2016内蒙古化工职业学院数学单招试题测试版(附答案解析)

考单招——上高职单招网一、选择题1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于()A．(－5，－10)B．(－4，－8)C．(－3，－6)D．(－2，－4)解析：选B.∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，∴m＝－4.∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，m)＝(－4,4＋3m)＝(－4，－8)．2．下列命题正确的是()A．单位向量都相等B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1解析：选C.对于选项A，单位向量方向任意，大小相等，故选项A错误；对于选项B，若b为零向量，则a，c不一定共线，故选项B错误；对于选项C，根据向量的几何意义，对角线相等的四边形是矩形，所以a·b＝0，故选项C正确；对于选项D，单位向量可能有夹角，所以不一定是a·b＝1，故选项D错误．故选C.3.如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a、b表示AD→，则AD→等于()考单招——上高职单招网A ．a ＋34bB.14a ＋34b C.14a ＋14bD.34a ＋14b 解析：选B.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b ，故选B.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)解析：选D.设c ＝(a ，b )，则c ＋a ＝(1＋a,2＋b )，b ＝(2，－3)． 又∵(c ＋a )∥b ，∴(1＋a )(－3)－2(2＋b )＝0.① 又∵a ＋b ＝(3，－1)，c ＝(a ，b )且c ⊥(a ＋b )， ∴3a －b ＝0.②解①②得⎩⎨⎧a ＝－79b ＝－73，∴c ＝(－79，－73)．5．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C.由题意知m ·n ＝0， ∴3cos A －sin A ＝0，考单招——上高职单招网∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3，又∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ， 即sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin(π－C )＝sin 2C ，sin C ＝sin 2C ， ∴sin C ＝1，∵0<C <π，∴C ＝π2，∴B ＝π6. 二、填空题6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.解析：∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0. ∴m ＝－1. 答案：－17．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.解析：由题意画出图形如图所示，取一组基底{}AB →，AC →，结合图形可得 AD →＝12(AB →＋AC →)， BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC→－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14.答案：－14考单招——上高职单招网8．设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f ，满足对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．若|a |＝|b |且a 、b 不共线，则(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝________；若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，则λ＝________.解析：∵|a |＝|b |且a 、b 不共线，∴(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝(λa －λb )·(a ＋b )＝λ(|a |2－|b |2)＝0.∵BC →＝(1,2)，∴f (BC →)＝λ(1,2)，AB →＝(2,4)，∴λ＝2. 答案：0 2 三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解：(1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)．求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2， 易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5， ∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.10．已知点A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin2θ的值．考单招——上高职单招网解：(1)∵A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． ∵|AC →|＝|BC →|，∴(2sin θ－1)2＋cos 2θ＝(2sin θ)2＋(cos θ－1)2， 化简得2sin θ＝cos θ.∵cos θ≠0(若cos θ＝0，则sin θ＝±1，上式不成立)， ∴tan θ＝12.(2)∵OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)． ∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1.∴sin θ＋cos θ＝12. ∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴sin2θ＝－34.11．已知点C (0,1)，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于原点O 的相异的两动点，且OA →·OB →＝0.(1)求证：AC →∥AB →；(2)若AM →＝λMB →(λ∈R )，且OM →·AB →＝0，试求点M 的轨迹方程．解：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，x 1≠0，x 2≠0，x 1≠x 2.∵OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋x 21x 22＝0.又x 1≠0，x 2≠0，∴x 1x 2＝－1.(1)证明：AC →＝(－x 1,1－x 21)，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 21)．∵(－x 1)(x 22－x 21)－(x 2－x 1)(1－x 21)考单招——上高职单招网＝(x 2－x 1)[－x 1(x 2＋x 1)]－(x 2－x 1)(1－x 21)＝(x 2－x 1)(－x 1x 2－x 21－1＋x 21)＝(x 2－x 1)·0＝0， ∴AC →∥AB →.(2)由题意知，A ，M ，B 三点共线，OM ⊥AB ，由(1)知A ，B ，C 三点共线． 又OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB .故M 点是直角三角形AOB 的顶点O 在AB (斜边)上的射影，∠OMC ＝90°. ∴点M 在以OC 为直径的圆上，其轨迹方程为 x 2＋(y －12)2＝14(y ≠0)．。

2024年内蒙古化工职业学院单招职业倾向性测试题库（必背100题）含答案解析第一部分单选题(80题)1、关于诗句涉及的物候特征，下列对应错误的是（）A.不知近水花先发，疑是经冬雪未销——水对温度的调节作用B.羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关——冷锋过境产生的天气变化C.春风疑不到天涯，二月山城未见花——海拔对植物生长的影响D.南枝向暖北枝寒，一种春风有两般——光照对植物的影响【答案】：B【解析】解析A项，由于水的比热容大，升温和降温都比较慢，因此近水的地方夏季温度较低、冬季温度较高，体现了水对温度的调节作用，A项正确；B项，诗句中的“春风”是指夏季风，在气候学上，受夏季风影响明显的地区称为季风区，反之则称为非季风区。

玉门关处于非季风区，所以“春风不度玉门关”。

与冷锋过境无关，B项错误；C项，通常情况下，海拔越高，气温越低。

而温度又是影响植物生长的重要因素，所以诗句体现了海拔对植物生长的影响，C项正确；D 项，从地理角度看，是由于光照强度不同，南枝向阳，光照较强，温度较高；北枝背阳，光照较弱，温度较低。

体现了光照对植物的影响，D项正确。

故选B。

考点地理常识2、购汇：外币：金融交易()A.诉讼：纠纷：法律程序B.理财：炒股：投资方式C.贷款：资金：信用活动D.摄像：资料：艺术创作【答案】：C【解析】购汇获得外币，购汇属于金融交易;贷款获得资金，贷款属于信用活动。

知识点：言语理解与表达3、关于海洋环境，下列说法错误的是（）A.海洋是地球上水循环的起点B.海洋水温在垂直方向上，上层和下层截然不同C.波浪、潮汐和海流等都是海水运动的形式D.海洋可以分成四种地形区域：大陆架、大陆坡、大洋盆地和大洋高原【答案】：D【解析】解析A项，海洋是地球上水循环的起点，海水受热蒸发，水蒸气升到空中，再被气流带到陆地上来，使陆地上有降水和径流。

陆地上有了水，生物才得到发展，A项正确；B项，海洋水温在垂直方向上，上层和下层截然不同，B项正确；C项，波浪、潮汐和海流等都是海水的运动形式，C项正确；D项，海洋根据水深、海底坡度和海底沉积物等分成四种地形区域：大陆架、大陆坡、大洋盆地和海沟，D项错误。

考单招——上高职单招网[时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．数列{a n }对任意n ∈N *，满足a n ＋1＝a n ＋3，且a 3＝8，则S 10等于( ) A ．155 B ．160 C ．172 D ．2402． 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是( ) A ．65 B ．70 C ．130 D ．2603．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．244．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 能力提升5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是( )A.12 B ．1 C ．2 D ．36．{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，令b n ＝a 3n ，则数列{b n }的一个通项公式是( )A ．b n ＝3n ＋2B ．b n ＝4n ＋1C ．b n ＝6n －1D ．b n ＝8n －3考单招——上高职单招网7．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．248．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．89．在等差数列{a n }中，若a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 10．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.11．已知数列{a n }满足a 1＝t ，a n ＋1－a n ＋2＝0(t ∈N *，n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t )，则f (t )＝________.12．(13分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .考单招——上高职单招网难点突破13．(12分)已知数列{a n}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2a m＋n－1＋2(m－n)2.(1)求a3，a5；(2)设b n＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{b n}是等差数列；(3)设c n＝(a n＋1－a n)q n－1(q≠0，n∈N*)，求数列{c n}的前n项和S n.考单招——上高职单招网参考答案 【基础热身】1．A [解析] 由a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，则数列{a n }是公差d ＝3的等差数列，由a 3＝8，得a 1＋2d ＝8，a 1＝2，所以S 10＝10×2＋10×92×3＝155，故选A.2．C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＋a 9＋a 11＝30，得 a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30，即a 1＋6d ＝10， ∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )＝130，故选C.3．B [解析] 由已知，有a 1＋(k －1)d ＝7a 1＋7×62d ，把a 1＝0代入，得k ＝22，故选B.4．－1 [解析] 由S 2＝S 6，得2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d 解得4(a 1＋3d )＋2d ＝0，即2a 4＋d ＝0，所以a 4＋(a 4＋d )＝0，即a 5＝－a 4＝－1.【能力提升】5．C [解析] 由S 33－S 22＝1，得13(3a 1＋3d )－12(2a 1＋d )＝1，解得d ＝2，故选C. 6．C [解析] 由已知，得{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则数列{b n }的前4项为5,11,17,23，即数列{b n }是首项b 1＝5，公差为6的等差数列，它的一个通项公式为b n ＝6n －1，故选C.7．B [解析] 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0， ∴a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)(－2)＝20.故选B.8．C [解析] 方法1：S 3＝S 11得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列性质可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．方法2：由S 3＝S 11可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数性质，当n ＝7时S n 最大．考单招——上高职单招网方法3：根据a 1＝13，S 3＝S 11，这个数列的公差不等于零，说明这个数列的和先是单调递增的，然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当S 3＝S 11时，只有n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．9．42 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＋a 3＝13，得2a 1＋3d ＝13，解得d ＝3，∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×2＋12×3＝42.10．20 [解析] 由调和数列的定义，得x n ＋1－x n ＝d ，即数列{x n }是等差数列， 则x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11， ∴x 1＋x 2＋…＋x 20＝10(x 1＋x 20)＝200， 故x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.11.⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t4(t 为偶数)，(t ＋1)24(t 为奇数)[解析] 由已知a n ＋1－a n ＝－2，则数列{a n }是公差为－2的等差数列，数列{a n }的前n 项和为S n ＝nt ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋(t ＋1)n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －t ＋122＋(t ＋1)24.若t 为奇数，t ＋12是整数，则当n ＝t ＋12时，S n 有最大值(t ＋1)24；若t 为偶数，则t ＋12不是整数，则当n ＝t 2或n ＝t2＋1时，S n 有最大值t 2＋2t 4.考单招——上高职单招网故f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t 4(t 为偶数)，(t ＋1)24(t 为奇数).12．[解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝n4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).【难点突破】13．[解答] (1)由题意，令m ＝2，n ＝1，可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6. 再令m ＝3，n ＝1可得 a 5＝2a 3－a 1＋8＝20.(2)证明：当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得 a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8.于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8，即b n ＋1－b n ＝8.考单招——上高职单招网所以，数列{b n }是公差为8的等差数列．(3)由(1)、(2)的解答可知{b n }是首项b 1＝a 3－a 1＝6，公差为8的等差数列，则b n ＝8n －2，即a 2n ＋1－a 2n －1＝8n －2. 另由已知(令m ＝1)可得， a n ＝a 2n －1＋a 12－(n －1)2.那么，a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1－a 2n －12－2n ＋1 ＝8n －22－2n ＋1 ＝2n .于是，c n ＝2nq n －1.当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)． 当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋…＋2n ·q n －1. 两边同乘q 可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋…＋2(n －1)·q n －1＋2n ·q n . 上述两式相减即得(1－q )S n ＝2(1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1)－2nq n ＝2·1－q n 1－q －2nq n＝2·1－(n ＋1)q n ＋nq n ＋11－q所以S n ＝2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2考单招——上高职单招网综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)(q ＝1)，2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2(q ≠1).。

[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π23．已知A (2,0)，B (0,1)，O 是坐标原点，动点M 满足OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，并且OM →·AB →>2，则实数λ的取值范围是( )A ．λ>2B ．λ>65 C.65<λ<2 D ．1<λ<24．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( ) A.655 B.65 C.135 D.13能力提升5．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 6．半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(PA →＋PB →)·PC →的值是( )A．－2B．－1C．2D．无法确定，与C点位置有关7．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为()A．5 3 N B．5 NC．10 N D．5 2 N的是8．已知两不共线向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则下列说法不正确．．．()A．(a＋b)⊥(a－b)B．a与b的夹角等于α－βC．|a＋b|＋|a－b|>2D．a与b在a＋b方向上的投影相等→＋PB→＋PC→＝AB→，QA→＋QB→＋QC→9．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足PA＝BC→，RA→＋RB→＋RC→＝CA→，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为() A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶510．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．11．△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP→·OA→≤0，BP→·OB→≥0，则OP→·AB→的最小值为________．12．[已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．13．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b夹角为45°，则使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围是________________________________________________________________________．14．(10分)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求：a ·b 及|a ＋b |的值；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值．15．(13分)在▱ABCD 中，A (1,1)，AB →＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3,5)，求点C 的坐标；(2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹．难点突破16．(12分) 已知a＝(cos x＋sin x，sin x)，b＝(cos x－sin x,2cos x)．(1)求证：向量a与向量b不可能平行；(2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值．参考答案【基础热身】1．C [解析] A 项，∵|a |＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22， ∴|a|≠|b |，A 错；B 项，∵a·b ＝1×12＋0×12＝12，B 错； C 项，∵a －b ＝(1,0)－⎝⎛⎭⎫12，12＝⎝⎛⎭⎫12，－12， ∴(a －b )·b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12·⎝⎛⎭⎫12，12＝14－14＝0，C 对； D 项，∵1×12－0×12≠0，∴a 不平行于b .故选C.2．D [解析] ∵a·c ＝a·⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b b ＝a·a －⎝⎛⎭⎫a 2a·b a·b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0，c ≠0，∴a ⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π2，故选D.3．B [解析] 根据向量减法的几何意义得AB →＝OB →－OA →，所以OM →·AB →>2，即[λOB →＋(1－λ)OA →]·(OB →－OA →)>2，即λOB →2－(1－λ)OA →2＋(1－2λ)OA →·OB →>2，即λ－(1－λ)×4>2，解得λ>65.4．A [解析] ∵cos θ＝a·b |a ||b |＝2×(－4)＋3×74＋9·16＋49＝55， ∴a 在b 方向上的投影|a |cos θ＝22＋32×55＝655. 【能力提升】5．C [解析] ∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |， ∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎫a·b |a||b |2 ＝|a |2|b |2－(a·b )2|a||b |， ∴S △OAB ＝12|OA →||OB →|sin 〈OA →，OB →〉 ＝12|a||b |sin 〈a ，b 〉 ＝12|a |2|b |2－(a·b )2，故选C.6．A [解析] (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2.7．B [解析] |F 1|＝|F |·cos60°＝5 N.8．B [解析] a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角是θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等． 9．B [解析] 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →，即PA →＋PC →＝AB →＋BP →，PA →＋PC →＝AP →，∴PC →＝2AP →，P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q 、R 的位置，△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1∶3.10.7 [解析] ∵|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－6×cos60°＝7，∴|a －3b |＝7.11．3 [解析] ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1，∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2.∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.12.⎝⎛⎦⎥⎤0，233 [解析] 如图，数形结合知β＝AB →，α＝AC →，|AB →|＝1，C 点在圆弧上运动，∠ACB ＝60°，设∠ABC ＝θ，由正弦定理知|AB |sin60°＝|α|sin θ，∴|α|＝233sin θ≤233，当θ＝90°时取最大值．∴|α|∈⎝⎛⎦⎥⎤0，233. 13.－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1 [解析] 由条件知，cos45°＝a·b |a|·|b|，∴a·b ＝3， 设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝(a ＋λb )·(λa ＋b )|a ＋λb |·|λa ＋b |<0， ∴(a ＋λb )(λa ＋b )<0，∴λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856. 若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反，∴此时存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ kλ＝1，λ＝k ，∴k ＝λ＝－1， ∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1. 14．[解答] (1)a·b ＝cos 3x 2·cos x 2－sin 3x 2·sin x 2＝cos2x .|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos2x ＝2cos 2x .∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ≥0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0≤cos x ≤1. ①当λ<0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾．②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－32，解得λ＝12. ③当λ>1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1相矛盾．综上所述，λ＝12即为所求．15．[解答] (1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，又AC →＝AD →＋AB →＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)．(2)设P (x ，y )，则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP → ＝12AB →＋3(AP →－12AB →)＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0)＝(3x －9,3y －3)．∵|AB →|＝|AD →|，∴平行四边形ABCD 为菱形，∴BP →⊥AC →，∴(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0，即(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0.∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y ＝1的两个交点．【难点突破】16．[解答] (1)证明：假设a ∥b ，则2cos x (cos x ＋sin x )＝sin x (cos x －sin x )， 即2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin x cos x －sin 2x,1＋sin x cos x ＋cos 2x ＝0，1＋12sin2x ＋1＋cos2x 2＝0，亦即2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－3⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－322. 而sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－1,1]，－322<－1，矛盾． 故假设不成立，向量a 与向量b 不平行．(2)a·b ＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x＝cos 2x －sin 2x ＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， a·b ＝1⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝22. 又x ∈[－π，0]⇒2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－7π4，π4， ∴2x ＋π4＝－7π4或2x ＋π4＝－5π4或2x ＋π4＝π4，∴x ＝－π或－3π4或0.。

2022内蒙古化工职业学院单招题库1、下列选项中加着重号字的注音或解释，有错误的一项是（）[单选题] *A、跫（qióng）音春帷（帷幕）窗扉（门）B、炫（xuàn）耀慰藉（jiè）归（回家）人C、威仪（外貌仪表）相融（róng）向（对着）晚(正确答案)D、红硕（大）霹雳（lì）虹霓（ní）2、1“执手相看泪眼，竟无语凝噎”一句出自柳永的《雨霖铃》。

[判断题] *对(正确答案)错3、下列词语中，加着重号字的注音不正确的一项是（）[单选题] *A、马厩（jì）嶙峋（lín）(正确答案)B、惬意（qiè）珍馐（xiū）C、钳制（qián）敕造（chì）D、搭讪（shàn）粜卖（tiào）4、1李乐薇的《我的空中楼阁》中的“楼阁”仅指立于山脊的我的小屋。

[判断题] *对(正确答案)错5、25．下列词语中加点字的读音，全都正确的一组是（）[单选题] *A．妯娌（zhóu）酒肆（sì）镌刻（juān）暴风骤雨（zhòu）(正确答案)B．狡黠（xié）挟持（xié）胡髭（zī）惨绝人寰（yuán）C．燥热（cào）翘首（qiào）嶙峋（xún）言不由衷（zhōng）D．私塾（shú）遁形（dùn）糜子（mí）日夜不辍（zhuì）6、1《劝学》是《荀子》开篇之作。

在《劝学》里，荀子主要论述了后天的学习对人的品性具有决定的意义。

[判断题] *对(正确答案)错7、1“冠者五六人”一句中的冠者指成年男子。

古代男子20岁举行束发带帽的仪式叫行冠礼，表示已经成年。

[判断题] *对(正确答案)错8、31. 下列句子没有语病的一项是（）[单选题] *A．袁隆平一生致力于杂交水稻技术的应用、推广与研究。

考单招——上高职单招网[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．直线a∥平面α，则a平行于平面α内的()A．一条确定的直线 B．任意一条直线C．所有的直线 D．无穷多条平行直线2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A．一定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内3．下列说法正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线l在平面α外，则l∥αC．若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂平面α，那么a平行于平面α内的无数条直线4．b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的任何一条直线都不相交能力提升5．如果三个平面将空间分成6个互不重叠的部分，则这三个平面的位置关系是()A．两两相交于三条交线考单招——上高职单招网B ．两个平面互相平行，另一平面与它们相交C ．两两相交于同一条直线D ．B 中情况或C 中情况都可能发生6．已知直线l 、m ，平面α，且m ⊂α，则“l ∥m ”是“l ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件7．设m ，n 表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( ) A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αB ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥βC ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥βD ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ⊄β，则n ∥β8．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．209．如图K39－1，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台K39－1考单招——上高职单招网K39－210．如图K39－2，已知三个平面α，β，γ互相平行，a，b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F三点，连接AF交平面β于G，连接CD交平面β于H，则四边形BGEH必为________．11．给出下列命题：①一条直线平行于一个平面，这条直线就与这个平面内的任何直线不相交；②过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行；④平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行；⑤a和b是异面直线，则经过b存在唯一的平面与a平行．则其中正确命题的序号为________．12．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．13．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；考单招——上高职单招网④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．14．(10分)如图K39－3所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，其棱长为1.(1)求证：平面AB1C∥平面A1C1D；(2)求平面AB1C与平面A1C1D间的距离．图K39－315．(13分)如图K39－4所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：PA∥平面EFG；(2)求三棱锥P－EFG的体积．考单招——上高职单招网图K39－4难点突破16．(12分)一个多面体的直观图和三视图如图K39－5(其中M，N分别是AF，BC 中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．考单招——上高职单招网图K39－5考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1．D [解析] 过a 作平面β与α相交，则a 与交线平行，这样的β可以作无数个，则交线就有无数条，且所有的交线与a 平行，所以正确选项为D.2．D [解析] 直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.3．D [解析] A 中l 可以在平面α内，B 中l 可以与α相交，C 中a 可以在平面α内，正确选项为D.4．D [解析] 任意性使得b 与α无公共点，由定义得正确选项为D. 【能力提升】5．D [解析] 在B 、C 两种情况下作图计数，知正确选项为D.6．D [解析] 由l ∥m 可知，l ∥α或l ⊂α；l ∥α且m ⊂α，则l ∥m 或l 与m 异面，故选D.7．D [解析] A 选项不正确，n 还有可能在平面α内，B 选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C 选项不正确，n 也有可能在平面β内，选项D 正确．8．B [解析] 根据题意可出现以下如图两种情况，由面面平行的性质定理，得AB ∥CD ，则PA AC ＝PB BD ，可求出BD 的长分别为245或24.9．D [解析] 因为EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1，所以EH ∥B 1C 1.又EH ⊄平面BCC 1B 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1，又EH ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BCC 1B 1＝FG ，所以EH ∥FG ，故EH ∥FG ∥B 1C 1，所以选项A 、C 正确；因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1，EH ∥A 1D 1，所以EH ⊥平面ABB 1A 1，又EF ⊂平面ABB 1A 1，故EH ⊥EF ，所以选项B 也正确，故选D.考单招——上高职单招网10．平行四边形 [解析] 由α∥β∥γ，平面ACF ∩β＝BG ，平面ACF ∩γ＝CF ，可得BG ∥CF ，同理有HE ∥CF ，所以BG ∥HE .同理BH ∥GE ，所以四边形BGEH 为平行四边形．11．①⑤ [解析] ①显然正确，如果直线与平面内的一条直线相交，则直线与平面相交，与直线与平面平行矛盾；②不正确，过平面外一点有一个平面与平面平行，而在这个平面内有无数条直线与平面平行；③不正确，过直线外一点有一条直线与已知直线平行，而过直线外一点与直线平行的平面却有无数个；④不正确，这条直线可能在该平面内；⑤正确，过b 上一点作一直线与a 平行，此时该直线与b 相交可确定一平面，且与a 平行，且唯一．12．6 [解析] 过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．13．② [解析] ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可以异面，故为假命题．14．[解答] (1)证法一：⎭⎪⎬⎪⎫AA 1∥BB 1AA 1＝BB 1BB 1∥CC 1BB 1＝CC 1⇒AA 1綊CC 1⇒AA 1C 1C 为平行四边形 ⎭⎪⎬⎪⎫⇒AC ∥A 1C 1⇒AC ∥平面A 1C 1D 同理AB 1∥平面A 1C 1DAC ∩AB 1＝A⇒平面AB 1C ∥平面A 1C 1D . 证法二：易知AA 1和CC 1确定一个平面AC 1，于是，⎭⎪⎬⎪⎫平面AC 1∩平面A 1C 1＝A 1C 1，平面AC 1∩平面AC ＝AC ，平面A 1C 1∥平面AC⇒A 1C 1∥AC考单招——上高职单招网同理⎭⎪⎬⎪⎫⇒A 1C 1∥平面AB 1C ，A 1D ∥平面AB 1C ，A 1C 1∩A 1D ＝A 1⇒平面AB 1C ∥平面A 1C 1D . 证法三：连接BD 1，BD ，⎭⎪⎬⎪⎫AC ⊥BD ，D 1D ⊥平面AC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫BD 1⊥AC ，同理BD 1⊥AB 1，AC ∩AB 1＝A ⇒⎭⎪⎬⎪⎫BD 1⊥平面AB 1C ，同理BD 1⊥平面A 1C 1D ⇒平面AB 1C ∥平面A 1C 1D .(2)设BD 1∩平面AB 1C ＝E ，BD 1∩平面A 1C 1D ＝F ，BD ∩AC ＝O . 由(1)证法三可知，线段EF 的长就是这两个平行平面的距离． 连接EO ，DF ，∴OE ∥DF ，E 是BF 的中点，得BE ＝EF ， 同理，D 1F ＝FE ，∴EF ＝13BD 1， ∵BD 1＝3，∴EF ＝33，即平面AB 1C 与平面A 1C 1D 间的距离为33. 15．[解答] (1)证明：如图，取AD 的中点H ，连接GH ，FH ， ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD ， ∵G ，H 分别是BC ，AD 的中点，∴GH ∥CD ， ∴EF ∥GH ，∴E ，F ，H ，G 四点共面， ∵F ，H 分别为DP ，DA 的中点，∴PA ∥FH ， ∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，∴PA ∥平面EFG .考单招——上高职单招网(2)∵PD ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥CG .又∵CG ⊥CD ，CD ∩PD ＝D ， ∴GC ⊥平面PCD ，∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1， ∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.又GC ＝12BC ＝1，∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13×12×1＝16. 【难点突破】16．[解答] (1)证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知：NG ∥CF ，MG ∥EF ，又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF .(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE －BCF 为直三棱柱， ∴AH ⊥平面CDEF ，且AH ＝2，∴V A －CDEF ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝83.考单招——上高职单招网。

1．设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值； (2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值X围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．解：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2. 又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)， 且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时， f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时， f (θ)取得最小值，且最小值等于1.2．已知函数f (x )＝kx ＋b ，－1≤x ≤1，k ，b ∈R ，且是常数．若k 是从－2，－1,0,1,2五个数中任取的1个数，b 是从0,1,2三个数中任取的1个数，求函数y ＝f (x )是奇函数的概率．解：函数f (x )为奇函数的条件是b ＝0，基本事件共有5×3＝15个，设事件A ：“函数y ＝f (x )是奇函数”，则事件A 包含的基本事件是(－2,0)，(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．所以P (A )＝515＝13. 3.如图所示，已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，E 为棱CC 1上的动点，F 是线段AB 的中点，AC ＝BC ＝2，AA 1＝4.(1)求证：CF ⊥平面ABB 1；(2)当E 是棱CC 1的中点时，求证：CF ∥平面AEB 1；(3)在棱CC 1上是否存在点E ，使得二面角A －EB 1－B 的大小是45°？若存在，求CE 的长；若不存在，说明理由．解：(1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱B 1B ⊥底面ABC ，∵CF ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥CF .∵AC ＝BC ，F 是线段AB 的中点，∴CF ⊥AB .∵AB ，B 1B 是平面ABB 1内两相交直线，∴CF ⊥平面ABB 1.(2)证明：如图所示，取AB 1的中点D ，连接ED ，DF .∵DF 是△ABB 1的中位线，∴DF 綊12B 1B . ∵E 是棱CC 1的中点，∴EC 綊12B 1B .∴DF 綊EC . ∴四边形EDFC 是平行四边形．∴CF ∥ED .∵CF ⊄平面AEB 1，ED ⊂平面AEB 1，∴CF ∥平面AEB 1.(3)假设存在点E ，使二面角A －EB 1－B 的大小为45°，由于∠ACB ＝90°，易证AC ⊥平面BEB 1，过C 点作CK ⊥直线B 1E 于K ，连接AK ，则∠AKC 为二面角A －EB 1－B 的平面角，∴∠AKC ＝45°.∴CK ＝AC ＝2，设CE ＝x ，则x 2－42＝4－x 2，x ＝52， 故线段CE ＝52. 综上，在棱CC 1上存在点E ，使得二面角A －EB 1－B 的大小是45°，此时CE ＝52. 4．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和． ()1当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；()2当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．解：()1由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a ()1＋q ＋q 2，S 4＝a ()1＋q ＋q 2＋q 3.当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52. ()2若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列． 若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a ()q m －1q －1＋a ()q l －1q －1＝2a ()q n －1q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此，a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1()q m ＋q l ＝2aq n ＋k －1＝2a n ＋k .所以，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．5．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3. 所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －m )x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1， 即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ (1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2 ＝43|m |m 2＋3.由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时， |AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.6．已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e x ln x ．(e ≈2.71828)(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值；(2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值X 围． 解：(1)由题知，f ′(x )＝e x ＋a .因此曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的斜率为e ＋a ，又直线x ＋(e －1)y ＝1的斜率为11－e， ∴(e ＋a )11－e＝－1， ∴a ＝－1.(2)∵当x ≥0时，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立；∴若x ＝0，a 为任意实数，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立．若x >0，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立，即当x >0时，a >－e x x恒成立． 设Q (x )＝－e x x， Q ′(x )＝－e x x －e x x 2＝(1－x )e x x 2. 当x ∈(0,1)时，Q ′(x )>0，则Q (x )在(0,1)上单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，Q ′(x )<0，则Q (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝1时，Q (x )取得最大值．Q (x )max ＝Q (1)＝－e ，∴要使x ≥0时，f (x )>0恒成立，a 的取值X 围为(－e ，＋∞)．。

考单招——上高职单招网[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( ) A ．a n＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n(n ∈N ＋) D ．a n＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．643．设数列{a n }的通项公式为a n ＝20－4n ，前n 项和为S n ，则S n 中最大的是( ) A ．S 3 B ．S 4或S 5 C ．S 5 D ．S 64．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，则a 16＝________.能力提升5．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图K27－1)．则第7个三角形数是( )图K27－1考单招——上高职单招网A．27 B．28C．29 D．306．已知S n是非零数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n－1，则S2 011等于() A．1－22 010 B．22 011－1C．22 010－1 D．1－22 0117．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)，则a100的值是() A．9 900 B．9 902C．9 904 D．11 0008．已知数列{a n}中，a1＝1，1a n＋1＝1a n＋3(n∈N*)，则a10＝()A．28 B．33C.133 D.1289．已知数列{a n}的通项a n＝nanb＋c(a，b，c∈(0，＋∞))，则a n与a n＋1的大小关系是()A．a n>a n＋1 B．a n<a n＋1C．a n＝a n＋1 D．不能确定10．已知数列{a n}满足a1＝2，且a n＋1a n＋a n＋1－2a n＝0(n∈N*)，则a2＝________；并归纳出数列{an}的通项公式a n＝________.11．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝________.12．若数列{a n}的前n项和S n＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列{a n}的通项公式为________________________________________________________________________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．考单招——上高职单招网13．若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10.f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，f k＋1(n)＝f(f k(n))，k∈N*，则f2013(4)＝________.14．(10分)在2 011年10月1日的国庆阅兵式上，有n(n≥2)行、n＋1列的步兵方阵．(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的步兵人数；(2)说出(1)题中数列的第5、6项，并用a5，a6表示；(3)把(1)中的数列记为{a n}，求该数列的通项公式a n＝f(n)；(4)已知a n＝9900，问a n是第几项？此时步兵方阵有多少行、多少列？(5)画出a n＝f(n)的图象，并利用图象说明方阵中步兵人数有可能是56,28吗？考单招——上高职单招网15．(13分)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的单调性；(3)当n ≥2时，T 2n ＋1－T n <15－712log a (a －1)恒成立，求a 的取值范围．难点突破16．(1)(6分若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.(2)(6分)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m ＜n 成立，记这样的m 的个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，((a n )*)*＝________.考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1．D [解析] 观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.2．A [解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，则a 8＝2×8－1＝15，故选A.3．B [解析] 由a n ＝20－4n ≥0得n ≤5，故当n >5时，a n <0，所以S 4或S 5最大，选B.4.12 [解析] 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，…，则此数列为周期数列，周期为3，故a 16＝a 1＝12.【能力提升】5．B [解析] 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B.6．B [解析] 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，得S 1＝a 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入S n ＝2a n －1，得 S n ＝2S n －1＋1，即S n ＋1＝2(S n －1＋1)，∴S n ＋1＝(S 1＋1)·2n －1＝2n ，∴S 2011＝22011－1，故选B. 7．B [解析] a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2·99·(99＋1)2＋2＝9902，故选B. 8．D [解析] 对递推式叠加得1a 10－1a 1＝27，故a 10＝128.考单招——上高职单招网9．B [解析] 把数列{a n }的通项化为a n ＝na nb ＋c ＝ab ＋cn，∵c >0，∴y ＝c n 是单调递减函数，又∵a >0，b >0，∴a n ＝ab ＋c n 为递增数列，因此a n <a n ＋1，故选B.10.43 2n 2n －1 [解析] 当n ＝1时，由递推公式，有a 2a 1＋a 2－2a 1＝0，得a 2＝2a 1a 1＋1＝43； 同理a 3＝2a 2a 2＋1＝87，a 4＝2a 3a 3＋1＝1615，由此可归纳得出数列{a n }的通项公式为a n ＝2n2n －1. 11．350 [解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2－1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n －1)－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，又a 1＝2不适合上式，则数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 25＝(a 1＋1)＋a 3＋a 5＋…＋a 25－1＝(3＋51)2×13－1＝350.12．a n ＝2n －11 3 [解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11；n ＝1时，a 1＝S 1＝－9符合上式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11. ∴na n ＝2n 2－11n ，∴数列{na n }中数值最小的项是第3项．考单招——上高职单招网13．5 [解析] 因为42＋1＝17，f (4)＝1＋7＝8，则f 1(4)＝f (4)＝8，f 2(4)＝f (f 1(4))＝f (8)＝11，f 3(4)＝f (f 2(4))＝f (11)＝5，f 4(4)＝f (f 3(4))＝f (5)＝8，…，而2013＝3×671， 故f 2013(4)＝5.14．[解答] (1)该数列为6,12,20,30,42，…； (2)a 5＝42，a 6＝56； (3)a n ＝(n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)；(4)由9900＝(n ＋1)(n ＋2)，解得n ＝98，a n 是第98项，此时步兵方阵有99行，100列；(5)f (n )＝n 2＋3n ＋2，如图，图象是分布在函数f (x )＝x 2＋3x ＋2上的孤立的点，由图可知，人数可能是56，不可能是28.15．[解答] (1)当n ＝1时，a 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴数列{b n}的通项公式为b n＝⎩⎨⎧23，n ＝1，1n ，n ≥2.(2)∵c n ＝T 2n ＋1－T n ， ∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，考单招——上高职单招网∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<0，∴数列{c n }是递减数列．(3)由(2)知，当n ≥2时c 2＝13＋14＋15为最大，∴13＋14＋15<15－712log a (a －1)恒成立， ∴1<a <5＋12. 【难点突破】16．(1)4 (2)2 n 2 [解析] (1)设最大项为第k 项，则有⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k ≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 2≥10，k 2－2k －9≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≥10或k ≤－10，1－10≤k ≤1＋10⇒k ＝4.(2)本题以数列为背景，通过新定义考查学生自学能力、创新能力、探究能力，属于难题．因为a m <5，而a n ＝n 2，所以m ＝1,2，所以(a 5)*＝2.因为(a 1)*＝0，(a 2)*＝1，(a 3)*＝1，(a 4)*＝1，(a 5)*＝2，(a 6)*＝2，(a 7)*＝2，(a 8)*＝2，(a 9)*＝2，(a 10)*＝3，(a 11)*＝3，(a 12)*＝3，(a 13)*＝3，(a 14)*＝3，(a 15)*＝3，(a 16)*＝3， 所以((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4，((a 3)*)*＝9，((a 4)*)*＝16， 猜想((a n )*)*＝n 2.考单招——上高职单招网。

考单招——上高职单招网[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．函数f(x)＝x3－x的单调增区间为________________________________________________________________________．2．如果函数y＝f(x)的图象如图K14－1，那么其导函数y＝f′(x)的图象可能是图K14－2中的________________________________________________________________________．(填序号)图K14－1图K14－23．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是________．4．若函数y＝ln x－ax的增区间为(0,1)，则a的值是________．能力提升5．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝________.7．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________.8．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图K14－3，则该函数有________个极大值；________个极小值．图K14－3考单招——上高职单招网9．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．10．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．11．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．12．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )，g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有________．(填序号)(1)f (x )g (b )>f (b )g (x )；(2)f (x )g (a )>f (a )·g (x )；(3)f (x )g (x )>f (b )g (b )；(4)f (x )g (x )>f (b )g (a )．13．(8分)已知函数f (x )＝4x 2－72－x ，x ∈[0,1]，求f (x )的单调区间．14．(8分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若f (－1)＝32，求f (x )的单调区间和极值．考单招——上高职单招网15．(12分)已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．16．(12分)已知函数f (x )＝|ax －2|＋b ln x (x >0，实数a ，b 为常数)． (1)若a ＝1，f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，求b 的取值范围； (2)若a ≥2，b ＝1，求方程f (x )＝1x 在(0,1]上解的个数．考单招——上高职单招网考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ [解析] 由f ′(x )＝3x 2－1>0得，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. 2．(1) [解析] 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，所以只有(1)正确．3．7 [解析] 由f ′(x )＝3x 2－6x 易得，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，故极大值为f (0)＝7.4．1 [解析] 由条件可知，y ′＝1x －a >0的解集为(0,1)，代入端点值1，可知a ＝1.【能力提升】5．(2，＋∞) [解析] f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，解得x ＞2.6．5 [解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，又f (x )在x ＝－3时取得极值，∴f ′(－3)＝30－6a ＝0，则a ＝5.7．－32 －6 [解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集，所以－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得b＝－32，c ＝－6.8．1 1 [解析] x 1、x 4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x 2与x 3是变号零点，因此它们是极值点，且x 2是极大值点，x 3是极小值点．9．3 [解析] f ′(x )＝3x 2－a ，在[1，＋∞)上，f ′(x )≥0恒成立，则3x 2－a ≥0，a ≤3x 2.又g (x )＝3x 2在[1，＋∞)上递增，故a ≤3，a 的最大值为3.10．9 [解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6，考单招——上高职单招网∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9.11．[－2，－1] [解析] 因为f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3m －2n ＝－3，f (－1)＝－m ＋n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，所以f ′(x )＝3x 2＋6x ，又f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，所以f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0在区间[t ，t ＋1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(t )＝3t 2＋6t ≤0，f ′(t ＋1)＝3(t ＋1)2＋6(t ＋1)≤0，解之得t ∈[－2，－1]．12．(3) [解析] ∵f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′<0，∴f (x )g (x )为减函数，又∵a <x <b ，∴f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )．13．[解答] 对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－4x 2＋16x －7(2－x )2＝－(2x －1)(2x －7)(2－x )2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝12，x 2＝72.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：所以，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2时，f (x )是减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫2，1时，f (x )是增函数．14．[解答] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意，得x ＝1和x ＝－23为f ′(x )＝0的解， ∴－23a ＝1－23，b3＝1×⎝⎛⎭⎫－23，考单招——上高职单招网∴a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1， ∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋1，f ′(x )＝3x 2－x －2.f ′(x )的变化情况如下： ∴f (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1.当x ＝－23时，f (x )有极大值，f ⎝⎛⎭⎫－23＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－12.15．[解答] (1)f ′(x )＝3x 2－a ，故3x 2－a ≥0在R 上恒成立， ∴a ≤0.(2)f (x )在(－1,1)上单调递减，则3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3.16．[解答] (1)a ＝1，则f (x )＝|x －2|＋b ln x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2＋b ln x (0<x <2)，x －2＋b ln x (x ≥2).①当0<x <2时，f (x )＝－x ＋2＋b ln x ，f ′(x )＝－1＋bx ， 由条件，得－1＋bx ≥0恒成立，即b ≥x 恒成立． ∴b ≥2.考单招——上高职单招网②当x ≥2时，f (x )＝x －2＋b ln x ，f ′(x )＝1＋bx ，由条件，得1＋bx ≥0恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2.∵f (x )的图象在(0，＋∞)上单调递增，不间断． 综合①，②得，b 的取值范围是b ≥2. (2)令g (x )＝|ax －2|＋ln x －1x，即g (x )＝⎩⎨⎧－ax ＋2＋ln x －1x ⎝⎛⎭⎫0<x <2a ，ax －2＋ln x －1x ⎝⎛⎭⎫x ≥2a .当0<x <2a 时，g (x )＝－ax ＋2＋ln x －1x ， g ′(x )＝－a ＋1x ＋1x 2， ∵0<x <2a ，∴1x >a 2，则g ′(x )>－a ＋a 2＋a 24＝a (a －2)4≥0，即g ′(x )>0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递增． 当x ≥2a 时，g (x )＝ax －2＋ln x －1x ， g ′(x )＝a ＋1x ＋1x 2>0，∴g (x )在⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞上是单调增函数．∵g (x )的图象在(0，＋∞)上不间断， ∴g (x )在(0，＋∞)上是单调增函数．考单招——上高职单招网∵g⎝⎛⎭⎫2a＝ln2a －a2，而a≥2，∴ln2a≤0，则g⎝⎛⎭⎫2a<0，g(1)＝|a－2|－1＝a－3，①当a≥3时，∵g(1)≥0，∴g(x)＝0在(0,1]上有惟一解，即方程f(x)＝1x解的个数为1个；②当2≤a<3时，∵g(1)<0，∴g(x)＝0在(0,1]上无解，即方程f(x)＝1x解的个数为0个．。

2016辽宁石化职业技术学院单招数学模拟试题（附答案分析）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给岀的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的・1 .满足条件｛0,1,2｝的集合共有（）A . 3个B . 6个C . 7个D . 8个2 .（文）等差数列佃』中，若叫■丐+幻=势，些+ %4■吗二27，则前9项的和屯等于（）A . 66B . 99C . 144D . 297（理）复数Z = , Z2=l-i ,则2 = ^%的复平面内的对应点位于（）A•第一象限B.第二象限C•第三象限D.第四象限3.函数的反函数图像是（）C D4 •已知函数/X©二创为奇函数，则卩的一个取值为（）5 .从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两 种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有（）A.种B.空种C.胶种D.曲种6 .函数^=2^-3^-12^+5在〔° , 3］上的最大值、最小值分别是（）211 1A . 3B . -3C . 48 •过球面上三点乂 B 、C 的截面和球心的距离是球半径的一半，且M 二6,庞二 8 , AC= 10 ,则球的表面积是（）100 400-- JL--- TLA. 100M B . 300M c. 3 D . 39 .给出下面四个命题：①"直线a 、b 为异面直线"的充分非必要条件是:直线 a 、b 不相交；②"直线』垂直于平面比内所有直线"的充要条件是：2丄平面比；③ "直线a 丄胪的充分非必要条件是"a 垂直于b 在平面比内的射影"；④"直线皿11 平面的必要非充分条件是"直线a 至少平行于平面戸内的一条直线"•其中正确 命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10 .若0<a<l ,且函数乳© W 蚯《工1 ,则下列各式中成立的是（）A . 5 , -15B ・ 5 , -4C ・ 一4 ， 一15D ・ 5 , T6展开式的第7项为4 ，则实数天的值是（）（理回"爭g ） 为（）21展开式的第7项为4 ,则+_ +X ）的值C2r-7.（文）已知A B用）》皿"◎/^）>f&>旳旳 > > 畑^3 D11.如果直线7=加+ 1和圆"十M + h'1■哪一山°交于x A'两点，且M ”关于Ax—y+l>0Jkr-»y<0直线天+ y二0对称,则不等式组:^y~Q表示的平面区域的面积是（）1 1A. 4B.丞C . 1 D . 212.九0年度大学学科能力测验有12万名学生,各学科成绩采用15级分，数学学科能力测验成绩分布图如下图：请问有多少考生的数学成绩分高于11级分？选出最接近的数目（）A・4000人B・10000人C • 15000 人D ・ 20000 人第口卷（非选择题，共90分）二、填空题:本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上13.已知：皿1 =2,剧=血，飞和'的夹角为45。

内蒙古单招考试真题数学及答案选择题题目：学校在五月份组织了篮球比赛和足球比赛，某班有10人参加了篮球比赛，有8人参加了足球比赛，有4人既参加了篮球比赛又参加了足球比赛，那么该班参加比赛的人数为（）。

A. 22B. 18C. 14D. 12答案：B解析：这是一道典型的集合容斥原理的题目。

参加篮球比赛的人数为10人，记作集合A；参加足球比赛的人数为8人，记作集合B；既参加了篮球比赛又参加了足球比赛的人数为4人，记作集合A∩B；那么，该班参加比赛的总人数为：A+B-A∩B=10+8-4=14（人）中的重复部分被减去一次，但题目问的是至少参加一项比赛的人数，所以需要考虑班级中可能存在的没有参加任何比赛的学生，然而题目并未给出这部分信息，因此我们只能根据给定信息计算至少参加了一项比赛的学生人数，即14人。

但考虑到实际情况，班级总人数应大于这个数，而我们要求的是参加比赛的人数，所以这里的14人即为所求（在只考虑给定信息的情况下）。

但为了符合选择题选项，我们需进一步分析，由于4人同时参加了两项比赛，所以如果将这两项比赛看作两个独立事件，那么总共涉及的事件数为10+8=18（人），但其中4人被重复计算了一次，所以实际参加比赛的人数为18-4中重复计算的4人对应的其实是同时参加了两个活动的学生，这部分学生在计算总参赛人数时只能算一次，所以实际参赛人数就是这两个活动各自人数之和减去重复计算的人数，即14人，但14人并非选项，考虑到可能存在未参加任何比赛的学生，所以实际参赛人数应小于班级总人数且大于等于14人中的最小值，在选项中即为18人（因为22人超过了两个活动各自人数的总和，显然不可能），而14人虽为实际至少参赛人数，但非选项，故从逻辑上推断，这里应取大于等于14人且小于可能存在的班级总人数的最小值，在选项中即为18人（因为未给出班级总人数，所以无法确定是否有更多学生未参加任何比赛，但根据常识，一个班级不可能所有人都参加比赛，所以18人作为一个既大于等于实际至少参赛人数又小于可能存在的班级总人数的值，是合理的推断结果，当然，这个推断是基于题目只给出了参加比赛的学生信息而未给出未参加比赛的学生信息的情况下进行的）。

[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．若f(x＋h)－f(x)＝2hx2＋5h2x＋3h3，则f′(x)＝________.2．若曲线运动方程为S＝1－tt2＋2t2，则t＝2时的速度为________．3．下列结论：①若y＝cos x，则y′＝－sin x；②若y＝x，则y′＝x2；③若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；④若y＝e x，则y′＝y.其中正确的有________个．4．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为________．能力提升5．如图K13－1，函数y＝f(x)在A、B两点间的平均变化率是________．图K13－16．f(x)＝x，则f′(8)等于________．7．设函数f(x)＝x2＋ln x，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝ax＋b，则a＋b＝________.8．某物体运动规律是S ＝t 2－4t ＋5，则在t ＝________时的瞬时速度为0. 9．函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图K13－2所示的一条直线，则y ＝f (x )图象的顶点在第________象限．图K13－210．若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2ln x 相切，则实数k ＝________.11．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．12．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.13．(8分)求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；参考答案【基础热身】1．2x 2[解析] 由f (x ＋h )－f (x )＝2hx 2＋5h 2x ＋3h 3，得f (x ＋h )－f (x )h＝2x 2＋5hx ＋3h 2，当h 无限趋近于0时，得f ′(x )＝2x 2.2．8 [解析] S ′(t )＝－2t 3＋1t 2＋4t ，t ＝2时的速度S ′(2)＝8.3．3 [解析] 由公式得①③④正确，而由幂函数导数公式得：若y ＝x ，则y ′＝12x.4．45° [解析] y ′＝3x 2－2，y ′|x ＝1＝1，则tan α＝1，故倾斜角为45°. 【能力提升】5．－1 [解析] f (1)＝3，f (3)＝1，因此f (3)－f (1)3－1＝－1.6.28[解析] f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x －12＝12x ，f ′(8)＝128＝28. 7．1 [解析] 由题知，f (1)＝12＋ln1＝1.又因为切点在切线上，于是有a ＋b ＝1. 8．2 [解析] 由导数的物理背景得v ＝S ′(t )＝2t －4＝0⇒t ＝2.9．一 [解析] 由图象得y ＝f ′(x )是一次函数，所以y ＝f (x )是二次函数． 又f (x )的图象过原点，所以可设：f (x )＝ax 2＋bx ， f ′(x )＝2ax ＋b .结合f ′(x )的图象可知，a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，即顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 在第一象限． 10．2e[解析] 设直线与曲线相切于点P (x 0，y 0)， 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－3，y 0＝2ln x 0，k ＝2x 0，解得y 0＝－1，x 0＝1e，k ＝2 e. 11.13[解析] 函数y ＝e －2x ＋1的导数为y ′＝－2e －2x ，则y ′|x ＝0＝－2，曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线方程是2x ＋y －2＝0，直线y ＝x 与直线2x ＋y －2＝0的交点为⎝⎛⎭⎫23，23，直线y ＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点为(1,0)，三角形的面积为12×1×23＝13.12．－g (x ) [解析] 由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f (x )是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，即函数f (x )是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g (－x )＝－g (x )．13．[解答] (1)解法一：∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， ∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′＝18x 2＋4x －3. 解法二：y ′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′ ＝4x (3x ＋1)＋3(2x 2－1)＝12x 2＋4x ＋6x 2－3 ＝18x 2＋4x －3.(2)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln3·e x ＋3x e x －2x ln2＝3x e x ln3e －2x ln2.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x ·(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－ln x ·2x (x 2＋1)2＝x 2(1－2ln x )＋1x (x 2＋1)2.14．[解答] 方法一：设P (x 0，y 0)，由题意知曲线y ＝x 2＋1在P 点的切线斜率为k＝2x 0，切线方程为y ＝2x 0x ＋1－x 20，而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0的判别式Δ＝4x 20－2×4×(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，y 0＝73. ∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫233，73或⎝⎛⎭⎫－233，73.方法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)分别为切线与曲线y ＝x 2＋1和y ＝－2x 2－1的切点．则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧y 1＝x 21＋1，y 2＝－2x 22－1，k 切＝2x 1，k 切＝－4x 2，k 切＝y 1－y 2x 1－x 2，∴x 21＋2x 22＋2x 1－x 2＝2x 1＝－4x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2x 22＋2x 1－x 2＝2x 1，x 1＝－2x 2，消去x 1，得x 2＝±33，则x 1＝±233， 则P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫233，73或⎝⎛⎭⎫－233，73.15．[解答] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0；令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.16．[解答] (1)f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点的切线斜率的取值X 围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 上存在过点A (x 1，y 1)的切线与曲线C 同时切于两点，另一切点为B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则切线方程是y －⎝⎛⎭⎫13x 31－2x 21＋3x 1＝(x 21－4x 1＋3)(x －x 1)，化简，得y ＝(x 21－4x 1＋3)x ＋⎝⎛⎭⎫－23x 31＋2x 21.而过B (x 2，y 2)的切线方程是y ＝(x 22－4x 2＋3)x ＋⎝⎛⎭⎫－23x 32＋2x 22，由于两切线是同一直线，则有x 21－4x 1＋3＝x 22－4x 2＋3，得x 1＋x 2＝4.又由－23x 31＋2x 21＝－23x 32＋2x 22，得－23(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0， －13(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋4＝0，x 1(x 1＋x 2)＋x 22－12＝0，即(4－x 2)×4＋x 22－12＝0，x 22－4x 2＋4＝0，得x 2＝2.但当x 2＝2时，由x 1＋x 2＝4得x 1＝2， 这与x 1≠x 2矛盾，所以不存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点．。