高考复习三视图专题

设球的半径为 R，则 R2＝AO22＝AO2＋OO22＝13a2＋14a2
＝172a2.所以 S 球＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2.
(2)这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．
根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面 积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何 体的表面积为 S＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12 ×(2＋4)× 3＝112π＋3 3. 答案 (1)B (2)112π＋3 3
可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体
不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.
(2)如图，在原图形OABC中， 应有 OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2(cm)， CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝ OD2＋CD2 ＝ （4 2）2＋22＝6(cm)， ∴OA＝OC， 故四边形 OABC 是菱形． 答案 (1)D (2)C
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是
棱柱．
(×)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是
棱锥．
( ×)
(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
(×)
(4)圆柱的侧面展开图是矩形．
(√)
2．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几
(2)画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的 直观图 O′A′B′(如图)．D′为 O′A′的中 点．易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)， ∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝ 166a2.

A． 3
【答案】B

B． 2 3
C． x1 x2
D．4
【解析】由题意可得，侧视图是个矩形，由已知，底面正三角形的边长为 2，所以其高为 3 ，即侧视图的 宽为 3 ，又三棱柱的高为 2，即侧视图的长为 2，所以三棱柱侧视图的面积为 2 3 .故选 B 2.如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P 是棱 CD 上一点，则三棱锥 P－A1B1A 的侧视图是( )
2
考向三 三视图知二选三 【例 3】 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )
【答案】 B 【解析】 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图 的直径可知其侧视图为 B，故选 B.
【套路总结】 三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表 示． (2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结 合空间想象将三视图还原为实物图． (3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形 状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分 三视图是否符合． 【举一反三】 1、一个几何体的三视图中，正视图和侧视图如图所示，则俯视图不可以为( )
四．空间几何体的三视图 1.三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.具体包括： （1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度； （2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度. 2.三视图画法规则 高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

(2)两个平面垂直的判定和性质
✓ 考法5 线面垂直的判定与性质
1.证明直线 与平面垂直 的方法
2.线面垂直 的性质与线 线垂直
（1）判定定理（常用方法）： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直.判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面 内相交”这一条件. （2）性质： ①应用面面垂直的性质（常用方法）：若两平面垂直,则在一 个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，是证明线 面垂直的主要方法； ②（客观题常用）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面.
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✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法 2.空间平行关系 之间的转化
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✓ 考法3 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法
这是立体几何中证明平行关系常用的思路,三 种平行关系的转化可结合下图记忆
2.空间平行关系 之间的转化
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600分基础 考点&考法
定义 判定方法
2.等角定理
判定定理 反证法 两条异面直线所成的角
✓ 考法2 异面直线所成的角
常考形式
直接求 求其三角函数值
常用方法
作角
正弦值 余弦值 正切值
证明 求值 取舍
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600分基础 考点&考法
➢ 考点46 线面、面面平行的判定与性质 ✓ 考法3 线面平行的判定与性质 ✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.计算有关 线段的长
2.外接球、内切 球的计算问题
观察几何体的特征 利用一些常用定理与公式 (如正弦定理、余弦定理、勾股定理、 三角函数公式等) 结合题目的已知条件求解

次 ，我正 在开会 ，有个学生 跑来报告说有 位同学鼻子 流血不
止”我当时赶紧跑去处理 。那个学生体 质 比较虚弱 ， ， 经常会 习 惯性 、 间接性地流鼻血 。 在 日常工作中 ， 我特别嘱咐学生 ， 如果班里有什么事发生 ， 要及时尽快在第一时间跑 去向我报告 ， 在这方 面学生配合得相 当默契 ， 使我 能及 时处理事情 ， 减少很 多不必要 的麻烦 。 有一 回 ， 刚刚进教室 ， 我 有位家长 就说我们班 昨天有位 学 生 咬了他儿子 的手 臂。我一看 ， 口挺深 的 ， 让他儿子来 指 伤 他 认是 哪个学生 咬的 ， 而且 家长态 度有 点强硬。昨天下午 我没有 课 时安排 ， 学路 队 由数 学教师 ， 兼任初 一（ ） 放 我 １ 班班 主任 和 语文教学 ， 家长凡事都 找班 主任评理 。家 长说 深怕伤 口感染 要
边上的高构成 的平 面图形 ， 故选 Ｄ。
Ｃ
点评 ： 本题是考查三视图的作法 ， 属于三视图的基本题型 ，
但由几何体的正视 图 、 俯视图要求学 生确定侧 视图 ， 构思独特 ， 能考查学生的基本功及逻辑思维能力 、 推理能力和空间想象能
力。
图 ４
图 ５
图６
（） １请画出该安全标识墩的侧（ 视 图； 左）
掉 ， 么几 何体 变成 由球 和 圆柱组合 而 成 ， 变成 了另一 道 那 就
题。
、
以几何体 为载体 ， 考查 三视 图的 画法
《 课标 》 出 ： 指 能画 出简单 空间 图形 的三视 图． 求学生 即要 在给 出简单几何体 的条 件下 ， 能够根据几何体 的正视图 、 侧视 图、 俯视图的定义 ， 画出其三视 图。 图时学生应注意三 视图的 画 特点 “ 主左一样高 ， 主俯 一样 长， 俯左 一样 宽” 。 例 １ ２ １ 全 国卷 ） 在 一个 几何体的三视 图中， 图和 （０ １ 正视

专题28 空间几何体的直观图与三视图一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.已知一个几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图(2)所示)，则此几何体的体积为()A. 1B. √2C. 2D. 2√22.正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是()A. 6cmB. 8cmC. (2+3√2)cmD. (2+2√3)cm3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3π2+1+√32B. 3π+12+√32C. 3π+1+√32D. 3π+1+√324.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3π+4+√3B. 3π+5+√3C. 52π+6+√3 D. 52π+4+√35.已知某几何体的一条棱长为l，该棱在正视图中的投影长为√2020，在侧视图与俯视图中的投影长为a与b，且a+b=2√1011，则l的最小值为()A. √20212B. √40422C. √2021D. 20216.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. √24π+72B. √24π+4 C. 1+√24π+72D. 1+√24π+47.某圆柱的正视图是如图所示的边长为2的正方形，圆柱表面上的点A，B，C，D，F在正视图中分别对应点A，B，C，E，F.其中E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线AC与DF所成角的余弦值为()A. 13B. √23C. √33D. √638.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 22π3B. 28π3C. 34π3D. 40π39.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积是()A. 18πB. 21πC. 27πD. 36π10.如图所是某一容器三视图，现容中匀速注水，容器中的度h随时间变可能图象是()A. B. C. D.11.如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 403B. 323C. 163D. 28312.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 64−8√2π3B. 64−4√2π3C. 64−8π3D. 64−4π3二、单空题（本大题共4小题，共20分）13.某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形，其中四边形O′A′B′C′为平行四边形，D′为C′B′的中点，则图(2)中平行四边形O′A′B′C′的面积为___________．14.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_____________(写出符合求的一组答案即可)．15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是棱B1C1，C1D1的中点，过A，M，N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面ADD1A1作投影，则投影图形的面积为．16.把平面图形α上的所有点在另一个平面上的射影所构成的图形β称为图形α在这个平面上的射影，如图所示，在三棱锥A−BCD中，BC⊥DC，AD⊥DC，BC⊥AB，BC= CD=4，AC=4√3，则△ADB在平面ABC上的射影的面积是________．三、解答题（本大题共2小题，共20分）13．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为cm)，（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)；（2）求该几何体最长的棱长.14．设一正方形纸片ABCD边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥，O为正四棱锥底面中心．，（粘接损耗不计），图中AH PQ（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；（2）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数，并求S范围．专题28 空间几何体的直观图与三视图一、单选题（本大题共12小题，共60分）17.已知一个几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图(2)所示)，则此几何体的体积为()A. 1B. √2C. 2D. 2√2【答案】B【解析】解：根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和√2的直角三角形，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V=13×(12×2×√2)×3=√2．故选B．18.正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是()A. 6cmB. 8cmC. (2+3√2)cmD. (2+2√3)cm【答案】B【解析】解：如图，OA=1cm，在Rt△OAB中，OB=2√2 cm，∴AB=√OA2+OB2=3cm．∴四边形OABC的周长为8cm．故选B．19.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3π2+1+√32B. 3π+12+√32C. 3π+1+√32D. 3π+1+√32【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体上部为三棱锥，下部为半球，三棱锥的底面和2个侧面均为等腰直角三角形，直角边为1，另一个侧面为边长为√2的等边三角形，半球的直径2r=√2，故r=√22．∴S表面积=12×1×1×2+√34×(√2)2+12×4π×(√22)2+π×(√22)2−12×1×1=12+√32+3π2．故选：C．20.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3π+4+√3B. 3π+5+√3C. 52π+6+√3 D. 52π+4+√3【答案】A【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱和三棱锥的组合体半圆柱的半径为1高2，所以该组合体的面积故选A．21.已知某几何体的一条棱长为l，该棱在正视图中的投影长为√2020，在侧视图与俯视图中的投影长为a与b，且a+b=2√1011，则l的最小值为()A. √20212B. √40422C. √2021D. 2021【答案】C【解析】解：如图所示：设长方体中AB=m，BD为正投影，BE为侧投影，AC为俯视图的投影．故：BD=√2020，BE=a，AC=b，设AE=x，CE=y，BC=z，则：x2+y2+z2=l2，x2+y2=b2，y2+z2=a2，x2+z2=2020，所以2(x2+y2+z2)=a2+b2+2020，故：2l2=a2+b2+2020，因为a2+b2≥(a+b)22=2022，所以2l2≥2022+2020，则l≥√2021．故l的最小值为√2021．故选C．22.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. √24π+72B. √24π+4 C. 1+√24π+72D. 1+√24π+4【答案】D【解析】解：几何体左边为四分之一圆锥，圆锥的半径为1，高为1，右边为三棱锥，三棱锥底面是直角边长为1和2的直角三角形，高为1，所以几何体的表面积为：+12×(2+1)×1+12×√2×√(√5)2−(√22)2，故选D．23.某圆柱的正视图是如图所示的边长为2的正方形，圆柱表面上的点A，B，C，D，F在正视图中分别对应点A，B，C，E，F.其中E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线AC与DF所成角的余弦值为()A. 13B. √23C. √33D. √63【答案】D【解析】解：如图所示，连结DE，EF，易知EF//AC，所以异面直线AC与DF所成角为∠DFE，由正视图可知，DE⊥平面ABC，所以DE⊥EF．由于AB=BC=2，所以EF=√2，又DE=1，所以DF=√3，在RtΔEFM中，cos∠DFE=√2√3=√63，故选D．24.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 22π3B. 28π3C. 34π3D. 40π3【答案】C【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体是由一个底面半径为2，高为3的半圆柱和一个半径为2的半球组成，故：V=12⋅π×22×3+12×43×π×23=34π3．故选C．25.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积是()A. 18πB. 21πC. 27πD. 36π【答案】A【解析】解：该几何体是一个四分之一的圆和圆锥的组合体，如图：有题意知该圆的直径为6cm，圆锥的高为3cm，则该几何体的体积为13×π×32×3+1 4×43π×33=18π，故选A．26.如图所是某一容器三视图，现容中匀速注水，容器中的度h随时间变可能图象是()A. B. C. D.【答案】B【解析】解：三视图表示的容器倒的圆锥，下细，上面，刚开始度增加的相快些．曲越竖直”，后，高度增加来越慢，图越平稳．故B．27.如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 403B. 323C. 163D. 283【答案】A【解析】解：由三视图得到其直观图(下图所示)，则体积为：13×[12(1+4)×4]×4=403，故选A ．28.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 64−8√2π3B. 64−4√2π3C. 64−8π3D. 64−4π3【答案】A【解析】解：这是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥内部挖去了一个八分之一的球，四棱锥的底面边长和高都等于4，八分之一球的半径为2√2，，故选A ．二、单空题（本大题共4小题，共20分）29. 某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形，其中四边形O ′A ′B ′C ′为平行四边形，D ′为C ′B ′的中点，则图(2)中平行四边形O ′A ′B ′C ′的面积为___________．【答案】3√2【解析】解：由正视图和侧视图可得俯视图如下：∴|O′A′|=4，|O′C′|=32，∠A′O′C′=45°，∴S ΔA′O′C′=12|O′A′|·|O′C′|·sin∠A′O′C′ =12×4×32×√22=3√22， ∴S ▱O′A′B′C′=2S △A′O′C′=3√2， 故答案为3√2．30.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_____________(写出符合求的一组答案即可)．【答案】②⑤或③④【解析】解：由高度可知，侧视图只能为②或③，侧视图为②，如图(1)平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=√2，BA=BC=√5,AC=2，俯视图为⑤；侧视图为③，如图(2)，PA⊥平面ABC，PA=1,AC=AB=√5,BC=2，俯视图为④．故答案为②⑤或③④．31.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是棱B1C1，C1D1的中点，过A，M，N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面ADD1A1作投影，则投影图形的面积为．【答案】712【解析】解：直线MN分别与直线A1D1，A1B1交于E，F两点，连接AE，AF，分别与棱DD1，BB1交于G，H两点，连接GN，MH，得到截面五边形AGNMH，向平面ADD1A1作投影，得到五边形AH1M1D1G，由点M，N分别是棱B1C1，C1D1的中点，可得D1E=D1N=12，由△D1EG∽△DAG，可得DG=2D1G=23，同理BH=2B1H=23，则AH1=2A1H1=23，A1M1=D1M1=12，则S AH1M1D1G =1−S A1H1M1−S ADG=1−12×12×13−12×1×23=712，故答案为：712．32.把平面图形α上的所有点在另一个平面上的射影所构成的图形β称为图形α在这个平面上的射影，如图所示，在三棱锥A−BCD中，BC⊥DC，AD⊥DC，BC⊥AB，BC= CD=4，AC=4√3，则△ADB在平面ABC上的射影的面积是________．【答案】8√2【解析】解：因为BC⊥DC，AD⊥DC，BC⊥AB，BC=CD=4，AC=4√3，把三棱锥A−BCD放入如图所示的棱长为4的正方体中，过点D作CE的垂线DF，垂足为F，连接AF，BF，因为BC⊥平面CE，DF⊂平面CE，故BC⊥DF又BC∩CE=C，BC，CE⊂平面ABC则DF⊥平面ABC，故△ADB在平面ABC上的射影为△AFB，因为AB=√42+42=4√2，×4×4√2=8√2，所以△AFB的面积为12即△ADB在平面ABC上的射影的面积为8√2．故答案为8√2．三、解答题（本大题共2小题，共20分）13．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为cm)，（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)；（2）求该几何体最长的棱长.【答案】（1）答案见解析；（2）4cm.【解析】（1）（2）如下图，SE⊥面ABC，线段AC中点为D2,3,1,4,2,=1======，BD AC SE cm AE cm CE cm AC cm AD DC cm DE cm⊥，=，3BD cm在等腰ABC中，AB AC=在Rt SEA△中，SA=在Rt SEC△中，SC△中，BE==在Rt BDE∴⊥SE⊥面ABC，SE BE在Rt SEB△中，SB=<==<<，在三梭锥S-ABC中，SC AB AC SA SB AC所以最长的棱为AC ，长为4cm14．设一正方形纸片ABCD 边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH PQ ⊥，O 为正四棱锥底面中心．，（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；（2）设等腰三角形APQ 的底角为x ，试把正四棱锥的侧面积表示为x 的函数，并求S 范围．【答案】（1），画图见解析；（2）161tan 2tan S x x=++，()0,4.【解析】（1）由题意，设正四棱锥的棱长为a，则AH =，2a AC a +===（2）设PH b =，则tan AH b x =，由2tan 2a x a ⋅+=a =，从而22116tan 442tan 2(tan 1)APQ x S S PQ AH a x x ==⋅⋅⋅==+△，其中(tan 1),x ∈+∞，∴16(0,4)1tan 2tan S x x=∈++。

故本题应选 Ｄ ．
【 点评 】 本题考 查形 式新颖 ，可 以考
二 、 给 出 三 视 图 （ 部 分 ） 考 查 直 截去一个角所得多面体的直观图 ，其余是 或 。 （ ） 正 视 图 下 面 ，按 照 画 三 视 图 的 １在
单位 ：ｃ ． ｍ） 查对 三视 图画法规则的掌握情况以及对 常 观 图 （ 其 他 视 图 ） 的 画 法 ，并 求几 何 体 它 的正 视 图和 左 视 图 （ 或
一
（ Ａ）２ ／ 、
（ Ｃ）４
Ｄ
（ ）２ ／ Ｂ 、
（ Ｄ）２ｖ５ 、 ／
Ｃ
主 视 图
左 视 图
甄
俯 视 图
图３
解 ：（ ） １ 由三视图可知 ，该几何体 由
Ｃ
、
给 出 几何 体 ，识 别 三视 图
Ａ ｍ Ｂ
正方体 和四棱柱组成 ，如 图 ４所示．
图２
见简单几何体的感知、领 悟能力和 空间想 的 表 面 积 和体 积
象 能力 ．
例 ３ 一 个 几 何 体 按 比例 绘 制 的 三 视 要 求 画 出该 多 面 体 的俯 视 图 ； ［ ０ １年 第 ４期 ］ 础 教 育 论 坛 ２１ 基
（） ２ 按照给出的尺寸 ，求该多面体的
因为 、丁 ／
（） 方体 １正 （） ２ 圆锥
＝口 ，Ｖｑ＋ ｍ一＝ｂ ，
正方体 的体积 为 １ ＝ｌ １ ： Ｘ
所 以 （２ ） ｂ 一１ ＝６ ａ —１ ＋（ ） ．
所 以 ＋ｂ ８ ．
四 柱 体 为 ＃一１ １ ， 棱 的 积 ×ｘ：
二 二
算 问题并汇在一起进行考查 ，如面积 、体

索引
考点二 空间几何体的三视图
例1 (1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视 图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次 为__③__④__(_或__②__⑤__，__答__案__不__唯__一__)_____(写出符合要求的一组答案即可).
_平__行__且__相__等___
相交于_一__点___，但 不一定相等
延长线交于___一__点_
_平__行__四__边__形___
_三__角__形___
__梯__形__
索引
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
图形
互相平行且相等，
母线
__垂__直__于底面
相交于__一__点__
轴截面 侧面展开图
索引
2.(易错题)在如图所示的几何体中，是棱柱的为___③__⑤___(填写所有正确的序号). 解析 由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱.
索引
3.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体
是( C )
A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.六棱柱
解析 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.
索引
训练1 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画
出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( B )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可 知该几何体为三棱柱.
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(2)(2022·成都检测)一个几何体的三视图如图所示，
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解析 根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧 视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯 视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则三棱锥如图1所示；若是②⑤， 则三棱锥如图2所示.

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1.斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下: (1)建立直角坐标系. 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 Ox, Oy ,建立直 角坐标系. (2)画出斜坐标系. 在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形. 在已知图形平行于 x 轴的线段, 在直观图中画成平行于 O ' x ',O ' y ', 使 ∠x 'O ' y ' = 45o (或135o ), 它们确 定的平面表示水平平面. (3)画出对应图形. 在已知图形平行于 x 轴的线段, 在直观图中画成平行于 x ' 轴 的线段, 且长度保持不变; 在已知图形平行于 y 轴的线段, 在直观图中画成平行于 y ' 轴, 且长度变为原来的一般. 可简化为 “横不变, 纵减半”. (4)擦去辅助线. 图画好后, 要擦去 x ' 轴、 y ' 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 被挡住的棱画虚线. 注: 直观图和平面图形的面积比为 2 : 4 . 2.平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点. 二、空间几何体的三视图 1.三视图的概念 将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做 该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图, 统称三视图. 它们依次反应了几何体 的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度. 2.作、看三视图的三原则 (1)位置原则:
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度量原则长对正、高平齐、宽相等即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽 虚实原则轮廓线、现则实、隐则虚 俯视图 几何体上下方向投影所得到的投影图反映几何体的长度和宽度 口诀 正侧同高正府同长府侧同宽或长对正、高平齐、宽相等 三、常见几何体的直观图与三视图 常见几何体的直观图与三视图如表 8-3 所示.

高考有方法——三视图解题超级策略一、三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．留意正视图、侧视图和俯视图的视察方向，留意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先依据已知的一部分三视图，还原、推想直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形态．要熟识柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．二、还原三视图的常用方法1、方体升点法；2、方体去点法（方体切割法）；3、三线交汇得顶点法方法一方体升点法例1：(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2 C. 3 D．2答案 C解析依据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD 是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.跟踪训练1.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练2.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练3.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.方法二方体去点法例2：如图所示为三棱锥的三视图，主视图、俯视图是直角边长为2 的等腰直角三角形，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练4.如图所示为三棱锥的三视图，主视图、侧视图是直角边长为4，宽为3 的直角三角形，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练5.如图所示为三棱锥的三视图，三视图是直角边长为4 等腰直角三角形，虚线为中线，求三棱锥的表面积或体积.方法三三线交汇得顶点法例3：如图，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（）A．62B．6 C．42D．4正确答案是B．解：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原．先画出一个正方体，如图（1）：第一步，依据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的．其次步，侧视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）．第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）．最终一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可跟踪训练6.首先在正方体框架中描出主视图，并将轮廓的边界点平行延长，如图．类似地，将俯视图和侧视图也如法炮制．这样就可以找到三个方向的交叉点．由这些交叉点，不难得到直观图．练习1、练习2、练习1答案：练习2答案：跟踪训练7.如图所示为四棱锥的三视图，主视图是直角边长为4 等腰直角三角形，侧视图是边长为4 的正方形，求四棱锥的表面积或体积.跟踪训练8. 如图所示为四棱锥的三视图，主视图是边长为4 的正方形，侧视图是直角边长为4 等腰直角三角形，求四棱锥的表面积或体积.跟踪训练9.如图所示为四棱锥的三视图，主视图是长为4，高为5 的长方形，侧视图的长为3 的长方形，俯视图为直角三角形，求四棱锥的表面积或体积.三视图练习1、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_____________.4042+2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.3、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）DA 、8πB 、252π C 、12π D 、414π4、如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则四面体的体积为（ ）A A 、23 B 、43 C 、83D 、24244131211侧视图俯视图正视图侧视图正视图CDBP A5325、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）D （A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）516、如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） C A. 1727 B. 59C. 1027D. 137、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）A(A) (B) (C)8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（B ） ()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18O yxz (0,1,1)(0,0,0)(1,0,1)(1,1,0)DD 1C 1B 119、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（ ）D10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.11、已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为_____________.20或1612、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于_____________.13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.14、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.11142122222224442PBAC338332315、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( B ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）816、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( C )A .62B .42C .6D .417.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A ) A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+俯视图正视图r2r2rrCAP。

专题16 三视图【母题来源】2021年高考乙卷【母题题文】以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【试题解析】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体1111ABCD A BC D -中，12,1AB BC BB ===，,E F分别为棱11,BC BC的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E ADF.故答案为：③④.三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.【命题意图】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4．会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．5．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．【命题方向】空间几何体的结构是每年高考的热点之一，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算、三视图等内容．命题形式以选择题或填空题为主，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想【得分要点】1．三视图问题的常见类型及解题策略（1）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．（2）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．2．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．3．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏．4．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积．5．求柱体、锥体、台体体积的一般方法（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体．要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．6．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路（1）根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；（2）利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决．7．三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．如图．8．三视图的画法规则（1）正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；（2）侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；（3）俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”．注意：能看见的轮廓线用实线表示；不能看见的轮廓线用虚线表示．9．常见几何体的三视图一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟（理））若空间某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是（）A．16-B．C．24πD．6+【答案】C【分析】根据三视图，可在长方体中利用构造法还原几何体，利用长方体的对角线计算外接球的直径，进而计算表面积．【详解】据三视图分析知，该几何体是由长方体截得如下图所示几何体ABCDE ，=即为外接球的直径，外接球的表面积4624S ππ=⨯=．故选C ．2．（2021·全国高三其他模拟（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．48+B ．24+C ．48+D ．24+【答案】C【分析】由三视图画出几何体的直观图，然后结合已知的数据求解即可【详解】由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥，所以该几何体的表面积为11142646548222⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=+故选：C.3．（2021·四川成都市·成都七中高一月考）某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：3cm)是（）A．43B．73C．53D．83【答案】B【分析】由几何体的三视图可知该几何体由一个长方体和一个三棱锥组成，分别求出体积即可.【详解】如图，由几何体的三视图可知该几何体由一个长方体和一个三棱锥组成，1122V =⨯⨯=长方体，111112323V =⨯⨯⨯⨯=三棱锥， 故体积17233V =+=， 故选：B.4．（2021·北京高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A B ．4 C ．3D ．2【答案】A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O ABC -，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为213112⨯⨯⨯= 故选：A.5．（2021·河南高三其他模拟（理））某个由四棱柱和三棱柱组成的组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为（ ）A ．20+B ．22+C ．18+D ．223【答案】A【分析】 作出几何体的直观图，结合三视图中的数据可求得几何体的表面积.【详解】该组合体的直观图如图所示，其中下底面是边长为2的正方形，所以该组合体的表面积(2421224120S =⨯⨯+⨯++⨯=+故选：A.6．（2021·宜宾市翠屏区天立学校高三其他模拟（文））我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（）A．B．40C．16+D．16+【答案】D【分析】根据三视图，还原几何体的直观图可得，该几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可．【详解】由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体1111A B C D ABCD -，图中正方体棱长为4， 1111,,,,,,,B C D A B C A D 分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为248⨯=，梯形的上下底分别为2,4，梯形的高为FG =()1242⨯+=，所以该刍童的表面积为284⨯+⨯=16+ 故选：D.【点睛】观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状．7．（2019·吉林高三其他模拟（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．94πB ．66π+C ．962π+ D ．362π+ 【答案】B【分析】【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1，高为3的圆柱的34. 故：233213212136644S πππ=⨯⋅⋅⋅+⨯⋅⋅+⨯⨯=+表.故选：B .8．（2019·吉林高三其他模拟（文））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．94π B ．66π+ C ．3π D ．34π【答案】A【分析】【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1，高为3的圆柱体的34． 故239V 1344ππ=⨯⋅⋅=． 故选：A ．9．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．163C ．8D ．16【答案】B【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥且一个侧面与底面垂直，再根据椎体的体积公式，即可求出该几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其高为2，底面三角形的高为该几何体的体积为11162323⨯⨯=. 故选：B【点睛】 方法点睛：由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．10．（2019·安徽高三其他模拟（理））一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．16B ．8C ．8D ．8【答案】D【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2的正方形，高为2的四棱锥体，几何体的直观图如图所示：故：A BCDE BCDE ABE ABC ACD ADE S S S S S S -=++++11222822=⨯⨯+⨯⨯=+故选：D ．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查运算能力和数学思维能力．11．（2021·浙江高二期末）某几何体的三视图如图，正视图和侧视图是两个全等的半圆，俯视图中圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）A ．43πB ．23πC ．4πD ．2π【分析】由三视图可知，该几何体是半径为1的半球，即可求出体积.【详解】由三视图可知，该几何体是半径为1的半球，如图， 则该几何体的体积为31421233ππ⨯⨯=. 故选：B.12．（2021·浙江金华市·高三三模）若某多面体的三视图(单位∶cm )如图所示，则此多面体的体积是（ ）A 3B ．38cm 3 C 3 D ．34cm 3【答案】D【分析】根据三视图可得该几何体为一个四棱锥，如图，即可求出体积.【详解】根据三视图还原几何体，可得该几何体为一个四棱锥，且顶点可都为一个正方体的顶点，如图粗线所示， 此多面体可看作半个正方体去掉一个三棱锥， 则此多面体的体积是334c 11222323m 2⨯-⨯⨯⨯=.13．（2020·安徽高三其他模拟）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥表面上的点M､N､P､Q在三视图上对应的点分别为A､B､C､D，且A､B､C､D均在网格线上，图中网格上的小正方形的边长为1，则几何体MNPQ 的体积为（）A．14B．13C．12D．23【答案】C 【分析】根据三视图可得如图三棱锥MNPQ，确定,P N位置，可得1324N MPQ F MEQV V--=⨯，即可得解.【详解】由三视图得，几何体MNPQ是一个三棱锥，且N是QF的中点，QP=34 EQ，如图，所以13331114248832 N MPQ F MEQ Q MEFV V V---=⨯==⨯⨯⨯=.故选：C.14．（2021·全国高三其他模拟（理））如图所示是某几何体的三视图，图中的四边形都是边长为a的正方形，侧视图和俯视图中的两条虚线都互相垂直，已知几何体的体积为203，则a=（）A．3B C．2D【答案】C【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积.【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为a的正方体挖去一个底面为边长为a的长方形，高为2a 的四棱锥构成的几何体P ABCD -； 如图所示：故33215326a a V a a =-⨯-==203， 解得a =2，故选：C.二、填空题15．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））一个空间几何体的主视图，侧视图是周长为8，一个内角为60︒的菱形，俯视图是圆及其圆心（如图），那么这个几何体的表面积为__________.【答案】4π【分析】由三视图还原几何体，该几何体由两个有公共底面且全等的圆锥构成，圆锥的底面直径为2，母线长度为2，可得答案.【详解】由三视图可知，该几何体由两个有公共底面且全等的圆锥构成，由主视图，侧视图是周长为8，一个内角为60︒的菱形可得，这两个圆锥的底面半径为2，母线长为2， 所以每个圆锥的底面圆的周长为2π 每个圆锥的侧面积为：12222ππ⨯⨯= 所以该几何体的表面积为224ππ⨯=故答案为：4π16．（2021·河南商丘市·高三月考（理））某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最短棱长为___________.【分析】根据三视图还原几何体，然后计算即可.【详解】BC BD Array由图可知该三棱锥的最短棱为底面三角形的直角边即,。

高考三视图知识点高考是每个学生都将面临的一次重要考试。

其中，物理学科对于很多学生来说可能是一个难点。

而在物理学中，三视图是一个重要的知识点，需要学生掌握和理解。

本文将重点介绍高考物理中的三视图知识点，从不同角度深入讨论，帮助学生更好地理解和应对考试。

一、什么是三视图？三视图是指一个物体在不同方向上的投影图。

通常来说，我们可以通过正视图、左视图和俯视图来理解一个物体的形状和结构。

正视图是指从物体正前方看的投影图，左视图是指从物体左侧看的投影图，俯视图是指从物体上方看的投影图。

二、三视图的应用三视图在日常生活和工程设计中有着广泛的应用。

在建筑设计中，工程师需要通过三视图来理解和描述建筑物的形状和结构，从而进行合理的设计和施工。

在机械加工中，工人需要通过三视图来理解和操作机械设备，保证产品的准确加工。

在电子电路设计中，工程师需要通过三视图来理解和布局电路板的组成部分，确保电子设备的正常工作。

三、如何绘制三视图？绘制三视图需要一定的技巧和方法。

首先，我们需要确定物体的主视图，即选择一个合适的方向作为正面。

然后，根据物体的形状和尺寸，我们可以绘制正视图和左视图。

在绘制正视图时，需要注意保持比例和准确度，确保投影图能够准确地反映物体的形状和结构。

在绘制左视图时，需要将物体按照一定角度倾斜，以获得合适的投影图。

最后，通过观察和分析正视图和左视图，我们可以绘制出俯视图，从不同角度全面地了解物体。

四、三视图与三维几何的关系三视图是三维几何的重要组成部分，可以通过观察三视图来判断物体的形状和结构。

在三维几何中，我们通过描述物体的点、线和面来构建物体的形态。

而三视图则通过将这些点、线和面在不同方向上投影到二维平面上来描述物体。

因此，三视图可以看作是三维几何与二维平面之间的桥梁，帮助我们理解和描述三维物体。

五、常见的三视图题型在高考物理中，三视图经常出现在选择题和计算题中。

例如，考生可能会遇到给定一个物体的正视图和俯视图，需要根据给定信息绘制出左视图的题目。

专题04 三视图【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A .63B. 623+C. 123D. 1223+【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+⎪⎝⎭【名师点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．【命题意图】能够识别三视图所表示的空间几何体，理解三视图和直观图的联系，并能进行转化，进而求出该几何体的表面积或体积．【命题规律】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，多为低档题，常见的命题角度：根据几何体的三视图，求该几何体的表面积或体积，熟练掌握三视图还原为直观图的方法（应牢记：长对正，宽相等，高平齐）及空间几何体的表面积与体积公式是关键．【答题模板】三视图问题的常见类型及解题策略：（1）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．（2）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.（4）求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．【方法总结】1．线条的规则（1）能看见的轮廓线用实线表示；（2）不能看见的轮廓线用虚线表示.2．常见几何体的三视图3．空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴使∠xOz =90°，且∠yOz =90°. ②画直观图时，把它们画成对应的轴O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，使∠x ′O ′y ′=45°(或135°)，∠x ′O ′z ′=90°，x ′O ′y ′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半.⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. （3）直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为22SS ='，即原图面积是直观图面积的22倍， ②直观图面积是原图面积的2=22倍. 4．旋转体的表面积圆柱（底面半径为r ，母线长为l ）圆锥（底面半径为r ，母线长为l ）圆台（上、下底面半径分别为r ′，r ，母线长为l ）侧面展开图底面面积2π底S r =2π底S r =22,ππ上底下底S r S r ='=侧面面积2π侧S rl =π侧S rl =()π侧S l r r ='+表面积()2π表S r r l =+ ()π表S r r l =+()22π表S r r r l rl ='++'+5．多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：6．球的表面积和体积公式设球的半径为R ，它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为34π3R .7．球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是12a ；正方体的外接球半径是32a ；与正方体所有棱相切的球的半径是22a ． （2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h 22212a b h ++ （3）若正四面体的棱长为a 66；与正四面体所有棱相切的球的半径是24a ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 8．柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体柱体V Sh=(S为底面面积，h为高)，2π圆柱V r h=(r为底面半径，h为高) 锥体13锥体V Sh=(S为底面面积，h为高)，213π圆锥V r h=(r为底面半径，h为高) 台体(13)台体V S S S S h='+'+(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，()223π1圆台V h r r r r='+'+(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)9．柱体、锥体、台体体积公式间的关系10．必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.1．（2020·北京高三二模）已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是( )A ．12π+B ．14π+C ．18π+D ．1+π2．（2020·北京高三一模）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是A ．443+B ．12C ．43D ．83．（2019·北京清华附中高考模拟（文））如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2020·北京人大附中昌平学校高三二模）某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ∉，且23S ∉B ．22S ∉，且23S ∈C ．22S ∈，且23S ∉D ．22S ∈，且23S ∈5．（2020·北京高三零模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．46．（2020·北京高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．07．（2020·宁夏回族自治区银川一中高一期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（2020·北京高三期末（文））某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．43B．83C．4D．89．（2018·北京高二期中（文））某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是A．B．C．D．10．（2018·北京高三期中（文））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．1B．2C．2-1D．2+1 211．（2020·四川省眉山市彭山区第二中学高三其他（文））将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．12．（2020·西安电子科技大学附属中学太白校区高一期末）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π 13．（2020·北京高三一模）如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1214．（2020·榆林市第二中学高三零模（文））将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A．B．C．D．15．（2020·北京高三月考）如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．23B．43C．3D．3216．（2020·上海高三专题练习）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．13B．23C．1 D．217．（2020·北京高三二模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6 B．8 C．12 D．24 18．（2020·浙江省高三其他）一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于（）A．66B．13C．12D．3219．（2020·四川省石室中学高三月考（理））某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是( )A．16 B．32 C．44 D．6420．（2020·浙江省高三其他）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A．13π+B．123π+C．23π+D．123π+21．（2019·浙江省高三其他）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cm +D ．()2454cm +22．（2018·北京高三专题练习（理））某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的棱长度为（ ）．A ．23B ．32C ．22D ．223．（2020·北京高三月考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）A 2B ．2C ．22D ．324．（2010·北京高考真题（理））一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A．B．C．D．25．（2020·重庆市云阳江口中学校高三月考（文））某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．3 C．4 D．626．（2020·北京十五中高三一模）在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示，如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（）A．25B．42C．6D．43 27．（2020·北京四中高三开学考试）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．23B．43C．83D．328．（2020·湖南省湖南师大附中高三月考（文））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1 B．2C ．3D ．429．（2020·北京八中高三月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．13B ．23C ．1D ．230．（2020·北京高三月考（文））某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．37cm 2B ．37cm 3C ．37cm 6D ．37cm31．（2020·北京高三其他）某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．22B．23C．4D．2632．（2020·北京高三二模）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为（）A．23B．43C．2 D．433．（2020·福建省福州第一中学高三其他（理））已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83πB．103πC．6πD．3π34．（2020·定远县育才学校高三其他（文））某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）A．23B．13C．12D．3435．（2020·北京高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于3的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个36．（2020·四川省泸县第一中学高三二模（理））某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．2025+B．1445+C．26D．1225+37．（2020·上海高三专题练习）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c2m）为( )A．48+122B．48+242C．36+122D．36+24238．（2020·上海高三专题练习）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．62C．10 D．8239．（2020·南昌市八一中学高二期中（理））某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4B．6C．8D．1240．（2020·北京高三二模）如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（）A 23B．43C43D．3解析附后专题04 三视图【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A .63B. 623+C. 123D. 1223+【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+⎪⎝⎭【名师点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．【命题意图】能够识别三视图所表示的空间几何体，理解三视图和直观图的联系，并能进行转化，进而求出该几何体的表面积或体积．【命题规律】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，多为低档题，常见的命题角度：根据几何体的三视图，求该几何体的表面积或体积，熟练掌握三视图还原为直观图的方法（应牢记：长对正，宽相等，高平齐）及空间几何体的表面积与体积公式是关键．【答题模板】三视图问题的常见类型及解题策略：（1）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．（2）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.（4）求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．【方法总结】1．线条的规则（1）能看见的轮廓线用实线表示；（2）不能看见的轮廓线用虚线表示.2．常见几何体的三视图3．空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴使∠xOz =90°，且∠yOz =90°. ②画直观图时，把它们画成对应的轴O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，使∠x ′O ′y ′=45°(或135°)，∠x ′O ′z ′=90°，x ′O ′y ′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半.⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. （3）直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为22SS ='，即原图面积是直观图面积的22倍， ②直观图面积是原图面积的2=22倍. 4．旋转体的表面积圆柱（底面半径为r ，母线长为l ）圆锥（底面半径为r ，母线长为l ）圆台（上、下底面半径分别为r ′，r ，母线长为l ）侧面展开图底面面积2π底S r =2π底S r =22,ππ上底下底S r S r ='=侧面面积2π侧S rl =π侧S rl =()π侧S l r r ='+表面积()2π表S r r l =+ ()π表S r r l =+()22π表S r r r l rl ='++'+5．多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：6．球的表面积和体积公式设球的半径为R ，它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为34π3R .7．球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是12a ；正方体的外接球半径是32a ；与正方体所有棱相切的球的半径是22a ． （2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h 22212a b h ++ （3）若正四面体的棱长为a 66；与正四面体所有棱相切的球的半径是24a ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 8．柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体柱体V Sh=(S为底面面积，h为高)，2π圆柱V r h=(r为底面半径，h为高) 锥体13锥体V Sh=(S为底面面积，h为高)，213π圆锥V r h=(r为底面半径，h为高) 台体(13)台体V S S S S h='+'+(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，()223π1圆台V h r r r r='+'+(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)9．柱体、锥体、台体体积公式间的关系10．必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.1．（2020·北京高三二模）已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是( )A ．12π+B ．14π+C ．18π+D ．1+π【答案】C【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为1的正方体和一个底面半径为12，高为1的半个圆柱. 如图所示：所以：V 211111()11228ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 2．（2020·北京高三一模）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是A ．443+B ．12C ．43D ．8【答案】D 【解析】由三视图知：原几何体是一个正四棱锥，正四棱锥的底面边长为2，高为3，所以侧面的斜高为()23+1=2，所以该几何体的侧面积为1=224=82s ⨯⨯⨯． 3．（2019·北京清华附中高考模拟（文））如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】正方体1111ABCD A B C D -中，过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分．4．（2020·北京人大附中昌平学校高三二模）某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ，且3SB ．22S ，且23SC ．22S ，且23SD ．22S ，且23S【答案】D 【解析】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：2AB BC CD AD DE =====， 22AE CE ==，22(22)223BE =+=.故选：D..5．（2020·北京高三零模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】B【解析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为211421333ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=正方形. 6．（2020·北京高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C 【解析】由三视图还原原几何体如图，其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.7．（2020·宁夏回族自治区银川一中高一期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．18【答案】B【解析】 13V Sh =，1163332=⨯⨯⨯⨯，9=．8．（2020·北京高三期末（文））某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．43 B ．83 C ．4 D ．8【答案】A【解析由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，其底面为等腰直角三角形，且腰长为2，三棱柱的高为2，所以该三棱柱的体积为114 V222323 =⨯⨯⨯⨯=.9．（2018·北京高二期中（文））某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.10．（2018·北京高三期中（文））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．1B2C2-1D．2+1 2【答案】C【解析】水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为2，因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围是[1,2]，因此,,A B D 皆有可能，而2112-<，11．（2020·四川省眉山市彭山区第二中学高三其他（文））将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，1AD 在右侧的射影是正方形的对角线，1B C 在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B ． 12．（2020·西安电子科技大学附属中学太白校区高一期末）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．283π- B ．83π-C ．82π-D ．23π 【答案】A【解析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算． 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-.13．（2020·北京高三一模）如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】A 【解析】由三视图知，几何体是一个三棱锥1D BCD ，根据三棱锥的三视图的数据，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是4DC =，3BC =，12DD =，因此，三棱锥的体积是114324 32⨯⨯⨯⨯=.14．（2020·榆林市第二中学高三零模（文））将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体,左向右看得到矩形,矩形对角线从左下角连接右上角，且对角线为虚线，故该几何体的侧视图为D15．（2020·北京高三月考）如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．23B ．43C ．3D ．32【答案】D【解析】根据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥P ABC -，如图可知3,1,==⊥AB BC AB BC ，点P 到平面ABC 的距离为3h =11331222△=⋅⋅=⋅⋅=ABC S AB BC 所以113333322△-=⋅⋅=⋅⋅=P ABC ABC V S h 16．（2020·上海高三专题练习）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】C【解析】由三视图可知：原几何体为三棱柱．所以体积为：．17．（2020·北京高三二模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】B【解析】由三视图画出该三棱锥的直观图，如下图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，4AB =，BC CD ⊥，且4BC =，3CD =，所以该三棱锥的体积1114348332BCDV S AB =⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B.18．（2020·浙江省高三其他）一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于（）A．66B．13C．12D．32【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如图，且高为3，∴该三棱锥的体积111133322V=⨯⨯=，故选：C．19．（2020·四川省石室中学高三月考（理））某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是( )A．16 B．32 C．44 D．64【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．⊥．则BC PC∴该几何体的表面积1(34543445)32S=⨯+⨯+⨯+⨯=．220．（2020·浙江省高三其他）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A．13π+B．123π+C．23π+D．123π+【答案】B【解析】由三视图还原几何体的直观图，如下图：可得该几何体为一个四分之一的圆柱和一个三棱锥的组合体，所以该几何体的体积21211111243223 Vππ⨯⨯=+⨯⨯⨯⨯=+.故选：B.21．（2019·浙江省高三其他）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cm +D ．()2454cm +【答案】D【解析】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.侧面的高为22215+=，所以侧面积为1425452⨯⨯⨯=.所以该几何体的表面积是()2454cm +. 22．（2018·北京高三专题练习（理））某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的棱长度为（ ）．A ．3B ．32C ．22D ．2【答案】A【解析】由三视图可知其直观图，。

2019-2020年高考数学玩转压轴题专题4.1 复杂的三视图问题一．方法综述三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同.根据几何体的三视图确定直观图的方法：（1）三视图为三个三角形，对应三棱锥；（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；（3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；（4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；（5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱。

对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体。

二．解题策略类型一构造正方体（长方体）求解【例1】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体三视图，则该几何体的体积为（ ） 64.A 364.B 16.C 316.D 【答案】 D【指点迷津】由三视图求几何体的体积是高考常考内容，关键有三视图得到原几何体。

由三视图可在棱长为4的正方体中截得该几何体三棱锥。

【举一反三】1、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.16 B.13 C.12D.1 【答案】 B【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥P-ABC ，其中点A 为中点，所以611112131V ABC -P =⨯⨯⨯⨯=。

第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积一、选择题1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形 解析：选A.AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3，BC ＝B ′O ′＋C ′O ′＝1＋1＝2， 在Rt △AOB 中，AB ＝12＋（3）2＝2，同理AC ＝2，所以△ABC 是等边三角形． 2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台是上、下底面相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．3．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 的中点，则三棱锥A ­BC 1M 的体积VA ­BC 1M ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．112解析：选C.VA ­BC 1M ＝VC 1­ABM ＝13S △ABM ·C 1C ＝13×12AB ×AD ×C 1C ＝16.故选C.4．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为( ) A ．10 B ．10 3 C ．10 2D ．5 3解析：选B.设圆锥的底面半径为r ，高为h .因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr ＝20π，所以r ＝10，所以h ＝202－102＝10 3.5．(2019·湖北武汉5月模拟)已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为( )A ．4B ．29C ．223D ．417解析：选B.设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋y ＋z ）＝36，①2（xy ＋xz ＋yz ）＝52，②①的两边同时平方得x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2xz ＋2yz ＝81，把②代入得x 2＋y 2＋z 2＝29，所以长方体的体对角线的长为29.故选B.6．已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4πB ．163πC ．323πD ．16π解析：选D.如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋（3）2＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.7．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，则点B 到平面D 1AC 的距离等于( )A ．33B ．63C ．1D ．2解析：选B.如图，连接BD 1，易知D 1D 就是三棱锥D 1­ABC 的高，AD 1＝CD 1＝5，取AC 的中点O ，连接D 1O ，则D 1O ⊥AC ，所以D 1O ＝AD 21－AO2＝ 3.设点B 到平面D 1AC 的距离为h ，则由VB ­D 1AC ＝VD 1­ABC ，即13S △D 1AC ·h ＝13S △ABC ·D 1D ，又S △D 1AC ＝12D 1O ·AC ＝12×3×22＝6，S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，所以h ＝63.故选B. 8．在三棱锥S ­ABC 中，SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB ＝BC ，SA ＝AC ，AB ＝12SC ，且三棱锥S ­ABC的体积为932，则该三棱锥的外接球半径是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.取SC 的中点O ，连接OA ，OB ，则OA ＝OB ＝OC ＝OS ，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r ，则13×2r ×34r 2＝932，所以r ＝3.9．(2019·安徽省江南十校3月检测)我国南北朝时期的科学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：如果两个等高的几何体在等高处的水平截面的面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用此原理求以下几何体的体积：如图，曲线y ＝x 2(0≤y ≤L )和直线y ＝L 围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z ，得截面圆的面积为π(l )2＝πl .由此构造右边的几何体Z 1(三棱柱ABC ­A 1B 1C 1)，其中AC ⊥平面α，BB 1C 1C ∥α，EFPQ ∥α，AC ＝L ，AA 1⊂α，AA 1＝π，Z 1与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 和BB 1C 1C 为矩形，且PQ ＝π，FP ＝l ，则几何体Z 1的体积为( )A ．πL 2B ．πL 3C ．12πL 2D ．12πL 3 解析：选C.由题意可知，在高为L 处，几何体Z 和Z 1的水平截面面积相等，为πL ， 所以S 矩形BB 1C 1C ＝πL ，所以BC ＝L ，所以V 三棱柱ABC ­A 1B 1C 1＝S △ABC ·π＝12πL 2，故选C.10．(2019·重庆市七校联合考试)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( )A ．18B ．12C ．6 3D ．4 3解析：选B.由题意知，球心在三棱锥的高PE 上，设内切球的半径为R ，则S 球＝4πR 2＝16π，所以R ＝2，所以OE ＝OF ＝2，OP ＝4.在Rt △OPF 中，PF ＝OP 2－OF 2＝2 3.因为△OPF ∽△DPE ，所以OF DE ＝PF PE ，得DE ＝23，AD ＝3DE ＝63，AB ＝23AD ＝12.故选B. 11．(多选)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是( )A ．矩形B ．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体C ．每个面都是直角三角形的四面体D ．每个面都是等边三角形的四面体解析：选ABCD.4个顶点连成矩形的情形显然成立；图(1)中四面体A 1­D 1B 1A 是B 中描述的情形；图(2)中四面体D ­A 1C 1B 是D 中描述的情形；图(3)中四面体A 1­D 1B 1D 是C 中描述的情形．12．(多选)如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )A ．直线A 1C 1与AD 1为异面直线B ．A 1C 1∥平面ACD 1 C ．BD 1⊥ACD ．三棱锥D 1­ADC 的体积为83解析：选ABC.对于A ，直线A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1，D 1∉直线A 1C 1，则易得直线A 1C 1与AD 1为异面直线，故A 正确；对于B ，因为A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ACD 1，AC ⊂平面ACD 1， 所以A 1C 1∥平面ACD 1，故B 正确；对于C ，连接BD ，因为正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，BD ∩DD 1＝D ，所以AC ⊥平面BDD 1，所以BD 1⊥AC ，故C 正确；对于D ，三棱锥D 1­ADC 的体积V 三棱锥D 1­ADC ＝13×12×2×2×2＝43，故D 错误．13．(多选)如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且AB ＝2，AD ＝EF ＝1.则( )A ．平面BCF ⊥平面ADFB ．EF ⊥平面DAFC ．△EFC 为直角三角形D ．V C ­BEF ∶V F ­ABCD ＝1∶4解析：选AD.因BF ⊥AF ，BF ⊥DA ，所以BF ⊥平面DAF ， 所以平面BCF ⊥平面ADF ，由题意可知，平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为V 四棱锥F ­ABCD ，V 三棱锥F ­CBE .过点F 作FG ⊥AB 于点G ，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，FG ⊂平面ABEF ，所以FG ⊥平面ABCD .所以V 四棱锥F ­ABCD ＝13×1×2×FG ＝23FG ，V 三棱锥F ­BCE ＝V 三棱锥C ­BEF ＝13×S △BEF×CB ＝13×12×FG ×1×1＝16FG ，由此可得V 三棱锥C ­BEF ∶V 四棱锥F ­ABCD ＝1∶4.二、填空题14．(一题多解)(2019·淄博市第一次模拟测试)底面边长为6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为________．解析：法一：由题意得，三棱锥的侧棱长为32，设正三棱锥的高为h ，则13×12×32×32×32＝13×34×36h ，解得h ＝ 6.法二：由题意得，三棱锥的侧棱长为32，底面正三角形的外接圆的半径为23，所以正三棱锥的高为18－12＝ 6.答案： 615．(2019·高考天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．解析：由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为5－1＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×1＝π4. 答案：π416．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为____________．解析：如图，过点P 分别作PE ⊥BC 交BC 于点E ，作PF ⊥AC 交AC 于点F .由题意知PE ＝PF ＝ 3.过P 作PH ⊥平面ABC 于点H ，连接HE ，HF ，HC ，易知HE ＝HF ，则点H 在∠ACB 的平分线上，又∠ACB ＝90°，故△CEH为等腰直角三角形．在Rt △PCE 中，PC ＝2，PE ＝3，则CE ＝1，故CH ＝2，在Rt △PCH 中，可得PH ＝2，即点P 到平面ABC 的距离为 2.答案： 217．(2019·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________．解析：该三棱锥侧面的斜高为⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32＋12＝233，则S 侧＝3×12×2×233＝23，S底＝12×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S 表＝23＋3＝3 3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积V 锥＝13S 表·r＝13S 底·1，所以33r ＝3，所以r ＝13，所以三棱锥的内切球的体积最大为V max ＝43πr 3＝4π81. 答案：3 3 4π81。

专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积【考点点击】1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．3.几何体的三视图与表（侧）面积、体积计算结合；【重点知识】一、空间几何体1．柱体、锥体、台体、球的结构特征名称几何特征棱柱①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)；②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥①有一个面是多边形(底面)；②其余各面是有公共顶点的三角形．棱台①底面互相平行；②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)圆柱①有两个互相平行的圆面(底面)；②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直圆台①底面互相平行；②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的球①有一个曲面是球面；②有一个球心和一条半径长R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积名称体积表面积棱柱V棱柱＝Sh(S为底面积，h为高)S棱柱＝2S底面＋S侧面棱锥V棱锥＝13Sh(S为底面积，h为高)S棱锥＝S底面＋S侧面棱台V棱台＝13h(S＋SS′＋S′)S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面圆柱V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高)S圆柱＝2πrl＋2πr2(r为底面半径，l为母线长)圆锥V圆锥＝13πr2h(r为底面半径，h为高)S圆锥＝πrl＋πr2(r为底面半径，l为母线长)圆台V圆台＝13πh(r2＋rr′＋r′2)S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2球V球＝43πR3(R为球的半径)S球＝4πR2(R为球的半径)3.空间几何体的三视图和直观图(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.【考点分析】考点一空间几何体的结构【例1】已知正三棱锥P­ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【答案】33【解析】正三棱锥P­ABC 可看作由正方体PADC­BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P­ABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC.设正方体棱长为a ，则22,2,1232=====BC AC AB a a ，3223222221=⨯⨯⨯=∆ABC S ，由,PAC B ABC P V V --=得222213131⨯⨯⨯⨯=⋅∆ABC S h ，所以332=h 因此球心到平面ABC 得距离为33考点二三视图、直观图【例2】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【例3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A ．2＋5B ．4＋5C ．2＋25D ．5【答案】C【解析】该三棱锥的直观图如图所示：过D 作DE ⊥BC ，交BC 于E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，ABCABD ACD BCD S S S S S ∆∆∆∆+++=表5225221152115212221+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=考点三几何体的表面积【例4】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以222232114,4π14π.R S R =++===【例5】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328π,则它的表面积是（）（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的81,设球的半径为R ,则32834873ππ=⨯=R V ,解得R 2=,所以它的表面积是87的球面面积和三个扇形面积之和πππ172413248722=⨯⨯+⨯⨯=S 故选A ．考点四几何体的体积【例6．】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π24V r h ⎛==⨯⨯= ⎝⎭，故选B.考点五与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.【例7】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A ．22B ．1C ．212+D ．2解：由题意可知，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22AD R ==11EF AA DD ⊂ 面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22R =.【例8】正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【例9】在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是.解：如图，正三棱锥对棱相互垂直，即,AC SB ⊥又,,,.SB MN MN AC MN AM MN SAC ∴⊥⊥∴⊥∥又平面于是,,,SB SAC SB SA SB SC ⊥∴⊥⊥平面从而.SA SC ⊥此时正三棱锥S ABC -的三条侧棱互相垂直并且相等，故将正三棱锥补形为正方体.球的半径23,3,436.2R SA R S R ππ=∴=∴==【例10】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A ．12πB ．C ．3πD ．【答案】C【解析】把原来的几何体补成以DA DC DP 、、为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，2=R l ，=2R ，234434S R πππ==⨯=球.【例11】在三棱锥P －ABC 中，PA ＝,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．πB.3π C.4πD.43π解：如图所示，过P 点作底面ABC 的垂线，垂足为O ，设H 为外接球的球心，连接,,AH AO 因60,PAO PA ∠== 故2AO =,32PO =又△AHO 为直角三角形，222,,AH PH r AH AO OH ==∴=+22233344(),1,1.2233r r r V ππ∴=+-∴=∴=⨯=【例12】矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125 B.π9125C.π6125D.π3125解：由题意分析可知，四面体ABCD 的外接球的球心落在AC 的中点，此时满足,OA OD OB OC ===522AC R ∴==,343V R π=1256π=.【总结归纳】1个特征——三视图的长度特征“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽。

(5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连 线是圆柱的母线．
(6)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ×
×
2.如图，长方体 ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分， 其中 EH∥A′D′，剩下的几何体是( )
A．棱台
B．四棱柱
C．五棱柱 答案 C
D．简单组合体
解析 由空间几何体的结构特征知，该剩下部分为五棱柱
答案 B 解析 三棱锥的正视图应为高为 4，底边长为 3 的直角三角 形．
Байду номын сангаас人以渔
题型一 空间几何体的结构特征
(1)判断下列结论是否正确．(打“√”或“×”) ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③三棱锥的四个面中最多只有三个直角三角形； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点； ⑤圆锥所有轴截面都是全等的等腰三角形； ⑥圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中，面积最大的一个． 【答案】 ①√ ②× ③× ④√ ⑤√ ⑥× 【讲评】 深刻领会基本概念，熟练掌握基本题型的解法，是 学好立体几何的关键，本课涉及到的概念较多，应多看、多想、多 做．
的方位向北．故选 B.
【讲评】 立体几何中“截、展、拆、拼” ①“截”：指的是截面，平行于柱、锥底面的截面以及旋转 体的轴截面，它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系，能 够列出有关量的关系． ②“展”：指的是侧面和某些面的展开图，在有关沿表面的 最短路径问题中，就是求侧面或某些面展开图上两点间的距离．注 意展开方式往往不止一种．
5．(2018·北京春季高中模拟)一个几何体的三视图如图所示， 那么该几何体是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
解析 由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥 B1－ ACD，故选 A.

第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图复习备考资讯考纲点击1．空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图．(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．(4)会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．2．点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解以下可以作为推理依据的公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内。

公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行。

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．理解以下性质定理，并能够证明：一条直线与一个平面平行，则经过该直线的任意一个平面与此平面的交线和该直线平行。

两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线相互平行。

垂直于同一个平面的两条直线平行．如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．3．空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．(2)会推导空间两点间的距离公式．4．空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．5．立体几何中的向量方法(1)理解直线的方向向量与平面法向量．(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用，考情分析………1．空间几何体的结构及其三视图和直观图以考查三视图、直观图为主，同时考查空间几何体的表面积、体积、空间想象能力等，考查方式有由空间几何体画出其三视图，求三视图的面积或边长，再者由三视图得出空间图形，求出空间几何体的棱长，元素间的位置关系，进而求出表面积及体积．有时以实物为背景，考查空间几何体的表面积、体积公式，以一及运算能力、应用数学知识解决实际问题的能力．以选择、填空题的形式考查，有时也会出现在解答题中．2．空间几何体的表面积与体积以求几何体的表面积和体积为载体，考查空间想象能力、计算能力，多与三视图、简单组合体相联系，在知识交汇点处命题，多以选择题、填空题的形式考查，偶尔在解答题中出现，属容易题．3．空间点、直线、平面之间的位置关系以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力，有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题，多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属低中档题．4．直线、平面平行的判定及其性质以选择、填空题的形式考查线与面、面与面平行关系的判定与性质定理的内容．在解答题中，除考查判定与性质定理外，还考查空间想象能力、逻辑推理能力．5．直线、平面垂直的判定及其性质以选择题、填空题的形式，考查线面垂直，面面垂直的判定定理和性质定理，解答题中一般以考查线面垂直、面面垂直的判定及逻辑推理能力为主．通过考查线面角，考查空间想象能力及运算能力，常以解答题的形式出现．6．利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等偏高，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角等，同时注重考查空间想像能力、运算能力．预习设计 基础备考知识梳理1．空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称，空间几何体的三视图是用 得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 的，三视图包括(2)三视图的画法，①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，②三视图的主视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 方、 方、 方观察几何体画出的轮廓线．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用 画法来画，基本规则是：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，//y x 轴、轴的夹角为 //,x z 轴与轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中 平行于x 轴和z 轴的线段长度在直观图中 平行于y 轴的线段长度在直观图中典题热身1．下列有关棱柱的命题中正确的是 ( )A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C ．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D ．棱柱的侧棱长有的相等，有的不相等 答案：C2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是 （ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球体 D ．圆柱、圆锥、球体的组合体 答案：C3. 如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( )A ．①② B．①③ C．①④ D．②④4．如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是 ，图②是 ，图③是 （写出视图名称）答案：主视图侧视图俯视图5．等腰梯形ABCD ，上底,1=CD 腰,2==CB AD 下底,3=AB 以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD 的面积为 答案：22 课堂设计 方法备考题型一 空间几何体的结构特征【1】给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是 . 答案：③④⑤⑥题型二 空间几何体的三视图【例2】（2010．北京高考）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为 ( )答案：C题型三 空间几何体的直观图【例3】已知△ABC 的直观图///C B A 是边长为a 的正三角形，求原△ABC 的面积，技法巧点(1)正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决．(2)圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面．失误防范………．1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．2．在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线．并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”． 3．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半．随堂反馈………．1．（2011．开封调研）下列命题中，成立的是 ( ) A ．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B ．四面体一定是三棱锥C ．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D ．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥 答案：B2．如图，矩形////C B A O 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,6//cm A O =,2//cm C O =则原图形是( )A ．正方形．B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形答案：C3．三视图如图所示的几何体是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台 答案：B4．(2010．全国新课标)一个几何体的主视图为一个三角形则这个几何体可能是下列几何体中的 （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 答案：①②③⑤高效作业 技能备考一、选择题1．(2010．广东高考)如图，△ABC 为正三角形，若⊥////,////CC CC BB AA 平面ABC ，且,233///AB CC BB AA ===则多面体///C B A ABC -的主视图是 ( )答案：D2．（2011．课标全国卷）在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )答案：D3（2011．枣庄质检）如图，几何体的主视图和侧视图都正确的是 ( )答案：B4．（2011．青岛质检）如图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数共有 ( )A．3块 B．4块 C．5块 D．6块答案：B5．（2011．江西高考）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为( )答案：D6．(2011．浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ( )答案：B二、填空题7．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是答案：①④45的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为,2则原8．如图，在斜二测投影下，四边形AB-CD是下底角为四边形的面积是8答案：29．（2011．广州模拟）已知一个几何体的三视图如下，主视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）①矩形②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体，答案：①③④⑤三、解答题10．（2011．黄山适应性测试）一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长．11.（2011．四平质检）已知正三棱锥V-ABC的主视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图．(2)求出侧视图的面积．12．如图是一个几何体的主视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积.。