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分式1． 分式的概念：形如BA(A,B 是整式，且B 中含有字母)。
要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0，即B ≠0。
要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。
1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1-πx中，是分式的有（ ）A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④2、分式13-+x ax 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ）A ．分式的值为零 B.分式无意义C. 若31-≠a 时,分式的值为零D. 若31≠a 时,分式的值为零3. 若分式1-x x无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1±4.如果分式x 211-的值为负数,则的x 取值范围是( )A.21≤xB.21<xC.21≥xD.21>x2． 分式的基本性质：分式的分子，分母同时乘以，或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
即B A =CB C A ⋅⋅ ，B A =CB C A ÷÷ （C ≠0） 1．不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．902．下列等式：①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a bc+;④m n m --=-m n m-中,成立的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+4．对于分式11-x ，永远成立的是（ ） A ．1211+=-x x B. 11112-+=-x x x C. 2)1(111--=-x x x D. 3111--=-x x 5．下列各分式正确的是( )A.22a b a b =B. b a b a b a +=++22C. a a a a -=-+-11122D. xx xy y x 2168432=--3． 最简分式及分式的约分与通分：1）最简分式:分子分母没有公因式的分式称之为最简分式。
分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。
这就是分式的概念。
研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。
分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。
一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。
（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。
（3）分式：，当时，分式的值为零。
（4）分式：，当时，分式的值为1。
（5）分式：，当时，即或时，为正数。
（6）分式：，当时，即或时，为负数。
（7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。
不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。
四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。
就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。
一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a+⨯=（m n 、是正整数） ⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸n nna ab b⎛⎫=⎪⎝⎭（n是正整数）⑹1nnaa-=（0a≠，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
分式讲义知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ∙∙=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式的定义和基本性质分式是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍分式的定义和基本性质，并通过例题详细说明。
一、分式的定义在数学中，分式是指一个数的形式为a/b的表达式，其中a和b都是整数，b不等于0。
其中a称为分子，b称为分母。
分式也可以写成带分数的形式，如n（a/b），其中n是非负整数，a和b都是整数，b不等于0。
分式可以表示一个数，也可以表示一个比率或比例关系。
在代数中，分式可以用来表示一种运算，称为除法。
二、分式的基本性质1. 乘法性质：两个分式相乘，分子和分母分别相乘。
例如，(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)2. 除法性质：一个分式除以另一个分式，相当于将被除分式的倒数乘以除数分式。
例如，(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)3. 加法性质：两个分式相加，要求它们的分母相同，分子相加即可。
例如，(a/b) + (c/b) = (a + c) / b4. 减法性质：两个分式相减，要求它们的分母相同，分子相减即可。
例如，(a/b) - (c/b) = (a - c) / b5. 约分性质：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零整数。
例如，(4/8)可以约分为(1/2)，(12/18)可以约分为(2/3)。
三、例题解析1. 计算下列分式的值：(3/5) + (7/10)解：首先找到两个分式的最小公倍数，即5和10的最小公倍数为10。
将两个分式的分子和分母按照最小公倍数进行扩展，得到：(3/5) + (7/10) = (3 * 2/5 * 2) + (7 * 1/10 * 1) = 6/10 + 7/10 = 13/102. 计算下列分式的值：(2/3) * (4/5)解：直接按照乘法性质相乘，得到：(2/3) * (4/5) = (2 * 4) / (3 * 5) = 8/153. 约分下列分式：(12/18)解：分子和分母同时除以它们的最大公约数，即12和18的最大公约数为6。
龙文教育学科教师辅导讲义一、知识梳理考点一、分式的概念1、正确理解分式的概念：AA整式A 除以整式B ，可以表示成的形式。
如果除式 B 中含有字母，那么称为分式,BB其中A 称为分式的分子,B 为分式的分母。
对于任意一个分式，分母都不能为零。
【例 1】有理式（1）- ； （ 2）X；（ 3）-2Xy ； （ 4）3X y（ 5） 丄x2x y3x -11（6）—中，属于整式的有： _______________ ;属于分式的有： __________________ 。
. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零x 2 亠亠、， 时，分式 有意义.x 2 x 3（2）不要随意用“或”与“且”学员姓名：辅导科目：数学年级：七年级（上）学科教师：王恒（1）例如，当x 为例如当x时，分式有意义?3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.【例2】当xx 1时，分式——有意义•当xx-1x 1时，分式------- 无意义.x-1考点二、分式的基本性质: 时，分式J值为0.x-11、分式的分子与分母都乘以（或除以）A 同一个不等于零的整式，分式的值不变•AM A AM------- ，一----------- （M为不等于零的整式）B M B B M（1）分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要 正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它.理解分式的基本性质时，必须注意：① 分式的基本性质中的 A 、B 、M 表示的都是整式. ② 在分式的基本性质中，M 工0.③ 分子、分母必须“同时”乘以M （M 工0），不要只乘分子（或分母）.④ 性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。
但是 变形前后分式中字母的取值范围是变化的.（2）注意：①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. ，分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，而不能同时加上（或减去）同一个整式.3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母•最简公分母由下面的方法确定:（1） 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2） 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幕的积；二、典型例题及针对练习考点一、分式的概念2②分式的基本性质是一切分式运算的基础【例3】 A . F 列变形正确的是（a b).C.a b c a b a ba b c a b a b【例4】如果把分式5x 2x y中的x, y 都扩大3倍,那么分式的值一定（）.A.扩大3倍2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式 式的基本性质.B.扩大9倍C.扩大6倍D.不变,约分过程实际是作除法，目的在于把分式化为最简分式或整式 ，根据是分【例5】约分（1）2316x y 20xy 4(2) x 2 4x 24x 4【例1】（2009年湖北宜昌）当x= 时，分式——没有意义.分式的概念分式有意义的条件: 分式无意义的条件: 分式的值为零：考点二、分式的基本性质:【答案】同时加上（或减去）同一个整式•［针对练习］分式的基本性质4、写出下列各式中未知的分子或分母:【解析】要使分式没有意义，只需分母为零【答案】 ［针对练习］分式的概念及意义 1、在下面四个式子中，分式为（ 2x 5 1 x 8 A. ------ B. — C. ------------ 3x 8 2、当x x 1 A.—— x 3、若分式 A. x 21时，下列分式没有意义的是 x 2x B. ---- C. x 1 x 2x 4 2的值为零，则 B. x 2 C. x 1 D. 4 x D.—— x x 的值为 2 D.【例2】（2009年吉林省） 化简xy 2yx 2的结果是（4x 4A.xB . x x2C. D x y2【解析】 根据分式的基本性质易发现D 成立.归纳小结一: 1.2. 3. 4.【点评】 分式的基本性质是一切分式运算的基础 ,分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，而不能⑴ a ab b) a 2b2x xy2ac2 14a2bc6、找出下列分式的最简公分母:1 y 4 2x 3x 26xyF 列各式的变换正确的是（分式的基本性质 通分、约分分式的符号法则5ab1. 化简分式：羊- 20a b1+ 2-x4.把分式 一x—（x 0, y0）中的分子、分母的 x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（x yA. 扩大2倍B.缩小2倍C.改变原来的1D.不改变45.如果x=3, 则x y==( )yy4C . 4D .x A . —— B . xy3y三、巩固练习 分式（课外练）一、填空题x 11. 将分式x 1写成除法的形式：2x 12. 用x,2x 21,3中的任意两个代数式组成一个分式为 ____________________7、 A.与分式 4 3 2m2m芒的值相等的分式是（mB.2m 33 2mC.4D.3 2mAx _y2 2y x y xB.2 xx C.x yx yD. (y x)2课堂检测1 3.分式 13x 2y 2,4xy 3, 2x 的最简公分母是6.先化简x 2 2x 1 x 2 1再取一个你认为合理的x 值，代入求原式的值归纳小结二:1. 2.3.2.计算：目x 2 4x13. 若x 3，则分式 2的值为x4. 当x时，整式X 1的值为零；当x时，整式X 1的值为正------ 2 ------------------------------ 2、解答题7.化简：(a 2 a 2)(12 a a 2) (a 2 2a3)(a 28 2a)课后作业1. _________ 当x ________________________________ 时，分式—―1有意义；当x = 时，分式 x的值为0.x 1 x2. 填写出未知的分子或分母：3. 计算:的分子，分母各项的系数化为整数 ，且最高次项的系数均为正整数4 .当 x= ______时, 分式|x|-1(x-3)(x+1) 的值为零.5.分式35巴525ab 2的分子与分母的公因式是__________ ，约分后得 .6.化简:x 2 4x 3x 2 x 68.当x 为何值时，分式有意义?9.若x 、y 互为相反数,m 、n 互为倒数, k 的绝对值为2，求2k nm 的值.(1)x yW ，(2)y 14 3 b+22I 2 2A. 4(m — n)(n — m)x B 。
2C 。
4x (m — n)D 。
4x (m-n) ' )10 .下列各式的变号中，正确的是 ()x-yy-xx-y y-x-x-1x-1A . -- = — ----B 。
---------- 2 = -- 2C 。
—— = ——D 。
y-x x-y y-x y-x -y+1 y+113.化简1 2113、⑴已知x —3，求x 2 —的值。
xx，分式厂—I- —a —a +2约分的结果为6 •代数式-x 1(ab)2ab 27.计算 9.分式—x 1,x,1 3 B 的结果为 中, 3x中的x,y 都扩大两倍 x+y 扩大两倍 B 1 5x-1 27 , 4(m-n),。
不变 2 n-m分式的个数是,那么分式的值 C 。
缩小 的最简公分母为缩小两倍11.2 右x x 2 20,则：x 2、3的值等于 ( )(x 2x) 1A23B.乜C. 3D..3或乜33312. 已知两个分式：A =,B1 1 其中X M 土 2x 24x 2 2 x① A = B; ②A 、 B 互为倒数； ③A 、B 互】为相反数请问哪个正确？为什么？F 面有三个结论:4(m — n)x-x-y x+y y-x y-x(1) 1 —1 x+1+ o 1-x 2x+2 x-1 x_4 ⑵(x 2-2xx 2-4x+4 ) ' x13，求2x 14xy 2y的值。
⑵已知y x 2xy y14、先化简，再求值：11 2⑴（J — r一1）十丄，其中x= 1.x 2x X 4x 4 x 2x1 1 x 1 _⑵ 2 2，其中x・、3 1 .x 1 x 1 x 2x 1。
