【理数】2020年哈三中普通高考模拟试卷(一)理科数学_20200331_153154

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x2−3x−4>0},B={x|xx−5<0}，那么集合(∁U A)∩B=()A. {x|−1≤x≤4}B. {x|0<x≤4}C. {x|0<x<5}D. {x|−1≤x<5}2.i为虚数单位，满足i⋅z=2+i的复数z的虚部是()A. 1B. iC. −2D. −2i3.(√3x2−x4)3的展开式中的常数项为()A. −3√3B. 3√3C. −9D. 94.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为3π，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为()A. √33B. 1C. √3D. 2√35.某商场每天的食品销售额x(万元)与该商场的总销售额y(万元)具有相关关系，且回归方程为ŷ=9.7x+2.4.已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为()A. 110B. 19C. 18D. 176.已知S n为等比数列{a n}的前n项和，且S3是S4与S5的等差中项，则数列{a n}的公比为()A. −2B. −12C. 12D. −2或17.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布N(120,9)，成绩在(117,126]之外的人数估计有()(附：若X服从N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.682，P(μ−2σ<X≤μ+ 2σ)=0.9545)A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人8.以F1(−√2,0),F2(√2,0)为焦点的椭圆与直线x−y+2√2=0有公共点，则满足条件A.x 26+y 24=1B.x 23+y 2=1C.x 25+y 23=1D.x 24+y 22=19. 已知某同学每次射箭射中的概率为p ，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则p =( )A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.810. 已知函数y =log 2x 和函数y =log 2(x −2)的图象分别为曲线C 1，C 2，直线y =k 与C 1，C 2分别交于M ，N 两点，P 为曲线C 1上的点．如果△PMN 为正三角形，则实数k 的值为( )A. log 2(2√3−1)B. −log 2(2√3−1)C. (2√3−1)12D. −(2√3−1)1211. 将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是( )A. 13B. 14C. 15D. 1612. 已知函数f(x)={|−|x +1|+1|,x ≤0ln(ex)x+1,x >0，若方程[f(x)]2−mf(x)+n =0(n ≠0)有7个不同的实数解，则2m +3n 的取值范围( )A. (2,6)B. (6,9)C. (2,12)D. (4,13)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=4cos(x −5π6)cosx −m 在[0,π2]上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．14. 已知点P 为圆(x −6)2+(y −8)2=1上任一点，F 1，F 2分别为椭圆x 24+y 23=1的两个焦点，求PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围______．15. 若直线y =kx +b 是曲线y =lnx 的切线，也是曲线y =e x−2的切线，则k =______． 16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为2c ，A 1，A 2是实轴顶点，以A 1A 2为直径的圆与直线bx +cy −bc =0在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosA +√32a =c ．(1)若sinBsinC =cos 2A2，求C 的大小；(2)若AC 边上的中线BM 的长为1+√3，求△ABC 面积的最大值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD=CD=1，∠ADC=120°，PA=AB=BC=√3，点M是AC与BD的交点．(1)求二面角A−PC−B的余弦值；(2)若点N在线段PB上且MN//平面PDC，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1.为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件B i(i=0,1,2)．(1)求P(A|B0)，P(A|B1)，P(A|B2)；(2)随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列及期望；(3)若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉期望大10，则所设计的方案有效．讨论该方案是否有效．20. 已知函数f(x)=x 2+mx +2lnx ．(1)讨论f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若对∀x >0，f(x)−2e x −3x 2≤0恒成立，求实数m 的取值范围； (3)证明：若x ∈(0,+∞)，不等式e x +x 2−(e +1)x +1x −1≥0成立．21. 过x 轴正半轴上一点M(m,0)做直线与抛物线E ：y 2=x 交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，(y 1>0>y 2)两点，且满足0<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <2，过定点N(4,0)与点A 做直线AC 与抛物线交于另一点C ，过点N(4,0)与点B 做直线BD 与抛物线交于另一点D.设三角形AMN 的面积为S 1，三角形DMN 的面积为S 2． (1)求正实数m 的取值范围；(2)连接C ，D 两点，设直线CD 的斜率为k 0；(i)当m =43时，直线AB 在y 轴的纵截距范围为[−83,−43]，则求k 0的取值范围； (ii)当实数m 在(1)取到的范围内取值时，求S 2S 1的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =√6sinα(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√3+√22t，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的极坐标方程以及直线l 的普通方程；f(2)若点A(1,√3)，直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，弦P ，Q 的中点为M ，求|AP|⋅|AQ||AM|的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|3−x|．(1)求f(x)≥5的解集；(2)若∀x ∈R ，使f(x)≥m 恒成立的m 的最大值为n.正数a ，b 满足12a+b +1a+3b =n ，求3a +4b 的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合A={x|x2−3x−4>0}={x|x<−1或x>4}，B={x|0<x<5}，则∁U A={x|−1≤x≤4}，那么集合(∁U A)∩B={x|0<x≤4}，故选：B．首先解不等式求出集合A，B，由补集的运算求出∁U A，再由交集的运算求出(∁U A)∩B．本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由i⋅z=2+i，得z=2+ii =(2+i)(−i)−i2=1−2i，∴复数z的虚部是−2．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵(√3x2−x4)3的展开式中的通项公式为T r+1=C3r⋅(−1)r⋅(√3)3−r⋅x6r−6，令6r−6=0，求得r=1，可得常数项为−C31⋅3=−9，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，棱锥的体积为3π，∴圆锥的体积为3π，∵圆锥的侧面展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是πR，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=πR，∴R=2r，∴圆锥的高ℎ=√(2r)2−r2=√3r，∴圆锥的体积V=13×πr2×√3r=3π．解得r=√3，则圆锥的母线长为R=2r=2√3．故选：D．推导出圆锥的体积为3π，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是πR，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则R=2r，圆锥的高ℎ=√(2r)2−r2=√3r，由此能求出圆锥的母线长．本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】A【解析】解：∵商场每天的食品销售额x(万元)与该商场的总销售额y(万元)的线性回归方程为ŷ=9.7x+2.4，∴当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为y=9.7×8+ 2.4=80，∴该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：880=110，故选：A．根据线性回归方程得到该商场平均每天的总销售额，从而求出该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值．本题主要考查了函数的实际应用，以及线性回归方程的应用，是基础题．6.【答案】A【解析】解：S3是S4与S5的等差中项，即为2S3=S4+S5，若公比q=1，则S n=na1，即有6a1=4a1+5a1，即a1=0，显然不成立，故q≠1，则2⋅a1(1−q 3)1−q =a1(1−q4)1−q+a1(1−q5)1−q，化为2q3=q4+q5，即q2+q−2=0，解得q=−2或1(舍去)，故选：A．由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得所求公比，注意公比为1的情况．本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由数学分数服从正态分布N(120,9)，得μ=120，σ=3．则P(117<x≤126)=P(117<X≤123)+P(123<X≤126)=P(μ−σ<X≤μ+σ)+12[P(μ−2σ<X≤μ+2σ)−P(μ−σ<X≤μ+σ)]=0.682+12(0.9545−0.682)=0.81825．则成绩在(117,126]之内的人数估计有8183，∴成绩在(117,126]之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选：A．由已知可得μ=120，σ=3，则P(117<x≤126)=P(μ−σ<X≤μ+σ)+12[P(μ−2σ<X≤μ+2σ)−P(μ−σ<X≤μ+σ)]，求出概率，乘以10000可得成绩在(117,126]之内人数的近似值，再由10000减去该近似值得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：以F1(−√2,0),F2(√2,0)为焦点的椭圆，设椭圆方程为x2a2+y2a2−2=1(a2>2)，由{x 2a 2+y 2a 2−2=1x −y +2√2=0得(2a 2−2)x 2+4√2a 2x +10a 2−a 4=0， 由题意，a 有解，∴△=(4√2a 2)2−4(2a 2−2)(10a 2−a 4)≥0， ∴a 4−7a 2+10≥0，∴a 2≥5或a 2≤2(舍)，∴a min 2=5，此时椭圆方程是：x 25+y 23=1．故选：C ．先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a 的最小值，则问题解决．本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，是中档题．9.【答案】C【解析】解：某同学每次射箭射中的概率为p ，且每次射箭是否射中相互独立， 该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则1−[C 31p(1−p)2+C 30p 0(1−p)3]=0.784，解得p =0.7． 故选：C ．利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生一次的概率计算公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：由已知可设M(2k .k)，N(2k +2,k)，则P 点横坐标为2k +1， 又因为点P 在函数y =log 2x 的图象C 1上，所以P(2k +1,log(2k +1))，因为△PMN 为正三角形，则∠PMN =60°，故直线PM 的∴log2(2k+1)−k2k+1−2k=√3，即log2(2k+1)=k+√3，∴2k+√3=2k+1，即2k=2√3−1，∴k=−log2(2√3−1)，故选：B．由已知条件设出M，N，P的坐标，利用直线PM的倾角是60°，即斜率为√3，利用斜率的坐标公式列出关于K的方程，解指对数方程即可本题主要考查对数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数n=6×6×6=216，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：①取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为C32C41=12，②取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为C32C41=12，③取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为C32C41=12，则最大点数与最小点数之差为3的概率是：P=12+12+12216=16．故选：D．将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数n=6×6×6=216，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：①取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为C32C41=12，②取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为C32C41=12，③取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为C32C41=12，由此能求出最大点数与最小点数之差为3的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】C【解析】解：当x >0时，f′(x)=1−ln(ex)x 2，令f′(x)=0，解得x =1，故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且f(1)=2，x →+∞时，f(x)→1， 作出函数f(x)的图象如下图所示，令t =f(x)，则t 2−mt +n =0有两个不同的实数根t 1，t 2，要使方程[f(x)]2−mf(x)+n =0(n ≠0)有7个不同的实数解，则t 1∈(0,1)，t 2∈[1,2)， ∴{n(1−m +n)<0(1−m +n)(4−2m +n)≤0，即{n(m −n −1)>0(m −n −1)(2m −n −4)≤0， 作出上述不等式组表示的可行域如下图所示，由可行域可知，当(m,n)取点(1,0)时，2m +3n 最小，且最小值为2； 当(m,n)取点(3,2)时，2m +3n 最大，且最大值为12． 故2m +3n 的取值范围为(2,12)． 故选：C ．利用导数研究函数f(x)的性质，可作出f(x)的草图，观察图象，结合题设条件可得方程t 2−mt +n =0有两个不同的实数根t 1，t 2，且t 1∈(0,1)，t 2∈[1,2)，利用二次函数根的分布，可以得到m ，n 满足的约束条件，由此作出可行域，再根据2m +3n 的几何意义，求得取值范围．本题考查分段函数的综合运用，涉及了利用导数研究函数的性质，“套套”函数，二次函数根的分布，简单的线性规划等知识点，考查换元思想，数形结合思想，函数与方程思想等数学思想，考查逻辑推理能力，运算求解能力，直观想象等数学能力，属于较难题目．13.【答案】[0,2−√3)【解析】解：依题意，函数g(x)=4cos(x−5π6)cosx，x∈[0,π2]上的图象与直线y=m有两个不同的交点，g(x)=4(cosxcos5π6+sinxsin5π6)cosx=4(−√32cosx+12sinx)cosx=2sinxcosx−2√3cos2x=sin2x−√3cos2x−√3=2sin(2x−π3)−√3，又x∈[0,π2]，∴2x−π3∈[−π3,2π3]，∴2sin(2x−π3)−√3∈[−2√3,2−√3]，函数g(x)的图象如下，由图可知，m∈[0,2−√3)．故答案为：[0,2−√3)．依题意，函数g(x)=4cos(x−5π6)cosx，x∈[0,π2]上的图象与直线y=m有两个不同的交点，化简g(x)=2sin(2x−π3)−√3，作出函数g(x)在x∈[0,π2]上的图象，观察图象即可得到m的取值范围．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及化简求解能力，属于中档题．14.【答案】[80,120]【解析】解：如图，椭圆x 24+y 23=1的焦点F 1(−1,0)，F 2(1,0)，设P(6+cosθ,8+sinθ)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−7−cosθ,−8−sinθ)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5−cosθ,−8−sinθ)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =100+4(4sinθ+3cosθ)=100+20sin(θ+φ)(tanφ=34).∵−20≤20sin(θ+φ)≤20， ∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[80,120]． 故答案为：[80,120]．由椭圆方程求出焦点坐标，设P(6+cosθ,8+sinθ)，得到PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，写出数量积，再由三角函数求最值可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．本题考查圆与椭圆综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15.【答案】1或1e【解析】解：设y =kx +b 与y =e x−2和y =lnx 的切点分别为(x 1,e x 1−2)、(x 2,lnx 2)； 由导数的几何意义可得k =e x 1−2=1x 2，曲线y =e x−2在(x 1,e x 1−2)处的切线方程为y −e x 1−2=e x 1−2(x −x 1)， 即y =e x 1−2⋅x +(1−x 1)e x 1−2，曲线y =lnx 在点(x 2,lnx 2)处的切线方程为y −lnx 2=1x 2(x −x 2)，即y =1x 2x +lnx 2−1，则{e x 1−2=1x2(1−x 1)e x 1−2=lnx 2−1， ∴(1x 2−1)(lnx 2−1)=0，解得x 2=1，或x 2=e ．当x 2=1时，切线方程为y =x −1，即k =1， 当x 2=e 时，切线方程为y =xe ，即k =1e ， ∴k =1或1e ． 故答案为：1或1e ．分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.【答案】(√2,√5+12)【解析】解：由题意如图，要使以A 1A 2为直径的圆与直线bx +cy −bc =0在第一象限有两个不同公共点， 可得直线在x ，y 轴的交点分别为：(c,0)，(0,b)， 则O 到直线的距离小于半径，且b >a ，即bc√b 2+c 2<a ，b >a ，整理可得：{b 2>a 2c 4−3a 2c 2+a 4<0，即{2a 2<c 2e 4−3e 2+1<0，解得√2<e <√5+12， 故答案为：(√2,√5+12).由题意可得O 到直线的距离小于半径，且b >a ，可得a ，c 的关系，进而求出离心率的范围．本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵bcosA +√32a =c ．∴由正弦定理可得sinBcosA +√32sinA =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ，∴√32sinA =sinAcosB ，∴由sinA ≠0，可得cosB =√32，由B ∈(0,π)，可得B =π3，∵由题意sinBsinC =cos 2A2=1+cosA 2，∴sinBsinC =1−cosCcosB ， ∴cos(C −B)=1， ∵C ，B ∈(0,π)， ∴C =B ， ∴C =B =π3，(2)∵由(1)可得B =π3，∴由向量的中点表示可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴两边平方可得：BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，可得：c 2+a 2+2⋅c ⋅a ⋅cosB =4(1+√3)2，可得：c 2+a 2+ac =16+8√3， ∴16+8√3≥2ac +ac =3ac ，解得ac ≤16+8√33，当且仅当a =c 时取等号，∴△ABC 的面积S =12acsinB =√34ac ≤4√3+63，当且仅当a =c 时取等号，即△ABC 面积的最大值是4√3+63．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得√32sinA =sinAcosB ，结合sinA ≠0，可得cosB =√32，结合范围B ∈(0,π)，可得B =π3，进而利用二倍角公式，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得cos(C −B)=1，结合范围C ，B ∈(0,π)，可得C =B =π3，即可得解．(2)由已知运用向量的中点表示可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量的模的平方即为向量的平方以及基本不等式即可得到ac 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式，基本不等式，三角形的面积公式以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)在△ACD 中，AC =√AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos120°=√3，cos∠DAC =AD 2+AC 2−CD 22AD⋅AC=√32，则∠DAC =π6． 在△ABC 中，cos∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC =12，则∠DAC =π6， 在△ABC 中，cos∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=12，则∠BAC =π3， ∴∠BAD =π2，∴AB ⊥AD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴分别以直线AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， B(√3,0,0)，C(√32,32,0)，A(0,0,0)，P(0,0,√3)，N(√34,0,3√34)，M(√34,34,0)， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,√3)， 设平面ACP 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3z =0，取x =√3，则m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)， 设平面BCP 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32a +32b =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3a +√3c =0，取a =√3，得n ⃗ =(√3,1,√3)，则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4×√7=√77， ∴二面角A −PC −B 的余弦值为√77． (2)设平面PCD 的法向量a ⃗ =(m,n,t)， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,−√3)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)， 则{a ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32m +32n −√3t =0a ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n −√3t =0，取n =√3，得a ⃗ =(−1,√3,1)，设N(x,y,z)，且BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)，满足(x −√3,y,z)=λ(−√3,0,√3)， 则N(√3−√3λ,0,√3λ)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√34−√3λ,−34,√3λ)，∵点N 在线段PB 上且MN//平面PDC ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅a ⃗ =√3λ−3√34−3√34+√3λ=0，解得λ=34．MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−34,3√34)， ∵平面ACP 的法向量m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，cos <m ⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=342×32=14．∴直线MN与平面PAC所成角的正弦值为14．【解析】(1)分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量、平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A−PC−D的正切值．(2)先根据条件求出点N的具体位置，再利用向量法能求出直线MN与平面PAC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由已知P(A|B0)=1，P(A|B1)=C194C204=45，P(A|B2)=C184C204=1219．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=0.7+0.2×C194C204+0.1×C184C204=877950，P(X=1)=0.2×C193C204+0.1×C21C138C204=70950，P(X=2)=0.1×C22C182C204=3950，∴随机变量X的分布列为：E(X)=1×70950+2×3950=38475．(3)由(1)知P(A)=P(X=0)=877950，按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为：P(B0|A)=P(AB0)P(A)=P(A|B0)P(B0)P(A)=666877，∵100×665877−100×0.7<10，∴该方案无效．【解析】(1)利用古典概型概率计算公式能求出P(A|B0)，P(A|B1)，P(A|B2).(2)X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．(3)由P(A)=P(X=0)=877950，得到按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为P(B0|A)=P(AB0)P(A)=P(A|B0)P(B0)P(A)=666877，由100×665877−100×0.7<10，得到该方案无效．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方案是否有效的判断与求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=2x+m+2x =2x2+mx+2x(x>0)，对于方程2x2+mx+2=0，Δ=m2−16，①当−4≤m≤4时，Δ=m2−16≤0，f′(x)≥0，此时f(x)没有极值点；②当m<−4时，方程2x2+mx+2=0的两根为x1，x2，不妨设x1<x2，则x1+x2=−m2>0,x1x2=1,0<x1<x2，当0<x<x1或x>x2时，f′(x)>0，当x1<x<x2时，f′(x)<0，此时x1，x2是函数f(x)的两个极值点；③当m>4时，方程2x2+mx+2=0的两根为x3，x4，且x3+x4=−m2<0,x3x4=1，故x3<0，x4<0，当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)没有极值点；综上，当m<−4时，函数f(x)有两个极值点；当m≥−4时，函数f(x)没有极值点；(2)f(x)−2e x−3x2=x2+mx+2lnx−2e x−3x2≤0，即mx+2lnx−2e x−2x2≤0，则m≤2x2+2e x−2lnxx，设g(x)=x2+e x−lnxx,g′(x)=x2−1+(x−1)e x+lnxx2，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，则g(x)≥g(1)=e+1，故m≤2(e+1)；(3)证明：由(2)知当m=2(e+1)时，(e+1)x+lnx−e x−x2≤0恒成立，即e x+x2−(e+1)x≥lnx，欲证e x+x2−(e+1)x≥1−1x ，只需证lnx≥1−1x，设ℎ(x)=lnx−1+1x ,ℎ′(x)=x−1x2，∴当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， 当x ∈(1,+∞)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0，故lnx ≥1−1x ，∴对x ∈(0,+∞)，不等式e x +x 2−(e +1)x +1x −1≥0成立．【解析】本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，属于较难题目．(1)函数的定义域为(0,+∞)，求导后研究方程2x 2+mx +2=0，分类讨论得出函数的单调性情况，进而得出极值点情况； (2)问题等价于m ≤2x 2+2e x −2lnxx，设g(x)=x 2+e x −lnxx，利用导数求函数g(x)的最小值即可；(3)由(2)知，(e +1)x +lnx −e x −x 2≤0恒成立，则问题转化为证明lnx ≥1−1x ，设ℎ(x)=lnx −1+1x ，利用导数证明ℎ(x)≥0恒成立即可．21.【答案】解：(1)设直线AB 方程为x =ty +m ，联立直线AB 与抛物线方程得{x =ty +my 2=x ，解得y 2−ty −m =0，则△=t 2+4m >0且{x 1x 2=m 2y 1y 2=−m，又∵0<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <2， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=m 2−m ∈(0,2)，解得1<m <2， ∴正实数m 的取值范围为(1,2)；(2)设A(y 12,y 1),B(y 22,y 2),C(y 32,y 3),D(y 42,y 4)，设过点N(4,0)的直线为x =t 1y +4，过点M(43,0)的直线为x =t 2y +43，由{x =t 1y +4y 2=x ，联立解得y 2−t 1y −4=0， 由{x =t 2y +43y 2=x ，联立解得y 2−t 2y −43=0， ∴{y 1y 3=−4y 2y 4=−4y 1y 2=−43， ∴k ABkCD=y 1−y 2y 12−y 22y 3−y 4y 32−y 42=y 3+y 4y1+y 2=−4(1y 1+1y 2)y 1+y 2=−4y1y 2=3，(i)∵直线AB 在y 轴上的纵截距取值范围为[−83,−43]， ∴k AB ∈[1,2]，∴k CD =13k AB ∈[13,23]，即k 0∈[13,23]；(ii)S △AMN =12⋅MN ⋅y 1,S △DMN =12⋅MN ⋅y 4， 由(1)和(i)可知，{y 1y 2=−my 2y 4=−4，∴S 2S 1=y 4y 1=−4−m =4m ∈[2,4]．【解析】(1)设直线AB 方程为x =ty +m ，与抛物线方程联立，由韦达定理可得{x 1x 2=m 2y 1y 2=−m，再结合已知条件0<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <2，即可求得正实数m 的取值范围； (2)设A(y 12,y 1),B(y 22,y 2),C(y 32,y 3),D(y 42,y 4)，设过点N(4,0)的直线为x =t 1y +4，过点M(43,0)的直线为x =t 2y +43，与抛物线方程联立后，可得{y 1y 3=−4y 2y 4=−4y 1y 2=−43，进而求得k AB =3k CD ，(i)由题意可知，k AB ∈[1,2]，进而得到k 0∈[13,23]；(ii)易知S 2S 1=y 4y 1=4m ，结合(1)中m 的范围即得解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，对计算能力要求较高，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =√6sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 212+y 26=1．直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√3+√22t ，(t 为参数).转换为直角坐标方程为x −y −1+√3=0．(2)把直线的参数方程{x =1+√22t y =√3+√22t ，(t 为参数)，代入x 212+y 26=1，得到32t 2+(2√6+√2)t −5=0， 所以t 1+t 2=−4√6+2√23，t 1t 2=−103， 所以t 1+t 22=−2√6+√23，即|AM|=|t 2+t 22|=2√6+√23，|AP|⋅|AQ|=|t 1t 2|=103，所以|AP|⋅|AQ||AM|=1032√6+√23=10√6−5√211．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)|x +1|+|3−x|≥5等价为{x ≥3x +1+x −3≥5或{−1<x <3x +1+3−x ≥5或{x ≤−1−x −1+3−x ≥5， 解得x ≥72或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为(−∞,−32]∪[72,+∞)；(2)若∀x ∈R ，使f(x)≥m 恒成立，即为m ≤f(x)min ，由|x +1|+|3−x|≥|x +1+3−x|=4，当−1≤x ≤3时，取得等号，则f(x)的最小值为4，可得m ≤4，则n =4，即12a+b +1a+3b =n =4，由a >0，b >0，可得3a +4b =14[(2a +b)+(a +3b)](12a+b +1a+3b )=14(2+a+3b 2a+b +2a+b a+3b )≥14(2+2√a+3b 2a+b ⋅2a+ba+3b )=1， 当且仅当2a +b =a +3b ，即a =2b =15时取得等号，则3a +4b 的最小值为1．【解析】(1)由零点分区间法，结合绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得m ≤f(x)min ，运用绝对值的性质可得其最小值，进而得到m 的最大值，再由乘1法和基本不等式，可得所求最小值，注意运用3a +4b =(2a +b)+(a +3b)的变形．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(一)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i对应点的坐标为()1+iA. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)2.已知集合M={x|x2+x−6≤0}，N={x|x>0}，则M∩N=()A. (0,2]B. [−3,2]C. (0,3]D. [−3,+∞)3.某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 6πB. 8πC. 7πD. 11π4.下列说法正确的是()A. f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)，则f(x)≥0的充分条件是b2−4ac≤0B. 若m，k，n∈R，则mk2>nk2的充要条件是m>nC. 对任意x∈R，x2≥0的否定是存在x0∈R，x02≥0D. m是一条直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m⊥β，则α//β5.欧拉公式e ix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，2ie− π 6i=()A. √3−iB. 1−√3iC. √3+iD. 1+√3i6.某大学党支部中有2名女教师和4名男教师，现从中任选3名教师去参加精准扶贫工作，至少有1名女教师要参加这项工作的选择方法种数为()A. 10B. 12C. 16D. 207.阅读下面的程序框图，若输入a,b,c的值分别是2，1，7，则输出的值是()A. 3B. 6C. 8D. 98. 若0<α<π2，cos(π3+α)=13，则cosα=( )A. 2√2+√36B. 2√6−16C. 2√6+16D. 2√2−√369. 已知数列{a n }是公差为12的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.若a 2,a 6,a 14成等比数列，则S 5=( )A. 252B. 35C. 352D. 2510. 若函数f(x)=log a (x 2+32x)(a >0,a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A. (0,+∞)B. (2,+∞)C. (1,+∞)D. (12,+∞)11. 点S ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四个点，S ，O 在平面ABC 的同侧，∠ABC =120°，AB =BC =2，平面SAC ⊥平面ABC ，若三棱锥S −ABC 的体积为√3，则该球的表面积为( )A. 18πB. 16πC. 20πD. 25π12. 设f(x)=e x +b x +c ，若方程f(x)=x 无实根，则( )A. b >1，c <1B. b >1，c >−1C. b ≤1，c <1D. b ≤1，c >−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=9，|b ⃗ |=4，夹角为120°，a ⃗ ⋅b⃗ = ______ ． 14. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2，则2x −y 的最大值为______．15. 设A 是抛物线C 1：y 2=2px(p >0)与双曲线C 2：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的交点．若点A 到抛物线C 1的准线距离等于32p ，则双曲线C 2的离心率等于______．16. 有三家分别位于△ABC 顶点处的工厂，已知AB =AC =5，BC =6，为了处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P 建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道则AP ，BP ，CP ，则AP +BP +CP 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=√2，∠B=∠A+π．2(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1(侧棱垂直于底面)中，BC⊥AB，且AA1=AB=2．(1)求证：AB1⊥平面A1BC．(2)当BC=2时，求直线AC与平面A1BC所成的角．19.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a≥b的概率；(2)从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中随机抽取3人，求被抽到B班同学人数的分布列和数学期望．20.椭圆C： x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．21. 求证：1+122+132…+1n 2<2−1n (n ∈N ∗,n ≥2)22. 已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ(φ为参数).点A ，B 是曲线C 上两点，点A ，B 的极坐标分别为(ρ1,π6)，(ρ2,23π)． (1)写出曲线C 的普通方程和极坐标方程； (2)求|AB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|．(Ⅰ)解不等式：f(x)+f(x −1)≤2；(Ⅱ)当a >0时，不等式2a −3≥f(ax)−af(x)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，比较基础．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i22=1+i，则对应的点的坐标为(1,1)，故选：A．2.答案：A解析：本题考查了一元二次不等式的解法和集合的交集运算.先解不等式，再求交集．解：因为M={x|x2+x−6≤0}={x|−3≤x≤2}，N={x|x>0}，所以M∩N=(0,2]，故选A．3.答案：C解析：解根据三视图可知几何体是：底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，∴该几何体的表面积S=2π×1×2+12×2π×1×2+π×12=7π，故选：C．由三视图知该几何体底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，由条件和圆柱的表面积公式求出该几何体的表面积．本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.答案：D解析：解：对于A，当a<0时，由b2−4ac≤0不能得到f(x)≥0，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2−4ac≤0”错误．对于B，若m，k，n∈R，由mk2>nk2的一定能推出m>n，但是，当k=0时，由m>n不能推出mk2>nk2，故B错误，对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x02<0”，故C错误，对于D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确，故选：D由充分必要条件的判定方法判断A，B，直接写出全程命题的否定判断C，根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可以判断D本题考查命题的真假判断与应用，考查了全程命题的否定、命题的逆否命题的真假判断，考查充分必要条件的判定方法，空间直线与平面位置关系的判断，属于中档题．5.答案：D解析：本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．结合复数的四则运算和欧拉公式即可求解．解：2ie− π 6i=2i(√32−12i)=1+√3i，故选D．6.答案：C解析：本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．根据题意，用间接法分析：先计算从2名女教师和4名男教师中任选3人的选法数目，再分析其中没有女生，即全部为男生的选法数目，分析可得答案．解析：解：根据题意，从2名女教师和4名男教师中任选3人，有C63=20种选法，其中没有女生，即全部为男生的选法有C43=4种，则少有1名女教师要参加这项工作的选法有20−4=16种；故选C．7.答案：C解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．根据模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a=2，b=1，c=7，不满足a<b，所以执行m=b+c=8;故选C．8.答案：C解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于一般题．由已知角的范围可求π3+α的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin(π3+α)的值，由于α=(π3+α)−π3，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．解：∵0<α<π2，∴π3<π3+α<5π6，∴sin(π3+α)=√1−cos2(π3+α)=2√23，∴cosα=cos[(π+α)−π]=cos(π+α)cosπ+sin(π+α)sinπ=13×12+2√23×√32=1+2√66．故选C．9.答案：A解析：本题主要考查了等差数列的求和与等比数列的性质，属于基础题．根据等比数列的性质求得等差数列的首项，然后求解其前n项和即可．解：∵a 2,a 6,a 14成等比数列，∴a 62=a 2a 14，即(a 1+5×12)2=(a 1+12)(a 1+13×12)， 解得a 1=32， ∴S 5=5a 1+5×42d =152+5=252，故选A ．10.答案：A解析：本题考查了复合函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题． 解：x ∈(12,+∞)时，x 2+32x =(x +34)2−916>1，函数f (x )=log a (x 2+3x2)(a >0且a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0， 所以a >1，∴函数f(x)的定义域为x 2+32x >0， 解得x <−32或x >0，由复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间(0,+∞)， 故选A ．11.答案：D解析：解：三棱锥O −ABC ，A 、B 、C 三点均在球心O 的表面上，且AB =BC =2，∠ABC =120°， ∴BC =2√3，∴∴△ABC 外接圆半径2r =2√3sin120°=4，即r =2∴S △ABC =12×2×2×sin120°=√3， ∵三棱锥S −ABC 的体积为√3，∴S到底面ABC的距离ℎ=3，由平面SAC⊥平面ABC，可将已知中的三棱锥S−ABC补成一个同底等高的棱柱，则圆心O到平面ABC的距离d=32．球的半径为：R2=d2+r2=254球的表面积：4πR2=25π．故选：D求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．12.答案：D解析： f(x)>x恒成立是解题关键，本题考查函数零点与方程的根的关系，属基础题．解：由题意，若方程f(x)=x无实根，可得 f(x)>x恒成立，e x>(1−b)x−c对任意x恒成立．∴1−b>0, −c<1 或b=1,−c≤0，故选D．13.答案：−18)=−18．解析：解：a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos120°=9×4×cos120°=9×4×(−12故答案为：−18．利用数量积定义即可得出．本题考查了数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：4解析：解：先根据约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2画出可行域，由{x =2x +y =2得A(2,0)， 当直线z =2x −y 过点A(2,0)时， z 最大是4， 故答案为：4．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =2x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．15.答案：√3解析：解：不妨设A(x 0,y 0)，y 0>0，由题意可得x 0+p2=32p ，∴x 0=p ， 又A 在抛物线C 1：y 2=2px(p >0)上，所以y 0=√2p ，从而，ba =√2， 可得c 2−a 2a 2=2，所以e =ca =√3．故答案为：√3．设出A 的坐标，再利用点A 到抛物线的准线的距离为32p ，得到A 的横坐标，利用A 在抛物线上，求出a ，b 关系，然后求解离心率即可．熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．16.答案：495解析：解：由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245， ∵4+6>5+245，∴AP +BP +CP 的最小值为495． 故答案为：495．由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245，即可求出AP +BP +CP 的最小值．本题考查AP +BP +CP 的最小值，考查学生的计算能力，比较基础．17.答案：解：(1)∵a =1，b =√2，B =A +π2．∴A 为锐角，∴由正弦定理可得：sinA =asinB b=1×sin(A+π2)√2=√2，两边平方整理可得：sin 2A =1−sin 2A2，解得：sinA 2=13，有sinA =√33．(2)∵C =π−A −B =π2−2A ，∴由正弦定理可得：c =asinC sinA=1×sin(π2−2A)sinA =cos2A sinA=2cos 2A−1sinA=1−2sin 2A sinA=1−2×(√33)2√33=√33， ∴S △ABC =12bcsinA =12×√2×√33×√33=√26．解析：(1)由已知可得A 为锐角，由正弦定理可得sinA =asinB b=cosA √2，两边平方整理可解得sin A 的值．(2)利用三角形内角和定理可求C ，由正弦定理可得c ，根据三角形面积公式即可得解． 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式的综合应用，属于基础题． 18.答案：解：(1)证明：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1(侧棱垂直于底面)中，BC ⊥AB ，且AA 1=AB =2 ∴A 1A ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC∴A 1A ⊥BC又∵BC ⊥AB ，AB ∩AA 1=A∴BC ⊥平面AA 1B 1 B ，平面AB 1⊂平面ABB 1A ∴BC ⊥AB 1∵四边形A 1ABB 1是正方形∴A 1B ⊥AB 1又∵BC ∩A 1B =B∴AB 1⊥平面A 1BC(2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ∵BC ⊥平面A 1ABB 1∴∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ∵BC =2∵AO =12AB 1=√2，sin∠ACO =sinθ=AOAC∴AC═2√2,AO =√2在Rt △AOC 中，sinθ=12∴θ=π6∴BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6 解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ， 则B(0,0，0)，A(0,2，0)，C(2,0，0)A 1(0，2，2) 由(1)知AB 1⊥平面A 1BC B 1(0,0，2)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2) ∵直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ∴sinθ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AC ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12即BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6解析：(1)证明BC ⊥AB 1，A 1B ⊥AB 1，利用直线与平面垂直的判定定理证明AB 1⊥平面A 1BC ． (2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ，说明∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ，在Rt △AOC 中，求解直线AC 与平面A 1BC 所成的角．解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ，求出B ，A ，C ，A 1，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ，利用向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．19.答案：(1)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有3×3=9种不同情况． 其中a ≥b 的情况由(11,11)，(14,11)，(14,12)三种，故a ≥b 的概率P =39=13．(2)因为所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中，A 班有2人，B 班有3人，共有5人，设抽到B 班同学的人数为X ， ∴X 的可能取值为1，2，3． P(X =1)=C 31C 22C 53=310，P(X =2)=C 32C 21C 53=35，P(X =3)=C 33C 20C 53=110．∴X 的分布列为：数学期望为E(X)=1×310+2×35+3×110=95．解析：本题考查茎叶图和古典概型及离散型随机变量分布列和期望问题，属于一般题． (1)根据茎叶图解决概率问题；(2)离散型随机变量的分布列和数学期望问题．20.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =12，解得a =2，b =√a 2−c 2=√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)， 由题意可得直线MN 的方程为y =x −1， 代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2−8x −8=0， x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 0−y 14−x 1+y 0−y 24−x 2=(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)(4−x 1)(4−x 2)=8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)16+x 1x 2−4(x 1+x 2)=8y 0+8−167−87(y 0+5)16−87−327=2y 03，又k PF =y 03，则k PM +k PN =2k PF ，则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证．21.答案：证明：∵1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，∴1+122+132+⋯+1n 2<1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n =2−1n ．解析：利用1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，即可证明结论． 本题考查不等式的证明，考查放缩法，正确放缩是关键．22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ，(φ为参数)，消去参数φ，化为普通方程是x 2+(y −3)2=9； 由{x =ρcosθy =ρsinθ,(θ为参数)． ∴曲线C 的普通方程可化为极坐标ρ=6sinθ，(θ为参数)． (2)方法1：由A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)是圆C 上的两点， 且知，∴ |AB|为直径，∴|AB |=6．方法2：由两点A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)化为直角坐标中点的坐标是A(3√32,32)，B(−3√32,92)， ∴ A 、B 两点间的距离为|AB |=6．解析：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地应用参数方程、极坐标与普通方程的互化公式，是基础题．(1)消去参数φ，把曲线C 的参数方程化为普通方程；由公式{x =ρcosθy =ρsinθ，把曲线C 的普通方程化为极坐标方程；2)方法1：由A 、B 两点的极坐标，得出，判定AB 为直径，求出|AB|；方法2：把A 、B 化为直角坐标的点的坐标，求出A 、B 两点间距离|AB|．23.答案：解：(Ⅰ)原不等式等价于：当x ≤1时，−2x +3≤2，即12≤x ≤1．当1<x ≤2时，1≤2，即1<x ≤2． 当x >2时，2x −3≤2，即2<x ≤52． 综上所述，原不等式的解集为{x|12≤x ≤52}.(Ⅱ)当a >0时，f(ax)−af(x)=|ax −1|−|ax −a|=|ax −1|−|a −ax|≤|ax −1+a −ax|=|a −1|，所以，2a −3≥|a −1|，解得a ≥2．解析：(Ⅰ)分当x ≤1时、当1<x ≤2时、当x >2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当a >0时，利用绝对值三角不等式可得f(ax)−af(x)≤|a −1|，结合题意可得2a −3≥|a −1|，由此解得a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

高考数学一模试卷(理科)题号 一一三总分得分、选择题(本大题共 12小题，共60.0分)2.若复数 z=：：，则 |z|=()A. 8B. 2C. 23.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )2A.4B. C. 28D.4.41已知a 项,b=4亏，1c=2S§,则( )A. b v av cB. av b v cC. bv cv aD. cv av b 5.已知数列｛an ｝的前 n 项和 Sn= 2+ ?3n , 且 a 〔 = 1,则 S5=()A. 2753B .31C.D. 316.设随机变量 —B (2, p ),广B (4, p),若P(fA)二；,则P .A)2的值为( )32116516A. ：iB. ■-C.D.1. 已知全集U=R,集合A=｛-2 , -1, 示的集合为()0,21, 2} , B={xX>4｝则如图中阴影部分所表A. {-2 , -1 , 0, 1} C. {-1 , 0}B. {0} D. {-1 , 0, 1},, , X1 / ,, —,尸八、L 工rm7.已知双曲线C: 丁亍=1 (a>0, b>0)的右焦点F2到渐近线的距离为4,且在双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C的左焦点F I的距离为( )函数rw=¥，方程[f (X) ]2- (m+1) f（x ） +1-m=0有4个不相等实根，贝U m的取8. 9. 10. 11. A. 2B. 4 甲、乙等5人排一排照相，要求甲、 有（）A. 36 种B. 24 种C. 6D. 8乙 2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共C. 18 种 阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为不可能是（B. rK 2015nV 2016 D. 12 种0,则判断框中的条件A. n< 2014若’'•- ‘七A. 36兀 C. D. n< 2018）的展开式中含有常数项,817TB. _C. 且n 的最小值为a,则-、祯'-技四25nTD. 25兀 已知x 2+y 2= 4,在这两个实数x, y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列, 那么这个等差数列后三项和的最大值为（ B. A. J"C. 111D.值范围是（ e + 1 C. . ■ .：■e + e e —eD. -二、填空题（本大题共 4小题，共20.0分）已知向量；=（-3戳,则向量:与日夹角的余弦值为13. 14. + 2y —6 < 0设x, y 满足约束条件］；言?，则z = 7 的最大值是15. 学校艺术节对同一类的 A, B, C, D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓 前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“ A 作品获得一等奖”；乙说：“ C 作品获得一等奖”丙说：“ B, D 两项12.(3)在满足(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记 ¥为该居民用户116.17. 18. 作品未获得一等奖”；丁说：“是 A 或D 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 .在四面体 ABCD 中，AB=AD=2, ZBAD=60 °, ZBCD=90 °,二面角 A-BD-C 的大小为150。

理科数学试卷 第1页 共 4 页2020年哈三中高三学年第三次模拟考试数学试卷（理工类）本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项:1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合{|28}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则AB = A ．[)1,3 B ．(]1,3C ．()1,+∞D ．[)3,+∞2． 在复平面内，复数12i i -对应点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3． 下列函数中是偶函数，且在(),0-∞上单调递增的是A ．()23f x x = B ．()2x f x = C ．()21log 1f x x =+ D ．()1f x x x =- 4． 数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么2020a = A ．10091010 B ．10091010- C ．20192020D ．20192020- 5． 有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是 A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6． 函数()x f x xe =在1x =处的切线方程是A ．20ex y e --=B ．230ex y e --=C ． 20ex y e +-=D ．230ex y e +-= 7．“克拉茨猜想” 又称“ 31n +猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数m 经过5次运算后得到1，则m 的值为A ．32或5B ．16或2C ．16D ． 32或5或4 • • • • • A (1,3) B (2,4) C (4,5) D (3,10)E (10,12) y x O。

2020年哈三中高三学年第一次模拟考试 数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题： 13. [0,23) 14. [80,120] 15.1e或1 16. 152,2三、解答题：17. (1) 由 c a A b =+23cos , 余弦定理bc a c b A 2cos 222−+= 有c a bc a c b b =+−+⋅232222, 即ac c a b 3222−+= 有232cos 222=−+=ac b c a B由π<<B 0, 则6π=B ……………………………………………………..……3分又因为2cossin sin 2AC B = 有2cos 1sin 21A C +=, 即2)65cos(1sin 21C C −+=π, 有C C C sin 21cos 231sin +−=, 即1cos 23sin 21=+C C , 则1)3sin(=+πC , 由π<<C 0, 即23ππ=+C , 则6π=C ……………………………….………6分(2)延长线段AM 至D, 满足BM=MD, 联结AD在ABD ∆中, ()65,,,3122ππ=−=∠==+==B BAD c AB a AD AM BD , 满足余弦定理())23(2314222−−+=+ac c a ……………………………..9分 因为ac c a 222≥+,所以()ac ac c a )32()23(2314222+≥−−+=+, 则()ac )32(3142+≥+, 即8≤ac , 当且仅当c a =时取”=” 那么2218212121sin 21=⨯⨯≤==∆ac B ac S ABC, 当且仅当4==c a 时取”=” 则ABC ∆面积的最大值为2…………………………………….………………..12分18. (1)在ACD ∆中3111120cos 222=++=⋅⋅−+=︒CD AD CD AD AC ,232cos 222=⋅−+=∠AC AD CD AC AD DAC , 则6π=∠DAC在ABC ∆中212cos 222=⋅−+=∠AC AB BC AC AB BAC , 则3π=∠BAC ,那么2π=∠BAD , 即⊥AB AD因为⊥PA 平面ABCD …………………………………………………………………1分 所以, 分别以直线AB AD AP 为z y x ,,轴如图建立空间直角坐标系有()0,0,0A , ()0,0,3B , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23,23C , ()0,1,0D , ()3,0,0P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43,43M ,设平面ACP 的法向量为()z y x m ,,=, 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,23,23AC 且()3,0,0=AP满足⎪⎩⎪⎨⎧==+0302323z y x , 令3=x , 有⎪⎩⎪⎨⎧=−==013z y x , 则()0,1,3−=m ………...…….3分 设平面BCP 的法向量为()z y x n ,,=, 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛−=0,23,23BC 且()3,0,3−=BP 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−03302323z x y x , 令3=x , 有⎪⎩⎪⎨⎧===313z y x , 则()3,1,3=n ……….……5分则7774013,cos =⨯+−>=<n m , 那么二面角B PC A −−的余弦值为77….…6分(2)设平面PCD 的法向量为()z y x a ,,=, 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛−=3,23,23PC 且()3,1,0−=PD满足⎪⎩⎪⎨⎧=−=−+03032323z y z y x , 令3=y , 有⎪⎩⎪⎨⎧==−=131z y x , 则()1,3,1−=a ……..…..8分 设()z y x N ,,且BP BN λ=,()10≤≤λ, 满足()()3,0,3,,3−=−λz y x有⎪⎩⎪⎨⎧==−=−λλ3033z y x , 则()λλ3,0,33−N , 则⎪⎭⎫⎝⎛−−=λλ3,43,3343MN则0=⋅a MN , 即033433433=+−−λλ, 有43=λ则⎪⎭⎫ ⎝⎛−=343,43,0MN ………………………………………………………………….10分 因为平面ACP 的法向量为()0,1,3−=m , 有4123243,cos =⨯>=<MN m那么直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为41………………………………………12分19. 解: (1) 由已知1)(0=B A P , 54)(4204191==C C B A P , 1912)(4204182==C C B A P …… 2分(2) X 可能的取值为2,1,0,· ……………………………… 3分所以9508771.02.07.0)0(420418420419=⨯+⨯+==C C C C X P ,950701.02.0)1(42031812420319=⨯+⨯==C C C C C X P , 95031.0)2(42021822=⨯==C C C X P . ………………………………… 6分 所以随机变量X 的分布列为4753895032950701=⨯+⨯=EX . ………………………………… 7分 (3) 由(1)知, =)(A P 950877)0(==X P , ………………………………… 8分按照设计方案购买的一箱粉笔中, 箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为()A B P 0877665)()()()()(000===A PB P B A P A P AB P , ……………………………11分 因为107.0100877665100<⨯−⨯, 所以该方案无效. ……………………… 12分20.解（1）x mx x x m x x f 2222)(2++=++=‘()+∞∈,0x …………1分对于方程0222=++mx x 162−=∆m当44-≤≤m 时，0162≤−=∆m ，0)(≥x f ‘此时)(x f 没有极值点. …………………2分 当4−<m 时，方程0222=++mx x 两根为21,x x ，不妨设21x x <，0221>−=+mx x ，121=⋅x x ，210x x << 当0)(021>><<x f x x x x ‘，时或，当0)(21<<x f x x ‘时.此时21,x x 是函数)(x f 的两个极值点. ………………3分 当4>m 时，方程0222=++mx x 两根为43,x x ，0243<−=+mx x ，143=⋅x x ，所以004,3<<x x ， ()+∞∈,0x 0)(>x f ‘，故)(x f 没有极值点.综上，当4−<m 时，函数)(x f 有两个极值点；当4−≥m 时，函数)(x f 没有极值点 …………. ………4分 （2）032ln 232-)(222≤−−++=−x e x mx x x e x f xx022ln 22≤−−+x e x mx x，x xe x x ln 222m 2−+≤x x e x x g x ln 222)(2−+=，22ln 11-)(x x e x x x g x +−+=）（‘……6分 ()1,0∈x ，0(<）‘x g ，）x g (单调递减；()+∞∈1,x ，0(>）‘x g ）x g (单调递增； 11(+=≥e g x g ）（），)1(2+≤e m ……8分（3）由（2）知当)1(2+=e m ，0ln )12≤−−++x e x x e x （恒成立，即 x x e x e x ln 1-2≥++）（ 欲证xx e x e x 1-11-2≥++）（ 只需证x x 1-1ln ≥，设x x x h 11ln )(+−=，21)(x x x h −=‘……10分 ()1,0∈x ，0('<）x h ，）x g (单调递减；()+∞∈1,x ，0(>）‘x h ）x g (单调递增；01(=≥）（）h x h ，所以xx 1-1ln ≥。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）=()1.已知i为虚数单位，则9+8i1+2iA. 5−2iB. 5+2iC. 6iD. 82.已知集合A={x|(x+1)(x−3)<0}，B={1,2，3}，则A∩B=()A. {x|−1<x<3}B. {x|1≤x≤2}C. {1,2，3}D. {1,2}3.甲、乙两人数学成绩的茎叶图，如图所示，则两人的成绩中位数为()A. 87，98B. 98，87C. 88，88D. 81，834.已知向量β⃗=(−2,1)，向量α⃗与β⃗的夹角为180°，且|α⃗|=2√5，则α⃗=()A. (−4,2)B. (4,−2)C. (−4,−2)D. (4,2)5.已知甲、乙、丙三人中，一人是学霸，一人是班长(显然不是学霸)，一人是diao丝。

若纯从“颜值”分来看，乙比diao丝大；丙和学霸不同；学霸比甲小，则下列判断正确的是()A. 班长最漂亮B. 甲是diao丝C. 丙最漂亮D. 学霸最丑6.函数的图象大致为()A. B.C. D.7.如图所示的程序框图是为了求出满足21+22+⋯+2n>2018的最小整数n，则和两个空白框中，可以分别填入()A. S>2018?，输出n−1B. S>2018?，输出nC. S≤2018?，输出n−1D. S≤2018?，输出n8.数列{a n}的前n项和S n=3n2−5n，则a6的值为()A. 78B. 58C. 50D. 289.五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有()A. 60种B. 48种C. 36种D. 24种10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于M，N两点，MN的中点为P，若|MN|=5，则点P到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 1 D. 1211.函数f(x)=−x2+5x−6的零点是()A. −2，3B. 2，3C. 2，−3D. −1，−312.已知数列{a n}中，a n=nn2+156(n∈N∗)，则数列{a n}的最大项是()A. a12B. a13C. a12或a13D. 不存在二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x−1≤02x−y−1≥0x−2y−2≤0，则z=x+3y的最大值为______ ．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为1的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AF1|=|AB|，则双曲线的离心率为______．15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最大值为√3，其相邻两个零点之间的距离为π2，且f(x)的图象关于直线x=−π3对称，则当x∈[−π6,π6]时，函数f(x)的最小值为______．16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是BC1的中点，P是棱BB1上的动点，则AP+MP的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=7√3，CD=14，BD=7，∠BAD=120°．(1)求AD边的长；(2)求△ABC的面积．18.如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥CD，AD=AB=2，作BE⊥CD，E为垂足，将△CBE沿BE折到△PBE位置，如图2所示．(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PDE；(Ⅱ)当PE⊥DE时，平面PBE与平面PAD所成角的余弦值为2√5时，求直线PB与平面PAD所5成角的正弦值．19.已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，经过点B(0,1).设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点(点Q在第一象限)，且与线段AB交于点M．(Ⅰ)求椭圆G的标准方程；(Ⅱ)是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．20.某学校高三年级有1000名学生，按分层抽样从高三学生中抽取30名男生，20名女生分析期末某学科的考试成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图．(Ⅰ)试计算男生、女生考试成绩的平均分；(Ⅱ)若由直方图可以认为，男生考试成绩服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ为10，利用该正态分布，求：(ⅰ)P(62<Z<82)；(ⅰ)若全校所有男生考试成绩在区间(62,82)人数记为X，利用(ⅰ)的结果，求E(X)．(Ⅲ)若从50名学生中任意抽取两名考试优秀的(90分以上为优秀包括90分)学生参加该学科的竞赛，若两名男生参加可以获A奖励；若两名女生参加可以获B奖励；若一名男生和一名女生参加可以获C奖励，试判断三种奖励的哪种奖励的可能性大？参考数据：若Z～(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826．21.已知函数f(x)=xe x−a(ln x+x)，a∈R。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=2+ai(a∈R)，则|(1−i)z|=4，则a的值为()A. 2B. ±2C. 0D. ±12.已知命题p:∀x∈R，x≥2，那么命题￢p为()A. ∀x∈R，x≤2B. ∃x0∈R，x0<2C. ∀x∈R，x≤−2D. ∃x0∈R，x0<−23.已知集合A={−1,0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2−1,n∈Z}，则A∩B=()A. {−1,3}B. {0,3}C. {−1,0，3}D.{−1,0，3，5}4.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为()A. f(x)=2sin(x−π3)B. f(x)=2sin(π6x−1)C. f(x)=2sin(π3x−π3)D. f(x)=2sin(π6x−π6)5.已知抛物线y2=4x，过其焦点F作倾斜角为π4的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，则弦BC 的长为()A. 103B. 2C. 4D. 86.已知函数f(x)=22x−52⋅2x+1−6(x∈[0,3])的值域为()．A. (0,18]B. (2,9]C. [−494,18] D. [−17,−494]7.直线y=kx+1与圆(x−2)2+(y−1)2=4相交于P、Q两点.若|PQ|≥2√2，则k的取值范围是()A. [−34,0] B. [−√33,√33] C. [−1,1] D. [−√3,√3]8.已知某几何体的三视图如图所示(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是()A. 36π+288B. 36π+216C. 33π+288D. 33π+2169.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35B. 38C. 310D. 32010.阅读下图的程序框图，若输入的N=100，则输出的结果是()A. 50B. 1012C. 51D.11.设函数f(x)=sin(2x+π6)，则下列结论正确的是()A. f(x)的图象关于直线x=π3对称B. f(x)的图象关于点(π6,0)对称C. f(x)的最小正周期为π，且在[0,π12]上为增函数D. 把f(x)的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象12.已知f(x)=x2−3，g(x)=me x，若方程f(x)=g(x)有三个不同的实根，则m的取值范围是()A. (0,6e3) B. (−3,6e3) C. (−2e,6e3) D. (0,2e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,5)，向量b⃗ =(1,y)，若a⃗//b⃗ ，则实数y的值是______．14.在等比数列{a n}中，a1=3，2a1+a2=12，则a4=______．15.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．16.在平面直角坐标系xoy中，动点P到两个顶点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则下列命题中真命题的序号是______(1)曲线E经过坐标原点(2)曲线E关于x轴对称(3)曲线E关于y轴对称(4)若点(x,y)在曲线E上，则−3≤x≤3三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}中，a2+a3=7，a4+a5+a6=18．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，求1S3+1S6+⋯+1S3n．18.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车(含电动自行车和电动汽车)免费提供电池检测服务．现从全市已挂牌照的50000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图．(1)采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取1辆，求恰好为电动汽车的概率；(2)为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助100元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助300元．试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算．19.如图，四棱锥P−ABCD中，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD=2BC=2，AB⊥AD，AB⊥BC．(Ⅰ)证明：PC⊥BC；(Ⅱ)若棱锥P−ABCD的体积为√3，求该四棱锥的侧面积．220.已知函数f(x)=(x+a)lnx．(Ⅰ)当a=0时，求f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)当a>0时，若f(x)有极小值，求实数a的取值范围．21.在平面直角坐标系中，已知两点A(−3,0)及B(3,0)，动点Q到点A的距离为10，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P．(Ⅰ)求|PA|+|PB|的值；(Ⅱ)求点P的轨迹方程．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方)=2√2，两条曲线交于A，B两点．程为ρ=4cosθ，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4(1)求A，B两点的极坐标；(2)P为曲线C2：为参数)上的动点，求△PAB的面积的最小值．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−3|(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥x+8的解集；(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为5，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵z=2+ai，∴(1−i)z=(1−i)(2+ai)=(2+a)+(a−2)i，由|(1−i)z|=4，得√(2+a)2+(a−2)2=4，解得a=±2．故选：B．把z=2+ai代入(1−i)z，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模列式求得a的值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于简单题．根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题是全称命题，∴命题的否定是∃x0∈R，x0<2．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={−1,0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2−1,n∈Z}={−1,0，3，8，15，…，}，∴A∩B={−1,0，3}．故选：C．4.答案：C。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＞0}，B={x|y=1og2（2-x）}，则A∩B=（）A. （1，2）B. （1，+∞）C. （1，2]D. （2，+∞）2.已知向量=（2m-1，m），=（3，1），若∥，则m=（）A. 1B. ±1C. -1D. -23.已知α是第二象限角，若sin（-α）=-，则sinα=（）A. B. C. D.4.等差数列{a n}中，a3与a8的等差中项为10，则a1+a10=（）A. 40B. 30C. 20D. 105.已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 36.执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A. 5B. 7C. 9D. 117.已知命题p：函数f（x）=是定义在实数集上的奇函数；命题q：直线x=0是g（x）=x的切线，则下列命题是真命题的是（）A. p∧qB. ￢qC. （￢p）∧qD. ￢p8.已知圆C：x2+y2=4和直线l：y=x，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于的概率为（）9.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个c1键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c的频率正好是中音c1的2倍．已知标准音a1的频率为440Hz，那么频率为220Hz的音名是（）A. dB. fC. eD.10.函数f（x）=（x2-4x+1）•e x的大致图象是（）A. B.C. D.11.已知椭圆=1（a＞b＞0）与双曲线=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点，且b=n，若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±D. y=±x12.已知函数f（x）=，方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. （-1，1）B. （0，1）C. （-1，0）D. （1，e）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数z满足=-3i，其中i是虚数单位，则复数z的模是______．14.已知实数x，y满足a x＞a y＞1（0＜a＜1），则下列关系式正确的为______．①x2+1＞y2② |1-x|＞|y-1|③sin x＞sin y④x3＞y315.已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值是______．16.已知点P为直线l：x=-2上任意一点，过点P作抛物线y2=2px（p＞0）的两条切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1•x2为定值，此定值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=cos（2x-）-2cos2x．（1）求函数y=f（x）的单调增区间；（2）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A）=0，a=1，求b+c的取值范围．18.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，AC=CC1=2，其中P为棱CC1上的任意一点，设平面PAB与平面A1B1C的交线为QR．（1）求证：AB∥QR；（2）若P为棱CC1上的中点，求几何体QR-ABC的体积．19.某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为20%，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀．（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理非优秀总计数学优秀12数学非优秀总计附：K2=，其中n=a+b+c+d．k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.00120.椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（-，0）、F2（，0），点A（，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆交于E、F两点，以EF为直径的圆过坐标原点O，求证：坐标原点O到直线l距离为定值．21.某财团欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格y（单位：万元）是每日产量x（单位：吨）的函数：y=ln x（x＞1）．（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）；（2）记每日生产平均成本为m，求证：m＜16；（3）若财团每日注入资金可按数列a n=（单位：亿元）递减，连续注入60天，求证：这60天的总投入资金大于41n11亿元．22.曲线C1：（其中t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称．（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2直角坐标方程；（2）将C2向左平移2个单位长度，按照变换得到C3，点P为C3上任意一点，求点P到曲线C1距离的最大值．23.已知f（x）=2|x|+|x-1|．（1）解关于x的不等式f（x）＞4；（2）对于任意正数m、n，求使得不等式f（x）≤+2nm恒成立的x的取值集合M．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A={x|x-1＞0}={x|x＞1}，B={x|y=1og2（2-x）}={x|2-x＞0}={x|x＜2}，则A∩B={x|1＜x＜2}故选：A．求出集合A，B的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.答案：C解析：解：∵向量=（2m-1，m），=（3，1），∥，∴=，解得m=-1．故选：C．利用向量与向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式以及诱导公式的应用，属于基础题.直接利用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系式转化求解即可．【解答】解：由sin（-α）=-，可得cosα=-，∵α是第二象限角，∴sinα==．故选：D．4.答案：C解析：解：a1+a10=a3+a8=20，故选：C．由下标定理可得结果本题考查了等差数列的性质，属基础题．5.答案：B解析：解：①若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故不正确；②若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β，m也可能在平面内，故不正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故正确故选：B．要求解本题，根据平面与平面平行的判定与直线与平面平行的判定进行判定需要寻找特例，进行排除即可．定理公理综合运用能力的考查，属中档题6.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0不满足条件S≥，执行循环体，S=，n=3不满足条件S≥，执行循环体，S=+，n=5不满足条件S≥，执行循环体，S=++=，n=7此时，满足条件S≥，退出循环，输出n的值为7．故选：B．先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值．本题考查程序框图．要掌握常见的当型、直到型循环结构；以及会判断条件结构，并得到条件结构的结果；在已知框图的条件下，可以得到框图的结果．7.答案：A解析：解：f（-x）===-=-f（x），即f（x）是奇函数，故命题p是真命题，函数的导数g′（x）==，当x=0时，g′（x）不存在，此时切线为y轴，即x=0，故命题q是真命题，则p∧q是真命题，其余为假命题，故选：A．分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q的真假是解决本题的关键．8.答案：B解析：解：如图，设与直线y=x平行的直线方程为x-y+c=0，由O到直线x-y+c=0的距离为，即OD=，且OB=2，得∠BOD=30°，则∠AOB=60°，∴则圆C上任取一点A到直线l的距离小于的概率为P=．由题意画出图形，求出满足条件的A点所占弧长所对的圆心角的大小，由测度比是角度比得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．9.答案：D解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与指数幂的计算能力，属于中档题．220Hz的音比a1的频率低，故可将a1的频率记为第一项，220Hz的音设为第n项，则这个数列是以440Hz为第一项，以q=为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式可得．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比．故从#g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为q=由220=440×，解得n=7，频率为220Hz的音名是（#d），故选：D．10.答案：A解析：解：当x＜0时，x2-4x+1＞0，e x＞0，所以f（x）＞0，故可排除B，C；当x=2时，f（2）=-3e2＜0，故可排除D．故选：A．用x＜0排除B，C；用x=2排除D．故选A．本题考查了函数图象与图象的变换，属基础题．11.答案：C解析：解：椭圆的半焦距为c，则以题意可得：又n=b，所以，所以，双曲线的方程为：，双曲线的渐近线方程为：y=．故选：C．利用椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质，列出方程，转化求解双曲线方程，即可得到渐近线方程．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.答案：C解析：解：当x＞0时，f（x）=，所以f′（x）=，易得：y=f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）所以f（x）max=f（1）=1，设t=f（x），则方程f2（x）+mf（x）=0可变为t2+mt=0，解得：t=0或t=-m则方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的交点个数为5个，由图可知：0＜-m＜1，即-1＜m＜0，故选：C．由导数的应用得：y=f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，所以f（x）=f（1）=1，max由方程的解的个数与函数图象的交点个数的关系得：方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的交点个数为5个，由函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的位置关系可得：-1＜m＜0，得解本题考查了利用导数研究函数的单调性，图象，方程的解的个数与函数图象的交点个数，属中档题13.答案：解析：解：由=-3i，得z=-3i（1+i）=3-3i．则复数z的模是．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．14.答案：①②解析：解：∵实数x，y满足a x＞a y＞1（0＜a＜1），∴x＜y＜0，∴x2+1＞y2，故①正确；∴-x＞-y＞0，1-x＞1-y＞1，∴|1-x|＞|y-1|，故②正确；不一定有sin x＞sin y，故③不一定正确；∴x3＜y3 ，∴④不正确，故答案为：①②．由题意利用指数函数的单调性，判断x＜y＜0，从而得出结论．本题主要考查指数函数的单调性，判断x＜y＜0，是解题的关键，属于基础题．15.答案：3解析：【分析】本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分，由，解得A（1，0）目标函数z=3x+y可看作斜率为-3的动直线，其纵截距越大，z越大，由数形结合可得当动直线过点A时，z最大=3×1+0=3．故答案为：3．16.答案：4解析：解：不妨设P（-2，0），过P的切线方程设为y=k（x+2），代入抛物线方程y2=2px（p＞0）得k2x2+（4k2-2p）x+4k2=0，又k≠0，故x1x2=4．故答案为4．取P的特殊位置，设出切线方程并与抛物线方程联立，再根据一元二次方程根与系数的关系求解．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意利用特殊化思想处理客观题，可以大大提高解题的效率．17.答案：解：（1）函数f（x）=cos（2x-）-2cos2x=cos2x+sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，由2kπ-≤2x-≤2kπ+，可得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的单调递增区间是（kπ-，kπ+），k∈Z．（2）△ABC中，已知f（A）=sin（2A-）-1=0，∴2A-=，∴A=．∵a=1，由正弦定理可得===，∴b+c=（sin B+sin C）=[sin B+sin（-B）]=（sin B+cos B+sin B）=sin B+cos B=2sin（B+）．∵B∈（0，），∴B+∈（，），∴2sin（B+）∈（1，2]．所以b+c的范围是（1，2]．解析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）先由题意求得A，再利用正弦定理求得b+c的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得b+c的取值范围．属于中档题．18.答案：证明：（1）在直线三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C，∵平面PAB与平面A1B1C的交线为QR，且AB⊂平面PAB，∴AB∥QR．解：（2）在侧面BCC1B1中，∵BC=2，CC1=2，P为棱CC1上的中点，∴tan∠BB1C===，tan=，∴∠BB1C=∠PBC，∴PB⊥B1C，∴CR⊥PB，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，∵AB=BC=2，AC=2，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又BB1∩BC=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∴QR⊥平面BCC1B1，∵BC=2，PC=，∴CR===，∵△PRC∽△PCB，∴PR===，∵AB∥QR，∴，∴QR===，∴几何体QR-ABC的体积：V A-PBC-V Q-PBC=-=．解析：（1）由AB∥A1B1，得AB∥平面A1B1C，由此能证明AB∥QR．（2）推导出tan∠BB1C===，tan=，从而∠BB1C=∠PBC，PB⊥B1C，CR⊥PB，由BB1⊥平面ABC，得BB1⊥AB，推导出AB⊥BC，从而AB⊥平面BCC1B1，QR⊥平面BCC1B1，几何体QR-ABC的体积V A-PBC-V Q-PBC．本题考查线线平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）有频率分布直方图可知众数为85，∵0.02×10+0.026×10=0.46＜0.5，所以中位数位于区间（80，90），设为x，则0.46+（x-80）×0.03=0.5，解得x=，所以中位数为81.33．（2）两个班100名学生中物理优秀的有100×20%=20人，物理非优秀的有80人，数学成绩优秀的有100×0.024×10=24人，数学成绩非优秀的有76人，所以数学，物理非优秀的有24-12=12人，物理优秀物理非优秀合计数学优秀12 1224数学非优秀8 6876合计 20 80100K2=≈17.76＞10.828，故有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关．解析：（1）众数在最高的矩形中，取其中点值即可，中位数是使概率为0.5的数学成绩，根据0.46+（x-80）×0.03=0.5解得即可；（2）两个班100名学生中物理优秀的有100×20%=20人，物理非优秀的有80人，数学成绩优秀的有100×0.024×10=24人，数学成绩非优秀的有76人，所以数学，物理非优秀的有24-12=12人，由此可得列联表，计算出K2，结合临界值可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20.答案：解：（1）由椭圆定义可知，2a=|AF1|+|AF2|=+=4，所以a=2，因为c=，所以b=1，椭圆C的方程为：+y2=1；（2）证明：由可得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，△=64k2m2-16（4k2+1）（m2-1）＞0，即4k2+1＞m2，设E（x1，y1），F（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴•=x1x2+y1y2=（1+m2）x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+m2）+km（-）+m2=0，∴4k2+4=5m2，∵d===，所以坐标原点O到直线l距离为定值．解析：（1）由椭圆定义可知，2a=|4，求出a，再求出b，即可得到椭圆方程；（2）联立方程组消y，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，结合已知条件能证明原点O到直线l的距离为定值．本题考查椭圆方程，考查原点到直线的距离为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式的合理运用．21.答案：解：（1）y=ln x的导数为y′=-ln x，当x=3时，y′|=-ln3=12-3ln3，当日产量为3吨时的边际成本为12-3ln3万元；（2）证明：=ln x，x＞1，要证m＜16，即证2x lnx＜x2-1，即为2ln x＜x-，即为2ln x-x+＜0，设h（x）=2ln x-x+，x＞1，h′（x）=-1-==-＜0，可得h（x）在x＞1递减，可得h（x）＜h（1）=0，则m＜16成立；（3）证明：由（2）可得x≥1时，2ln x≤x-，且当x=1时，取得等号，可得a n=＞2ln，则a1+a2+…+a60＞2ln3+2ln+…+2ln=2ln（3•…）=2ln121=4ln11．即为这60天的总投入资金大于41n11亿元．解析：（1）求得函数y的导数，令x=3代入角色可得所求值；（2）运用分析法证明，结合构造函数法，运用导数，判断单调性可得证明；（3）由x≥1时，2ln x≤x-，且当x=1时，取得等号，可得a n=＞2ln，运用累加法和对数的运算性质，即可得证．本题考查函数在实际问题中的运用，考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查不等式的证明，运算能力和推理能力，属于中档题．22.答案：解：（1）由消去t得x-y-2=0，由ρ=2a cosθ得ρ2=2aρcosθ，得x2+y2-2ax=0，依题意C2的圆心C2（a，0）在C1：x-y-2=0上，所以a-0-2=0，解得a=2，故曲线C1的普通方程为x-y-2=0，曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4x=0．即（x-2）2+y2=4．（2）C2向左平移2各单位长度后得x2+y2=4，再按照变换得到C3：x2+=1，设P点坐标为（cosθ，），P点到C1的距离为d==，当θ=时，点P到C1的距离最大，最大值为2．解析：（1）消去参数t可得C1的普通方程，两边同乘以ρ后可得C2的直角坐标方程，利用直线过圆心可得a=2；（2）利用图象变换先得C3，再C2上设P点，由点到直线的距离求出距离d再根据三角函数求最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）函数f（x）=2|x|+|x-1|，当x≤0时，不等式f（x）＞4化为-2x-（x-1）＞4，解得x＜-1；当0＜x＜1时，不等式f（x）＞4化为2x-（x-1）＞4，解得x＞3，所以x∈∅；当x≥1时，不等式f（x）＞4化为2x+（x-1）＞4，解得x＞；综上，不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x＞}；…（5分）（2）对于任意正数m、n，+2nm≥2•+2nm≥4，当且仅当m=n=1时“=”成立，所以不等式f（x）≤+2nm恒成立，等价于2|x|+|x-1|≤4，由（1）知，该不等式的解集为{x|-1≤x≤}，所以x的取值集合是M=[-1，]．…（10分）解析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）＞4的解集；（2）利用基本不等式求出+2nm的最小值为4，把不等式f（x）≤+2nm恒成立化为2|x|+|x-1|≤4，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，那么集合A. B.C. D.2.i为虚数单位，满足的复数z的虚部是A. 1B. iC.D.3.的展开式中的常数项为A. B. C. D. 94.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为A. B. 1 C. D.5.某商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元具有相关关系，且回归方程为已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为A. B. C. D.6.已知为等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则数列的公比为A. B. C. D. 或17.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在之外的人数估计有附：若X服从，则，A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人8.以为焦点的椭圆与直线有公共点，则满足条件的椭圆中长轴最短的为A. B. C. D.9.已知某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则A. B. C. D.10.已知函数和函数的图象分别为曲线，，直线与，分别交于M，N两点，P为曲线上的点．如果为正三角形，则实数k的值为A. B. C. D.11.将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是A. B. C. D.12.已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______．14.已知点P为圆上任一点，，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围______．15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．16.已知双曲线的焦距为2c，，是实轴顶点，以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若，求C的大小；若AC边上的中线BM的长为，求面积的最大值．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点M是AC与BD的交点．求二面角的余弦值；若点N在线段PB上且平面PDC，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为，和为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件1，．求，，；随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列及期望；若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效．讨论该方案是否有效．20.已知函数．讨论在定义域内的极值点的个数；若对，恒成立，求实数m的取值范围；证明：若，不等式成立．21.过x轴正半轴上一点做直线与抛物线E：交于，，两点，且满足，过定点与点A做直线AC与抛物线交于另一点C，过点与点B做直线BD与抛物线交于另一点设三角形AMN的面积为，三角形DMN的面积为．求正实数m的取值范围；连接C，D两点，设直线CD的斜率为；当时，直线AB在y轴的纵截距范围为，则求的取值范围；当实数m在取到的范围内取值时，求的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的参数方程为，为参数．写出曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；f若点，直线l与曲线C交于P，Q两点，弦P，Q的中点为M，求的值．23.设函数．求的解集；若，使恒成立的m的最大值为正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为集合或，，则，那么集合，故选：B．首先解不等式求出集合A，B，由补集的运算求出，再由交集的运算求出．本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得，复数z的虚部是．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.答案：D解析：解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，棱锥的体积为，圆锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到，，圆锥的高，圆锥的体积．解得，则圆锥的母线长为．故选：D．推导出圆锥的体积为，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则，圆锥的高，由此能求出圆锥的母线长．本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.答案：A解析：解：商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元的线性回归方程为，当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为，该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：，故选：A．根据线性回归方程得到该商场平均每天的总销售额，从而求出该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值．本题主要考查了函数的实际应用，以及线性回归方程的应用，是基础题．6.答案：A解析：解：是与的等差中项，即为，若公比，则，即有，即，显然不成立，故，则，化为，即，解得或舍去，故选：A．由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得所求公比，注意公比为1的情况．本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：由数学分数服从正态分布，得，．则．则成绩在之内的人数估计有8183，成绩在之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选：A．由已知可得，，则，求出概率，乘以10000可得成绩在之内人数的近似值，再由10000减去该近似值得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.答案：C解析：解：以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由得，由题意，a有解，，，或舍，，此时椭圆方程是：．故选：C．先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a的最小值，则问题解决．本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，是中档题．9.答案：C解析：解：某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则，解得．故选：C．利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：由已知可设，，则P点横坐标为，又因为点P在函数的图象上，所以，因为为正三角形，则，故直线PM的斜率等于，，即，，即，，故选：B．由已知条件设出M，N，P的坐标，利用直线PM的倾角是，即斜率为，利用斜率的坐标公式列出关于K的方程，解指对数方程即可本题主要考查对数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．11.答案：D解析：解：将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，则最大点数与最小点数之差为3的概率是：．故选：D．将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，由此能求出最大点数与最小点数之差为3的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：C解析：解：当时，，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且，时，，作出函数的图象如下图所示，令，则有两个不同的实数根，，要使方程有7个不同的实数解，则，，，即，作出上述不等式组表示的可行域如下图所示，由可行域可知，当取点时，最小，且最小值为2；当取点时，最大，且最大值为12．故的取值范围为．故选：C．利用导数研究函数的性质，可作出的草图，观察图象，结合题设条件可得方程有两个不同的实数根，，且，，利用二次函数根的分布，可以得到m，n满足的约束条件，由此作出可行域，再根据的几何意义，求得取值范围．本题考查分段函数的综合运用，涉及了利用导数研究函数的性质，“套套”函数，二次函数根的分布，简单的线性规划等知识点，考查换元思想，数形结合思想，函数与方程思想等数学思想，考查逻辑推理能力，运算求解能力，直观想象等数学能力，属于较难题目．13.答案：解析：解：依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，，又，，，函数的图象如下，由图可知，．故答案为：．依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，化简，作出函数在上的图象，观察图象即可得到m的取值范围．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及化简求解能力，属于中档题．14.答案：解析：解：如图，椭圆的焦点，，设，则，，则，的取值范围是．故答案为：．由椭圆方程求出焦点坐标，设，得到与的坐标，写出数量积，再由三角函数求最值可得的取值范围．本题考查圆与椭圆综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15.答案：1或解析：解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，曲线在处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，，解得，或．当时，切线方程为，即，当时，切线方程为，即，或．故答案为：1或．分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：由题意如图，要使以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，可得直线在x，y轴的交点分别为：，，则O到直线的距离小于半径，且，即，，整理可得：，即，解得，故答案为：由题意可得O到直线的距离小于半径，且，可得a，c的关系，进而求出离心率的范围．本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．17.答案：解：．由正弦定理可得，，由，可得，由，可得，由题意，，，，，，，由可得，由向量的中点表示可得，两边平方可得：，可得：，可得：，，解得，当且仅当时取等号，的面积，当且仅当时取等号，即面积的最大值是．解析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合，可得，结合范围，可得，进而利用二倍角公式，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得，结合范围C，，可得，即可得解．由已知运用向量的中点表示可得，利用向量的模的平方即为向量的平方以及基本不等式即可得到ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式，基本不等式，三角形的面积公式以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题．18.答案：解：在中，，，则．在中，，则，在中，，则，，，平面ABCD，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，0，，，0，，0，，0，，，0，，，，，设平面ACP的法向量y，，则，取，则，设平面BCP的法向量b，，则，取，得，则，二面角的余弦值为．设平面PCD的法向量n，，，1，，则，取，得，设y，，且，，满足，则0，，，点N在线段PB上且平面PDC，，解得．，平面ACP的法向量，．直线MN与平面PAC所成角的正弦值为．解析：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量、平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角的正切值．先根据条件求出点N的具体位置，再利用向量法能求出直线MN与平面PAC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由已知，，．的可能取值为0，1，2，，，，随机变量X的分布列为：X 0 1 2P．由知，按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为：，，该方案无效．解析：利用古典概型概率计算公式能求出，，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．由，得到按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为，由，得到该方案无效．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方案是否有效的判断与求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：，对于方程，，当时，，，此时没有极值点；当时，方程的两根为，，不妨设，则，当或时，，当时，，此时，是函数的两个极值点；当时，方程的两根为，，且，故，，当时，，故没有极值点；综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点；，即，则，设，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故；证明：由知当时，恒成立，即，欲证，只需证，设，当时，，单调递减，当，，单调递增，，故，对，不等式成立．解析：函数的定义域为，求导后研究方程，分类讨论得出函数的单调性情况，进而得出极值点情况；问题等价于，设，利用导数求函数的最小值即可；由知，恒成立，则问题转化为证明，设，利用导数证明恒成立即可．本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，属于较难题目．21.答案：解：设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程得，解得，则且，又，，解得，正实数m的取值范围为；设，设过点的直线为，过点的直线为，由，联立解得，由，联立解得，，，直线AB在y轴上的纵截距取值范围为，，，即；，由和可知，，．解析：设直线AB方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，再结合已知条件，即可求得正实数m的取值范围；设，设过点的直线为，过点的直线为，与抛物线方程联立后，可得，进而求得，由题意可知，，进而得到；易知，结合中m的范围即得解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，对计算能力要求较高，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为，为参数转换为直角坐标方程为．把直线的参数方程，为参数，代入，得到，所以，，所以，即，，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：等价为或或，解得或或，则原不等式的解集为；若，使恒成立，即为，由，当时，取得等号，则的最小值为4，可得，则，即，由，，可得，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为1．解析：由零点分区间法，结合绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；由题意可得，运用绝对值的性质可得其最小值，进而得到m的最大值，再由乘1法和基本不等式，可得所求最小值，注意运用的变形．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合 A ={x|x 2−3x +2≥0}，B ={x|2x <4}，则 A ∪B =( )A. ⌀B. {x|x ∈R}C. {x|x ≤1}D. {x|x >2}2. 复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =2−xB. y =lnxC. y =x −2D. y =|x|−14. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. 有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是( )A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数R 2变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6. 函数f(x)=e x +x 2+x +cosx ，则f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. 2x −y +2=0B. 2x +y +2=0C. x +2y +2=0D. x −2y +2=07. “卡拉兹猜想”又称“3n +1猜想”，是德国数学家洛萨·卡拉兹在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 为偶数，就将它减半；如果n 为奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为 ( )A. 10B. 64C. 10或64D. 328. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm ，中间有边长为1cm 的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )A. 14πB. 12πC. 1πD. 2π9. 阅读如图所示的程序框图，若输入a =0.45，则输出的k 值是( )A. 3B. 4C. 5D. 610. F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29−y 27=1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|=8，则△PF 1F 2的周长为( )A. 15B. 16C. 17D. 1811. 数列{a n }的通项公式为a n =1(n+1)(n+2)，则{a n }的前10项之和为( )A. 14B. 512C. 34D. 71212. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =13,y =23B. x =14,y =34C. x =23,y =13D. x =34,y =14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. ∫(1−1√1−x 2−1)dx = ______ ．14. 过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为____.15.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg2=0.3010，次可使杂质含量减少13lg3=0.4771)16.在三棱锥S−ABC中，ΔABC是边长为3的等边三角形，SA=√3,SB=2√3，二面角S−AB−C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π，则2(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，则1+2i2i−i3=()A. 1+12i B. 1−12i C. 12−i D. 12+i2.已知集合A={x|−4<−x≤3}，B={x|(x−2)(x+5)<0}，则A∩B=()A. (−5,4)B. (−3,2)C. (2,4)D. [−3,2)3.甲、乙两人数学成绩的茎叶图，如图所示，则两人的成绩中位数为()A. 87，98B. 98，87C. 88，88D. 81，834.平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为30°，a⃗=(1,0)，|b⃗ |=√3，则|a⃗−b⃗ |=()A. 2√3B. 1C. √5D. √225.已知甲、乙、丙三人中，一人是学霸，一人是班长(显然不是学霸)，一人是diao丝。

若纯从“颜值”分来看，乙比diao丝大；丙和学霸不同；学霸比甲小，则下列判断正确的是()A. 班长最漂亮B. 甲是diao丝C. 丙最漂亮D. 学霸最丑6.函数f(x)=x2(e x−e−x)的大致图象为()A. B.C. D.7. 如图是为了求出满足21+22+23+⋯+2n >2018的最小整数n ，在◇和□两个空白框中，可以分别填入( )A. S >2018?，输出nB. S >2018?，输出n −1C. S ≤2018?，输出nD. S ≤2018?，输出n −18. 若数列{a n }满足a n+1+a n =2n +3，则a 10+a 7=( )A. 17B. 24C. 19D. 349. 现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，这样的排法有( )A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种10. 设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为k(k >0)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点M ，若|MF |=3，则直线l 的方程为( )A. y =2√2x +1B. y =√3x +1C. y =√2x +1D. y =2√3x +211. 已知函数f(x)={ax 2+2x +1(x ≤0),ax −3(x >0)有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A. a <1B. a >0C. a ≥1D. 0<a <112. 设数列{a n }满足a 1=13，a n+1=e a n −1(n ∈N ∗)(其中e 为自然对数的底数)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. S 2019>S 2018，a 2019>a 2018B. S 2019<S 2018，a 2019>a 2018C. S 2019>S 2018，a 2019<a 2018D. S 2019<S 2018，a 2019<a 2018二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. x ，y 满足约束条件：{y ≤xx +y ≤1y ≥−1，则z =2x +y 的最大值为______．14. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，线段AF 2交双曲线于点B ，若B 是线段AF 2的中点，则此双曲线的离心率为______．15.已知f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，f(π6)=f(π3)，且f(x)在区间(π6,π3)有最小值，无最大值，则ω=______．16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是BC1的中点，P是棱BB1上的动点，则AP+MP的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，AB=2，BC=√5，cosA=23．(1)求AC的长；(2)若AB//CD，AD=CD，求四边形ABCD的面积．18.如图，在底面ABCD为矩形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD=2AB=2PA=4，E，F分别是PB，PC的中点．(1)求证：平面ABP⊥平面AEFD(2)求直线AF与平面ABP所成角的正切值的大小．19.已知点A(0,−2)，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且|MN|=8√27，求k的值．20.已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布N(1000,σ2)，且P(X<800)=0.1，P(X≥1300)=0.02．(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在[1200,1300)的概率；(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在[800,1200)的件数为Y，求Y的分布列和数学期望E(Y)．21.函数g(x)=(x−2)e x−ax+2，其中常数a∈R．(1)求f(x)=g(x)+e x+ax−2的最小值；(2)若a<0，讨论g(x)的零点的个数.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)⩽3x+b成立，证明：a+b≥0．【答案与解析】1.答案：A解析：解：1+2i2i −i3=(1+2i)(−i)−2i2+i=2−i2+i=1+12i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：D解析：解：A={x|−3≤x<4}，B={x|−5<x<2}；∴A∩B={x|−3≤x<2}=[−3,2)．故选：D．先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算．3.答案：A解析：解，根据茎叶图得，甲的数据是12个，中位数是12(86+88)=87，乙的数据也是12个，中位数是12(98+98)=98．故选A．由茎叶图得出甲、乙的数据是什么，从而求出中位数．本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，是容易题．4.答案：B解析：本题考查向量的模，平面向量的数量积运算，属于基础题．依次计算|a⃗|，a⃗⋅b⃗ ，(a⃗−b⃗ )2，将(a⃗−b⃗ )2开方即可．解：|a⃗|=1，∴a⃗⋅b⃗ =1×√3×cos30°=3．2∴(a⃗−b⃗ )2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=1．∴|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=1．故选：B．5.答案：A解析：本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．推导出乙是学霸，且乙比甲小，比diao丝大，得到甲不是diao丝，从而甲是班长，乙是学霸，丙是diao丝．解：由乙比diao丝大，得乙不是diao丝；由丙学霸不同，得到丙不是学霸；由学霸比甲小，得到甲不是学霸．从而得到乙是学霸，由乙比甲小，比diao丝大，得到甲不是diao丝，从而甲是班长，乙是学霸，丙是diao丝．故选A．6.答案：A解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，属于基础题．判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．解：∵f(x)=x2(e x−e−x)，∴f(−x)=(−x)2(e−x−e x)=−x2(e x−e−x)=−f(x)，∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，当x→+∞时，f(x)→+∞，故排除C故选：A．7.答案：B解析：本题考查了程序框图的应用问题，是基础题.通过要求21+22+⋯+2n>2018时输出且框图中在“是”时输出确定“”内应填内容；再通过循环体确定输出框的内容．解：因为要求21+22+⋯+2n>2018时输出，且框图中在“是”时输出，所以“”内输入“S>2018？”，又要求n为最小整数，所以“”中可以填入输出n−1，故选B．8.答案：C解析：本题主要考查数列的递推公式，属于基础题．对题干中的a10+a7变形可得a10+a7=(a10+a9)−(a9+a8)+(a8+a7)即可得解．解：a10+a7=a10+a9−a9+a8−a8+a7=(a10+a9)−(a9+a8)+(a8+a7)=(2×9+3)−(2×8+3)+(2×7+3)=19．9.答案：B解析：本题主要考查了排列组合中相邻问题和不相邻问题，相邻用捆绑，不相邻用插空，属于基础题．甲、乙相邻，先甲乙捆绑在一起看做一个元素，丙、丁不相邻，用抽空，插入到复合元素(甲乙捆绑)和另一人形成的3个空中，问题得以解决．解：先把甲乙捆绑在一起看做一个元素，再和另一人全排，形成3个空，然后插入丙、丁，故排法有A 22⋅A 22⋅A 32=24种，故选B ．10.答案：C解析：本题考查抛物线的方程与性质，直线与抛物线位置关系的运用，考查韦达定理，属于中档题． 由题意，抛物线的准线方程为y =−1，M(2√2,2)，P 的横坐标为2√2，设直线方程为y =kx +1，与抛物线x 2=4y 联立，可得x 2−4kx −4=0，利用韦达定理，求出k ，即可得出结论． 解：由题意，抛物线的准线方程为y =−1，|MF |=3， 则M(2√2,2)，P 的横坐标为2√2，设直线方程为y =kx +1，与抛物线x 2=4y 联立，可得x 2−4kx −4=0， ∴4√2=4k ，∴k =√2， ∴直线l 的方程为y =√2x +1． 故选C ．11.答案：D解析：本题考查分段函数的零点个数的确定．由简图得，，若函数f(x)有3个零点，则必须满足{a >0,−22a <0,Δ=4−4a >0,即{a >0,a >0,a <1,即0<a <1． 故选D ．。