空间向量
2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；
理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
第1课时空间向量及其运算
量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．
本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；
(1) 向量：具有和的量．
(2) 向量相等：方向且长度．
(3) 向量加法法则：．
(4) 向量减法法则：．
(5) 数乘向量法则：．
2．线性运算律
(1) 加法交换律：a＋b＝．
(2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝．
(3) 数乘分配律：λ(a＋b)＝．
3．共线向量
(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或．
(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b等价于存在实数λ，
使．
(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量
(1) 共面向量：平行于 的向量．
(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ．
共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底： 的三个向量．
(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．
空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．
6．空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角： ．
(2) 空间向量的长度或模： ．
(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝ ．空间向量的数量积的常用结论：(a) cos 〈a 、b 〉＝ ； (b) ?a ?2＝ ；
(c) a ⊥b ? ．
(4) 空间向量的数量积的运算律：(a ) 交换律a ·b ＝ ； (b ) 分配律a ·(b ＋c )＝ ．
例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y x ++=，求x －y 的值.
解：易求得0
,2
1
=-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，
=A A 1c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是
( )
A ．-2
1a ＋2
1b ＋c
B ．2
1a ＋2
1b ＋c
C ．2
1a -2
1b ＋c
D ．-2
1a -2
1b ＋c
解：A
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.
证明：记,,,1AA ===则
A
B
C
D A
B
CC DC AB +=+=-
=-=+=2
1
,21,111∴11AB DC =+=+,∴1
1,,
DC AB 共面.
∵B 1?平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.
变式训练2：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ．
(1) 求证：MN ∥平面FC ； (2) 求证：MN ⊥AB ；
(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？
解：(1) 设
.)1(,k k k AC
MC
EB NB +-===则(2) .0)1(=?-?-=?AB BF k AB BC k AB MN (3) 设正方体的边长为a ,
,2
1,)122(22=
+-=k a k k 即当也即时AC AM
21
=
a 22=例3. 已知四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心．
求证：(1) AD ⊥BC ； (2) GH ∥BD ．
证明：(1) AD ⊥BC ?0=?BC AD ．因为AB ⊥CD 0=??，0=??⊥BD AC BD AC ，而0)()(=+?+=?．
所以AD ⊥BC ．
(2) 设E 、F 各为BC 和CD 的中点．欲证GH ∥BD ，只需证GH ∥EF ，+=＝3
2(+)＝
3
2
． 变式训练3：已知平行六面体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 分别为棱AB C C C D D A 和11111,,的中点．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．解：+=＝1
GC +＝1FC ++＝FC A ++11＝+2，
所以EH EG EF ,,共面，即点E 、F 、G 、H 共面．
例4. 如图，平行六面体AC 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝GB 2
1，过E 、F 、G 的平面与
对角线AC 1交于点P ，求AP:PC 1的值．
1++F A
∴m m m 23
43++=又∵E 、F 、G 、P 四点共面，∴123
43=++m m m ∴19
3
=
m ∴AP ︰PC 1＝3︰16变式训练4：已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证QN PM ⊥．
证明：法一：)
(2
1+=)(2
1
OC OA ON +=
)(2
1
OC AB OM PO PM +=+=∴)(2
1
AB OC ON QO QN -=+=
0)4
1
==
?∴QN PM 故QN
PM ⊥法二：PM ·＝(＋)·(＋)
＝)(21
+·)(2
1BA OC +＝)(4
12
2-＝0
1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a ⊥b ?a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．
3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求
的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式c osθ．
4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点，为与共线的向量，则｜.
5．设平面α的一个法向量为，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d o .
第2课时 空间向量的坐标运算
)，b ＝)
,,(321b b b (1) a ±b ＝ (2) λa ＝ ． (3) a ·b ＝ ．
(4) a ∥b ? ；a ⊥b ? ． (5) 设),,(),,,(222111z y x B z y x A ==
则＝ ，=AB ． AB 的中点M 的坐标为 ． 例1. 若a ＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5)
（1）若(k +)∥(－3)，求实数k 的值； （2）若(k a +b )⊥(a －3b )，求实数k 的值； （3）若k k 的值． 解：(1)3
1
-=k ； (2)3106=
k ； (3)27
8
-=k 变式训练1. 已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ，求
AC ．
解：设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--，
∵,OC OA BC ⊥∥OA ，∴0OC OA ?=，()BC OA R λλ=∈，
∴()()30,
1,1,23,0,1x z x y z λ+=???+--=??，即30,13,10,
2.
x z x y z λλ+=??+=??-=??-=? 解此方程组，得7211
,1,,101010
x y z λ=-==
=。
∴721,1,1010OC ??=-
???，3711,1,1010AC OC OA ??=-=- ???
。
例2. 如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ?中，CA ＝CB ＝1， 90=∠BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别A 1B 1、A 1A 是的中点． (1) 求BM 的长； (2) 求??11,cos CB BA 的值； (3) 求证：
C B A 11⊥．
解：以C 为原点建立空间直角坐标系xyz O -.
(1) 依题意得B （0，1，0），M （1，0，1）．3)01()10()01(222=-+-+-=. (2) 依题意得A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）.
5
63),2,1,0(),2,1,1(1111===?=-=∴CB BA CB BA
10
30,cos 11=
>=
<∴CB BA . (3) 证明：依题意得C 1（0，0，2），N )0,2
1,21(),2,1,1(),2,2
1,21(11=--=∴C A .
C A C A 1111,002
1
21⊥∴=++-=?∴
变式训练2. 在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．
(1) 在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离； (2) 求(1) 中的点N 到平面PAC 的距离．
解：(1) 建立空间直角坐标系A －BDP ，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(
3
, 0, 0)、C(
3
, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0,
2
1, 1)，依题设N(x , 0, z )，则＝(－
x
y
A B
C
P
E
D
·
x ,
2
1, 1－z )，由于NE ⊥平面PAC ，
∴?????
=?=?0
0 即?????=+-=-????????
=?--=?--021
3010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(x z z x z x ??
???==?163z x ，即点N 的坐标为(
6
3, 0, 1)，
从而N 到AB 、AP 的距离分别为1，6
3.
(2) 设N 到平面PAC 的距离为d ，则d |
|NE
＝
1233121|
)0,2
1
,63(||
)0,21,63()1,0,63(
|=?=--?.
例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCD P -中，,,60a AC PA ABC ===∠ a PD PB 2==，点E 在PD 上，且PE :ED ＝2:1． (1) 证明 ⊥PA 平面ABCD ；
(2) 求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；
(3) 在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC
解：（1）证明略； （2）易解得 30=θ； （3）解 以A 为坐标原点，直线AP AD ,分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为
)0,2
1,23(),0,21,23(
),0,0,0(a a C a a B A - )3
1
,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D
所以=AE )31,32,0(a a ，=AC )0,2
1
,23(
a a ， =AP ),,0,0(a =PC ),2
1
,23(a a a - =BP ),21,23(a a a -
，设点F 是棱PC 上的点，==λ),2
1
,23(a a a λλλ-，其中10<<λ，则))1(),1(21),1(23(λλλ-+-=+=a a a PF BP BF ．令AE AC BF 21λλ+=得????
??
???=-+=+=-2
21131)1(3221)1(2
1
23
)1(23λλλλλλλa a a a a a a
C
解得23,21,2121=
-==λλλ，即21=λ时，AE AC BF 2
321+-=．亦即，F 是PC 的中点时，AE AC BF ,,共面，又?BF 平面AEC ，所以当F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．
例4. 如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB ＝4，BC ＝1，BE ＝3，CF ＝4.
(1) 求和点G 的坐标； (2) 求GE 与平面ABCD 所成的角；
(3) 求点C 到截面AEFG 的距离．
解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)， E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴)1,0,1(-= 又∵=，设G(0，0，z)，则(－1，0，z) ＝(－1，0，1) ∴z ＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD 的法向量).1,0,0(=
)2,4,1(=，设GE 与平面ABCD 成角为θ，则
21
21
2|
|||)2
cos(
=
?=
-GE DG θπ
∴21
21
2arcsin
=θ (3)设0n ⊥面AEFG ，0n ＝(x 0，y 0，z 0)
∵0n ⊥，0n ⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)
∴),43,(43
034000000
00
00000z z z n z y z x z y z x -=∴??
?
??-==????=+=+- 取z 0＝4，则0n ＝(4，－3，4) ∵41
41
16|
|),4,0,0(00=
∴=n d 即点C 到截面AEFG 的距离为
41
41
16． 变式训练4. 如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，GD AG 3
1
=，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点． (1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； (2)求点D 到平面PBG 的距离；
(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求FC
PF
的值． 解：(1)以G 点为原点，GC 、、
为x 轴、y 轴、
y
P A
G
B
C
D
F
E
z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，2，0)，
P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE ＝(1，1，0)， PC ＝(0，2，4)。1010
20
22|
|||cos =?? 10 ． (2)平面PBG 的单位法向量n ＝(0，±1，0) . ∵)02 3 23(4343，，-===BC AD GD ， ∴点D 到平面PBG 的距离为?GD |n |＝2 3 . (3)设F (0，y ，z )，则)2 3 23()02323()0(z y z y ，，，，，，-=--=。 ∵GC DF ⊥，∴0=?GC DF ， 即032)020()23 2 3(=-=?- y z y ，，，，， ∴23=y , 又PC PF λ=，即(0，2 3 ，z －4)＝λ(0，2，－4)， ∴z =1， 故F (0， 3 ，1) ，)1210()3230(-=-=，，，，，PF ，∴ 3PF PC ==。 对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题． 运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程． 空间向量章节测试题 1．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 2．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 A.60o B. 90o C.105o D. 75o 3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是 （ ） A ．15 B 。1 3 C 。12 D 4． 设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是 （ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 5．棱长都为2的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为 （ ） A ． 2 2 B ． 2 1 C ．43 D ． 8 3 6． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于 （ ） A ． 510 B ．3 2 C ．55 D ．515 7． 棱长为a 的正四面体中，高为H ，斜高为h ，相对棱间的距离为d ，则a 、H 、h 、d 的大小关系正确的是 （ ） A ．a >H>h >d B ．a >d >h >H C ．a >h >d >H D ．a >h >H>d 8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ， E 是CD 中点，则AED ∠的大小为 （ ） A.45 B.30 C.60 D.90 9．三棱锥A —BCD 的高AH = 3a 3，H 是底面△BCD 的重心．若AB=AC ，二面角A —BC —D 为60°，G 是△ABC 的重心，则HG 的长为 （ ） A ．a 5 B ．a 6 C ．a 7 D ．a 10 10．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 （ ） A ． 1 2 B C D 11．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面 A B C D P B 1DC 所成角的正弦值为 。 12。如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 . 13．正四棱锥P -ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 中点，则直线AC 与截面BDE 所成的角为 ． 14 ．已知边长为ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥面ABC ，且PA=2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为 ． 15．如右下图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB = 4， AD =3， AA 1= 2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB = FB =1． （1）求二面角C -DE -C 1的正切值； （2）求直线EC 1与FD 1所成的余弦值． 16．如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； (III)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值． 17．如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB =1，BC =a （a >0），PA ⊥平面AC ，且PA =1． （1）试建立适当的坐标系，并写出点P 、B 、D 的坐标； （2）问当实数a 在什么范围时，BC 边上能存在点Q ， 使得PQ ⊥QD ？ （3）当BC 边上有且仅有一个点Q 使得PQ ⊥QD 时， 求二面角Q -PD -A 的大小． A B M D C A E D C B A 1 F D 1 C 1 B 1 Q P D C B A 空间向量章节测试题答案 1．B 。 2． B 。 3． A 。 4． C 。提示：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，并 设正方体的棱长为1，则A 1(1，0，0)，E (1， 1 2 ，0)，C (0，1，0)．设平面A 1ECF 的法向量为n =(x ，y ，z )，则由1A E n =0及EC n =0，可得x =z =12y ，于是可取n =(1，1 2 ，1)． 11(0,1,1)AB DC ==，11(1,1,0)D B DB ==，而且可计算得到这四个向量与向量n 所成的角为 30°，于是这四个向量与平面A 1ECF 所成的角为60°．而其它的面对角线所在的向量均不满 足条件． 5 D 。 6． C 。 7． C 。 8．A 。 9． D 。 10． D 11． 45。 12． 23 。 13．设AC 与BD 相交于点O ，则OE 与OC 所成的角即∠EOC 为所求．易得大小为45°． 14． 3 3 2 15．（1）如图，以A 为原点，1,,AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系A -xyz ，则有D (0，3，0)、D 1(0，3，2)、E (3，0，0)、F (4，1，0)、C 1(4，3，2)． 于是，1(3,3,0),(1,3,2)DE EC =-=， 1(4,2,2)FD =-． 设向量(,,)x y z =n 与平面C 1DE 垂直，则有 1330 13202DE x y x y z x y z EC ?⊥-=????==-??++=⊥? ??n n ． ∴(,,)(1,1,2),222 z z z z =--=--n 其中z ＞0． 取n 0=(-1，-1，2)，则n 0是一个与平面C 1DE 垂直的向量． ∵向量1AA =（0，0，2）与平面CDE 垂直， ∴n 0与1AA 所成的角θ为二面角C -DE -C 1的平面角． ∵0101cos |||| 1AA AA θ= = =?n n ， A B C D P x y z ∴tan 2 θ= ． （2）设EC 1与FD 1所成角为β，则 1111cos 14||||1EC FD EC FD β=== ?． 16． (1) ∵PC ⊥平面ABC,?AB 平面ABC ， ∴PC ⊥AB.∵CD ⊥平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ，∴AB ⊥平面PCB ． ∴二面角C-PA-B 的大小的余弦值为 3 3 ． (2) 由(I) AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2， 又∵AB=BC ，可求得BC= 2 ．以B 为原点， 如图建立坐标系．则Ａ（０,2,０），Ｂ（0,0,0）， C （2,０,0），P （2,０,2）． AP =(2,－2,2)，BC =(2,0,0)． 则AP BC ?=2×2+0+0=2． cos AP,BC <>=AP BC AP BC ??=2 222?= 21． ∴异面直线AP 与BC 所成的角为3 π ． （3）设平面PAB 的法向量为 m = (x ，y ，z )．AB =(0, －2,0),AP =(2,－2,2)， 则AB 0, AP 0.??=???=??m m 即0,20.z ?=?+=解得0,y x =???=??令z= -1,得 m = (2，0，-1)． 设平面PAC 的法向量为 n =(x ', y ', z ').PC ＝(0,0,－2), AC =(2,－2,0)， 则PC 0,AC 0. ??=???=??n n 即' '' 20,0.z ?-=?=解得'''0,z x y ?=? ?=?? 令x '=1, 得 n = (1，1，0)． cos ,?<>= m n m n m n =332 32=?. ∴二面角C-PA-B 的大小的余弦值为33． 17．（1）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分 别为x 、y 、z 轴建立坐标系如图所示． ∵PA =AB =1，BC =a ， ∴P （0，0，1），B （1，1，0）， D （0，a ，0）． （2）设点Q （1，x ，0），则 (1,,0),(1,,1)DQ x a QP x =-=--． 由0DQ QP ?=，得 x 2-ax +1=0． 显然当该方程有实数解时，BC 因a >0，故a 的取值范围为a ≥0． （3）易见，当a =2时，BC 上仅有一点满足题意，此时x =1，即Q 为BC 的中点． 取AD 的中点M ，过M 作MN ⊥PD ，垂足为N ，连结QM 、QN ．则M （0，1，0），P （0， 第10题答图 0，1），D （0，2，0）． ∵D 、N 、P 三点共线， ∴(0,1,0)(0,1,1)(0,1,) 111MD MP MN +λ+λ--λλ=== +λ+λ+λ ． 又(0,2,1)PD =-，且0MN PD ?=， 故(0,1,)232(0,2,1)0113 -λλ-λ?-==?λ=+λ+λ． 于是22(0,1,) 1233(0,,)25513 MN -= =+． 故12 (1,,)55 NQ NM MQ MN AB =+=-+=--． ∵12 02()(1)()055 PD NQ ?=+?-+-?-=， ∴PD NQ ⊥． ∴∠MNQ 为所求二面角的平面角． ∵6 cos |||| NM NQ MNQ NM NQ ?∠= = ∴所求二面角为．
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