成都七中届高一下期期中数学试题

2023-2024学年四川省成都市高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若函数2sin y x a =+的最大值为－2，则a 的值等于（）A ．2B ．－2C ．0D ．－42．sin 40cos50cos40sin50︒︒+︒︒=（）A ．－1B ．0C ．1D ．cos10︒3．设P 是ABC △所在平面内的一点，()12BP BC BA =+，则（）A ．0PA PB += B ．0PA PC += C ．0PC PB +=D ．0PA PB PC ++= 4．函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值和最小正周期分别是（）A．，πB ．－1，πC．，2πD ．－1，2π5．函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，0πϕ<<）的图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（）A ．2，π3B ．2，π6C ．1，π6D ．1，π36．已知1sin 3α=，则cos2α=（）A ．429B ．29C ．79D ．29-7．已知点O 是ABC △内部一点，并且满足20OA OB OC ++=，AOC △的面积为1S ，BOC △的面积为2S ，则12S S =（）A ．2B ．3C ．13D ．128．在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，22AD AB DC ===，E 为BC 的中点，F 为AE的中点，则CF DF ⋅=（）A ．3116B ．3316C ．3516D ．3716二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．关于平面向量a ，b ，c，下列说法中错误的是（）A ．若a ，b 为非零向量且0a b ⋅<且a 与b 不共线，则a ，b 的夹角为钝角B ．若a 为非零向量，则aa表示为与a 同方向的单位向量C ．若a b a c ⋅=⋅，则b c = D ．若a b ∥ ，b c ∥，则a c∥ 10．下列等式成立的是（）A．22cos 15sin 152-︒=︒B．ππsincos 882=C ．13sin 40cos 40sin 7022︒+︒=︒D．tan152=︒11．已知函数()ππtan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列描述中正确的是（）．A ．函数()f x 的图象关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．函数()f x 的最小正周期为2C ．函数()f x 的单调增区间为514,433k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．函数()f x 的图象没有对称轴12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，O 为平面内一点，下列说法正确的有（）A ．若ABC △为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan ABC A B C++=B ．若0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC △的内心C ．已知ABC △中，60A ∠=︒，6c =，4b =，O 为ABC △的外心，若AO AB AC λμ=+，则λμ+的值为13D ．在ABC △中，1a b ==，π4C ∠=，若CP 与线段AB 交于点Q ，且满足CP CA CB λμ=+ ，2CP = ，则λμ+的最大值为433三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若1a = ，2b = ，且a 与b 的夹角为2π3，则a b ⋅= ______．14．如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角60α=︒，在塔底C 处测得点A 的俯角45β=︒，已知铁塔BC 部分高32米，山高CD =______米．15．已知向量()1,0a =，)b =，则b 在a方向上的投影向量坐标为______．16．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若30C =︒，4c =的ABC △恰有一个，则实数b 的取值范围为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知平面向量()4,3a =-，()5,0b = ．（1）求a 与b的夹角的余弦值；（2）若向量a kb + 与a kb -互相垂直，求实数k 的值；18．（本小题满分12分）已知π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且23tan 8tan 30θθ--=，求下列各式的值．（1）sin 2cos sin 5cos θθθθ+-；（2）1sin 2θ+．19．（本小题满分12分）在2cos 2a C c b +=，23cos cos cos 24B C B C --=，③()2sin sin B C +=2sin 3sin sin A B C +，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且______．（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC △的面积为32，求ABC △的周长．20．（本小题满分12分）已知α，β均为锐角，且3sin 5α=，()5sin 13αβ-=-．（1）求cos β的值；（2）求()sin αβ+的值．21．（本小题满分12分）已知在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin cC=．（1）求B 的大小；（2）若6b =，求a c +的取值范围．22．（本小题满分12分）已知向量2πsin ,cos 6a x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()cos ,1b x =- ．设函数()122f x a b =⋅+ ，x ∈R ．（1）求函数()f x 的解析式及其单调减区间；（2）若将()y f x =的图像上的所有点向左平移π4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()h x 的图像．当π,2x m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦（其中π0,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）时，记函数()h x 的最大值与最小值分别为()max h x 与()min h x ，设()()()max min m h x h x ϕ=-，且使对π0,2m ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦都有()k m ϕ≥成立，求实数k 的最小值．考试答案一、单选题：1～4DCBD 5～8ACAB二、多选题：9．CD10．AD 11．BD 12．AB三、填空题：13．－114．)161+米15．)16．(]{}0,48⋃四、解答题17．解（1）∵()4,3a =-，()5,0b =，∴()453020a b ⋅=⨯+-⨯= ，5a == ，5b = ，∴204cos ,555a b a b a b ⋅===⨯⋅ ，即a 与b 的夹角的余弦值为45．（2）∵向量a kb + 与a kb -互相垂直，∴()()2220a kb a kb a k b +⋅-=-= ．∵2225a b == ，∴225250k -=，∴1k =±．18．解（1）由23tan 8tan 30θθ--=，解得1tan 3θ=-或tan 3θ=，又因为π,02θ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，1tan 3θ=-．则12sin 2cos tan 2531sin 5cos tan 51653θθθθθθ-+++===-----．（2）2222sin cos 2sin cos 12sin cos sin cos θθθθθθθθ+++=+．22121tan 12tan 2931tan 1519θθθ+-++===++．19．解：（1）选①，由正弦定理得()()2sin cos sin 2sin 2sin 2sin cos cos sin A C C B A C A C A C +==+=+，即()sin 2cos 10C A -=．因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =．又()0,πA ∈，从而得π3A =．选②，因为()21cos cos cos cos cos cos 22B C B CB C B C+---=-()1cos 1cos cos sin sin 3224B C B C B C -+-+===，所以()1cos 2B C +=-，()1cos cos 2A B C =-+=．又因为()0,πA ∈，所以π3A =．选③，因为()22sin sin sin 3sin sin B C A B C +=+，所以，222sin sin 2sin sin sin 3sin sin B C B C A B C ++=+，即222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，所以222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-==．因为()0,πA ∈，所以π3A =．（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得223b c bc +-=，由1sin 2ABC S bc A =△，得2bc =，则2235b c bc +=+=．所以()22225229b c b c bc +=++=+⨯=，3b c +=，所以3a b c ++=故ABC △的周长为3．20．解（1）由3sin 5α=，得3cos 5α=，()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-=⎪⎝⎭．（2）由3sin 5α=，得4cos 5α=，从而3424sin 225525α=⨯⨯=又因为27cos 212sin 25αα=-=，()()()()sin sin 2sin 2cos cos 2sin αβααβααβααβ⎡⎤+=--=---⎣⎦24127532325132513325=⨯+⨯=．21．解：（1sin c C =sin sin C C =，整理得tan B =，又()0,πB ∈，所以π3B =；即B 的大小为π3．（2）因为sin sin sin a c b A C B ===所以a A =，c C =，又πA B C ++=，所以2π3C A =-；所以2sin sin π3a c A C A A ⎡⎤⎛⎫+=+=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223sin cos sin πsin cos πsin cos 3322A A A A A ⎫⎫=+-=+⎪⎪⎪⎭⎭π12sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又因为2π03A <<，则ππ5π666A <+<，所以1πsin 126A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭（当且仅当π3A =时，等号成立），可得(]π12sin 6,126a c A ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，即a c +的取值范围是(]6,12．22．解：（1）由题意可知()2112cos sin cos 2cos 222f x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭()21311cos cos sin 21cos 22222x x x x x =-+=-++1sin 2cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+，k ∈Z ，可得π5πππ36k x k +≤≤+，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调减区间为π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．（2）将()y f x =的图像上的所有的点向左平移π4个单位，可得函数πππsin 2sin 2463y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 3y h x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，∴()πsin 3h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∵π,2x m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π,336x m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦①若π06m ≤≤，()max 1h x =，()min π5πsin 26h x h m m ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()5π1sin 6m m ϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭；②若ππ62m <≤，()()max πsin 3h x h m m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()min π5πsin 26h x h m m ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()π5πsin sin 36m m m ϕ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；∴综上()5ππ1sin ,066π5πππsin sin ,3662m m m m m m ϕ⎧⎛⎫-+≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎛⎫⎪+-+<≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩当π06m ≤≤时，()5π1sin 6m m ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π06m ≤≤的最大值为()maxπ16m ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当ππ62m <≤时，有()π5ππsin sin 3612m m m m ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()max 5π12m ϕϕ⎛⎫==⎪⎝⎭所以实数k ．。

2020-2021学年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．数列1，0，1，0，的一个通项公式为（ ）A ．*(1)(1,)n n n N -≥∈B ．*(1)1(1,)n n n N -+≥∈C ．2*sin(1,)2n n n N π≥∈ D ．*1cos (1,)n n n N π+≥∈【答案】C【分析】分别写出每个选项的数列的前四项，对比即可.【详解】对于A ，*(1)(1,)n n n N -≥∈的前4项为-1,1，-1,1，不符合条件； 对于B ，*(1)1(1,)n n n N -+≥∈的前4项为0,2，0,2，不符合条件； 对于C ，2*sin(1,)2n n n N π≥∈的前4项为1,0，1,0，符合条件； 对于D ，*1cos (1,)n n n N π+≥∈的前4项为0,2，0,2，不符合条件； 故选：C2．ABC 中，AB =4，BC =3，CA =2，则其最大内角的余弦值为（ ） A ．14B ．1116 C ．14-D ．78【答案】C【分析】由三角形中大边对大角，知ACB ∠最大，结合余弦定理即可得到正确选项. 【详解】由题意知，ABC 中，ACB ∠最大，故由余弦定理得：22294161cos 22324BC AC AB ACB BC AC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故选：C.3．若11tan ,tan 23==αβ，则tan()αβ+=（ ）A ．1-B ．1C ．17-D ．17【答案】B【分析】直接代入正切的两角和公式即可得解.【详解】115tan tan 236tan()11151tan tan 1236+++====-⋅-⋅αβαβαβ，故选：B.4．若α∈R ，则sin cos cos sin 33ππαααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．12-B ．12C ．32- D ．32 【答案】C【分析】根据两角差的恒等变换公式求解即可.【详解】3sin cos cos sin sin[]sin()33332ππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C5．矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，E 为BC 的中点，点F 满足2DF FC =，则AE AF ⋅=（ ） A ．8 B ．4C ．4-D ．8-【答案】A【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得AE AF ⋅.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为3AB =，2BC =，2DF FC =，则3,1E 、()2,2F ，()3,1AE =，()2,2AF =， 故32128AE AF ⋅=⨯+⨯=. 故选：A.6．函数()sin 2sin ,,2f x x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的零点为0x ，则tan20x 的值为（ ）A 3B ．3C ．3D 3【答案】D【分析】()sin 2sin sin (2cos 1)0f x x x x x =+=+=，根据,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得0x ，从而计算得到0tan 2x 的值.【详解】()sin 2sin sin (2cos 1)0f x x x x x =+=+=，又,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则01cos 2x =-，023x π=，故tan204tan 33x π== 故选：D7．如图，正六边形ABCDEF ，则以下向量的数量积的值中最大的为（ ）A ．AB FC ⋅ B ．AB AD ⋅ C ．AB AE ⋅ D ．AB AC ⋅【答案】A【分析】连接CF ，以线段CF 的中点O 为坐标原点，FC 为x 轴建立平面直角坐标系，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，计算出各选项中向量的数量积，由此可得出合适的选项.【详解】连接CF ，以线段CF 的中点O 为坐标原点，FC 为x 轴建立平面直角坐标系， 设正六边形ABCDEF 的边长为a ，则3,22a A a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭、3,22a B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、(),0C a 、3,22a D a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、3,22a E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、(),0F a -.对于A 选项，(),0AB a =，()2,0FC a =，则22AB FC a ⋅=； 对于B 选项，(),3AD a a =，2A D a B A =⋅； 对于C 选项，()0,3AE a =，则0AB AE =⋅；对于D选项，32AC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则232AB AC a ⋅=. 故选：A.8．若-1-22133232322n n n n n S -=+⨯+⨯++⨯+，则S =（ ）A ．134n +-B ．1132n n ++-C ．2132n n --D ．2-132n n -【答案】B【分析】根据题意可得S 为数列123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭前1n +项和，利用等比数列前n 项和公式即可得解.【详解】根据题意-1-22133232322n n n n n -+⨯+⨯++⨯+为数列123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭前1n +项和，而123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭为等比数列， 所以11123(1())332213n n n n S +++-==--， 故选：B.9．ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且3cos 3cos 2a B b A c -=，则tan tan A B的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】由正弦定理将条件展开，3sin cos 3sin cos 2sin 2sin()A B B A C A B -==+，从而求得tan tan AB的值. 【详解】由正弦定理知，3sin cos 3sin cos 2sin 2sin()A B B A C A B -==+， 即3sin cos 3sin cos 2sin cos 2sin cos A B B A A B B A -=+， 故sin cos 5sin cos A B B A =， 故tan 5tan AB= 故选：D10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23332m m S S =，2457m m a m a m -=+，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【分析】当1q =时，22mmS S =，可知1q ≠；利用等比数列通项公式和求和公式分别表示出已知等式，可构造方程求得m ，并得到5132q =，由此可解得结果. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ， 若1q =，则21122m m S ma S ma ==，不合题意，1q ∴≠； 2457m m m m m a a q m a a m -==+，457mm q m -∴=+；()()2122111331113211m m mm m m m a q S q q q S qa q q---===+=---，415732m m -∴=+，解得：5m =， 5132q ∴=，解得：12q =.故选：C.11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D 的测得点A 的在东偏南30方向上过一分钟后测得点B 处在山顶地的东偏南60方向上，俯角为45，则该车的行驶速度为（ ）A ．15米/秒B ．3/秒C ．20米/秒D ．3/秒【答案】A【分析】根据题意可得900AB =，再除以时间即可得解. 【详解】根据题意900CD =，由B 处在山顶俯角为45， 所以900BC =，由A 东偏南30，B 东偏南60，所以30,603030BAC ACB ∠=∠=-=， 所以ABC 为等腰三角形，所以900AB =， 由9001560=，所以速度为15米/秒， 故选：A12．如图，点C 是半径为6的扇形圆弧AB 上的一点，18OA OB →→⋅=-，若OC xOA y OB →→→=+，则3x +2y 的最大值为（ ）A ．2513B ．573C ．2573D ．513【答案】C【分析】根据18OA OB →→⋅=-，则120AOB ∠=，建立以O 点为原点的坐标系，设(6cos ,6sin )C αα，写出向量的坐标表示形式，用α的三角函数表示出x ，y ，从而求得32x y +的三角函数表达式，利用辅助角公式求得最大值.【详解】由66cos 18OA OB AOB →→⋅=⨯∠=-，则1cos 2AOB ∠=-，120AOB ∠=，建立如图所示坐标系，则(6,0)A ，(3,33)B -，设(6cos ,6sin )C αα，2[0,]3απ∈，由OC xOA y OB →→→=+知，(6cos ,6sin )(6,0)(3,33)(63,33)x y x y αα=+-=-， 化简得：3cos x αα=+，23y α=， 则32373323(cos )23cos x y ααααα+=++=+ 257)αϕ+，其中33tan ϕ=则当sin()1αϕ+=时，32x y +故选：C二、填空题13．函数()sin cos ,f x x x x R =+∈的最大值为__________.【分析】利用辅助角公式化简()f x ，由正弦型函数值域可求得结果.【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴当sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max f x14．若1cos 2(cos sin ),24k k Z πααααπ⎛⎫=-≠+∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=_________.【答案】12【分析】根据余弦的二倍角公式并对其因式分解可得cos 2(cos sin )(cos sin )ααααα=-+，又,4k k Z παπ≠+∈，所以cos sin 0αα-≠，根据已知条件，即可求出结果.【详解】因为22cos2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα=-=-+ 又1cos 2(cos sin )2ααα=-，且,4k k Z παπ≠+∈所以1(cos sin )(cos sin )(cos sin )2αααααα-=-+，且cos sin 0αα-≠所以1cos sin 2αα+=. 故答案为：12.15．《九章算术》是中国古代张苍、耿首昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第5节容量是 _________________升.(结果保留分数) 【答案】6766【分析】记从下部算起第n 节的容量为n a ，可知数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式可构造关于1,a d 的方程组，解方程组求得1,a d 后，利用通项公式可求得5a . 【详解】记从下部算起第n 节的容量为n a ，由题意可知：数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ， 则1231678913344263a a a a d a a a a a d ++=+=⎧⎨+++=+=⎩，解得：19566766a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，5167466a a d ∴=+=，即从下部算起第5节容量是6766升.故答案为：6766. 16．已知ABC 中，AC =1，BCABCAB 上存在点D ，使3BDC π∠=，则CD = _________.【答案】1【分析】由已知利用三角形面积公式可求1sin 2ACB ∠=，从而可求6ACB π∠=或56π，在ABC 中，由余弦定理可得AB ，进而可求B ，在BCD △中，由正弦定理可得CD 的值．【详解】解：AC =1，BCABC11sin 1sin 22AC BC ACB ACB=⋅∠=⨯∠，1sin 2ACB ∴∠=，6ACB π∴∠=或56π， 若56ACB π∠=，在ABC中，由余弦定理可得：AB利用正弦定理sin sin AB AC C B =，得sin sin AC C B AB ⨯==∴在BCD △中，由正弦定理可得：sin s in BC BCD BDC⋅=∠ 当6ACB π∠=时，∴在ABC中，由余弦定理可得：cos 1AB AC BC ACB ∠， ∵AB AC = 6B π∴∠=，∴在BCD △中，由正弦定理可得：1sin 1sin BC BCD BDC==∠．故答案为：1三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2n r =+，其中r 为常数. （1）求r 的值； （2）设1(1)2n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）0r =；（2）1nn +. 【分析】（1）求出前三项为1,3,5r +，利用等差中项的性质即可得解； （2）由（1）可得n b n =，11111n n b b n n +=-+，利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）先求前三项，111a S r ==+，2213a S S =-=，3325a S S =-=， 由{}n a 为等差数列，所以2132a a a =+， 所以66r =+，即0r =；（2） 由（1）知2n ≥，121n n n a S S n -=-=-， 11a =也满足，所以21n a n =-，所以n b n =，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 18．已知向量()cos ,sin a αα=，()sin ,cos b αα=-，设3m a b =+，3n a b =+. （1）求a b +的值； （2）求,m n 夹角的大小. 【答案】（1（2）6π.【分析】（1）由平面向量模长的坐标运算可直接求解得到结果；（2）利用平面向量坐标运算求得a b ⋅，a 和b ；利用平面向量数量积的运算律可求得m n ⋅，m 和n ，由向量夹角公式可求得结果.【详解】（1）()cos sin ,sin cos a b αααα+=-+，(cos a b α∴+==（2）由题意得：sin cos sin cos 0a b αααα⋅=-+=，1a =，1=b ，()()223334323m n a b a b a a b b ∴⋅=+⋅+=+⋅+=，()22233232m a ba ab b =+=+⋅+=，()22232332n a ba ab b =+=+⋅+=，3cos ,2m n m n m n ⋅∴<>==⋅，又[],0,m n π<>∈，,6m n π∴<>=.19．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，满足：111a b ==，221a b =+，331a b =+.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n C a b =⋅，数列{}n C 的前n 项和为n S ，求满足()131002,n n S n n N a *-->≥∈的最小正整数n 的值.【答案】（1）21n a n =-；12n n b -=；（2）7.【分析】（1）利用等差数列和等比数列通项公式可构造方程组求得,d q ，由此可得所求通项公式；（2）利用错位相减法可求得n S ，将不等式化为2100n >，结合n *∈N 可求得所求最小值.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >，由223311a b a b =+⎧⎨=+⎩得：211121d q d q +=+⎧⎨+=+⎩，解得：22d q =⎧⎨=⎩， ()12121n a n n ∴=+-=-；12n n b -=；（2）由（1）知：()1212n n C n -=-⋅，()()01221123252232212n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ()()12312123252232212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，()()()()21232121212222121212n n n n n S n n --∴-=--⋅+++⋅⋅⋅+=--⋅+-()1121224n n n +=--⋅+-()3223n n =-⋅-，()2323nn S n ∴=-⋅+，()12323210023n n n n n S a n --⋅-∴==>-， 又n *∈N ，6264=，72128=，∴最小正整数n 的值为7.20．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a =，29a =，4312n n n a a a ++=⋅.（1）若313log log n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列()()1411n n n b b b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：112n S ≤<. 【答案】（1）证明见解析；13123n n a -+=；（2）证明见解析.【分析】（1）对已知递推关系式左右取对数，结合对数运算法则可整理得到13n n b b +=，由此可证得数列{}n b 为等比数列；由等比数列通项公式求得n b ，利用累加法可求得3log n a ，由此可求得n a ；（2）由（1）可整理得到()()114112113131n n n n n b b b -+⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭，采用裂项相消法可求得n S ，由33n ≥，结合不等式性质可证得结论.【详解】（1）4312n n n a a a ++=⋅且0n a >，313324log 3log log n n n a a a ++∴=+，()3231313log log 3log log n n n n a a a a +++∴-=-，即13n n b b +=，又13231log log 1b a a =-=，∴数列{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列，13n n b -∴=；2331log log 3n n n a a --∴-=，33132log log 3n n n a a ----=，…，03231log log 3a a -=， 各式相加可得：()10121331131log log 33331132n n n n a a -----=++⋅⋅⋅+==--， ()131log 312n n a -∴=+，13123n n a -+∴=；（2）由（1）知：13n n b -=， ()()()()11114431121131313131n n n n n n n n b b b ---+⋅⎛⎫∴==- ⎪++++++⎝⎭， 11111111111222441010283131231n n n n S -⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， n N *∈，33n ∴≥，110314n ∴<≤+，111142312n ∴≤-<+，112n S ∴≤<. 21．已知ABC 为锐角三角形，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，ABC 满足：222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤.（1）求角A 的取值范围；（2）当角A取最大值时，若AB =ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）+⎝. 【分析】（1）利用正弦定理角化边可配凑得到cos A 的取值范围，根据ABC 为锐角三角形可求得A 的取值范围；（2）利用正弦定理和三角形内角和性质可将所求周长表示为3cos 12sin C L C +=⋅，根据ABC 为锐角三角形可求得C 的范围，令()cos 1sin x f x x +=，利用导数可求得单调性，从而确定cos 1sin C C+的范围，代入即可得到所求周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理可得：222a b c bc +-≤，即222b c a bc +-≥，2221cos 22b c a A bc +-∴=≥，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， A ∴的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦； （2）由（1）知：3A π=； 由正弦定理sin sin sin BC AC AB A BC ==sin AC B =， 32sin BC C ∴=，AC =ABC ∴周长L =233cos 132sin 2sin C C L C Cπ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭∴===⋅， ABC 为锐角三角形，0202B C ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，即203202C C πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得：62C ππ<<， 令()cos 1sin x f x x +=，则()()222sin cos cos 11cos sin sin x x x x f x x x--+--'==， 当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x ∴在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，cos 112sin C C +∴<<，3L <<+ 即ABC周长的取值范围为+⎝. 22．如图在小岛的正北方向上10n mile 的C 处有一艘货轮，为了躲避礁石，该货轮沿南偏西()3045θθ<<的方向航行，小岛B 有一艘快艇沿北偏西()90θ-角方向行驶给货轮运送补给，双方无线电约定在点P 处完成补给.货轮得到补给后将原航行方向顺时针旋转30向A 地运送物资.（1）如图，若A 地恰好在小岛B 的正西方向上，满足3AB BC ，求AC 两地的距离和θ的正切值；（2）如图2，若A 地恰好在小岛B 的西偏南5方向上，记()AP f θ=，令()()53sin 20f g θθθ=，计算当35θ=时，()g θ的值； （3）如图2，设PBC 的面积为()h θ，计算当36θ=时，()h θ的值.【答案】（1）AC 两地的距离为20 n mile ；3tan θ=；（2）() 5.14g θ≈-；（3）()23.78h θ≈. 【分析】（1）利用勾股定理可直接求得AC ；在ABP △中，利用正弦定理可构造关于sin ,cos θθ的齐次式，化简整理可得tan θ； （2）在ABP △中，利用正弦定理可得到()f θ，代入即可得到()g θ，将35θ=代入整理可求得结果；（3）根据90CPB ∠=可知12BPC SBP CP =⋅，整理得到()h θ，代入36θ=即可求得结果.【详解】（1）由题意知：10BC =，103AB =BCP θ∠=，90CPB ABC ∠=∠=， 10sin BP θ∴=，2220AC BC AB +=，即AC 两地的距离为20 n mile ； 在ABP △中，120APB ∠=，ABP θ∠=，60PAB θ∴∠=-，由正弦定理sin sin BP AB PAB APB =∠∠得：()10sin 103sin 603θθ=- 即()sin 2sin 603sin θθθθ=-=-，2sin 3θθ∴， sin 3tan cos θθθ∴==（2）由题意知：10sin BP θ=，120APB ∠=，5ABP θ∠=+，55PAB θ∴∠=-， 在ABP △中，由正弦定理sin sin BP AP PAB ABP =∠∠得：()()10sin sin 55sin 5AP θθθ=-+， ()()()10sin sin 5sin 55f AP θθθθ+∴==-，()()()10sin 5sin 55320g θθθ+∴=-；当35θ=时，()53cos 53cos 20cos 10sin 40202020sin 2020sin 20g θ=-=-，()200.94 5.14g θ∴≈⨯≈-. （3）由题意知：10sin BP θ=，10cos CP θ=， ()150sin cos 25sin 22BPC h S BP CP θθθθ∴==⋅==， 当36θ=时，()25sin7223.78h θ=≈.。

四川省成都市第七中学高一下学期期中 数学试题一、单选题1．cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒=（ ）A ．0B ．12C ．12-D 【答案】B【解析】由两角差余弦公式计算． 【详解】原式=1cos(7515)cos602︒-︒=︒=． 故选：B. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，属于基础题．2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222a b c tanB -+=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 【答案】D【解析】直接利用余弦定理及同角基本关系式即可得出． 【详解】∵()222a b c tanB -+=，∴222a cb ac tanB+-=．∴cos B 22222a c b ac tanB+-==，∴sin B =B ∈（0，π）． ∴B 3π=或23π． 故选D ． 【点睛】本题考查了三角函数求值、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．已知110a b <<，给出下列三个结论：①22a b <；②2b a a b+>；③2lg lg a ab >.中所有的正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A【解析】代入,a b 的特殊值，对错误序号进行排除，由此得到正确选项. 【详解】不妨设2,1-=-=b a ，满足110a b<<.代入验证①()()2212-<-成立，代入②2152122--+=>--成立，代入③()2lg 10lg 2-=<错误，由此排除B,C,D 三个选项，本小题选A. 【点睛】本小题主要考查利用特殊值进行实数比较大小，还考查对数的运算，属于基础题. 4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1200尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ） A ．12 B ．11C ．10D ．9【答案】B【解析】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成一个等比数列，只是公比不同，然后由等比数列前n 项和公式计算可得． 【详解】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列{},{}n n a b ，它们都是等比数列，111a b ==，数列{}n a 的公比为12q =，数列{}n b 的公比为212q =，设需要n 天能打穿墙， 则1212()()n n a a a b b b +++++++L L 111()121221112212nnn n ---=+=+---， 10n =时，19112110251025120022n n -+-=-≈<，11n =时，110112120492049120022n n -+-=-≈>，因此需要11天才能打穿．故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的应用，掌握等比数列的前n 项和公式是解题关键．5．如图，点A B 、在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O 与x 正半轴的交点是C ，点B的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOC α∠=，若1,AB = 则sin α的值为（ ）A 343-+ B 343+ C 433+ D 433-+ 【答案】A【解析】直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A 的坐标,由A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合2sin α+2cos α=1，即可解得sin α的值． 【详解】 半径r ＝|OB |2243()()55=+-=1， 由三角函数定义知，点A 的坐标为（cosα，sinα）； ∵点B 的坐标为（45，35-），|BC |1=， ∴22431()()55cos sin αα=-+-- ∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又2sin α+2cos α=1， ∴解得sin 34310α-+=或34310--，又点A 位于第一象限，∴0<α<2π，∴sin 343α-+= 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】{}n a Q 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7．在ABC ∆中，7AB =，6AC =，M 是BC 的中点，4AM =，则BC 等于（ ） A ．21B 106C 69D 154【答案】B【解析】设2BC m = ，则22222247460,224242m m m BC m m m +-+-+=⇒===⨯⨯选B.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.8．关于x 的方程22cos cos cos02Cx x A B -⋅-=有一个根为1，则此三角形为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【答案】A【解析】把1x =代入方程，由降幂公式降幂后由诱导公式及两角和的余弦公式变形后可得． 【详解】由题意21cos cos cos02C A B --=，21cos cos cos sin 22C C A B -==， 2cos cos 1cos 1cos()1cos cos sin sin A B C A B A B A B =-=++=+-，∴cos()1A B -=，因为,A B 是三角形内角，∴0A B -=，即A B =． 因此ABC ∆是等腰三角形． 故选：A. 【点睛】本题考查三角形形状的判断．利用降幂公式，诱导公式，两角和与差的余弦公式变形即可得．9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2010210S S -=，则3020S S -的最小值为（ ） A ．40 B ．30C ．20D ．10【答案】A【解析】由等比数列性质把和式用10S 和q 表示，求比值302020102S S S S --后用基本不等式可得最小值． 【详解】∵{}n a 是正项等比数列，∴302020102S S S S --20201010101010(1)21q S q q S S q ==+--20101010111111q q q q -+==++--10101121q q =-++-101012(1)241q q ≥-⋅+=-，当且仅当1010111q q -=-，即102q =时等号成立．∴3020S S -的最小值为41040⨯=．故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查基本不等式求最值，解题时可把10S 作为一个整体，表示出302020102S S S S --后容易观察到用基本不等式求最小值．10．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫⎪⎝⎭，则且当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为32，则m 的值为（ ）A ．58B ．12C ．58和12D ．58和12-【答案】B【解析】由图可知，143124T πππ=-=，解得πT =,于是2πT πω==，得2ω=.因为22?sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 所以2π2k π,k Z 32πϕ+=+∈，又2πϕ<，故6πϕ=-.所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.()()22sin 44m?sin 2cos 44m?sin 212266366g x mf x x x x x sin x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222[2]216sin x m m π⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭.因为5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是220,?63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 20,16x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.①当0m <时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符； ②当01m ≤≤时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221m +， 由已知得23212m +=，解得12m =. ③当1m >时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值4m 1-. 由已知得34m 12-=，解得58m =,矛盾. 综上所述：12m =. 故选B.点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ11．已知()()()23f x m x m x m =-++，()42xg x =-，若对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．7,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．7,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先求得()0<g x 的解集12x <，接着用分类讨论方法解不等式()0f x <，只要12x ≥时，()0f x <即可． 【详解】由()420xg x =-<得12x <， 因此对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，只要12x ≥时，()0f x <即可， ()()()23f x m x m x m =-++，∴0m <，()0f x =2x m ⇒=或3x m =--，由23m m =--得1m =-，当10m -≤<时，23m m ≥--，()0f x <⇒2x m >或3x m <+，∴122m <，14m <，∴10m -≤<满足题意，当1m <-时，23m m <--，()0f x <⇒2x m <或3x m >--，∴132m --<，72m >-，∴712m -<<-，综上，702m -<<．故选：C. 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查含参数的一元二次不等式的解集问题．分类讨论是解决含参数的一元二次不等式的基本方法． 12．设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦L ，求整数n 的值是（ ）A ．120B ．121C ．122D ．123【答案】C【解析】由已知得210n n n a a a +-=>，确定数列{}n a 是递增数列，1{}na 是递减数列，且10n a >，已知式变为11111n n n a a a +=-+，即11111n n n a a a +=-+，1111n n n a a a =-++，求和得1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--，利用单调性估值1111n a a +-，2n ≥时，1311a a -≤1111n a a +-11a <，然后可求得1212[]111n n a a a a a a ++++++L ． 【详解】∵()11n n n a a a +=+2n n a a =+，∴210n n n a a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，从而数列1{}n a 是递减数列，且10na >， 又由()11n n n a a a +=+得11111n n n a a a +=-+， 即11111n n n a a a +=-+，1111111n n n n n a a a a a +-==-+++，∴1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--， ∴1212[]111n n a a a a a a ++++++L 1111[()]n n a a +=--，又1111112n a a a +-<=， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，2n ≥时，111311112621n a a a a +-≥-=，此时1212[]111n n a a a a a a ++++++L 2n =-， 由2120n -=，得122n =． 故选：C. 【点睛】本题考查数列的递推关系式，考查裂项相消法求和、数列的单调性，考查学生的创新意识．二、填空题13．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集是(1,m )，则m = ． 【答案】2【解析】试题分析：x=1时，a-6+2a =0（1）1a =-3，-32x -6x+9<0,得x<-3,或x>1,与题不合。

A ．√3 √213．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）b ＞2 7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）B ．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nAt a nB = 3 √3，则 tan A tan B 的值为（ ）10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5四川省成都市第七中学 2019-2020 学年高一下期期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2√6 √2 2B ．4C ．2D ．42．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）1 A ．2B ．1C ．﹣1D ． 21A ．121 B ．43 C ．4D ．√3211 4．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2b aC ．aD ．|a |+|b |＞|a +b |△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√66．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48SS 39A ．8B ．99 7C ．9 或﹣7D ． 或8 88．化简c o s25°si n25°的结果为（）si n 40°si n 50°1 A ．1C ．22D ．﹣121 A ．41 B ．31 C ．25 D ．31 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．5811．有一块半径为 2，圆心角为 45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =．16．已知正数 x ，y 满足 x +y ＝2，若a ≤ x+1 + y+2恒成立，则实数 a 的取值范围是．形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上） 则这个内接矩形的面积最大值为（）A ．2 + √2B ．2 − √2C ．2√2 − 2D ．2√2 + 212．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3， 1)，则 l 的倾斜角的取值范围是．π π15．不等式（x ﹣2）√x 2 − x − 6 ≥0 的解集为．x 2 y 2三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．19．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝﹣26，a 5+a 9＝﹣38．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n +b n }是首项为 1，公比为 t 的等比数列，求{b n }的前 n 项和 S n ．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+λ（λ为常数）．（1）试探究数列{a n+2λ}是否为等比数列，并求a n；（2）当λ＝2时，求数列{n(a n+2λ)}的前n项和T n．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且3(S n+1)=4a n，n∈N∗（1）求{a n}的通项公式；2）求证：1+S2S3+S n+1＞π3π11S（S2S3 S4+⋯+S n n4−115．A ．√3 √2sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°= √2 × √2 2 × √ = √ 4 ． B ．1 C ．﹣1D ． 23．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）∵s i n xc o s x = 2，∴两边平方，可得：1﹣2sin x cos x ＝1﹣sin2x = 4，∴解得：sin2x = 4．七中高一下期期中参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2 √6 √2 2B ．4C ．2D ．4易知 sin105°＝sin （60°+45°），展开计算即可得解．3 2 1 2故选：B ．本题主要考查和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）26 √ 21 A ．21利用等差数列的通项公式即可得出．∵a 4＝7，a 7＝4，∴7+3d ＝4，d ＝﹣1．故选：C ．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11 A ．21 B ．43 √3C ．D ．4 2将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．113故选：C ．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．1 14．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abb ＞2b ≥2 且当 a ＝b 时取等号，又因 b ＜a ，b ＞2，故 C 对； s i n B=∵等差数列{a n }中，S 10= 2 （a 4+a 7）＝240，baA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ． + aD ．|a |+|b |＞|a +b |由题意先求出 b ＜a ＜0，根据它们的关系分别用作差法判断 A 和 B 选项，利用基本不等式判断 C 选项，由几何意义判断 D 选项．1 1∵ ＜ ＜0，∴b ＜a ＜0，abA 、∵b ＜a ＜0，∴a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）＜0，则 a 2＜b 2，故 A 对；B 、ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＜0，则 ab ＜b 2，故 B 对；b a baC 、∵b ＜a ＜0，∴ ＞0， ＞0，则 + a b a ba∴ + aD 、∵b ＜a ＜0，∴|a |+|b |＝|a +b |成立，故 D 不对．故选：D ．本题考查了比较大小的方法，作差法和基本不等式，用基本不等式时应验证三个条件，即一正二定三相等是否成立．△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√6由已知利用正弦定理即可求解．∵b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，∴由正弦定理bc s i n C，可得2√2= c√3，22∴解得 c = √6．故选：D ．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解．10∴a 4+a 7＝48．故选：D ．本题考查等差数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，由 a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ，再利用求和公式化简 6，代入即可得设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，∵a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ＝± ．S 61q1 9 1 7 8 = ． 则 = =1+q 3＝1+= 或 1 a1(1q 3)S 3 8．化简c o s 25°si n25°原式=si n 40°cos40°= si n 40°cos40°= si n 40°cos40° = 2．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nA+ tanB= 3 √3，则tan A tan B 的值为（ ）B ．1t a nAt a nB = 1t a nAt a nB ，故1 t a nAt a nB= 3，即t a nAt a nB= 3．10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5SS 39A ．89 7B ．9C ．9 或﹣7D ． 或8 8SS 3出．1 2a1(1q 6)8 8 81q故选：D ． 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．si n 40°si n 50°的结果为（）1 A ．1C ．2D ．﹣12利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．cos10° si n 80° 2si n 40°cos40°故选：C ．本题主要考查二倍角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．21 A ．41 B ．31 C ．25 D ．3根据 A +B ＝180°﹣C ＝60°，先求出 tan （A +B ）的值，再求 tan A tan B ．tan(A+ B) = tan(180°120°) = √3 = t a nA+t a nB2√ 3 32 1故选：B ．本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．1 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．58结合已知可先求出公比 q 及首项 a 1，然后根据等比数列的求和公式可求．∵a5−3a7=2，∴a7=2，∴q2=a7=4，∴q=2，q4∴S5==62，sin(45°−θ)=a2•a8＝4，可得a52＝4，∵数列{a n}为各项均为正数的等比数列，∴a5＝2，11a151∴a1=a5=32，32(1−1)251−12故选：B．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上）则这个内接矩形的面积最大值为（）A．2+√2B．2−√2C．2√2−2D．2√2+2直接利用正弦定理的应用整理出矩形的两边长，进一步利用矩形的面积公式把面积用三角函数的关系表达式整理出来，最后利用三角函数关系式的变换和正弦型函数性质的应用求出结果．根据题意得到图形：如图所示：设∠COB＝θ．所以BC＝2sinθ，在△ODC中，∠ODC＝180°﹣45°＝135°，利用正弦定理：DC OCsi n135°，整理得CD=2√2sin(45°−θ)，所以 S 矩形＝BC •CD = 2s i n θ ⋅ 2√2sin(45° − θ) =4√2sin （45°﹣θ）sin θ＝2√2si n (2θ + 4) − 2．当θ = 8时，S 矩形的最大值为 2√2 − 2． 3 ，π） ．3 ，π）． 3 ，π）．14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =−∵c o s(2 +α) = 2cos(π − α)，ππ故选：C ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b利用已知条件，推出 a 的范围，b 与 c 的关系，利用特殊值判断即可．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1，可得（a ﹣1）2＝c ﹣b ≥0，可得 c ≥b ，排除 B ，D ，a +b 2+1＝0，可得 a ≤﹣1，当 a ＝﹣1 时，b ＝0，排除 B ，C所以 A 正确．故选：A ．本题考查函数与方程的应用，考查推理与判断能力．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分π2π13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角的取值范围是[0， ）∪（ 4根据直线 l 斜率的取值范围得出倾斜角正切值取值范围，由此求出倾斜角 θ 的取值范围．直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角 θ 满足−√3＜tan θ＜1，其中 θ∈[0，π），π2π所以 θ 的取值范围是[0， ）∪（ 4π 2π故答案为：[0， ）∪（ 4本题考查了直线方程的倾斜角与斜率问题，是基础题．π π1 3．先利用诱导公式可得 sin α＝2cos α，进而可得 tan α＝2，再利用正切的差角公式得解．π∴﹣sin α＝﹣2cos α，∴t a n(4−α)=1+2=−．=故答案为：−3．x2−x−6＞0或x﹣x﹣6＝016．已知正数x，y满足x+y＝2，若a≤x+1+y+2恒成立，则实数a的取值范围是（−∞，5]．t a nπ−t a nα+(y+2−2)25+x+1++(y+2−2)2(x+1)2−2(x+1)+1(y+2)2−4(y+2)+4=+，x+1+y+2−4+y+2，x+1+y+2−1，+y+25+5(y+2)+5(x+1)+−15(y+2)5(x+1)=，4(x+1)⋅∴tanα＝2，π1−2141+tanπt a nα341本题考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，和差角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．15．不等式（x﹣2）√x2−x−6≥0的解集为[3，+∞）∪{﹣2}．根据不等式中根式的讨论：分大于0，等于0两类，将无理不等式转化为二次不等式组或二次方程解．原不等式同解于x−2≥02解得x＞3或x＝﹣2或x＝3故答案为：[3，+∞）∪{﹣2}．求分式不等式、无理不等式一般先将它们同解变形为整数不等式来解，注意：一定要使原不等式的各部分有意义．x2y24首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得(x+1−1)2x+1y+2=(x+1)2−2(x+1)+1x+1+(y+2)2−4(y+2)+4y+2，最后利用基本不等式的应用求出结果．已知正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，x+1所以：y+25=1则：x2y2y+2=(x+1−1)2x+1y+2，x+1y+2=x+1−2+14 =14x+1＝（515）（x+1+4y+2）﹣1，=14(x+1)y+245≥1−1+2√y+245要使a ≤ x+1 + y+2恒成立，只需满足a ≤ (x+1 + y+2)mi n 即可，故a ≤ 5．故答案为：（−∞，5]．对应的一元二次方程有两个实数根 x = 和 x = ，4 ＜ ∴不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；对应的一元二次方程有两个相等的实数根 x = − 4，∴不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；综上，a ＞4 或 a ＜﹣4 时，不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；a ＝±4 时，不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；x 2 y 2 x 2 y 244本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．讨论 ＞△0， ＝0 以及 ＜△0 时对应不等式的解集即可．关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）中，△＝a 2﹣4×2×2＝a 2﹣16，当 a ＞4 或 a ＜﹣4 时， ＞△0，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4且 −a−√a 2 −16 −a+√a 2 −164 ，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4当 a ＝±4 时， ＝△0，aa当﹣4 ＜a ＜4 时， ＜△0，∴不等式的解集为 R ；−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4a﹣ 4＜a ＜4 时，不等式的解集为 R ．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若 ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．∴cos B=．2∴B=3．（2）据（1）求解知B=3，又S=2ac sin B＝3√3，（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知得sin C＝2sin C cos B，由0＜C＜π，可求cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）根据余弦定理，三角形面积公式即可解得a+c的值．（1）∵b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．∴由正弦定理，得：sin B cos A﹣sin C cos B＝（sin C﹣sin A）cos B．∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin C cos B．∴sin（A+B）＝2sin C cos B．又A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C．又∵0＜C＜π，1又B∈（0，π），ππ∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac．①1∴ac＝12，②又∵b=√13，∴据①②解，得a+c＝7．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．在等差数列{a n}中，a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为t的等比数列，求{b n}的前n项和S n．（1）数列{a n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（2）a n+b n＝t n﹣1，可得b n＝t n﹣1+3n﹣2，运用数列的分组求和，计算可得所求和．（1）设等差数列{a n}的公差为d，当t≠1时，S n=+21−t，当t＝1时，S n=3n2−n+n=．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．（1）化简函数f（x），结合题意可得f(x)=2si n(6x+6)+1，进而求得单调增区间及最值；（1）f(x)=√3si n2ωx+cos2ωx+1=2si n(2ωx+6)+1，3，解得ω＝3，∴f(x)=2si n(6x+6)+1，令−2+2kπ≤6x+6≤2+2kπ，k∈Z，解得πππkππkππ∴其单调递增区间为[3−9，3+18](k∈Z)；当x=3+18(k∈Z)时，f（x）max＝3，当x=3−9(k∈Z)时，f（x）min＝﹣1；（2）∵x∈[0，6]，6≤由a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38，可，得a5+a9﹣（a3+a7）＝4d＝﹣12，即d＝﹣3，∴a3+a7＝2a1+8d＝﹣26，解得a1＝﹣1，∴数列{a n}的通项公式为a n＝﹣3n+2；（2）由数列{a n+b n}是首项为a1，公比为t的等比数列，∴a n+b n＝t n﹣1，∴b n＝t n﹣1+3n﹣2，∴S n＝[1+4+7+…+（3n﹣2）]+（1+t+t2+…+t n﹣1）=3n2−n2+（1+t+t2+…+t n﹣1），3n2−n1−t n3n2+n22本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．π3（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；ππ（2）问题等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝2m﹣1恰有两个不同的交点，作出图象，结合图象可得2≤2m﹣1＜3，进而得解．ππ2π又周期为，故32ω=ππ−≤x≤+39318，k∈Z，kππkππkππkπππ∴π6≤6x+π7π6，结合图象可知，2≤2m ﹣1＜3，解得 ≤ m ＜2．综上，实数 m 的取值范围为[2 ，2)． （1）试探究数列{a n + 2 λ}是否为等比数列，并求 a n ；（2）当 λ＝2 时，求数列{n(a n + 2 λ)}的前 n 项和 T n ．本题第（1）题将题干中的递推公式 进行转化可得 a n +1+ 2λ＝3（a n + 2λ），然后根据 a 1＝1，可得 a 1 + 2λ＝0 和 a 1+ 2λ≠0 两种情况，当 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}是常数列，不是等比数列；当 a 1+ 2λ≠0 时， 数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时通过计算出数列{a n + 2 λ}的通项第（2）题将 λ＝2 代入数列{a n + 2 λ}的通项公式，并进一步计算出数列{n(a n + 2 λ)}的通项公式，然后a n +1+ 2λ＝3a n +λ+ 2λ＝3（a n + 2λ），∴当 λ＝﹣2，即 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}不是等比数列， 此时 a n + 2λ＝a 1+ 2λ＝a 1﹣1＝0，a n ＝a 1＝1，n ∈N *．当 λ≠﹣2，即 a 1+ 2λ≠0时，a n + 2λ≠0，由函数 g （x ）＝f （x ）﹣2m +1 恰有两个不同的零点，得函数 y ＝f （x ）的图象与直线 y ＝2m ﹣1 恰有两个不同的交点，323本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力及数形结合思想，属于基础题．21．已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n +1＝3a n +λ（λ 为常数）．111 1 11 1 1 11 1 1 1公式即可进一步计算出数列{a n }的通项公式．1 1运用错位相减法计算前 n 项和 T n ．（1）依题意，由 a n +1＝3a n +λ，可得1 1 1∵a 1＝1，1 11 11 1数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时 a n + 2λ＝（a 1+ 2λ）•3n ﹣1＝（1+ 2λ）•3n ﹣1， ∴a n ＝（1+ 2λ）•3n ﹣1− 2λ，n ∈N *．则 n （a n + 2λ）＝2n •3n ﹣1， 1−3 −n •3n ）＝2[（ −n ）•3n − ]， ﹣2T n ＝2（1+31+32+…+3n ﹣1﹣n •3n ）＝2•（ 2∴T n ＝（n − 2）•3n + 2S 3 + S 3S 4 +⋯+ S nS n+1 ＞ S n+1 的表达式并进行转化得到 S n第（2）题先根据第（1）题的结果计算出 S n 的表达式，进一步可计算出S n+1 = ﹣1）≥15•4n ，则有 ≤ 1 5⋅4 n ，再代入S 1 S 2 + S 2 S 3 + ⋯+ S n1 1 11 1 11 1（2）由（1）知，当 λ＝2 时，a n ＝2•3n ﹣1﹣1，1T n ＝2[1•1+2•31+3•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣2+n •3n ﹣1]，①3T n ＝2[1•31+2•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣1+n •3n ]，② ①﹣②，可得1−3n1 1 21 1本题主要考查等比数列的判定，以及求数列的通项公式和运用错位相减法计算前 n 项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．22．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且3(S n + 1) = 4a n ，n ∈ N ∗（1）求{a n }的通项公式；（2）求证：S 1S 2+S 2n 4 − 1 15．本题第（1）题先将 n ＝1 代入表达式，根据 S 1＝a 1 可解出 a 1 的值，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减并进行计算可得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2），即可得数列{a n }是以 3 为首项，4为公比的等比数列，即可求出数列{a n }的通项公式；S n 14 − 3 4(4 n+1 −1)，然后根据当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0 对 4（4n +1﹣1）进行转化计算并应用放缩法可得 4（4n +13 4(4 n+1 −1) S n+1 进行放缩后依据等比数列的求和公式进行求和，再次运用放缩法可证明不等式成立．（1）解：由题意，当 n ＝1 时，3（a 1+1）＝4a 1，解得 a 1＝3，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减，可得 3a n ＝4a n ﹣4a n ﹣1，1−4=4n﹣1，Sn1=5⋅4 n ）4 − （ 1 4(1−4n ) − • 1−14 − 15（1− n ）4 n 1 1 14 15 15 4n 4 − 15，整理，得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2）， ∴数列{a n }是以 3 为首项，4 为公比的等比数列， ∴a n ＝3•4n ﹣1，n ∈N *．（2）证明：由（1）知，S n = 3(1−4n )则 S n4n −1 4n1 −1=4(4 n −1) 4(4 n1 −1) = 4n1 −4 4(4 n1 −1) = 4n1 −1−3 4(4 n1 −1) = 1 4 − 34(4 n1 −1) ，∵当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0，∴4（4n +1﹣1）＝16•4n ﹣4＝15•4n +4n ﹣4≥15•4n ，∴ 34(4 n1−1) ≤ 3 15⋅4 n = 1 5⋅4 n，则 S 1 S 2 S 2 S 3 ⋯ S n S n1 1 ≥（ − 4 1 1 1 1 1 ）+（ − ）+…+（ −5⋅41 4 5⋅4 2 4= n 1 5 1 41 142 ⋯ 1 4n）= n4 5 1 14= =＞ n 1 1−• n 1故得证．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，分组求和法，等比数列的基本量计算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，本题多次应用放缩法，属较难题．。

绝密★启用前2020年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒=（ ） A ．0B ．12C ．12-D 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222a b c tanB -+=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 3．已知110a b <<，给出下列三个结论：①22a b <；②2b a a b+>；③2lg lg a ab >.中所有的正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1200尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ） A ．12B ．11C ．10D ．95．如图，点A 、B 在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O 与x 正半轴的交点是C ，点B 的坐标为(45,−35)，∠AOC =α，若|AB |=1, 则sinα的值为（ ）………○………………○……※※请※………○………………○……A ．−3+4√310B ．3+4√310C ．4+3√310D ．−4+3√3106．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3B ．4C ．5D ．67．在ABC ∆中，7AB =，6AC =，M 是BC 的中点，4AM =，则BC 等于（ ）A B C D 8．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅-=有一个根为1，则此三角形为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2010210S S -=，则3020S S -的最小值为（ ） A ．40B ．30C ．20D ．1010．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫⎪⎝⎭，则且当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为32，则m 的值为（ ）A ．58B ．12C ．58和12D ．58和12-11．已知()()()23f x m x m x m =-++，()42xg x =-，若对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是（ ） A ．10,⎛⎫ ⎪B ．1,⎛⎫-∞ ⎪ C ．7,0⎛⎫-⎪ D ．7,⎛⎫-∞-⎪12．设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦L ，求整数n 的值是（ ）A ．120B ．121C ．122D ．123第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集是(1,m )，则m = ． 14．已知正数a ，b 满足a b >，且1ab =，则12aba a a b-+-的最小值为______. 15．已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且2cos 3n n n b a π=⋅，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则39S =______.16．定义11222n nn a a a H n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“均值”,已知数列{}n b 的“均值”12n n H +=，记数列{}n b kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意正整数n 恒成立，则实数k 的范围为__________． 三、解答题17．已知函数2()cos cos 444x x x f x =+． （1）若()1f x =，求2πcos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足1cos 2a C cb +=，求()f B 的取值范围．18．ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4csinC =(b +a)(sinB −sinA). （1）试问a ，b ，c 是否可能依次成等差数列？为什么？ （2）当cosC 取得最小值时，求ca .○…………装…………请※※不※※要※※在※※装※○…………装…………19．已知等差数列{}n a 满足：42a =-，253a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =，12n n nnb b a +-=，求数列{}n b 的通项公式. 20．已知等比数列{}n a 的公比(1,)q ∈+∞，前n 项和为n S ，若3248S a +=，且223a -是1a 与3a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，记数列{}n a 的前n 项和n T ，若存在*n N ∈使1n nT m a <+成立，求实数m 的取值范围. 21．如图，某机械厂欲从2AB =米，AD =ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点,E F 分别在边,BC AD 上，且EB EF =，AF AE <.设BEF θ∠=，四边形ABEF 的面积为()f θ（单位：平方米）.（1）求()fθ关于θ的函数关系式，求出定义域；（2）当,BE AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11221n n n S a ++=-+（*n N ∈），且25a =.（1）证明n na +12⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()nn 3n b =log a +2，且n 2222123n1111T =++++b b b b L 证明2n T <； （3）在（2）小问的条件下，若对任意的*n N ∈，不等式参考答案1．B 【解析】 【分析】由两角差余弦公式计算． 【详解】原式=1cos(7515)cos602︒-︒=︒=． 故选：B. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，属于基础题． 2．D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理及同角基本关系式即可得出． 【详解】∵()222a b c tanB -+=，∴222a c b ac tanB+-=．∴cos B 22222a c b ac tanB+-==，∴sin B =B ∈（0，π）． ∴B 3π=或23π． 故选D ． 【点睛】本题考查了三角函数求值、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】代入,a b 的特殊值，对错误序号进行排除，由此得到正确选项.【详解】不妨设2,1-=-=b a ，满足110a b<<.代入验证①()()2212-<-成立，代入②2152122--+=>--成立，代入③()2lg 10lg 2-=<错误，由此排除B,C,D 三个选项，本小题选A. 【点睛】本小题主要考查利用特殊值进行实数比较大小，还考查对数的运算，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成一个等比数列，只是公比不同，然后由等比数列前n 项和公式计算可得． 【详解】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列{},{}n n a b ，它们都是等比数列，111a b ==，数列{}n a 的公比为12q =，数列{}n b 的公比为212q =，设需要n 天能打穿墙， 则1212()()n n a a a b b b +++++++L L 111()121221112212nnn n ---=+=+---， 10n =时，19112110251025120022n n -+-=-≈<，11n =时，110112120492049120022n n -+-=-≈>，因此需要11天才能打穿． 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的应用，掌握等比数列的前n 项和公式是解题关键． 5．A 【解析】 【分析】直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A 的坐标,由A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合sin 2α+cos 2α=1，即可解得sinα的值． 【详解】半径r ＝|OB |=√(45)2+(−35)2=1，由三角函数定义知，点A 的坐标为（cosα，sinα）； ∵点B 的坐标为（45，−35），|BC |=1， ∴1=√(45−cosα)2+(−35−sinα)2，∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又sin 2α+cos 2α=1，∴解得sin α=−3+4√310或−3−4√310，又点A 位于第一象限，∴0<α<π2，∴sin α=−3+4√310， 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题． 6．C 【解析】 【分析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果.【详解】{}n a Q 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 7．B 【解析】设2BC m = ，则2222224746022424m m m BC m m m +-+-+=⇒===⨯⨯选B.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 8．A 【解析】 【分析】把1x =代入方程，由降幂公式降幂后由诱导公式及两角和的余弦公式变形后可得． 【详解】由题意21cos cos cos02C A B --=，21cos cos cos sin 22C CA B -==， 2cos cos 1cos 1cos()1cos cos sin sin A B C A B A B A B =-=++=+-，∴cos()1A B -=，因为,A B 是三角形内角，∴0A B -=，即A B =． 因此ABC ∆是等腰三角形． 故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断．利用降幂公式，诱导公式，两角和与差的余弦公式变形即可得． 9．A 【解析】 【分析】由等比数列性质把和式用10S 和q 表示，求比值302020102S S S S --后用基本不等式可得最小值．【详解】∵{}n a 是正项等比数列，∴302020102S S S S --20201010101010(1)21q S q q S S q ==+--20101010111111q q q q -+==++--10101121q q =-++-24≥=，当且仅当1010111q q -=-，即102q =时等号成立． ∴3020S S -的最小值为41040⨯=．故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查基本不等式求最值，解题时可把10S 作为一个整体，表示出302020102S S S S --后容易观察到用基本不等式求最小值．10．B 【解析】 由图可知，143124T πππ=-=，解得πT =,于是2πT πω==，得2ω=.因为22?sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 所以2π2k π,k Z 32πϕ+=+∈，又2πϕ<，故6πϕ=-. 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.()()22sin 44m?sin 2cos 44m?sin 212266366g x mf x x x x x sin x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222[2]216sin x m m π⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭.因为5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是220,?63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 20,16x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.①当0m <时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符； ②当01m ≤≤时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221m +， 由已知得23212m +=，解得12m =. ③当1m >时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值4m 1-. 由已知得34m 12-=，解得58m =,矛盾. 综上所述：12m =. 故选B.点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ 11．C 【解析】 【分析】先求得()0<g x 的解集12x <，接着用分类讨论方法解不等式()0f x <，只要12x ≥时，()0f x <即可．【详解】由()420xg x =-<得12x <， 因此对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，只要12x ≥时，()0f x <即可， ()()()23f x m x m x m =-++，∴0m <，()0f x =2x m ⇒=或3x m =--，由23m m =--得1m =-，当10m -≤<时，23m m ≥--，()0f x <⇒2x m >或3x m <+，∴122m <，14m <，∴10m -≤<满足题意，当1m <-时，23m m <--，()0f x <⇒2x m <或3x m >--，∴132m --<，72m >-，∴712m -<<-， 综上，702m -<<． 故选：C. 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查含参数的一元二次不等式的解集问题．分类讨论是解决含参数的一元二次不等式的基本方法． 12．C 【解析】 【分析】由已知得210n n n a a a +-=>，确定数列{}n a 是递增数列，1{}n a 是递减数列，且10na >，已知式变为11111n n n a a a +=-+，即11111n n n a a a +=-+，1111n n n a a a =-++，求和得1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--，利用单调性估值1111n a a +-，2n ≥时，1311a a -≤1111n a a +-11a <，然后可求得1212[]111n n a a a a a a ++++++L ． 【详解】∵()11n n n a a a +=+2n n a a =+，∴210n n n a a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，从而数列1{}n a 是递减数列，且10na >， 又由()11n n n a a a +=+得11111n n n a a a +=-+， 即11111n n n a a a +=-+，1111111n n n n n a a a a a +-==-+++，∴1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--， ∴1212[]111n n a a a a a a ++++++L 1111[()]n n a a +=--，又1111112n a a a +-<=， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，2n ≥时，111311112621n a a a a +-≥-=，此时1212[]111n n a a a a a a ++++++L 2n =-， 由2120n -=，得122n =． 故选：C. 【点睛】本题考查数列的递推关系式，考查裂项相消法求和、数列的单调性，考查学生的创新意识． 13．2 【解析】试题分析：x=1时，a-6+2a =0（1）1a =-3，-32x -6x+9<0,得x<-3,或x>1,与题不合。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题13．在菱形ABCD 中，()2,3AC =-uuu r ，()1,2BD x =-uuu r ，则x =______.14．已知定义域为R 的函数()f x 同时满足以下三个条件：（1）函数的图象不过原点；（2）对任意x ÎR ，都有()()=f x f x -；（3）对任意x ÎR ，都有()()2f x f x +=.则符合上述条件的函数表达式可以为()f x =______.（答案不唯一，写出一个即可）15．已知等边三角形ABC 的边长为2，BC a =r uuu r ，CA b =uuu r r ，AB c =uuu r r ，那么a b b c c a ×+×+×=r r r r r r______.则AB uuu r 在AC uuu r 上的投影向量为【分析】由菱形的对角线互相垂直得AC BD ^uuu r uuu r，再利用向量垂直的坐标运算计算即可.【详解】在菱形ABCD 中对角线互相垂直，所以AC BD ^uuu r uuu r , 所以()()2132280AC BD x x ×=-+-´=-=uuu r uuu r ，所以4x =.故答案为：4.14．1（答案不唯一，符合题意即可）【分析】取特列，根据题意分析判断.【详解】取()1f x =，则()010f =¹，符合（1）；对任意x ÎR ，都有()()=1f x f x -=，符合（2）；对任意x ÎR ，都有()()21f x f x +==，符合（3）；综上所述：()1f x =符合题意.故答案为：1.15．6-【分析】确定向量之间的夹角，根据数量积的定义计算，即可得答案.【详解】由题意可知等边三角形ABC 的边长为2，则,a b r r 的夹角为120o ，,b c r r 以及,c a r r 的夹角也为120o ，则22cos1202a b ×=´´=-o r r ，同理2,2b c c a ×=-×=-r r r r ，故6a b b c c a ×+×+×=-r r r r r r ，。

四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕考试时间 : 120分钟 总分值 : 150分一、选择题1.sin105︒的值为〔 〕 A. 322+ B. 624+ C. 122 D. 6-24【答案】B【解析】【分析】根据两角和的正弦公式计算即可. 【详解】231sin105sin(6045)sin 60cos45cos60sin 45()222︒=︒+︒=︒︒+︒︒=+ 624+=, sin105∴︒=624+, 应选 : B 【点睛】此题主要考查了两角和的正弦公式 , 特殊角的三角函数值 , 属于容易题.2.已知等差数列{}n a 中 , 47a = , 74a = , 那么公差d 的值为〔 〕A. 12B. 1C. 1-D. 12- 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式计算即可求解.【详解】因为等差数列{}n a 中 , 47a = , 74a = ,所以417136a a d a a d =+⎧⎨=+⎩ ,解得1d =- ,应选 : C【点睛】此题主要考查了等差数列的通项公式 , 考查了运算能力 , 属于容易题.3.已知1sin cos 2x x -= , 那么sin 2x =〔 〕 A. 12 B. 14 C. 34 D. 32【答案】C【解析】【分析】将条件等式两边平方 , 利用22sin cos 1x x += , 结合二倍角公式 , 即可求解. 【详解】因为1sin cos 2x x -= , 所以221sin cos 2sin cos 4x x x x +-=, 所以3sin 24x =． 应选 : C. 【点睛】此题考查应用同角间的三角函数关系、三角恒等变换求值 , 属于基础题．4.假设110a b<< , 那么以下结论不正确的选项是〔 〕 A. 22a b < B. 2ab b < C. 2b a a b +> D.a b a b +>+【答案】D【解析】【详解】试题分析 : 因为110a b << , 所以<<0b a , 所以 : (A)22a b <正确 ;(B) 因为<0b , 所以在<b a 两边同时乘以b , 得2ab b < , 正确‘(C) 因为<<0b a , 0,0b a a b >> , 所以2b a a b+> , 正确 ; (D) 当=-4,=-1b a 时 , a b a b +=+ , 故错误．应选D.5.在ABC 中 , 内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且2b = , 120B =︒ , 45C =︒ , 那么边c 的大小是〔 〕 A. 2 B. 3 C. 2 D. 263【答案】D【解析】【分析】 根据正弦定理直接计算即可求解.【详解】因为2b = , 120B =︒ , 45C =︒ , 所以2sin sin c B C=, 即2sin 226sin 332C c B ===, 应选 : D【点睛】此题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用 , 属于容易题.6.等差数列{}n a 中 , 10240S = , 那么47a a +的值是〔 〕A . 60 B. 24 C. 36 D. 48【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质及求和公式即可求解.【详解】因为等差数列{}n a 中 , 110104710()2405()2a a S a a +===+, 所以4748a a += ,应选 : D【点睛】此题主要考查了等差数列的求和公式 , 等差数列的性质 , 属于中档题.7.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和 , 121616a a = , 那么63S S 的值为〔 〕A. 98B. 9C. 9或7-D. 98或78【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式即可求解.【详解】因为121616a a = ,所以4121216a a q = , 即214q =, 解得12q =或12q =- 而6363319118S q q S q -==+=-或78, 应选 : D【点睛】此题主要考查了等比数列的求和公式 , 通项公式 , 属于中档题.8.化简22cos 5sin 5sin 40sin 50︒-︒︒︒的结果为〔 〕 A. 1 B. 12 C. 2 D. 1-【答案】C【解析】【分析】根据正弦余弦的二倍角公式及诱导公式化简即可求值. 【详解】22cos 5sin 5cos10cos102cos1021sin 40sin 50sin 40cos 40cos10sin802︒-︒︒︒︒====︒︒︒︒︒︒, 应选 : C【点睛】此题主要考查了三角恒等变形 , 二倍角公式 , 诱导公式 , 属于中档题.9.在ABC , 120C =︒ , 1tan tan 3A B = , 那么tan tan A B +的值为〔 〕A. 433B. 233C. 334D. 332【答案】B【解析】【分析】根据两角和正切公式的变形可求出. 【详解】因为tan tan tan()1tan tan A B A B A B++=-, 所以tan tan 3tan()tan (tan tan )1213A B C C A B π+-=-==+-, 即23tan tan 3A B +=, 应选 : B【点睛】此题主要考查了两角和的正切公式 , 诱导公式 , 属于中档题.10.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列 , n S 是它的前n 项和 , 假设284a a ⋅= , 且57132a a -=, 那么5S 的值为〔 〕 A. 64 B. 62 C. 60 D. 58【答案】B【解析】【分析】根据条件 , 联立方程组 , 求出首项和公比 , 代入求和公式即可求解.【详解】因为数列{}n a 为各项均为正数的等比数列且22854a a a ⋅== , 所以52a = , 又57132a a -=, 所以712a = ,由451671212a a q a a q ⎧==⎪⎨==⎪⎩, 解得 : 1132,2a q == , 所以515132(1)(1)32621112a q S q --===-- , 应选 : B【点睛】此题主要考查了等比数列的通项公式 , 求和公式 , 属于中档题.11.有一块半径为2 , 圆心角为45°的扇形钢板 , 从这个扇形中切割下一个矩形〔矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上 , 且矩形的一边在扇形的半径上〕 , 那么这个内接矩形的面积最大值为〔 〕A. 22+B. 22-C. 222-D. 222+ 【答案】C【解析】【分析】如下列图先用所给的角将矩形的面积表示出来 , 建立三角函数模型 , 再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值.【详解】如下列图 :在Rt OCB 中 , 设COB α∠= ,那么2cos ,2sin OB BC αα== , 在Rt OAD 中 , tan 451DA OA︒== , 所以2sin OA DA α== , 2cos 2sin AB OB OA αα∴=-=- ,设矩形A BCD 的面积为S ,那么()212cos 2sin 2sin 4(sin 2sin )2S AB BC ααααα=⋅=-⋅=-四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析） 2(sin 2cos 2)222sin(2)24πααα=+-=+- , 由于04πα<< , 所以当8πα=时 , =222S -最大 , 应选 : C【点睛】此题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型,求解问题的关键是根据图形建立起三角模型,将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简 , 属于中档题.12.实数a , b , c 满足221a a c b =+--且210a b ++= , 那么以下关系成立的是〔 〕A . b a c >≥B. c a b ≥>C. b c a >≥D.c b a ≥>【答案】D【解析】【分析】根据等式221a a c b =+--可变形为2(1)a c b -=- , 利用完全平方可得,c b 大小 , 由210a b ++=得21a b =-- , 做差b a - , 配方法比拟大小.【详解】由221a a c b =+--可得2(1)0a c b -=-≥ , 利用完全平方可得所以c b ≥ ,由210a b ++=可得21a b =-- , 22131()024b a b b b ∴-=++=++> , b a ∴> ,综上c b a ≥> ,应选 : D【点睛】此题主要考查了做差法比拟两个数的大小 , 考查了推理与运算能力 , 属于难题.二、填空题13.已知直线l 斜率的取值范围是()3,1- , 那么l 的倾斜角的取值范围是______．【答案】20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【解析】【分析】 根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线l 斜率的取值范围是()3,1- ,所以当斜率01k ≤<时 , 倾斜角04πα≤< , 当斜率30k -<<时 , 倾斜角23παπ<< , 综上倾斜角的取值范围20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭, 故答案为 : 20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【点睛】此题主要考查了直线的斜率 , 直线的倾斜角 , 属于中档题.14.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 那么tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 【答案】13-【解析】【分析】 根据诱导公式化简可得tan 2α= , 利用两角差的正切求解即可.【详解】()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, sin 2cos αα∴-=-,即tan 2α= ,tantan 1214tan 41231tan tan 4παπαπα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+ , 故答案为 : 13- 【点睛】此题主要考查了诱导公式 , 两角差的正切公式 , 同角三角函数基本关系 , 属于中档题.15.不等式()2260x x x ---≥的解集是______． 【答案】{2x x =-或3}x ≥【解析】【分析】 由260x x --≥ , 可知20x -≥ , 转化为不等式组求解即可.【详解】因为()2260x x x ---≥ ,所以22060x x x -≥⎧⎨-->⎩或260x x --= , 即23x x ≥⎧⎨>⎩或22x x ≥⎧⎨<-⎩或2x =-或3x = 解得2x =-或3x ≥ ,故答案为 : {2x x =-或3}x ≥【点睛】此题主要考查了一元二次不等式的解法 , 一次不等式的解法 , 属于中档题.16.已知正数x , y 满足2x y += , 假设2212x y a x y ≤+++恒成立 , 那么实数a 的取值范围是______． 【答案】4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】 将2212x y x y +++变形为1414122411212x y x y x y ++-+++-=-++++++ , 利用均值不等式求1412x y +++的最小值即可求解. 【详解】因为2x y += , 所以2222(1)2(1)1(2)4(2)41212x y x x y y x y x y +-+++-+++=+++++1414122411212x y x y x y =++-+++-=-++++++ , 而14114124(1)19(12)()1()1241251251255y x x y x y x y x y +++=++++=++≥+⨯=++++++ , 当且仅当24(1)12y x x y ++=++ , 即24,33x y ==时等号成立 , 所以22149411121255x y x y x y +=-++≥-+=++++ , 故知45a ≤ , 故答案为 : 4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】此题主要考查了式子的变形化简 , 均值不等式 , 〞1〞的技巧 , 属于难题.三、解答题17.解关于x 的不等式2220x ax ++>.【答案】答案见解析【解析】【分析】先利用判别式讨论2220x ax ++=是否有解进行分类讨论,再利用求根公式求出方程的解,进一步解得不等式【详解】对于方程2220x ax ++=,其判别式()()21644a a a ∆=-=+-, ①当>0∆时,即4a >或4a 时,方程2220x ax ++=的两根为211(16)4x a a =--- ,221(16)4x a a =-+- ∴原不等式的解集为2211|(16(16)44x x a a x a a ⎧⎫<--->-+-⎨⎬⎩⎭或 ②当0∆=时,即4a =±,当4a =时,方程有两个相等实根,121x x ==-,∴原不等式的解集为{}|1x x ≠- ; 当4a =-时,方程有两个相等实根,121x x ==, ∴原不等式的解集为{}|1x x ≠③当∆<0时,即44a -<<时,方程无实根,∴原不等式的解集为R综上,当4a >或4a 时原不等式的解集为2211|(16(16)44x x a a x a a ⎧⎫<--->-+-⎨⎬⎩⎭或 ; 当4a =时,原不等式的解集为{}|1x x ≠- ; 当4a =-时,原不等式的解集为{}|1x x ≠ ; 当44a -<<时原不等式的解集为R【点睛】此题考查分类讨论思想解不等式,考查含参不等式的解法,属于中档题18.在ABC , 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且cos cos ()cos b A c B c a B -=-.〔1〕求角B 的值 ;〔2〕假设ABC 的面积为33 , 13b = , 求a c +的值.【答案】〔1〕3B π=〔2〕7【解析】试题分析 :〔1〕由正弦定理把已知等式化为角的关系 , 再利用两角和与差的正弦公式及诱导公式求得1cos 2=, 从而得3B π= ; 〔2〕由三角形面积公式1sin 2S ac B =及已知可得12ac = , 再利用余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求得a c +.试题解析 :〔1〕∵()cos cos cos b A c B c a B -=-.∴由正弦定理 , 得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-.∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=.()sin 2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++= , ∴()sin sin A B C +=.又∵0C π<< , 1cos 2B ∴=.又()0B π∈， , 3B π∴=. 〔2〕据〔1〕求解知3B π=, ∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.① 又1sin 332S ac B == , ∴12ac = , ② 又13b = , ∴据①②解 , 得7a c +=.19.在等差数列{}n a 中 , 3726a a +=- , 5938a a +=-．〔1〕求数列{}n a 的通项公式 ;〔2〕设数列{}n n a b +是首项为1 , 公比为t 的等比数列 , 求{}n b 的前n 项和n S ．【答案】〔1〕32n a n =-+〔2〕232n n n S += 【解析】【分析】〔1〕根据等差数列条件列方程组 , 即可求通项公式 ;〔2〕先由等比数列通项公式求出1n n n a b t -+= , 解得132n n b n t -=-+ , 分组求和即可.【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差是d ,由已知()5937412a a a a d +-+==- , 3d ∴=- ,3712826a a a d ∴+=+=- , 得11a =- ,∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+．〔2〕由数列{}n n a b +是首项为1 , 公比为t 的等比数列 ,1n n n a b t -+= , 1132n n n n b t a n t --=-=-+ ,()()()22121314732112n n n n n S n t t t t t t ---=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦．当1t ≠时 , 23121nn n n t S t--=+-． 当1t =时 , 223322n n n n n S n -+=+=．【点睛】此题主要考查了等差数列的通项公式 , 等比数列的通项公式 , 等差、等比数列的求和公式 , 属于中档题.20.已知函数()()223sin cos 2cos0ωωωω=+>f x x x x 的周期为3π． 〔1〕求函数()f x 的单调递增区间和最值 ;〔2〕当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 函数()()21g x f x m =-+恰有两个不同的零点 , 求实数m 的取值范围．【答案】〔1〕(),39318k k k z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭．()min 1f x =-．()max 3f x =．〔2〕3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】〔1〕由二倍角公式及降幂公式化简函数 , 根据函数周期求出ω , 写出函数单调增区间、最值即可 ; 〔2〕根据0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 求出函数()f x 的值域 , 并结合图象 , 根据21y m =-与()y f x =图象有2个交点 , 即可求解.【详解】〔1〕()223sin cos 2cos 3sin 21cos22sin 216f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ 又因为周期为3π , 所以2263πωπ== , 3ω= ,()2sin 616f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭ , 令262,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈, 解得,39318k k x k Z ππππ-≤≤+∈ 故其单调递增区间为(),39318k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．当()318k x k z ππ=+∈时 , ()max 3f x =． 当()39k x k z ππ=-∈时 , ()min 1f x =-． 〔2〕0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 76666x πππ∴≤+≤． 令76,666t x t πππ=+≤≤ , 那么72sin ,[,]66y t t ππ=∈ , 由函数()()21g x f x m =-+恰有两个不同的零点 ,得函数72sin ,[,]66y t t ππ=∈的图像与直线22y m =-恰有两个不同的交点 , 如下列图 :结合图像可知1222m ≤-< , 即322m ≤< , 综上 , 实数m 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】此题主要考查了三角函数的恒等变形 , 正弦型函数的图象与性质 , 零点与函数图象交点的转化 , 属于中档题.21.已知数列{}n a 满足11a = , 13n n a a λ+=+〔λ为常数〕． 〔1〕试探究数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为等比数列 , 并求n a ;〔2〕当2λ=时 , 求数列12n n a λ⎧⎫⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】〔1〕数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项 , 3为公比的等比数列．1111322n n a λλ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．〔2〕11322n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】 (1)根据数列的递推公式可得数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项 , 3为公比的等比数列 , 即可求出通项公式 ;(2)由〔1〕计算出数列12n n a λ⎧⎫⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的通项公式 , 然后根据错位相减法即可求出前n 项和T n . 【详解】〔1〕13n n a a λ+=+ , 111322n n a a λλ+⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭ , 又11a = , 所以当2λ=-时 , 1102a λ+= , 数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭不是等比数列． 此时1102n n a a λ+=-= , 即1n a = ; 当2λ≠-时 , 1102a λ+≠ , 所以102n a λ+≠． 所以数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项 , 3为公比的等比数列． 此时1111322n n a λλ-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ , 即1111322n n a λλ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 〔2〕由(1)知1231n n a -=⋅- , 所以()1123n n n a n -+=⨯ ,121222323323n n T n -=+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯① ,2332322323323n n T n =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯② ,-①②得 : ()122223+3323n n n T n -=++⋅⋅⋅+-⨯ ()1313222313n n n --=+-⨯- 所以11322n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 【点睛】此题主要考查了数列的递推公式 , 考查数列的求和方法:错位相减法 , 考查运算能力 , 属于中档题.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S , 且()314n n S a += , n *∈N〔1〕求{}n a 的通项公式 ;〔2〕求证 : 312234+11415++++>-n n S S S S n S S S S ． 【答案】〔1〕134n n a -=⋅ , n *∈N ．〔2〕见解析【解析】【分析】 〔1〕由数列前n 项和与通项关系可证明数列为等比数列 , 写出通项公式即可 ; 〔2〕根据等比数列前n 项和公式化简 , 利用放缩法证明不等式即可.【详解】〔1〕当1n =时 , ()11314a a += , 解得13a = ;当2n ≥时 , 334n n S a += , 11334n n S a --+= ;两式相减得1344n n n a a a -=- , 即()142n n a a n -=≥ ,所以数列{}n a 是公比为4 , 首项为3的等比数列134n n a -=⋅ , n *∈N ．〔2〕由1知41nn S =- 故()1114113414441n n n n n S S +++-==--- 又因为()()144115444154440n n n n n +-=⨯+-≥⨯-≥那么()()13154441nn n N *+≤∈⨯- 111454n nn S S +≥-⨯ 所以122231111145444n n n S S S n S S S +⎛⎫++⋅⋅⋅+≥-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ 1111111441145415441514n n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅=-->- ⎪⎝⎭-． 【点睛】此题主要考查了由递推关系证明数列为等比数列 , 等比数列的通项公式 , 放缩法证明数列不等式 , 属于难题.。

2011-2012学年四川省成都七中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）C D2．（5分）函数的定义域为（）解：∵函数，∴sinx﹣tan．4．（5分）1202年，意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系：F n=F n﹣1+F n﹣2，其中．1+﹣+sin2x=1+﹣=sinB=中，=，故D．=5=．9．（5分）已知，则sin3α等于（）．C D 解：∵已知×=，10．（5分）在数列{a n}中，，前n项和S n=n（2n﹣1）a n，则数列{a n}的通项公式为（）．C D．==11．（5分）自然数按照下表的规律排列，则上起第2013行，左起第2014列的数为（）12．（5分）已知数列{a n}满足，且{a n}前2014项的和为403，则数列{a n•a n+1}，然后由已知得=x二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.）13．（4分）已知α，β都是锐角，，则tan（α+β）的值为1．，==，又==14．（4分）甲，乙两船同时从B点出发，甲以每小时20km的速度向正东航行，乙船以每小时的速度沿南偏东60°的方向航行，1小时后，甲、乙两船分别到达A，C两点，此时∠BAC的大小为120°．，乙船速度为每小时BC=20km，又∠15．（4分）已知等差数列{a n}中，a2，a4，a9成等比数列，则=1或．运算求得结果．=1时，=．．16．（4分）对数列{a n}，规定{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*）；一般地，规定{△k a n}为数列{a n}的k阶差分数列，其中（k∈N*，k≥2）．已知数列{a n}的通项公式（n∈N*），则以下结论正确的序号为①④．①△a n=2n+24；②数列{△3a n}既是等差数列，又是等比数列；③数列{△a n}的前n项之和为；④{△2a n}的前2014项之和为4028．阶差分数列，三.解答题（17-21每小题12分，22题14分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知α为第二象限的角，，求下列各式的值：（1）sinα；（2）；（3）．的值，再用两角和的正弦公式，即可求出即可得到2+2sin cos2=，即，因此．．）∵（=（18．（12分）已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n﹣2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．，分别令）由满足）∵为首项，为公比的等比数列．，．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a5，a11，a8成等差数列．（1）求公比q的值；（2）当公比q≠1时，求证：S5，S11，S8成等差数列．，由此能求出公比，，．时，20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量与平行．（1）求的值；（2）若bcosC+ccosB=1，△ABC周长为5，求b的长．）由已知向量与由正弦定理，可设．，）知21．（12分）如图，成都市准备在南湖的一侧修建一条直路EF，另一侧修建一条观光大道，大道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，3），大道的中间部分为长1.5km的直线段CD，且CD∥EF．大道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．（1）求曲线段FBC的解析式，并求∠DOE的大小；（2）若南湖管理处要在圆弧大道所对应的扇形DOE区域内修建如图所示的水上乐园PQMN，问点P落在圆弧DE 上何处时，水上乐园的面积最大？时，，）由图象知，∴．时，，∴，∴，中，，从而，∴的解析式为，．22．（14分）定义：若数列{a n}对任意n∈N*，满足（k为常数），称数列{a n}为等差比数列．（1）若数列{a n}前n项和S n满足S n=3（a n﹣2），求{a n}的通项公式，并判断该数列是否为等差比数列；（2）若数列{a n}为等差数列，试判断{a n}是否一定为等差比数列，并说明理由；（3）若数列{a n}为等差比数列，定义中常数k=2，a2=3，a1=1，数列的前n项和为T n，求证：T n＜3．．，公比为的等比数列，∴时，，知数列×得①﹣②得．菁优网2013年3月1日。

2019-2020学年四川省成都七中实验学校下学期期中考试高一数学试题(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷，选择题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案.1. 已知，，且，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵b<a，d<c，∴设b=−1，a=−2，d=2，c=3，选项B,(−2)×3>(−1)×2，不成立，选项C，−2−3>−1−2，不成立，选项D，−2×2>−1×3，不成立，本题选择A选项.2. 若是等差数列，且公差为，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】a8=−1−3×7=−22.本题选择C选项.3. 若不等式的解集为，则的值为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】∵x=-1,是方程ax2+bx+1=0的两根，又,∴a=-3,b=-2.∴a+b=-5.本题选择B选项.点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决．4. 如果依次成等比数列，那么 ( )A. b＝3，＝9B. b＝3，＝－9C. b＝－3，＝9D. b＝－3，＝－9【答案】C【解析】由等比数列的性质可得，，且b与奇数项的符号相同，.本题选择C选项.5. 在△ABC中，已知，，cos A＝－，则sin B等于 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理可得本题选择A选项.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．6. 下列各函数中，最小值为的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，当x→−∞时，y→−∞，故不对，对于B:若取到最小值，则sinx=2，显然不成立，对于C:4log3x与log x3均不能保证为正数，故对，对于D:y=4e x+e−x⩾4，当且仅当x=−ln2时取等号，本题选择D选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7. △ABC中, 三内角所对的边分别是,若，则角A= （）A. B. C. D.【答案】A【解析】.本题选择A选项.8. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，为前天两只老鼠打洞长度之和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】大老鼠、小老鼠每天打洞进度分别构成等比数列，公比分别为2、。