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电路原理 第八章_相量法

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复数 复数
—
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法(续）
—
已知正弦量 220√ 2 cos ( ω t－35° ) 有效值相量 最大值相量 220/ －35° — 220√ 2 /－35°
已知 相量 10/45° and 正弦量的角频率ω 相应的正弦量 — 10 √ 2 cos( ωt + 45° )
0 ωt1
ωt2
ωt
φ
图8-5 用旋转矢量表示的正弦量
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第8章
4、正弦量的相量表示法 F = ⎪F⎪e j(ω t + ϕ )
ejθ = cosθ + jsinθ
设：有一复数
欧拉公式
F = ⎪F⎪ej(ωt + ϕ ) = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ) + j⎪F⎪sin(ωt +ϕ) Re [F] = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ ) Im [F] = ⎪F⎪sin(ωt + ϕ )
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第8章
三、旋转因子
/ϕ 旋转因子: e jϕ = 1 — A = ⎪A⎪ejα Aejϕ = ⎪A⎪ejαejϕ = ⎪A⎪ej(α+ϕ ) ejπ/2 = j1 e－jπ/2 = − j1
+j
Aejϕ
ϕ α
0
A
+1
e－jπ = − 1
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第8章
ϕ 12 = ϕ 1－ ϕ 2 —— u1 超前于 u2 的相角 ϕ 21 = ϕ 2－ ϕ 1 —— u2 超前于 u1 的相角
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第8章
二、正弦量的相位差（续）
u2 = Um2cos ( ωt + ϕ 2 ) u1 超前于 u2 u1 滞后于 u2 u1 与 u2 同相 u1 与 u2 反相 u1 与 u2 正交
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第8章
二、相量表示法的几种形式
& I = I x + jI y
Im = — ≈ 0.707Im — √2
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第8章
§3-1 正弦交流电的基本概念
正弦量的三角函数式也可以表示成：
⎧u = U m cos(ω t + ϕ u ) = 2U cos(ω t + ϕ u ) ⎪ ⎨ ⎪i = I m sin(ω t + ϕ i ) = 2 I cos(ω t + ϕ i ) ⎩
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第8章 1 代数形式
一、复数的表示形式 F=a+ib F=a+jb
—— j = √ －1
称为复数 的模
j 为虚单位
——— ⎪F⎪ =√a2 + b2 Im [F] = b Im — Image part
Re [F] = a Re — Real part
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第8章
正弦量的波形如图8-1所示
ui Im Um
ϕi 0 ϕu
u 图8-1 正弦波形
i
ωt
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第8章 正弦量的三要素 u = Umcos ( ωt + ϕu ) Um — 振幅
ω — 角频率
ϕu — 初相位
ω —— 角频率，单位：rad/s 每秒钟变化的弧度数
第8章
第八章 相 量 法
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第8章
目 录
§ 8-1 复数 § 8-2 正弦量 § 8-3 相量法的基础 § 8-4 电路定律的相量形式
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第8章
一、图（Graph)
§ 8-1 8-1
复
数
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四、复数相等的条件 F 1 = F2
Conditions
Re [F1] = Re[F2] and Im[F1] = Im[F2]
or
⎪F1⎪ = ⎪F2⎪ and arg F1= arg F2
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第8章
习题8-3
若100/0° + A/60° = 175/θ ，求 A 和θ 。 解 100/0° + A /60° = 100 + Acos60° + jAsin60° 175/θ = 175cos θ + j175sin θ 100 + 0.5A = 175cosθ 0.866A= 175sinθ 解得 A = 102
φ
ω
+1
0
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第8章 正弦量
4、正弦量的相量表示法(续）
i( t ) = √ 2 I cos( ω t + ϕ ) = Re [√ 2 I ejϕ ej ωt ]
—
—
I = I ejϕ = I / ϕ Im= √ 2 I /ϕ
ejω t . .
旋转相量 有效值相量 最大值相量
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第8章
2 三角形式 F = ⎪F⎪( cos θ + jsin θ )
+j b F
F=a+jb
称为复数 的模 +1
θ
0
a
——— ⎪F⎪ =√a2 + b2
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
a =⎥ F⎪cos θ b =⎥ F⎪sin θ
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表明正弦函数与复数函数之间的关系。
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第8章 设：有一复数
.
F = ⎪F⎪ej(ωt + ϕ ) = ⎪F⎪ej ϕ ejωt
ejωt —— 旋转相量
（ F = F ejϕ = F /ϕ ------相量 复数 ）
+j ejωt
ω
1 +1 0
+j
⎪F⎪ ejϕ ejωt . F
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第8章
3 指数形式和极坐标形式 F = ⎪F⎪(cosθ + jsinθ ) = ⎪F⎪e jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = ⎪F⎪/θ
指数形式 欧拉公式
极坐标形式
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第8章 1 复数的加减
二、复数的运算
F1± F2 = ( a1 ± a2 ) + j( b1 ± b2 ) F2 = a2 + jb2
正弦量表示形式
ω 为正弦交流电的角频率，反映
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值：
u = U m cos(ω t + ϕ u )⎫ ⎬ i = I m cos(ω t + ϕ i ) ⎭
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正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。
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第8章
§ 8- 3 8-3 相量法的基础
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第8章
一、 正弦交流电的四种表示方法
1、三角函数表示法
三角函数表示法也就是瞬时值表示形式，如：
⎧u = U m cos(ω t + ϕ u ) = 2U cos(ω t + ϕ u ) ⎪ ⎨ ⎪i = I m sin(ω t + ϕ i ) = 2 I cos(ω t + ϕ i ) ⎩
+j F2 +1 0 F1－ F2 F1 −F2 +1
F1 = a1 + jb1
+j F2 0 F1 + F2
F2
F1
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第8章
2 复数的相乘
F1 F2 = ( a1 + jb1 ) ( a2 + jb2 ) = ( a1a2 －b1b2 ) + j( a1b2 + a2b1 ) F1 F2 = ⎪F1⎪ejθ1 ⎪F2⎪ejθ2 = ⎪F1⎪⎪F2⎪ej(θ1 +θ2 ) F1 F2 = ⎪F1⎪⎪F2⎪——— /θ1 +θ2
T—— 周期，单位：s f —— 频率，单位：Hz 每秒钟变化的周波数
变化一个周波所需的时间
ω = 2π = 2π f — T
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1 f =— T
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第8章
一、正弦量（续）
u = Umcos ( ωt + ϕu )
ωt + ϕ u —— 相位 ϕu —— 初相位
+
a1b2－a2b1 j ———— a22 + b22 F1 ⎪F1⎪ — = —— F2 ⎪F2⎪ —— —— —— ——
F1 ⎪F1⎪ej θ 1 — = ———— = ⎪F1⎪ e j( θ1－θ2) —— F2 ⎪F2⎪ej θ 2 ⎪F2⎪ F1 ⎪F1⎪/ θ 1 ⎪F1⎪ — = ———— = —— /θ1－θ2 F2 ⎪F2⎪/θ 2 ⎪F2⎪ ———
旋转矢量在旋转过程中，每一瞬时在纵轴上的投 影反映了该时刻正弦量的瞬时值正弦电流： i = Im cos ( ω t +ϕ )

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电路(第八章)相量法

电路(第八章)相量法


t
t1
解 i(t ) = 100cos(103 t +θ )
0
t = 0 →50 = 100cosθ
由于最大值发生在计时起点之后
i(t ) = 100cos(103 t − ) 3
当 10 t1 = π 3 有最大值
3
π
θ = ±π 3 π θ =−
3
t1＝ 3 ＝ .047ms 1 10
π 3
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 。
称为旋转因子。 除以旋转因子时， 故把 ejθ 称为旋转因子。当A除以旋转因子时， 除以旋转因子时 相当于A顺时针旋转一个角度 模不变。 相当于 顺时针旋转一个角度θ ，模不变。
几种不同θ 几种不同θ值时的旋转因子
Im
θ=
e
j
π
2
& + jI
0
& I
,
π
2
= cos
π
2
+ j sin
π 2
π
2
Re
8.2 正 弦 量
正弦量 正弦电流电路 电路中按正弦规律变化的电压或电流。 电路中按正弦规律变化的电压或电流。 激励和响应均为正弦量的电路称 为正弦电路或交流电路。 为正弦电路或交流电路。 i T 波形： 波形：
1. 正弦量
瞬时值表达式： 瞬时值表达式：
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
ψ/ω
O
t
周期T 和频率f 周期 (period)和频率 (frequency) : 和频率
1 f = T
单位： ， 兹 单位：Hz，赫(兹)
周期T 重复变化一次所需的时间。 单位： ， 周期 ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率f 每秒重复变化的次数。 频率 ：每秒重复变化的次数。
chapter08相量法电路原理

chapter08相量法电路原理

yy A 1A 2A 1A 212
3. 旋转因子
复数 ejy = cos y + jsin பைடு நூலகம் = 1∠y
Aejy
A逆时针旋转一个角度y ，模不变
j


e2 cosjsinj
ej( 2)c 2 o 2 s) 2 (js i 2 n) (j
j I
Im
I
Im A (t)[ ] 2Isiw n t (y)
wy i2 I sit n) ( A ( t)2 I e jw t ( y )
A(t)还可以写成
A(t) 2Iejyejwt 2 I ejwt
复常数
称

I Iy
为正弦量 i(t) 对应的相量。
i(t)2Isiw n t (y) II y
旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数
请看演示
三. 相量图
ωy y i(t)2 I sitn i() I I i
wy y u (t)2 U sitn u ( ) U U u

U

I
yu yi
四. 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t) 2U1s iw nt (y1)Im2(U 1ejwt)
(2) 角频率(angular frequency) w
(3) 初相位(initial phase angle) y
i i(t)=Imsin(w t+y)
Im
wt
y
波形图
ii
000 0 0
t
yy y =0y =/2 y =-/2
一般 |y |
二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
电路原理(邱关源)习题答案第八章 相量法

电路原理(邱关源)习题答案第八章 相量法

第八章 相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。

引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。

所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。

这就是用相量分析电路的理论根据。

8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=；（4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。

解：（1）a j F =--=551θ∠25)5()5(22=-+-=a13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限)故1F 的极坐标形式为 135251-∠=F（2） 13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二象限）（3） 43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F（4） 9010104∠==j F（5） 180335∠=-=F（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：2221a a a += 12arctan a a =θ和 θcos 1a a = θsin 2a a =需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。

8－2 将下列复数化为代数形式：（1） 73101-∠=F ；（2） 6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6） 135101-∠=F 。

第八章 相量法

第八章 相量法

2
t φ
2、 φ<0；即ψ1<ψ2，则u1滞后 2φ角。 、 滞后u 角 ； ψ u u =u +u u2 φ 3、 φ=0； 3、 φ=0；即ψ1=ψ2， ψ 同相。 则u1与u2同相。 u u1 u2 t Um= Um1+Um2 u1 t =Um1cos(ωt+ψ1)+ Um2cos(ωt+ψ2) ψ ψ =Umcos(ωt+ψ) ψ Um× m1+Um2 =U ψ ≠ ψ1+ ψ2 4、 φ=±π；即ψ1=ψ2 ±π ， 、 ± ； ψ 反相。 则u1与u2反相。 u u u1
例 1： I R 4V
–j 1 jωL ωC
10V 7V U=？ ？ 方法一： 方法一：相量图法 UL 10V 3V 7V UC U 4V UR I U=5V
解：串联电路电流 相同，而R、L、C上电 相同， 、 、 上电 压的相位不同。所以， 压的相位不同。所以， 不能直接用有效值相加。 不能直接用有效值相加。 方法二： 方法二：相量法 设： I =I 0º 则：UR = 4 0º V UC= 7 –90º V
相量形式电路图 I U 相量图
相量关系既反映了u、 相量关系既反映了 、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。 值关系又反映了相位的关系。

若： = 2 Icos(ωt+ψi ) i i L di i u=L dt = – 2 IωLsin(ωt+ψi ) 则： t u = 2 IωLsin(ωt+ψi +90º) 比较u 的表达式 的表达式： 比较 、i的表达式： = 2 Ucos(ωt+ψu ) ψ ①u、i 同频率 、 ② ψu= ψi +90º 电感上电压相位超前电流相位 。 电感上电压相位超前电流相位90º。 U 感抗 = ωL =XL 有效值关系： ③有效值关系： U=IωL I 直流： 直流：ω=0, XL=0, 电路短路 感抗与ω成正比 成正比,ω↑ 感抗与 成正比 ↑,XL↑ 高频交流： →∞,电路断路 高频交流： XL→∞ 电路断路 相量关系： ④相量关系： I jωL U U =jωL=jX I 相量图 U L I 相量形式电路图