不定积分的概念与性质

式
任 意 常 数
例1 求 3x2dx 解: ( x3 ) 3x2 3x2dx x3 C
例2 求 cos xdx
解: (sin x) cos x cos xdx sin x C
例3
求

1dx x
解:
ln x 1
x


1dx x

ln
dx sin 2
x

csc2
xdx


cot
x

C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) e xdx e x C (13) a xdx a x C
ln a
例5
求
1 x4
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
3. 设 k1 , k2 为非零常数
k1 f1( x) k2 f2( x)dx k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
三、基本积分表1
(1) kdx kx C(k是常数)
(2) xdx x1 C( 1)
第四节 不定积分的概念与性质
一 不定积分的概念 二 不定积分的性质 三 基本积分表
一、不定积分的概念
定义 在区间 I 内，函数f ( x)的带有任意常
数项的原函数，称为 f ( x)在区间I 内
的不定积分，记为 f ( x)dx
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被积 积分 表变 达量
例9 解：
求

2x2 1 dx x2( x2 1)
x22 (xx2211)dx

2 )dx 3 1 x2
1 1 x2
dx

2
1 dx
1 x2
3arctan x2arcsin x C 1 x x2
例6 求积分 x(1 x2 ) dx.
解： 1 x x2 dx x(1 x2 )
x (1 x2 )dx x(1 x2 )
F(x)dx F(x) C,
dF(x) F(x) C.
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:

x 1




1

x

xdx x1 C. ( 1) 1
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
不定积分的概念： f (x)dx F(x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
解:

x6 6


x5,
x5dx x6 C. 6
例2
求
1 1 x2 dx.
解:
arctan
x

1 1 x2
,


1 1 x2
dx

arctan
x

C.
二、不定积分的基本性质
由不定积分的定义，可知
d dx

f
(x)dx

f
(x),
d[ f (x)dx] f (x)dx,
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x（C为任意常数）

微积分II Calculus II§6.1 不定积分的概念和性质§6.2 积分基本公式§6.3 换元积分法第六章不定积分§6.4 分部积分法6.1 不定积分的概念和性质一原函数与不定积分原函数1)()(x f x F ='dxx f x dF )()(=设定义在区间上的函数，如果存在函数，使得对区间上的任意点都有)(x f I I )(x F 定义一I )(x f )(x F 则称函数是函数在区间上的一个原函数。

或(sin )cos ,x x '=(sin )x C '+cos ,x =C 其中为任意常数。

sin x cos x 是的一个原函数。

所以因为又因为也是sin x C +cos x 的原函数。

所以例如若函数在某区间上连续，则在该区间上必存在原函数.()f x ()f x 定理一如果函数是函数在某区间上的一个原函数，则（1）对任意常数, 也是函数的原函数.（2）的任意两个原函数之间相差一个常数.C ()F x ()f x ()f x ()F x C +()f x 定理二⎰积分号()f x 被积函数()f x dx 被积表达式x 积分变量若函数在某区间上存在原函数，则原函数的全体称为在该区间上的不定积分.()f x ()f x 不定积分的定义2⎰dx x f )(记为：()f x由不定积分的定义有：()()f x dx F x C =+⎰()()F x f x '=其中，C 为任意常数.解例求⎰dx x 2321()3x x '=因为2313x dx x C =+⎰所以求1dx x ⎰1ln ,0dx x C xx =+≠⎰因为1(ln)'=x x C 为任意常数.所以解例不定积分表示的是一族函数，从几何上看，代表一族曲线，称为积分曲线族。

曲线(),(y F x C C =+为任意常数)在的切线的斜率为)(0x f '不定积分的几何意义200(,)x y 0=x x设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.()f x ()y f x =2dyx dx =()2f x x'=即，由题意知2x C=+2xdx =⎰又曲线通过点（1，2），得1C =2()1f x x =+此曲线的方程为21y x =+设所求曲线方程为：o xy 1221y x =+[()]()f x dx f x '=⎰()()d f x dx f x dx =⎰()()F x dx F x C '=+⎰()()dF x F x C =+⎰求不定积分的运算与求导数运算是互逆的.二不定积分的性质性质一[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx±=±⎰⎰⎰两个函数代数和的不定积分等于它们各自不定积分的代数和.()()(0)kf x dx k f x dx k =≠⎰⎰求不定积分时，被积函数中的非零常数可以提到积分号外面.三小结与思考本次课学习了原函数，不定积分的定义，不定积分的性质。

2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x