动量与角动量习题解答(终审稿)

)s 习题44-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量I v ；（2）质点所受张力T 的冲量T I v。

解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中， 速度没有变化，12v v =v v，由I mv =∆vv， ∴旋转一周的冲量0I =v；（2）如图该质点受的外力有重力和拉力， 且cos T mg θ=，∴张力T 旋转一周的冲量：2cos T I T j mg j πθτω=⋅=⋅v v v所以拉力产生的冲量为2mgπω，方向竖直向上。

4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度4/v m s =。

已知其中一力F v方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。

求：（1）力F v在1s 到3s 间所做的功；（2）其他力在1s 到3s 间所做的功。

解：（1）半椭圆面积⋅====⋅=⎰⎰⎰⎰v t F v t Fv x F x F A d d d d ρϖJ 6.12540201214==⨯⨯⨯=ππ（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的 总功为零，所以当该F v做的功为125.6J 时，其他的力 的功为-125.6J 。

4-3．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为cos sin r a t i b t j ωω=+v v v，求：（1）质点在任一时刻的动量；（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。

解：（1）根据动量的定义：P mv =v v，而d r v dt==v v sin cos a t i b t j ωωωω-+v v ， ∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=--v v v ；（2）由2()(0)0I mv P P m b j m b j πωωω=∆=-=-=v v v v v v ，所以冲量为零。

动量与角动量习题解答(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三章 动量与动量守恒定律习题一选择题1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ）A. 必为零；B. 必不为零，合力方向与行进方向相同；C. 必不为零，合力方向与行进方向相反；D. 必不为零，合力方向是任意的。

解：答案是C 。

简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = d p = d (m v )=md v +v d m =v d m 。

因d m <0，所以F 的方向与车行进速度v 的方向相反。

2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有：（）A. 地面给予两球的冲量相同；B. 地面给予弹性球的冲量较大；C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。

解：答案是B 。

简要提示：)(12v v -=m I3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为∆t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（）A ．mg tm +∆vB ．mgC ．mg tm -∆vD ．tm ∆v解：答案是D 。

简要提示：v m t F =∆⋅4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是：（）选择题4图3A. 静止不动；B. 朝质量大的人行走的方向移动；C. 朝质量小的人行走的方向移动；D.无法确定。

解：答案是B 。

简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒：02211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21v v --='如果m 1> m 2，则v ′< 0。

5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为：（） A. u B. u /2 C. u /4 D. 0解：答案是B 。

)s 习题44-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。

在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量I；（2）质点所受张力T 的冲量T I。

解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中，速度没有变化，12v v =，由I mv =∆ ，∴旋转一周的冲量0I =；（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，且cos T mg θ=，∴张力T 旋转一周的冲量：2cos T I T j mg j πθτω=⋅=⋅所以拉力产生的冲量为2mgπω，方向竖直向上。

4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度4/v m s =。

已知其中一力F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。

求：（1）力F在1s 到3s 间所做的功；（2）其他力在1s 到3s 间所做的功。

解：（1）半椭圆面积⋅====⋅=⎰⎰⎰⎰v t F v t Fv x F x F A d d d dJ 6.12540201214==⨯⨯⨯=ππ（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F做的功为125.6J 时，其他的力 的功为-125.6J 。

4-3．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为cos sin r a t i b t j ωω=+，求：（1）质点在任一时刻的动量；（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。

解：（1）根据动量的定义：P mv = ，而drv dt== sin cos a t i b t j ωωωω-+ ， ∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=-- ；（2）由2()(0)0I mv P P m b j m b j πωωω=∆=-=-= ， 所以冲量为零。

4-4．质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。

第3章 动量 角动量3-1一架飞机以300m/s 的速率水平飞行，与一只身长0.20m 、质量0.50kg 的飞鸟相撞，设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率很小，可以忽略不计。

试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算)。

根据本题计算结果,谈谈高速运动的物体(如飞机、汽车)与通常情况下不足以引起危害的物体(如飞鸟、小石子)相碰撞后会产生什么后果？解 飞鸟碰撞前速度可以忽略,碰撞过程中冲量的大小为:I m Ft υ==考虑到碰撞时间可估算为 lt υ=即得飞鸟对飞机的冲击力2250.5300 2.2510(N)0.2m F l υ⨯===⨯由此可见飞机所受冲击力是相当大的，足以导致机毁人亡，后果很严重。

3-2 水力采煤,是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。

如图，设水柱直径30mm D =，水速56m/s υ=，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度为零，求水柱对煤的平均冲力。

解 △t 时间内射向煤层的水柱质量为21π4m V D x ρρ∆=∆=∆ 煤层对水柱的平均冲击力（如图以向右为正方向）为211x x x m m m F t t υυυ∆-∆∆==-∆∆211π4x xD t ρυ∆=-∆3322311.010π(3010)562.2210(N)4-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯水柱对煤层的平均冲力为'32.2210N F F =-=⨯，方向向右。

习题3-2图3-3 质量10kg m =的物体沿x 轴无摩擦地运动，设0t =时，物体位于原点，速率为零。

如果物体在作用力()34N Ft =+的作用下运动了3秒，计算3秒末物体的速度和加速度各为多少？（题中F 作用线沿着x 轴方向）解 力F 在3秒内的冲量33d (34)d 27N s I F t t t ==+=⋅⎰⎰根据质点的动量定理 ()30m I υ-=得()3 2.7m/s Imυ== 加速度()()223153m/s 1.5m/s 10F a m === 3-4 质量为m 的物体，开始时静止，在时间间隔T t 20≤≤内，受力()2021t T F F T ⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦作用，试证明，在2t T =时物体的速率为043F Tm。

角动量、角动量守恒定律一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）1．[ A ]解：设地球绕太阳作圆周运动的速率为v ，轨道角动量为L ，则由万有引力定律和牛顿运动定律 R v m Rm M G 22=可得速率为 RGM v = 轨道角动量为GMR m mvR L == 故选A2．[ B ]解：设棒长为l ，质量为m ，在向下摆到角度θ时，由转动定律βθJ lmg =⋅cos 2（J 为转动惯量）故在棒下摆过程中，θ增大，β将减小。

棒由静止开始下摆过程中，ω与β转向一致，所以角速度由小变大。

故选B3．[ A ]解： （1）对转轴上任一点，力矩为F r M⨯=。

若F 与轴平行，则M一定与轴垂直，即对轴的力矩0=z M ，两个力的合力矩一定为零。

正确。

（2）两个力都垂直于轴时，对轴上任一点的力矩都平行于轴，若二力矩大小相等，方向相反，则合力矩为零。

错误。

（3）两个力的合力为零，如果是一对力偶，则对轴的合力矩不一定为零。

错误（4）两个力对轴的力矩只要大小相等，符号相反，合力矩就为零，但两个力不一定大小相等，方向相反，即合力不一定为零。

错误 故选A 、B4．[ C ] 解：以两个子弹和圆盘为研究对象，系统外力矩为零，系统角动量守恒。

设圆盘转动惯量为J ，则有()ωω202mr J J mvr mvr +=+-022ωωmrJ J+=可见圆盘的角速度减小了。

故选C二、填空题：1． 定滑轮对轴的转动惯量J = ()a R a g m /2- 。

解：分别以定滑轮和物体为研究对象，对物体应用牛顿运动定律，对定滑轮应用转动定律列方程：ma T mg =-（1）m a'βJ R T =' （2）由牛顿第三定律有T T =' （3）由角量和线量的关系有 βR a = （4）由以上四式联解可得()a R a g m J /2-=2.对O 轴的角动量 2分对该轴的合外力矩为零 2分 机械能 2分三、计算题：1. 解：对两物体分别应用牛顿第二定律(见图)，则有m 1g －T 1 = m 1a ① 2分 T 2 – m 2g = m 2a ② 2分对滑轮应用转动定律，则有ββ⋅=='-'232121r m J r T r T ③ 2分 对轮缘上任一点，有βr a = ④ 2分又： 1T '= T 1， 2T '= T 2 ⑤ 则联立上面五个式子可以解出rm r m r m grm gr m a 3212121++-=＝3.02 m/s 2 2分T 1＝m 1g －m 1a ＝135.6 N1分T 2＝m 2g －m 2 a ＝128.2 N 1分 受力分析图 1分2. 解：(1) 以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O 的角动量守恒． 1分m v 0R ＝(21MR 2＋mR 2)ω 2分 R m M m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=210v ω 1分(2) 设σ表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小为12 2'T⎰π⋅=Rf r rg r M 0d 2σμ＝(2 / 3)πμ σgR 3＝(2 / 3)μMgR 2分设经过∆t 时间圆盘停止转动，则按角动量定理有－M f ∆t ＝0－J ω＝－(21MR 2＋mR 2)ω＝- m v 0R 2分∴ ()Mg m MgR R m M R m t fμμ2v 33/2v v 000===∆ 2分。

第3章 动量 角动量3-1一架飞机以300m/s 的速度水平飞行，与一只身长0.20m 、质量0.50kg 的飞鸟相撞，设碰撞后飞鸟的尸身与飞机具有一样的速度，而原先飞鸟关于地面的速度很小，能够忽略不计。

试估量飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时刻可用飞鸟身长被飞机速度相除来估算)。

依照此题计算结果,谈谈高速运动的物体(如飞机、汽车)与通常情形下不足以引发危害的物体(如飞鸟、小石子)相碰撞后会产生什么后果？解 飞鸟碰撞前速度能够忽略,碰撞进程中冲量的大小为:I m Ft υ==考虑到碰撞时刻可估算为 lt υ=即得飞鸟对飞机的冲击力2250.5300 2.2510(N)0.2m F l υ⨯===⨯由此可见飞机所受冲击力是相当大的，足以致使机毁人亡，后果很严峻。

3-2 水力采煤,是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。

如图，设水柱直径30mm D =，水速56m/s υ=，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度为零，求水柱对煤的平均冲力。

解 △t 时刻内射向煤层的水柱质量为21π4m V D x ρρ∆=∆=∆ 煤层对水柱的平均冲击力（如图以向右为正方向）为211x x x m m m F t t υυυ∆-∆∆==-∆∆211π4x xD t ρυ∆=-∆3322311.010π(3010)562.2210(N)4-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯水柱对煤层的平均冲力为'32.2210N F F =-=⨯，方向向右。

3-3 质量10kg m =的物体沿x 轴无摩擦地运动，设0t =时，物体位于原点，速度为零。

若是物体在作使劲()34N Ft =+的作用下运动了3秒，计算3秒末物体的速度和加速度各为多少？（题中F 作用线沿着x 轴方向）解 力F 在3秒内的冲量33d (34)d 27N s I F t t t ==+=⋅⎰⎰习题3-2图依照质点的动量定理 ()30m I υ-=得()3 2.7m/s Imυ== 加速度()()223153m/s 1.5m/s 10F a m === 3-4 质量为m 的物体，开始时静止，在时刻距离T t 20≤≤内，受力()2021t T F F T ⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦作用，试证明，在2t T =时物体的速度为043F Tm。

第四章 动量和角动量答案一．选择题 １．（Ｃ）２.(Ｂ)３．（Ｃ）４．（Ｃ）５．（Ｃ）６．（Ｄ）７．（Ｃ）８．（Ｃ）９．（Ａ）10．（Ｄ）11.（Ａ）12．（Ａ）13．（Ｂ） 14. （Ｂ） 15.（Ｂ） 二．填空题：１．s N ⋅7.4； 与速度方向相反． ２．mM Mv V +=．３．s N ⋅18．４．)cos sin (j t b i t a m m Pωωωωυ+-==；零．５．s rad /36．６．不一定； 动量．７．s N ⋅140； s m /24．８．s 003.0； s N ⋅6.0； g 2． ９．s m /10； 北偏东087.36．10．c x 2311．０； k ab mω． 12．s cm /14.6； 05.35． 13．０． 14．Mk l 0；Mk nmM Ml +0． 15．RGMm 32； RG M m 3-．三． 计算题：1.解：由动量定理知质点所受外力的总冲量12)(v m v m v m I -=∆=由Ａ→Ｂ1683.045cos -⋅⋅-=--=-=sm kg mvmv mvmv I AB AxBx x1283.045sin 0-⋅⋅-=-=-=sm kg mvmvI A Ayys N I I I y x ⋅=+=739.022方向：x y I I tg /1=θ，5.202=θ（与Ｘ轴正向夹角）．2.解：（１）因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此，作用于子弹、物体系统上的外力均在铅直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为v '，有： v M mv mv '+=0s m M v v m v /13.3/)(0=-=' N l Mv Mg T 5.26/2=+=（２）s N mv mv t f ⋅-=-=∆7.40（0v方向为正,负号表示冲量与0v方向相反）． 3.解：完全弹性碰撞，动量守恒，机械能守恒碰前：对Ａ：gl v A 21= 方向向右，对Ｂ：01=B v ；碰后：对Ａ：gh v A 22= 方向向左，对Ｂ：2B v ，方向向右． 动量守恒：221A A B B A A v m v m v m -= （１） 机械能守恒：222221212121B B A A A A v m v m v m +=（２）联立（１）、（２）两式解得： 2/321A A v v =， 2/22A B v v =而 s m gh v A /66.222==s m v A /41= s m v B /33.12= m l 8.0=；Ｂ克服阻力作的功为动能的减少，由动能定理： )(42.42/22J v m W B B f ==．．4．解：∑∑<<in exii F F ==∴∑=ni i m p 1i v恒矢量0N νe =++p p p即αθep Np νp 又因为 νe p p ⊥)(212ν2e N p p p +=∴︒==9.61arctanνe p p α122N sm kg 1036.1--⋅⋅⨯=p 代入数据计算得系统动量守恒 , 即0N νe =++p p p 122e s m kg 102.1--⋅⋅⨯=p 123sm kg 104.6--⋅⋅⨯=νp。