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空间几何知识点总结空间几何是数学中的一个重要分支，通过研究空间内点、线、面的位置、相互关系以及性质等，帮助我们更好地理解和应用于实际生活中的问题。
本文将对空间几何的一些基本知识点进行总结，以帮助读者更好地掌握这个领域。
一、点、线、面的基本要素在空间几何中，点、线和面是三个最基本的概念。
它们是空间中几何运算的基础要素，彼此之间相互关联。
1.1 点点是空间几何中最基本的要素，它没有长度、宽度和高度，只有位置坐标。
点用大写字母表示，如A、B、C等。
两个点之间的距离可以通过距离公式来计算。
1.2 线线是由无数个点组成的，它是一维的，表示两个点之间的连续直线段。
线用小写字母表示，如a、b、c等。
线的长度可以通过两点间的距离来计算，也可以根据直线段的特性进行相应的计算。
1.3 面面是由无数个点和线组成的，它是二维的，具有长度和宽度，但没有厚度。
面用大写字母表示，如ABC、DEF等。
面可以通过三个或更多的点构成，其中的点称为面上的顶点，而连接这些顶点的线称为边。
面的面积可以通过相应的测量公式进行计算。
二、空间中的形状和图形在空间几何中，形状和图形是研究和描述空间中物体的重要方法。
2.1 点、线、面的关系点、线、面这三个要素之间有着紧密的联系。
例如，两个点可以确定一条线，而三个点可以确定一个面。
线和面也有着特殊的关系，如一条线可以在一个面内，两个面可以通过一条线相交等。
2.2 平行和垂直平行和垂直是形容线和面之间关系的重要概念。
当两条线没有交点时，它们是平行的；当两条线或两个面的夹角为90度时，它们是垂直的。
平行和垂直的概念在空间几何中具有广泛的应用。
2.3 多面体多面体是由多个面组成的物体，常见的有立方体、四面体等等。
多面体的边数、顶点数和面数有一定的关系，通过相关公式可以进行计算。
三、空间中的测量和证明空间几何不仅涉及到形状和图形的研究，还包括测量和证明的方法。
3.1 距离和长度的测量空间中的点、线和面之间的距离和长度可以通过测量的方法进行求解。
关于中点的知识点总结一、中点的定义1. 平面中点的定义在平面几何中，中点是指一条线段的中心点，也是该线段的中央连接点。
如果一条线段的两个端点为A和B，则这条线段的中点通常用M来表示。
中点M可以通过以下方法确定：将线段AB的两个端点连成直线，再将这条直线平分，即可确定中点M。
2. 空间中点的定义在立体几何中，中点是指一个三维空间中的点，它可以被定义为两个端点之间的平均点。
如果一个空间的两个点为A和B，则这两个点之间的中点可以用M来表示。
中点M的坐标可以根据A和B的坐标计算得出。
二、中点的性质1. 对于线段来说，中点到两个端点的距离相等。
证明：假设中点为M，线段的两个端点为A和B。
根据中点的定义，AM=BM。
因此，中点到两个端点的距离相等。
2. 对于三角形来说，连接两个边的中点可得到一个平行于第三边的线段。
证明：假设三角形的三个顶点为A、B和C，连接AB的中点为M，连接AC的中点为N。
根据中点的性质，AM=MB，AN=NC。
根据定理可知，MN平行于BC。
3. 中点可以被用来构造等腰三角形和等边三角形。
证明：假设三角形的两个边长分别为AB和AC，其中M是AB的中点，N是AC的中点。
通过连接AM和AN，我们可以得到一个等腰三角形；通过连接MN，我们可以得到一个等边三角形。
4. 空间中点的性质对于空间中的三维点来说，连接两个点的中点M可以被用来确定这两个点的中点。
如果两个点的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则中点M的坐标可以通过计算(x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2得出。
这个公式同样适用于四维或更高维空间中的中点。
三、中点的相关定理1. 线段中点定理线段中点定理指出：如果一条线段的两个端点为A和B，连接AB的中点为M，则AM=1/2AB，BM=1/2AB。
这个定理说明了一个性质：线段的中点将线段分成相等的两部分。
2. 中点连线定理中点连线定理指出：连接一个三角形的两边的中点可以得到一个平行于第三边的线段。
微分几何前五章知识点总结微分几何是数学的一个分支，它研究了曲线、曲面等几何对象上的微分和积分运算。
微分几何在数学中有着非常广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
在微分几何的学习过程中，我们首先需要了解一些基本的知识点，然后逐步深入学习更加复杂的内容。
在微分几何的前五章中，我们学习了一些基本的概念和定理，下面就让我们来对这些知识点进行总结。
第一章：Euclidean Space R^n在微分几何中，我们首先要了解的是欧几里德空间R^n，它是n维空间中所有点的集合。
在R^n空间中，我们可以定义点之间的距离，以及点和点之间的向量。
我们还可以定义点的坐标，并且可以进行向量的加法和数乘操作。
欧几里德空间R^n在微分几何中有着非常重要的作用，我们可以在其上定义一些基本的几何对象，比如球面、圆柱面等，然后进行微分几何的相关研究。
第二章：Curve在微分几何中，曲线是一种最基本的几何对象。
曲线是一种一维的几何对象，在欧几里德空间R^n中可以通过参数方程或者参数化函数来描述。
在这一章中，我们学习了曲线的弧长、切向量、曲率以及曲线的导数等概念。
这些概念对于我们研究曲线的性质和特征非常重要，比如曲线的弧长可以帮助我们计算曲线的长度，切向量和曲率可以帮助我们研究曲线的走向和弯曲程度。
第三章：Surfaces在微分几何中，曲面是一种二维的几何对象。
曲面可以被参数化为一个映射函数，这个映射函数把一个二维的参数空间映射到欧几里德空间R^n中。
在这一章中，我们学习了曲面的第一和第二基本形式，以及曲面上的曲线、曲率等概念。
这些概念对于研究曲面的局部性质非常重要，比如曲面的第一和第二基本形式可以帮助我们计算曲面上的切向量、法向量和曲率等，这些信息对于我们研究曲面的局部形状非常有帮助。
第四章：Gaussian Curvature高斯曲率是一个非常重要的曲面特征，它描述了曲面在一个点处的弯曲程度。
在这一章中，我们学习了高斯曲率的定义、计算方法以及它和曲面的几何意义。
欧几里德空间知识点总结一、点、直线与平面1. 点：在欧几里德空间中，点是最基本的几何图形，它没有尺寸和方向，只有位置。
点在空间中没有体积，可以用坐标来表示其位置。
例如，三维空间中的点可以用三维坐标(x, y, z)来表示。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，它是无限延伸的一维图形。
在欧几里德空间中，直线可以用方程或参数方程来表示，例如直线的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为常数，D为常数。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，它是无限延伸的二维图形。
在欧几里德空间中，平面可以用一般方程或参数方程来表示，例如平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为常数，D为常数。
二、向量和矢量4. 向量：向量是具有大小和方向的量，它可以用箭头来表示。
在欧几里德空间中，向量可以表示为由坐标表示的一个有向线段。
向量的大小可以用模表示，方向可以用夹角表示。
5. 矢量：矢量是向量的一种特殊形式，它是在空间中有大小和方向的物理量。
在欧几里德空间中，矢量可以表示为一个有向线段，其大小和方向由其坐标表示。
6. 点积和叉积：在欧几里德空间中，点积和叉积是两种重要的运算。
点积表示了两个向量之间的夹角关系，叉积表示了两个向量之间的垂直关系。
三、几何图形和多边形7. 几何图形：在欧几里德空间中，几何图形是指各种由点、直线、平面等基本图形组成的图形。
几何图形可以是二维的，也可以是三维的，例如圆、球、多边形等。
8. 多边形：多边形是由若干条有限的线段组成的闭合图形。
在欧几里德空间中，多边形可以是平面的，也可以是空间的。
多边形有许多重要的性质和定理，例如多边形的内角和为180度，外角和为360度等。
四、投影和对称9. 投影：在欧几里德空间中，投影是指将三维空间中的一个图形或物体投影到一个平面上的过程。
投影有平行投影和透视投影之分，它们在几何绘图和工程设计中有重要的应用。
10. 对称：在欧几里德空间中，对称是指一个图形围绕一个中心旋转或翻转后与原图形相同的过程。
第二章 多维空间中的点集第一节 n 维空间及点集一、n 维空间1、 n 维空间nR ——},,,|),,,{(2121R R ∈=n n n x x x x x x .并称),,,(21n x x x x =为nR 中的点，)0,,0,0( =o 称为原点.2、x 与y 的距离),(y x ρ——设),,,(21n x x x x =,n n y y y y R ∈=),,,(21 ,定义 ∑=-=ni i i y x y x 12)(),(ρ.3、距离的性质设),,,(21n x x x x =,),,,(21n y y y y =,n n z z z z R ∈=),,,(21 ,那么 (1) 0),(≥y x ρ, 且等号成立当且仅当y x =；(2) ),(),(x y y x ρρ=；(3) ),(),(),(y z z x y x ρρρ+≤.4、点0x 的δ的邻域——}),( | {),(00δρδ<=x x x x N .简记为)(0x N . 而}),(0 | {),(00δρδ<<=x x x x N称为点0x 的去心邻域.5、点集(1) 点集——由nR 中的点组成的集合.(2) 有界点集K ∈E ——0>∃K ..t s E x ∈∀,有K x i ≤||,)(n N i ∈.而所有有界点集组成的集族用K 表示.、点x 的模——∑===ni ixo x x 12),( ρ.二、n 维空间中的点设集合nE R ⊂,n a R ∈ 1、内点(1) a 为E 的内点——E a N ⊂∃)(. (2)E 的内点集——}|{的内点为E x x E = .2、边界点(1) a 为E 的边界点——)(a N ∀, φ≠E a N )(且φ≠c E a N )(.(2) E 的边界——}|{的边界点为E x x E =∂.3、聚点(1) a 为E 的聚点——)(a N ∀, E a N )(是无穷集. (2) E 的导集——}|{的聚点为E x x E ='. (3) E 的闭包——E E E '= . (4) 离散集合E ——φ='E .4、孤立点(1) a 为E 的孤立点——E a ∂∈,但E a '∉.(2) E 的孤立点集——}|{ˆ的孤立点为E x x E =.孤立集合E ——EE ˆ=. 显然, φ='E ⇒EE ˆ=, 反之不然.4、定理(1) E a '∈ ⇔ ∃互异点列E a k ⊂}{..t s 0),(→a a k ρ,∞→k .也写成a a k →,∞→k . (a 称为极限点)证明：“⇐”0>∀δ,由于0),(→a a k ρ,∞→k ,+∈∃N m ..t s m k >时 δρ<),(a a k ,即),(δa N a k ∈,m k >,因E a k ⊂}{且是互异点列,可见E a N ),(δ是无穷集, ∴E a '∈.“⇒”因E a N )1,(是无穷集,则E a ∈∃1..t s 1),(1<a a ρ.}1{-∈∀+N k ,因E ka N )1,(是无穷集, 可见φ≠--},,,{)1,(121k a a a E ka N从而E a k ∈∃..t s 01),(→<ka a k ρ,∞→k .显然E a k ⊂}{且是互异点列.(2) E a '∈⇔)(a N∀,φ≠E a N)(.证明：“⇒”因E a '∈,则)(a N ∀,E a N )(是无穷集, 从而}{)(a E a N - 也是无穷集, 于是φ≠E a N)(.“⇐”反证.假设E a '∉,则),(δa N ∃..t s E a N ),(δ是有限集,不妨设},,,{}{),(21m a a a a E a N =-δ,取0),(min 1>='≤≤a a k m k ρδ,显然φδ='E a N),(这与条件)(a N ∀,φ≠E a N)(不符. ∴E a '∈.(3) E a '∈⇔a N ∍∀邻域,φ≠)(a E N . 其中}{)(a E a E -=. 证明：“⇐”显然. “⇒” a N ∍∀邻域,N a N ⊂∃)(,E a '∈,有φ≠E a N )(,当然φ≠)()(a E a N,于是φ≠)(a E N.(4) B A ⊂ ⇒B A '⊂'.证明：A a '∈∀,由于)(a N ∀,A a N )(是无穷集,而B A ⊂,可见A a N B a N )()(⊃也是无穷集, 于是B a '∈∴B A '⊂'.(5) B A B A ''=' )(.证明：显然)(,'⊂''B A B A ⇒)('⊂''B A B A .反过来,)('∈∀B A c ,∃互异点列B A c k ⊂}{..t s 0),(→c c k ρ,∞→k .不妨设A c '∉∀,有A c k }{是有限集,B c k }{是无穷集, 即∃互异点列B c i k ⊂}{..t s 0),(→c c i k ρ,∞→i .这样,B A B c ''⊂'∈ ,说明B A B A ''⊂' )(. ∴B A B A ''=' )(.(6) Bolzano-Weierstrass 定理：无穷n E R ⊂∈K⇒ φ≠'E .证明：因n E R ⊂∈K ,则0>∃M ..t s )}(,|| |{0n N i M x x I E i ∈≤=⊂. 由于E 无穷,显然E I 0无穷,于是E I a 01∈∃;将1-k I 等分成n2个部分,其中存在一个部分E I k 无穷,且1)()}(,2|| |{-⊂∈≤-=∈∃k k k i i k k I n N i Mt x x I a 互异,+∈N k . 由闭矩形套定理知, n k kIa R ⊂∈∃∞= 0.显然022),(),(),(22→≤+=kk k k k nM a t t a a a ρρρ,∞→k ,即E a '∈, ∴φ≠'E .(7) EE ˆ=⇔E a ∈∀,0>∃δ..t s φδ=E a N),(. 证明：“⇒”EE a ˆ=∈∀,有E a '∉,那么0>∃δ..t s φδ=E a N),(.⇐”已知E a ∈∀,0>∃δ..t s φδ=E a N),(,有E a '∉,又显然φδ≠=}{),(a E a N ,φδδ≠=),(),(a N E a N c,从而EE ˆ⊂. 反过来,若E a ˆ∈∀,有,E a '∉,于是 0>∃δ..t s φδ=E a N),(, 而E a ∂∈,知φδ≠E a N ),(,可见φ≠E a }{,有E a ∈,从而E E⊂ˆ,∴E E ˆ=.(8) EE ˆ=⇔φ='E E . 证明：EE ˆ=⇔E a ∈∀,0>∃δ..t s φδ=E a N),( ⇔E a ∈∀,E a '∉⇔c E E )('⊂⇔φ='E E .第二节 开集、闭集与完备集一、开集与闭集1、开集O ∈E ——E E ⊂. 而所有开集组成的集族用O 表示.2、闭集C ∈E ——E E ⊂'. 而所有闭集组成的集族用C 表示. 显然,C ∈E ⇔E E =.3、性质(1) C ∈'E , C ∈E .证明：①)(''∈∀E a ,),(δa N∀,φδ≠'∈∃E a N b),(⇒E b '∈⇒取0)},(),,(min{>-=b a b a b ρδρδ,φδ≠E b N b),(,注意到),(b b N x δ∈∀,有δρδρρρ<+<+≤<),(),(),(),(0a b a b b x a x b ,可见),(δa N x∈,即),(),(δδa N b N b⊂.⇒φδ≠E a N),(⇒E a '∈⇒E E '⊂'')(⇒C ∈'E . ② E E E E E E E E E E E ='⊂'=''⊂'''=''=' )()()(C ∈E .(2) C ∈F ⇒ O ∈c F ； O ∈G ⇒ C ∈c G . 证明：① c F x ∈∀⇒F x ∉,由于F F ⊂'⇒F x '∉⇒)(x N ∃,φ=F x N )(⇒c F x N ⊂)(,而c F x ∈⇒c F x N ⊂)(⇒ )(c F x ∈⇒ )(c c F F ⊂⇒O ∈c F .② )('∈∀cG x ⇒)(x N ∀,φ≠cG x N)(⇒)(x N∀,G x N ⊂/)(⇒G x ∉,而 G G ⊂⇒G x ∉ ⇒c G x ∈⇒c c G G ⊂')(⇒C ∈c G .(3) C ∈i F ,I i ∈ ⇒ C∈∈ Ii i F .证明：iIi iF F F ⊂=∈ ⇒iF F '⊂',又已知iiF F ⊂' ⇒F F F F Ii iIi i=⊂'='∈∈ ⇒C ∈=∈F F Ii i.(4) O ∈i G ,I i ∈ ⇒O ∈∈ Ii i G .证明：已知O ∈iG ,则 O ∈=∈∈c Ii c iIi i G G )( .(5) C ∈i F ,)(m N i ∈ ⇒ C∈= mi i F 1.证明：已知C ∈i F ,则 mi imi imi iFF F 111)(===⊂'='⇒C ∈= mi i F 1.(6) O ∈i G ,)(m N i ∈ ⇒ O ∈= mi i G 1.证明：已知O ∈i G ,则O ∈===c mi c i m i iG G)(11.(7) Borel 有限覆盖定理：C K ∈F ,M 是一族开邻域, M 完全覆盖了F ,则在M 中必存在有限多个邻域}{i N ,)(m N i ∈也完全覆盖了F . 证明：反证.假设M 不存在有限多个邻域覆盖F .因n F R ⊂∈K ,则0>∃M ..t s )}(,|| |{0n N i M x x I E i ∈≤=⊂.显然F I 0不存在M 的有限覆盖; 将1-k I 等分成n2个部分,其中存在一个部分F I k 不存在M 的有限覆盖当然无穷,那么1)()}(,2|| |{-⊂∈≤-=∈∃k k k i i k k I n N i Mt x x I a 互异,+∈N k . 由闭矩形套定理知, n k kIa R ⊂∈∃∞= 0, 同样有F F a a k ⊂'∈→.这样M ∈∃a N 开邻域..t s a N a ∈,因 ∞=∈k kIa ,r I ∃..t s a r N I a ⊂∈当然有a r N F I ⊂ ,这与F I r 不存在M 的有限覆盖矛盾, 可见在M 中必存在有限多个邻域}{i N ,)(m N i ∈完全覆盖F .二、完备集1、自密集E ——E E '⊂.2、完备集E ——E E '=.3、无处稠密集E ——E 不包含任何邻域.4、Cantor 集合C(1) Cantor 集合C ——设]1,0[0=A ,将1-k A 中剩下的闭区间都均分成三段并将所有中间段的开区间之并记为k B ,令k k k B A A -=-1,+∈N k , 集合 ∞=-=1]1,0[k kBC 称为Cantor 集合.(2) C ∈C ,即C 是闭集. 证明：O ∈k B O ∈⇒∞= 1k kBC ∈⇒∞= 1)(k c k B⇒C ∈=-=∞=∞= 11)(]1,0[]1,0[k c k k k B B C .(3) C C '⊂,即C 是自密集.证明：C x ∈∀,x N ∍∀邻域,在剩下的m2个闭区间x Bmk k∍-= 1]1,0[中,当m 充分大时,必有其中的一个闭区间m I ,满足N I x m ⊂∈，注意到m I 的两个端点必在C 中,这样φ≠)(x C N,于是C x '∈, C C '⊂.(4) C 是完备集. 证明：由(2)(3)显然.(5) C 是无处稠密集. 证明：显然.三、Borel 集1、G δ集——nR 中可数个开集的交. 用}|{集δδG G G =表示δG 集类.2、F σ集——n R 中可数个闭集的并. 用}|{集σσF F F =表示σF 集类.3、n 维Borel 集类——F(A)B =n ，其中：}|{中开区间为n I I R =A ,)}(,|),,,{(21n N i b x a x x x I i i i n ∈<<= .4、性质(1) 开集、闭集、δG 集、σF 集等都是Borel 集；(2) Borel 集类n B 对集合的所有运算均封闭.四、点集间的距离1、A 与B 之间的距离),(B A ρ—— 设A 与B 均非空, 定义 },|),(inf{),(B y A x y x B A ∈∈=ρρ.2、点a 到集B 的距离),(B a ρ—— 设B 非空, 定义}|),(inf{)},({),(B y y a B a B a ∈==ρρρ.3、性质(1) 0),(≥B A ρ；(2) φ≠AB ⇒0),(=B A ρ, 反之不然.4、定理(1) 非空C ∈B A ,,K ∈B ⇒B b A a ∈∈∃,..t s ),(),(B A b a ρρ=. 证明：①因},|),(inf{),(B y A x y x B A ∈∈=ρρ, +∈∀N m ,B y A x m m ∈∈∃,..t smB A y x B A m m 1),(),(),(+<≤ρρρ. ②若}|{+∈=N m y Y m 是有限集,则∃子序列B Y b y k m ⊂∈=，显然b y k m →； 若K ∈⊂∈=+B m y Y m }|{N 是无穷集,则B B Y b ⊂'⊂'∈∃,且∃子序列Y y k m ∈..t s b y k m →.③若}|{+∈=N k x X k m 是有限集,则∃子序列A X a x ik m ⊂∈=，显然a x ik m →；若A k x X k m ⊂∈=+}|{N 是无穷集, 注意到K ∈B , 由于)0,(),()0,(k k k k m m m m y y x x ρρρ+<M B A ++≤1),(ρ, 有K ∈X ,A A X a ⊂'⊂'∈∃,且∃子序列X x ik m ∈..t s a x ik m →.④因),(),(),(),(),(b y y x x a b a B A ik ik ik ik m m m m ρρρρρ++≤≤0),(001),(),(),(+++→+++≤B A m B A b y x a iik ik k m m ρρρρ, ∴),(),(B A b a ρρ=,B b A a ∈∈,.(2) ∀非空nE R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .(3) 非空⊕C K ∈21,F F ⇒ ∃⊕O ∈21,G G ..t s 11G F ⊂,22G F ⊂. 证明：由条件知,21,F b F a ∈∈∃,b a ≠..t s 0),(),(21>==b a F F d ρρ.令 O ∈<=}2),(|{dF x xG k k ρ,k k G F ⊂, .2,1=k 下面证明φ=21G G .反证.假设φ≠∈∃21G G c ,有),(22),(),(),(b a d dd b c c a b a ρρρρ==+<+≤矛盾,因此有φ=21G G .五、一维开集、闭集、完备集的构造 以下讨论的点集均为R 中的点集.1、非空C K ∈F ⇒ F 中必有一最大点和一最小点.证明：仅证F 中必有一最大点.由条件知,F a M ∈∃,F b ∉∃,b a < ..t s}|inf{),(F x x b F b a b M ∈-==-ρ,这样, F x ∈∀,有M a b x b -≥-或M a x ≤,可见M a 为F 中的最大点.2、非空O K ∈G ⇒ ∃⊕开区间i I ,.,,2,1m i =..t s mi iIG 1==.其中, +∈N m 或 ∞=m .证明：①O K ∈∈∀G x ,),(x x βα∃ ..t s G x x x ⊂∈),(βα, 记}inf{x x a α=, }sup{x x b β=, G x xxx xx J ⊂∈=),(),(βαβα, 显然G b a x x ∉,,下面证明x x x J b a =),(.显然),(x x x b a J ⊂,反过来，),(x x b a t ∈∀,不妨设 x x b x t a <≤<， 则x x βα,∃ ..t s x x x x b x t a <<≤<<βα,于是 x x x J t ⊂∈),(βα，这样x x x J b a =),(. 显然 G J b a x x x x ⊂=∈),(. ②G y x ∈∀,,必有y x J J =或φ=y x J J .若φ≠∈∃y x J J t ,显然y x t J J I =为区间, 有G I J J y x t y x ⊂=∈ ,,这样x t J I ⊂,y t J I ⊂,于是y t x J I J ==.③集合}|{G x J x ∈=M 至多可数}{k I 且⊕.这样 m k k IG 1=⊂,由②可将M 中相同的区间去掉组成集合M M =Λ∈='}|{λλJ , 而Λ∈∀λ,Q ∈∃λq ..t s λλJ q ∈, 显然λλq ↔于是a ≤Λ,即M M '=至多可数}{k I 且⊕.④ 显然k I G ⊃,有 m k k I G 1=⊃,所以 m i i I G 1==. 其中, +∈N m 或 ∞=m .3、非空C K ∈F ⇒∃⊕开区间i I ,.,,2,1m i = (邻接区间)及 ],[μν ..t s ∑=-=mi i I F 1],[μν. 其中, +∈N m 或 ∞=m . 证明：由条件知,F ∈∃μν,..t s ],[μν⊂F ,有O K ∈=-=-=c F F F G ),(),(],[μνμνμν,于是∃⊕开区间i I ,.,,2,1m i =..t s m i i I G 1==,故 ∑=-=m i i IF 1],[μν, 其中, +∈N m 或 ∞=m .4、设非空C K ∈F ,那么F 是完备集 ⇔ ∑=-=mi i I F 1],[μν. 其中, +∈N m 或 ∞=m .P38.12. 设)(P f 是定义于n R 上的实函数.证明)(P f 在n R 上连续的充分必要条件是对于1R 中任何开集G ,})(;{)(1G P f P G f∈=∆-都是n R 中的开集. 证明：“必要性” )(1G fQ -∈∀⇒G Q f a ∈=)(, 由于G 是1R 中的开集⇒0>∃ε..t s G a a ⊂+-),(εε, 因)(P f 在n R 上连续,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δρ<),(Q P 时, ε<-|)()(|Q f P f ,即G a a P f ⊂+-∈),()(εε,有)(1G f P -∈,从而)(}),(;{),(1G f Q P P Q U -⊂<=δρδ,所以)(1G f -是n R 中的开集.“充分性”n Q R ∈∀,令)(Q f a =,0>∀ε,由于),(εa U G =是1R 中的开集,知)(1G f -是n R 中的开集,由于G Q ∈,则0>∃δ..t s )(),(1G f Q U -⊂δ,从而当δρ<),(Q P 时,)(1G f P -∈,G P f ∈)(,那么ε<-|)()(|Q f P f ,所以在)(P f 在n R 上连续.。
