高中数学教案——二项式定理 第二课时

高中数学《二项式定理》教学设计教学目标：1.理解二项式定理的概念和公式；2.掌握二项式定理的应用方法，能够将其用于多项式展开和计算；3.培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。

教学重点：1.二项式定理的概念和公式；2.二项式定理的应用方法。

教学难点：1.二项式定理的应用方法；2.数学推理能力的培养。

教学准备：1.教材《高中数学》；2.黑板、彩色粉笔；3.教学投影仪。

教学过程：Step 1 引入（5分钟）1. 在黑板上写出“(a+b)² = a² + 2ab + b²”这个式子，让学生观察这个式子有什么特点。

2.引导学生思考，当我们展开一个形如“(a+b)ⁿ”的式子时，会得到怎样的结果。

Step 2 概念讲解（10分钟）1.分析上面提到的式子，得出一个结论：“当一个多项式的指数为2时，展开后的结果是一个三项式”。

2.引入二项式的概念：“若为任意正整数n，a和b为任意常数，则(a+b)ⁿ展开后得到的多项式称为二项式。

”3.引入二项式定理的公式：“对任意正整数n，有(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ·b⁰+C(n,1)aⁿ⁻¹·b¹+C(n,2)aⁿ⁻²·b²+...+C(n,n-1)a¹·bⁿ⁻¹+C(n,n)a⁰·bⁿ。

”4.解释公式中的C(n,k)为组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

Step 3 示例讲解（15分钟）1.通过一个具体的示例，将二项式定理的应用方法展示给学生。

2.示范展开一个二项式“(a+b)³”。

3.计算C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)的值。

4.将计算结果代入公式，展开“(a+b)³”。

Step 4 练习（20分钟）1.让学生尝试展开不同次数的二项式，并听取他们的答案。

2.提示学生根据二项式定理的公式，计算组合数的值，并将其应用于展开计算中。

二项式定理教案
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握二项式定理①能根据组合思想及不完全归纳，得出二项式定理和二项展开式的通项。

②能正确区分二项式系数和某一项的系数。

③能正确利用二项式定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它的特定项。

2．过程与方法：通过定理的发现推导提高学生的观察，比较，分析，概括等能力。

（二）教学重点与难点
重点：二项式定理的发现，理解和初步应用。

难点：二项式定理的发现。

（三）教学方法
启发诱导，师生互动
（四）教学过程。

二项式定理教学设计高三一、教学目标1. 理解二项式定理的定义和基本性质。

2. 掌握二项式定理的运用方法。

3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

4. 培养学生对数学问题的兴趣和探索精神。

二、教学重点1. 掌握二项式定理的展开和应用。

2. 培养学生的数学思维和运算能力。

三、教学难点1. 帮助学生理解二项式定理的证明过程。

2. 培养学生抽象思维和推理能力。

四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问和讲述引导学生回顾高中阶段已学习的数学知识，如排列组合、多项式等内容。

然后向学生介绍今天的学习内容：二项式定理。

2. 概念解释（10分钟）教师通过示意图和具体例子，向学生阐述二项式定理的概念和基本性质。

帮助学生理解二项式定理是将两个数相加或相乘的展开式。

3. 二项式定理的展开（15分钟）教师通过板书和示范展示如何将二项式展开。

先给出一个简单的二项式，并指导学生按照二项式定理的公式进行展开。

然后通过一些具体的例子，让学生逐步掌握二项式定理展开的方法和技巧。

4. 二项式定理的应用（20分钟）教师通过实际问题和应用题，引入二项式定理的应用领域。

如组合数学、概率统计等。

通过解答一些实际问题，让学生认识到二项式定理在数学和实际生活中的重要性和应用价值。

5. 二项式定理的证明（20分钟）教师通过逻辑推理和数学推导，带领学生理解和证明二项式定理。

可以使用归纳法和数学归纳法等方法，引导学生参与证明的过程，提高学生的抽象思维和逻辑推理能力。

6. 练习和巩固（15分钟）教师设计一些练习题，让学生巩固和应用所学知识。

通过学生的练习，检验学生对二项式定理的掌握程度和运算能力。

7. 总结和拓展（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并给出一些延伸阅读和学习资料，鼓励学生在课后继续学习和探索。

五、教学评价1. 教师通过课堂讨论、学生练习和问题解答等形式，对学生的学习情况进行评价和反馈。

2. 鼓励学生积极参与课堂活动，发表自己的观点和思考。

高三数学教案《二项式定理》高三数学教案《二项式定理》二项式定理说课稿高三第一阶段复习，也称“知识篇”。

在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能;然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。

在高一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。

对于普通高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。

一、内容分析说明1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的二项式的乘方的展开式，与数学的其他部分有密切的联系：(1)二项展开式与多项式乘法有联系，本小节复习可对多项式的变形起到复习深化作用。

(2)二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可得到一些组合数的恒等式，因此，本小节复习可加深知识间纵横联系，形成知识网络。

(3)二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。

2、高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现，有时也与应用题结合在一起求某些数、式的近似值。

二、学校情况与学生分析(1)我校是一所镇普通高中，学生的.基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。

但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望。

(2)授课班是政治、地理班，学生听课积极性不高，听课率低(60﹪)，注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。

课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，大部分能机械的模仿，部分学生好记笔记。

三、教学目标复习课二项式定理计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。

根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标：1、知识目标：(1)理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。

高中数学教案：二项式定理(说课稿)尊敬的各位评委、老师们：大家好！我是××中学的××，我将要为大家说课的内容是高中数学二项式定理。

一、教学背景分析：二项式定理是高中数学中的重要内容，它是高中数学中的一个较为复杂的概念，也是以后学习乘方与根式定理以及函数与导数的基础。

该内容包含很多实际应用，因此能够培养学生的实际动手能力和解决实际问题的能力。

二、教学目标：1.知识与技能：掌握二项式定理的基本概念和公式，能够应用二项式定理计算多项式的展开结果。

2.过程与方法：培养学生归纳总结的能力，激发学生的兴趣，提高观察、思维和解决问题的能力。

3.情感态度：培养学生正确的学习态度，善于思考和发现问题，培养学生的数学思维和数学逻辑思维。

三、教学重点难点：1.掌握二项式定理的基本概念和公式。

2.掌握应用二项式定理计算多项式的展开结果。

3.培养学生归纳总结的能力。

四、教学过程安排：1.导入(5分钟)首先，我会通过引导学生回忆乘方的内容，提问：如何计算(2+3)²、(4-5)³等表达式的值？通过回忆与思考，引出二项式定理的概念。

2.新课呈现(10分钟)介绍二项式定理的定义：当n为自然数，a、b为任意实数，有：(a+b)ⁿ=aⁿ+naⁿ⁻¹b+...+n(n-1)...(n-k+1)aⁿ⁻ᵏbᵏ+...+bⁿ。

引导学生通过观察与分析，发现并总结二项式定理的规律与特点。

利用例题，让学生体会并巩固二项式定理的应用。

3.合作探究(20分钟)学生自主或小组合作完成练习和问题解决。

可以设计一些展开多项式的计算题目，让学生通过计算，并灵活应用二项式定理进行展开。

4.归纳总结(10分钟)引导学生根据前面的学习和探究，总结出二项式定理的公式形式，并将其写在板书上，让学生进行回顾与复习。

5.拓展应用(10分钟)通过生活实际问题的讨论，培养学生实际应用二项式定理解决问题的能力。

高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。

这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。

2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。

二项式定理 ( 二)●教课目 (一 )教课知 点1.二 式系数的性 ： 称性，增减性与最大 ，各二 式系数的和 .2.“ 法” . (二 )能力 要求1.掌握二 式系数的性 ，并会 用.2.学会用“ 法”解决与二 式系数有关的 .(三 )德育浸透目 1.提升学生的数学素 .2. 立由一般到特别的意 .●教课要点1.二 式系数的性(1) 称性：与首末两头“等距离”的两个二 式系数相等 .(2)增减性：∵ C n k =n k1C n k 1 ,k∴当 k ＜n1，二 式系数逐 增大，由 称性知后半部分是逐 减小的.2nn)的二 式系数最大，最大C n 2.(3)最大 ：当 n 偶数 ，中 一 (第 +12当 n 奇数 ，中 两(第n1和第n1+1 )的二 式系数相等，且同 取最大22n1n 1，最大 C n2或 C n2 .(4)各二 式系数和C 0n + C 1n + C n 2 +⋯ + C n r +⋯ + C n n =2 n .2.“ 法”在解 中的运用 .●教课 点与二 睁开式中系数最大 有关 的求解 .●教课方法 法●教具准 投电影一 . 内容： 本 P 10710-9.●教课 程Ⅰ .复 回［ 生共同活 ］(a+b)n = C 0n a n + C 1n a n-1b 1+⋯ + C r n a n-r b r +⋯ C n n b n .T r +1= C r n a n-r b r .Ⅱ. 授新［ ］通 公式中的C n r ，我 称其 二 式系数，(a+b)n 睁开式的二 式系数，当n 依次取 1，2， 3，⋯ ，以下表所示：(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 14641 (a+b)51 5 101051(a+b)6 1615201561⋯⋯⋯⋯不 ，它有 的 律：每行两头都是1，并且除 1 之外的每一个数都等于它肩上两个数的和 .［ ］能用我 所学知 解 一下 ？［生］ 一数 C n r1 ,其肩上的数C n r 1 和 C n r ，由 合数知 可知 C n r1 = C nr 1+C n r .［ ］上表可称 二 式系数表，早在我国南宋数学家1261 年所著的《 解九章算 》中就有所 ，又称 三角.此表将二 式系数的性 表 得酣畅淋漓.(打出投电影 )［ ］下边 合此表，来看一下二 式系数的主要性.同学 看出哪些性 ？［生］ 称性 .即与首末两头“等距离”的两个二 式系数相等 .［ ］ 什么呢？［生］因 C m n = C n n m . ［ ］ 有什么性 ？［生］增减性与最大 .当 k ＜n1 ，二 式系数是逐 增大的；2当 k ＞n1 ，二 式系数是逐 减小的 .2n当 n 是偶数 ，C n 2 最大；n 1n 1当 n 是奇数 , C n2 ,C n 2 相等，且最大 .［ ］上述性 与我 所学二次函数性 有相像之 ，所以C n r 可当作是以 r 自 量的函数 f(r), 其定 域是 {0,1,2, ⋯ ,n}.［ ］能够解 上述性 ？［生］∵ C n k=n( n1)( n 2) ( n k 1) = C n k 1 · (nk1) ，( k 1)! kk∴当n k 1＞ 1，即 k ＜n1,C n k＞1,即 C n k ＞ C n k 1 .k2C n k1当 n k 1＜ 1,即 k＞n1 ，Cnk＜ 1,即C n k＜ C n k 1.k2C n k1［］有其余性？［生］∵ (1+x)n= C0n + C1n x+ C2n x2+⋯ + C r n x r +⋯ + C n n x n,当 x=1 ， 2n= C0n + C1n + C2n +⋯ + C r n +⋯ + C n n，即( a+b)n的睁开式的各个二式系数的和等于2n.［］能否可其余性呢？［生］在 (a+b)n的睁开式中，令 a=1,b=-1, 可得0= C0n - C1n + C2n - C3n +⋯=( C0n + C2n +⋯ )-( C1n + C3n +⋯ )，即 C n0+ C n2+⋯= C1n+ C3n+⋯.也就是，在 (a+b)n的睁开式中，奇数的二式系数的和等于偶数的和.［］下边看怎用些性 .［例 1］求 (1+2x-3x2)5的睁开式中的x5的系数 .［］是一个对于三式的睁开式的，而三式的睁开式于我来，并没有成的公式可用，那么大家思虑一下怎样解决？可否与我学的二式定理生系呢？［生甲］我能够将(2x-3x2 )看作一，用二式定理睁开，再考各中x5的系数，最后通乞降获得所求 .［生乙］我也了甲同学的方法，但感各中x5的系数有些 .［］然此种解法繁，但于大家来，能熟习二式定理，熟习二式的睁开式，熟习二式的通的特色，所以，我是倡导大家采纳种思路下去，加深自己的领会 .［生丙］我注意到括号内的(1+2x-3x2) 恰巧能够分解因式 (1- x)(1+3 x),故三式可化两个二式之，分睁开后考获得x5的多种情况： x0·x5,x1·x4 ,x2·x3,x3·x2,x4·x1,x5·x0，而后将两个二睁开式的系数相乘相加即可.［］很好，相于解法一来，丙同学的解法就体认识方法的灵巧性，即通因式分解将三式化二式，其余同学注意领会.解法一：∵ (1+2x-3x2)5=［ 1+(2x-3x2)］5=1+5(2x-3x2)+10(2 x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2) 4+(2 x-3x2) 5=1+5x(2-3x)+10 x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3 +5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5,∴x5的系数上式各中含x5的系数和，即10 C23· 21· (-3)2+5 C14·23·(-3) 1+25=92.解法二：∵ (1+2x-3x2)5=(1- x)5· (1+3x)5=(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5 )·(1+15 x+90x2+270x3+405 x4+243x5 ),∴睁开式中x5的系数243-5× 405+270× 10-10 × 90+5× 15-1=92.［例 2］求 (1+x)3+(1+ x)4+⋯ +(1+ x)16的睁开式中x3的系数 .［］大家目后，考怎样得含x3的系数 .［生甲］我能够求出每一中含x3的系数，并注意其化律，挨次C33, C43 , C53,⋯ ,C163，可是 , C33,C43 ,⋯, C163各之和的求解复 .［］甲同学的思路完好正确，大家能够一同考一下，看可否将甲同学的疑惑解决呢？［生丁］能够用我前面所学的合数性，将 C33+ C43= C44 + C43 = C54，再将C54 + C53= C64，以此推，达到乞降的目的.［］很好，乙同学乞降的关是将首C33C 44，而后多次用合数的性达到化乞降的目的，此解法能使我获得一个启迪，用式子表达，即C k k+ C k k1 + C k k2 +⋯ + C n k = C n k11，大家在此后遇到有关目，能够使用.［］下边大家思虑，看可否想出其余的解决法.［生戊］我，能够将原式化后再求x3的系数，详细做法是：把(1+ x)3+(1+ x)4+⋯+(1+ x)16看作首(1+x)3,公比 (1+ x)(当 x≠ -1)，数14 的等比数列的前 n 和，由等比数列前 n 和公式乞降可得原式= (1x)17(1 x) 3,从上式能够看出只有(1+ x)17睁开式中x含 x4的与 x 相除可得含 x3，所以只要考(1+ x)17的睁开式中含 x4的系数即可 .［生己］戊同学在表达程中提到x≠-1 ， (1+x)3+(1+ x)4+⋯ +(1+ x)16能够看作等比数列前 n 和，那么当x=-1 又怎样解呢？［生庚］我，因为此的目的是求x3的系数，此中 x 是随意的量，而当x≠ -1，求出的系数不失一般性，故不用考x=-1的情况 .［］大家得很好 .同学由此系到我所学的数列乞降方法，将表面的 14个二式化一个二式，达到了化繁，化不熟习熟习的目的，与第一种解法有异曲同工之妙 .［］下边大家写出完好的解答程.解法一：由意(1+ x)3,(1+x) 4,⋯ ,(1+x)16的睁开式中 x3的系数挨次C 33,C43，⋯，C163，∴所求睁开式中含x3的的系数C33+ C34+ C35+⋯+ C163=( C44+ C34)+ C53+⋯+ C163=( C45 + C35)+⋯ + C163 = C46 +⋯ + C163 =⋯ = C164 + C163 = C174 .又 C174=2380,∴所求睁开式中含x3的系数 2380.解法二：当 x≠ -1， (1+ x)3+(1+ x)4+⋯+(1+ x)16能够看作是首(1+x)3,公比 (1+ x),数14 的等比数列的前n 和，由等比数列前n 和的乞降公式可得原式= (1 x) 3(1x)141= (1 x)17(1 x)3.(1x) 1x然只有 (1+x)17睁开式中 x4与分母 x 相除可得 x3，∴含 x3的系数C174=2380.Ⅲ.堂(学生，老)本 P1091～3.1.(1) C1016 = C1015 + C915 = C515 + C159 =a+b;(2)C49=126;(3)C111+ C113+⋯+ C1111=210=1024;2n1(4)原式 = n 1.222.明：∵C0n + C1n + C2n +⋯ + C k n +⋯ + C n n =2 n,C 0n+ C 2n+⋯= C1n+ C 3n+⋯,∴C 0n+ C1n+ C 2n+⋯+ C k n+⋯+ C n n=( C 0n+ C 2n+⋯)+( C1n+ C 3n+⋯) =2( C n0+ C n2+⋯ )=2n.∴ C n0+ C n2+⋯+ C n n=2n=2n-1. 2述：注意灵巧利用二式系数性.Ⅳ.小通本学，需掌握二式系数的三大性：即称性、增减性和最大，及二式系数之和 .Ⅴ.后作(一 )本 P1094、 5.(二 )提怎样利用二式定理、通公式及二式系数性解决有关？●板二式定理(二 )二式系数性① 称性②增减性及最大③二式系数之和例解。