机器人动力学课件

2020/3/24
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机器人动力学
Dynamics of Robotics
5.1 工业机器人速度分析 5.2 工业机器人静力分析 5.3 机械手动力学方程
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5.1 工业机器人速度分析 5.1.1雅可比矩阵
••
(1 , 2 )
存在
怎样
的关
系
•
1
••
(x, y)
vy
vx
•
2
两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可
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因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节 不动而某一关节运动产生的端点速度。
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例5-1如图所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系Xo轴正向以
1.0 m/s速度移动，杆长为 l1 l2 0.5m 。设在某瞬时 1 30,2 60 求相应瞬时的关节速度。
式中： J (q是) 6×n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅可
比矩阵。 2020/3/24
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5.1.2机器人速度分析
dX J (q) dq 或
dt
dt
v J (q)q
其中:v―机器人手部在操作空间中的广义速度，v X Ｊ(q)―速度雅可比矩阵
q―机器人关节在关节空间中的速度
从上式可以看出，对于给定的关节变量q，雅可 比矩阵是从关节空间的关节速度向操作空间的广义 速度映射的线性变换。
而且
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对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少， 这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。
当θ2=0°或θ2=180°时，机械 手的雅可比行列式为0，矩阵的秩 为1，因此处于奇异状态。在奇异 形位时，机械手在操作空间的自由 度将减少。
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奇异位形：由于雅可比矩阵J(q)是关节变量q的函数, 总会存在一些位形,在这些位形处,|J(q)|=0,即J(q)为奇 异矩阵,这些位形就叫奇异位形。
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若令J1，J2 分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列 矢量，即
•
x [J1
J
2
]••12
由上式可知，J11和J 22 分别是由1和2 产生的手部速度的分量。 而J1是在 2 0时，也就是第二个关节固定时，仅在第一个关节 转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。 同样，J2是第一关节固定时，仅在第二关节转动的情况下，手部 平移速度在基础坐标系上表示出的向量。
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2)根据机构的各向同性原理设计机器人操作器
通过设计上的优化，能使得机器人机构在一个比较大的区域 内保持各向同性，即在各个方向的可能误差和施加的力都是 相同的。
3)利用降秩雅可比矩阵求近似反解
在奇异位形附近利用矩阵论中的伪逆矩阵理论，通过定义一 种伪逆雅可比矩阵，将雅可比矩阵降秩处理，求解近似反解。
4)利用具有冗余度的机器人操作器
比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，
同2时020/3也/24 可用来表示两空间之间力的传递关系。
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首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图5-1所示。
容易求得
x
y
l1c1 l1s1
l2c12 l2s12
将其微分得
写成矩阵形式
图5-1 两自由度平面机械手
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dx dy
一般，奇异位形有两种类型：
工作域边界上的奇异：这种奇异位形出现在机器人 的机械手于工作区的边界上时，也就是在机器人手 臂全部展开或全部折回时出现。这种奇异位形并不 是特别严重，只要机器人末端执行器远离工作区边 界即可。
工作域内部奇异：这种奇异位形出现在两个或多个
关节轴线重合时，这种奇异位形很难处理，因为它
l1s1
l1c1
l
l
2
2 s12 c12
l2 s12 d1
l 2 c12
d
2
4
简写成 ： dx=Jdθ。
式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，反映了关节 空间微小运动dθ与手部（手爪）作业空间微小位移dx之间的关系。
机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X表
可能出现在工作区的任何位置，并且机器人的末端
执行器在这种奇异位形附近的可操作性会变坏，这
202样0/3/24极大的减少了机器人的可行区。
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对机器人通过奇异位形时轨迹控制方法的研究可以大致分为 如下四种方法:
1)回避机器人操作器的奇异位形
预测奇异位形的可能出现位置,并避免它。理论上对给定的 机器人操作器只要令其雅可比行列式的值等于零，即可找到 它的奇异位形。
l2 s12 1 l1s1 l2 s12 0
相应的关节速度：
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因此，在该瞬时两个节的位置分别为
1 30,2 60
速度分别为 1 2rad / s,2 4rad / s
，手部瞬时速度为1m/s。
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矩阵 A可逆 A 0
且 A可逆时，A1 1 A* A
n阶方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
因此,逆雅可比矩阵
J 1
1
l1l2 s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2 s12
l1s1
l2 s12
J 1v
v [1,0]T
图5-1 两自由度平面 机械手
12
1
l1l2 s2
l2c12 l1c1 l2c12
机器人动力学
Dynamics of Robotics
研究机器人的运动特性与力的关系。
有两类问题：
动力学正问题：各关节的驱动力（或力矩）， 求解机器人的运动（关节位移、速度和加速 度），主要用于机器人的仿真。
动力学逆问题：已知机器人关节的位移、速度
和加速度，求解所需要的关节力（或力矩），
是实时控制的需要。
使机器人通过奇异位形时给机械臂增加多余的关节。
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定义：设 A，C若mn
，A且同Cn时m 有
AA A A, A AA A ( AA )H AA , ( A A)H A A
则称 A+ 是A的伪逆矩阵。
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5.2 机器人的静力学
示，是关节变量的函数 X x, y, z,x ,y ,z T 是n个关节变量的函数
，可写成：X X (q) ，并且是一个6维列矢量。
dX [dX, dY, dZ, x , y , z ]T
反映了操作空间的微小运动，由机器人末端微小线位移和微小
角位移(微小转动)组成。可写为 dX J (q)dq