D B C 1111//////AA DD CC BB 所以正方体的每条棱与P 的轨迹所在平面所成角都相等，D 错误. 故选：ABC【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题13．已知空间向量，若，则x =___________. (1,2,),(3,2,1)a x b x =-= a b ⊥【答案】1【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】空间向量，由，得，解得， (1,2,),(3,2,1)a x b x =-= a b ⊥ 340a b x x ⋅=-+=1x =所以. 1x =故答案为：114．若圆M 的圆心在直线上，且与两坐标轴都相切，则圆M 的标准方程可以为___________.y x =（写出满足条件的一个答案即可）【答案】（答案不唯一）22(1)(1)1x y -+-=【分析】由题意可设圆心为，与两坐标轴都相切可得出半径为， (,)a a ||a 列出圆的标准方程，取一个特殊值即可得出结果.【详解】因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心坐标为， M y x =(,)a a 又因为与两坐标轴都相切，所以圆的半径为，即圆的标准方程为||a ，取，得， 222()()x a y a a -+-=1a =22(1)(1)1x y -+-=故答案为：（答案不唯一）22(1)(1)1x y -+-=15．已知P 是圆上任一点，，线段PA 的垂直平分线l 和半径CP 交于点()22:116C x y -+=(1,0)A -Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为___________.【答案】22143x y +=【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q 满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答.【详解】圆的圆心，半径，点Q 在线段PA 的中垂线l 上，如图，22:(1)16C x y -+=(1,0)C 4r=有，则，||||QP QA =||||||||4||QA QC QP QC r AC +=+==>因此点Q 的轨迹是以A ，C 为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长，24a=b ==所以点Q 的轨迹方程为.22143x y +=故答案为：22143x y +=16．对于数列，记：…，（其中），并称{}n a ()()()()()()()1212311112n n n nn n n n n a a +++∆∆∆=∆=∆=∆∆，，()()()111k k n n k n-+-∆∆=∆*n ∈N 数列为数列的k 阶商分数列.特殊地，当为非零常数数列时，称数列是k 阶等(){}k n ∆{}n a (){}kn ∆{}n a 比数列.已知数列是2阶等比数列，且，若，则{}n a 20123220482a a a ===，，n m n a a -=m =___________. 【答案】23【分析】根据给定的定义，计算，进而求出数列的公比及通项，再借助累乘法求出数(1)(1)12,∆∆(1){}n ∆列的通项即可推理计算作答.{}n a 【详解】由数列是2阶等比数列，得，即， {}n a (2)(0)nq q ∆=≠(1)(2)1(1)n nnq +∆∆==∆且，即数列是首项为，公比为的等比数列， (1)(1)10(1)932212(1)12112,2,2a a q a a ∆∆==∆====∆(1){}n ∆10212则有，即，当时， (1)10111112()()22n n n --∆=⨯=1111(2n n n a a -+=2n ≥，22320109121(10)(9)(12)3221121111112(((()()22222nn n n n n n a a a a a a a a -+----+-+-++--=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯== 而满足上式，因此，12a =22320212n n n a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭由得：，即，n m n a a -=222320()23()202211()()22n n m n m n -+---+=222320()23()20n n m n m n -+=---+整理得，又为小于的任意正整数，所以. (2)23(2)m n m n m -=-n m 23m =故答案为：23【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.四、解答题17．已知抛物线经过点（），焦点为F ，且. 2:2(0)C y px p =>()2,A t 0t >52AF =(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点A 且斜率为2的直线交C 于另一点B ，求|AB |. 【答案】(1) 22y x =【分析】（1）由抛物线定义得，解得，得到抛物线方程．5222p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1p =（2）求得，得到直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，弦长公式求解. ()2,2A AB 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，准线为， 2:2(0)C y px p =>F 2p x =-点是抛物线上一点，且， ()2,A t C 52AF =所以由抛物线定义得，解得，5222p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1p =因此抛物线的方程为．C 22y x =（2）点在抛物线上，则，又，可得，． ()2,A t 222t =⨯0t >2t =()2,2A 直线的方程：，即，AB 22(2)y x -=-22y x =-联立方程，整理得：，2222y x y x=-⎧⎨=⎩22520x x -+=设，则，1122(,),(,)A x y B x y 12125,12x x x x +==AB ∴==18．设等差数列的前n 项和为，已知 {}n a n S 452439.a S a ==+，(1)求数列{}的通项公式；n a (2)若，求数列{}的前n 项和.2n an n b a =+n b n T 【答案】(1)；n a n =(2).21112222n n T n n +=+-+【分析】（1）设出等差数列的公差，利用给定条件列出方程组，解方程组作答. {}n a （2）由（1）的结论，利用分组求和法及等差等比数列前n 项和公式求解作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意，，解得，{}n a d 111345103()9a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩111a d =⎧⎨=⎩所以数列{}的通项公式是.n a 1(1)n a a n d n =+-=（2）由（1）知，，2nn b n =+所以. 2321(1)2(12)11(123)(2222)2221222n n n n n n T n n n ++-=+++++++++=+=+-+- 19．四棱锥中，底面ABCD 为菱形，，.P ABCD -60BAD ∠= BDP CDP ∠∠=(1)求证：：DP BC ⊥(2)若，平面PBC ⊥平面ABCD ，且，求平面与平面PBC 的夹角大小. 2AB =PB PC ⊥PAD 【答案】(1)证明见解析； (2). π3【分析】（1）根据给定条件，利用三角形全等证明，再取中点，借助线面垂直的判定PB PC =BC 性质推理作答.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角大小作答.【详解】（1）四边形为菱形，，则为正三角形，即， ABCD 60BAD ∠= BDC A BD CD =在与中，，而为公共边，则≌， PDB △PDC △BDP CDP ∠=∠PD PDB △PDC △有，取的中点O ，如图，连接，则有，PB PC =BC ,PO DO ,PO BC DO BC ⊥⊥而平面，则平面，又平面， ,,PO DO O PO DO =⊂POD BC ⊥POD DP ⊂POD 所以.DP BC ⊥（2）由（1）知，，因为平面平面，平面平面,OD BC OP BC ⊥⊥PBC ⊥ABCD PBC ⋂，ABCD BC =平面，于是平面，又平面，则，OP ⊂PBC OP ⊥ABCD OD ⊂ABCD OP OD ⊥以O 为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， ,,OD OB OP ,,x y z 因为，，则由（1）得，，PB PC ⊥2BC AB ==1OP=(0,0,1),2,0)D P A ，令平面的一个法向量，(0,2,0),1)DA PD ==- PAD (,,)n x y z =则，令，得，200n DA y n PD z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩1x=n = 显然平面的一个法向量为，设平面与平面PBC 的夹角为PBC OD =PAD θ因此，则，||1cos |cos ,|2||||n OD n OD n OD θ⋅=〈〉===π3θ=所以平面与平面PBC 的夹角大小为. PAD π320．设为数列的前项和，，，，令. n S {}n a n 123n n n a a S +=-11a =0n a ≠21n n b a -=(1)求，，及数列的通项公式；2b 3b {}n b (2)令，求数列的前项和.2n bn n c b =⋅{}n C n n T 【答案】(1)，， 23b =35b =21n b n =-(2)()21106529n n n T ++-⋅=【分析】（1）利用和的关系，可得，进而求解；n a n S ()1122n n a a n +--=≥（2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 123n n n a a S +=-所以时，，2n ≥1123n n n a a S --=-两式相减，可得， ()11123232n n n n n n n a a a a S S a +----=--=由，所以， 0n a ≠112n n a a +--=当时，，即，1n =21123a a a =-21a =-所以当为奇数时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， n {}n a 当为偶数时，数列是以为首项，2为公差的等差数列. n {}n a 1-所以，， 23123b a a ==+=351225b a a ==+⨯=.()2111221n n b a a n n -==+-⨯=-（2）由，()212122n b n n n n c b --⋅==⋅所以，()13521123123252212n n n T c c c c n -=++++=⨯+⨯+⨯+-⋅ 则，()2357212123252212n n T n +⋅=⨯+⨯+⨯+-⋅两式相减可得，，()()352121322222212n n n T n -+-=+⋅+++--⋅ 即， ()()21321221232221212n n n T n -+⎡⎤⋅-⎣⎦-=+⋅--⋅-即， 2110532233n n T n +⎛⎫-=-+-⋅ ⎪⎝⎭即.()21106529n n n T ++-⋅=21．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B 为底面圆周上异于12O O 11A ACC 111224AC AA A C ===A ，C 的点.(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；1BCC 1C 1A AB(2)设平面∩平面，与平面QAC 所成角为，当四棱锥的体积1A AB 1C CB l Q l =∈，1BC α11B A ACC -最大时，求的取值范围. sin α【答案】(1)作图及理由见解析；(2).【分析】（1）取中点P ，作直线，再利用线面平行的判定推理作答.BC 1C P （2）延长交于点O ，作直线，再确定四棱锥体积最大时，点B 的位置，然后建立空间11,AA CC BO 直角坐标系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关系，求出其范围作答. 【详解】（1）取中点P ，作直线，则直线即为所求， BC 1C P 1C P 取中点H ，连接，则有，如图， AB 1,A H PH 1//,2PH AC PH AC =在等腰梯形中，，有，则四边形为平行四边形， 11A ACC 1112AC AC =1111//,HP A C HP A C =11A C PH 即有，又平面，平面， 11//C P A H 1A H ⊂1A AB 1C P ⊄1A AB 所以平面.1//C P 1A AB （2）延长交于点O ，作直线，则直线即为直线，如图，11,AA CC BO BO l过点B 作于，因为平面平面，平面平面，BO AC '⊥O '11A ACC ⊥ABC 11A ACC ⋂ABC AC =BO '⊂平面，ABC 因此平面，即为四棱锥的高，在中，，BO '⊥11A ACC BO '11B A ACC -Rt ABC △90ABC ∠= ，当且仅当时取等号，此时点与重合，22122BA BC BA BC BO AC AC AC ⋅+'=≤=BA BC =O '2O 梯形的面积为定值，四棱锥的体积，11A ACC S 11B A ACC -1113B A ACC V S BO -'=⋅于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，， BO 'O '2O 11B A ACC -22,2BO AC BO ⊥=以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， 2O 2221,,O A O B O O ,,x y z 在等腰梯形中，，此梯形的高11A ACC 111224AC AA A C ===h ==显然为的中位线，则，11A C OACA 1(0,0,(2,0,0),(0,2,0),(O ABC -， 12(1,(2,2,0),(0,2,(2,0,0)BC AB BO O A =--=-=-=设，则,R BQ BO λλ=∈ (2,22,)AQ AB BQ AB BO λλ=+=+=--设平面的一个法向量，则，令，得QAC (,,)n x y z = 2202(22)0n O A x n AQ xy z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩y =，,1)n λ=-则有111||sin |cos ,|||||n BC n BC n BC α⋅=〈〉===，令，则时，，1t λ=+sin α=0=t sin 0α=当时，，即时取0t≠0sin α<==≤75t =2=5λ等号，综上得， 0sin α≤≤所以的取值范围是. sin α【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可.22．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C ：的阿22(0)y px p =>基米德三角形为例，经探究发现：若AB 为过焦点的弦，则：①点P 在定直线上；②PAB ；③.已知△PAB 为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB 过PF AB ⊥PA PB ⊥220x y λλΓ-=>：（）Γ的右焦点F .(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）(2)若，弦AB 的中点为Q ，，求点P 的坐标.2λ=3AB FP FQ =（注：双曲线的以为切点的切线方程为 22221x y a b -=00(,)x y 0022 1.x x y y a b -=）【答案】(1)条件选择，答案见解析； (2)，. (1,(1,【分析】（1）选①②③，设出点A ，B ，P 的坐标，借助切线方程求出直线AB 的方程，代入焦点坐标，求出点P 的横坐标，再利用斜率计算判断作答.（2）设出直线AB 的方程，与双曲线方程联立，借助弦长公式及已知等式求解作答.【详解】（1）选①，设点，双曲线的焦点， 112200(,),(,),(,)A x y B x y P x yΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A x y B x y 00x x y y λ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =所以点P 在定直线P 在定直线上成立. x =选②，设点，双曲线的焦点，112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A x y B x y 00x x y yλ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =当时，点，直线AB 垂直于x 轴，显然有，00y =P PF AB ⊥当时，直线AB 的斜率PF 的斜率00y ≠00AB x k y ==PF k ==则有，即， 1AB PF k k ⋅=-PF AB ⊥所以成立.PFAB ⊥选③，设点，双曲线的焦点，112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A xy B x y 00x x y yλ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =当时，点，直线AB 垂直于x 轴，直线00y =P :AB x =由得， 22x x yλ⎧⎪⎨-=⎪⎩||y =A B直线PA 的斜率PB 的斜率PA k ==PB k ==有，显然不垂直于， 2PA PB k k ⋅=-PA PB 所以不成立.PA PB ⊥（2）当时，双曲线，，由（1）知，，直线AB 的方程为：2λ=22:2x y Γ-=()2,0F 0(1,)P y ，02x y y -=由消去x 整理得：，显然， 02222x y y x y -=⎧⎨-=⎩2200(1)420y y y y -++=20201Δ8(1)0y y ⎧≠⎨=+>⎩，弦AB 的中点Q 的纵坐标为， 0121222042,11y y y y y y y -+==--01220221y y y y -+=-，||AB =，而，12||||2y y FQ +=||FP =3AB FP FQ =，解得=200)3||y y +=0y =0y =所以点P 的坐标是，. (1,(1,【点睛】结论点睛：直线l ：y =kx +b 上两点间的距离； 1122(,),(,)A x y B x y 12||||AB x x =-直线l ：x =my +t 上两点间的距离.1122(,),(,)A x y B x y 12||||AB y y =-。